Sveučilište “J.J. Strossmayera” u Osijeku Ak. god. 14./15.

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET

4. AUDITORNE VJEŽBE iz FIZIKE 1: Harmoničko titranje, Rotacija krutog tijela

P. Kulišić i dr.: Riješeni zadaci iz mehanike i topline

Primjeri: 5.2., 5.4., 5.13., 6.2.,6.7., 6.9., 6.10.,6.13., 6.19., 6.20., 6.21.

1. zadatak

U trenutku t = 0 s jednostavni harmonički oscilator udaljen je na osi x od svog ravnotežnog položaja za

+8 cm i giba se brzinom 6 cm/sxv . Odredite početnu fazu titranja i amplitudu ako je period njegova

titranja 2 s.

Rješenje:

0 0 8 cm

0 6 cm

2 s

t x t

v t

T

0 0

0 0

0 0

00 0 0 0 0

0 0 0

0

0 0

0

, ?

sin

Početni uvjeti: 0 0 8 cm sin

22sin 0 cos 6 , 2 , 6 cos

2

Riješimo sustav:

88 sin

sin

86 cos 6 c

sin

x x

A

x t A t

t A A

dA t Av t A t v A f

dt T

A A

A

0 0

0

0 0

0

4 4os 3 tg

3tg 3

8 53.1 10 cm

sinA

2. zadatak

Materijalna točka harmonički titra s amplitudom 14 cm i kružnom frekvencijom 12 s . Ako je početna

faza nula, odredite ubrzanje tog tijela u trenutku kad ima brzinu 8 cm/s .

Rješenje:

-1

0

1 1

14 cm

2 s

0

( ) 0.08 cm/s, ( ) ?

A

v t a t

0

1 1 1

1

1

Jednadžba titranja: ( ) sin

( ) 0.14sin 2

( )( ) 0.28cos 2 ( ) 0.08 0.28cos 2 2 =73.4 1.28 rad

0.64 s

( )( ) ( ) 0.56sin 2

( ) 0.56sin 2 0.64 0.56

x t A t

x t t

dx tv t t v t t t

dt

t

dv ta t a t t

dt

a t

2sin1.28 0.56sin 73.4 0.54 m/s

3. zadatak

Od tanke žice načinjeno je tijelo mase 120 g u obliku jednakostraničnog trokuta sa stranicom 60 cm. Taj

trokut je oslonjen na oštar brid jednim uglom. Izračunajte moment tromosti ovog trokuta oko osi koja

ide osloncem i okomita je na ravninu trokuta.

Rješenje:

1 2 3

1 2 3

2 2

1 2 1 1

2

1 1 2

60 cm 0.6 m

40 g 0.04 kg

120 g 3 0.12 kg

1 , - udaljenost od ovjesišta trokuta do centra mase prvog, odnosno drugog štapa

12

1

2 12 2

u

L

m m m m

m m

I I I I

I I mL md d

L Ld I I mL m

2

2

2 2

3 2 2

22

2 3

2 2

1

3

1 , - udaljenost od ovjesišta trokuta do centra mase trećeg štapa

12

3 1 3 5 , - visina jednakostraničnog trokuta:

2 12 4 6

1 1 5

3 3 6

mL

I mL md d

L Ld v v v I mL m mL

I mL mL mL

23

2mL

4. zadatak

Tijelo u obliku valjka, mase 80 kg, nalazi se između dvije glatke ploče koje su postavljene pod kutom od

60°. Kolikom silom djeluje tijelo na ploče u oba slučaja?

Rješenje:

Sile kojima tijelo djeluje na ploče prikazane su na slikama:

11

2

2 2

1 2

1

2

2 2

a) sin = sin 906.2 N

tg = 453.1 N tg

2b) sin = 785 N2

2sin2

tg = 453.1 N tg

FF mg

mg

mg mgF

F

mgmg

F FF

mg mgF

F

5. zadatak

Na glatkoj sfernoj površini nalazi se metalna lopta mase 10 kg. Lopta je obješena o nit duljine 60 cm.

Ako je polumjer sferne površine 20 cm, a udaljenost ovjesišta do površine sfere cm, izračunajte silu

reakcije sferne površine.

Rješenje:

10 kg

60 cm

20 cm

55 cm

m

l AC

R OB

d CB

1 2

11

22

reakcija sferne površine, sila napetosti niti

Iz sličnosti troluta i slijedi:

26.2 N

78.5 N

F F

ACO aco

Fao AO R RF mg

co CO mg R d R d

Fac AC l lF mg

co CO mg R d R d

6. zadatak

Ljestve mase 10 kg prislonjene su uz vertikalni zid pod kutom 45º . Odredite sile koje djeluju na ljestve

u točkama A i B. Trenje u točki B zanemarite.

Rješenje:

Sile koje djeluju na ljestve su: sila teža u točki T (težištu ljestvi), okomita reakcija zida , okomita reakcija

poda i sila koja sprečava ljestve da klize (uzrokovana silom trenja)

Uvj

B

Ay Ax

G F

F F

eti ravnoteže tijela su:

1. Vektorski zbroj svih sila mora biti jednak nuli.

0 0

0 0

2. Algebarski zbroj momenata svih sila mora biti jednak nuli. Momenti s obzirom na

ix Ax B

i

iy Ay

i

F F F

F F G

točku A:

0

2 2cos cos , sin sin

2 2 2 2

2

49 N2 2

Iz uvjeta ravnoteže tijela za sile slijedi:

49 N

98 N

T B B

T BT B

B

Ax B

Ay

Gd F d

d dd dd d d d

d d

G mgF

F F

F G

7. zadatak

Drvena greda, duljine 12 m, postavljena je pored vertikalnog zida. Stojeći na vrhu zida čovjek gurne

gredu početnom brzinom 1 m/s. Za koje će vrijeme pasti greda?

Rješenje:

Pri padu na zemlju greda posjeduje kinetičku energiju 22

0

2 2 2

II lmg

(1)

gdje je moment tromosti grede u odnosu na os rotacije (os rotacije je oko donjeg kraja štapa): 2

3

mlI ,

početna kutna brzina grede 00

v

l , kutna brzina grede pri padu na zemlju .

Iz relacije (1) slijedi: 0 3v v gl .

Kutna brzina i kutni pomak grede nakon vremena t su: 2

0 0 , 2

tt t

.

Vrh grede opiše kut rad2

pa je vrijeme padanja grede

2

0 0

1.9 s3

tg

l

8. zadatak

Homogena drvena greda duljine l = 2 m i mase m = 10 kg, obješena je na okretni oslonac O. Metak mase

1 30 gm i brzine 1 900 m/sv pogodi gredu u centar mase. Metak prođe kroz gredu i na izlasku ima

brzinu 2 100 m/sv . Za koliki će se kut pri ovome pomaknuti greda?

Rješenje:

Impuls metka prije udara u gredu iznosi 1 1m v , a poslije udara 1 2m v . Moment impulsa ovog sistema tijela

u odnosu na os O prije udara metka je:

1 1 1 1 1 1 1 ; 2 2

l lL m v r m v r ,

A neposredno poslije prolaska metka je:

2 0 1 22

lL I m v , gdje je

0I moment impulsa grede neposredno poslije prolaska metka.

Prema zakonu održanja momenta impulsa:

1 2

11 1 0 1 2 0 1 2=

2 2 2

L L

m ll lm v I m v v v

I

Pri ovome, štapu se preda kinetička energija:

2 2 2 2 2

2 20 1 11 2 1 222 2 4 8

k

I m l m lIE v v v v

I I

I je moment tromosti štapa u odnosu na os kroz ovjesište O:

2

22 2 2 11 2

0 0

1 3

3 8

l l

k

mmI r dm r dr ml E v v

l m

Ova energija se utroši na promjenu potencijalne energije štapa, pa je prema zakonu održanja energije:

22

2 21 11 2 1 2

3 3 =

8 8k p

m mE E mgh mgh v v h v v

m g m

Iz slike slijedi:

221

1 2

3cos 1 cos 1 cos

2 2 2 2 8

38.8

ml l l lh v v

g m

9. zadatak

Homogena lopta, polumjera 12 cm, baci se po horizontalnoj ravnini brzinom 10 m/s. Lopta se kotrlja i

zaustavi se nakon 30 s od trenutka bacanja.

a) Koliki je koeficijent trenja između lopte i podloge?

b) Koliko okreta napravi lopta za vrijeme gibanja?

Rješenje:

2 22

a) Rad na putu troši se na svladavanje ukupne kinetičke energije. Ukupna kin. energija jednaka je zbroju

kinetičke energije translacije i kinetičk energije rotacije:

2 ,

2 2 5tr

s

mv IF s I mR

2 22

2

22

,

1 2

2 2 5

1 0.048

2 5

b) ?

2 198 okretaja2 2

v

R

mv vmgs mR

R

vgs v

N

vts

NR R

10. zadatak

Homogeni štap duljine 1 m i mase 2 kg nalazi se u horizontalnoj ravnini i može slobodno rotirati oko osi

O, koja prolazi kroz centar mase, bez trenja. U jedan kraj ovog štapa udari metak, mase 2g, koji se giba

brzinom 100 m/s. Metak udari u štap pod pravim kutom i pri tome se zadrži u štapu, pri čemu štap

dobije kutnu brzinu 0 . Izračunajte kutnu brzinu

0 .

Rješenje:

1

1 m

2 kg

2 g

100 m/s

l

m

m

v

0 ?

1 2

1 1 1

2

Zakon sačuvanja momenta količine gibanja: .

moment količine gibanja sustava metak-štap prije udara metka u štap: 2

moment količine gibanja sustava metak-štap nakon udara me

L konst L L

lL L m v

L

1 0 0

2

0 0

2

2 2

1 1 1

2

1 2 1 1

tka u štap:

1 moment tromosti štapa koji rotira oko centra mase

12

1 moment tromosti metka koji rotira sa štapom

2 4

1 1

2 12 4

m

m m

L I I

I I ml

lI I m r m m l

lL L m v ml m

1

2 10 0 0

2 2 11

62 1 1 3

12 4

lm v

mvl

l m mml m l

11. zadatak

Drveni štap mase 2 kg i duljine 0.5 m nalazi se u horizontalnom položaju. Metak mase 15 g pogodi štap

u centar mase i pri tome se ostane u štapu. Putanja metka je vertikalna i okomita na os štapa. Kolika bi

trebala biti brzina metka da bi se štap, pri udaru metka u njega, otklonio u vertikalan položaj?

Rješenje:

1

2

0.5 m

2 kg

15 g

l

m

m

?v

1 2

1 1 2

2

Zakon sačuvanja momenta količine gibanja: .

moment količine gibanja sustava metak-štap prije udara metka u štap: 2

moment količine gibanja sustava metak-štap nakon udara me

L konst L L

lL L m v

L

1 1 2

2

2 2 2

1 1 0 1 1 1 1

2

2 2

2 2 2 2 2

tka u štap:

1 1 moment tromosti štapa koji rotira oko jednog svog kraja

12 2 3

1 moment tromosti metka koji rotira sa štapom

2 4

L I I

lI I I m d m l m m l

lI I m r m m l

2 2 22

1 2 2 1 22 21 2 1 2 1 2

1 2

2

1 2

1 2

112

62 2 2 1 12 4 3 4 3

3 4

Zakon sačuvanja energije za štap koji rotira:

, (centar mase štapa se podigao2 2

k p

l lm v m v m

ml v vL L m v I I

I I l m m l m mm l m l

E E

I I lm m gh h

2

21 2

1 2

1 2

2 22 2 2 2

2 22 22 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

22 2

2 2222

1 2 1 22 2

1 2 1 2

za )2

2

2 2

4 31 1 14 4 , 2 2 3 4 12

34 4 3 4 3

12

l

lm vI I l

m m gI I

l lm v m v

m l m llm m g m m gl I I m l m l

I I I I

lm v

m vm m gl m m gl v

m l m l m m

1 2 1 2

2

2

1 2 1 2

2

4 3

3

4 31343.2 m/s

3

m m m m gl

m

m m m m glv

m