IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Avances recientes en Teoría de la Fiabilidadusando signaturas

Jorge Navarro1, 2, Universidad de Murcia, Spain

May 27, 2009

1Supported by Ministerio de Ciencia y Tecnologia, MTM2006-128342Basado en Navarro, Samaniego, Balakrishnan, and Bhattacharya (2008,

Naval Res. Logist. 55, 313-327)Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Sistemas coherentes y estadísticos ordenados

X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias positivas.X1, X2, . . . , Xn IID.X1, X2, . . . , Xn intercambiables (EXC), i.e., para todapermutación σ

(X1, X2, . . . , Xn) =ST (Xσ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)).

F (t) = Pr(Xi > t) fiabilidad (supervivencia).X1:n, X2:n, . . . , Xn:n estadísticos ordenados.Xk :n tiempo de vida del sistema k -out-of-n:F .T = φ(X1, X2, . . . , Xn) tiempo de vida del sistemacoherente.T = max1≤j≤r XPj ; Pj caminos minimales, XP = mini∈P Xi .T = Xi:n con probabilidad si = Pr(T = Xi:n).

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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Sistemas coherentes y estadísticos ordenados

X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias positivas.X1, X2, . . . , Xn IID.X1, X2, . . . , Xn intercambiables (EXC), i.e., para todapermutación σ

(X1, X2, . . . , Xn) =ST (Xσ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)).

F (t) = Pr(Xi > t) fiabilidad (supervivencia).X1:n, X2:n, . . . , Xn:n estadísticos ordenados.Xk :n tiempo de vida del sistema k -out-of-n:F .T = φ(X1, X2, . . . , Xn) tiempo de vida del sistemacoherente.T = max1≤j≤r XPj ; Pj caminos minimales, XP = mini∈P Xi .T = Xi:n con probabilidad si = Pr(T = Xi:n).

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Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Sistemas coherentes y estadísticos ordenados

X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias positivas.X1, X2, . . . , Xn IID.X1, X2, . . . , Xn intercambiables (EXC), i.e., para todapermutación σ

(X1, X2, . . . , Xn) =ST (Xσ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)).

F (t) = Pr(Xi > t) fiabilidad (supervivencia).X1:n, X2:n, . . . , Xn:n estadísticos ordenados.Xk :n tiempo de vida del sistema k -out-of-n:F .T = φ(X1, X2, . . . , Xn) tiempo de vida del sistemacoherente.T = max1≤j≤r XPj ; Pj caminos minimales, XP = mini∈P Xi .T = Xi:n con probabilidad si = Pr(T = Xi:n).

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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Sistemas coherentes y estadísticos ordenados

X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias positivas.X1, X2, . . . , Xn IID.X1, X2, . . . , Xn intercambiables (EXC), i.e., para todapermutación σ

(X1, X2, . . . , Xn) =ST (Xσ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)).

F (t) = Pr(Xi > t) fiabilidad (supervivencia).X1:n, X2:n, . . . , Xn:n estadísticos ordenados.Xk :n tiempo de vida del sistema k -out-of-n:F .T = φ(X1, X2, . . . , Xn) tiempo de vida del sistemacoherente.T = max1≤j≤r XPj ; Pj caminos minimales, XP = mini∈P Xi .T = Xi:n con probabilidad si = Pr(T = Xi:n).

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Sistemas coherentes y estadísticos ordenados

X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias positivas.X1, X2, . . . , Xn IID.X1, X2, . . . , Xn intercambiables (EXC), i.e., para todapermutación σ

(X1, X2, . . . , Xn) =ST (Xσ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)).

F (t) = Pr(Xi > t) fiabilidad (supervivencia).X1:n, X2:n, . . . , Xn:n estadísticos ordenados.Xk :n tiempo de vida del sistema k -out-of-n:F .T = φ(X1, X2, . . . , Xn) tiempo de vida del sistemacoherente.T = max1≤j≤r XPj ; Pj caminos minimales, XP = mini∈P Xi .T = Xi:n con probabilidad si = Pr(T = Xi:n).

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Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Sistemas coherentes y estadísticos ordenados

X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias positivas.X1, X2, . . . , Xn IID.X1, X2, . . . , Xn intercambiables (EXC), i.e., para todapermutación σ

(X1, X2, . . . , Xn) =ST (Xσ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)).

F (t) = Pr(Xi > t) fiabilidad (supervivencia).X1:n, X2:n, . . . , Xn:n estadísticos ordenados.Xk :n tiempo de vida del sistema k -out-of-n:F .T = φ(X1, X2, . . . , Xn) tiempo de vida del sistemacoherente.T = max1≤j≤r XPj ; Pj caminos minimales, XP = mini∈P Xi .T = Xi:n con probabilidad si = Pr(T = Xi:n).

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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Sistemas coherentes y estadísticos ordenados

X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias positivas.X1, X2, . . . , Xn IID.X1, X2, . . . , Xn intercambiables (EXC), i.e., para todapermutación σ

(X1, X2, . . . , Xn) =ST (Xσ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)).

F (t) = Pr(Xi > t) fiabilidad (supervivencia).X1:n, X2:n, . . . , Xn:n estadísticos ordenados.Xk :n tiempo de vida del sistema k -out-of-n:F .T = φ(X1, X2, . . . , Xn) tiempo de vida del sistemacoherente.T = max1≤j≤r XPj ; Pj caminos minimales, XP = mini∈P Xi .T = Xi:n con probabilidad si = Pr(T = Xi:n).

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Sistemas coherentes y estadísticos ordenados

X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias positivas.X1, X2, . . . , Xn IID.X1, X2, . . . , Xn intercambiables (EXC), i.e., para todapermutación σ

(X1, X2, . . . , Xn) =ST (Xσ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)).

F (t) = Pr(Xi > t) fiabilidad (supervivencia).X1:n, X2:n, . . . , Xn:n estadísticos ordenados.Xk :n tiempo de vida del sistema k -out-of-n:F .T = φ(X1, X2, . . . , Xn) tiempo de vida del sistemacoherente.T = max1≤j≤r XPj ; Pj caminos minimales, XP = mini∈P Xi .T = Xi:n con probabilidad si = Pr(T = Xi:n).

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Sistemas coherentes y estadísticos ordenados

X1, X2, . . . , Xn variables aleatorias positivas.X1, X2, . . . , Xn IID.X1, X2, . . . , Xn intercambiables (EXC), i.e., para todapermutación σ

(X1, X2, . . . , Xn) =ST (Xσ(1), Xσ(2), . . . , Xσ(n)).

F (t) = Pr(Xi > t) fiabilidad (supervivencia).X1:n, X2:n, . . . , Xn:n estadísticos ordenados.Xk :n tiempo de vida del sistema k -out-of-n:F .T = φ(X1, X2, . . . , Xn) tiempo de vida del sistemacoherente.T = max1≤j≤r XPj ; Pj caminos minimales, XP = mini∈P Xi .T = Xi:n con probabilidad si = Pr(T = Xi:n).

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Representaciones como mixturas

Samaniego (1985), IID y F continuous, entonces

F T =n∑

i=1

siF i:n. (1.1)

s = (s1, s2, . . . , sn) signatura de T , si = Pr(T = Xi:n).si no depende de F y

si =1n!

∑σ

1(σ ∈ Ai)

Ai = {σ : φ(x1, . . . , xn) = xi:n, cuando xσ(1) < ... < xσ(n)}.Navarro y Rychlik (2007), (1.1) vale para vectores EXCcon distribución conjunta absolutamente continua.(1.1) no se cumple si F no es continua (e.g. distribucionesBernoulli IID).

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Representaciones como mixturas

Samaniego (1985), IID y F continuous, entonces

F T =n∑

i=1

siF i:n. (1.1)

s = (s1, s2, . . . , sn) signatura de T , si = Pr(T = Xi:n).si no depende de F y

si =1n!

∑σ

1(σ ∈ Ai)

Ai = {σ : φ(x1, . . . , xn) = xi:n, cuando xσ(1) < ... < xσ(n)}.Navarro y Rychlik (2007), (1.1) vale para vectores EXCcon distribución conjunta absolutamente continua.(1.1) no se cumple si F no es continua (e.g. distribucionesBernoulli IID).

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Representaciones como mixturas

Samaniego (1985), IID y F continuous, entonces

F T =n∑

i=1

siF i:n. (1.1)

s = (s1, s2, . . . , sn) signatura de T , si = Pr(T = Xi:n).si no depende de F y

si =1n!

∑σ

1(σ ∈ Ai)

Ai = {σ : φ(x1, . . . , xn) = xi:n, cuando xσ(1) < ... < xσ(n)}.Navarro y Rychlik (2007), (1.1) vale para vectores EXCcon distribución conjunta absolutamente continua.(1.1) no se cumple si F no es continua (e.g. distribucionesBernoulli IID).

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Representaciones como mixturas

Samaniego (1985), IID y F continuous, entonces

F T =n∑

i=1

siF i:n. (1.1)

s = (s1, s2, . . . , sn) signatura de T , si = Pr(T = Xi:n).si no depende de F y

si =1n!

∑σ

1(σ ∈ Ai)

Ai = {σ : φ(x1, . . . , xn) = xi:n, cuando xσ(1) < ... < xσ(n)}.Navarro y Rychlik (2007), (1.1) vale para vectores EXCcon distribución conjunta absolutamente continua.(1.1) no se cumple si F no es continua (e.g. distribucionesBernoulli IID).

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Representaciones como mixturas

Samaniego (1985), IID y F continuous, entonces

F T =n∑

i=1

siF i:n. (1.1)

s = (s1, s2, . . . , sn) signatura de T , si = Pr(T = Xi:n).si no depende de F y

si =1n!

∑σ

1(σ ∈ Ai)

Ai = {σ : φ(x1, . . . , xn) = xi:n, cuando xσ(1) < ... < xσ(n)}.Navarro y Rychlik (2007), (1.1) vale para vectores EXCcon distribución conjunta absolutamente continua.(1.1) no se cumple si F no es continua (e.g. distribucionesBernoulli IID).

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Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ejemplo

1����

����

3

����

2

Sistema coherente con T = min(X1, max(X2, X3)).

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ejemplo

1����

����

3

����

2

Sistema coherente con T = min(X1, max(X2, X3)).3! = 6 permutaciones.

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ejemplo

1����

����

3

����

2

Sistema coherente con T = min(X1, max(X2, X3)).X1 < X2 < X3 ⇒ T = X1 = X1:3

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ejemplo

1����

����

3

����

2

Sistema coherente con T = min(X1, max(X2, X3)).X1 < X3 < X2 ⇒ T = X1 = X1:3

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ejemplo

1����

����

3

����

2

Sistema coherente con T = min(X1, max(X2, X3)).X2 < X1 < X3 ⇒ T = X1 = X2:3

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ejemplo

1����

����

3

����

2

Sistema coherente con T = min(X1, max(X2, X3)).X2 < X3 < X1 ⇒ T = X3 = X2:3

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ejemplo

1����

����

3

����

2

Sistema coherente con T = min(X1, max(X2, X3)).X3 < X1 < X2 ⇒ T = X1 = X2:3

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ejemplo

1����

����

3

����

2

Sistema coherente con T = min(X1, max(X2, X3)).X3 < X2 < X1 ⇒ T = X2 = X2:3

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ejemplo

1����

����

3

����

2

Sistema coherente con T = min(X1, max(X2, X3)).IID F cont.: s = (2/6, 4/6, 0) = (1/3, 2/3, 0).

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ejemplo

1����

����

3

����

2

Sistema coherente con T = min(X1, max(X2, X3)).IID F cont.: F T (t) = 1

3F 1:3(t) + 23F 2:3(t).

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Representaciones como mixturas

Navarro et al. (2007), si T tiene componentes EXC,entonces

F T =n∑

i=1

aiF 1:i . (1.2)

a = (a1, a2, . . . , an) es al signatura minimal de T (ai nodepende de F pero puede ser negativo).Hay una representación similar basada en los sitemas enparalelo.En particular, para los OS:

F i:n =n∑

j=n−i+1

(−1)j+i−n−1(

j − 1n − i

)(nj

)F 1:j . (1.3)

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Representaciones como mixturas

Navarro et al. (2007), si T tiene componentes EXC,entonces

F T =n∑

i=1

aiF 1:i . (1.2)

a = (a1, a2, . . . , an) es al signatura minimal de T (ai nodepende de F pero puede ser negativo).Hay una representación similar basada en los sitemas enparalelo.En particular, para los OS:

F i:n =n∑

j=n−i+1

(−1)j+i−n−1(

j − 1n − i

)(nj

)F 1:j . (1.3)

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Representaciones como mixturas

Navarro et al. (2007), si T tiene componentes EXC,entonces

F T =n∑

i=1

aiF 1:i . (1.2)

a = (a1, a2, . . . , an) es al signatura minimal de T (ai nodepende de F pero puede ser negativo).Hay una representación similar basada en los sitemas enparalelo.En particular, para los OS:

F i:n =n∑

j=n−i+1

(−1)j+i−n−1(

j − 1n − i

)(nj

)F 1:j . (1.3)

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Representaciones como mixturas

Navarro et al. (2007), si T tiene componentes EXC,entonces

F T =n∑

i=1

aiF 1:i . (1.2)

a = (a1, a2, . . . , an) es al signatura minimal de T (ai nodepende de F pero puede ser negativo).Hay una representación similar basada en los sitemas enparalelo.En particular, para los OS:

F i:n =n∑

j=n−i+1

(−1)j+i−n−1(

j − 1n − i

)(nj

)F 1:j . (1.3)

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Representaciones como mixturas-caso general

Recordemos que T = max1≤j≤r XPj

Luego: F t(t) = P(T > t) = P(∪rj=1{XPj > t})

Usando la fórmula para la probabilidad de una unión,tenemos

F T =r∑

j=1

F Pj −∑i<j

F Pi∪Pj + . . .± F 1:n.

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Representaciones como mixturas-caso general

Recordemos que T = max1≤j≤r XPj

Luego: F t(t) = P(T > t) = P(∪rj=1{XPj > t})

Usando la fórmula para la probabilidad de una unión,tenemos

F T =r∑

j=1

F Pj −∑i<j

F Pi∪Pj + . . .± F 1:n.

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Representaciones como mixturas-caso general

Recordemos que T = max1≤j≤r XPj

Luego: F t(t) = P(T > t) = P(∪rj=1{XPj > t})

Usando la fórmula para la probabilidad de una unión,tenemos

F T =r∑

j=1

F Pj −∑i<j

F Pi∪Pj + . . .± F 1:n.

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ejemplo

1����

����

3

����

2

Sistema coherente con tiempo de vidaT = min(X1, max(X2, X3)).

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ejemplo

1����

����

3

����

2

Caminos minimales P1 = {1, 2} and P1 = {1, 3}.

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ejemplo

1����

����

3

����

2

F T (t) = F {1,2}(t) + F {1,3}(t)− F {1,2,3}(t).

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ejemplo

1����

����

3

����

2

EXC: F T (t) = 2F 1:2(t)− F 1:3(t).

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ejemplo

1����

����

3

����

2

IID: F T (t) = 2F2(t)− F

3(t).

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ordenes estocásticos

X ≤ST Y ⇔ F X (t) ≤ F Y (t) orden estocástico.

X ≤HR Y ⇔ hX (t) ≥ hY (t), orden razón de fallo.

X ≤HR Y ⇔ (X − t |X > t) ≤ST (Y − t |Y > t) para todo t .

X ≤MRL Y ⇔ mX (t) ≤ mY (t), vida media residual.

X ≤LR Y ⇔ fY (t)/fX (t) es no decreciente, orden razón deverosimilitudes.

X ≤LR Y ⇔ (X |s < X < t) ≤ST (Y |s < Y < t) para s < t .

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ordenes estocásticos

X ≤ST Y ⇔ F X (t) ≤ F Y (t) orden estocástico.

X ≤HR Y ⇔ hX (t) ≥ hY (t), orden razón de fallo.

X ≤HR Y ⇔ (X − t |X > t) ≤ST (Y − t |Y > t) para todo t .

X ≤MRL Y ⇔ mX (t) ≤ mY (t), vida media residual.

X ≤LR Y ⇔ fY (t)/fX (t) es no decreciente, orden razón deverosimilitudes.

X ≤LR Y ⇔ (X |s < X < t) ≤ST (Y |s < Y < t) para s < t .

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ordenes estocásticos

X ≤ST Y ⇔ F X (t) ≤ F Y (t) orden estocástico.

X ≤HR Y ⇔ hX (t) ≥ hY (t), orden razón de fallo.

X ≤HR Y ⇔ (X − t |X > t) ≤ST (Y − t |Y > t) para todo t .

X ≤MRL Y ⇔ mX (t) ≤ mY (t), vida media residual.

X ≤LR Y ⇔ fY (t)/fX (t) es no decreciente, orden razón deverosimilitudes.

X ≤LR Y ⇔ (X |s < X < t) ≤ST (Y |s < Y < t) para s < t .

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ordenes estocásticos

X ≤ST Y ⇔ F X (t) ≤ F Y (t) orden estocástico.

X ≤HR Y ⇔ hX (t) ≥ hY (t), orden razón de fallo.

X ≤HR Y ⇔ (X − t |X > t) ≤ST (Y − t |Y > t) para todo t .

X ≤MRL Y ⇔ mX (t) ≤ mY (t), vida media residual.

X ≤LR Y ⇔ fY (t)/fX (t) es no decreciente, orden razón deverosimilitudes.

X ≤LR Y ⇔ (X |s < X < t) ≤ST (Y |s < Y < t) para s < t .

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ordenes estocásticos

X ≤ST Y ⇔ F X (t) ≤ F Y (t) orden estocástico.

X ≤HR Y ⇔ hX (t) ≥ hY (t), orden razón de fallo.

X ≤HR Y ⇔ (X − t |X > t) ≤ST (Y − t |Y > t) para todo t .

X ≤MRL Y ⇔ mX (t) ≤ mY (t), vida media residual.

X ≤LR Y ⇔ fY (t)/fX (t) es no decreciente, orden razón deverosimilitudes.

X ≤LR Y ⇔ (X |s < X < t) ≤ST (Y |s < Y < t) para s < t .

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Ordenes estocásticos

X ≤ST Y ⇔ F X (t) ≤ F Y (t) orden estocástico.

X ≤HR Y ⇔ hX (t) ≥ hY (t), orden razón de fallo.

X ≤HR Y ⇔ (X − t |X > t) ≤ST (Y − t |Y > t) para todo t .

X ≤MRL Y ⇔ mX (t) ≤ mY (t), vida media residual.

X ≤LR Y ⇔ fY (t)/fX (t) es no decreciente, orden razón deverosimilitudes.

X ≤LR Y ⇔ (X |s < X < t) ≤ST (Y |s < Y < t) para s < t .

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Relaciones entre órdenes

E(Xs,t) ≤ E(Ys,t) ⇒ E(Xt) ≤ E(Yt) ⇒ E(X ) ≤ E(Y )m m m

X ≤DTM Y ⇒ X ≤MRL Y ⇒ X ≤M Y⇑ ⇑ ⇑

X ≤LR Y ⇒ X ≤HR Y ⇒ X ≤ST Ym m m

Xs,t ≤ST Ys,t ⇒ Xt ≤ST Yt ⇒ F X ≤ F Y

donde Zt = (Z − t |Z > t) y Zs,t = (Z |s < Z < t) (ver Navarro,Belzunce and Ruiz 1997, PEIS).

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Comparaciones usando signaturas

Theorem (Kochar, Mukerjee and Samaniego (1999))

Sean s1 y s2 las signaturas de dos sistemas coherentes deorden n,ambos basados en componentes IID con distribucióncontinua común F. Sean T1 y T2 sus tiempos de vidas.(a) Si s1 ≤ST s2, entonces T1 ≤ST T2.(b) Si s1 ≤HR s2, entonces T1 ≤HR T2.(c) Si F es absolutamente continua y s1 ≤LR s2, entoncesT1 ≤LR T2.

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Sistemas mezclados

Un sistema mezclado de orden n es una mixtura desistemas coherentes de orden n (Boland and Samaniego2004).

El sistema mezclado obtenido de sistemas con ncomponentes con signaturas s1, s2, . . . , sk de acuerdo conla distribución de mezcla p = (p1, p2, . . . , pk ) tendrásignatura

∑ki=1 pis i .

De (1.1), cualquier vector en el simplex{s ∈ [0, 1]n :

∑ni=1 si = 1} determina un sistema mezclado

y viceversa.

Los teoremas de representación y preservación deórdenes se pueden aplicar a los sistemas mezclados.

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Sistemas mezclados

Un sistema mezclado de orden n es una mixtura desistemas coherentes de orden n (Boland and Samaniego2004).

El sistema mezclado obtenido de sistemas con ncomponentes con signaturas s1, s2, . . . , sk de acuerdo conla distribución de mezcla p = (p1, p2, . . . , pk ) tendrásignatura

∑ki=1 pis i .

De (1.1), cualquier vector en el simplex{s ∈ [0, 1]n :

∑ni=1 si = 1} determina un sistema mezclado

y viceversa.

Los teoremas de representación y preservación deórdenes se pueden aplicar a los sistemas mezclados.

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

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Sistemas mezclados

Un sistema mezclado de orden n es una mixtura desistemas coherentes de orden n (Boland and Samaniego2004).

El sistema mezclado obtenido de sistemas con ncomponentes con signaturas s1, s2, . . . , sk de acuerdo conla distribución de mezcla p = (p1, p2, . . . , pk ) tendrásignatura

∑ki=1 pis i .

De (1.1), cualquier vector en el simplex{s ∈ [0, 1]n :

∑ni=1 si = 1} determina un sistema mezclado

y viceversa.

Los teoremas de representación y preservación deórdenes se pueden aplicar a los sistemas mezclados.

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Sistemas mezclados

Un sistema mezclado de orden n es una mixtura desistemas coherentes de orden n (Boland and Samaniego2004).

El sistema mezclado obtenido de sistemas con ncomponentes con signaturas s1, s2, . . . , sk de acuerdo conla distribución de mezcla p = (p1, p2, . . . , pk ) tendrásignatura

∑ki=1 pis i .

De (1.1), cualquier vector en el simplex{s ∈ [0, 1]n :

∑ni=1 si = 1} determina un sistema mezclado

y viceversa.

Los teoremas de representación y preservación deórdenes se pueden aplicar a los sistemas mezclados.

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Resultados nuevos

Extensiones de las representaciones como mixturas endos sentidos:

Representaciones para distribuciones no absolutamentecontinuas.

Representaciones de T = φ(X1, X2, . . . , Xk ) en función deX1:n, . . . , Xn:n para n > k .

Comparaciones de sistemas de diferente orden.

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Resultados nuevos

Extensiones de las representaciones como mixturas endos sentidos:

Representaciones para distribuciones no absolutamentecontinuas.

Representaciones de T = φ(X1, X2, . . . , Xk ) en función deX1:n, . . . , Xn:n para n > k .

Comparaciones de sistemas de diferente orden.

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Resultados nuevos

Extensiones de las representaciones como mixturas endos sentidos:

Representaciones para distribuciones no absolutamentecontinuas.

Representaciones de T = φ(X1, X2, . . . , Xk ) en función deX1:n, . . . , Xn:n para n > k .

Comparaciones de sistemas de diferente orden.

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Notación y resultados precedentesResultados nuevos

Resultados nuevos

Extensiones de las representaciones como mixturas endos sentidos:

Representaciones para distribuciones no absolutamentecontinuas.

Representaciones de T = φ(X1, X2, . . . , Xk ) en función deX1:n, . . . , Xn:n para n > k .

Comparaciones de sistemas de diferente orden.

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principal

Caso n = 2

Hay 2 sistemas coherentes: X1:2 and X2:2.

F 1 + F 2 = F 1:2 + F 2:2.

IID o EXC: 2F 1 = F 1:2 + F 2:2.

Luego F 2:2 = 2F 1:1 − F 1:2.

Los caminos minimales de X2:2 son P1 = {1} y P2 = {2}.Caso general: F 2:2 = F 1 + F 2 − F 1:2

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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principal

Caso n = 2

Hay 2 sistemas coherentes: X1:2 and X2:2.

F 1 + F 2 = F 1:2 + F 2:2.

IID o EXC: 2F 1 = F 1:2 + F 2:2.

Luego F 2:2 = 2F 1:1 − F 1:2.

Los caminos minimales de X2:2 son P1 = {1} y P2 = {2}.Caso general: F 2:2 = F 1 + F 2 − F 1:2

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EjemplosResultado principal

Caso n = 2

Hay 2 sistemas coherentes: X1:2 and X2:2.

F 1 + F 2 = F 1:2 + F 2:2.

IID o EXC: 2F 1 = F 1:2 + F 2:2.

Luego F 2:2 = 2F 1:1 − F 1:2.

Los caminos minimales de X2:2 son P1 = {1} y P2 = {2}.Caso general: F 2:2 = F 1 + F 2 − F 1:2

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Caso n = 2

Hay 2 sistemas coherentes: X1:2 and X2:2.

F 1 + F 2 = F 1:2 + F 2:2.

IID o EXC: 2F 1 = F 1:2 + F 2:2.

Luego F 2:2 = 2F 1:1 − F 1:2.

Los caminos minimales de X2:2 son P1 = {1} y P2 = {2}.Caso general: F 2:2 = F 1 + F 2 − F 1:2

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EjemplosResultado principal

Caso n = 2

Hay 2 sistemas coherentes: X1:2 and X2:2.

F 1 + F 2 = F 1:2 + F 2:2.

IID o EXC: 2F 1 = F 1:2 + F 2:2.

Luego F 2:2 = 2F 1:1 − F 1:2.

Los caminos minimales de X2:2 son P1 = {1} y P2 = {2}.Caso general: F 2:2 = F 1 + F 2 − F 1:2

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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principal

Caso n = 2

Hay 2 sistemas coherentes: X1:2 and X2:2.

F 1 + F 2 = F 1:2 + F 2:2.

IID o EXC: 2F 1 = F 1:2 + F 2:2.

Luego F 2:2 = 2F 1:1 − F 1:2.

Los caminos minimales de X2:2 son P1 = {1} y P2 = {2}.Caso general: F 2:2 = F 1 + F 2 − F 1:2

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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principal

Caso n = 3

Hay 5 sistemas coherentes: X1:3, X2:3,X3:3,T = min(X1, max(X2, X3)) y T D = max(X1, min(X2, X3)).

F 1:3 = F 1:3.

Los caminos minimales de X2:3 son {1, 2}, {1, 3} y {2, 3}.Luego F 2:3 = F {1,2} + F {1,3} + F {2,3} − 2F 1:3.

IID o EXC: F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3

La signatura minimal de X2:3 es (0, 3,−2).

Para X3:3: F 3:3 = 3F 1:1 − 3F 2:3 + F 1:3.

La signatura minimal de X3:3 es (3,−3, 1).

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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principal

Caso n = 3

Hay 5 sistemas coherentes: X1:3, X2:3,X3:3,T = min(X1, max(X2, X3)) y T D = max(X1, min(X2, X3)).

F 1:3 = F 1:3.

Los caminos minimales de X2:3 son {1, 2}, {1, 3} y {2, 3}.Luego F 2:3 = F {1,2} + F {1,3} + F {2,3} − 2F 1:3.

IID o EXC: F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3

La signatura minimal de X2:3 es (0, 3,−2).

Para X3:3: F 3:3 = 3F 1:1 − 3F 2:3 + F 1:3.

La signatura minimal de X3:3 es (3,−3, 1).

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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

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Caso n = 3

Hay 5 sistemas coherentes: X1:3, X2:3,X3:3,T = min(X1, max(X2, X3)) y T D = max(X1, min(X2, X3)).

F 1:3 = F 1:3.

Los caminos minimales de X2:3 son {1, 2}, {1, 3} y {2, 3}.Luego F 2:3 = F {1,2} + F {1,3} + F {2,3} − 2F 1:3.

IID o EXC: F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3

La signatura minimal de X2:3 es (0, 3,−2).

Para X3:3: F 3:3 = 3F 1:1 − 3F 2:3 + F 1:3.

La signatura minimal de X3:3 es (3,−3, 1).

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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

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Caso n = 3

Hay 5 sistemas coherentes: X1:3, X2:3,X3:3,T = min(X1, max(X2, X3)) y T D = max(X1, min(X2, X3)).

F 1:3 = F 1:3.

Los caminos minimales de X2:3 son {1, 2}, {1, 3} y {2, 3}.Luego F 2:3 = F {1,2} + F {1,3} + F {2,3} − 2F 1:3.

IID o EXC: F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3

La signatura minimal de X2:3 es (0, 3,−2).

Para X3:3: F 3:3 = 3F 1:1 − 3F 2:3 + F 1:3.

La signatura minimal de X3:3 es (3,−3, 1).

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Hay 5 sistemas coherentes: X1:3, X2:3,X3:3,T = min(X1, max(X2, X3)) y T D = max(X1, min(X2, X3)).

F 1:3 = F 1:3.

Los caminos minimales de X2:3 son {1, 2}, {1, 3} y {2, 3}.Luego F 2:3 = F {1,2} + F {1,3} + F {2,3} − 2F 1:3.

IID o EXC: F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3

La signatura minimal de X2:3 es (0, 3,−2).

Para X3:3: F 3:3 = 3F 1:1 − 3F 2:3 + F 1:3.

La signatura minimal de X3:3 es (3,−3, 1).

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Caso n = 3

Hay 5 sistemas coherentes: X1:3, X2:3,X3:3,T = min(X1, max(X2, X3)) y T D = max(X1, min(X2, X3)).

F 1:3 = F 1:3.

Los caminos minimales de X2:3 son {1, 2}, {1, 3} y {2, 3}.Luego F 2:3 = F {1,2} + F {1,3} + F {2,3} − 2F 1:3.

IID o EXC: F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3

La signatura minimal de X2:3 es (0, 3,−2).

Para X3:3: F 3:3 = 3F 1:1 − 3F 2:3 + F 1:3.

La signatura minimal de X3:3 es (3,−3, 1).

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Caso n = 3

Hay 5 sistemas coherentes: X1:3, X2:3,X3:3,T = min(X1, max(X2, X3)) y T D = max(X1, min(X2, X3)).

F 1:3 = F 1:3.

Los caminos minimales de X2:3 son {1, 2}, {1, 3} y {2, 3}.Luego F 2:3 = F {1,2} + F {1,3} + F {2,3} − 2F 1:3.

IID o EXC: F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3

La signatura minimal de X2:3 es (0, 3,−2).

Para X3:3: F 3:3 = 3F 1:1 − 3F 2:3 + F 1:3.

La signatura minimal de X3:3 es (3,−3, 1).

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Caso n = 3

Hay 5 sistemas coherentes: X1:3, X2:3,X3:3,T = min(X1, max(X2, X3)) y T D = max(X1, min(X2, X3)).

F 1:3 = F 1:3.

Los caminos minimales de X2:3 son {1, 2}, {1, 3} y {2, 3}.Luego F 2:3 = F {1,2} + F {1,3} + F {2,3} − 2F 1:3.

IID o EXC: F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3

La signatura minimal de X2:3 es (0, 3,−2).

Para X3:3: F 3:3 = 3F 1:1 − 3F 2:3 + F 1:3.

La signatura minimal de X3:3 es (3,−3, 1).

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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principal

Caso n = 3

Los caminos minimales de T = min(X1, max(X2, X3)) son{1, 2} y {1, 3}.Luego: F T = F {1,2} + F {1,3} − F 1:3.

IID o EXC: F T = 2F 1:2 − F 1:3.La signatura minimal de T es (0, 2,−1).Recordemos que F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3.Luego: F 1:2 = 2

3F 1:3 + 13F 2:3 (Regla del triángulo).

Luego: F T = 13F 1:3 + 2

3F 2:3

(1/3, 2/3, 0) es la signatura de T en el caso abs. cont. IIDo EXC.Sin embargo, P(T = X1:3) no es necesariamente igual a1/3.

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Caso n = 3

Los caminos minimales de T = min(X1, max(X2, X3)) son{1, 2} y {1, 3}.Luego: F T = F {1,2} + F {1,3} − F 1:3.

IID o EXC: F T = 2F 1:2 − F 1:3.La signatura minimal de T es (0, 2,−1).Recordemos que F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3.Luego: F 1:2 = 2

3F 1:3 + 13F 2:3 (Regla del triángulo).

Luego: F T = 13F 1:3 + 2

3F 2:3

(1/3, 2/3, 0) es la signatura de T en el caso abs. cont. IIDo EXC.Sin embargo, P(T = X1:3) no es necesariamente igual a1/3.

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Caso n = 3

Los caminos minimales de T = min(X1, max(X2, X3)) son{1, 2} y {1, 3}.Luego: F T = F {1,2} + F {1,3} − F 1:3.

IID o EXC: F T = 2F 1:2 − F 1:3.La signatura minimal de T es (0, 2,−1).Recordemos que F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3.Luego: F 1:2 = 2

3F 1:3 + 13F 2:3 (Regla del triángulo).

Luego: F T = 13F 1:3 + 2

3F 2:3

(1/3, 2/3, 0) es la signatura de T en el caso abs. cont. IIDo EXC.Sin embargo, P(T = X1:3) no es necesariamente igual a1/3.

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Caso n = 3

Los caminos minimales de T = min(X1, max(X2, X3)) son{1, 2} y {1, 3}.Luego: F T = F {1,2} + F {1,3} − F 1:3.

IID o EXC: F T = 2F 1:2 − F 1:3.La signatura minimal de T es (0, 2,−1).Recordemos que F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3.Luego: F 1:2 = 2

3F 1:3 + 13F 2:3 (Regla del triángulo).

Luego: F T = 13F 1:3 + 2

3F 2:3

(1/3, 2/3, 0) es la signatura de T en el caso abs. cont. IIDo EXC.Sin embargo, P(T = X1:3) no es necesariamente igual a1/3.

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Caso n = 3

Los caminos minimales de T = min(X1, max(X2, X3)) son{1, 2} y {1, 3}.Luego: F T = F {1,2} + F {1,3} − F 1:3.

IID o EXC: F T = 2F 1:2 − F 1:3.La signatura minimal de T es (0, 2,−1).Recordemos que F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3.Luego: F 1:2 = 2

3F 1:3 + 13F 2:3 (Regla del triángulo).

Luego: F T = 13F 1:3 + 2

3F 2:3

(1/3, 2/3, 0) es la signatura de T en el caso abs. cont. IIDo EXC.Sin embargo, P(T = X1:3) no es necesariamente igual a1/3.

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Caso n = 3

Los caminos minimales de T = min(X1, max(X2, X3)) son{1, 2} y {1, 3}.Luego: F T = F {1,2} + F {1,3} − F 1:3.

IID o EXC: F T = 2F 1:2 − F 1:3.La signatura minimal de T es (0, 2,−1).Recordemos que F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3.Luego: F 1:2 = 2

3F 1:3 + 13F 2:3 (Regla del triángulo).

Luego: F T = 13F 1:3 + 2

3F 2:3

(1/3, 2/3, 0) es la signatura de T en el caso abs. cont. IIDo EXC.Sin embargo, P(T = X1:3) no es necesariamente igual a1/3.

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Caso n = 3

Los caminos minimales de T = min(X1, max(X2, X3)) son{1, 2} y {1, 3}.Luego: F T = F {1,2} + F {1,3} − F 1:3.

IID o EXC: F T = 2F 1:2 − F 1:3.La signatura minimal de T es (0, 2,−1).Recordemos que F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3.Luego: F 1:2 = 2

3F 1:3 + 13F 2:3 (Regla del triángulo).

Luego: F T = 13F 1:3 + 2

3F 2:3

(1/3, 2/3, 0) es la signatura de T en el caso abs. cont. IIDo EXC.Sin embargo, P(T = X1:3) no es necesariamente igual a1/3.

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Caso n = 3

Los caminos minimales de T = min(X1, max(X2, X3)) son{1, 2} y {1, 3}.Luego: F T = F {1,2} + F {1,3} − F 1:3.

IID o EXC: F T = 2F 1:2 − F 1:3.La signatura minimal de T es (0, 2,−1).Recordemos que F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3.Luego: F 1:2 = 2

3F 1:3 + 13F 2:3 (Regla del triángulo).

Luego: F T = 13F 1:3 + 2

3F 2:3

(1/3, 2/3, 0) es la signatura de T en el caso abs. cont. IIDo EXC.Sin embargo, P(T = X1:3) no es necesariamente igual a1/3.

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principal

Caso n = 3

Los caminos minimales de T = min(X1, max(X2, X3)) son{1, 2} y {1, 3}.Luego: F T = F {1,2} + F {1,3} − F 1:3.

IID o EXC: F T = 2F 1:2 − F 1:3.La signatura minimal de T es (0, 2,−1).Recordemos que F 2:3 = 3F 1:2 − 2F 1:3.Luego: F 1:2 = 2

3F 1:3 + 13F 2:3 (Regla del triángulo).

Luego: F T = 13F 1:3 + 2

3F 2:3

(1/3, 2/3, 0) es la signatura de T en el caso abs. cont. IIDo EXC.Sin embargo, P(T = X1:3) no es necesariamente igual a1/3.

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principal

Resultado principal-EXC

Theorem

Si (X1, X2, . . . , Xn) es EXC y T = φ(X1, X2, . . . , Xn), entonces

F T =n∑

i=1

siF i:n, (2.1)

donde (s1, s2, . . . , sn) es la signatura de T en el caso IID condistribución continua.

Nótese que si 6= P(T = Xi:n) pero que

si =1n!

∑σ

1(σ ∈ Ai)

Ai = {σ : φ(x1, . . . , xn) = xi:n, donde xσ(1) < ... < xσ(1)}.Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principal

Resultado principal-EXC-Demostración

De (1.3): (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)

′

An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.

Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.

De (1.2): F T se puede escribir como una combinaciónlineal de F 1:i , i = 1, 2, . . . , n.

Luego: F T se puede escribir como una combinación linealde F i:n, i = 1, 2, . . . , n.

Los coeficientes no dependen de F . Luego serán losmismos que en el caso IID con distribución continua.

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principal

Resultado principal-EXC-Demostración

De (1.3): (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)

′

An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.

Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.

De (1.2): F T se puede escribir como una combinaciónlineal de F 1:i , i = 1, 2, . . . , n.

Luego: F T se puede escribir como una combinación linealde F i:n, i = 1, 2, . . . , n.

Los coeficientes no dependen de F . Luego serán losmismos que en el caso IID con distribución continua.

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principal

Resultado principal-EXC-Demostración

De (1.3): (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)

′

An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.

Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.

De (1.2): F T se puede escribir como una combinaciónlineal de F 1:i , i = 1, 2, . . . , n.

Luego: F T se puede escribir como una combinación linealde F i:n, i = 1, 2, . . . , n.

Los coeficientes no dependen de F . Luego serán losmismos que en el caso IID con distribución continua.

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principal

Resultado principal-EXC-Demostración

De (1.3): (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)

′

An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.

Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.

De (1.2): F T se puede escribir como una combinaciónlineal de F 1:i , i = 1, 2, . . . , n.

Luego: F T se puede escribir como una combinación linealde F i:n, i = 1, 2, . . . , n.

Los coeficientes no dependen de F . Luego serán losmismos que en el caso IID con distribución continua.

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principal

Resultado principal-EXC-Demostración

De (1.3): (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)

′

An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.

Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.

De (1.2): F T se puede escribir como una combinaciónlineal de F 1:i , i = 1, 2, . . . , n.

Luego: F T se puede escribir como una combinación linealde F i:n, i = 1, 2, . . . , n.

Los coeficientes no dependen de F . Luego serán losmismos que en el caso IID con distribución continua.

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principal

Resultado principal-EXC-Demostración

De (1.3): (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)

′

An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.

Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.

De (1.2): F T se puede escribir como una combinaciónlineal de F 1:i , i = 1, 2, . . . , n.

Luego: F T se puede escribir como una combinación linealde F i:n, i = 1, 2, . . . , n.

Los coeficientes no dependen de F . Luego serán losmismos que en el caso IID con distribución continua.

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principalConsecuencias

Representaciones de sistemas de diferente orden

Recordemos que en el caso IID: 2F 1:1 = F 1:2 + F 2:2.

Luego: F 1:1 = 12F 1:2 + 1

2F 2:2.

En general, como F 1 + . . . + F n = F 1:n + . . . + F n:n,entonces

F 1:1 =1n

F 1:n + . . . +1n

F n:n. (3.1)

Recordemos que F 1:2 = 23F 1:3 + 1

3F 2:3 (Regla delTriángulo).

Análogamente, F 2:2 = 13F 2:3 + 2

3F 3:3.

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principalConsecuencias

Representaciones de sistemas de diferente orden

Recordemos que en el caso IID: 2F 1:1 = F 1:2 + F 2:2.

Luego: F 1:1 = 12F 1:2 + 1

2F 2:2.

En general, como F 1 + . . . + F n = F 1:n + . . . + F n:n,entonces

F 1:1 =1n

F 1:n + . . . +1n

F n:n. (3.1)

Recordemos que F 1:2 = 23F 1:3 + 1

3F 2:3 (Regla delTriángulo).

Análogamente, F 2:2 = 13F 2:3 + 2

3F 3:3.

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principalConsecuencias

Representaciones de sistemas de diferente orden

Recordemos que en el caso IID: 2F 1:1 = F 1:2 + F 2:2.

Luego: F 1:1 = 12F 1:2 + 1

2F 2:2.

En general, como F 1 + . . . + F n = F 1:n + . . . + F n:n,entonces

F 1:1 =1n

F 1:n + . . . +1n

F n:n. (3.1)

Recordemos que F 1:2 = 23F 1:3 + 1

3F 2:3 (Regla delTriángulo).

Análogamente, F 2:2 = 13F 2:3 + 2

3F 3:3.

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principalConsecuencias

Representaciones de sistemas de diferente orden

Recordemos que en el caso IID: 2F 1:1 = F 1:2 + F 2:2.

Luego: F 1:1 = 12F 1:2 + 1

2F 2:2.

En general, como F 1 + . . . + F n = F 1:n + . . . + F n:n,entonces

F 1:1 =1n

F 1:n + . . . +1n

F n:n. (3.1)

Recordemos que F 1:2 = 23F 1:3 + 1

3F 2:3 (Regla delTriángulo).

Análogamente, F 2:2 = 13F 2:3 + 2

3F 3:3.

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principalConsecuencias

Representaciones de sistemas de diferente orden

Recordemos que en el caso IID: 2F 1:1 = F 1:2 + F 2:2.

Luego: F 1:1 = 12F 1:2 + 1

2F 2:2.

En general, como F 1 + . . . + F n = F 1:n + . . . + F n:n,entonces

F 1:1 =1n

F 1:n + . . . +1n

F n:n. (3.1)

Recordemos que F 1:2 = 23F 1:3 + 1

3F 2:3 (Regla delTriángulo).

Análogamente, F 2:2 = 13F 2:3 + 2

3F 3:3.

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principalConsecuencias

Representaciones de orden n

Theorem

Si (X1, X2, . . . , Xn) es EXC y T = φ(X1, X2, . . . , Xk ) (k < n),entonces

F T =n∑

i=1

si(n)F i:n (3.2)

donde el vector s(n) = (s1(n), s2(n), . . . , sn(n)) no depende deF. s(n) es la signatura de orden n de T .

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principalConsecuencias

Representaciones de orden n-Demostración

Recordemos que (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)

′

An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.

Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.

De (1.2): F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , k .

Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , n.

Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF i:n, i = 1, 2, . . . , n.

Los coeficientes no dependen de F .

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principalConsecuencias

Representaciones de orden n-Demostración

Recordemos que (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)

′

An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.

Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.

De (1.2): F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , k .

Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , n.

Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF i:n, i = 1, 2, . . . , n.

Los coeficientes no dependen de F .

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principalConsecuencias

Representaciones de orden n-Demostración

Recordemos que (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)

′

An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.

Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.

De (1.2): F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , k .

Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , n.

Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF i:n, i = 1, 2, . . . , n.

Los coeficientes no dependen de F .

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principalConsecuencias

Representaciones de orden n-Demostración

Recordemos que (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)

′

An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.

Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.

De (1.2): F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , k .

Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , n.

Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF i:n, i = 1, 2, . . . , n.

Los coeficientes no dependen de F .

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principalConsecuencias

Representaciones de orden n-Demostración

Recordemos que (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)

′

An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.

Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.

De (1.2): F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , k .

Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , n.

Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF i:n, i = 1, 2, . . . , n.

Los coeficientes no dependen de F .

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principalConsecuencias

Representaciones de orden n-Demostración

Recordemos que (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)

′

An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.

Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.

De (1.2): F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , k .

Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , n.

Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF i:n, i = 1, 2, . . . , n.

Los coeficientes no dependen de F .

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principalConsecuencias

Representaciones de orden n-Demostración

Recordemos que (F 1:n, . . . , F n:n)′ = An(F 1:1, . . . , F 1:n)

′

An es una matriz triangular sin ceros en la diagonal.

Luego |An| 6= 0 y A−1n existe.

De (1.2): F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , k .

Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF 1:i , i = 1, 2, . . . , n.

Luego: F T se puede escribir como combinación lineal deF i:n, i = 1, 2, . . . , n.

Los coeficientes no dependen de F .

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principalConsecuencias

Relaciones entre signaturas.

Si s(n) = (s1, s2, . . . , sn) es la signatura de orden n de T ,entonces T es igual en ley al sistema mezclado con(n + 1) componentes con signatura

s(n+1) =

(ns1

n + 1,s1 + (n − 1)s2

n + 1,2s2 + (n − 2)s3

n + 1, . . . ,

nsn

n + 1

)(3.3)

Aplicando repetidas veces (3.3) se obtiene una fórmulageneral para s(m) en función de s(n) (n < m).

El teorema de preservación de órdenes se puede aplicarahora a esos sistemas mezclados para comparar sistemasde diferente orden en el caso EXC.

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principalConsecuencias

Relaciones entre signaturas.

Si s(n) = (s1, s2, . . . , sn) es la signatura de orden n de T ,entonces T es igual en ley al sistema mezclado con(n + 1) componentes con signatura

s(n+1) =

(ns1

n + 1,s1 + (n − 1)s2

n + 1,2s2 + (n − 2)s3

n + 1, . . . ,

nsn

n + 1

)(3.3)

Aplicando repetidas veces (3.3) se obtiene una fórmulageneral para s(m) en función de s(n) (n < m).

El teorema de preservación de órdenes se puede aplicarahora a esos sistemas mezclados para comparar sistemasde diferente orden en el caso EXC.

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principalConsecuencias

Relaciones entre signaturas.

Si s(n) = (s1, s2, . . . , sn) es la signatura de orden n de T ,entonces T es igual en ley al sistema mezclado con(n + 1) componentes con signatura

s(n+1) =

(ns1

n + 1,s1 + (n − 1)s2

n + 1,2s2 + (n − 2)s3

n + 1, . . . ,

nsn

n + 1

)(3.3)

Aplicando repetidas veces (3.3) se obtiene una fórmulageneral para s(m) en función de s(n) (n < m).

El teorema de preservación de órdenes se puede aplicarahora a esos sistemas mezclados para comparar sistemasde diferente orden en el caso EXC.

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principalConsecuencias

Table: Signaturas de orden 4 de los sistemas con 1-4 componentes

T = Φ(X1, X2, X3, X4) s(4)

1 X1:1 = X1 (14 , 1

4 , 14 , 1

4)

2 X1:2 = min(X1, X2) (2-serie) (12 , 1

3 , 16 , 0)

3 X2:2 = max(X1, X2) (2-paralelo) (0, 16 , 1

3 , 12)

4 X1:3 = min(X1, X2, X3) (3-serie) (34 , 1

4 , 0, 0)

5 min(X2, max(X1, X3)) (14 , 5

12 , 13 , 0)

6 X2:3 (2-out-of-3) (0, 12 , 1

2 , 0)

7 max(X2, min(X1, X3)) (0, 13 , 5

12 , 14)

8 X3:3 = max(X1, X2, X3) (3-paralelo) (0, 0, 14 , 3

4)

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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principalConsecuencias

Table: Signaturas de orden 4 de los sistemas con 1-4 componentes

T = Φ(X1, X2, X3, X4) s(4)

9 X1:4 = min(X1, X2, X3, X4) (4-serie) (1, 0, 0, 0)

10 max(min(X1, X2, X3), min(X2, X3, X4)) (12 , 1

2 , 0, 0)

11 min(X2:3, X4) (14 , 3

4 , 0, 0)

12 min(X1, max(X2, X3), max(X3, X4)) (14 , 7

12 , 16 , 0)

13 min(X1, max(X2, X3, X4)) (14 , 1

4 , 12 , 0)

14 X2:4 (2-out-of-4) (0, 1, 0, 0)

15 max(min(X1, X2), mini=1,3,4(Xi), mini=2,3,4(Xi)) (0, 56 , 1

6 , 0)

16 max(min(X1, X2), min(X3, X4)) (0, 23 , 1

3 , 0)

17 max(min(X1, X2), min(X1, X3), min(X2, X3, X4)) (0, 23 , 1

3 , 0)

18 max(min(X1, X2), min(X2, X3), min(X3, X4)) (0, 12 , 1

2 , 0)

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

EjemplosResultado principalConsecuencias

Table: Signaturas de orden 4 de los sistemas con 1-4 componentes

T = Φ(X1, X2, X3, X4) s(4)

19 min(max(X1, X2), max(X2, X3), max(X3, X4)) (0, 12 , 1

2 , 0)

20 min(max(X1, X2), max(X1, X3), max(X2, X3, X4)) (0, 13 , 2

3 , 0)

21 min(max(X1, X2), max(X3, X4)) (0, 13 , 2

3 , 0)

22 min(max(X1, X2), maxi=1,3,4(Xi), maxi=2,3,4(Xi)) (0, 16 , 5

6 , 0)

23 X3:4 (3-out-of-4) (0, 0, 1, 0)

24 max(X1, min(X2, X3, X4)) (0, 12 , 1

4 , 14)

25 max(X1, min(X2, X3), min(X3, X4)) (0, 16 , 7

12 , 14)

26 max(X2:3, X4) (0, 0, 34 , 1

4)

27 min(max(X1, X2, X3), max(X2, X3, X4)) (0, 0, 12 , 1

2)

28 X4:4 = max(X1, X2, X3, X4) (paralelo) (0, 0, 0, 1)

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Resultado principalOrdenes estocásticosOrden HROrden LR

Hipótesis

En el caso general se cumple:

X1:n ≤ST X2:n ≤ST . . . ≤ST Xn:n (4.1)

Sin embargo las relaciones similares para el orden HR:

X1:n ≤HR X2:n ≤HR . . . ≤HR Xn:n, (4.2)

el orden MRL:

X1:n ≤MRL X2:n ≤MRL . . . ≤MRL Xn:n, (4.3)

y el orden LR:

X1:n ≤LR X2:n ≤LR . . . ≤LR Xn:n, (4.4)

no son necesariamente ciertas incluso en el caso EXC; verNavarro and Shaked (JAP 2006), Navarro and Hernandez(Metrika 2008) and Navarro (JSPI 2008).

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Resultado principalOrdenes estocásticosOrden HROrden LR

Hipótesis

En el caso general se cumple:

X1:n ≤ST X2:n ≤ST . . . ≤ST Xn:n (4.1)

Sin embargo las relaciones similares para el orden HR:

X1:n ≤HR X2:n ≤HR . . . ≤HR Xn:n, (4.2)

el orden MRL:

X1:n ≤MRL X2:n ≤MRL . . . ≤MRL Xn:n, (4.3)

y el orden LR:

X1:n ≤LR X2:n ≤LR . . . ≤LR Xn:n, (4.4)

no son necesariamente ciertas incluso en el caso EXC; verNavarro and Shaked (JAP 2006), Navarro and Hernandez(Metrika 2008) and Navarro (JSPI 2008).

Jorge Navarro Representaciones usando signaturas

IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

Resultado principalOrdenes estocásticosOrden HROrden LR

Hipótesis

En el caso general se cumple:

X1:n ≤ST X2:n ≤ST . . . ≤ST Xn:n (4.1)

Sin embargo las relaciones similares para el orden HR:

X1:n ≤HR X2:n ≤HR . . . ≤HR Xn:n, (4.2)

el orden MRL:

X1:n ≤MRL X2:n ≤MRL . . . ≤MRL Xn:n, (4.3)

y el orden LR:

X1:n ≤LR X2:n ≤LR . . . ≤LR Xn:n, (4.4)

no son necesariamente ciertas incluso en el caso EXC; verNavarro and Shaked (JAP 2006), Navarro and Hernandez(Metrika 2008) and Navarro (JSPI 2008).

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Resultado principalOrdenes estocásticosOrden HROrden LR

Hipótesis

En el caso general se cumple:

X1:n ≤ST X2:n ≤ST . . . ≤ST Xn:n (4.1)

Sin embargo las relaciones similares para el orden HR:

X1:n ≤HR X2:n ≤HR . . . ≤HR Xn:n, (4.2)

el orden MRL:

X1:n ≤MRL X2:n ≤MRL . . . ≤MRL Xn:n, (4.3)

y el orden LR:

X1:n ≤LR X2:n ≤LR . . . ≤LR Xn:n, (4.4)

no son necesariamente ciertas incluso en el caso EXC; verNavarro and Shaked (JAP 2006), Navarro and Hernandez(Metrika 2008) and Navarro (JSPI 2008).

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Resultado principalOrdenes estocásticosOrden HROrden LR

Comparaciones estocásticas usando signaturas

Theorem

Sean s1(n) y s2(n) las signaturas de orden n de dos sistemascoherentes (o mezclados) de órdenes n1 y n2, ambos basadosen componentes con tiempos de vida IID o EXC con la mismadistribución conjunta. Sean T1 y T2 sus tiempos de vida.(a) Si s1(n) ≤ST s2(n), entonces T1 ≤ST T2.(b) Si s1(n) ≤HR s2(n) y (4.2) se cumple, entonces T1 ≤HR T2.(c) Si s1(n) ≤HR s2(n) y (4.3) se cumple, entonces T1 ≤MRL T2.(d) Si s1(n) ≤LR s2(n) y (4.4) se cumple, entonces T1 ≤LR T2.

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

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Resultado principalOrdenes estocásticosOrden HROrden LR

Figure: Comparaciones basadas en el orden ST.

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

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Resultado principalOrdenes estocásticosOrden HROrden LR

Figure: Comparaciones basadas en el orden HR.

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

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Resultado principalOrdenes estocásticosOrden HROrden LR

Figure: Comparaciones basadas en el orden LR.

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

ConclusionesCuestiones abiertasAlgunas de nuestras referencias

Conclusiones

Las representaciones basadas en mixturas de estadísticosordenados son una buena herramienta para estudiar lossistemas coherentes.

Las nuevas representaciones permiten manejar en el casoEXC general sistemas de diferentes órdenes.

En algunos de estos resultados tenemos que suponer quelos estadísticos ordenados están ordenados HR, MRL oLR.

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

ConclusionesCuestiones abiertasAlgunas de nuestras referencias

Conclusiones

Las representaciones basadas en mixturas de estadísticosordenados son una buena herramienta para estudiar lossistemas coherentes.

Las nuevas representaciones permiten manejar en el casoEXC general sistemas de diferentes órdenes.

En algunos de estos resultados tenemos que suponer quelos estadísticos ordenados están ordenados HR, MRL oLR.

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

ConclusionesCuestiones abiertasAlgunas de nuestras referencias

Conclusiones

Las representaciones basadas en mixturas de estadísticosordenados son una buena herramienta para estudiar lossistemas coherentes.

Las nuevas representaciones permiten manejar en el casoEXC general sistemas de diferentes órdenes.

En algunos de estos resultados tenemos que suponer quelos estadísticos ordenados están ordenados HR, MRL oLR.

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IntroducciónRepresentaciones en el caso EXC

Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

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Cuestiones abiertas

Condiciones para Xi:n ≤HR,MRL,LR Xi+1:n.

Condiciones para X1:i ≥HR,MRL,LR X1:i+1 (ya hemosobtenido algunas).

Condiciones para Xi:i ≤HR,MRL,LR Xi+1:i+1.

Representaciones en el caso no simétrico (INID o casogeneral).

Resultados de órdenes para mixturas generalizadas.

En Navarro y Rubio (2009) hemos obtenido lasexpresiones y signaturas de los 180 y 16145 sistemascoherentes de 5 y 6 componentes, respectivamente.

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Cuestiones abiertas

Condiciones para Xi:n ≤HR,MRL,LR Xi+1:n.

Condiciones para X1:i ≥HR,MRL,LR X1:i+1 (ya hemosobtenido algunas).

Condiciones para Xi:i ≤HR,MRL,LR Xi+1:i+1.

Representaciones en el caso no simétrico (INID o casogeneral).

Resultados de órdenes para mixturas generalizadas.

En Navarro y Rubio (2009) hemos obtenido lasexpresiones y signaturas de los 180 y 16145 sistemascoherentes de 5 y 6 componentes, respectivamente.

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Cuestiones abiertas

Condiciones para Xi:n ≤HR,MRL,LR Xi+1:n.

Condiciones para X1:i ≥HR,MRL,LR X1:i+1 (ya hemosobtenido algunas).

Condiciones para Xi:i ≤HR,MRL,LR Xi+1:i+1.

Representaciones en el caso no simétrico (INID o casogeneral).

Resultados de órdenes para mixturas generalizadas.

En Navarro y Rubio (2009) hemos obtenido lasexpresiones y signaturas de los 180 y 16145 sistemascoherentes de 5 y 6 componentes, respectivamente.

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Cuestiones abiertas

Condiciones para Xi:n ≤HR,MRL,LR Xi+1:n.

Condiciones para X1:i ≥HR,MRL,LR X1:i+1 (ya hemosobtenido algunas).

Condiciones para Xi:i ≤HR,MRL,LR Xi+1:i+1.

Representaciones en el caso no simétrico (INID o casogeneral).

Resultados de órdenes para mixturas generalizadas.

En Navarro y Rubio (2009) hemos obtenido lasexpresiones y signaturas de los 180 y 16145 sistemascoherentes de 5 y 6 componentes, respectivamente.

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Cuestiones abiertas

Condiciones para Xi:n ≤HR,MRL,LR Xi+1:n.

Condiciones para X1:i ≥HR,MRL,LR X1:i+1 (ya hemosobtenido algunas).

Condiciones para Xi:i ≤HR,MRL,LR Xi+1:i+1.

Representaciones en el caso no simétrico (INID o casogeneral).

Resultados de órdenes para mixturas generalizadas.

En Navarro y Rubio (2009) hemos obtenido lasexpresiones y signaturas de los 180 y 16145 sistemascoherentes de 5 y 6 componentes, respectivamente.

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

ConclusionesCuestiones abiertasAlgunas de nuestras referencias

Cuestiones abiertas

Condiciones para Xi:n ≤HR,MRL,LR Xi+1:n.

Condiciones para X1:i ≥HR,MRL,LR X1:i+1 (ya hemosobtenido algunas).

Condiciones para Xi:i ≤HR,MRL,LR Xi+1:i+1.

Representaciones en el caso no simétrico (INID o casogeneral).

Resultados de órdenes para mixturas generalizadas.

En Navarro y Rubio (2009) hemos obtenido lasexpresiones y signaturas de los 180 y 16145 sistemascoherentes de 5 y 6 componentes, respectivamente.

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Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

ConclusionesCuestiones abiertasAlgunas de nuestras referencias

Algunas de nuestras referencias

Navarro, J. and Shaked, M. (2006). Hazard Rate Orderingof Order Statistics and Systems. J. Appl. Probab. 43,391-408.

Navarro, J. and Rychlik, T. (2007). Reliability andexpectation bounds for coherent systems withexchangeable components. J. Multivariate Anal. 98,102-113.

Navarro, J., Ruiz, J.M. and Sandoval, C.J. (2007).Properties of Coherent Systems with DependentComponents. Comm. Stat.-Theory & Methods 36, 1-17.

Navarro, J., Rychlik, T. and Shaked, M. (2007). Are theOrder Statistics Ordered? A Survey of Recent Results.Comm. Stat.-Theory & Methods 36, 1273-1290.

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

ConclusionesCuestiones abiertasAlgunas de nuestras referencias

Navarro, J. and Hernandez, P.J. (2008). Negative mixtures,order statistics and systems. In: Advances in Mathematicaland Statistical Modelling. Series: Statistics for Industry andTechnology. Arnold, B.C.; Balakrishnan, N.; Sarabia, J.M.;Minguez, R. (Eds.) 2008, Birkhauser.

Navarro, J. and Hernandez, P.J. (2008). Mean residual lifefunctions of finite mixtures and systems, Metrika 277-298.

Navarro, J. (2008). Likelihood ratio ordering of orderstatistics, mixtures and systems, J. Stat. Plann. Inference138 (5), 1242-1257.

Navarro, J., Samaniego, F., Balakrishnan, N. andBhattacharya, D. (2008). On the Application and Extensionof System Signatures in Engineering Reliability, NavalResearch Logistics 55, 313-327.

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Representaciones de sistemas de diferente ordenComparaciones de sistemas de 1-4 componentes

Conclusiones, cuestiones abiertas y referencias

ConclusionesCuestiones abiertasAlgunas de nuestras referencias

Navarro, J., Balakrishnan, N. and Samaniego, F.J. (2008).Mixture representations of residual lifetimes of usedsystems, Journal of Applied Probability 45 (4), 1097-1112.

Navarro, J. and Rubio, R. (2009). Computations ofsignatures of coherent systems with 5 components,Submitted.

Navarro, J., Spizzichino, F. and Balakrishnan, N. (2009).Applications of average and projected systems to the studyof coherent systems, Submitted.

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