axioma marginii superioare . consecinle prof. bucov al6 ......axioma marginii superioare ....
TRANSCRIPT
Axioma marginii superioare . Consecinle Prof. Bucov al6 Zoia Gabriela
Proprietatea lui ArhimedePentru orice numere reale lixatex,y cu x> 0 existi n eN astfel incat nx >y.
Demonstratie:Presupunem prin absurd ca Vn 6 N avem nx < y.Submultimea A : {0 , 2x , 3x , ...}a lui lR ar fi majorata de y si conform axiomei luiCantor ff =supl.
Atunci in intervalul (€ - x,€l exista puncte din A , deci exista p > I natural astfel incat
{ - x < px < € + ( <(p + l)x absurd pentru ca f,=supA si (p+l)x e A .
Corolar: Fie aelR,a>0fixat.Dacapentruorice s>0 rationalavem o4t tatunci a=0.
Demonstratie:Daca a*0 atuncia>0siconformproprietatiiluiArhimede,arexistannaturalnenul
astfelincatna> l.Fie a= t
,conformipotezei rczulta2 n '
1 , .q q- . adica na<l . Conffadictie.2 n '
Teorema de densitate a lui Q in RFiex ry reale cu x<y. Atunci 3aeQ astfel incatx< a<y.
Demonstratie:Cumy-x> 0, dinproprietatealui Arhimede avem caln>l natural astfel incat
n(y-x)> l+x.y- f s i lmeNt ast fe l incatm' l>ny ,adicay<11.n n
r " 'Multimea n = 1 *e N' / y < a I este nevida si fiind o parte a lui N este minorata, deci
t n )SmoeN astfelincatmo =inf B.
E v i d e n t m o - T * B + * o - l . y , m o e B * y s Y Ln n
1 m^ | m" - lx < y - -
n n n n
obtinem *.^o-l < y si evident mo -l
e e
Axioma marginii superioare . Consecinte Prof. Bucov ald, Zoia Gabri e I a
Consecinta : Fie x numar real. Atunci exista doua siruri de numere rationale
(a,)si (b") astfel incat
1 ) a " < x l b n V n e N
2) ao < ar 1 . . .1on. , . s i bo > 4 > . . ,> bn. . .
3)!iyy" = * =I*b,
Demonstratie:Conform teoremei de densitate
1 ao,b,e Q astfel incat x-l 4 on< x < bo< x+ I
n nl l
d e c i 0 < x - q n l ! s i 0 < b " * x < an n
Aplicand din nou teorema de densitate obtinem an+',b,+t e Q astfel incat1 l
max(a,,x- -) 1en+t1x 1bn*rcmin(b,,x+ -) decin + l n + l
6 n l a r + r < x < b n * , < b n
l l0 < x - o , * r < - s i 0 < b o * , - x < - -
n + l n + lAstfel se obtin sirurile din enunt
Principiul lui Cantor sau lema intervalelor inchise incluseFie .Io = /, = Iz>...un sir de intervale nevide, inchise si marginite, din lR oIo=[&o , bnl , n> 0 . Atunci intersectia acestor intervale este nevida .
Demonstratie:conform ipolezei avem inegalitatileoo 3 a, 3 a, 3 . . .3 oo <. . .< bp S. . . 3 4 3 bo
Fie multimile de numere realeA: {ap I p>0}, B = {bcl q>0 }. EvidentA este majorata si B este minorata.
Atunci 1€ =supA si 4=itgCum ao< bo pentru orice p si q naturale , obtinem f < 4Fie /e l€ ,n1*q ,s€<t<r ts6 , vn>0 + te I ,Yn>0 + t . [ - l r " = l€ ,n1 . [^ ] l
n20 n20
Observatie:Daca lungimile intervalelor I,, tind catre zero , atunci0 3€ -rt <t(1") + €=rt = nI" este redusa la un punct .
n>0
Axioma marginii superioare . Consecinle Prof. Bucov ald, Zoia Gabriela
Teorema : Multimea numerelor reale nu este numarabila
Demonstratie:Daca IR ar fi numarabila , am putea scrie lR' = {x,xr,...,x,,...\ cu xn # x-Yn * m
consideram un interval inchis I, =lao,bolcR. astfel incat xo e.Io si /(Io) = 1
Impartind Io in trei parti egale , cel putin unul din subintervale nu va contine Pe xr .
Notam cu Ir acest interval si avem xr 4 I, l(f,) = IJ
Repetand procedeul se obtine un sir descrescator de intervale inchise si marginite (/,),.^
cu proprietatile : xn E I, Yne N si t(1,)=!.vr. N 'J
Rezulta ca intersectia acestor intervale este nevida , decifxelR. astfel incatxeln Vn eN. Darconform constructiei intervalelor x*xn VneN,
contradictie Cu .r € IR = {re,x1, ...,xn,..,}
Lema lui CesaroOrice sir marginit de numere reale contine un subsir convergent
DemonstratieFie (x,),r" un sir marginit de numere reale , atunci toti termenii sirului apartin unui
interval inchis Io = [ao , bo] , ao < bo .
Fie co =b*, atunci cel putin unul din intervalele [ao, co] , [co , bo] contine o
infinitate de termeni ai sirului (xo) , si fie acesta 11 : [a1 , b1]Repetand procedeul obtinem un sir descrescator de intervale inchise si marginite care ,conform principiului lui Cantor , au intersectia nevida .
Obtinem ca 1{. [-l/, .220
Alegem ko < kr< k2 <... astfel incat xo e Io , xk, € It , x, e I, ,-..(acest lucru este
posibil deoarece fiecare interval contine o infinitate de termeni ai sirului)
Cum f eI,Yn>0 =+ l.r.-t! l( l ,)=!n# +limxr.={
Axioma marginii superioare . Consecinte Prof. Bucov al6 Zoia Gabriela
Definitie : Un sir de numere reale se numeste sir Cauchy daca :Vs > 0 ,1n" eN astfel incat lx" -x-l< e Yn,m) n"
Teorema (criteriul general al lui Cauchy)Un sir de numere reale este convergent daca si numai daca el este un sir Cauchy
DemonstratieFie (x,),.^ un sir convergent de numere reale cu x, -> I , afunci
Ve > 0 , 1n, eN asry'l incat lx,-4.I Yn) n,
Daca m, n2n"= lr, -t l. i , l*^l, lq.i, aruncik -
l *^-*,1=lx^-� l+l-x, l<lr , - t l+lx, - / l . ; . i - g ) (r , ) , .^ este sir Cauchy .
Reciproc , fir (r,),.* un sir Cauchy de numere reale .
Vom demonstra ca sirul este marginit .Fie e=1 atunci lNe N astfet incat lx,-", l.IYn,m) N
In particularpentru m:N si n ).1[ avem
lr,l = lr, -x" +xrl s lx, -x"l +lrrl . I +lx"lAsadar termenii sirului , de rang mai mare decat N , sunt cuprinsi in intervalul(-t - lx" l, t * lr, l), rezulta ca sirul este marginit .
Conform lemei lui Cesaro el va contine un subsir convergent , fie acesta/ \(", ),.* cu k, < kt < kz <... , xr, -+ I
Fie a > 0 arbitrar fixat . Atunci existaNr natural , astfel incat lxr- -t1.1 Yn2 N,r " o | 2
Cum (r, ),"* este sir Cauchy, exista N2 natural, astfel incat lx, - r, | . I Vrz, n e N
Fie N" = max(..M,,i/r) si n > ff,. Luam fii = kn si cum
knZn + m)N" + l* , - r , l . i . obt in"t
-
l*, - tl=l*, - *0, + xr. - tlslx, - x o.l + l+, - { . i * i = € Y n 2 N ",adica (x, ),.* este
convergentsi x, -+/
Teorema Weierstrass : Orice sir monoton si marginit de numere reale, esteconvergent.
DemonstratieFie (.r,),.^ un sir monoton crescator si marginit . Atunci exista M:sup{xn} .
Vom arata ca limx, - l,[
Fie e > 0 arbitrar, fixat . Cum M - e un este majorant al sirului, existaun termen al
sirului, x1q depinzandde e, astfel incat x" > M -e . Avem M -e <x* 1 M
Sirul fiind crescator si marginit superior de M + x, 3 x, < M Yn> N
+ M - e l x n S M < M + a Y n ) N + l * " - M l . e Y n > N + x n - + M
Propozitie : Fie I c lR o multime nevida majorata si a = sup A. Atunci a este
limita unui sir de elemente din A
Demonstratie
a fiind cel mai mic majorant al multimii A +Yn€ N*,4-1 nu este majorant al lui An
=1a, e A astfel incat a -). o,< a si prin urmare a = liman
Teorema lui Knaster (de Punct fix)Fie b si c numere reale, b<c si f : [b, cl+[b, c] o functiecrescatoare.
Atunci exista xo efb,cl astfel incat f(x6) = xs .
DemonstratieFie E : {x eft,clt x< f (r)} . Multimea E este nevida deoarece/(f) e [a,c] + b < f (b)
E fiind o multime majorata de numere reale , exista x6: sup E
Avem *o =I*b, cu bn e n c.fb,cl+ .r0 € lt,"l ,prin urmare are sens f(xo) .
Fie xe E=x(xo sicumfestecrescatoare =f ( r )<, f ( t r ) .Dar x eE+r<f (*)
e.r < f (d Yx e E = f (tr) majorant al multimii E + xo < "f(t')
cumf estecrescatoare = f (xo)<f (f (*,))=/(r ') eE= f (n)(ro =supE
Obtinem x, < f (xr) sil(xo) s xo = f @')- x0 .
Axioma marginii superioare . Consecinle Prof. Bucovali Zoia Gabriela
Teorema de existenta a radicalului de ordin nPentru orice numar real a > 0 si orice numar natural tr > 0, exista xo> 0, unic, cuproprietatea x[ = s
DemonstratieDaca a: 0 atunci x0 : 0 . Presupunem a > 0 si vom aplicateorema lui Knaster .
F i e f : [ 0 , a + 1 ] d R , f ( r ) = * * 9 1 -n1a+l\ ' - '
Demonstram ca f este crescatoare
F i e 0 < ) c < y < a + l + x r < ( a + l ) t , y r 3 ( a + 1 ) * v f t e N '
+ xn-t + x"-2 y + .,.+ ry'-' + y"-t -< n(a +l)'-'
= r_x'- ' + x"-2 y +...+ ryn-z + y"-t,
On(a+l) ' - '
f (*)- f (y) = (y - 4- l' -
l-r=, = (, - 4( r-x'-' + x'-' v-+ "'!2"-' + v"-'), on \ 4 + r ) \ n ( 4 + I , )
=+ /(t) < f (y), deci f este crescatoare.
Demonstram ca f (10, a +tl) c [O.a + t]
A v e m / ( 0 ) = , 3 - 2 0 s i f ( a + t ) = a * l * t ; ( t + 3 a + 1 , c u m f e s t en \a+r ) n \a+ t )
crescatoare rezulta f (*\ .[0, a + t] Vr e [0, a + l]
Conform teoremei lui Knaster , 3ro e [O,a+t] astfel incat (xo) = xs , adica
a- x ixo+f t= . ro + a= lc t . ,
n l q + I )
Unioitatea:presupunemcaexistadouanumererealexs>0sixr>0,diferite,astfelincat .rfr =a si xl =a . Jq*xo= xr )ro sau \<xo .
Daca xr < x6 atunci xi < xt + s <a contradictie .
Daca x1> xo atunci xi > xi * a> a contradictie