8/19/2019 Axiomele Lui Peano

http://slidepdf.com/reader/full/axiomele-lui-peano 1/3

Axiomele lui Peano:

 Numim triplet Peano un triplet unde N este o mulţime nevidă, iar este o funcţie astfel încât sunt verificate axiomele:

: s este o funcţie injectivă

: dacă este o submulţime astfel încât şi ( ), atunci

Lemă. acă este un triplet !eano, atunci

 Demonstraţie. acă notăm atunci şi cum P verificădeducem că QED.

Teoremă. "ie  un triplet !eano iar un alt triplet format dintr#o mulţime

nevidă un element şi o funcţie $tunci:

(i) %xistă o unică funcţie astfel încât iar dia&rama

este comutativă (adică )

(ii) acă este un triplet !eano, atunci f  este bijecţie.

 Demonstraţie (i) !entru a proba existenţa lui f , vom considera toate relaţiilea.î.:

8/19/2019 Axiomele Lui Peano

http://slidepdf.com/reader/full/axiomele-lui-peano 2/3

  acă atunci iar prin vom nota intersecţiaacestor relaţii.

'om demonstra că este o relaţie funcţională şi astfel f  va fi funcţia ce va avea drept &rafic

 pe (astfel din vom deduce că f() * iar dacă şideci adică

)

!entru a demonstra că este o relaţie funcţională, vom demonstra că pentru orice

există a.î. iar dacă pentru şi avem

şi atunci

!entru prima parte, fie:

există a.î.

+um deducem că "ie acum şi a.î.

in definiţia lui deducem că obţinem că

şi cum este triplet !eano, deducem că

!entru a doua parte, fie:

dacă şi

şi să demonstrăm la început că

n acest sens, vom demonstra că dacă atunci acă prin absurd,

atunci vom considera relaţia in

deducem că iar dacă pentru avem atunci

şi .

$stfel şi cum (căci conform

cu ), deducem că +um verifică şi , ar trebui ca #absurd (căci este inclusă strict în )

!entru a proba că fie a.î. $tunci, ţinând cont

de cele stabilite mai sus, deducem că , deci

8/19/2019 Axiomele Lui Peano

http://slidepdf.com/reader/full/axiomele-lui-peano 3/3

"ie acum şi a.î. vom demonstra că dacă

atunci -ă presupunem prin absurd că şi să considerăm relaţia

'om demonstra că verifică şi

ntr#adevăr, (căci ) iar dacă atunci şi

educem că şi dacă presupunem

atunci deci e asemenea, $tunci şi

iar cum deci ceea ce

contraice faptul că !rin urmare, ceea ce arată

că adică satisface şi in nou ar trebui ca # absurd/.

eci astfel că dacă şi

atunci adică deci

!entru a proba unicitatea lui f , să presupunem că mai există a.î. şi

 pentru orice

+onsiderând atunci iar dacă

(adică ), atunci

şi atunci

adică