ayrik yapilar - fırat Üniversitesi · mesela, okulunuzdaki matematik öğrencilerikümesi ve...

AYRIK YAPILAR

P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d . D o ç . D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u ’ n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i « A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a m a l a r ı » i s i m l i k i t a p t a n h a z ı r l a n m ı ş t ı r.

ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

2. BÖLÜM: Temel Yapılar: Kümeler, Fonksiyonlar, Diziler, Toplamlar ve Matrisler2.2. Küme İşlemleriGiriş

İki küme birçok farklı şekilde birleştirilebilir. Mesela, okulunuzdaki matematik öğrencileri kümesive okulunuzdaki bilgisayar bilimleri öğrencileri kümesi ile başlayarak, matematik veya bilgisayarbilimleri öğrencileri kümesi, matematik ve bilgisayar bilimlerinde çift anadal yapan öğrencilerkümesi, matematik bölümünde olmayan öğrenciler kümesi vb. gibi kümeler oluşturulabilir.


2.2. Küme İşlemleriGirişTANIM 1: A ve B kümeler olsun. A ve B kümelerinin birleşimi, AB olarak gösterilir ve ya Akümesinde ya da B kümesinde olan, veya her iki kümede de olan elemanlardan oluşur.

Bir x elemanı ancak ve ancak x, A’ya veya B’ye ait olduğunda A ve B kümelerinin birleşimininelemanıdır. Yani,

AB = {x|xϵA ˅ xϵB}

ÖRNEK: {1,3,5} ve {1,2,3} kümelerinin birleşimi {1,2,3,5} olur; yani, {1,3,5} {1,2,3} = {1,2,3,5}

ÖRNEK: Okulunuzdaki bilgisayar mühendisliği öğrencileri kümesi ile okulunuzdaki matematikbölümü öğrencileri kümelerinin birleşimi, okulunuzdaki öğrencilerden bilgisayar mühendisliğindeolanları veya matematik bölümünde olanları (veya her ikisinde birden olanları) içerir.


2.2. Küme İşlemleriGirişTANIM 2: A ve B kümeler olsun. A ve B kümelerinin kesişimi AB olarak gösterilir ve A ve Bkümelerinin her ikisinde birden olan elemanları içerir.

Bir x elemanı ancak ve ancak x hem A’nın elemanı hem de B’nin elemanı ise A ve B kümelerininkesişiminin elemanıdır. Bu

AB={x|xϵA^xϵB} demektir.


A ve B birleşimini gösteren Venn Şeması A ve B kesişimini gösteren Venn Şeması

2.2. Küme İşlemleriGirişTANIM 3: İki kümenin kesişimi boş küme ise bu iki küme ayrık kümedir.

ÖRNEK: A={1,3,5,7,9} ve B={2,4,6,8,10} olsun. AB=Ø olduğundan, A ve B ayrık kümelerdir.

TANIM 4: A ve B kümeler olsun. A fark B kümesi, A-B olarak gösterilir, A’nın içinde olup da B’niniçinde olmayan elemanlardan oluşan kümedir. A fark B aynı zamanda B’nin A’ya göre tümleyeniolarak adlandırılır.

ÖRNEK: {1,3,5} ve {1,2,3} kümelerinin fark kümesi {5}’tir; yani, {1,3,5}-{1,2,3}={5}. Bu sonuç,{1,2,3} ve {1,3,5} kümelerinin fark kümesi olan {2}’den farklıdır.


2.2. Küme İşlemleriGirişNOT: A ve B kümelerinin farkları A\B olarak da gösterilir.

Bir x elemanı ancak ve ancak xϵA ve xB ise A fark B kümesinin elemanıdır. Bunun anlamı:

A-B={x|xϵA^xB}


A-B taralı alana karşılık gelmektedir. Ā taralı alana karşılık gelmektedir.

2.2. Küme İşlemleriGirişTANIM 5: U evrensel küme olsun. Bir A kümesinin tümleyeni, Ā olarak gösterilir, A’nın U’ya göretümleyenidir. Dolayısıyla, A kümesinin tümleyeni U-A’dır.

Bir eleman ancak ve ancak xA ise, Ā’nin elemanıdır. Diğer bir ifadeyle:

Ā={xϵU| xA}.

ÖRNEK: A={a,e,i,o,u} (evrensel küme İngiliz alfabesindeki harfler olsun). O halde,

A={b,c,d,f,g,h,j,k,l,m,n,p,q,r,s,t,v,w,x,y,z}.

ÖRNEK: A 10’dan büyük pozitif tamsayılar kümesi olsun (evrensel küme tüm pozitiftamsayılardan oluşuyor). O halde, Ā={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.

A ve B’nin farkını, A ve B’nin tümleyeninin kesişimi olarak gösterebiliriz. Yani A-B=AB’



Küme Özdeşlikleri

Küme Özdeşlikleri

Dağılma Özelliği için bir üyelik tablosu


Genelleştirilmiş Birleşimler ve KesişimlerKümelerin birleşimleri ve kesişimleri birleşme kanunlarını sağladıkları için, ABC kümesi ABC kümesi iyi tanımlanmış kümelerdir. Diğer bir deyişle, A, B ve C kümeler olduğu durumdanotasyonda bir belirsizlik bulunmamaktadır. Yani, hangi işlemin daha önce yapılacağını belirtmekiçin parantez kullanmaya gerek yoktur. Çünkü A(BC) = (AB)C ve A(BC) = (AB)C’dir.


(a) ABC taralı alana karşılık gelmektedir. (b) ABC taralı alana karşılık gelmektedir.

Genelleştirilmiş Birleşimler ve KesişimlerÖRNEK: A={0,2,4,6,8}, B={0,1,2,3,4}, ve C={0,3,6,9} kümeleri olsun. ABC ve ABC kümelerinelerdir?

ÇÖZÜM: ABC kümesi A, B ve C kümelerinden en az bir tanesinde bulunan elemanları içerir.Dolayısıyla,

ABC={0,1,2,3,4,6,8,9}.

ABC kümesi, A, B ve C kümelerinin üçünde birden bulunan elemanları içerir. Dolayısıyla,

ABC={0}.


Genelleştirilmiş Birleşimler ve KesişimlerTANIM 6: Bir kümeler topluluğunun birleşim kümesi, koleksiyondaki kümelerden en az birtanesinin elemanı olan unsurları içerir.

A1, A2, ... , An kümelerinin birleşimini göstermek için şu gösterimi kullanırız:

TANIM 7: Bir kümeler koleksiyonunun kesişim kümesi, topluluktaki kümelerden hepsinin birdenelemanı olan unsurları içerir.


ALIŞTIRMALAR1. Okulun bir kilometre uzaklığı çevresinde oturan öğrencilerin kümesi A ve okula yürüyerek gelen öğrencilerin kümesi B olsun. Aşağıdaki kümelerin içindeki öğrencileri tarif ediniz.

A. AB

B. AB

C. A-B

D. B-A


ALIŞTIRMALAR1. Okulun bir kilometre uzaklığı çevresinde oturan öğrencilerin kümesi A ve okula yürüyerek gelen öğrencilerin kümesi B olsun. Aşağıdaki kümelerin içindeki öğrencileri tarif ediniz.

A. AB Okulun bir kilometre çevresinde yaşayan ve okula yürüyerek gelen öğrencilerin kümesi

B. AB Okulun bir kilometre çevresinde yaşayan veya okula yürüyerek gelen öğrencilerin kümesi (ya da ikisini de yapan)

C. A-B Okulun bir kilometre çevresinde yaşayan ve okula yürüyerek gelmeyen öğrencilerin kümesi

D. B-A Okula yürüyerek gelen öğrencilerin kümesi fakat okuldan bir kilometreden uzakta yaşayan öğrencilerin kümesi


ALIŞTIRMALAR2. A={1,2,3,4,5} ve B={0,3,6} olsun. Aşağıdakileri bulunuz:

A. AB

B. AB

C. A-B

D. B-A


ALIŞTIRMALAR2. A={1,2,3,4,5} ve B={0,3,6} olsun. Aşağıdakileri bulunuz:

A. AB {0,1,2,3,4,5,6}

B. AB {3}

C. A-B {1,2,4,5}

D. B-A {0,6}


ALIŞTIRMALAR3. A={0,2,4,6,8,10}, B={0,1,2,3,4,5,6} ve C={4,5,6,7,8,9,10} olsun. Aşağıdakileri bulunuz:

A. ABC

B. ABC

C. (AB)C

D. (AB)C


ALIŞTIRMALAR3. A={0,2,4,6,8,10}, B={0,1,2,3,4,5,6} ve C={4,5,6,7,8,9,10} olsun. Aşağıdakileri bulunuz:

A. ABC {4,6}

B. ABC {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

C. (AB)C {4,5,6,8,10}

D. (AB)C {0,2,4,5,6,7,8,9,10}


ALIŞTIRMALAR4. Aşağıdaki eşitlikleri biliyorsak A ve B kümeleri hakkında ne söyleyebilirsiniz?

A. AB = A?

B. AB = A?

C. A-B = A?

D. AB = BA?

E. A-B = B-A?


ALIŞTIRMALAR4. Aşağıdaki eşitlikleri biliyorsak A ve B kümeleri hakkında ne söyleyebilirsiniz?

A. AB = A? BA

B. AB = A? AB

C. A-B = A? AB=Ø

D. AB = BA? Hiçbir şey, çünkü her zaman doğru

E. A-B = B-A? A=B


ALIŞTIRMALAR5. A sonsuz bir küme ve B herhangi bir küme ise AB’nin de sonsuz bir küme olduğunu gösteriniz.


ALIŞTIRMALAR5. A sonsuz bir küme ve B herhangi bir küme ise AB’nin de sonsuz bir küme olduğunu gösteriniz.

Eğer AB kümesi sonlu olsaydı n tane doğal sayı için n elemanı olurdu. Fakat A’nın eleman sayısı n’den fazladır ve eleman sayısı sonsuzdur. Bu nedenle AB’nin eleman sayısı da n’den fazladır. Bu çelişkiden AB’nin eleman sayısı da sonsuz olmalıdır.


ayrik yapilar - fırat Üniversitesi · mesela, okulunuzdaki matematik öğrencilerikümesi ve...

Documents