BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------

Họ và tên: Vũ Thị Kim Liên

TÊN ĐỀ TÀI: HIỆN TƢỢNG NGƢNG TỤ BOSE - EINSTEIN CỦA

KHÍ NGUYÊN TỬ TRONG CÁC BẪY

LUẬN VĂN THẠC SĨ: VẬT LÝ

Hà Nội 04- 2019

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------

Họ và tên: Vũ Thị Kim Liên

TÊN ĐỀ TÀI:HIỆN TƢỢNG NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN CỦA

KHÍ NGUYÊN TỬ TRONG CÁC BẪY

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 8440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ : VẬT LÝ

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC : GS. TS NGUYỄN TOÀN THẮNG

Hà Nội 04- 2019

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi và sự hƣớng dẫn

của giáo viên hƣớng dẫn. Luận văn không có sự sao chép tài liệu, công trình

nghiên cứu của ngƣời khác mà không chỉ rõ trong mục tài liệu tham khảo.

Những kết quả và các số liệu trong khóa luận chƣa đƣợc ai công bố dƣới bất

kỳ hình thức nào. Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trƣớc nhà trƣờng về sự cam

đoan này.

Hà Nội, 04- 2019

Học viên

Vũ Thị Kim Liên

Lời cảm ơn

Trong quá trình học tập và làm việc tại Viện Vật lý, dƣới sự hƣớng dẫn

của GS. TS. Nguyễn Toàn Thắng, tôi đã học hỏi đƣợc rất nhiều kiến thức Vật

lý, Toán học. Để hoàn thành đƣợc Luận văn Thạc sĩ này và để có thể trở

thành một ngƣời có khả năng độc lập nghiên cứu Khoa học, tôi xin gửi đến

ngƣời thầy hƣớng dẫn trực tiếp của tôi lời cảm ơn sâu sắc nhất với tất cả tình

cảm yêu quý cũng nhƣ lòng kính trọng của mình. Một lần nữa tôi xin cảm ơn

các thầy và GS. TS. Nguyễn Toàn Thắng đã giúp đỡ tôi hoàn thành nội dung

chính của luận văn Thạc Sĩ.

Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Vật lý đã tạo điều kiện thuận lợi cho

tôi học tập và nghiên cứu tại Viện, phòng sau đại học đã hỗ trợ tôi hoàn thành

các thủ tục bảo vệ luận văn.

Cuối cùng, tôi xin đƣợc dành tất cả những thành quả trong học tập của

mình dâng tặng những ngƣời thân trong gia đình mà hằng ngày dõi theo từng

bƣớc chân tôi.

Hà Nội, 04- 2019

Học viên

Vũ Thị Kim Liên

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

Hình 1.1: Sơ đồ thí nghiệm điển hình nghiên cứu hiệu ứng BEC……………3

Hình 1.2: Thang nhiệt độ………………………………………………….......6

Hình 1.3: Làm lạnh bằng bốc hơi……………………………………………17

Hình 2.1: Hình tứ diện chứa các điểm có năng lƣợng nhỏ hơn …….……. .28

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1

1. Lí do chọn đề tài. ........................................................................................... 1

2.Đối tƣợng nghiên cứu. .................................................................................... 2

3.Mục đích và phƣơng pháp nghiên cứu của đề tài. ......................................... 2

4. Cấu trúc luận văn ......................................................................................... 2

CHƢƠNG 1: BẪY VÀ LÀM LẠNH CÁC NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA. 3

1.1.SƠ ĐỒ ĐIỂN HÌNH CỦA THÍ NGHIỆM VỀ BẪY VÀ LÀM LẠNH KHÍ

NGUYÊN TỬ KIM LOẠI KIỀM. ..................................................................... 3

1.2.NHIỆT ĐỘ VÀ NHIỆT ĐỘNG HỌC TRONG LÀM LẠNH BẰNG

LASER[6, 7] ...................................................................................................... 4

1.3.BẪY TỪ[6] ................................................................................................. 6

1.4. BẪY QUANG HỌC [8] .............................................................................. 9

1.5. MẠNG QUANG HỌC [8, 9, 10] .............................................................. 15

1.6. LÀM LẠNH BẰNG LASER VÀ LÀM LẠNH BẰNGBỐC HƠI. .......... 16

CHƢƠNG 2: NGƢNG TỤ BOSE- EINSTEIN TRONG CÁC BẪY. ...... 18

2.1.MỘT SỐ ĐẶC ĐIỂM KHI NGHIÊN CỨU BEC TRONG CÁC BẪY. ... 18

2.2.NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN TRONG HỆ BOSON LÝ TƢỞNG. ...... 21

2.3.NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN CỦA NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA

KHÔNG TƢƠNG TÁC TRONG BẪY DẠNG THẾ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU

HÒA. [12, 13, 15, 16] ...................................................................................... 25

2.4. BEC TRONG CÁC BẪY THẤP CHIỀU. [19] ........................................ 29

2.5. GẦN ĐÚNG BÁN CỔ ĐIỂN THOMAS- FERMI. [12, 13] .................... 31

CHƢƠNG 3: NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN CỦA CÁC NGUYÊN TỬ

TRONG MẠNG QUANG HỌC. ................................................................. 36

3.1.MÔ HÌNH BOSE – HUBBARD. .............................................................. 36

3.2.DỊCH CHUYỂN BOGOLIUBOV [12, 13, 18,19] .................................... 37

3.3.GẦN ĐÚNG BOGOLIUBOV. ................................................................. 39

KẾT LUẬN .................................................................................................... 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO. ........................................................................... 46

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài.

Việc phát hiện ra hiện tƣợng ngƣng tụ Bose-Einstein (BEC) trong khí

loãng các nguyên tử siêu lạnh vào năm 1995 của các nhà khoa học E.A.

Corvell, C.E.Wieman, W.Keterle (giải thƣởng Nobel về vật lý năm 2001)[1,

2] đã mở ra một kỉ nguyên mới trong vật lý hệ nhiều hạt, trong vật lý quang

học, nguyên tử và phân tử. Tuy hiệu ứng BEC đã đƣợc S. Bose và A. Einstein

tiên đoán bằng lý thuyết từ năm 1924 [3, 4, 5]. Nhƣng phải sau hơn 70 năm

điều này mới đƣợc khẳng định bằng thực nghiệm. Nguyên nhân cơ bản là

phải làm sao đạt đƣợc nhiệt độ siêu thấp ( cỡ nK ) cho các hệ nguyên tử trung

hòa. Chỉ sau khi các kĩ thuật bẫy các nguyên tử bằng các chùm laser hoặc

bằng từ trƣờng đƣợc hoàn thiện, cũng nhƣ khi các kĩ thuật làm lạnh nhƣ làm

lạnh bằng chùm laser, làm lạnh bằng bốc hơi nhiều bƣớc tập hợp các nguyên

tử đƣợc phát hiện [6, 7, 8] thì điều kiện cần thiết để xảy ra BEC mới đƣợc bảo

đảm và hiệu ứng BEC mới đƣợc phát hiện bằng thực nghiệm. Hơn thế nữa,

các nhà khoa học đã tạo nên các mạng quang học, đồng thời nghiên cứu BEC

và các hiện tƣợng vật lý thú vị khác xảy ra trên mạng quang học [9, 10, 11].

Về mặt lý thuyết những tính toán đầu tiên về BEC áp dụng cho hệ boson lý

tƣởng đƣợc thực hiện từ lâu và đƣợc trình bày trong các giáo trình và tài liệu

tổng quan, hoặc các cuốn sách chuyên khảo [3, 5, 12, 13]. Đó là các kết quả

giải tích, cho chúng ta sự phụ thuộc tƣờng minh của nhiệt độ chuyển pha vào

nồng độ và khối lƣợng nguyên tử, cũng nhƣ mối liên hệ của số hạt trong

ngƣng tụ, các đại lƣợng nhiệt động học phụ thuộc nhiệt độ. Khi chú ý đến

tƣơng tác giữa các hạt thì không thể nhận đƣợc các kết quả giải tích chính xác

trong trƣờng hợp tổng quát mà phải dùng các gần đúng khác nhau [12, 13,

14]. Khi nguyên tử ở trong bẫy thì vấn đề lại phức tạp hơn vì sự có mặt của

thế năng giam cầm các nguyên tử [15], vì vậy cũng có nhiều cách tiếp cận

khác nhau về mặt lý thuyết hiệu ứng BEC trong các bẫy [16, 17].

Với mong muốn tìm hiểu, cập nhập một số vấn đề trong hƣớng nghiên

cứu rất thú vị và thời sự này, tôi chọn đề tài của luận văn cao học là: “ Hiện

tượng ngưng tụ Bose –Einstein của khí nguyên tử trong các bẫy. ”

2

2.Đối tƣợng nghiên cứu.

Đối tƣợng tìm hiểu trong luận văn này là hiệu ứng BEC trong các bẫy,

cụ thể là tìm hiểu về nguyên lý hoạt động của hai loại bẫy thông dụng nhất:

bẫy từ và bẫy quang cũng nhƣ hai cơ chế làm lạnh:bằng chùm laser và bằng

bốc hơi.

3.Mục đích và phƣơng pháp nghiên cứu của đề tài.

Mục đích của luận văn là tổng quan một số vấn đề về lý thuyết BEC hệ

nguyên tử trung hòa siêu lạnh trong các bẫy.

Phƣơng pháp nghiên cứu là tìm, đọc tài liệu, sử dụng kiến thức đƣợc các

thầy trang bị, cụ thể là phƣơng pháp lý thuyếttrƣờng lƣợng tử để thu lại một

số kết quả của các tác giả khác đã công bố.

4. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu,kết luận và tài liệu tham khảo,cấu trúc luận văn

nhƣ sau:

Chƣơng 1:Bẫy và làm lạnh các nguyên tử trung hòa.

Chƣơng 2: Ngƣng tụ Bose -Einstein trong các bẫy.

Chƣơng 3: Ngƣng tụ Bose -Einstein của các nguyên tử trong mạng quang học.

3

CHƢƠNG 1: BẪY VÀ LÀM LẠNH CÁC NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA.

Sự phát triển của công nghệ laser mở ra một giai đoạn mới với những

phƣơng pháp rất hiệu quả và tiên tiến để tạo ra và điều khiển các nguyên tử

siêu lạnh. Một trong những kết quả rực rỡ của hƣớng phát triển này là sự phát

hiện hiện tƣợng ngƣng tụ Bose-Einstein (BEC – Bose Einstein Condensation)

trong khí nguyên tử loãng [3, 4, 5] và chuyển pha siêu chảy- điện môi Mott

[11]. Trong chƣơng này chúng ta sẽ tìm hiểu những nguyên lý chung về bẫy

và làm lạnh các nguyên tử trung hòa.

1.1.SƠ ĐỒ ĐIỂN HÌNH CỦA THÍ NGHIỆM VỀ BẪY VÀ LÀM LẠNH

KHÍ NGUYÊN TỬ KIM LOẠI KIỀM.

Sơ đồ thí nghiệm điển hình nghiên cứu hiệu ứng BEC đƣợc cho trên hình 1.1:

Hình 1.1: Sơ đồ thí nghiệm điển hình nghiên cứu hiệu ứng BEC [13]

Đầu tiên ở trong lò tạo nhiệt độ 600K để một chùm nguyên tử kim loại

kiềm bắn ra với vận tốc quãng 800 m/s. Sau đó chùm khí nguyên tử đi vào

buồng làm chậm Zeeman để vận tốc giảm xuống còn 30m/s tƣơng ứng với

nhiệt độ 1K(trong phần 1.2 ta sẽ nói kĩ về khái niệm nhiệt độ trong khí loãng).

Vận tốc của nguyên tử giảm là do trong buồng Zeeman ngƣời ta chiếu một

chùm laser ngƣợc với hƣớng của chùm nguyên tử. Lực bức xạ do sự hấp thụ

photon sẽ làm chậm lại chuyển động của nguyên tử. Sự hấp thụ photon chỉ

xảy ra khi tần số sóng laser trùng với tần số sóng chuyển mức trong nguyên

tử. Tuy nhiên, do hiệu ứng Doppler nên tần số chuyển mức này sẽ phụ thuộc

vào vận tốc của nguyên tử mà vận tốc này thay đổi nên tần số cũng thay đổi.

Để duy trì tần số chuyển mức không đổi ngƣời ta áp dụng từ trƣờng không

đồng nhất để hiệu ứng Zeeman sẽ bù trừ hiệu ứng Doppler. Sau đó, từ buồng

4

làm chậm Zeeman thì nguyên tử đƣợc đƣa vào bẫy từ quang (MOT) để làm

lạnh tiếp tới 100µK do tƣơng tác với ánh sáng laser. Sau khi một số lớn

nguyên tử bị bẫy vào MOT ( ) ngƣời ta tắt chùm laser và chỉ

dùng từ trƣờng để bẫy. Cuối cùng ngƣời ta tiếp tục làm lạnh tới nK bằng cách

cho khí nguyên tử bốc hơi để nghiên cứu hiệu ứng BEC. Nhƣ vậy về cơ bản

sẽ có hai dạng bẫy:bẫy bằng từ trƣờng và bẫy quang học và hai kĩ thuật làm

lạnh:làm lạnh bằng laser và làm lạnh bằng bốc hơi.

1.2.NHIỆT ĐỘ VÀ NHIỆT ĐỘNG HỌC TRONG LÀM LẠNH BẰNG

LASER[6, 7]

Trong nhiệt động học, khái niệm nhiệt độ đƣợc định nghĩa nhƣ là một tham số

của một hệ kín cân bằng nhiệt với môi trƣờng. Điều này mặc định là có một

tiếp xúc nhiệt để thực hiện trao đổi nhiệt. Khi bị bẫy và làm lạnh bằng laser

thì hệ nguyên tử thƣờng xuyên hấp thụ và tán xạ ánh sáng và về cơ bản không

có trao đổi nhiệt (ánh sáng không đƣợc coi là nhiệt, cho dù nó có năng lƣợng).

Nhƣ vậy hệ nguyên tử trong bẫy có thể coi là trạng thái dừng (steady state)

nhƣng không phải là ở trạng thái cân bằng nhiệt.

Thông thƣờng, ngƣời ta liên hệ giữa nhiệt độ và động năng trung bình

, thí dụ cho chuyển động một chiều;

(1.1)

Tuy nhiên cần rất cẩn thận trong khi áp dụng công thức trên vì trong hệ

nguyên tử trong trƣờng laser có nhiều cấp độ năng lƣợng với hàm phân bố

năng lƣợng khác hẳn nhau nhƣng có thể cho cùng một giá trị trung bình (3.1).

Vì vậy khái niệm nhiệt độ ở đây xác định cho từng cấp độ năng lƣợng. Cấp độ

năng lƣợng cao nhất là gắn với năng lƣợng dịch chuyển Doppler.

Nếu độ rộng vạch tự nhiên của nguyên tử là . Khối lƣợng của nguyên tử là

M thì năng lƣợng gắn với hiệu ứng Doppler [6]

5

(1.2)

Với k là số bƣớc sóng photon . Độ lớn của nhiệt độ này cỡ vài mK.

Cấp độ tiếp theo của nhiệt độ liên quan tới năng lƣợng gắn với độ rộng vạch

Tức là:

(1.3)

độ lớn quãng và đƣợc coi là giới hạn thấp nhất của quá trình làm lạnh

laser và còn đƣợc gọi là giới hạn Doppler .

Cấp độ thứ ba là gắn với năng lƣợng do “giật” (recoil) tức là năng lƣợng

nguyên tử nhận đƣợc từ mỗi photon do photon va chạm với nguyên tử và bị

“giật lại”:

,

năng lƣợng này cỡ một vài µK.

Bài toán đặt ra cho công nghệ làm lạnh là phải làm sao vƣợt qua các giới hạn

này và ta không đi sâu vào các phƣơngpháp cụ thể. Trong hình 1.2 là một

thang nhiệt độ tƣơng ứng với các kĩ thuật làm lạnh:

6

k

mk

µK

nk

3

300

30

3

300

30

3

300

30

3

300

30

3

Bề mặt mặt trời

Phòng TN

Va chạm

He lỏng

Lạnh quang học

Giới hạn Doppler

Giới hạn giật

Quá trình

Độ rộng vùng

Va chạm

Bức xạ

Làm lạnh bằng laser

Làm lạnh bằng bốc hơi

Hình 1.2:Thang nhiệt độ

1.3.BẪY TỪ[6]

Bẫy từ dựa trên hiệu ứng Zeman do tƣơng tác giữa từ trƣờng ngoài với

momen từ của nguyên tử đƣợc hợp thành từ tổng các spin của electron

trong nguyên tử momen quỹ đạo toàn phần của các electron và I là spin của

hạt nhân. Hamiltonian Zeeman có dạng:

7

=

( ,

(1.5)

trong đó là các thông số Lander .

Tƣơng tác giữa các spin của electron với từ trƣờng hiệu dụng của hạt nhân

dẫn tới số hạng tƣơng tác spin-quỹ đạo để tạo thành momen góc toàn phần

. Lúc đó là một số lƣợng tử tốt của hệ điện tử trong nguyên tử nên

(1.5) viết thành :

=

( ,

(1.6)

trong đó biểu diễn tƣờng minhqua . Ngoài ra do tƣơng tác của spin

hạt nhân với từ trƣờng hiệu dụng của electron nên còn thêm số hạng siêu tinh

tế tỉ lệ . Vì vậy Hamitonian tƣơng tác của nguyên tử đặt trong từ trƣờng sẽ

là:

H = A.

( .

(1.7)

Trong đó A là hằng số cấu trúc siêu tinh tế của hạt nhân, thí dụ cho nguyên tử 87

Rb dùng trong các thí nghiêm BEC:A = h. 3, 417 GHz. Để tính năng lƣợng

của nguyên tử trong từ trƣờng ta vẫn giải phƣơng trình Schordinger với

Hamitonie (3.7). Ta phân ra hai trƣờng hợp:

a) Từ trƣờng nhỏ:Là khi mức tách do từ trƣờng nhỏ hơn so với do

tƣơng tác siêu tinh tế. Khi đó, liên kết là mạnh hơn với từ

8

trƣờng và ta có với độ lớn của và hình chiếu là các

số lƣợng tử tốt. Năng lƣợng lúc đó có dạng (giả thiết // oz ):

=

A[F(F + 1) – I(I + 1) – J(J + 1)] + .

(1.8)

b)Từ trƣờng cao:ở giới hạn ngƣợc lại thì và liên kết mạnh hơn với từ

trƣờng so với giữa chúng với nhau. Vì vậy, các số lƣợng tử sẽ là và . Ta

có:

= A + .

(1.9)

Trong trƣờng hợp từ trƣờng trung gian ta phải chéo hóa (1.7) và không có các

công thức giải tích tổng quát.

Trong các thí nghiệm BEC thƣờng là giới hạn từ trƣờng nhỏ. Để tạo lực từ tác

dụng lên nguyên tử để bẫy nguyên tử ngƣời ta dùng từ trƣờng phụ thuộc tọa

độ. Lúc đó thế năng tƣơng tác với từ trƣờng phụ thuộc tọa độ:

= .

(1.10)

Từ lực tác dụng lên nguyên tử sẽ là:

.

(1.11)

9

Từ (1.10) suy ra khi > 0 thì nguyên tử bị bẫy vào nơi từ trƣờng thấp

(low –field seeking states). Cho87

Rb ở trạng thái cơ bản =

và =

nên từ trƣờng bẫy đƣợc các nguyên tử ở trạng thái với:| ⟩= | ⟩;

| ⟩ | ⟩ Sau khi nguyên tử bị bẫy thì ngƣời ta có thể làm lạnh bằng cách

sử dụng sóng điện từ để đƣợc các nguyên tử năng lƣợng cao sang các trạng

thái không bị bắt giữ.

Bẫy từ thì có ba ƣu điểm chính. Một là, có thể là một bẫy sâu(thành bẫy cao)

cỡ 100µK do sử dụng từ trƣờng cao(nhƣng vẫn thỏa mãn là nhỏ so với tƣơng

tác siêu tinh tế). Hai là, thời gian sống của bẫy lớn (vì tác nhân bẫy là từ

trƣờng giữ không đổi theo thời gian, nên thời gian sống chỉ phụ thuộc vào va

chạm nội tại trong khí nguyên tử). Ba là, do bẫy sâu nên có thể làm lạnh tiếp

bằng bốc hơi một cách chọn lọc với các trạng thái với F và khác nhau.

1.4. BẪY QUANG HỌC [8]

Bẫy quang học dựa vào tƣơng tác lƣỡng cực điện của nguyên tử với

điện trƣờng của sóng điện từ.Ởtrạng thái cơ bản, nguyên tử kim loại kiềm có

đối xứng cầu và momen lƣỡng cực điện bằng không. Khi đặt trong trƣờng

laser, do điện trƣờng của chùm laser mà xuất hiện lƣỡng cực điện cảm ứng.

Lƣỡng cực điện cảm ứng này lại tác dụng với trƣờng điện từ của laser. Giả sử

nguyên tử đặt trong trƣờng laser với điện trƣờng là:

Điện trƣờng (1.12) do cảm ứng sẽ gây ra momen lƣỡng cực điện của nguyên

tử:

. (1.13)

( )= .

(1.12)

10

Trong đó là vectơ đơn vị. Biên độ momen lƣỡng cực từ liên hệ với biên độ

điện trƣờng qua hàm phân cực phức , phụ thuộc tần số góc của điện

trƣờng:

.

(1.14)

Thế năng tƣơng tác của điện trƣờng với lƣỡng cực điện cảm ứng khi điện

trƣờng tăng từ 0 tới E là:

= ∫

.

Vì p và E dao động rất nhanh theo thời gian nên ta lấy trung bình theo thời

gian ⟨ ⟩=

∫

trong đó T là chu kì dao động sóng laser. Thế năng tƣơng

tác của lƣỡng cực điện cảm ứng với trƣờng laser là:

⟨ ⟩

Re(

(1.15)

Trong đó là hằng số điện môi chân không, c là vận tốc ánh sáng còn I là

cƣờng độ của trƣờng điện từ I = 2 | |

.

Cƣờng độ trƣờng laser I phụ thuộc vào tọa độ thông qua nên sẽ tạo

nên một lực thế đƣợc gọi là lực lƣỡng cực tác dụng lên nguyên tử:

Re( .

(1.16)

11

Chính lực thế này là lực bẫy nguyên tử, là tác nhân tích cực cho mục đích bẫy

nguyên tử trung hòa. Tuy nhiên trƣờng laser có gây lên một tác động tiêu cực

với quá trình bẫy nguyên tử, đó là sự tán xạ của các photon lên nguyên tử mà

thực chất là quá trình nguyên tử hấp thụ photon và sau đó tái bức xạ tự phát.

Bức xạ tự phát với bản chất là ngẫu nhiên (random) làm cho các nguyên tử

nóng lên và một số bay ra khỏi bẫy. Công suất hấp thụ tính bằng công thức:

= ⟨ ⟩ ( )

Im( .

(1.17)

Chùm laser là chùm các photon với năng lƣợng mỗi photon là ħ nên tốc độ

tán xạ là:

Im( .

(1.18)

Để bẫy hoạt động tốt ta cần thế bắt nguyên tử lớn nhƣng tốc độ tán xạ lại cần

nhỏ. Muốn vậy cần so sánh (1.15) với (3.18). Nhƣ vậy ta cần tính hàm phân

cực . Cách đơn giản nhất là dùng mô hình Lorentz cho dao động tử cổ điển.

Ta hình dung nguyên tử khi chƣa có trƣờng ngoài nhƣ quả cầu, xung quanh là

đám mây electron, ở tâm là hạt nhân. Khi có trƣờng ngoài, do cảm ứng tâm

hạt nhân và tâm khối của đám mây không trùng nhau và tạo thành lƣỡng cực

điện, đƣợc hình dung nhƣ một dao động tử điều hòa, trong đó khối tâm đám

mây electron dao động xung quanh hạt nhân với tần số riêng và hệ số tắt

dần (Vì khối lƣợng hạt nhân lớn hơn nhiều khối lƣợng đám mây điện tử

nên có thể coi hạt nhân là đứng yên. Do trƣờng laser nên đám mây electron

dao động cƣỡng bức và thỏa mãn phƣơng trình:

12

.

Cho dạng E(t) ~ ta tìm lời giải X ~ và thu đƣợc:

Để tính hệ số tắt dần cổ điển ta giả sử electron chuyển động trên hình tròn và

áp dụng công thức Larmor về công suất phát xạ của điện tích chuyển động có

gia tốc và ta thu đƣợc:

Từ (1.21) biểu diễn

qua rồi thay vào (3.19)

Trong đó ta kí hiệu Γ là hệ số tắt dần tại tần số riêng (tần số cộng

hƣởng). Công thức (1.22) tuy tính từ lý thuyết cổ điển nhƣng là gần đúng

tƣơng đối tốt ngoại trừ ở trƣờng hợp trƣờng cƣỡng bức là quá lớn. Để so sánh

13

(1.15) và (1.18) ta đƣa vào khái niệm điều chỉnh (detuning) là sự khác biệt

của tần số laser so với tần số dao động riêng của hệ:

.

(1.23)

Ta nhận xét nếu điều chỉnh gần cộng hƣởng thì Re và nhƣ vậy

. Vì vậy trong các thí nghiệm ngƣời ta điều chỉnh xa (far –

detuning) sao cho | | .

Nếu thì giới hạn gọi là điều chỉnh đỏ, ngƣợc lại thì gọi là điều

chỉnh xanh. Trong chế độ điều chỉnh xa ta có từ (1.15) và (1.18):

(

) .

(

) .

Trong các thí nghiệm, tuy là điều chỉnh xa, quy ra độ dài bƣớc sóng thì

tƣơng ứng vài chục nm, vì vậy so với tần số riêng vẫn thỏa mãn

| |

Lúc đó có thể bỏ qua số hạng thức2 vế phải trong biểu thức (1.24) và (1.25)

và đặt

(gọi là gần đúng sóng quay). Khi đó từ (1.24) và (1.25) ta có:

14

,

I( .

Từ đây ta suy ra:

ħ

.

(1.28)

Công thức (1.28) cho ta hai hệ quả quan trọng trong kĩ thuật bẫy quang học.

Một là, do , Γ đều là dƣơng nên dấu của thế giam cầm nguyên tử phụ

thuộc vào dấu của . Nếu là điều chỉnh đỏ thì và là thế hút, vì vậy

các nguyên tử sẽ khƣ trú tại các điểm mà cƣờng độ trƣờng laser I ( là cực

đại, còn nếu điều chỉnh xanh thì nguyên tử ở vùng cƣờng độ trƣờng laser I (

cực tiểu vì thế là đẩy. Hai là, để hạn chế ảnh hƣởng tiêu cực của tán xạ tự phát

thì cần điều chỉnh xa(nhƣng vẫn cần thỏa mãn | | để áp dụng gần

đúng sóng quay để thu các công thức (1.26); (1.27).

Dạng hình học của thế giam cầm đƣợc xác định bởi phân bố trƣờng laser.

Chẳng hạn nếu là chùm loại Gauss với công suất P truyền dọc hƣớng z:

(

).

15

với √

.

Trong đó là các tham số. Vì nên ta thấy độ sâu của thế

bẫy | |. Nếu năng lƣợng nhiệt của nguyên tử là nhỏ

hơn nhiều thì thế bẫy có thể coi gần đúng là thế dao động tử điều hòa đối

xứng trục [8, 9]:

] .

(1.30)

Đây cũng là lí do tại sao trong nhiều công trình lý thuyết ngƣời ta mô hình

hóa bẫy bằng dạng thế dao động tử điều hòa.

1.5. MẠNG QUANG HỌC [8, 9, 10].

Bẫy quang học có nhƣợc điểm là do độ sâu của thế phụ thuộc vào công suất

laser nên thƣờng không sâu (~ mK). Vì vậy trƣớc khi đƣa vào bẫy thì cần làm

lạnh các nguyên tử. Nhƣng một ƣu điểm cơ bản của bẫy quang học là có thể

sử dụng linh hoạt và dễ dàng các nguồn laser nên có thể tạo nên các phân bố

đa dạng về mặt hình học của nhiều bẫy đồng thời. Một trong số đó là mạng

quang học.

Ta xét thí dụ mạng một chiều. Theo công thức (1.15) thế bẫy nguyên tử phụ

thuộc cƣờng độ laser I, và I lại phụ thuộc vào bình phƣơng modul của vectơ

cƣờng độ điện trƣờng . Xét trƣờng hợp đơn giản một chiều gồm hai sóng

đơn sắc tần số , vectơ sóng k, biên độ theo phƣơng x hƣớng vào nhau.

Biên độ điện trƣờng tổng hợp có dạng:

| | =

) .

(1.31)

16

Trong đó là hiệu hai pha các sóng. Ta chọn điều chỉnh đỏ để

thế là hút, các nguyên tử tập chung ở vùng cực đại của thế, ta có:

= - ) .

Nhƣ vậy ta có mạng một chiều các hố thế và hằng số mạng d =

.

Tƣơng tự nhƣ vậy, nếu ta dùng hai cặp chùm laser ta sẽ có mạng quang học

hai chiều, còn nếu dùng ba cặp chùm laser ta sẽ có mạng ba chiều.

Điều đáng chú ý ở đây là hằng số mạng d có thể thay đổi đƣợc bằng

cách thay đổi bƣớc sóng laser. Ngoài ra, các loại mạng khác nhau cũng có thể

tạo đƣợc bằng cách bố trí cấu hình các cặpchùm laser: mạng lập phƣơng,

mạng tam giác, mạng tổ ong.

1.6. LÀM LẠNH BẰNG LASER VÀ LÀM LẠNH BẰNGBỐC HƠI.

Nhƣ trên đã điểm qua, làm lạnh bằnglaser là dùng chùm tia laser để làm chậm

chuyển động của các nguyên tử. Lực của chùm photon trong laser tác dụng

lên nguyên tử phụ thuộc vào tần sóng laser. Tuy nhiên do hiệu ứng Doppler

nên tần số sóng laser mà nguyên tử “cảm nhận” phụ thuộc vận tốc chuyển

động của nguyên tử. Khi bị tác dụng và lạnh dần thì vận tốc nguyên tử giảm

dần, Vì vậy do ảnh hƣởng của hiệu ứng Doppler lực mà photon tác dụng lên

nguyên tử cũng thay đổi. Để giữ cho lực này không đổi, ngƣời ta dùng lực

Zeeman của một từ trƣờng ngoài bù trừ cho hiệu ứng Doppler. Vì vậy làm

lạnh bằng laser còn gọi là làm lạnh bằng Doppler. Làm lạnh bằng Dopper có

thể hạ nhiệt độ tới vài mK. Tuy nhiên nhiệt độ này chƣa đủ nhỏ để làm các thí

nghiệm về BEC. Ngƣời ta có thể đạt nhiệt độ thấp hơn bằng phƣơng pháp bốc

hơi. Ý tƣởng chính của phƣơng pháp này là trong số các nguyên tử bị bẫy hãy

để cho các nguyên tử có năng lƣợng cao nhất đi ra khỏi bẫy bằng cách hạ thấp

dần bờ cao của giếng thế giam cầm. (xem hình 1.3)

17

Hình 1.3: Làm lạnh bằng bốc hơi.

Giả sử ban đầu nhiệt độ của hệ là và hàm phân bố là hàm Boltzmann :

N(E) = exp(-

Bƣớc 1:bằng cách hạ thấp bờ giếng thế, các nguyên tử với năng lƣợng lớn

hơn E > sẽ đƣợc phép ra khỏi hố thế. Thƣờng ngƣời ta chọn =

η với η = 3-6.

Các nguyên tử còn lại trong hố thế sau đó sẽ tái lập lại trạng thái cân bằng và

hàm phân bố mới sẽ ứng với .

Bƣớc 2: lại hạ bờ cao hố thế = η . Sau nhiều lần hạ hố thế sẽ đạt

đƣợc nhiệt độ thấp ở mức mong muốn.

c)

a) b)

E

f(E)

E e) d)

E

f(E) f(E)

Ecut

18

Tuy nhiên ta cũng không thể đạt đƣợc nhiệt độ thấp tùy ý vì khi hố thế quá

nông thì số hạt bị giam cầm quá nhỏ, chƣa kể là khi hố thế nông, lực giam

cầm nhỏ không thắng đƣợc trọng lực và các nguyên tử bị rơi xuống. Nhiệt độ

sau khi làm lạnh bằng bốc hơi có thể xuống nK.

CHƢƠNG 2: NGƢNG TỤ BOSE- EINSTEIN TRONG CÁC BẪY.

Các nguyên tử trong các bẫy chịu tác dụng của các thế giam cầm, vì

vậy chỉ chuyển động trong không gian hẹp. Do sự có mặt của các thế giam

cầm và sự giới hạn của không gian nên hệ boson không đồng nhất. Điều này

dẫn đến các tính chất vật lý mới thú vị và đòi hỏi những phƣơng pháp tiếp cận

khác. Trong chƣơng này chúng ta sẽ xem xét một số phƣơng pháp nghiên cứu

lý thuyết các hệ boson không đồng nhất. Để tiện so sánh chúng ta cũng sẽ xét

hệ boson tự do, hay còn gọi là hệ boson lý tƣởng.

2.1.MỘT SỐ ĐẶC ĐIỂM KHI NGHIÊN CỨU BEC TRONG CÁC BẪY.

Hệ nguyên tử trong các bẫy khác với hệ tự do là chúng bị tác động bởi

thế giam cầm. Vì vậy đây là một hệ không đồng nhất nên trạng thái lƣợng tử

của hạt không còn đƣợc mô tả bằng momen xung lƣợng mà có thể bẫy một

bộ số lƣợng tử . Khi số hạt ở trạng thái (kí hiệu là là một đại

lƣợng vĩ mô ( thì ta nói rằng hệ ngƣng tụ ở trạng thái lƣợng tử . Nói

một chính xác ta phải xét ở giới hạn nhiệt động học :

N , V

.

Trạng thái đƣợc gọi là đƣợc chiếm một cách vĩ mô khi:

.

19

Điều kiện (2.2) đƣợc gọi là tiêu chuẩn Einstein cho hiện tƣợng ngƣng tụ BEC.

Tuy nhiên, cho các nguyên tử trong các bẫy thể tích V có thể không xác định.

Vì vậy ta cần định nghĩa giới hạn nhiệt động học theo cách khác. [18 ]

Giả sử là một đại lƣợng quảng giao (extensive) quan sát đƣợc, lúc đó giới

hạn nhiệt động học hiệu dụng đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

N ,

.

Thí dụ, nếu đại lƣợng quan sát đƣợc là nội năng của N hạt ta có giới hạn

nhiệt động học nhƣ sau:

N ,

.

Ngoài ra, cho hệ nguyên tử trong bẫy ta cũng cần chú ý định nghĩa của tham

số trật tự thông qua ma trận mật độ một hạt:

= ⟨ ⟩ .

(2.5)

Trong đó ( ) và Ψ( ) là các toán tử trƣờng có thể biểu diễn qua các toán tử

sinh hủy hạt ( ) ở trạng thái 𝜆và hệ hàm cơ sở φ là hệ hàm riêng của các

toán tử :

∫ d = ( ) .

(2.6)

20

Ta cóΨ( ∑ .

(2.7)

Lúc đó (2.5) có thể viết dƣới dạng:

= ∑ .

(2.8)

Với ⟨ ⟩ à số hạt ở trạng thái 𝜆.

Penrose-Onsarger [ 18 ] cho rằng, tiêu chuẩn để có BEC là khi cực đại của trị

riêng của toán tử ma trận mật độ là một đại lƣợng vĩ mô:

Khai triển (2.8) lúc đó viết lại thành:

( + ∑

(𝜆) .

(2.10)

Dựa vào (2.10) đƣa vào khái niệm tham số trật tự tầm xa không chéo (off-

diagonallong - range order) và cho rằng để có BEC cần tồn tại trật tự tầm xa

không chéo:

| | = > 0 .

(2.11)

21

Tiêu chuẩn (2.11) đƣợc sử dụng nhiều cho các hệ đồng nhất khi có thể coi

( = √

,

.

(2.12)

Tuy nhiên, điều này không hề áp dụng cho hệ có thể tích hữu hạn vì lúc đó

( . Khi nên khi | | .

Nhƣ vậy với hệ nguyên tử trong bẫy ta cần dùng tiêu chuẩn Einstein hoặc tiêu

chuẩn Penrose-Onsager.

2.2.NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN TRONG HỆ BOSON LÝ TƢỞNG.

Hiện tƣợng ngƣng tụ Bose-Einstein bắt nguồn từ tính đối xứng của hàm

sóng hệ nhiều hạt với phép hoán vị hai hạt boson đồng nhất. Từ tính đối xứng

này suy ra hàm phân bố boson ở nhiệt độ T trong trạng thái lƣợng tử ν là:

= .

(2.13)

Trong đó : β =

;µ là thế hóa học xác định từ điều kiện:

N=∑ .

(2.14)

Trạng thái lƣợng tử của boson tự do đƣợc mô tả bằng số lƣợng tử là xung

lƣợng k với năng lƣợng:

22

.

Vì nên từ (2.15) và từ (2.13) ta suy ra µ ≤ 0.

Điểm = 0;µ = 0 là một điểm đặc biệt vì tại đây trung bình số hạt phân kì.Để

thỏa mãn điều kiện (2.14) là hữu hạn, ta cần tách riêng số hạng tƣơng ứng

với số hạt trong ngƣng tụ:

N =

= ∑ .

(2.16)

Nếu kí hiệu là mật độ số hạt ở trạng thái ngƣng tụ còn là mật độ trạng

thái ngoài ngƣng tụ:

,

=

.

(2.17)

Với V là vùng thể tíchcóboson.

Số hạt ngoài ngƣng tụ tính nhƣ sau:

= ∑ .

(2.18)

23

Thông thƣờng, để tính tổng theo xung lƣợng ngƣời ta đƣa ra mật độ trạng thái

sao cho:

∑

= ∫

.

(2.19)

Trong trƣờng hợp hệ 3 chiều ta có ngay:

=

(

√ .

(2.20)

Thay (2.20) vào (2.19); (2.15); (2.18) ta có:

=

(

∫

√

=

(

∫

√

.

(2.21)

Ta đƣa vào hàm Riemann Zeta đƣợc sử dụng nhiều trong lý thuyết BEC:

∑

.

Lúc đó: ∫

= .

(2.22)

(2.23)

Với là hàm gamma.

Một số giá trị của hàm Riemann Zeta và hàm gamma là:

24

{

(

) (

) (

)

(

) √ (

)

√

(2.24)

Từ (2.21) và (2.23) ta suy ra mật độ số hạt ở ngoài ngƣng tụ:

=

(

(

) (

).

(2.25)

Nhiệt độ chuyển pha đƣợc xác định từ điều kiện ) = . Từ đây ta có:

=

(

(

) (

) .

(2.26)

Nếu thay (

) (

) từ (2.24) vào :

[

(

) .

(2.27)

Từ (2.26) và (2.25) ta suy ra :

25

=

.

Hay

=

. Khi T .

(2.28)

(2.29)

2.3.NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN CỦA NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA

KHÔNG TƢƠNG TÁC TRONG BẪY DẠNG THẾ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU

HÒA. [12, 13, 15, 16].

Trong các bẫy quang học thế năng giam cầm đƣợc mô tả bằng thế dao động tử

điều hòa:

V( =-

m (

+

) .

(2.30)

Ở nhiệt độ T = 0 thì ta chỉ cần xét bài toán hạt chuyển động trong dao động tử

điều hòa ba chiều bất đẳng hƣớng. Đây là bài toán phân ly biến số quy về dao

động tử điều hòa một chiều.

Hàm sóng một hạt ở trạng thái cơ bản là:

{

√

(2.31)

26

Nhƣ vậy phân bố mật độ số hạt sẽ là : n(r) = N | | . Để tìm phân bố hạt theo

xung lƣợng n( = N | | ta cần tìm ảnh Fourier của hàm sóng

( ta có :

,

= ħ

√ ( i = x, y, z) .

(2.32)

Nhƣ vậy từ (2.31) và (2.32) ta thấy ở T = 0K phân bố theo tọa độ và theo

xung lƣợng của hạt e trong trƣờng thế dao động thì điều hòa là bất đẳng

hƣớng. Ta chú ý ở nhiệt độ cao T khi có sự phân bố Maxwell thì hệ

boson vẫn phân bố bất đẳng hƣớng theo tọa độ.

{

√

(2.33)

Nhƣng phân bố theo xung lƣợng lại là đẳng hƣớng:

n(p)

.

(2.34)

Bây giờ ta xét khi T . Năng lƣợng dao động tử ba chiều là:

27

= ħ[(

) +

)

) ] .

(2.35)

Nhiệt độ chuyển phasuy từ điều kiện:

∑

= N .

(2.36)

Giả thiết ħw ta có thể thay tổng bằng tích phân.

∑

∭ .

(2.37)

Tích phân ba lớp lại có thể đƣa về tích phân một lớp bằng cách đƣa vào mật

độ trạng thái. Trƣớc hết ta xác định số trạng thái N( có năng lƣợng nhỏ hơn

. Ta chọn gốc năng lƣợng là

( ). Số trạng thái N( sẽ bằng

thể tích hình tứ diện có các đỉnh là:(0, 0, 0) ;(

, 0, 0) ; (0,

, 0) ;

(0, 0,

).

28

Hình 2.1.Hình tứ diện chứa các điểm có năng lƣợng nhỏ hơn .

Thể tích đó bằng:

N(

.

(2.38)

Trong đó = ( .

Mật độ trạng thái:

=

=

.

(2.39)

Từ (2.36); (2.37); (2.39) ta có:

=

(

.

(2.40)

29

Và

= 1-(

, T .

(2.41)

So sánh (2.40) với (2.27) và (2.41) với (2.29) ta thấy sự khác biệt khi các

nguyên tử giam cầm với nguyên tử tự do.

2.4. BEC TRONG CÁC BẪY THẤP CHIỀU. [19]

Trong hệ boson thấp chiều lý tƣởng thì có thể không tồn tại ngƣng tụ

Bose-Einstein. Ta quay lại hệ boson lý tƣởng với năng lƣợng đƣợc mô tả bằng

biểu thức:

.

Trƣờng hợp ba chiều đã xét ở trên. Trƣờng hợp hai chiều và một chiều tƣơng

ứng ta có mật độ trạng thái là:

,

.

(2.44)

Từ (2.6); (2.7);(2.43) và (2.44) ta có công thức xác định nhiệt độ chuyển pha

qua nồng độ hạt boson:

30

√

(

) ,

.

(2.46)

Cho trƣờng hợp một chiều (

) nên suy ra không thể tồn tại

BEC.

Cho trƣờng hợp hai chiều

.

Tức là → cho nên từ (2.34) suy ra = 0K.

Từ đây suy ra cho hệ boson lý tƣởng không có BEC ở D = 1, còn ở hai chiều

D=2 thì có BEC ở T=0k.

Bây giờ ta xét boson ở trong bẫy. Để cụ thể ta lại xét các bẫy thế dao động tử

điều hòa. Mật độ trạng thái dao động tử điều hòa thấp chiều tính tƣơng tự nhƣ

ở phần trên và ta thu đƣợc:

{

√ .

Tính toán tƣơng tự nhƣ trên ta có cho D=1[ 19 ]

31

=

.

(2.49)

trong đó N là tổng số hạt .

Thông thƣờng

(N Nên

=

.

(2.50)

Vì trong bẫy số hạt là hữu hạn nên ta suy ra D = 1.

Với D = 2 ta có từ (2.42):

√ [

.

(2.51)

với

.

Nhƣ vậy khác với trƣờng hợp hệ boson lý tƣởng các nguyên tử trong bẫy có

thể ở pha ngƣng tụ ở ngay cả trong trƣờng hợp một chiều và hai

chiều.

2.5. GẦN ĐÚNG BÁN CỔ ĐIỂN THOMAS- FERMI. [12, 13]

Trong hầu hết các trƣờng hợp khi có tƣơng quan ngoài ta không thể

giải bài toán cơ học lƣợng tử một hạt trong trƣờng ngoài, ngoại trừ một số

dạng thế thế cụ thể: thế Coulomb, thế dao động tử điều hòa, thế hàm đelta các

hố thế thành sâu vô cùng……. .

Vì vậy ta không thể tính đƣợc giải tích các đại lƣợng vật lý ta quan tâm nhƣ

trƣờng hợp hệ tự do. Ngoài ra, khi kể đến tƣơng tác giữa các hạt thì lại càng

32

phức tạp. Một trong những gần đúng thông dụng đƣợc sử dụng ở vùng nhiệt

độ không quá thấp là gần đúng Thomas-Fermi. Ý tƣởng cơ bản của gần đúng

này là khi kích thƣớc của bẫy lớn hơn nhiều bƣớc sóng de Broglie của hạt 𝜆 =

√ thì lúc đó có thể bỏ qua hệ thức bất định Heisenberg và có thể xác định

đồng thời tọa độ và xung lƣợng. Vì vậy ta có thể đƣa vào hàm phân bố Bose-

Einstein tại một điểm xác định trong không gian pha:

n( = [exp

.

trong đó µ là thế hóa học, còn U( là trƣờng tự hợp.

Trƣờng tự hợp là tổng của thế giam cầm V( và thế tƣơng tác tự hợp giữa

các hạt gn( . Trong đó g là hằng số tƣơng tác còn n( là mật độ boson tại

điểm :

U( ( . .

Gần đúng Thomas-Fermi vẫn có tính lƣợng tử vì ta sử dụng hàm phân bố

thống kê lƣợng tử Bose-Einstein nhƣng cũng vừa có tính cổ điển vì thay vì

năng lƣợng một hạt thỏa mãn phƣơng trình Schordinger thì ta lại thay bằng

Hamiltonian cổ điển:

H( =

+ V( .

33

Thế tƣơng tác tự hợp gn( thực chất là thế tƣơng tác hai hạt lấy trong gần

đúng tƣơng tác cổ điển tỉ lệ g – ). U( trong (2.53) có ý nghĩa là trƣờng

tự hợp vì n( phải thỏa mãn phƣơng trình tự hợp:

n( = ∑ .

Thế hóa học sẽ thỏa mãn phƣơng trình tƣơng ứng với hệ có N hạt:

∫ ∫ ∑

= N .

Vì số hạt phải là dƣơng nên suy ra là . Tại nhiệt độ chuyển pha

số hạt tiến tới vô cùng tại = 0 và tại điểm trong không gian pha mà U( )=

. Vì vậy nhiệt độ chuyển pha thỏa mãn phƣơng trình:

∫ ∑

Thông thƣờng, ngƣời ta thay ∑ ∫

trong các tính toán.

Gần đúng Thomas – Fermi đƣợc áp dụng tƣơng đối có hiệu quả trong các bài

toán BEC trong các bẫy. Nhƣ một ví dụ ta thu lại nhiệt độ chuyển pha trong

trƣờng thế dao động tử điều hòa bỏ qua tƣơng tác giữa các hạt ta có:

34

V( =

(

.

Thay vào phƣơng trình (2.56) khi g = 0, = = 0 , Ta có:

∫ ∫

ħ

Đổi biến: =

√ .

= √

. x(y, z) .

(2.59)

Từ (2.46) thu đƣợc:

∫

Trong đó:{

(2.61)

35

Tích phân sáu lớp (2.60) có thể lấy đƣợc nếu đƣa về tọa độ cầu trong không

gian sáu chiều với độ dài vectơ bán kính là:

∫ . f(u, v) = ∫ ∫

.

Diện tích mặt cầu là [19]:

∫ .

Nên ta có tích phân dạng:

∫

=

∫

.

Kết quả là ta thu lại đƣợc kết quả cho nhiệt độ chuyển pha cho nguyên tử

trung hòa lý tƣởng trong các bẫy dao động tử điều hòa mà trong phần (2.3) ta

đã thu từ phổ năng lƣợng cơ học lƣợng tử.

36

CHƢƠNG 3: NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN CỦA CÁC NGUYÊN TỬ

TRONG MẠNG QUANG HỌC.

Mạng quang học là tập hợp các bẫy phân bố tuần hoàn trong không

gian. Mạng quang học có thể là một chiều, hai chiều hoặc ba chiều.

3.1.MÔ HÌNH BOSE – HUBBARD.

Mô hình đơn giản nhất mô tả mạng quang học là mô hình Bose –

Hubbard tƣơng tự nhƣcho các electron.

H = - t∑ + ∑

+

∑

.

(3.1)

Mô hình (3.1) thu đƣợc trong gần đúng một vùng với tƣơng tác nhảy giữa các

nút lân cận gần nhất. Các toán tử là toán tử sinh hủy nguyên tử ở nút i

mô tả bằng hàm Wannier. Kí hiệu <ij> là chỉ số các nút lân cận gần nhất. Các

tham số nhảy nút t, năng lƣợng trên mỗi nút , và thế tƣơng tác trên một nút

U có thể tính đƣợc nếu biết dạng thế bẫy và cấu trúc hình học của mạng các

nguyên tử. Ngoài các tham số trên, mô hình Bose – Hubbard tƣơng tự nhƣ mô

hình Hubbard điện tử còn đặc trƣng bằng tham số lấp đầy ν.

Gọi tổng số nguyên tử trong mạng là N, tổng số nút mạng là . Số lấp đầy ν

đƣợc định nghĩa là:

ν =

.

(3.2)

Điểm khác biệt so với mô hình Hubbard điện tử là khả năng ngƣng tụ Bose –

Einstein của hệ ở nhiệt độ siêu thấp. Tƣơng ứng ngƣời ta đƣa vào tỷ phần

ngƣng tụ và tỷ phần hạt ngoài ngƣng tụ :

37

=

; =

.

(3.3)

Trong đó tƣơng ứng là tổng số hạt trong và ngoài ngƣng tụ.

3.2.DỊCH CHUYỂN BOGOLIUBOV [12, 13, 18,19]

Ngƣng tụ Bose – Einstein thì trạng thái với năng lƣợng thấp nhất là khác biệt

hoàn toàn với các trạng thái khác . Vì vậy ban đầu ngƣời ta thƣờng tách toán

tử trƣờng thành tổng của hai toán tử trƣờng:

= + .

(3.4)

Trong đó , tƣơng ứng là toán tử tƣơng tác lên vectơ trạng thái các

hạt trong (ngoài ) ngƣng tụ. Tuy nhiên điều này là không thuận lợi vì giao

hoán tử : , (r’)] và [

)]không thỏa mãn cho các hạt

boson[15]. Để vƣợt qua khó khăn này, Bogoliubov đề xuất thay toán tử

trƣờng bằng một toán tử khác[15, 20]

( ) .

(3.5)

trong đó Ψ(r) là toán tử còn η( chỉ là một hàm.

Trong biểu diễn Wannier:

∑ - ) .

(3.6)

38

Cho nên hàm dịch chuyển η( có dạng:

η( √

∑ ( - ) .

(3.7)

Còn toán tử có thể viết dƣới dạng:

∑ - ) .

(3.8)

Dịch chuyển Bogoliubov đối với các toán tử trƣờng (3.5) sẽ tƣơng ứng với

dịch chuyển Bogoliubov với các toán tử hủy trong (3.1) nhƣ sau:

= √

+ = √ + .

(3.9)

Để đảm bảo trung bình của toán tử là tham số trật tự ngƣng tụ Bose –

Einstein :⟨ ⟩= √ .

thì ta suy ra ⟨ ⟩= 0 tức là trong Hamiltonian không chứa số hạng tuyến tính

theo .

Thay (3.9) vào (3.1) tathu đƣợc Hamiltonian cho tập hợp lớn:

H = + .

(3.10)

Trong đó:

39

= -tz N +

ν

N – (µ - ) ,

∑ + (2Uν – )∑

+

ν ∑

+ ) ,

√ ∑

+ ) ,

∑

.

(3.11)

(3.12)

(3.13)

(3.14)

Lƣu ý ta đã đƣa vào thế hóa học µ.

3.3.GẦN ĐÚNG BOGOLIUBOV.

Sau khi thực hiện dịch chuyển Bogoliubov thì Hamiltonian chứa các số

hạng cặp đôi, cặp ba và cặp bốn toán tử. Số hạng bậc một không có vì thế ta

không thể giải thích chính xác đƣợc. Ta sẽ áp dụng gần đúng đơn giản nhƣng

thông dụng nhất đó là gần đúng Bogoliubov. Nội dung của gần đúng này là bỏ

qua các số hạng bậc ba và bậc bốn , đồng thời bỏ qua trung bình của tích hai

toán tử sinh hay hai toán tử hủy. Cách làm cụ thể nhƣ sau [ 19, 20]:

Đầu tiên ta chuyển sang biểu diễn Bloch cho các toán tử đang ở biểu diễn

Wannier:

{

√ ∑

√ ∑

(3.15)

40

Véctơ chạy trong vùng Brillouin thứ nhất của mạng quang học. Từ công

thức:

∑

= .

(3.16)

Ta suy ra công thức cho tổng số nguyên tử :

N = ∑ =∑

.

(3.17)

Thay vào (3.12) sau khi bỏ qua và ta thu đƣợc:

H = ( -zt-µ+

+ ∑ - µ)

+

∑ + 4

+

.

(3.18)

Trong đó , cho mạng d chiều trong (3.18) gần đúng lân cận gần nhất thì :

= 2t∑ .

(3.19)

Với a là khoảng cách giữa hai nút mạng gần nhất.

Số hạng bậc một có dạng:

41

= (- - µ +

)√ (

+ ) .

(3.20)

Cho số hạng bậc một bằng không dẫn tới :

µ = U – zt .

(3.21)

Trong đó z là số lân cận gần nhất z = 2d. Hamiltonian (3.18) có dạng bậc hai

không chéo nhƣng có thể đƣa về dạng chéo bằng phép biến đổi

Bogoliubov[19].

Nội dung của phép biến đổi đó nhƣ sau . Xét Hamitonian có dạng sau:

H = ∑ +

+

) .

(3.22)

Vì Hamitonian phải là toán tử Hermit nên cần đòi hỏi:

= và .

Biến đổi chính tắc Bogoliubov là:

∑

∑

Biến đổi chính tắc có nghĩa là giữ nguyên các công thức cho giao toán tử ,

nghĩa là nếu:

42

{[ ] [

]

[ ]

Thì

{[ ] [

]

[ ]

Từ (3.23) và (3.24) suy ra :

{

∑

∑

Lúc đó H có dạng chéo:

H = ∑

+ .

Trong đó: = - ∑ | | .

(3.27)

(3.28)

Còn năng lƣợng chuẩn hạt Bogolon thu từ điều kiện hệ phƣơng trình sau có

nghiệm không tầm thƣờng:

{

∑[( ) ]

∑

43

Áp dụng các công thức trên cho công thức (3.18) ta thu đƣợc :

H = -

u +

∑ + ∑

.

Trong đó: = zt - ,

= √ ,

| | =

(

.

(3.30)

(3.31)

(3.32)

(3.33)

Hàm phân bố của các nguyên tử ngoài ngƣng tụ sẽ là:

= ⟨ ⟩ .

(3.34)

Biểu diễn và qua

theo (3.23) và chú ý rằng:

⟨ ⟩ =

.

(3.35)

Ta thu đƣợc từ (3.34) và (3.35) biểu thức cho số nguyên tử ngoài ngƣng tụ

phụ thuộc vào nhiệt độ:

= ∑

+

) .

(3.36)

44

Nhiệt độ chuyển pha sẽ thu đƣợc khi số hạt ngƣng tụ đúng bằng tổng số

hạt:

) = N.

(3.37)

Phƣơng trình (3.37) không giải đƣợc một cách giải tích.

Vì thời gian và khả năng có hạn nên em chƣa thể triển khai tính số để thu lại

đƣợc các kết quả của các tác giả khác đã công bố [20].

45

KẾT LUẬN

Trong luận văn đã hoàn thành các công việc sau đây:

Tôi đã đọc và tổng quan các tài liệu về nguyên lý hoạt động của các bẫy

nguyên tử trung hòa và một số phƣơng pháp làm lạnh. Tôi tập trung vào

phƣơng pháp bẫy: bẫy từ trƣờng, tức là lực từ Zeeman của từ trƣờng

ngoài không đồng nhất tác dụng lên nguyên tử và phƣơng pháp bẫy

quang học khi thế giam cầm là do lực tƣơng tác của điện trƣờng của trƣờng

tác dụng lên momen lƣỡng cực cảm ứng của nguyên tử trung hòa. Tôi cũng

chỉ giới hạn phƣơng pháp làm lạnh bằng laser và bằng bốc hơi.

Tôi đã thực hiện các tính toán giải tích thu lại sự phụ thuộc của Tc vào nồng

độ cho khí boson tự do, boson không tƣơng tác trong bẫy dao động tử điều

hòa và cho bẫy có tƣơng tác giữa các hạt trong gần đúng Thomas- Fermi.

Tôi đã thực hiện các tính toán giải tích nghiên cứu BEC cho hệ nguyên tử

trung hòa nhƣng trong mạng quang học trong gần đúng Bogliubov.

Rất tiếc vì thời gian hạn hẹp và khả năng của học viên còn hạn chế nên chƣa

áp dụng các kiến thức và công cụ học đƣợc cho một bài toán cụ thể.

Vấn đề có thể tìm hiểu thêm:

Mô hình Hubbard cho các electron là một đề tài đƣợc nhiều thầy ở Viện Vật

lý và ở Đại học Sƣ phạm Hà Nội nghiên cứu và thu đƣợc nhiều kết quả có giá

trị khoa học. Các thầy đã phát triển các phƣơng pháp tính toán và mở rộng mô

hình Hubbard một vùng cho nhiều trƣờng hợp khác. Vì vậy, với sự giúp đỡ

của các thầy, có thể áp dụng những công cụ này và những mở rộng của mô

hình Hubbard cho electron sang các bài toán cho mô hình Bose-Hubbard.

46

TÀI LIỆU THAM KHẢO.

1. E.A. Cornell and C. E. Wieman (2002),Nobel Lecture: Bose-Einstein

condensation in a dilute gas, the first 70 years and some recent experiments,

Rev. Mod. Phys. 74, 875-893.

2. W. Ketterle (2002), Nobel lecture: When atoms behave as waves: Bose-

Einstein condensation and the atom laser, Rev. Mod. Phys. 74, 1131-1151

3. Lê Đức Ánh, Hoàng Anh Tuấn, Nguyễn Toàn Thắng, Giáo trình Vật lý hệ

nhiều hạt I và II (bản thảo).

4. Trần Minh Tiến (2017), “Cơ sở vật lý hệ nhiều hạt”, NXB Khoa học và

Công nghệ, VHLKH&CN Việt Nam.

5. Nguyễn Toàn Thắng, Bài giảng “ Vật lý hệ các nguyên tử siêu lạnh”.

6. C.J. Foot (2005), Atomic physics, Oxford University Press.

7. H.J. Metcalf and P. van der Straaten (1999),Laser Cooling and Trapping,

Springer, New York, 1999.

8. R. Grimm, M. Weidemu ller, and Y. B. Ovchinnikov (2000), Optical

dipole traps for neutral atoms, Molecular and Optical Physics, 42, 95.

9. P.S. Jessen and I. H. Deutsch (1996), Optical lattices, Adv. Atom. Mol.

Opt. Phys. 37, 95 .

10. D. Jaksch, C. Bruder, J. Cirac, C. Gardiner and P. Zoller (1998)

Cold bosonic atoms in optical latticesPhys. Rev. Lett 81, 3108.

11. M. Greiner, O. Mandel, T. Esslinger, T. W. H¨ansch, and I. Bloch (2002)

Quantum phase transition from a superfluid to a Mott insulator in a gasof

ultracold atoms, Nature 415, 39 .

12. L.P. Pitaevskii, S. Stringari (2016), Bose Einstein Condensation and

superfluidity, Oxford Science.

13. C.J. Pethick and H. Smith, (2001),Bose–Einstein Condensation in

Dilute Gases, Cambridge University Press.

47

14. M. Lewenstein, A. Sanpera, and V. Ahufinger (2012), Ultracold Atoms in

Optical Lattices: Simulating Quantum Many-body Systems, Oxford University

Press.

15. A.S. Parkins, D.F. Walls (1998), The physics of trapped dilute-gas

Bose‹Einstein condensates, Physics Reports 303, 1.

16. F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitaevskii, and S. Stringari (1999), Theory

of Bose- Einstein condensation in trapped gases, Rev. Mod. Phys. 71, 463

17. P.W. Courteille, V.S. Bagnato, and V.I. Yukalov (2001), Bose-Einstein

condensation of trapped atomic gases,Laser Phys. 11, 659.

18. V.I. Yukalov (2016),Theory of cold atoms: Bose-Einstein statistics,

Laser Phys. 26, 062001.

19. V.I. Yukalov (2013), Theory of cold atoms: Basics of quantum

statistics,Laser Phys. 23, 062001.

20. D. van Oosten, P. van der Stratenand H. Stoof Quantum phases in an

optical lattice Phys, Rev. A 63, 53601 (2001).