ba duong conic
DESCRIPTION
b y a c c c a 1 a a a x e 2 2 2 2 y a y a y a y a x y Bb a C b YX xx MM xx MM xx MM CYBbXAa x MM CByAx x Aa 22 22 22 22 22 2222 C 1 1 a b 1 0 1 b 1 1 0 1 b x x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y a y a y a a x MM c b b c c x MM a 1 a a 1 a b a x e 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2TRANSCRIPT
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
1
Ba ®êng c«nicLý thuyÕt
I.ElÝp
1)§Þnh nghÜa:Cho hai ®iÓm cè ®Þnh F1, F2 víi F1F2 = 2c (c > 0) vµ h»ng sè a>c.ElÝp (E) lµ tËp hîp c¸c ®iÓm M tháa m·n MF 1+MF2= 2a.
(E) = { M: MF1+MF2= 2a}
Ta gäi : F1, F2 lµ tiªu ®iÓm cña (E).
Kho¶ng c¸ch F1F2 = 2c lµ tiªu cù cña (E).
2)Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elip:
(E): 12
2
2
2
b
y
a
x ( víi b2 = a2- c2 )
3)H×nh d¹ng vµ tÝnh chÊt cña (E):
*Tiªu ®iÓm: Tiªu ®iÓm tr¸i F1(- c; 0)
Tiªu ®iÓm ph¶i F2( c; 0)
*C¸c ®Ønh : A1( -a ; 0); A2( a; 0); B1(0; - b); B2(0; b)
*Trôc lín : A1A2= 2a, n»m trªn trôc Ox
Trôc nhá :B1B2= 2b, n»m trªn trôc Oy
*T©m sai : e =a
c <1
*B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm cña ®iÓm M(x M; yM) thuéc (E) lµ:
B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm tr¸i: MF 1= a + e.xM= a+a
c xM
B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm ph¶i: MF 2= a - e.xM= a-a
c xM
*§êng chuÈn: x =e
a
*Ph¬ng tr×nh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt c¬ së: x = a; y = b ( §é dµi hai c¹nhlµ 2a vµ 2b)
*Trôc ®èi xøng: Ox; Oy
T©m ®èi xøng: O
4)TiÕp tuyÕn cña elip
§Þnh nghÜa: Cho elip (E) vµ ®êng th¼ng (d) .§êng th¼ ng (d) gäi lµ tiÕp tuyÕn cña(E) nÕu (d) cã mét ®iÓm chung duy nhÊt víi (H)
§Þnh lý :Cho elip (E) cã ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c:
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
2
(E): 12
2
2
2
b
y
a
x víi b2 = a2- c2
§êng th¼ng (d): Ax+By+C=0 ( víi A2+B2 0) lµ tiÕp tuyÕn cña (E) khi vµ chØkhi : A2a2+B2b2=C2
( gäi lµ ®iÒu kiÖn tiÕp xóc)
Chøng minh:
§êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (E) khi vµ chØ khi hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duynhÊt
0
12
2
2
2
CByAxb
y
a
x
0
122
Cb
yBb
a
xAa
b
y
a
x
(I)
§Æt X=a
x , Y=b
y ta cã hÖ:
0
122
CYBbXAa
YX (II)
HÖ (I) cã nghiÖm duy nhÊt khi hÖ (II) cã nghiÖm duy nhÊt
§êng th¼ng (d’): AaX+BbY+C=0 tiÕp xóc víi ®êng trßn (C ): X2+Y2=1
Kho¶ng c¸ch tõ t©m O(0;0) ®Õn ®êng th¼ng (d’) b»ng b¸n kÝnh R = 1
12222
bBaA
C
A2a2+B2b2=C2
HÖ qu¶: Cho elip (E) cã ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c:
(E): 12
2
2
2
b
y
a
x víi b2 = a2- c2
NÕu ®iÓm M(xM; yM) thuéc (E) th× tiÕp tuyÕn cña (E) t¹i M cã ph¬ng tr×nh lµ (d):
1..
22
b
yy
a
xx MM
Chøng minh
Do M thuéc (E) nªn cã : 12
2
2
2
b
y
a
x MM
HiÓn nhiªn M thuéc (d)
Ta cã (d): 1..
22
b
yy
a
xx MM 01..
22
b
yy
a
xx MM
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
3
Theo ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý cã :
22
22
2
2b
b
ya
a
x MM
= 1
2
2
2
2
b
y
a
x MM
VËy (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (E) t¹i M
II.Hypebol
1.§Þnh nghÜa:Cho hai ®iÓm cè ®Þnh F1, F2 víi F1F2 = 2c (c > 0) vµ h»ng sèa<c.Hypebol (H) lµ tËp hîp c¸c ®iÓm M tháa m·n MF1-MF2 = 2a.
(H) = { M: MF1-MF2 = 2a}
Ta gäi : F1, F2 lµ tiªu ®iÓm cña (E).
Kho¶ng c¸ch F1F2 = 2c lµ tiªu cù cña (E).
2.Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña hypebol:
(H): 12
2
2
2
b
y
a
x ( víi b2 = c2- a2 )
3.H×nh d¹ng vµ tÝnh chÊt cña (H):
*Tiªu ®iÓm: Tiªu ®iÓm tr¸i F1(- c; 0)
Tiªu ®iÓm ph¶i F2( c; 0)
*C¸c ®Ønh : A1( -a ; 0); A2( a; 0)
*Trôc thùc: A1A2= 2a, n»m trªn trôc Ox
Trôc ¶o: B1B2= 2b, n»m trªn trôc Oy
*T©m sai : e =a
c >1
*B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm cña ®iÓm M(x M; yM) thuéc (E) lµ:
B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm tr¸i: MF 1= a + e.xM = a+a
c xM
B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm ph¶i: MF 2= a - e.xM = a-a
c xM
*§êng chuÈn: x =e
a
*Ph¬ng tr×nh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt c¬ së: x= a; y = b ( §é dµi haic¹nh lµ 2a vµ 2b)
*Ph¬ng tr×nh c¸c ®êng tiÖm cËn: y =a
b x
* Trôc ®èi xøng: Ox; Oy
T©m ®èi xøng: O
4.TiÕp tuyÕn cña hypebol
§Þnh nghÜa:Cho hypebol (H) vµ ®êng th¼ng (d) .§êng th¼ng (d) gäi lµ tiÕp tuyÕn
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
4
cña (H) nÕu (d) kh«ng song song víi c¸c ®êng tiÖm cËn cña (H) vµ (d) cã mét®iÓm chung duy nhÊt víi (H)
§Þnh lý :Cho hypebol (H) cã ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c:
(H): 12
2
2
2
b
y
a
x víi b2 = c2- a2
§êng th¼ng (d): Ax+By+C=0 ( víi A 2+B2 0) lµ tiÕp tuyÕn cña (H) khi vµ chØkhi :
A2a2-B2b2=C20
( gäi lµ ®iÒu kiÖn tiÕp xóc)
Chøng minh:
Hai ®êng tiÖm cËn cña (H) cã ph¬ng tr×nh lµ:
y= xa
b bx ay= 0
§iÒu kiÖn ®Ó (d) kh«ng song song víi hai ®ên g tiÖm cËn lµ:
b
B
a
A A2b2- B2b2 0
§êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (H) khi A2b2- B2b2 0 (*)vµ hÖ ph¬ng tr×nh sau cãnghiÖm duy nhÊt:
(I)
0
12
2
2
2
CByAxb
y
a
x
0
122
CByAx
b
y
a
x
0
122
x
C
x
ByA
bx
ay
x
a
0
122
Abx
ay
a
Bb
x
a
a
C
bx
ay
x
a
§Æt X=x
a , Y=bx
ay ta cã hÖ:
0
122
AYa
BbX
a
C
YX (II)
HÖ (I) cã nghiÖm duy nhÊt khi hÖ (II) cã nghiÖm duy nhÊt
§êng th¼ng (d’):a
C X+a
Bb Y+A=0 tiÕp xóc víi ®êng trßn (C ): X 2+Y2=1
Kho¶ng c¸ch tõ t©m O(0;0) ®Õn ®êng th¼ng (d’) b»ng b¸n kÝnh R = 1
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
5
1
2
22
2
2
a
bB
a
C
A
A2a2-B2b2=C2
KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) th× (d) lµ tiÕp tuyÕn cña(H) khi vµ chØ khi
A2a2-B2b2=C20
HÖ qu¶: Cho (H) cã ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c:
(H): 12
2
2
2
b
y
a
x víi b2 = a2- c2
NÕu ®iÓm M(xM; yM) thuéc (H) th× tiÕp tuyÕn cña (H) t¹i M cã ph¬ng tr×nh lµ (d):
1..
22
b
yy
a
xx MM
Chøng minh
Do M thuéc (H) nªn cã : 12
2
2
2
b
y
a
x MM
HiÓn nhiªn M thuéc (d)
Ta cã (d): 1..
22
b
yy
a
xx MM 01..
22
b
yy
a
xx MM
Theo ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý cã :
22
22
2
2b
b
ya
a
x MM
= 1
2
2
2
2
b
y
a
x MM
VËy (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (H) t¹i M
III. Parabol
1. §Þnh nghÜa:Cho ®iÓm cè ®Þnh F vµ ®êng th¼ng cè ®Þnh kh«ng ®i quaF.Parabol (P) lµ tËp hîp c¸c ®iÓm M c¸ch ®Òu ®iÓm F vµ ®êng th¼ng .
(P) = { M: MF= d(M; )}
Ta gäi : F lµ tiªu ®iÓm cña (P).
§êng th¼ng lµ ®êng chuÈn cña
p= d(F; ) lµ tham sè tiªu
2.Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña parabol:
(P): y2= 2px
3.H×nh d¹ng vµ tÝnh chÊt cña (E):
*Tiªu ®iÓm: Tiªu ®iÓm F(2
p ; 0)
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
6
*Ph¬ng tr×nh ®êng chuÈn : x = -2
p
*§Ønh : O(0; 0)
*B¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm cña ®iÓm M(x M; yM) thuéc (P) lµ:
MF = d(M; ) = xM+2
p
*Trôc ®èi xøng: Ox
4.TiÕp tuyÕn cña parabol
§Þnh nghÜa: Cho parabol (p) vµ ®êng th¼ng (d) .§êng th¼ng (d) gäi lµ tiÕp tuyÕncña (P) nÕu (d) kh«ng song song víi trôc ®èi xøng cña (P) vµ (d) cã mét ®iÓmchung duy nhÊt víi (P)
§Þnh lý:Cho parabol (P) cã ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c:
(P): y2= 2px
§êng th¼ng (d): Ax+By+C=0 ( víi A 2+B2 0) lµ tiÕp tuyÕn cña (P) khi vµ chØkhi :
pB2=2AC
( gäi lµ ®iÒu kiÖn tiÕp xóc)
Chøng minh:
Ta thÊy trôc 0x c¾t (P) t¹i mét ®iÓm nhng kh«ng lµ tiÕp tuyÕn cña (P)
§Ó (d) kh«ng song song víi trôc 0x th× A 0
Khi ®ã (d) tiÕp xóc víi (P) khi vµ chØ khi hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt
(I)
0
22
CByAx
pxy
A
CByx
A
CBypy )1(22
( Do A 0)
HÖ (I) cã nghiÖm duy nhÊt khi ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt
y2 +2pA
B y + 2pA
C = 0 cã nghiÖm duy nhÊt
’=A
pC
A
Bp
22
=0
pB2=2AC ( tháa m·n A0) (®pcm)
HÖ qu¶: Cho parabol (P) cã ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c:
(P): y2= 2px
NÕu ®iÓm M(xM; yM) thuéc (P) th× tiÕp tuyÕn cña (P) t¹i M cã ph¬ng tr×nh lµ (d):y.yM= p(x+xM)
Chøng minh
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
7
V× M thuéc (P) nªn
IV.Ba ®êng c«nic
1.§Þnh nghÜa:Cho ®iÓm F cè ®Þnh , mét ®êng th¼ng cè ®Þnh kh«ng ®i qua F vµ
mét sè d¬ng e. C«nic (C) lµ tËp hîp c¸c ®iÓm M sao cho eMd
MF
);(.
(C)=
eMd
MFM
);(:
Ta gäi: F lµ tiªu ®iÓm
lµ ®êng chuÈn
e lµ t©m sai
2.NhËn xÐt
*Cho elip (E) cã ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c:
(E): 12
2
2
2
b
y
a
x víi b2 = a2- c2
T©m sai e=a
c <1
§êng chuÈn: 1: x = -e
a øng víi tiªu ®iÓm tr¸i F1(- c; 0)
2: x =e
a øng víi tiªu ®iÓm ph¶i F 2( c; 0)
Víi mäi ®iÓm M thuéc (E) th×:);( 1
1
Md
MF =);( 2
2
Md
MF = e
VËy ®êng (E) lµ ®êng c«nic víi e< 1.
*Cho hypebol (H) cã ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c:
(H): 12
2
2
2
b
y
a
x víi b2 = c2- a2
T©m sai e=a
c >1
§êng chuÈn: 1: x = -e
a øng víi tiªu ®iÓm tr¸i F 1(- c; 0)
2: x =e
a øng víi tiªu ®iÓm ph¶i F 2( c; 0)
Víi mäi ®iÓm M thuéc (H) th×:);( 1
1
Md
MF =);( 2
2
Md
MF = e
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
8
VËy ®êng (H) lµ ®êng c«nic víi e> 1.
*Cho parabol (P): y2= 2px
Tiªu ®iÓm F(2
p ; 0)
Ph¬ng tr×nh ®êng chuÈn : x = -2
p
Víi mäi ®iÓm M thuéc (P) th×:);( Md
MF= 1
VËy ®êng (P) lµ ®êng c«nic víi e=1.
Mét sè d¹ng bµi tËp
D¹ng 1. X¸c ®Þnh c¸c yÕu tè cña (E),(H),(P) khi biÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾ccña chóng.
Ph¬ng ph¸p: Sö dông c¸c c«ng thøc x¸c ®Þnh c¸c yÕu tè cña (E) ,(H),(P).
VÝ dô 1. Cho elip (E) cã ph¬ng tr×nh 114
22
yx
T×m tiªu ®iÓm , t©m sai, ®êng chuÈn cña (E)
Gi¶i
Tõ ph¬ng tr×nh cña (E) a2= 4, b2=1c2=a2-b2=3.
VËy a = 2, b = 1, c = 3
Khi ®ã : Tiªu ®iÓm cña (E) lµ F 1(- 3 ; 0), F2( 3 ; 0)
T©m sai cña (E) lµ e=2
3
a
c
§êng chuÈn cña (E) lµ x=3
4
VÝ dô 2. Cho hypebol (H) cã ph¬ng tr×nh 154
22
yx
T×m tiªu ®iÓm , t©m sai, c¸c ®êng tiÖm cËn cña (H)
Gi¶i
Tõ ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña (H) a2= 4, b2=5c2=a2+b2=9.
VËy a = 2, b = 5 , c = 3
Khi ®ã : Tiªu ®iÓm cña (H) lµ F1(-3; 0), F2(3; 0)
T©m sai cña (H) lµ e=2
3
a
c
§êng tiÖm cËn cña (H) lµ y=2
5 x
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
9
VÝ dô 3. Cho parabol (P) cã ph¬ng tr×nh y 2= 4x
T×m tiªu ®iÓm vµ ®êng chuÈn cña (P).
Gi¶i
Tõ ph¬ng tr×nh cña (P)2p= 4p = 2
Ta cã : Tiªu ®iÓm cña (P) lµ F(1; 0)
§êng chuÈn cña (P) lµ x = - 1
D¹ng 2. LËp ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña (E),(H),(P).
Ph¬ng ph¸p :§Ó lËp ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña (E)(H)(P) ta cÇn x¸c ®Þnh c¸c hÖsè a, b,p trong c¸c ph¬ng tr×nh ®ã.
VÝ dô 4.LËp ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elip (E) , biÕt (E) ®i qua ®iÓm M( 5 ; - 2)vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng chuÈn b»ng 10.
Gi¶i
Gäi ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña (E) lµ: 12
2
2
2
b
y
a
x víi b2=a2- c2
Ph¬ng tr×nh ®êng chuÈn lµ: x =e
a
Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng chuÈn lµc
a
e
a 222 = 10
a2= 5c
a4=25 c2 a4=25(a2-b2)
b2=a2-25
4a (*)
Do (E) ®i qua ®iÓm M( 5 ; - 2) nªn: 145
22
ba 1
25
454
22
a
aa
5(1-25
2a )+4= a2-25
4a
a4- 30a2+225 = 0
(a2- 15)2= 0 a2= 15
Thay vµo (*) th× b2= 6
VËy ph¬ng tr×nh cña (E) lµ: 1615
22
yx
VÝ dô 5. ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña hypebol (H) , biÕt (H) ®i qua M(- 2;1)vµgãc gi÷a hai ®êng tiÖm cËn b»ng 60 0.
Gi¶i
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
10
Gäi ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña (H) lµ: 12
2
2
2
b
y
a
x víi b2=c2- a2
V× M (H) nªn 114
22
ba (*)
Ph¬ng tr×nh hai ®êng tiÖm cËn lµ: 1: y =a
b x bx- ay = 0
2: y = -a
b x bx+ ay = 0
Gãc gi÷a hai ®êng tiÖm cËn lµ:
cos(1;2) = 22
22
ab
ab
cos600 =
22
22
ab
ab
2
1 =22
22
ab
ab
2 22 ab = b2+a2
)()(2
)(22222
2222
abab
abab
22
22
3
3
ba
ab
Víi b2= 3a2 thay vµo (*) ®îc a2=3
11 ; b2= 11
Pt (H): 111
3
11
22
yx
Víi a2=3b2 thay vµo (*) ®îc a2= 1; b2=3
1
Pt (H): 1
3
11
22
yx
VÝ dô 6. ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña hypebol (H) biÕt t©m sai e = 2 , c¸c tiªu®iÓm cña (H) trïng víi c¸c tiªu ®iÓm cña elip.
Gi¶i
Ta cã elip (E): 1925
22
yx cã a2 = 25, b2= 9 c2= a2-b2=16 c = 4.
Tiªu ®iÓm cña (E) lµ F1(-4; 0), F2(4; 0)
Gäi ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña hypebol (H) lµ: 12
2
2
2
b
y
a
x víi b2= c2- a2.
V× c¸c tiªu ®iÓm cña(H) trïng víi c¸c tiªu ®iÓm cña (E) nªn cã c = 4
Do (H) cã t©m sai e =a
c = 2 c = 2a a = 2
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
11
b2= c2- a2= 12
VËy ph¬ng tr×nh cña (H) lµ : 1124
22
yx
VÝ dô 7.ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña parabol (P) biÕt tiªu ®iÓm F(5; 0)
Gi¶i
Gäi ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña parabol (P) lµ: y 2= 2px
Do täa ®é tiªu ®iÓm F(5; 0) nªn2
p = 5 p = 10
VËy ph¬ng tr×nh cña (P) : y 2= 20x
VÝ dô 8.ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elip biÕt elip tiÕp xóc víi hai
®êng th¼ng d1: x+ y - 5 = 0
d2: x- 4y - 10 = 0
Gi¶i
Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elip cã d¹ng (E): 12
2
2
2
b
y
a
x víi b2= a2 - c2
Do (E) tiÕp xóc víi hai ®êng th¼ng d 1 vµ d2 nªn theo ®iÒu kiÖn tiÕp xóc cã
10016
2522
22
ba
ba
5
202
2
b
a
VËy ph¬ng tr×nh cña (E): 1520
22
yx
VÝ dô 9. ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña parabol (P) biÕt kho¶ng c¸ch tõ ttiªu ®iÓmF ®Õn ®êng th¼ng x + y- 12 = 0 lµ 2 2
Gi¶i
Gäi ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña (P) : y 2= 2px
Täa ®é tiªu ®iÓm F(2
p ;0)
Theo ®Çu bµi , kho¶ng c¸ch tõ F ®Õn ®êng th¼ng : x +y – 12 = 0 b»ng 2 2 nªn:
d(F; )=2
122
p
=2 2 p= 16 hoÆc p = 32.
VËy ph¬ng tr×nh cña (P): y2= 32x hoÆc y2= 64x
D¹ng 3. LËp ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña c¸c ®êng c«nic
VÝ dô 10.ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(1; 4) vµ tiÕp xóc víi
hypebol (H) : 141
22
yx . T×m täa ®é tiÕp ®iÓm.
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
12
Gi¶i
Gäi M(xo;yo) lµ tiÕp ®iÓm cña (d). Khi ®ã ®êng th¼ng d cã ph¬ng tr×nh d¹ng:
(d): x0.x-4
.0 yy = 1
V× (d) ®i qua A(1; 4) nªn: x o - yo = 1 (1)
MÆt kh¸c M thuéc (H) nªn: 141
20
20
yx (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra
0
1
0
0
y
x hoÆc
3
83
5
0
0
y
x
M ( 1;0) hoÆc M( -3
5 ; -3
8 )
TiÕp tuyÕn cña (H) lµ: x = 1 x - 1 = 0
hoÆc -3
5 x +3
2 y = 1 5x -2y + 3 = 0
VÝ dô 11.ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng elip:
145
22
yx vµ 1
54
22
yx
Gi¶i
Gäi tiÕp tuyÕn chung cña hai elip lµ (d): Ax+ By +C = 0 ( víi A2+B20)
Theo ®iÒu kiÖn tiÕp xóc cã :
222
222
54
45
CBA
CBA
22
22
9BC
BA
Chän A= 1
3
1
C
B
VËy ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn chung cña hai elip lµ:
(d): x y 3 = 0 ( ®©y lµ 4 tiÕp tuyÕn chung)
D¹ng 4. LËp ph¬ng tr×nh c¸c ®êng c«nic kh«ng ë d¹ng chÝnh t¾c
X¸c ®Þnh c¸c yÕu tè cña c¸c ®êng c«nic kh«ng ë d¹ng chÝnh t¾c
Ph¬ng ph¸p: * Sö dông phÐp tÞnh tiÕn trôc täa ®é ®a vÒ d¹ng chÝnh t¾c
- Trong hÖ täa ®é 0xy cã I(x 0; y0)
- TÞnh tiÕn hÖ täa ®é 0xy theo vect¬ OI ®îc hÖ täa ®é IXY
- C«ng thøc ®æi täa ®é lµ
0
0
yYy
xXx
( ThËt vËy, nÕu lÊy ®iÓm M bÊt kú . Gi¶ sö täa ®é M= (x; y) trong hÖ
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
13
täa ®é 0xy vµ täa ®é M= (X; Y ) trong hÖ täa ®é IXY . Khi ®ã : OI =(x0; y0)= x0 i +y0 j
OM = (x; y)= x i +y j
IM = (X; Y)= X i +Y j
Do IMOIOM nªn
0
0
yYy
xXx )
* Sö dông ®Þnh nghÜa ®Ó lËp ph¬ng tr×nh c¸c ®êng c«nic
VÝ dô 12.Cho ®êng cong (H) cã ph¬ng tr×nh x 2-4y2- 2x- 16y -19= 0. Chøng minhr»ng (H) lµ mét hypebol. T×m täa ®é c¸c tiªu ®i Óm , c¸c ®Ønh , ph¬ng tr×nh hai®êng tiÖm cËn cña hypebol (H).
Gi¶i
Ta cã (H) : x2-4y2- 2x- 16y -19= 0
(x-1)2- 4(y+2)2= 4
1
1
2
4
1 22
yx
TÞnh tiÕn hÖ trôc 0xy theo vect¬ OI víi I(1; - 2) thµnh hÖ täa ®é IXY.
C«ng thøc ®æi täa ®é :
2
1
Yy
Xx
Trong hÖ täa ®é IXY th× (H) cã ph¬ng tr×nh:
114
22
YX
a2=4, b2=1 nªn c2=a2+b2=5 a= 2, b = 1, c= 5
Trong hÖ täa ®é IXY th× (H) cã:
+ Täa ®é tiªu ®iÓm: F 1( - 5 ; 0), F2( 5 ;0)
+ C¸c ®Ønh A1(- 2; 0), A2( 2; 0)
+ Ph¬ng tr×nh hai ®êng t iÖm cËn: Y =2
1 X
ChuyÓn kÕt qua trªn vÒ hÖ täa ®é 0xy th× (H) cã:
+ Täa ®é tiªu ®iÓm : : F1( 1- 5 ; - 2), F2(1+ 5 ;- 2)
+ C¸c ®Ønh A1(- 1; - 2), A2( 3; -2 )
+ Ph¬ng tr×nh hai ®êng tiÖm cËn: y =2
1 (x-1)-2
VÝ dô 13. ViÕt ph¬ng tr×nh cña parabol (P) cã trôc ®èi xøng lµ trôc 0x, cã ®êngchuÈn lµ trôc 0y vµ ®i qua ®iÓm A(5; 4)
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
14
Gi¶i
Theo ®Çu bµi th× ph¬ng tr×nh ®êng chuÈn cña (P) lµ:
: x = 0 ( trôc 0y)
V× trôc ®èi xøng 0x ®i qua tiªu ®iÓm nªn täa ®é tiªu ®iÓm cña (P)lµ F( c; 0)
Do ®iÓm A thuéc (P) nªn: AF = d(A;)
(c-5)2+(-4)2= 52
c= 8 hoÆc c = 2
Víi c = 8 th× F(8;0). LÊy bÊt k× M(x; y ) thuéc (P)
MF= d(M, )
22)8( yx = x
(8-x)2 + y2 = x2
y2= 16x – 64
VËy ph¬ng tr×nh (P): y 2= 16x – 64
Víi c = 2 th× F(2;0). LÊy bÊt k× M(x; y ) thuéc (P)
MF= d(M, )
22)2( yx = x
(2-x)2 + y2 = x2
y2= 4x – 4
VËy ph¬ng tr×nh (P): y 2= 4x – 4
VÝ dô 14. Trong mÆt ph¼ng täa ®é 0xy cho ®êng cong (P) cã ph¬ng tr×nh
16x2 + 9y2+ 24xy – 56x +108y +124 = 0
Chøng minh r»ng (P) lµ mét parabol. T×m täa ®é tiªu ®iÓm vµ ph¬ng tr×nh ®êngchuÈn cña parabol ®ã.
Gi¶i
Ta cã M(x; y)(P) 16x2 + 9y2+ 24xy – 56x +108y +124 = 0
25( x2+y2-2x+4y+5) = 9x2+16y2-24xy+6x-8y+1
( x-1)2 + (y+2)2 =2
5
143
yx (*)
§Æt F(1; -2) vµ ®êng th¼ng : 3x- 4y + 1= 0.
Khi ®ã (*) MF2= d2(M; )
MF = d(M; )
VËy (P) lµ ph¬ng tr×nh parabol víi tiªu ®iÓm F(1; -2) vµ ®êng chuÈn
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
15
: 3x- 4y + 1= 0.
D¹ng 5. X¸c ®Þnh ®iÓm M n»m trªn (E),(H),(P) tháa m·n ®iÒu kiÖn cho tríc.
VÝ dô 15. Cho elip (E) : 1925
22
yx . T×m trªn (E) mét ®iÓm M sao cho MF 1=2MF2
Gi¶i
Ta cã a2= 25 a= 5
b2= 9 b= 3
c2= a2- b2 = 16 c =4
Gi¶ sö M(x0; y0) (E) 1925
20
20
yx (*)
MÆt kh¸c theo c«ng thøc tÝnh b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm ta cã :
MF1= a +a
c x0 =5 +5
4 x0
MF2= a -a
c x0 =5 -5
4 x0
§Ó MF1= 2MF2 th× : 5 +5
4 x0 = 2( 5-5
4 x0)
5
12 x0= 5 x0 = 12
25
Thay vµo (*) ta cã : 19144
25 20
y 144
119
9
20
y y0= 11912
3
VËy täa ®é cña M=
119
12
3;
12
25
VÝ dô 16. Cho hypebol (H): 139
22
yx
a)T×m trªn (H) ®iÓm M cã tung ®é lµ 1
b)T×m trªn (H) ®iÓm M sao cho gãc F 1MF2 b»ng 900.
c) T×m trªn (H) ®iÓm M sao cho F 1M= 2F2M.
Gi¶i
Ta cã : a2 = 9 a =3
b2= 3 b = 3
c2=a2+ b2= 12c= 12
a)Thay y = 1 vµo ph¬ng tr×nh cña (H) ®îc:
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
16
13
1
9
2
x 32
3
492 xx
VËy täa ®é cña M lµ 1;32
b)Gäi täa ®é M= ( x0; y0)
Do gãc F1MF2 b»ng 900 OM= OF1=OF2
cyx 20
20 x0
2+ y02= 12
Do M thuéc (H) nªn 139
20
20
yx 3x02- 9y0
2= 27
Ta cã hÖ
2793
1220
20
20
20
yx
yx
4
35
45
20
20
y
x
2
3
2
53
0
0
y
x
VËy täa ®é ®iÓm M lµ:
2
3;
2
53 ;
2
3;
2
53 ;
2
3;
2
53 ;
2
3;
2
53
c)V× MF1= 2MF2 nªn F1M > F2M M thuéc nh¸nh ph¶i vµ F1M- F2M = 2a = 6
Ta cã
6
2
21
21
MFMF
MFMF
6
12
2
1
MF
MF
Theo c«ng thøc b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm:
MF1= 0xa
ca a+
a
c x0= 3+3
32 x0 = 12
x0= 2
39
Do M thuéc (H) nªn thay x 0= 2
39 vµo (H) ta ®îc:
134
27 20
y y02=
4
69 y0= 2
69
VËy täa ®é cña M lµ :
2
69;
2
39
VÝ dô 17. Cho parabol (P): y2 = 4x.
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
17
a)T×m trªn (P) ®iÓm M c¸ch F mét kho¶ng lµ 4.
b)T×m trªn (P) ®iÓm M O sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn 0y gÊp hai lÇn kho¶ngc¸ch tõ M ®Õn 0x.
Gi¶i
a)Tõ ph¬ng tr×nh (P): y2 = 4x p = 2
Ta cã : MF = xM+2
p = 4 xM +1 = 4 xM = 3
Thay vµo (P) yM2= 12 yM =
VËy täa ®é ®iÓm M lµ: (3; 32 ).
b)Gäi täa ®é M= (x ;y).
Do M thuéc (P) nªn : y2 = 4x x 0
Tõ gi¶ thiÕt M O vµ kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn 0y gÊp hai lÇn kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn0x ta cã: 02 yx x = 02 y
Ta cã hÖ:
02
42
yx
xy
8
16
y
x
VËy täa ®é M lµ (16; 8) vµ ( 16; - 8).
D¹ng 6.Chøng minh c¸c tÝnh chÊt cña ®êng c«nic
VÝ dô 18. Cho hypebol (H): 12
2
2
2
b
y
a
x víi b2 = c2- a2 cã c¸c tiªu ®iÓm F1, F2. LÊy
M lµ ®iÓm bÊt k× trªn (H). Chøng minh r»ng : TÝch kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn hai®êng tiÖm cËn cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi.
Gi¶i
Ph¬ng tr×nh hai ®êng tiÖm cËn cña (H) lµ:
1: bx+ay = 0
2: bx - ay = 0
§Æt to¹ ®é M= (x0; y0)
Khi ®ã : d1= d(M; 1)= 22
00
ba
aybx
d2= d(M;2) = 22
00
ba
aybx
d1.d2 = 22
00
ba
aybx
.
22
00
ba
aybx
=
22
20
220
2
ba
yaxb
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
18
V× M thuäc (H) nªn : 12
20
2
20
b
y
a
x b2x02 - a2y0
2 = a2.b2
VËy d1.d2 = 22
22 .
ba
ba
(§pcm)
VÝ dô 19. Cho parabol (P): y2 = 4x.§êng th¼ng (d) bÊt kú ®i qua tiªu ®iÓm F cã hÖsè gãc k ≠ 0 c¾t (P) t¹i M vµ N.
a.Chøng minh r»ng : TÝch kho¶ng c¸ch tõ M vµ N ®Õn trôc 0x cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi.
b.T×m k sao cho FM = 4.FN.
Gi¶i
V× (d) ®i qua tiªu ®iÓm F cã hÖ sè gãc k ≠ 0 nªn cã ph¬ng tr×nh:
d: y = k( x - 1)
Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P) lµ:
[k(x - 1)]2 = 4x k2x2 - 2(k2+ 2) x + k2 = 0 (*)
'= (k2+2)2 - k4= 2k2+4 > 0 k
Ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt
VËy ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N
a.Hoµnh ®é hai ®iÓm M vµ N lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*)
Theo ®Þnh lý Viet cã: xM + xN =2
2 )2(2
k
k (1)
xM.xN = 1 (2)
Ta cã : d1 = d(M; 0x) = My = Mx4
d2 = d(M; 0x) = Ny = Nx4
d1.d2 = NM xx16 = 4 kh«ng ®æi.
b) Tõ ph¬ng tr×nh (P) Tham sè tiªu p =p
Theo c«ng thøc b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm: MF = 1 + xM
NF = 1 + xN
§Ó MF = 4NF th× 1+ xM = 4( 1 + xN)
xM - 4xN = 3 ( 3)
Tõ (2) vµ (3) xM = 4; xN = 1/4
Thay vµo (1) k =4
3
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
19
Bµi tËp ®Ò nghÞ
Bµi 1. Cho hypebol (H) : 4x2 - y2 - 4 = 0
a) X¸c ®Þnh to¹ ®é tiªu ®iÓm cña (H)
b) T×m ®iÓm M n»m trªn (H) sao cho M nh×n hai tiªu ®iÓm F 1; F2 cña (H) díi métgãc vu«ng
HD: b) - LËp ph¬ng tr×nh ®êng trßn (C) ®êng kÝnh F1F2
- Ta cã M (C) (H)
§S: a) F1( - 5 ; 0); F2( 5 ; 0)
b) M
5
4;
5
3
Bµi 2.Cho hypebol (H): 154
22
yx vµ : x - y + m = 0
a) Chøng minh r»ng : §êng th¼ng lu«n c¾t (H) t¹i hai ®iÓm M, N thuéc hainh¸nh kh¸c cña (H) . ( xM < xN)
b)X¸c ®Þnh m ®Ó F2N = 2F1N biÕt F1, F2 lµ hai tiªu ®iÓm cña (H)
HD: a) - LËp ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña vµ (H)
- Chõng minh ph¬ng tr×nh ®ã lu«n cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
b) - T×m to¹ ®é xM , xN
- Dïng c«ng thøc b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm
Bµi 3. ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elip (E) trong mçi trêng hîp díi ®©y:
a) (E) cã mét tiªu ®iÓm F1( - 7; 0) vµ ®i qua M(-2; 12)
b)(E) ®i qua ®iÓm M( 1;2
15 ) vµ cã tiªu cù 4 3
c)(E) ®i qua hai ®iÓm M( 3;5
4 ), N (- 4;5
3 )
d)(E) ®i qua M( 1;2
3 ) vµ t©m sai e =2
3
§S: a) 1147196
22
yx b) 1
416
22
yx c) 1
252
2
yx d) 1
42
2
yx
Bµi 4.ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña hypebol (H) trong mçi thêng hîp sau:
a)(H) cã tiªu ®iÓm F1( - 7; 0) vµ ®i qua M(-2; 12)
b)(H) ®i qua ®iÓm A( 4 2 ; 5) vµ cã ®êng tiÖm cËn y =4
5x
c)(H) cã tiªu cù b»ng 2 5 vµ cã tiÖm cËn xiªn y = 2x
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
20
d)(H) ®i qua A( 1; 0) vµ B( 3 ; 1)
§S: a) 148
22
yx b) 1
2516
22
yx c) 1
4
22
yx d) 1
211
22
yx
Bµi 5. ViÕt ph¬ng tr×nh cña parabol (P) trong mçi tr¬ng hîp díi ®©y
a)(P) cã ®êng chuÈn lµ : x+ y = 0 vµ tiªu ®iÓm F(2; 2)
b)(P) trôc ®èi xøng lµ trôc 0x; cã ®êng chuÈn lµ trôc 0y vµ ®i qua ®iÓm A(3; 1)
c)(P) cã trôc ®èi xøng lµ trôc 0x vµ ®i qua ®iÓm A(4; 1) ; B(1; 2)
HD:a) M(x; y) (P) d(M; ) = MF Ph¬ng tr×nh cña (P)
b)- Do trôc ®èi xøng lµ trôc 0x nªn to¹ ®é F(a; 0)
- Ta cã d(A; 0x) = AF suy ra a
- LËp ph¬ng tr×nh theo phÇn a)
c) -Tiªu ®iÓm F thuéc trôc 0x nªn to¹ ®é F(a; 0)
- §êng chuÈn 0x nªn : x = b
- Tõ
BFBd
AFAd
),(
),( suy ra a vµ b
- LËp ph¬ng tr×nh (P) nh phÇn a)
§S: a) x2 + y2 -2xy -8x -8y +16 = 0
b) y2 - 2(3 2 2 )x + (3 2 2 )2 = 0
c) y2= - x + 5
Bµi 6. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua (12; -3) vµ tiÕp xóc víi elip 11832
22
yx
§S: 3x + 4y - 24 = 0 vµ 3x - 28y -120 = 0
Bµi 7. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña hypebol (H) : 14
22
yx vÏ tõ ®iÓm (1; 4)
§S: x - 1 = 0 vµ 5x - 2y + 3 = 0
Bµi 8. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña parabol (P) : y2 = 4x ®i qua ®iÓm (- 1;3
8 )
§S: x - 3y + 9 = 0 vµ 9x + 3y + 1 = 0
Bµi 9. Cho hypebol (H) 12
2
2
2
b
y
a
x
a)TÝnh ®é dµi phÇn ®êng tiÖm cËn n»m gi÷a hai ®êng chuÈn
b)TÝnh kho¶ng c¸ch tõ tiªu ®iÓm tíi ®êng tiÖm cËn
c)Chøng minh r»ng : Ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ mét tiªu ®iÓm tíi c¸c ®êngtiÖm cËn n»m trªn ®êng chuÈn t¬ng øng víi tiªu ®iÓm ®ã.
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
21
HD:
a) - LËp ph¬ng tr×nh hai ®êng chuÈn vµ hai ®êng tiÖm cËn
- X¸c ®Þnh to¹ ®é c¸c giao ®iÓm
- TÝnh ®é dµi ®o¹n tiÖm cËn n»m gi÷a hai ®êng chuÈn (do t×nh ®èi xøng nªnhai ®o¹n lµ b»ng nhau)
b) Do tÝnh ®èi xøng cña (H) nªn chØ cÇn t×m kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm bÊt kú ®Õnmét ®êng chuÈn bÊt kú
c) - Gäi I lµ ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ F2 ®Õn ®êng tiÖm cËn d: bx + ay = 0
- Do I thuéc d nªn to¹ ®é I( x 0; -a
b x0)
- Tõ duIF 2 suy ra to¹ ®é I
- KiÓm tra I thuéc ®êng chuÈn øng víi tiªu ®iÓm F 2
§S: a) 2a b) b
Bµi 10( §H-C§ khèi D- 2005) Cho elip (E) : 114
22
yx vµ C( 2; 0). T×m A, B
thuéc (E) biÕt A, B ®èi xøng nhau qua trôc hoµnh vµ tam gi¸c ABC ®Òu.
HD: - §Æt to¹ ®é A(x0; y0) suy ra to¹ ®é B(x0; - y0)
- Tõ
ACAB
EBA )(, suy ra to¹ ®é a, b.
§S: A(7
34;
7
2 ) , B(7
34;
7
2 ) hoÆc A(7
34;
7
2 ), B(7
34;
7
2 )
Bµi 11.(C§ C¬ khÝ luyÖn kim -2007)ViÕt ph¬ng tr×nh cña hypebol (H): 149
22
yx
biÕt tiÕp tuyÕn ®ã ®i qua A( 3; 1)
§S: x - 3 = 0 vµ 5x - 6y - 9 = 0
Bµi 12. (C§ S ph¹m VÜnh phóc - 2007)Cho elip (E) : 9x2 + 16y2 = 144. LËp
ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (E) ®i qua M( 4;2
3 ) .
§S: x - 4 = 0 vµ 9x +16 y - 60 = 0
Bµi 13.
a) ViÕt ph¬ng tr×nh elip (E) biÕt hai tiªu ®iÓm lµ F 1(- 10 ; 0) , F2( 10 ; 0) vµ ®édµi trôc lín lµ 2 18 .
b)§êng th¼ng d tiÕp xóc víi (E) t¹i M c¾t hai trôc to¹ ®é t¹i A vµ B . T×m to¹ ®éM sao cho diÖn tÝch tam gi¸c OAB nhá nhÊt
HD: b) - §Æt to¹ ®é M(x0; y0)
- LËp ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i M
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
22
- X¸c ®Þnh to¹ ®é A, B theo x 0, y0.
- TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c OAB theo x 0, y0.
- Dïng ®iÒu kiÖn M thuéc (E) ®Ó t×m GTNN cña SOAB
§S: a) 1818
22
yx
b)Min S= 12 khi M( 2;3 )
Bµi 14.(Cao ®¼ng tµi chÝnh kÕ to¸n 2006).Cho elip (E): 148
22
yx víi c¸c tiªu
®iÓm F1; F2. T×m M thuéc (E) sao cho MF 1 - MF2 = 2
HD: Sö dông c«ng thøc tÝnh b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm
§S: M( 3;2 )
Bµi 15.
a) LËp ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña hypebol (H) víi tæng hai b¸n trôc b»ng 7 vµ
ph¬ng tr×nh hai ®êng tiÖm cËn lµ y =4
3 x
b)LËp ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (H) song song víi ®êng th¼ng d:5x -4y +10 =0.
§S:a) 1916
22
yx b)5x - 4y 16 = 0
Bµi 16. (C§ Giao th«ng vËn t¶i 1997)Cho hypebol (H) : x 2- y2 = 8. ViÕt ph¬ngtr×nh chÝnh t¾c cña elip ®i qua A( 4; 6) vµ cã tiªu ®iÓm trïn g víi tiªu ®iÓm cñahypebol ®· cho .
§S: 14864
22
yx
Bµi 17.Cho elip (E) : 4x2 + 16y2 = 64
a) X¸c ®Þnh c¸c tiªu ®iÓm F1, F2 , t©m sai vµ vÏ elip
b) Gäi M lµ ®iÓm bÊt k× trªn (E) . Chøng minh r»ng tû sè kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M
tíi tiªu ®iÓm ph¶i F2 vµ tíi ®êng th¼ng x =3
8 cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi.
HD: b)- LÊy bÊt k× M(x0; y0) thuéc (E)
- Sö dông c«ng thøc b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm tÝnh MF 2
- TÝnh d(M; ) víi : x =3
8
- LËp tû sè),(
2
Md
MF
§S: a) F1( - 12 ; 0), F2( 12 ; 0)
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
23
b)2
3
),(2 Md
MF
Bµi 18.LËp ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña hypebol (H) cã t©m sai e =2
5 vµ tiÕp xóc
víi ®êng trßn t©m I( 0; 4) b¸n kÝnh 25
21 .
HD: - LËp ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (H) : 12
2
2
2
b
y
a
x
- LËp ph¬ng tr×nh ®êng trßn (C)
- LËp ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (H) vµ (C).
-Tõ ®iÒu kiÖn e =2
5 vµ ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cã nghiÖm kÐp suy
ra a , b.
§S: 14
22
yx
Bµi 19.(§H-C§ khèi A - 2008)ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elip (E) biÕt t©m sai
e =3
5 vµ h×nh ch÷ nhËt c¬ së cña (E) cã chu vi b»ng 2 0.
HD : Tõ
20)(23
5
ba
e suy ra a, b.
§S: 11636
22
yx
Bµi 20.Cho elip (E) : 12
2
2
2
b
y
a
x (a>b>0)
a) Chøng minh r»ng víi ®iÓm M bÊt kú thuéc (E) th× ta cã b ax
b) Gi¶ sö ®êng th¼ng (d): y = kx c¾t elip (E) t¹i A. TÝnh OA theo a, b, k.
c) Gäi A, b thuéc (E) sao cho OA OB. Chøng minh r»ng :22
11
OBOA cã gi¸ trÞ
kh«ng ®æi.
HD:
a) - §Æt to¹ ®é M( x0; y0)
- Tõ ®iÒu kiÖn 12
20
2
20
b
y
a
x vµ a>b> 0 suy GTLN, GTNN cña OM 2 = x0
2+y02
b) - §Æt to¹ ®é A(x0; y0)
Ba ®êng c«nic
TrÇn H¶i Nh©n_Trêng THPT LÖ Thñy
24
- Tõ A = (d) (E) suy ra to¹ ®é A
- TÝnh OA
c) ¸p dông phÇn b)
§S: b) OA =222
21
akb
kab
*** HÕt ***