∂ÚÁ·Û›· ‰ ÙÔ˘ Δ.ª. Δ· ·È‰È¿ ÌÂÙÚÔ‡Ó fiÛ˜ Ï¢ڤ˜ ¤¯ÂÈ ÙÔ Î¿ı ۯ‹Ì·,·Ú·ÙËÚÔ‡Ó ÔȘ ·fi ·˘Ù¤˜ ÌÔÚ› Ó· ¤¯Ô˘Ó ›‰ÈÔ Ì‹ÎÔ˜, ÂÎÙÈÌÔ‡Ó Î·È ÛÙËÛ˘Ó¤¯ÂÈ· ·ÏËıÂ‡Ô˘Ó Ì ÙÔ ¯¿Ú·Î·.∫·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·.

9. ∂Ó·ÏÏ·ÎÙÈΤ˜ ‰È‰·ÎÙÈΤ˜ ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂȘ◗ ∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘Ó ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·‰›Ô˘, ÙÔ˘ ıÚ·-

Ó›Ô˘, Ù˘ ηÛÂÙ›Ó·˜, ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘, ÙÔ˘ ÌÏÔΠȯÓÔÁÚ·Ê›·˜ ÙÔ˘˜ Î.¿. ™ÙË Û˘Ó¤-¯ÂÈ· Ù· ‰È·Ù¿ÛÛÔ˘Ó ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ·˘Ùfi Ì ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÂÚ›ÌÂÙÚÔ.

◗ ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ÛÙ· ·È‰È¿ Û ¯·ÚÙ› Ì ÙÂÙÚ·ÁˆÓ¿ÎÈ· Ó· ÊÙÈ¿ÍÔ˘Ó ÁˆÌÂÙÚÈοۯ‹Ì·Ù· Ì ÚÔ¸Ôı¤ÛÂȘ: ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ì ÏÂ˘Ú¿ 3 ÂÎ., ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ¤Ó·ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ì ‰ÈÏ¿ÛÈ· ÏÂ˘Ú¿. Δ· ηÏԇ̠ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ó ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔÙÔ˘ ‰Â‡ÙÂÚÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘. ™˘˙ËÙ¿Ì ÙȘ ÛÙÚ·ÙËÁÈΤ˜ Ô˘ ·Ó·Ù‡ÛÛÔ˘Ó.

10. ¶ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÁÈ· ÔÏÈÁÔı¤ÛÈ· Û¯ÔÏ›· – Δ¿ÍÂȘ Ì ¤ÓÙÔÓË ‰È·ÊÔÚÔÔ›ËÛËÌÂٷ͇ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ

√È ÔÌ·‰ÔÛ˘ÓÂÚÁ·ÙÈΤ˜ ÂÚÁ·Û›Â˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Á›ÓÔ˘Ó Î·È Ì ÙË Û˘ÌÌÂÙÔ¯‹ ·È-‰ÈÒÓ Ì ·Ó¿ÏÔÁÔ Â›Â‰Ô. ªÔÚÔ‡Ó Ó· ÌË Á›ÓÔ˘Ó ÔÈ ÂÚÁ·Û›Â˜ 2 ÙÔ˘ μ.ª., ‚ ηȉ ÙÔ˘ Δ.ª.

11. ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ̆ ÔÛÙËÚ›ÍÔ˘Ó ÙÔ˘˜ÛÙfi¯Ô˘˜ ÙÔ˘ Ì·ı‹Ì·ÙÔ˜ ‰È·ıÂÌ·ÙÈο

◗ ™ÙË °ÏÒÛÛ· Î·È ÛÙËÓ ∞ÈÛıËÙÈ΋ ·ÁˆÁ‹: Δ· ·È‰È¿ ÊÙÈ¿¯ÓÔ˘Ó Î¿ÚÙ˜ Ì·ӿÏÔÁÔ ÙÚfiÔ (·fi ¯·ÚÙ› Î·È ÂÚÈÌÂÙÚÈο ÊÙÈ¿¯ÓÔ˘Ó ÎÔÚÓ›˙· ·fi ‰È¿ÊÔ-Ú· ˘ÏÈο) Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ó Ì‹Ó˘Ì· Û ·Á·Ë̤ÓÔ ÚfiÛˆÔ.

12. ™‡Ó‰ÂÛË Ì ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÏÔÁÈÛÌÈÎfi◗ °ÂˆÌÂÙÚ›·. °Ú·Ì̤˜: ÂÓÒÓÔÓÙ·˜ ÙÂÏ›˜, ÊÙÈ¿¯ÓÔ˘Ì ÁˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·.

T· ·È‰È¿ ÌÔÚÔ‡Ó, ·ÓÙ› Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ¯·ÚÙ› Ì ÙÂÙÚ·ÁˆÓ¿ÎÈ·, Ó· ·›-ÍÔ˘Ó ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹.

Κεφάλαιο 16ο. Γνωρίζω καλύτερα τα γεωμετρικά μοτίβα

1. ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓÔ˜ ̄ ÚfiÓÔ˜ ‰È‰·Ûηϛ·˜: 1 ÒÚ·

2. ∫‡ÚÈÔ˜ ‰È‰·ÎÙÈÎfi˜ ÛÙfi¯Ô˜OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·Ó·ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ó, Ó· ÂÚÈÁÚ¿ÊÔ˘Ó, Ó·ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ó Î·È Ó· ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ó ÁˆÌÂÙÚÈο ÌÔÙ›‚·.∞Ó·Ï˘ÙÈο ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ı· Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÈηÓÔ› ÒÛÙ ӷ: ◗ AӷηχÙÔ˘Ó ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Û ·Ï¿ Î·È Û‡ÓıÂÙ· ÁˆÌÂÙÚÈο ÌÔÙ›‚·.◗ ¶ÂÚÈÁÚ¿ÊÔ˘Ó ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Û ¤Ó· ÁˆÌÂÙÚÈÎfi ÌÔÙ›‚Ô.◗ K·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ó ¤Ó· ÁˆÌÂÙÚÈÎfi ÌÔÙ›‚Ô ÌÂ Î·È ¯ˆÚ›˜ ÚÔ¸Ôı¤ÛÂȘ.◗ ™˘ÓÂÚÁ¿˙ÔÓÙ·È Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ÛÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ Î·È Â¤ÎÙ·ÛË ÁˆÌÂÙÚÈ-

ÎÒÓ ÌÔÙ›‚ˆÓ.

BȂϛԉ·ÛοÏÔ˘Bã T¿ÍË

73

3. ¶ÚÔ··ÈÙÔ‡ÌÂÓ˜ ÁÓÒÛÂȘ Î·È ‰ÂÍÈfiÙËÙ˜ – ŒÏÂÁ¯Ô˜◗ N· ·Ó·ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ó Ù· ‚·ÛÈο ÁˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù· (ÙÚ›ÁˆÓ·, ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ·,

·ÎÏÔ˘˜, ÔÚıÔÁÒÓÈ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ·).◗ N· ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ó Û ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ› Ù· ‚·ÛÈο ÁˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù·.◗ N· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÙÔ ¯¿Ú·Î· ÛÙË ¯¿Ú·ÍË Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ.◗ N· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Û˘ÓÂÚÁ¿˙ÔÓÙ·È Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô.ŒÏÂÁ¯Ô˜∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· ·Ó·ÁÓˆÚ›ÛÔ˘Ó Û ÂÈÎfiÓ˜, ›Ó·Î˜ ˙ˆÁÚ·ÊÈ΋˜, Û˘-Û΢·Û›Â˜ ÚÔ˚fiÓÙˆÓ ÎÙÏ. ÁˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù· Î·È Ó· Ù· ÔÓÔÌ¿ÛÔ˘Ó.

4. ¢È·ÊÔÚÂÙÈο Ï·›ÛÈ· fiÔ˘ ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Ô Î‡ÚÈÔ˜ ‰È‰·ÎÙÈÎfi˜ ÛÙfi¯Ô˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·, ÌÔÙ›‚Ô, Úfi‚ÏËÌ·.

5. ª·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Î·È ‰Â ı··Ó·Ù˘¯ıÔ‡Ó ·Ó·Ï˘ÙÈο (ÁÈ·Ù› ı· ·Ó·Ù˘¯ıÔ‡Ó Û ¿ÏϘ Ù¿ÍÂȘ)

◗ HÌÈ·ÎÏÈÔ.◗ PfiÌ‚Ô˜.

6. ∂ÔÙÈÎfi ̆ ÏÈÎfi – ¢È‰·ÎÙÈο ÂÚÁ·Ï›·ŒÓÙ˘Ô Î·È ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎfi ˘ÏÈÎfi fiÔ˘ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È ÁˆÌÂÙÚÈο ÌÔÙ›‚·: ·Á-Á›· °ÂˆÌÂÙÚÈ΋˜ ¶ÂÚÈfi‰Ô˘, „ËÊȉˆÙ¿, ÙÔȯÔÁڷʛ˜, ·Ú·‰ÔÛȷΤ˜ ÛÙÔϤ˜Î·È ÎÂÓÙ‹Ì·Ù·. ™˘Û΢·Û›Â˜ ÚÔ˚fiÓÙˆÓ Î·ıËÌÂÚÈÓ‹˜ ¯Ú‹Û˘, ÛÂÏ›‰Â˜ ∞4, ¯·ÚÙ›ÁÏ·Û¤, ÎfiÏÏ·, „·Ï›‰È, Û˘Û΢·Û›Â˜ Ì ÙÔ ÂÚ›ÁÚ·ÌÌ· ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÌÔÚԇ̠ӷÊÙÈ¿ÍÔ˘Ì ÁˆÌÂÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù· (.¯. ·fi ¤Ó· ¢ÚÒ ÊÙÈ¿¯ÓÔ˘Ì ·ÎÏÔ, ·fi¤Ó· ΢‚¿ÎÈ Î·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÎÙÏ.), ¯¿ÓÙÚ˜ Ôχ¯ÚˆÌ˜, ÎÔÚ‰fiÓÈ.

7. ∂Ó‰ÂÈÎÙÈÎfi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÚÔ‹˜ Ì·ı‹Ì·ÙÔ˜º¿ÛÂȘ ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜º¿ÛË ·ã: ŒÏÂÁ¯Ô˜ ÚÔ··ÈÙÔ‡ÌÂÓ˘ ÁÓÒÛ˘. º¿ÛË ‚ã: ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· – ·Ó·Î¿Ï˘„Ë.º¿ÛË Áã: ∂ÚÒÙËÛË ·ÊfiÚÌËÛ˘. º¿ÛË ‰ã: ∂ÈÛËÌÔÔ›ËÛË Ù˘ Ó¤·˜ ÁÓÒÛ˘.º¿ÛË Âã: ∂Ê·ÚÌÔÁ‹: ∂ÚÁ·Û›Â˜ ·, ‚ ÙÔ˘ Δ.ª.

∂̤‰ˆÛË: ∂ÚÁ·Û›Â˜ Á, ‰ ÙÔ˘ Δ.ª.

8. ¶ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÂÚÁ·ÛÈÒÓ. ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - ·Ó·Î¿Ï˘„Ë£· ÌÔÚÔ‡Û ÙÔ Ì¿ıËÌ· Ó· ·ÎÔÏÔ˘ı‹ÛÂÈ ÌÂÙ¿ ·fi ÌÈ· ÂÎ·È‰Â˘ÙÈ΋ ›ÛÎÂ-„Ë Û ·Ú¯·ÈÔÏÔÁÈÎfi, Ï·ÔÁÚ·ÊÈÎfi ÌÔ˘ÛÂ›Ô ‹ ÈÓ·ÎÔı‹ÎË, fiÔ˘ Ù· ·È‰È¿ ı·¤ÚıÔ˘Ó Û ·ʋ Ì ·ÓÙÈΛÌÂÓ· ‰È·ÎÔÛÌË̤ӷ Ì ÁˆÌÂÙÚÈο ÌÔÙ›‚·. ∞Ó ·˘Ùfi‰ÂÓ Â›Ó·È ÂÊÈÎÙfi, ‰Â›¯ÓÔ˘Ì ÛÙ· ·È‰È¿ ÂÈÎfiÓ˜ ·ÓÙÈÎÂÈÌ¤ÓˆÓ ·fi ‰È¿ÊÔÚÔ˘˜ÔÏÈÙÈÛÌÔ‡˜ ‹ χΈ̷ Ì ·Ú·‰ÔÛȷ΋ ·Ú¯ÈÙÂÎÙÔÓÈ΋, ÔÈÎÔÙ¯ӛ·, ‰È·ÎÔÛÌË-ÙÈ΋ ‹ ÂÈÎfiÓ˜ ·fi ÙÔ ‰È·‰›ÎÙ˘Ô, ηıÒ˜ Î·È ›Ó·Î˜ ÌÔÓÙ¤ÚÓ·˜ ˙ˆÁÚ·ÊÈ΋˜.∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔ˘Ó Î¿ı ÊÔÚ¿ ÙÔ ÎÔÌÌ¿ÙÈ Ô˘ ·ӷ-Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È ÛÙ·ıÂÚ¿ Û fiϘ ·˘Ù¤˜ ÙȘ ÂÈÎfiÓ˜ Î·È Ó· Ô˘Ó ·Ó ¤¯Ô˘Ó ‰ÂÈ Î·È Ô‡Î¿ÙÈ ·Ó¿ÏÔÁÔ.™ÙÔ ‚È‚Ï›Ô Ù· ·È‰È¿ ‰È·‚¿˙Ô˘Ó ÙËÓ ÂÚÒÙËÛË ·ÊfiÚÌËÛ˘ Î·È ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó ÙȘ·fi„ÂȘ ÙÔ˘˜. ™˘˙ËÙ¿Ì ÁÈ· ÙȘ ÂÈÎfiÓ˜ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ Î·È ÂÓÙÔ›˙Ô˘Ì ٷ ÁˆÌÂ-

M·ıËÌ·ÙÈοBã T¿ÍË

74

ÙÚÈο Û¯‹Ì·Ù· Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È Ì ÔÈÔÓ ÙÚfiÔ Â·Ó·Ï·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È ÛÙËÓηıÂÌÈ¿ ÂÈÎfiÓ·. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· οÓÂÈ Î¿ı ·È‰› ÙËÓ ÂÚÁ·Û›· Ô˘ ‰Â›¯ÓÂÈ Ù· Áˆ-ÌÂÙÚÈο ÌÔÙ›‚· Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙȘ ÌÏÔ‡˙˜ ÙˆÓ ÚˆÙ·ÁˆÓÈÛÙÒÓ. ∫·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì ÛÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ÁˆÌÂÙÚÈÎÔ‡ ÌÔÙ›‚Ô˘ (Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·).∂ÚÁ·Û›· · ÙÔ˘ Δ.ª. Δ· ·È‰È¿ ·Ú·ÙËÚÔ‡Ó Î·È ÂÚÈÁÚ¿ÊÔ˘Ó ÙÔÓ ÙÚfiÔ ÁÈ· Ó·ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ó ÙÔ ÌÔÙ›‚Ô (¤Ó· ÎfiÎÎÈÓÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ì¤Û· Û ¤Ó· Ú¿ÛÈÓÔ ÙÂÙÚ¿Áˆ-ÓÔ). ∫¿ı ·È‰› ÂÚÁ¿˙ÂÙ·È ·ÙÔÌÈο. ∂ÚÁ·Û›· ‚ ÙÔ˘ Δ.ª. ∂ÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ. ∂È̤ÓÔ˘Ì ÛÙËÓ ·Ó·Î¿-Ï˘„Ë ÙÔ˘ ηÓfiÓ· Î·È ÛÙËÓ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÙÔ˘ ÙÚfiÔ˘ Ô˘ ı· ÙÔ ÂÂÎÙ›ÓÔ˘ÌÂ.∂ÚÁ·Û›Â˜ Á Î·È ‰ ÙÔ˘ Δ.ª. ¶ÈÔ ··ÈÙËÙÈΤ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜. Δ· ·È‰È¿ ÌÔÚÔ‡ÓÓ· Û˘ÓÂÚÁ·ÛÙÔ‡Ó. ™ÙËÓ ÂÚÁ·Û›· ‰ ÂÈ̤ÓÔ˘Ì ӷ ÂÚÈÁÚ¿„Ô˘Ó Ù· ·È‰È¿ Ò˜ı· ÂÚÁ·ÛÙÔ‡Ó ÚÈÓ ˙ˆÁÚ·Ê›ÛÔ˘Ó, ÒÛÙ ӷ ÌË Á›ÓÔ˘Ó Ï¿ıË.

9. ∂Ó·ÏÏ·ÎÙÈΤ˜ ‰È‰·ÎÙÈΤ˜ ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂȘ◗ Δ· ·È‰È¿ ¯ˆÚ›˙ÔÓÙ·È Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô. ∫fi‚Ô˘Ó ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ·, ÙÚ›ÁˆÓ·,

·ÎÏÔ˘˜, ÔÚıÔÁÒÓÈ· ·fi ¯ÚˆÌ·ÙÈÛÙ¤˜ ÎfiÏϘ ÁÏ·Û¤. ™ÎÔfi˜ Â›Ó·È Ë Î¿ıÂÔÌ¿‰· Ó· ÊÙÈ¿ÍÂÈ Î·È Ó· ÎÔÏÏ‹ÛÂÈ Û ÛÂÏ›‰· ∞4 ¤Ó· ÁˆÌÂÙÚÈÎfi ÌÔÙ›‚Ô ÌÂÙ· Û¯‹Ì·Ù· Ô˘ ¤¯ÂÈ Îfi„ÂÈ (¤¯Ô˘Ó fiÏ· Ù· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ›‰ÈÔ Ì¤ÁÂıÔ˜ Î·È ¯ÚÒ-Ì·, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ¿ÏÏÔ ¯ÚÒÌ· Î·È Ì¤ÁÂıÔ˜ ÎÙÏ.). ∫¿ı ÔÌ¿‰· ÂÍËÁ› Ò˜¤ÊÙÈ·Í ÙÔ ÌÔÙ›‚Ô (ÙÔÓ Î·ÓfiÓ·). √È ¯ÂÈÚÔÙ¯ӛ˜ ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÁÈ· ‰È·ÎfiÛÌËÛË Ù˘ Ù¿Í˘.

◗ ∫·Ù·Û΢‹ ÛÂÏȉԉ›ÎÙË Ô˘ ‰È·ÎÔÛÌÂ›Ù·È ·fi Ù· ·È‰È¿ Ì ÁˆÌÂÙÚÈοÌÔÙ›‚·.

◗ ∫·Ù·Û΢‹ ÎÔÌÔÏÔÁÈÔ‡ Ì Ôχ¯ÚˆÌ˜ ¯¿ÓÙÚ˜ ÔÈ Ôԛ˜ ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó¤Ó·Ó Î·ÓfiÓ· (ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ô˘ ·ӷϷ̂¿ÓÔÓÙ·È).

10. ¶ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÁÈ· ÔÏÈÁÔı¤ÛÈ· Û¯ÔÏ›· – Δ¿ÍÂȘ Ì ¤ÓÙÔÓË ‰È·ÊÔÚÔÔ›ËÛËÌÂٷ͇ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ

ªÔÚÔ‡Ó Ó· ÌË Á›ÓÔ˘Ó ÔÈ ÂÚÁ·Û›Â˜ ·, ‚, ‰ ÙÔ˘ Δ.ª.

11. ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ̆ ÔÛÙËÚ›ÍÔ˘Ó ÙÔ˘˜ÛÙfi¯Ô˘˜ ÙÔ˘ Ì·ı‹Ì·ÙÔ˜ ‰È·ıÂÌ·ÙÈο

◗ ™¯¤‰ÈÔ ÂÚÁ·Û›·˜: «Δ· ÌÔÙ›‚· ÛÙË ˙ˆ‹ Ì·˜, ÛÙË Ï·˚΋ Ì·˜ ·Ú¿‰ÔÛË».◗ ¢È·‚¿˙Ô˘Ó ÙÔ «NÙ›ÏÈ ÓÙ›ÏÈ» (Ô˘ ¤¯ÂÈ Ú˘ıÌfi), ·ÏÏ¿ Î·È ÙÚ·ÁÔ‡‰È· Ì ¤ÓÙÔÓÔ

ÚÂÊÚ¤Ó.◗ ™ÙËÓ ∞ÈÛıËÙÈ΋ ·ÁˆÁ‹: OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ‰È·ÎÔÛÌÔ‡Ó Ì ÌÔÙ›‚· οÚÙ˜, ηٷÛ΢-

¤˜, ÂÍÒÊ˘ÏÏ· Ô˘ ¤ÊÙÈ·Í·Ó ÔÈ ›‰ÈÔÈ ÛÙ· ÏÔÁÔÙ¯ÓÈο ‚È‚Ï›· Ô˘ ‰È¿‚·Û·Ó.

Κεφάλαιο 17ο. Υπολογίζω με πολλούς τρόπους αριθμούς μέχρι το 100.Εισαγωγή στην προπαίδεια

1. ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓÔ˜ ̄ ÚfiÓÔ˜ ‰È‰·Ûηϛ·˜: 1 ÒÚ·

2. ∫‡ÚÈÔ˜ ‰È‰·ÎÙÈÎfi˜ ÛÙfi¯Ô˜OÈ Ì·ıËÙ¤˜ Ó· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ̆ ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ó ÓÔÂÚ¿ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· ̤¯ÚÈ ÙÔ 100.

BȂϛԉ·ÛοÏÔ˘Bã T¿ÍË

75

∞Ó·Ï˘ÙÈο ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÌÔÚÔ‡Ó Ó·:◗ ¶ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ó ÓÔÂÚ¿ Ì ‰Âο‰Â˜ Î·È ÌÔÓ¿‰Â˜ ‹ Ì ˘¤Ú‚·ÛË Ù˘ ‰Âο‰·˜ ‹

Ì ٷ ‰ÈÏ¿ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·, Î·È ÂϤÁ¯Ô˘Ó Ì οıÂÙË Ú¿ÍË.◗ ™˘Óı¤ÙÔ˘Ó ¤Ó· ‰È„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi Ì ›‰ÈÔ˘˜ ‹ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ fiÚÔ˘˜.◗ K¿ÓÔ˘Ó ÓÔÂÚ¿ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÚÔÛı¤ÛÂȘ ›‰ÈˆÓ fiÚˆÓ (ÂÈÛ·ÁˆÁ‹ ÛÙËÓ ÚÔ·›‰ÂÈ·).◗ §‡ÓÔ˘Ó ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·.

3. ¶ÚÔ··ÈÙÔ‡ÌÂÓ˜ ÁÓÒÛÂȘ - ŒÏÂÁ¯Ô˜◗ N· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·Ó·Ï‡Ô˘Ó ʈÓÔÏÔÁÈο ‰È„‹ÊÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ (Û ‰Âο‰Â˜

Î·È ÌÔÓ¿‰Â˜).◗ N· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ó ÓÔÂÚ¿ Ì ‰È¿ÊÔÚ˜ ÛÙÚ·ÙËÁÈΤ˜ Î·È Ó· ÂϤÁ-

¯Ô˘Ó Ì ÂÔÙÈÎfi ˘ÏÈÎfi, ‰¿¯Ù˘Ï·, ·ÚÈıÌÔÁÚ·ÌÌ‹, οıÂÙË Ú¿ÍË.◗ N· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Û˘ÓÂÚÁ¿˙ÔÓÙ·È Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô.ŒÏÂÁ¯Ô˜∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿, ̄ ˆÚÈṲ̂ӷ Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô, Ó· ̆ ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ó ÙËÓ·Í›· ÙÔ˘ ÌÔÙ›‚Ô˘ √<>√<>√<>√<>, fiÔ˘ √ = 5 Î·È <> = 1. ¶·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÛÙÔӛӷη ÙȘ ÛÙÚ·ÙËÁÈΤ˜ Ô˘ ·Ó·Î¿Ï˘„·Ó, .¯.: 5+5+5+5+1+1+1+1 ‹ 10+2+10+2‹ 12+12 ‹ 5+1+6, 6+6+6+6.

4. ¢È·ÊÔÚÂÙÈο Ï·›ÛÈ· fiÔ˘ ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Ô Î‡ÚÈÔ˜ ‰È‰·ÎÙÈÎfi˜ ÛÙfi¯Ô˜AÚÈıÌÔ› Î·È Ú¿ÍÂȘ, ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ: ¯ÚfiÓÔ˜, ÌÔÙ›‚Ô, Úfi‚ÏËÌ·.

5. ª·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Î·È ‰Â ı··Ó·Ù˘¯ıÔ‡Ó ·Ó·Ï˘ÙÈο (ÁÈ·Ù› ı· ·Ó·Ù˘¯ıÔ‡Ó Û ÂfiÌÂÓ· ÎÂÊ¿Ï·È·)

◗ K¿ıÂÙË ÚfiÛıÂÛË Ì ÎÚ·ÙÔ‡ÌÂÓÔ.◗ MÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ ¯ÚfiÓÔ˘.

6. ∂ÔÙÈÎfi ̆ ÏÈÎfi – ¢È‰·ÎÙÈο ÂÚÁ·Ï›·∫˘‚¿ÎÈ· ‹ ÎÔÚ‰fiÓÈ Ì ¯¿ÓÙÚ˜, „‡ÙÈη ¢ÚÒ, ËÌÂÚÔÏfiÁÈÔ Ì ÙÔ˘˜ 12 Ì‹Ó˜.

7. ∂Ó‰ÂÈÎÙÈÎfi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÚÔ‹˜º¿ÛÂȘ ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜º¿ÛË ·ã :ŒÏÂÁ¯Ô˜ ÚÔ··ÈÙÔ‡ÌÂÓ˘ ÁÓÒÛ˘.º¿ÛË ‚ã :∂ÚÒÙËÛË ·ÊfiÚÌËÛ˘.º¿ÛË Áã :¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· – ·Ó·Î¿Ï˘„Ë ∂ÚÁ·Û›· 1 ÙÔ˘ B.ª.º¿ÛË ‰ã :∂ÈÛËÌÔÔ›ËÛË Ù˘ Ó¤·˜ ÁÓÒÛ˘.º¿ÛË Âã :∂Ê·ÚÌÔÁ‹ ÂÚÁ·Û›· 2 ÙÔ˘ μ.ª.

∂Ê·ÚÌÔÁ‹ – ∂̤‰ˆÛË ÂÚÁ·Û›· · ÙÔ˘ Δ.ª.º¿ÛË ÛÙã :∂̤‰ˆÛË – ∂¤ÎÙ·ÛË ÂÚÁ·Û›· ‚ ÙÔ˘ Δ.ª.

8. ¶ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÂÚÁ·ÛÈÒÓ. ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - ·Ó·Î¿Ï˘„ËΔ· ·È‰È¿ ‰È·‚¿˙Ô˘Ó ÙËÓ ÂÚÒÙËÛË ·ÊfiÚÌËÛ˘ Î·È Û˘˙ËÙÔ‡Ó Ê¤ÚÓÔÓÙ·˜ Û˘ÁÎÂ-ÎÚÈ̤ӷ ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· (fiˆ˜ ÛÙËÓ ÂÚÁ·Û›· ÂϤÁ¯Ô˘ Ô˘ ÚÔËÁ‹ıËÎÂ).™ÙË ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - ·Ó·Î¿Ï˘„Ë, ÚÔÙ›ÓÔ˘Ó ÙÚfiÔ˘˜ Ó· χÛÔ˘Ó ÙÔ Úfi‚ÏË-Ì·. ™˘˙ËÙ¿Ì ÛÙËÓ Ù¿ÍË ¿ÏÏÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜ Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘ÌÂ: 11+4+5+14. ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·:

M·ıËÌ·ÙÈοBã T¿ÍË

76

1Ô˜ ÙÚfiÔ˜: 10+1+4+5+10+4 10+10 20+14= (20 + 10) + 4 = 34.1+ 4+5+4

2Ô˜ ÙÚfiÔ˜: (11+14)+4+5=25+4+5=30+4=34.

3Ô˜ ÙÚfiÔ˜: (11+4) + (14+5)= 15+19=10+10+9+5=20+14=34.

4Ô˜ ÙÚfiÔ˜: (11+4+5) +14= 20+14=34.

∂ÚÁ·Û›· 1 ÙÔ˘ μ.ª. ªÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈ΋ ‰È‰·ÎÙÈ΋ ‚Ȉ̷ÙÈ΋ ÚÔ-Û¤ÁÁÈÛË. Δ· ·È‰È¿ Ì ‰›¯ÚˆÌ˜ ¯¿ÓÙÚ˜ ÊÙÈ¿¯ÓÔ˘Ó ÎÔÚ‰fiÓÈ Ì ٷ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤-Ó· ÌÔÙ›‚·.ªÔÚÔ‡Ó Ó· ÊÙÈ¿ÍÔ˘Ó Â›Û˘ ÌÔÙ›‚Ô Ì 6 ÎfiÎÎÈÓ˜ Î·È 12 ΛÙÚÈÓ˜ ¯¿ÓÙÚ˜ Î·È˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ó Ì ‰È¿ÊÔÚÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜ ÙËÓ ·Í›· ÙÔ˘. ∏ ÂÚÁ·Û›· ·˘Ù‹ ÌÔÚ› Ó·Á›ÓÂÈ Î·È Ì οı ·È‰› ÌfiÓÔ ÙÔ˘ (ÔfiÙÂ, ı· ÊÙÈ¿ÍÂÈ ‰‡Ô ÌÔÙ›‚·).∂ÚÁ·Û›· 2 ÙÔ˘ μ.ª. Δ· ·È‰È¿ ·Ú·ÙËÚÔ‡Ó ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· Ì ٷ ÁÚ·ÌÌ·ÙfiÛË-Ì·. ΔÔ Ï¤Ó Ì ‰Èο ÙÔ˘˜ ÏfiÁÈ· Î·È ÚÔÙ›ÓÔ˘Ó Ï‡ÛË, ÂÍËÁÒÓÙ·˜ Ò˜ ÛΤÊÙË-ηÓ. ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÛÙÔÓ ›Ó·Î· ÙȘ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ (ÙȘ ·Í›Â˜ ÙˆÓ ÁÚ·Ì-Ì·ÙÔÛ‹ÌˆÓ Û οı ʿÎÂÏÔ).∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· ÚÔÙ›ÓÔ˘Ó ÛÙÚ·ÙËÁÈΤ˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡. ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜ ¯¿ÚË:

ñ 18+12+10 + 18+12+10. 1Ô˜ ÙÚfiÔ˜: (10+10+10+10+10+10) + (8+2) + (8+2)=60+20=80 Ï.

2Ô˜ ÙÚfiÔ˜: 18+2+(10+10)= 20+20=40 40+40=80 Ï.

ñ 15+15+15+15+15+151Ô˜ ÙÚfiÔ˜: (10+10+10+10+10+10)+(5+5+5+5+5+5)=60+30=90 Ï.

2Ô˜ ÙÚfiÔ˜: (15+5+10)+ (15+5+10)+(15+5+10)=30+30+30=90 Ï.™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ù· ·È‰È¿ ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ó Ù· Ú¤ÛÙ· ·fi 1 Î·È 2 ¢ÚÒ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. Δ··È‰È¿ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÂϤÁÍÔ˘Ó Ù· Ú¤ÛÙ· Ì οıÂÙÔ ¿‚·Î· ‹ „‡ÙÈη ¢ÚÒ.∫·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·.∂ÚÁ·Û›· · ÙÔ˘ Δ.ª. ªÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ Û¯¤‰ÈÔ ÂÚÁ·Û›·˜ ‹ ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈ΋ ‰È‰·ÎÙÈ΋ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË. ∂ÍËÁԇ̠fiÙÈ ¤Ó·˜ Ì‹Ó·˜ Â›Ó·È ÂÚ›Ô˘ 30 ̤Ú˜. ™Â οÔÈÔ˘˜Ì‹Ó˜ ˘¿Ú¯ÂÈ 1 ̤ڷ ·Ú·¿Óˆ Î·È Û οÔÈÔ˘˜ 1 ‹ 2 ̤Ú˜ ÏÈÁfiÙÂÚ˜ (‰Â‰È‰¿ÛÎÔ˘Ì ÙÔ˘˜ Ì‹Ó˜ Î·È ÙȘ ̤Ú˜).Δ· ·È‰È¿ ηÏÔ‡ÓÙ·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ó ÙȘ ̤Ú˜ ηٿ ÙÔ˘˜ Ì‹Ó˜ ÙÔ˘ ηÏÔηÈÚÈ-Ô‡ Î·È ÙÔ˘ ÊıÈÓÔÒÚÔ˘ Ì ÓÔÂÚÔ‡˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ Î·È Ì οıÂÙË Ú¿ÍË.ªÔÚÔ‡Ó Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ó Î·È ÙȘ ̤Ú˜ ÙˆÓ ÌËÓÒÓ ÙÔ˘ ¯ÂÈÌÒÓ· Î·È Ù˘ ¿ÓÔÈ-͢ ·ÊÔ‡ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔ˘Ó ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÛÙȘ ̤Ú˜ ÙˆÓ ÌËÓÒÓ: ÔÈ Ì‹Ó˜ ÙÔ˘ ¯ÂÈ-ÌÒÓ· ¤¯Ô˘Ó 30 +30+28+2 ‹ 30+30+29+2 ̤Ú˜, ÂÓÒ Ù˘ ¿ÓÔÈ͢ 30+30+30+2. ¢ÂÓ Î¿ÓÔ˘Ì οıÂÙË ÚfiÛıÂÛË Ì ÎÚ·ÙÔ‡ÌÂÓÔ.™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ó ÙȘ ̤Ú˜ οı ÂÔ¯‹˜. YÔÏÔÁ›˙Ô˘Ó Ì ÂÎÙ›ÌËÛË 30+30+30 Û οıÂÂÔ¯‹. ∂ÚÁ·Û›· ‚ ÙÔ˘ Δ.ª. Δ· ·È‰È¿ Ô˘ ı· ·Û¯ÔÏËıÔ‡Ó Ì ÙËÓ ÂÚÁ·Û›· ı· ¯ÚÂÈ·-ÛÙ› Ó· οÓÔ˘Ó ÙËÓ ·ıÚÔÈÛÙÈ΋ ·Ó¿Ï˘ÛË ÙÔ˘ 25, 30, 80, 100. ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·:

BȂϛԉ·ÛοÏÔ˘Bã T¿ÍË

77

}

25=17+8 30=15+15 80=15+15+8+17+5+17100=17+8+17+8+17+8+17+8∏ ÂÚÁ·Û›· ·˘Ù‹ ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈ΋ ‰È‰·ÎÙÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË, ‚Ȉ̷-ÙÈ΋. º¤ÚÓÔ˘Ì ڷÁÌ·ÙÈο ÁÚ·ÌÌ·ÙfiÛËÌ· Î·È Ê·Î¤ÏÔ˘˜ fiÔ˘ ̤۷ Ù· ·È-‰È¿ ı· ‚¿ÏÔ˘Ó ¤Ó· ÁÚ¿ÌÌ· Û ·Á·Ë̤ÓÔ ÚfiÛˆÔ, ÙÔ ÔÔ›Ô Î·È ı· ÛÙ›ÏÔ˘ÓÌ ÙÔ Ù·¯˘‰ÚÔÌ›Ô.

9. ∂Ó·ÏÏ·ÎÙÈΤ˜ ‰È‰·ÎÙÈΤ˜ ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂȘ◗ √È ÂÚÁ·Û›Â˜ ·, ‚ ÙÔ˘ Δ.ª., fiˆ˜ ÂÚÈÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ·Ú·¿Óˆ.◗ ºÙÈ¿¯ÓÔ˘Ó ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÁÈ· ÙËÓ ÙÚ¿Â˙· ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Ù˘ Ù¿Í˘ Ô˘ χÓÔ-

ÓÙ·È Ì ‰È·‰Ô¯Èο ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· (›‰ÈˆÓ ‹ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÒÓ fiÚˆÓ).◗ ¢Ú·Ì·ÙÔÔ›ËÛË ·ÁÔÚÒÓ (·ÁÔÚ¿˙Ô˘Ì ‰È¿ÊÔÚ· ÚÔ˚fiÓÙ· ›‰È· ‹ ‰È·ÊÔÚÂ-

ÙÈο) Î·È ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì fiÛ· Ú¤ÂÈ Ó· ÏËÚÒÛÔ˘ÌÂ.

10. ¶ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÁÈ· ÔÏÈÁÔı¤ÛÈ· Û¯ÔÏ›·√È ÔÌ·‰ÔÛ˘ÓÂÚÁ·ÙÈΤ˜ ÂÚÁ·Û›Â˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Á›ÓÔ˘Ó Ì ÙÚÔÔÔ›ËÛ‹ ÙÔ˘˜ÒÛÙ ӷ ÙËÓ Î¿ÓÂÈ Î¿ı ·È‰› ÌfiÓÔ ÙÔ˘. MÔÚÔ‡Ó Ó· ÌË Á›ÓÔ˘Ó ÔÈ ÂÚÁ·Û›Â˜ 1ÙÔ˘ μ.ª. Î·È ‚ ÙÔ˘ Δ.ª.

11. ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ̆ ÔÛÙËÚ›ÍÔ˘Ó ÙÔ˘˜ÛÙfi¯Ô˘˜ ÙÔ˘ Ì·ı‹Ì·ÙÔ˜

◗ ™ÙËÓ AÈÛıËÙÈ΋ ·ÁˆÁ‹: MÔÚÔ‡Ó Ó· ÊÙÈ¿ÍÔ˘Ó ÎÔÏ¿˙ Ì ÂÈÎfiÓ˜ ·fi ÙÈ̃ 4 ÂÔ¯¤ .̃◗ ™¯¤‰ÈÔ ÂÚÁ·Û›·˜ «∫·Ù·Û΢‹ ËÌÂÚÔÏÔÁ›Ô˘».◗ ∂Ì›˜ Î·È Ô ÎfiÛÌÔ˜: M·ı‹Ì·Ù· Û¯ÂÙÈο Ì ÙȘ ·Û¯Ôϛ˜ ÙˆÓ ·ÓıÚÒˆÓ ÛÂ

οı ÂÔ¯‹ ‹ ÔÈ ·ÏÏ·Á¤˜ ÛÙË Ê‡ÛË ·Ó¿ ÂÔ¯‹.◗ ¢È·‚¿˙Ô˘Ì ٷ ·Á·Ë̤ӷ ·Ú·Ì‡ıÈ· ÛÙËÓ Ù¿ÍË: ª‡ıÔÈ ÙÔ˘ ∞ÈÛÒÔ˘, «√

Ù˙›Ù˙Èη˜ ÎÈ Ô Ì¤ÚÌËÁη˜», «Δ· ·È‰È¿ Ù˘ ÕÓÔÈ͢, ÙÔ˘ ºıÈÓÔÒÚÔ˘, ÙÔ˘K·ÏÔηÈÚÈÔ‡ Î·È ÙÔ˘ XÂÈÌÒÓ·».

◗ ™ÙË °ÏÒÛÛ· ÊÙÈ¿¯ÓÔ˘Ì ÁÚ¿ÌÌ·Ù· Û ·Á·Ë̤ӷ ÚfiÛˆ· Î·È Ù· ÛÙ¤Ï-ÓÔ˘Ì Ì ÙÔ Ù·¯˘‰ÚÔÌ›Ô.

Κεφάλαιο 18ο . Φτιάχνω διψήφιους αριθμούς με πρόσθεση ίδιων ή διαφορετικών αριθμών

1. ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓÔ˜ ̄ ÚfiÓÔ˜ ‰È‰·Ûηϛ·˜: 2 ÒÚ˜

2. ∫‡ÚÈÔ˜ ‰È‰·ÎÙÈÎfi˜ ÛÙfi¯Ô˜ √È Ì·ıËÙ¤˜ ı· Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÈηÓÔ› Ó· οÓÔ˘Ó ÓÔÂÚÔ‡˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ Ì ›‰ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÛÙÚ·ÙËÁÈΤ˜.∞Ó·Ï˘ÙÈο ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÌÔÚÔ‡Ó Ó·:◗ ™˘Ó¯›˙Ô˘Ó ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ·Ï˘Û›‰Â˜. ◗ AÓ·ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÂÓfi˜ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ ÌÂ

ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜ ·fi 3 ÚÔÛıÂÙ¤Ô˘˜.

M·ıËÌ·ÙÈοBã T¿ÍË

78

◗ T·˘Ù›ÛÔ˘Ó ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ ¯ (›) Ì ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÚÔÛı¤ÛÂȘ ›‰ÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ.◗ ™˘ÓÂÚÁ¿˙ÔÓÙ·È Û ÔÌ¿‰· ÙˆÓ ‰‡Ô ‹ ÙˆÓ ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ.

3. ¶ÚÔ··ÈÙÔ‡ÌÂÓ˜ ÁÓÒÛÂȘ - ŒÏÂÁ¯Ô˜◗ N· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·Ó·ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ó ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· ÌÈ·˜ ·ÚÈıÌËÙÈ΋˜ ·Ï˘Û›‰·˜. ◗ N· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó ÙÔ Ï¿ıÔ˜ Û ÌÈ· ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ï˘Û›‰· Î·È Ó· ÙÔ

‰ÈÔÚıÒÓÔ˘Ó.◗ N· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·ıÚÔ›˙Ô˘Ó Ì fiÔÈÔÓ ÙÚfiÔ ÌÔÚÔ‡Ó (‰¿¯Ù˘Ï·, ··Ú›ı-

ÌËÛ˘, Ì ÙÔ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ, Ì ÙËÓ ˘¤Ú‚·ÛË Ù˘ ‰Âο‰·˜) ÌÔÓÔ„‹ÊÈÔ˘˜ ηȉȄ‹ÊÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.

◗ N· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ó Úfi‚ÏËÌ·.◗ N· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Û˘ÓÂÚÁ¿˙ÔÓÙ·È Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô.ŒÏÂÁ¯Ô˜°Ú¿ÊÔ˘Ì ÛÙÔÓ ›Ó·Î· ÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ï˘Û›‰· 6, 12, 18, 24, 31, 37, 44 ηÈ˙ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· ÙËÓ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔ˘Ó Î·È Ó· ÎÚ›ÓÔ˘Ó ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ‹ ‹fi¯È. ∂ÍËÁÔ‡Ó ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Î·È ·Ú¯›˙Ô˘Ó Ó· ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ó ÓÔÂÚ¿ ·Ó¿ 6. ªÔÚÔ‡ÓÓ· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ó Ù· ‰¿¯Ù˘Ï¿ ÙÔ˘˜, Ù· ‰ÈÏ¿ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·, ÙÔ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘18 ÎÙÏ. °Ú¿ÊÔ˘Ì ·fi οو ÙË ÛˆÛÙ‹ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ï˘Û›‰· (6, 12, 18, 24, 30,36, 42). Δ· ·È‰È¿ ÂÈÛËÌ·›ÓÔ˘Ó ÙÔ˘˜ Ï·Óı·Ṳ̂ÓÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÛÙËÓ ÚÒÙË·Ï˘Û›‰· Î·È ÂÌ›˜ ÙÔ˘˜ ΢ÎÏÒÓÔ˘ÌÂ.

4. ¢È·ÊÔÚÂÙÈο Ï·›ÛÈ· fiÔ˘ ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Ô Î‡ÚÈÔ˜ ‰È‰·ÎÙÈÎfi˜ ÛÙfi¯Ô˜AÚÈıÌÔ› Î·È Ú¿ÍÂȘ, ÁˆÌÂÙÚ›·, ÌÔÙ›‚Ô, Úfi‚ÏËÌ·.

5. ª·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Î·È ‰Â ı··Ó·Ù˘¯ıÔ‡Ó ·Ó·Ï˘ÙÈο (ÁÈ·Ù› ı· ·Ó·Ù˘¯ıÔ‡Ó Û ÂfiÌÂÓ· ÎÂÊ¿Ï·È·)

◗ H ÚÔ·›‰ÂÈ· (‰ÂÓ Â›Ó·È ÛÙfi¯Ô˜ ÛÙË Bã T¿ÍË Ë ÂÎÌ¿ıËÛË ÙˆÓ ÁÈÓÔ̤ӈÓÌ ·ÔÛÙ‹ıÈÛË, ·ÏÏ¿ Ë Î·Ù·ÓfiËÛË – Ë ÚÔ·›‰ÂÈ· ‰È‰¿ÛÎÂÙ·È Û ÂfiÌÂÓ·ÎÂÊ¿Ï·È·).

◗ MÔÓ¿‰Â˜ ̤ÙÚËÛ˘ ¯ÚfiÓÔ˘.

6. ∂ÔÙÈÎfi ̆ ÏÈÎfi – ¢È‰·ÎÙÈο ÂÚÁ·Ï›·Õ‚·Î·˜, ·ÚÈıÌÔÁÚ·ÌÌ‹ ‹ ÌÂ˙Ô‡Ú·, οÚÙ˜ Ì ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi ·ÓÙÈÎÂÈÌ¤ÓˆÓ (fiˆ˜ Ù·¯·ÚÙÈ¿ Ù˘ ÙÚ¿Ô˘Ï·˜).

7. ∂Ó‰ÂÈÎÙÈÎfi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÚÔ‹˜ 1˘ ‰È‰·ÎÙÈ΋˜ ÒÚ·˜º¿ÛÂȘ ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜º¿ÛË ·ã: ŒÏÂÁ¯Ô˜ ÚÔ··ÈÙÔ‡ÌÂÓ˘ ÁÓÒÛ˘. º¿ÛË ‚ã: ∂ÚÒÙËÛË ·ÊfiÚÌËÛ˘. º¿ÛË Áã: ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· – ·Ó·Î¿Ï˘„Ë ∂ÚÁ·Û›· ÙÔ˘ μ.ª.º¿ÛË ‰ã: ∂ÈÛËÌÔÔ›ËÛË Ù˘ Ó¤·˜ ÁÓÒÛ˘.

8. ¶ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÂÚÁ·ÛÈÒÓ. ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - ·Ó·Î¿Ï˘„Ë. μȈ̷ÙÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛËΔ· ·È‰È¿ ‰È·‚¿˙Ô˘Ó Î·È ··ÓÙÔ‡Ó ÛÙËÓ ÂÚÒÙËÛË ·ÊfiÚÌËÛ˘. ™˘˙ËÙÔ‡Ó ÁÈ·ÙȘ ‰ÈΤ˜ ÙÔ˘˜ ÛÙÚ·ÙËÁÈΤ˜ Ó· ÌÂÙÚÔ‡Ó Ì¤¯ÚÈ ÙÔ 100 Ì ¿ÏÏÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜. ¢È·-‚¿˙Ô˘Ó ÙËÓ ÈÛÙÔÚ›· Î·È ÎÚ›ÓÔ˘Ó Ù· ÂȯÂÈÚ‹Ì·Ù· ÙˆÓ ÚˆÙ·ÁˆÓÈÛÙÒÓ.

BȂϛԉ·ÛοÏÔ˘Bã T¿ÍË

79

∂ÈÛËÌ·›ÓÔ˘Ì ÛÙËÓ Ù¿ÍË, Ì ÙËÓ Î·Ù¿ÏÏËÏË Â˘Î·ÈÚ›·, fiÙÈ fiÛÔ ÈÔ ÌÂÁ¿ÏÔ˜Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ÛÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ï˘Û›‰· οı ÊÔÚ¿,ÙfiÛÔ ÈÔ ÁÚ‹ÁÔÚ· (Ì ÏÈÁfiÙÂÚÔ˘˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜) ÊÙ¿ÓÔ˘Ì ÛÙÔÓ ·ÚÈıÌfiÔ˘ ÛÙÔ¯Â‡Ô˘ÌÂ. ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜ ¯¿ÚË: ·Ó ÌÂÙÚ¿Ì ·Ó¿ 5, ¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙ 20·ÚÈıÌÔ‡˜ ÁÈ· Ó· ÊÙ¿ÛÔ˘Ì ÛÙÔ 100. AÓ ÌÂÙÚ¿Ì ·Ó¿ 2, ¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙ 50 ·ÚÈı-ÌÔ‡˜ ÁÈ· Ó· ÊÙ¿ÛÔ˘Ì ÛÙÔ 100. AÓ ÌÂÙÚ¿Ì ·Ó¿ 10, ¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙ 10 ·ÚÈı-ÌÔ‡˜ ÁÈ· Ó· ÊÙ¿ÛÔ˘Ì ÛÙÔ 100. ªÔÚԇ̠ӷ ÁÚ¿„Ô˘Ì ÙȘ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ·Ï˘-Û›‰Â˜ ÙˆÓ 5, 20, 10 ÛÙÔÓ ›Ó·Î· ÁÈ· Ó· ÙÔ ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ó Ù· ·È‰È¿. Δ· ·È‰È¿·Ó·Î·Ï‡ÙÔ˘Ó ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Û οı ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ï˘Û›‰· Î·È ÙËÓ ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ó.∂ÚÁ¿˙ÔÓÙ·È Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ Î·È ÁÈ· ÙËÓ Â‡ÚÂÛË ÙÔ˘ Ï¿ıÔ˘˜ ÛÙȘ ‰‡Ô ·ÚÈıÌË-ÙÈΤ˜ ·Ï˘Û›‰Â˜. μÚ›ÛÎÔ˘Ó Î·È ·Ó·ÎÔÈÓÒÓÔ˘Ó ÛÙËÓ Ù¿ÍË ÙÔ Ï¿ıÔ˜ Û οı ·ÚÈı-ÌËÙÈ΋ ·Ï˘Û›‰·, Î·È Î¿ı ·È‰› ÂÚÁ¿˙ÂÙ·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÌfiÓÔ ÙÔ˘.∂ÚÁ·Û›· ÙÔ˘ μ.ª. ªÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈ΋ ‚Ȉ̷ÙÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË. ∞ÓÙ› ÁȷοÚÙ˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì „‡ÙÈη ¢ÚÒ Û Úfi‚ÏËÌ·. ¶·Ú¿-‰ÂÈÁÌ·: «AÁÔÚ¿˙ˆ 4 ›‰È· ÚÔ˚fiÓÙ· Î·È 3 ¿ÏÏ· ›‰È· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜, ·ÏÏ¿ ‰È·ÊÔÚÂÙÈ-ο ·fi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· 4. ÀÔÏÔÁ›˙ˆ fiÛ· ¯Ú‹Ì·Ù· ı· ÏËÚÒÛˆ».Δ· ·È‰È¿, ¯ˆÚÈṲ̂ӷ Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ, ¤¯Ô˘Ó ÌÚÔÛÙ¿ ÙÔ˘˜ 4 οÚ̠٘9 ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Ë Î·ıÂÌÈ¿. ¢È·‚¿˙Ô˘Ì ÙËÓ ÂÚÁ·Û›·. ™˘˙ËÙ¿Ì ÁÈ· ÙË ¯ÚËÛÈ-ÌfiÙËÙ· ÙÔ˘ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÙÔ˘ 9 ˆ˜ 10 – 1 (Ù· ·È‰È¿ ˆ˜ ÙÒÚ· ¤¯Ô˘Ó ÂÍÔÈÎÂȈ-ı› Ôχ Ì ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ Ì ‰Âο‰Â˜). ∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· ‰È·‚¿ÛÔ˘ÓÙÔ ¯ ˆ˜ «ÊÔÚ¤˜». ∂ÍËÁÔ‡Ó Ì ¤Ó· ‰ÈÎfi ÙÔ˘˜ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ì ÙÔ 9 ‹ ÙÔ˘˜ ‰›ÓÔ˘-Ì ÂÌ›˜ ÚÒÙ· ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 9+9+9 ‹ 3¯9. ∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· ‚ÚÔ˘Ó5+5=10 ‹ 2¯5=10, 3+3=…. ‹ …¯3=6, 4+4 =… ‹ …¯4=8, …¯ ÎÙÏ. §‡ÓÔ˘Ó Ì fiÔÈ-ÔÓ ÙÚfiÔ ı¤ÏÔ˘Ó ÙÔ 4¯9 Î·È Î·Ù·ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÛÙÔÓ ›Ó·Î·.™ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ÂÚÒÙËÌ·, Ù· ·È‰È¿ ¤¯Ô˘Ó ÌÚÔÛÙ¿ ÙÔ˘˜ ÙȘ ÂfiÌÂÓ˜ 12 οÚÙ˜(fiÌÔȘ Ì ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘). ¶·Ú·ÙËÚÔ‡Ó ÙȘ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÛÙÚ·ÙËÁÈΤ˜ ÙˆÓ Úˆ-Ù·ÁˆÓÈÛÙÒÓ. ™˘˙ËÙ¿Ì ÛÙËÓ Ù¿ÍË ÔÈ· ÛÙÚ·ÙËÁÈ΋ ·fi ÙȘ ‰‡Ô ÙÔ‡˜ Ê·›ÓÂÙ·ÈÈÔ Â‡ÎÔÏË (¤¯Ô˘Ó ¿ÓÙ· ÛÙË ‰È¿ıÂÛ‹ ÙÔ˘˜ ÙËÓ ·ÚÈıÌÔÁÚ·ÌÌ‹ Ù˘ Ù¿Í˘, ÙËÌÂ˙Ô‡Ú· ‹ ÙÔÓ ¿‚·Î·). ¢Â›¯ÓÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙÔÓ ›Ó·Î· ÙȘ ‰‡Ô ÛÙÚ·ÙËÁÈΤ˜. Δ· ·È-‰È¿ Û˘ÌÏËÚÒÓÔ˘Ó ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ÛÙÔ ‚È‚Ï›Ô. ∫·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì fiÏÔÈ Ì·˙› ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·.∏ ‰È‰·ÎÙÈ΋ ÒÚ· ÎÏ›ÓÂÈ Ì ÌÈ· ÂÚÁ·Û›· ÂϤÁ¯Ô˘ fiÌÔÈ· Ì ÙÔ˘ Û˘ÌÂÚ¿ÛÌ·ÙԘ̠fiÏ· Ù· ·È‰È¿ Ó· ‚ÚÔ˘Ó ÛÙÔÓ ›Ó·Î· fiÛÔ Î¿ÓÂÈ ÌÈ· ÛÂÈÚ¿ ·fi οÚÙ˜ Ô˘‰Â›¯ÓÔ˘Ó: 5, 6, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 4 (Ì ÚfiÌ‚Ô˘˜ ‹ ¿ÏÏ· Û¯‹Ì·Ù·).μÚ›ÛÎÔ˘Ì ‰È¿ÊÔÚ˜ ÛÙÚ·ÙËÁÈΤ˜: (15+15+15+15), ÂÌÊ·Ó›˙Ô˘ÌÂ Î·È ÙÔ˘˜ ÔÏ-Ï·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡˜ 4¯15 ‹ 2¯30 ‹ (4¯5) + (4¯10), ¯ˆÚ›˜ Ó· ··ÈÙ‹ÛÔ˘Ì ӷ ÙÔ˘˜Ì¿ıÔ˘Ó.

∂Ó‰ÂÈÎÙÈÎfi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÚÔ‹˜ 2˘ ‰È‰·ÎÙÈ΋˜ ÒÚ·˜º¿ÛÂȘ ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜º¿ÛË ·ã : ŒÏÂÁ¯Ô˜ ÚÔ··ÈÙÔ‡ÌÂÓ˘ ÁÓÒÛ˘. º¿ÛË Áã : ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - ·Ó·Î¿Ï˘„Ë EÚÁ·Û›· · ÙÔ˘ T.M.º¿ÛË Âã : ∂Ê·ÚÌÔÁ‹ – ∂̤‰ˆÛË ∂ÚÁ·Û›· ‚ ÙÔ˘ Δ.ª.º¿ÛË ÛÙã: ∂̤‰ˆÛË – ∂¤ÎÙ·ÛË ∂ÚÁ·Û›· Á ÙÔ˘ Δ.ª.

M·ıËÌ·ÙÈοBã T¿ÍË

80

ŒÏÂÁ¯Ô˜ ∂ϤÁ¯Ô˘Ì ·Ó Ù· ·È‰È¿ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ‚ÚÔ˘Ó ÌÈ· ÛÂÈÚ¿ ·fi ¤Ó· ÌÔÙ›‚ÔÊÙÈ·Á̤ÓÔ ·fi 2 ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ οÚÙ˜ (3 ηډԇϘ Î·È 4 ηډԇϘ).ΔÔ ÌÔÙ›‚Ô Â›Ó·È 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3, 4. §‡ÓÔ˘Ì Ì ‰È¿ÊÔÚ˜ ÛÙÚ·ÙËÁÈΤ˜:ñ 7+7+7+7+7 ‹ 5¯7ñ 14+14+7 ‹ (2¯14 ) +7ñ (3+4+3) +4=10+4=14 Î·È (3+4+3)+4=14, ¿Ú· 14+14+(3+4)ñ (5¯3) +(5¯4) ¢ÂÓ ÂÈ̤ÓÔ˘Ì ӷ Ì¿ıÔ˘Ó ·¤Íˆ Ù· ÁÈÓfiÌÂÓ·. ™Ùfi¯Ô˜ Ù˘ Bã T¿Í˘ Â›Ó·È ËηٷÓfiËÛË Ù˘ ÚÔ·›‰ÂÈ·˜ ˆ˜ ‰È·‰Ô¯È΋ ÚfiÛıÂÛË. ¶ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ÂÚÁ·ÛÈÒÓ. ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - ·Ó·Î¿Ï˘„Ë. ∂ÚÁ·Û›· · ÙÔ˘ Δ.ª. Δ· ·È‰È¿ ‰È·‚¿˙Ô˘Ó ÙÔ Úfi‚ÏËÌ·. ™˘˙ËÙ¿Ì ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ·Ù˘ ‚‰ÔÌ¿‰·˜ Ì ·ÊÔÚÌ‹ ÙÔ ËÌÂÚÔÏfiÁÈÔ (7 Ë̤Ú˜) ¯ˆÚ›˜ Ó· ÂÂÎÙ·ıÔ‡ÌÂÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ. ∏ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ‚‰ÔÌ¿‰·˜ ¤¯ÂÈ ÂÌÊ·ÓÈÛÙ› Î·È ÛÙËÓ Aã T¿ÍË. Δ··È‰È¿, Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô, Û˘ÓÂÚÁ¿˙ÔÓÙ·È ÁÈ· Ó· ‰È·Ï¤ÍÔ˘Ó ÙË ÛˆÛÙ‹ χÛË.¢›ÓÔ˘Ì ¤ÌÊ·ÛË ÛÙË Û˘˙‹ÙËÛË Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı› Î·È Ô˘ οı ÔÌ¿‰· ·È‰ÈÒÓÂÍËÁ› ÔÈ· χÛË ÙËÓ Ì¤Ú‰Â„Â Î·È ÁÈ·Ù›. ∞Ó¿ÏÔÁ˜ ÂÚÁ·Û›Â˜, fiÔ˘ Ù· ·È‰È¿ÂÍËÁÔ‡Ó ÙÈ Ù· ‰˘ÛÎfiÏ„Â, ÙȘ Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ȉȷ›ÙÂÚ· ˘fi„Ë Ì·˜ ÁÈ·Ù› ‚ÔË-ıÔ‡Ó Ù· ·È‰È¿ Ó· ·ÔÎÙ‹ÛÔ˘Ó ÁψÛÛÈΤ˜ Î·È ÌÂÙ·ÁÓˆÛÙÈΤ˜ ÈηÓfiÙËÙ˜.EÈϤÔÓ ÔÈ ÂÚÁ·Û›Â˜ ·˘Ù¤˜ ‰È¢ÎÔχÓÔ˘Ó ÎÈ ÂÌ¿˜ Ó· ·Ó·ÁÓˆÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔ Â›-Â‰Ô ÙˆÓ Ì·ıËÙÒÓ Ì·˜ (ÂÌ›˜ ÌÔÚ› Ó· Ù· ϤÌ ηϿ, ·ÏÏ¿ ÙÂÏÈο Ù· ·È‰È¿Ó· ÌËÓ Î·Ù·Ï·‚·›ÓÔ˘Ó).™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, Ù· ·È‰È¿ Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ÊÙÈ¿¯ÓÔ˘Ó Úfi‚ÏËÌ· Ô˘ χÓÂÙ·ÈÌ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÚÔÛı¤ÛÂȘ ›‰ÈˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Û ¯·ÚÙ› ∞4 (ÌÈÛ‹ ÛÂÏ›‰· Ô˘ ı· ÎÚ·-Ù‹ÛÔ˘Ì ÛÙËÓ ÙÚ¿Â˙· ÂÚÁ·ÛÈÒÓ Ù˘ Ù¿Í˘. Δ· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ‰È·‚¿˙ÔÓÙ·È ÛÙËÓÙ¿ÍË Î·È ÚÔÙ›ÓÂÙ·È ÚÔÊÔÚÈο Ë Ï‡ÛË ÙÔ˘˜).∂ÚÁ·Û›· ‚ ÙÔ˘ Δ.ª. ∏ ÂÚÁ·Û›· ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ Î·È Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô. Δ· ·È-‰È¿ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó Ì fiÔÈÔÓ ÙÚfiÔ ı¤ÏÔ˘Ó ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· οı ÊÔÚ¿. ™ÙÔÓ ›Ó·Î·Î·Ù·ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙȘ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÛÙÚ·ÙËÁÈΤ˜ ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ.∂ÚÁ·Û›· Á ÙÔ˘ Δ.ª. Δ· ·È‰È¿ Ô˘ ı· ·Û¯ÔÏËıÔ‡Ó Ì ÙËÓ ÂÚÁ·Û›· ÌÔÚÔ‡ÓÓ· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ó ÙËÓ ·ÚÈıÌÔÁÚ·ÌÌ‹ Ù˘ Ù¿Í˘ ‹ ÙË ÌÂ˙Ô‡Ú· ÙÔ˘˜ ÁÈ· ӷ·ÏËı‡ÛÔ˘Ó ÙÔ˘˜ ÓÔÂÚÔ‡˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ ÙÔ˘˜. ªÔÚÔ‡Ó Ó· ·ÎÔÏÔ˘ı‹ÛÔ˘ÓÛÙÚ·ÙËÁÈΤ˜ fiˆ˜: ñ 100-5-5-10-10-5-5 ‹ 100-10-10-10-10 ‹ 100-40 ñ 70-6-4-7-3-5 ‹ 70-10-10-5 ‹ 70-20-5

9. ∂Ó·ÏÏ·ÎÙÈΤ˜ ‰È‰·ÎÙÈΤ˜ ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂȘ◗ Δ· ·È‰È¿ Â›Ó·È ¯ˆÚÈṲ̂ӷ Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ. ∞ÔÊ·Û›˙ÂÈ Î¿ıÂ

ÔÌ¿‰· Ó· ‰ÈÂÚ¢ӋÛÂÈ Ì ÔÈ· ‚‹Ì·Ù· (›‰ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜) ÌÔÚԇ̠ӷÊÙ¿ÛÔ˘Ì ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÛÙÔ 50. Δ· ‰‡Ô ·È‰È¿ ·fi ÙËÓ ÔÌ¿‰· ·ÚÈıÌÔ‡Ó ÊˆÓ·-¯Ù¿ Î·È Ù· ¿ÏÏ· ‰‡Ô ηٷÁÚ¿ÊÔ˘Ó ÛÙÔ Úfi¯ÂÈÚÔ ÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ï˘Û›‰·Ô˘ ·ÎÔ‡Ó (ÁÈ· Ó· ÂϤÁÍÔ˘Ó Ì‹ˆ˜ ¤ÁÈÓ οÔÈÔ Ï¿ıÔ˜). ŸÏË Ë Ù¿ÍË Û˘Ì-ÌÂÙ¤¯ÂÈ, Ì ÙȘ ÔÌ¿‰Â˜ Ó· ÂÍËÁÔ‡Ó ÙË ÛÙÚ·ÙËÁÈ΋ ÙÔ˘˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í. ªÔÚÔ‡ÌÂÓ· ηٷϋÍÔ˘Ì ÛÙȘ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ·Ï˘Û›‰Â˜ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ·Ó ÚÔÛı¤-ÙÔ˘Ì ·Ó¿ 1, ·Ó¿ 2, ·Ó¿ 5, ·Ó¿ 10. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÚˆÙ¿Ì ٷ ·È‰È¿: «T·

BȂϛԉ·ÛοÏÔ˘Bã T¿ÍË

81

·ӷϷ̂·ÓfiÌÂÓ· ‚‹Ì·Ù· Ô˘ Ì·˜ ÂÈÙÚ¤Ô˘Ó Ó· ÊÙ¿ÛÔ˘Ì ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÛÙÔ50, ·Ó Ù· Û˘Ó¯›˙·ÌÂ, ı· Ì·˜ Ô‰ËÁÔ‡Û·Ó ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÛÙÔ 100;»Δ· ·È‰È¿ ÂÚÁ¿˙ÔÓÙ·È Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ Î·È ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜, ·ÊÔ‡ ηٷÁÚ¿„Ô˘-Ì ÙȘ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ·Ï˘Û›‰Â˜ ÛÙÔÓ ›Ó·Î·, ÂÌÊ·Ó›˙Ô˘Ì ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfiˆ˜ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ¯ ÊÔÚ¤˜ =100.¶.¯.: 10 ¯ 10 = 100, 5 ¯ 20 = 100, 20 ¯ 5 = 100, 4 ¯ 25 = 100, 25 ¯ 4 = 100.™ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Û˘Ó‰¤Ô˘Ì ÙȘ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ·Ï˘Û›‰Â˜ Ì ٷ ‰ÂÓÙÚԉȷÁÚ¿ÌÌ·Ù·ÙÔ˘ 50 Î·È ÙÔ˘ 100:

10050 50 ‹ 2 ¯ 50

25 25 25 25 ‹ 4 ¯ 255 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ‹ 20 ¯ 5

100

20 20 20 20 20 ‹ 5 ¯ 204 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ‹ 25 ¯ 4

◗ ªÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ Ë ÂÚÁ·Û›· Ì ÙȘ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ·Ï˘Û›‰Â˜ Û·Ó ÛοϘ, fiÔ˘Î¿ı Ûηϛ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙÔÓ ÂfiÌÂÓÔ ·ÚÈıÌfi Ô˘ ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ÛÙËÓ ·Ï˘Û›-‰·. ªÔÚԇ̠ӷ ÔÙÈÎÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ï˘Û›‰· Û ¯·ÚÙfiÓÈ(˙ˆÁÚ·Ê›˙Ô˘Ì ÙË ÛοϷ). ™Â οı ÛηÏÔ¿ÙÈ ‚¿˙Ô˘Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓÚÔËÁÔ‡ÌÂÓˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ¶¿ÏÈ fï˜ Û˘Ó‰¤Ô˘Ì ٷ ‰È·‰Ô¯Èο ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù·Ì ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi.

◗ ΔÔ ·È¯Ó›‰È «ºÙÈ¿¯ÓÔ˘Ì ÔÌ¿‰Â˜», Ì ÙËÓ ÚÔ¸fiıÂÛË fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ϤÌÂÓ· ÌÔÚ› Ó· ÊÙÈ·¯Ù› Ì ›ÛÔ ·ÚÈıÌfi ·ÓÙÈÎÂÈ̤ӈÓ. ¶¿ÏÈ ı· ‰Â›ÍÔ˘Ì Ì ‰È·-‰Ô¯ÈΤ˜ ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡.

10. ¶ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÁÈ· ÔÏÈÁÔı¤ÛÈ· Û¯ÔÏ›· – Δ¿ÍÂȘ Ì ¤ÓÙÔÓË ‰È·ÊÔÚÔÔ›ËÛËÌÂٷ͇ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ

ªÔÚÔ‡Ó Ó· ÌË Á›ÓÔ˘Ó ÔÈ ÂÚÁ·Û›Â˜ ·, Á ÙÔ˘ Δ.ª.

Κεφάλαιο 19ο. Γνωρίζω τα αριθμητικά μοτίβα

1. ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓÔ˜ ̄ ÚfiÓÔ˜ ‰È‰·Ûηϛ·˜: 1 ÒÚ·

2. ∫‡ÚÈÔ˜ ‰È‰·ÎÙÈÎfi˜ ÛÙfi¯Ô˜ OÈ Ì·ıËÙ¤˜ Ó· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·Ó·ÁÓˆÚ›ÛÔ˘Ó ÔχÏÔÎÔ ÌÔÙ›‚Ô, Ó· ÂÚÈÁÚ¿-„Ô˘Ó, Ó· ÂÂÎÙ›ÓÔ˘Ó Î·È Ó· ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ó Û‡ÓıÂÙ· ·ÚÈıÌËÙÈο ÌÔÙ›‚·.∞Ó·Ï˘ÙÈο ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÌÔÚÔ‡Ó Ó·:◗ BÚ›ÛÎÔ˘Ó ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· ÙÔ˘ ÌÔÙ›‚Ô˘ ηıÒ˜ Î·È ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ô˘ ·ӷϷ̂¿ÓÂÙ·È.◗ EÂÎÙ›ÓÔ˘Ó ¤Ó· ÌÔÙ›‚Ô Ì ·ÚÈıÌÔ‡˜, ¯ÚÒÌ·Ù· ‹ Û¯‹Ì·Ù·.◗ YÔÏÔÁ›˙Ô˘Ó ÙËÓ ·Í›· ÂÓfi˜ ÌÔÙ›‚Ô˘, ·ÍÈÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÚÈı-

ÌÒÓ Ô˘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ ÌÔÙ›‚Ô˘.◗ ™˘ÓÂÚÁ¿˙ÔÓÙ·È Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ‹ ÙˆÓ ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ.

M·ıËÌ·ÙÈοBã T¿ÍË

82

3. ¶ÚÔ··ÈÙÔ‡ÌÂÓ˜ ÁÓÒÛÂȘ - ŒÏÂÁ¯Ô˜◗ ∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÌÔÙ›‚Ô˘ ˆ˜ ·Ï‹ ·ӿÏË„Ë ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘. ◗ ¡ÔÂÚÔ› ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ› ˆ˜ ÙÔ 100.◗ ¡· ÂÚÁ¿˙ÔÓÙ·È ·Ó¿ ‰‡Ô.ŒÏÂÁ¯Ô˜∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· ÊÙ¿ÛÔ˘Ó ÛÙÔ 7 ηÙ‚·›ÓÔÓÙ·˜ ·fi ÙÔ 42, 35, 28, …..‹ Ó· ·Ó¤‚Ô˘Ó ·Ó¿ 5 ˆ˜ ÙÔ 60 ‹ ˆ˜ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ Û˘ÓËı›˙Ô˘Ó Ó· ·Ó‚·›ÓÔ˘ÓfiÙ·Ó ·›˙Ô˘Ó ÎÚ˘ÊÙfi.

4. ¢È·ÊÔÚÂÙÈο Ï·›ÛÈ· fiÔ˘ ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Ô Î‡ÚÈÔ˜ ‰È‰·ÎÙÈÎfi˜ ÛÙfi¯Ô˜∞ÚÈıÌÔ› Î·È Ú¿ÍÂȘ, ÌÔÙ›‚Ô, Úfi‚ÏËÌ·.

5. ª·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Î·È ‰Â ı··Ó·Ù˘¯ıÔ‡Ó ·Ó·Ï˘ÙÈο (ÁÈ·Ù› ı· ·Ó·Ù˘¯ıÔ‡Ó Û ÂfiÌÂÓ· ÎÂÊ¿Ï·È·)

◗ ΔÔ Ì¿ıËÌ· ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ› ÂÓ Ì¤ÚÂÈ ˆ˜ ÂÈÛ·ÁˆÁÈÎfi Ù˘ ÚÔ·›‰ÂÈ·˜. ¢Â ı· ‰È‰·-¯Ù› Û’ ·˘Ùfi ÙÔ Ì¿ıËÌ· η̛· ÚÔ·›‰ÂÈ·.

6. ∂ÔÙÈÎfi ̆ ÏÈÎfi – ¢È‰·ÎÙÈο ÂÚÁ·Ï›·MÂ˙Ô‡Ú·, ·ÚÈıÌÔÁÚ·ÌÌ‹, ÎÔÚ‰fiÓÈ Ì ¯ÚˆÌ·ÙÈÛÙ¤˜ ¯¿ÓÙÚ˜, ÓÙfiÌÈÓÔ.

7. ∂Ó‰ÂÈÎÙÈÎfi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÚÔ‹˜ º¿ÛÂȘ ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜º¿ÛË ·ã : ŒÏÂÁ¯Ô˜ ÚÔ··ÈÙÔ‡ÌÂÓˆÓ ÁÓÒÛˆÓ.º¿ÛË ‚ã : ∂ÚÒÙËÛË ·ÊfiÚÌËÛ˘.º¿ÛË Áã : ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - ·Ó·Î¿Ï˘„Ë – ∂ÚÁ·Û›· 2 ÙÔ˘ μ.ª.º¿ÛË ‰ã : ∂ÈÛËÌÔÔ›ËÛË Ù˘ ÁÓÒÛ˘ – Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·.º¿ÛË Âã : ∂Ê·ÚÌÔÁ‹ EÚÁ·Û›· · ÙÔ˘ Δ.ª., ∂ÚÁ·Û›· 1 ÙÔ˘ μ.ª.,

EÚÁ·Û›· ‚ ÙÔ˘ Δ.ª. ∂Ê·ÚÌÔÁ‹ - ∂̤‰ˆÛË ∂ÚÁ·Û›· 3 ÙÔ˘μ.ª., ÂÚÁ·Û›· Á Î·È ‰ ÙÔ˘ Δ.ª.

º¿ÛË ÛÙã: ∂¤ÎÙ·ÛË ∂ÚÁ·Û›·  ÙÔ˘ Δ.ª.

8. ¶ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÂÚÁ·ÛÈÒÓ. ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - ·Ó·Î¿Ï˘„Ë. μȈ̷ÙÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛËTËÓ ÒÚ· Ù˘ º˘ÛÈ΋˜ ∞ÁˆÁ‹˜, Ô˘ ¤¯ÂÈ ÚÔËÁËı› ·˘ÙÔ‡ ÙÔ˘ Ì·ı‹Ì·ÙÔ˜, ˙ËÙ¿-Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Ù˘ Ù¿Í˘ Ó· ÌÔ˘Ó ÛÙË ÛÂÈÚ¿ Ì οÔÈÔ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ ÙÚfiÔ(ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ·fi ÙÔ fiÛ· ·ÁfiÚÈ· Î·È ÎÔÚ›ÙÛÈ· ¤¯Ô˘Ì ÛÙËÓ Ù¿ÍË – .¯.: 1 ·ÁfiÚÈ,2 ÎÔÚ›ÙÛÈ·. AÓ Ë Ù¿ÍË ··ÚÙ›˙ÂÙ·È ·fi 10 ÎÔÚ›ÙÛÈ· Î·È 15 ·ÁfiÚÈ·, ˙ËÙ¿Ì ӷÌÔ˘Ó ÛÙË ÛÂÈÚ¿ οı ÊÔÚ¿ 2 ÎÔÚ›ÙÛÈ· Î·È 3 ·ÁfiÚÈ·). °›ÓÂÙ·È Û˘˙‹ÙËÛË ÁÈ· ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ô˘ ÙÔÔıÂÙ‹ıËÎ·Ó ÛÙË ÛÂÈÚ¿ Ù· ·È‰È¿ Î·È ·Ó˘¿Ú¯ÂÈ ¿ÏÏÔ˜ ÙÚfiÔ˜. ¢ÔÎÈÌ¿˙Ô˘Ó Î·È Î¿ı ÊÔÚ¿ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó ÙÔÓ Î·ÓfiÓ·.™ÙË ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· – ·Ó·Î¿Ï˘„Ë, Ù· ·È‰È¿ ·Ú·ÙËÚÔ‡Ó ÙËÓ ÂÈÎfiÓ· Î·È ··-ÓÙÔ‡Ó ÛÙËÓ ÂÚÒÙËÛË ·ÊfiÚÌËÛ˘. ™˘˙ËÙ¿Ì ÛÙËÓ Ù¿ÍË ÁÈ· ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· ÙÔ˘ ÌÔÙ›-‚Ô˘ (·˘Í¿ÓÂÙ·È Î¿ı ÊÔÚ¿ Ë ÔÌ¿‰· ηٿ 1).∂ÚÁ·Û›· 2 ÙÔ˘ μ.ª. ∫·Ïԇ̠ٷ ·È‰È¿ ηٷگ‹Ó Ó· ÂÚÈÁÚ¿„Ô˘Ó ÙÈ ÚÔÙ›-ÓÔ˘Ó ÔÈ ÚˆÙ·ÁˆÓÈÛÙ¤˜. ∫·ÙfiÈÓ ·ÚÔÙÚ‡ÓÔ˘Ì ٷ ·È‰È¿ Ó· ·Ó·Î·Ï‡„Ô˘ÓÙÔ˘˜ 2 ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ηÓfiÓ˜ Ô˘ ‰È¤Ô˘Ó Ù· 2 ÌÔÙ›‚·. ∫·Ù·Ï‹ÁÔ˘ÌÂ Û˘ÌÂ-Ú·›ÓÔÓÙ·˜ fiÙÈ Î·È ÔÈ 2 ηÓfiÓ˜ Â›Ó·È ·Ô‰ÂÎÙÔ› Î·È fiÙÈ ÌÔÚÔ‡Û ÙÔ ÌÔÙ›‚Ô Ó·

BȂϛԉ·ÛοÏÔ˘Bã T¿ÍË

83

Û˘Ó¯ÈÛÙ› Î·È Ì ¿ÏÏÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜, .¯.: 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÚˆÙ¿-Ì ٷ ·È‰È¿: «ΔÈ ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ ›¯Â οÓÂÈ Ë ∂ϤÓË ÒÛÙ ӷ ˘‹Ú¯Â ÌfiÓÔ ÌÈ·‰˘Ó·Ù‹ Û˘Ó¤¯ÂÈ· ·ÚÈıÌÒÓ;» T· ·È‰È¿ ηٷϋÁÔ˘Ó ¤ÙÛÈ ÛÙËÓ ·Ó¿ÁÎË Ó· ‰Ôı›ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ô ÂfiÌÂÓÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜.∫·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·. ∂›Ó·È ÛËÌ·ÓÙÈÎfi Ó· ÂÈÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÚÔÛÔ-¯‹ ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ ÛÙÔ fiÙÈ Û ÔÏÏ¿ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÏϤ˜ ÛˆÛÙ¤˜Ï‡ÛÂȘ Î·È fi¯È ÌfiÓÔ Ì›·.∂ÚÁ·Û›· · ÙÔ˘ Δ.ª. ™ÙÔ ÚÒÙÔ ÌÔÙ›‚Ô Ë ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ï˘Û›‰· ›ӷÈ: 1-2, 2-3,3-4, 4-5 ÎÙÏ. ™ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ, Ë ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ï˘Û›‰· ›ӷÈ: 1-1, 3-3, 5-5, 7-7 ÎÙÏ. ™ÙÔÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ›ӷÈ: 0-8, 0-7, 0-6, 0-5 ÎÙÏ.∂ÚÁ·Û›· 1 ÙÔ˘ μ.ª. Î·È ‚ ÙÔ˘ Δ.ª. ™ÙȘ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ·Ï˘Û›‰Â˜ ·ÍÈÔÔÈԇ̠ÙÔÓ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÔ˘ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ ·ӷϷ̂¿ÓÔÓÙ·È. ¢Â›¯ÓÔ˘ÌÂÎ·È Ì ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi. ∂ÚÁ·Û›· 3 ÙÔ˘ μ.ª. ∂ÓÒ Ë ÌÏ ¯¿ÓÙÚ· ·ӷϷ̂¿ÓÂÙ·È ÛÙ·ıÂÚ¿, ÔÈ ÎfiÎÎÈ-Ó˜ ·˘Í¿ÓÔ˘Ó ·ÚÈıÌËÙÈο ηٿ 1. ΔÔ ÌÔÙ›‚Ô ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ ÚÔÂÎÙ·ı› ηÈÚÔ˜ Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ηٿ Ì›· ÌÏÂ Î·È 1 ÎfiÎÎÈÓË ¯¿ÓÙÚ· ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ÔÈ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÙˆÓ ÔÛÔÙ‹ÙˆÓ ÙˆÓ ÌÏÂ Î·È ÎfiÎÎÈÓˆÓ ¯·ÓÙÚÒÓ Ó· ›ӷÈ: 1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5 ÎÙÏ.∂ÚÁ·Û›· Á ÙÔ˘ Δ.ª. ¶·ÚfiÌÔÈ· Ì ÙËÓ ÂÚÁ·Û›· 3 ÙÔ˘ μ.ª. H ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ï˘-Û›‰· Â›Ó·È 4-2, 4-3, 4-4, 4-5 ÎÙÏ. ∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ó ÙȯÚÒÌ· ı· Â›Ó·È Ë 34Ë ¯¿ÓÙÚ·. ™˘˙ËÙ¿Ì ÙȘ ·fi„ÂȘ ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ. ∂ϤÁ¯Ô˘Ó ÙȘÂÎÙÈÌ‹ÛÂȘ ÙÔ˘˜ Ì ˙ˆÁÚ·ÊÈ΋ ‹ ÂÔÙÈÎfi ˘ÏÈÎfi.∂ÚÁ·Û›· ‰ ÙÔ˘ Δ.ª. ∏ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ï˘Û›‰· Â›Ó·È 3-2, 3-3, 3-4, 3-5 ÎÙÏ. Δ· ·È-‰È¿ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÙÔÓ ›Ó·Î· ÁÈ· Ó· ÔÚÁ·ÓÒÛÔ˘Ó ÙȘ ÏËÚÔÊÔڛ˜ ÙÔ˘˜.∂ÚÁ·Û›·  ÙÔ˘ Δ.ª. Δ· ·È‰È¿ ·Ó·ÎÔÈÓÒÓÔ˘Ó ÙËÓ ÂÎÙ›ÌËÛ‹ ÙÔ˘˜. °›ÓÂÙ·È Û˘˙‹-ÙËÛË Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÂϤÁ¯Ô˘Ó ÙË Ï‡ÛË Ô˘ ‚Ú‹Î·Ó (ÌÂÙÚ¿Ó ·Ó¿ 4 ̤¯ÚÈ ÙÔ24, ˙ˆÁÚ·Ê›˙ÔÓÙ·˜ Î·È ¯ÚˆÌ·Ù›˙ÔÓÙ·˜ ÙȘ ¯¿ÓÙÚ˜). ∏ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ï˘Û›‰· ›ӷÈ:3-1, 3-1, 3-1, 3-1, 3-1, 3-1 ‰ËÏ·‰‹ (6x3) + (6x1) = 24 ¯¿ÓÙÚ˜.

9. ∂Ó·ÏÏ·ÎÙÈΤ˜ ‰È‰·ÎÙÈΤ˜ ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂȘ◗ ∑ËÙ¿Ì ·fi 10 ·È‰È¿ Ó· ÛÙ·ıÔ‡Ó Û ÛÂÈÚ¿. ΔÔ˘˜ ‰›ÓÔ˘Ì ӷ ÎÚ·Ù‹ÛÔ˘Ó

·fi ¤Ó· ÎfiÎÎÈÓÔ ‹ ÌÏ ¯·ÚÙfiÓÈ (fiÏ· Ù· ·È‰È¿ ·›ÚÓÔ˘Ó ›‰ÈÔ ·ÓÙÈΛÌÂÓÔÔ˘ ‰È·Ê¤ÚÂÈ ÌfiÓÔ ÙÔ ¯ÚÒÌ·) Ì ÙËÓ ÂÍ‹˜ ÛÂÈÚ¿: ÌÏ ÛÙÔ ÚÒÙÔ ·È‰›,ÎfiÎÎÈÓÔ ÛÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Î·È ÙÚ›ÙÔ ·È‰›, ÌÏ ÛÙÔ Ù¤Ù·ÚÙÔ Î·È ¤ÌÙÔ Î·È ÎfiÎ-ÎÈÓÔ ÛÙÔ ¤‚‰ÔÌÔ, fiÁ‰ÔÔ, ¤Ó·ÙÔ Î·È ‰¤Î·ÙÔ ·È‰›. ∑ËÙ¿Ì ·fi ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜Ó· ‚ÚÔ˘Ó Ì ÔÈÔÓ Î·ÓfiÓ· Ì‹Î·Ó Ù· ·È‰È¿ ÛÙË ÛÂÈÚ¿. ™˘˙ËÙ¿ÌÂ Î·È ·ÚÔ-ÙÚ‡ÓÔ˘Ì ٷ ·È‰È¿ Ó· ·Ó·Î·Ï‡„Ô˘Ó ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· ÙÔ˘ ÌÔÙ›‚Ô˘.

◗ Èڛ˙ÂÙ·È Ë Ù¿ÍË Û ÔÌ¿‰Â˜. ∫¿ı ÔÌ¿‰· ηٷÛ΢¿˙ÂÈ ¤Ó· ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ·ÌÔÙ›‚· Ô˘ Ù· ÂÂÎÙ›ÓÂÈ, ‹ ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÈ ÙË Û˘ÓÔÏÈ΋ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Í›· Ë¿ÏÏË ÔÌ¿‰·. Δ· ÌÔÙ›‚· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Â›Ó·È ÌÔÙ›‚· ¯ÚˆÌ·ÙÈ΋˜ ·ӿÏ˄˘‹ ·ÚÈıÌËÙÈο ÌÔÙ›‚· Ì ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙË ‰Âο‰·.

◗ Δ· ·È‰È¿, ¯ˆÚÈṲ̂ӷ Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô, ÊÙÈ¿¯ÓÔ˘Ó ¤Ó· ÌÔÙ›‚Ô ·ÚÈıÌËÙÈ-Îfi fiÔ˘ ·ӷϷ̂¿ÓÔÓÙ·È 3 ·ÚÈıÌÔ›. ¢Â›¯ÓÔ˘Ì ÛÙÔÓ ›Ó·Î· Ù· ÌÔÙ›‚·Ô˘ ¤ÊÙÈ·Í οı ÔÌ¿‰·. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ì ÙÚfiÔ˘˜ Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ·ÚÈıÌËÙÈ-΋ ·Í›· ÙÔ˘. ªÔÚԇ̠ӷ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘ÌÂ, ·ÓÙ› ÁÈ· ·ÚÈıÌÔ‡˜,¯¿ÓÙÚ˜ ‹ ΤÚÌ·Ù· ÙÔ˘ ¢ÚÒ.

M·ıËÌ·ÙÈοBã T¿ÍË

84

10. ¶ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÁÈ· ÔÏÈÁÔı¤ÛÈ· Û¯ÔÏ›· – Δ¿ÍÂȘ Ì ¤ÓÙÔÓË ‰È·ÊÔÚÔÔ›ËÛËÌÂٷ͇ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ

ªÔÚÔ‡Ó Ó· ÌË Á›ÓÔ˘Ó ÔÈ ÂÚÁ·Û›Â˜ Á, ‰,  ÙÔ˘ Δ.ª.

12. ™‡Ó‰ÂÛË Ì ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÏÔÁÈÛÌÈÎfi◗ ªÂÙÚ‹ÛÂȘ: Δ· ·È‰È¿ ÊÙÈ¿¯ÓÔ˘Ó ÌÔÙ›‚· Ì ΤÚÌ·Ù· ÙÔ˘ ¢ÚÒ, Ô˘ Ù· Û˘ÓÂ-

¯›˙ÂÈ Ô ‰ÈÏ·Ófi˜ ÙÔ˘˜.

Κεφάλαιο 20ο. Ελέγχω, διορθώνω και συμπληρώνω προβλήματα

1. ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓÔ˜ ̄ ÚfiÓÔ˜ ‰È‰·Ûηϛ·˜: 2 ÒÚ˜

2. ∫‡ÚÈÔ˜ ‰È‰·ÎÙÈÎfi˜ ÛÙfi¯Ô˜ √È Ì·ıËÙ¤˜ Ó· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ͯˆÚ›˙Ô˘Ó Ù· ‰Â‰Ô̤ӷ Î·È Ù· ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ· ÙÔ˘ ÚÔ-‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ó· ÂÈϤÁÔ˘Ó Ù· ·Ó·Áη›· ‰Â‰Ô̤ӷ ÁÈ· ÙËÓ Â›Ï˘Û‹ ÙÔ˘. E›Û˘ Ó·‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ó fiÙÈ ¤Ó· Úfi‚ÏËÌ· ÌÔÚ› Ó· ¤¯ÂÈ Ì›· χÛË, ÔÏϤ˜ χÛÂȘ, η̛·Ï‡ÛË. ∞Ó·Ï˘ÙÈο ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÌÔÚÔ‡Ó Ó·:◗ MÂٷʤÚÔ˘Ó ÙȘ ÏËÚÔÊÔڛ˜ ÂÓfi˜ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ Û ›Ó·Î· Î·È Ó· ÙȘ ÔÚÁ·-

ÓÒÓÔ˘Ó.◗ ™˘ÌÏËÚÒÓÔ˘Ó ÂÚˆÙ‹Ì·Ù· Û ¤Ó· ΛÌÂÓÔ Ì ÏËÚÔÊÔڛ˜ ÒÛÙ ¤Ó· Úfi-

‚ÏËÌ· Ó· Â›Ó·È Î·Ï¿ ÔÚÈṲ̂ÓÔ.◗ EÈϤÁÔ˘Ó ÔÈ· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· χÓÔÓÙ·È Î·È ÔÈ· fi¯È (·Ó ¤¯Ô˘Ó ·Ú΋ ÛÙÔÈ-

¯Â›· ‰ËÏ·‰‹ ‹ ·Ó ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· Û˘ÌÏËÚˆıÔ‡Ó Î¿ÔÈ·).◗ EÚÁ¿˙ÔÓÙ·È Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ‹ ÙˆÓ ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ.

3. ¶ÚÔ··ÈÙÔ‡ÌÂÓ˜ ÁÓÒÛÂȘ – ŒÏÂÁ¯Ô˜◗ H ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ «ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ ·fi», «ÏÈÁfiÙÂÚÔ ·fi». ◗ N· ·Ó·ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ó Î·È Ó· Û˘Ó¯›˙Ô˘Ó ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ·Ï˘Û›‰Â˜.◗ N· οÓÔ˘Ó ÓÔÂÚÔ‡˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ Ì ‰È„‹ÊÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.◗ N· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÛÙÚ·ÙËÁÈΤ˜ ÌÔÓÙÂÏÔÔ›ËÛ˘ ÂÓfi˜ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ fiˆ˜ Ë

˙ˆÁÚ·ÊÈ΋ ‹ Ô ›Ó·Î·˜.ŒÏÂÁ¯Ô˜∂ϤÁ¯Ô˘Ì ·Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ó ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Î·È ‰È·ÊÔÚ¤˜ˆ˜ ÙÔ 100 Î·È fiÛÔ ÏÔ˘Ú·ÏÈÛÙÈΤ˜ ÛÙÚ·ÙËÁÈΤ˜ ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ó. ∑ËÙԇ̠·fi Ù··È‰È¿ Ó· ÛÎÂÊÙÔ‡Ó Î·È Ó· ‰È·Ù˘ÒÛÔ˘Ó ÙÚfiÔ˘˜ ÁÈ· Ó· χÛÔ˘Ó ÙÔ ÂÍ‹˜ Úfi-‚ÏËÌ·: «∏ ∂ϤÓË ¤¯ÂÈ 40 ÏÂÙ¿ Î·È Ë ·‰ÂÚÊ‹ Ù˘ ¤¯ÂÈ 14 ÏÂÙ¿ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ·.¶fiÛ· ¯Ú‹Ì·Ù· ¤¯Ô˘Ó Î·È ÔÈ ‰˘Ô Ì·˙›;»

4. ¢È·ÊÔÚÂÙÈο Ï·›ÛÈ· fiÔ˘ ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Ô Î‡ÚÈÔ˜ ‰È‰·ÎÙÈÎfi˜ ÛÙfi¯Ô˜∞ÚÈıÌÔ› Î·È Ú¿ÍÂȘ, ·ÚÈıÌÔ›, ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ (¢ÚÒ), ÌÔÙ›‚Ô, Úfi‚ÏËÌ·.

5. ª·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Î·È ‰Â ı··Ó·Ù˘¯ıÔ‡Ó ·Ó·Ï˘ÙÈο (ÁÈ·Ù› ı· ·Ó·Ù˘¯ıÔ‡Ó Û ÂfiÌÂÓ· ÎÂÊ¿Ï·È·)

¢È·›ÚÂÛË ÌÂÚÈÛÌÔ‡.

BȂϛԉ·ÛοÏÔ˘Bã T¿ÍË

85

6. ∂ÔÙÈÎfi ̆ ÏÈÎfi – ¢È‰·ÎÙÈο ÂÚÁ·Ï›·MÂ˙Ô‡Ú· (Ì 100 ÂηÙÔÛÙ¿), ·ÚÈıÌÔÁÚ·ÌÌ‹, „‡ÙÈη ¢ÚÒ, ΢‚¿ÎÈ· ·Ú›ıÌËÛ˘.

7. ∂Ó‰ÂÈÎÙÈÎfi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÚÔ‹˜ 1˘ ‰È‰·ÎÙÈ΋˜ ÒÚ·˜º¿ÛÂȘ ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜º¿ÛË ·ã: ŒÏÂÁ¯Ô˜ ÚÔ··ÈÙÔ‡ÌÂÓ˘ ÁÓÒÛ˘. º¿ÛË ‚ã: ∂ÚÒÙËÛË ·ÊfiÚÌËÛ˘.º¿ÛË Áã: ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - ·Ó·Î¿Ï˘„Ë.º¿ÛË Âã: ŒÊ·ÚÌÔÁ‹ ∂ÚÁ·Û›· Á ÙÔ˘ Δ.ª.

8. ¶ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÂÚÁ·ÛÈÒÓ. ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - ·Ó·Î¿Ï˘„ËΔ· ·È‰È¿ ÂÚÁ¿˙ÔÓÙ·È Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ‹ ÙˆÓ ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ, ‰È·‚¿˙Ô˘Ó ÙËÓ ÂÚÒ-ÙËÛË ·ÊfiÚÌËÛ˘ Î·È ··ÓÙÔ‡Ó (ÌÂ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·, ÏfiÁÔ˘ ¯¿ÚË:¶Ò˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ÊÙÈ¿ÍÔ˘Ì 1 ¢ÚÒ Ì ¿ÏÏ· ΤÚÌ·Ù·;). ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ·Ô-Ê·Û›˙Ô˘Ó ÙÈ ı· ÁÚ¿„Ô˘Ó ÛÙËÓ ÚfiÛÎÏËÛË.∞ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó 3 ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ù· ÔÔ›· ‰Â Á›ÓÂÙ·È Ó· ÂÈÏ˘ıÔ‡Ó ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó ÂÏÏÈ-‹ ÛÙÔȯ›·. ∏ οı ÔÌ¿‰· ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ Ô˘ Û˘ÓÂÚÁ¿˙ÂÙ·È Û˘˙ËÙ¿ÂÈ Î·È Û˘ÌÏËÚÒÓÂÈηٿÏÏËÏ· Ù· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÒÛÙ ӷ χÓÔÓÙ·È. ªÔÓÙÂÏÔÔÈÔ‡Ó (˙ˆÁÚ·Ê›˙ÔÓÙ·˜)Ù· ‰Â‰Ô̤ӷ ÙˆÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Î·È Ù· ÔÚÁ·ÓÒÓÔ˘Ó Û ›Ó·Î· ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ Ù·‰È·¯ÂÈÚ›˙ÔÓÙ·È Â˘ÎÔÏfiÙÂÚ·. ∏ Û˘ÌÏ‹ÚˆÛË Î·È Ô ¤ÏÂÁ¯Ô˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ô˘ ı·ÁÚ¿„Ô˘Ó Á›ÓÂÙ·È Ì ÂÔÙÈÎfi ˘ÏÈÎfi ‹ Ù· ‰¿¯Ù˘Ï·. ™Â οı Úfi‚ÏËÌ· Á›ÓÂÙ·ÈÛ˘˙‹ÙËÛË ÛÙËÓ Ù¿ÍË ÁÈ· ÙÔÓ ÙÚfiÔ Û˘ÌÏ‹ÚˆÛ˘ Î·È ÙË Ï‡ÛË Ô˘ ‰›ÓÔ˘Ó Ù··È‰È¿. ΔË ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÛÙÔÓ ›Ó·Î· (ÂÓÓÔÂ›Ù·È fiÙÈ ı· ÊÙÈ·¯ÙÔ‡Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈοÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ·fi Ù· ·È‰È¿).∂ÚÁ·Û›· Á ÙÔ˘ Δ.ª. Δ· ·È‰È¿ ÚÔÙ›ÓÔ˘Ó ‰È¿ÊÔÚÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜ Â›Ï˘Û˘ ÙÔ˘ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜. ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·:ñ 1Ô˜ ÙÚfiÔ˜: ΔÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ ÌÔÙ›‚Ô˘ ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Í›· 2+3+5 Î·È Â·Ó·Ï·Ì-

‚¿ÓÂÙ·È 4 ÊÔÚ¤˜. ∂Âȉ‹ 2+3+5=10, ¿Ú· 10+10+10+10=40 ‹ 4¯10=40.ñ 2Ô˜ ÙÚfiÔ˜: M ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÚÔÛı¤ÛÂȘ.

2+3=5 5+5=10 10+2+3=15 15+5=20 ÎÙÏ.ñ 3Ô˜ ÙÚfiÔ˜:

TÔ 2 ·ӷϷ̂¿ÓÂÙ·È 4 ÊÔÚ¤˜, ¿Ú· 2+2+2+2=8 ‹ 4¯2=8TÔ 3 ·ӷϷ̂¿ÓÂÙ·È 4 ÊÔÚ¤˜, ¿Ú· 3+3+3+3=12 ‹ 4¯3=12 12+8+20=40TÔ 5 ·ӷϷ̂¿ÓÂÙ·È 4 ÊÔÚ¤˜, ¿Ú· 5+5+5+5=20 ‹ 4¯5=20

Δ· ·È‰È¿ ‰ÂÓ ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ó Ì ÙËÓ ÚÔ·›‰ÂÈ· ·ÏÏ¿ Ì ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÚÔÛı¤-ÛÂȘ. ∏ ÂÌÊ¿ÓÈÛË ÙÔ˘ ¯ ·Ï¿ ÂÍÔÈÎÂÈÒÓÂÈ Î·È ÚÔÂÙÔÈÌ¿˙ÂÈ ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÔÏÏ·-Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡˜ ÛÙ· ÂfiÌÂÓ· ÎÂÊ¿Ï·È·. ∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ Ó· ‚ÚÔ˘Ó ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi ‰È„‹-ÊÈÔ Ô˘ ÔÈ ÌÔÓ¿‰Â˜ Ó· Â›Ó·È ÙÚÈÏ¿ÛȘ ·fi ÙȘ ‰Âο‰Â˜. Δ· ·È‰È¿ ηٷϋÁÔ˘ÓÛ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ χÛÂȘ (13, 26, 39). ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ˙ËÙ¿Ì ӷ ‚ÚÔ˘Ó ¤Ó· ‰È„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi Ô˘ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÌÔÓ¿-‰ˆÓ Î·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ‰Âο‰ˆÓ, ·Ó ÚÔÛÙÂıÔ‡Ó, ‰›ÓÔ˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 4. ¶¿ÏÈ Ù··È‰È¿ ηٷϋÁÔ˘Ó Û ÔÏϤ˜ χÛÂȘ (31, 13, 22, 40). ∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· ÊÙÈ¿ÍÔ˘Ó Û ÔÌ¿‰Â˜ ¤Ó· ·Ó¿ÏÔÁÔ Úfi‚ÏËÌ· Ô˘ Ó·

M·ıËÌ·ÙÈοBã T¿ÍË

86

}

¤¯ÂÈ ¿Óˆ ·fi Ì›· χÛË. ™˘˙ËÙ¿Ì ÛÙËÓ Ù¿ÍË ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ô˘ ÛΤÊÙËÎ·Ó Ó·ÂÚÁ·ÛÙÔ‡Ó Î·È Ù· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ ¤ÊÙÈ·Í·Ó.∫·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·.

∂Ó‰ÂÈÎÙÈÎfi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÚÔ‹˜ 2˘ ‰È‰·ÎÙÈ΋˜ ÒÚ·˜º¿ÛÂȘ ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜º¿ÛË ·ã : ŒÏÂÁ¯Ô˜ ÁÓÒÛˆÓ.º¿ÛË Áã : ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - ·Ó·Î¿Ï˘„Ë ∂ÚÁ·Û›· ÙÔ˘ μ.ª. º¿ÛË Âã : ∂̤‰ˆÛË Ù˘ Ó¤·˜ ÁÓÒÛ˘: ∂ÚÁ·Û›Â˜ · Î·È ‚ ÛÙÔ Δ.ª.º¿ÛË ÛÙã: ∂¤ÎÙ·ÛË ∂ÚÁ·Û›· ‰ ÙÔ˘ Δ.ª.

ŒÏÂÁ¯Ô˜∂ϤÁ¯Ô˘Ì ·Ó Ù· ·È‰È¿ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÔ˘Ó ÂÚˆÙ‹Ì·Ù· ‹ ÛÙÔȯ›·,ÒÛÙ ӷ ÌÔÚ¤ÛÔ˘Ó Ó· ÙÔ Ï‡ÛÔ˘Ó, ÛÙÔ ÂÍ‹˜ Úfi‚ÏËÌ·:«√ Î˘Ú ª·ÓÒÏ˘ Ô ·ÓıÔÒÏ˘ ¤ÊÙÈ·Í ÌÈ· ·ÓıÔ‰¤ÛÌË Ì 7 ÙÚÈ·ÓÙ¿Ê˘ÏÏ·, 9Ì·ÚÁ·Ú›Ù˜, 6 Á·Ú›Ê·Ï· Î·È Ì ÎÚÈÓ¿ÎÈ·. ¶fiÛ· ÏÔ˘ÏÔ‡‰È· ›¯Â Ë ·ÓıÔ‰¤ÛÌË;» Δ· ·È‰È¿ ÚÔÙ›ÓÔ˘Ó ÙÚfiÔ˘˜ Ó· ‰ÈÔÚıÒÛÔ˘Ó ÙÔ Úfi‚ÏËÌ·. °Ú¿ÊÔ˘Ì ÛÙÔӛӷη ÙȘ χÛÂȘ Ô˘ ÚÔÙ›ÓÔ˘Ó.

¶ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÂÚÁ·ÛÈÒÓ. ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - AÓ·Î¿Ï˘„Ë∂ÚÁ·Û›· 1 ÙÔ˘ μ.ª. Δ· ·È‰È¿ Û ÔÌ¿‰Â˜ ÂÈϤÁÔ˘Ó «¡·È» ‹ «Ÿ¯È», ·ÊÔ‡ ‰È·-‚¿ÛÔ˘Ó ÚÔÛ¯ÙÈο οı Úfi‚ÏËÌ·. ∞ÎÔÏÔ˘ı› Û˘˙‹ÙËÛË ÛÙËÓ Ù¿ÍË. Δ· ·È-‰È¿ ÂÍËÁÔ‡Ó ÁÈ·Ù› ‰Â χÓÔÓÙ·È Î¿ÔÈ· ·fi ·˘Ù¿. ¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ó ÛÙÔȯ›· Ô˘ ı·¤Ú ӷ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ÒÛÙ ӷ χÓÔÓÙ·È. Δ· ·È‰È¿ ÌÔÚÔ‡Ó Ó·‚ÚÔ˘Ó ÙË Ï‡ÛË (Û ÔÌ¿‰Â˜), ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ Úfi¯ÂÈÚfi ÙÔ˘˜, Î·È ÛÙË Û˘Ó¤-¯ÂÈ· fiÏË Ë Ù¿ÍË Ó· ÂϤÁÍÂÈ ÛÙÔÓ ›Ó·Î· ÙȘ χÛÂȘ Ô˘ ÚÔÙ¿ıËηÓ. ™ÙËÓ ÂÚ›-ÙˆÛË ·˘Ù‹ Ë ÂÚÁ·Û›· ÚÔÙ›ÓÂÙ·È ˆ˜ ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈ΋ ‰È‰·ÎÙÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË.∂ÚÁ·Û›Â˜ ·, ‚ ÙÔ˘ Δ.ª. √È ‰ÈÔÚıÒÛÂȘ ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ ·Ó·ÎÔÈÓÒÓÔÓÙ·È ÛÙËÓ Ù¿ÍË.ªÔÚ› Ó· ÌËÓ Â›Ó·È ÔÈ ›‰È˜ – .¯., ÛÙËÓ ÂÚÁ·Û›· · ÌÔÚ› Ó· ‰Ôı› ÙÔ ·Ú¯ÈÎfiÔÛfi Ô˘ ›¯Â ‹ Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÔÈÔ ÚÔ˚fiÓ Â›Ó·È ÈÔ ·ÎÚÈ‚fi Î·È fiÛÔ. ∂›Û˘ÛÙËÓ ÂÚÁ·Û›· ‚ ÌÔÚ› Ó· ·ÏÏ¿ÍÂÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÎÔÌÌ·ÙÈÒÓ Ô˘ ¤ÊÙÈ·Í Ùˉ‡ÙÂÚË Ì¤Ú· ‹ Ó· ·ÏÏ¿ÍÂÈ Ô ·Ú¯ÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÎÔÌÌ·ÙÈÒÓ ÙÔ˘ ·˙Ï.∂ÚÁ·Û›· ‰ ÛÙÔ Δ.ª. ∏ ·ÚÈıÌÔÁÚ·ÌÌ‹ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ› ˆ˜ ÂÔÙÈÎfi–‚ÔËıËÙÈÎfi ˘ÏÈÎfi.T· ·È‰È¿ ÂÍËÁÔ‡Ó Ò˜ ÛΤÊÙËηÓ.

9. ∂Ó·ÏÏ·ÎÙÈΤ˜ ‰È‰·ÎÙÈΤ˜ ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂȘ◗ ¢›ÓÔ˘Ì ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Í›· Û οÔÈ· Û¯‹Ì·Ù·, .¯.: =3 =12 Î·È ÊÙÈ¿-

¯ÓÔ˘Ì Ì ·˘Ù¿ ÌÔÙ›‚Ô. ZËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ó ÙÔ˘Ï¿-¯ÈÛÙÔÓ ‰˘Ô ÛÙÚ·ÙËÁÈΤ˜ (ÙÔ Î·ı¤Ó·) ÁÈ· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ó ÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÔ˘·Í›·.

◗ ∏ ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ μ.ª. fiˆ˜ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È.

10. ¶ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÁÈ· ÔÏÈÁÔı¤ÛÈ· Û¯ÔÏ›· – Δ¿ÍÂȘ Ì ¤ÓÙÔÓË ‰È·ÊÔÚÔÔ›ËÛËÌÂٷ͇ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ

ªÔÚÔ‡Ó Ó· ÌË Á›ÓÔ˘Ó ÔÈ ÂÚÁ·Û›Â˜ ‚, ‰ ÙÔ˘ Δ.ª. Î·È Ù· ÌÈÛ¿ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ·fiÙËÓ ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ μ.ª.

BȂϛԉ·ÛοÏÔ˘Bã T¿ÍË

87

11. ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ̆ ÔÛÙËÚ›ÍÔ˘Ó ÙÔ˘˜ÛÙfi¯Ô˘˜ ÙÔ˘ Ì·ı‹Ì·ÙÔ˜ ‰È·ıÂÌ·ÙÈο◗ ™¯¤‰ÈÔ ÂÚÁ·Û›·˜ «°Ú·Ùfi˜ ÏfiÁÔ˜ Î·È ÂÈÎÔÈÓˆÓ›·».

™ÙË °ÏÒÛÛ·: Δ· ·È‰È¿ ÊÙÈ¿¯ÓÔ˘Ó Û ÔÌ¿‰Â˜ ÚÔÛÎÏ‹ÛÂȘ ÁÈ· ÙË ÁÈÔÚÙ‹ ÛÙÔÛ¯ÔÏ›Ô, ÁÈ· Ù· ‚·ÊÙ›ÛÈ· ÙÔ˘ ÌÈÎÚÔ‡ ÙÔ˘˜ ·‰ÂÚÊÔ‡ Î·È ÁÈ· Ù· ÁÂÓ¤ıÏÈ¿ ÙÔ˘˜.£· Ú¤ÂÈ Ó· ÚÔÛ¤ÍÔ˘Ó ÙË ‰È·Ù‡ˆÛË Î·È Ó· ‰ÔıÔ‡Ó fiϘ ÔÈ ÏËÚÔÊÔÚ›Â˜Ô˘ ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È. ™ÙËÓ AÈÛıËÙÈ΋ ·ÁˆÁ‹: Xڈ̷ٛ˙Ô˘Ó Î·È ‰È·ÎÔÛÌÔ‡Ó ·˘Ù¤˜ ÙȘ ÚÔÛÎÏ‹-ÛÂȘ.

Κεφάλαιο 21ο. Λύνω σύνθετα προβλήματα (α)

1. ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓÔ˜ ̄ ÚfiÓÔ˜ ‰È‰·Ûηϛ·˜: 2 ÒÚ˜

2. ∫‡ÚÈÔ˜ ‰È‰·ÎÙÈÎfi˜ ÛÙfi¯Ô˜ √È Ì·ıËÙ¤˜ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· χÓÔ˘Ó Û‡ÓıÂÙ· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·, ÚÔ‚Ï‹-Ì·Ù· ÂÍÈÛÔÚÚfiËÛ˘ Î·È ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ì ÔÏϤ˜ χÛÂȘ.∞Ó·Ï˘ÙÈο ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÌÔÚÔ‡Ó Ó·: ◗ OÚÁ·ÓÒÓÔ˘Ó ÔÏϤ˜ ÏËÚÔÊÔڛ˜ Ô˘ ‰›ÓÂÈ ¤Ó· Úfi‚ÏËÌ· (Ì ¯Ú‹ÛË ›Ó·Î·).◗ K¿ÓÔ˘Ó ÂÎÙ›ÌËÛË ÚÈÓ Ï‡ÛÔ˘Ó ÙÔ Úfi‚ÏËÌ·.◗ K¿ÓÔ˘Ó ‰›Î·ÈË ÌÔÈÚ·ÛÈ¿, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ¤ÎÊÚ·ÛË «ÙfiÛ· fiÛ·».◗ EϤÁ¯Ô˘Ó ÙË Ï‡ÛË Ô˘ ¤‰ˆÛ·Ó Û ¤Ó· Úfi‚ÏËÌ·.◗ EÚÁ¿˙ÔÓÙ·È Û ÔÌ¿‰Â˜.

3. ¶ÚÔ··ÈÙÔ‡ÌÂÓ˜ ÁÓÒÛÂȘ - ŒÏÂÁ¯Ô˜◗ N· οÓÔ˘Ó ÓÔÂÚÔ‡˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ ÛÙÔ 100 (ÚÔÛı¤ÛÂȘ Î·È ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ ÌÂ

2, 3 ·ÚÈıÌÔ‡˜).◗ N· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó Ù· ΤÚÌ·Ù· ÙÔ˘ ¢ÚÒ Î·È Ó· οÓÔ˘Ó ·ÓÙ·ÏÏ·Á¤˜.◗ N· ·ÍÈÔÔÈÔ‡Ó Ù· ‰Â‰Ô̤ӷ Ô˘ ‰›ÓÂÈ ÌÈ· ÂÈÎfiÓ·. ŒÏÂÁ¯Ô˜ Δ· ·È‰È¿, ¯ˆÚÈṲ̂ӷ Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ‹ ÙˆÓ ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ, ·›ÚÓÔ˘Ó 2 ‰È·-ÊÔÚÂÙÈο ΤÚÌ·Ù· ÙÔ˘ ¢ÚÒ. ∑ËÙ¿Ì ӷ Û˘˙ËÙ‹ÛÔ˘Ó Î·È Ó· ‚ÚÔ˘Ó ÔÈÔ˜ ¤¯ÂÈ Ù·ÈÔ ÔÏÏ¿ ¯Ú‹Ì·Ù·, ÔÈÔ˜ ¤¯ÂÈ Ù· ÏÈÁfiÙÂÚ·, Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· ‚ÚÔ˘Ó fiÛË Â›-Ó·È Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ÔÛÒÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó. Δ¤ÏÔ˜, ÚÔÙ›ÓÔ˘Ó ÙÚfiÔ˘˜ ÁÈ· Ó· ¤¯Ô˘ÓfiÏÔÈ ›ÛÔ ¯ÚËÌ·ÙÈÎfi ÔÛfi (‹ Ó· ¿ÚÔ˘Ó fiÏÔÈ ÎÈ ¿ÏÏ· ΤÚÌ·Ù· ‹ Ó· ·ÓÙ·ÏÏ¿ÍÔ˘ÓÙ· ΤÚÌ·Ù¿ ÙÔ˘˜ Ì ¿ÏÏ· ÌÈÎÚfiÙÂÚ˘ ·Í›·˜ Î·È Ó· ·Ê‹ÛÔ˘Ó ÛÙËÓ ¿ÎÚË fi۷ΤÚÌ·Ù· Â›Ó·È ÏÂÔÓ¿˙ÔÓÙ·).

4. ¢È·ÊÔÚÂÙÈο Ï·›ÛÈ· fiÔ˘ ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Ô Î‡ÚÈÔ˜ ‰È‰·ÎÙÈÎfi˜ ÛÙfi¯Ô˜∞ÚÈıÌÔ› Î·È Ú¿ÍÂȘ, ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ (¢ÚÒ), Úfi‚ÏËÌ·.

5. ª·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Î·È ‰Â ı··Ó·Ù˘¯ıÔ‡Ó ·Ó·Ï˘ÙÈο (ÁÈ·Ù› ı· ·Ó·Ù˘¯ıÔ‡Ó Û ÂfiÌÂÓ· ÎÂÊ¿Ï·È·)

◗ ¢È·›ÚÂÛË ÌÂÚÈÛÌÔ‡.

M·ıËÌ·ÙÈοBã T¿ÍË

88

6. ∂ÔÙÈÎfi ̆ ÏÈÎfi – ¢È‰·ÎÙÈο ÂÚÁ·Ï›·MÂ˙Ô‡Ú· (Ì 100 ÂηÙÔÛÙ¿), „‡ÙÈη ¢ÚÒ, ΢‚¿ÎÈ· ·Ú›ıÌËÛ˘, η¿ÎÈ·, Í˘Ï¿-ÎÈ· ·Ú›ıÌËÛ˘.

7. ∂Ó‰ÂÈÎÙÈÎfi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÚÔ‹˜ 1˘ ‰È‰·ÎÙÈ΋˜ ÒÚ·˜º¿ÛÂȘ ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜º¿ÛË ·ã: ŒÏÂÁ¯Ô˜ ÚÔ··ÈÙÔ‡ÌÂÓ˘ ÁÓÒÛ˘. º¿ÛË ‚ã: ∂ÚÒÙËÛË ·ÊfiÚÌËÛ˘.º¿ÛË Áã: ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - ·Ó·Î¿Ï˘„Ë ∂ÚÁ·Û›· 2 ÙÔ˘ μ.ª.º¿ÛË ‰ã: ∂ÈÛËÌÔÔ›ËÛË Ù˘ Ó¤·˜ ÁÓÒÛ˘-Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·.º¿ÛË Âã: ∂Ê·ÚÌÔÁ‹ Ù˘ Ó¤·˜ ÁÓÒÛ˘: ∂ÚÁ·Û›· ‚ ÙÔ˘ Δ.ª.

8. ¶ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÂÚÁ·ÛÈÒÓ. ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - ·Ó·Î¿Ï˘„Ë.Δ· ·È‰È¿ ··ÓÙÔ‡Ó ÛÙËÓ ÂÚÒÙËÛË ·ÊfiÚÌËÛ˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤-Ó· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ··ÓÙÔ‡Ó ÛÙȘ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ Ù˘ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ·˜- ·Ó·Î¿Ï˘„˘. ™˘˙ËÙ¿Ì ÙȘ ·fi„ÂȘ ÙÔ˘˜ Î·È Ò˜ ¤ÊÙ·Û·Ó Û ·˘Ù¤˜. ∂›Ó·ÈÛËÌ·ÓÙÈÎfi Ó· ‰Â›ÍÔ˘Ì ÛÙ· ·È‰È¿ ÙË ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ›Ó·Î· ÛÙËÓ ÔÚÁ¿ÓˆÛË ÙˆÓ‰Â‰ÔÌ¤ÓˆÓ ÂÓfi˜ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜. °Ú¿ÊÔ˘Ì ÛÙÔÓ ›Ó·Î· Ù˘ Ù¿Í˘ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ‰Â‰Ô̤ӷ:

¶·È‰› ¤‚·Ï ¤¯·ÛÂ∞ϤͷӉÚÔ˜ 3 2ÃÚ‹ÛÙÔ˜ 4 1™·‚›Ó· 3 2∂ϤÓË 4 0

∞fi ÙÔÓ ›Ó·Î· ‰Â‰ÔÌ¤ÓˆÓ ·Ú·ÙËÚÔ‡Ó fiÙÈ ÌfiÓÔ Ë ∂ϤÓË ¤‚·Ï ηϿıÈ Û fiϘÙȘ ‚ÔϤ˜ Ô˘ ¤ÚÈÍÂ. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ù· ·È‰È¿ ÂÚÁ¿˙ÔÓÙ·È ÁÈ· ÙËÓ ÂÚÒÙËÛË Ô˘·ÊÔÚ¿ ÛÙ· ηϿıÈ· Ô˘ ¤‚·Ï·Ó Ù· ·È‰È¿ ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ ‰È·Ï›ÌÌ·ÙÔ˜. ™˘˙Ë-Ù¿Ì ÛÙËÓ Ù¿ÍË ÙË ÛÙÚ·ÙËÁÈ΋ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ·Ó. ∫·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·.∂ÚÁ·Û›· 2 ÙÔ˘ μ.ª. Δ· ·È‰È¿ ˙ˆÁÚ·Ê›˙Ô˘Ó Ù· ·Ì·Í¿ÎÈ· Î·È Ù· ¯ÚˆÌ·Ù›˙Ô˘ÓηٿÏÏËÏ· (8 ÌÏÂ, 8 ÎfiÎÎÈÓ·, Î·È 4 ÌÔ‚ ‹ 9 ÌÏÂ, 9 ÎfiÎÎÈÓ· Î·È 2 ÌÔ‚ ‹ 7 ÌÏÂ,7 ÎfiÎÎÈÓ· Î·È 6 ÌÔ‚). ™˘˙ËÙ¿Ì ÙȘ χÛÂȘ Ô˘ ‚Ú‹Î·Ó Ù· ·È‰È¿ Î·È ÙȘ ‰Â›-¯ÓÔ˘Ì ÛÙÔÓ ›Ó·Î· fiˆ˜ ·Ú·Î¿Ùˆ:

∞˘ÙÔÎÈÓËÙ¿ÎÈ· 1Ë Ï‡ÛË 2Ë Ï‡ÛË 3Ë Ï‡Û˪Ï ….. ….. …..∫fiÎÎÈÓ· ….. ….. …..ªÔ‚ ….. ….. …..™‡ÓÔÏÔ ….. ….. …..

ªÔÚԇ̠fï˜ Ó· ‰Â›ÍÔ˘ÌÂ Î·È Ì ·ıÚÔÈÛÙÈ΋ ·Ó¿Ï˘ÛË ÙÔ˘ 20. ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·:20 = 9+9+2 20 = 8+8+4 20 = 7+7+6∂ÚÁ·Û›· ‚ ÙÔ˘ Δ.ª. ∂›Ó·È Û ·Ê·ÈÚÂÙÈÎfi Â›Â‰Ô Ë ÂÍÈÛÔÚÚfiËÛË. Δ· ·È‰È¿¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó Ù· ‰¿¯Ù˘Ï¿ ÙÔ˘˜ ‹ ÂÔÙÈÎfi ˘ÏÈÎfi ·Ó ‰˘ÛÎÔχÔÓÙ·È. ™˘˙ËÙ¿ÌÂÛÙËÓ Ù¿ÍË. Δ· ·È‰È¿ ‰Â›¯ÓÔ˘Ó ÛÙÔÓ ›Ó·Î· Ò˜ ÛΤÊÙËÎ·Ó Ó· χÛÔ˘Ó Î¿ı ÂÈ-̤ÚÔ˘˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜.

BȂϛԉ·ÛοÏÔ˘Bã T¿ÍË

89

∞Ó·‰ÂÈÎÓ‡Ô˘Ì ÙȘ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÛÙÚ·ÙËÁÈΤ˜ ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ. ¶.¯.: 15+3+…=20.1Ô˜ ÙÚfiÔ˜: 18+1+1=20 ¿Ú· 22Ô˜ ÙÚfiÔ˜: 20-1-1=18 ¿Ú· ¤‚Á·Ï· 23Ô˜ ÙÚfiÔ˜: 20-18=2 Ë ‰È·ÊÔÚ¿ Â›Ó·È 2

∂Ó‰ÂÈÎÙÈÎfi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÚÔ‹˜ 2˘ ‰È‰·ÎÙÈ΋˜ ÒÚ·˜º¿ÛÂȘ ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜º¿ÛË ·ã : ŒÏÂÁ¯Ô˜ ÚÔ··ÈÙÔ‡ÌÂÓ˘ ÁÓÒÛ˘. º¿ÛË Áã : ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - ·Ó·Î¿Ï˘„Ë ∂ÚÁ·Û›· 1 ÙÔ˘ μ.ª.º¿ÛË Âã : ∂Ê·ÚÌÔÁ‹: ∂ÚÁ·Û›Â˜ ·, Á ÙÔ˘ Δ.ª. º¿ÛË ÛÙã : EÊ·ÚÌÔÁ‹ – ∂̤‰ˆÛË ∂ÚÁ·Û›· ‰ ÙÔ˘ Δ.ª.

ŒÏÂÁ¯Ô˜∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ‹ ÙˆÓ ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ Ó· ÌÔÈÚ·ÛÙÔ‡Ó ¤Ó·¯ÚËÌ·ÙÈÎfi ÔÛfi ÒÛÙ ӷ ¤¯Ô˘Ó fiÏÔÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÔÛfi. ∫¿ı ÔÌ¿‰· ÌÔÈÚ¿˙ÂÙ·È ¿ÏÏÔ¯ÚËÌ·ÙÈÎfi ÔÛfi. ∑ËÙ¿Ì ӷ ¤ÚıÔ˘Ó ÛÙÔÓ ›Ó·Î· ·È‰È¿ ·fi ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÔÌ¿-‰Â˜ (¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÔÛ¿). ∫¿ı ·È‰› ϤÂÈ ÙÔ ÔÛfi Ô˘ ¤¯ÂÈ. OÈ Ì·ıËÙ¤˜Û˘˙ËÙÔ‡Ó ÙÈ Ú¤ÂÈ Ó· Á›ÓÂÈ ÁÈ· Ó· ¤¯Ô˘Ó fiÏ· Ù· ·È‰È¿ ÙÔ ›‰ÈÔ ÔÛfi.∂ÚÁ·Û›· 1 ÙÔ˘ μ.ª. MÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ ‰Ú·Ì·ÙÔÔ›ËÛË. ø˜ ÂÔÙÈÎfi ˘ÏÈÎfi ÌÔ-ÚÔ‡Ó Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËıÔ‡Ó Ù· ΢‚¿ÎÈ· ·Ú›ıÌËÛ˘, η¿ÎÈ·, Í˘Ï¿ÎÈ· ·Ú›ıÌË-Û˘, ÁÈ· Ó· Á›ÓÂÈ Ô ¤ÏÂÁ¯Ô˜ ÙˆÓ ··ÓÙ‹ÛÂˆÓ Ô˘ ‰›ÓÂÈ ÙÔ Î¿ı ·È‰›. ™˘˙ËÙ¿ÌÂÛÙËÓ Ù¿ÍË ÙË Ï‡ÛË Ô˘ ¤‰ˆÛ·Ó Ù· ·È‰È¿.∂ÚÁ·Û›· · ÙÔ˘ Δ.ª. Δ· ·È‰È¿ ÂÚÁ¿˙ÔÓÙ·È Ì ‹ ¯ˆÚ›˜ „‡ÙÈη ¢ÚÒ. ∫¿ı ·È‰›Û¯Â‰È¿˙ÂÈ Ù· ΤÚÌ·Ù· Ô˘ ··ÈÙÔ‡ÓÙ·È ÛÙÔ Î¿ı ÂÚÒÙËÌ·. ™˘˙ËÙ¿Ì ÙȘ χÛÂÈ˜Ô˘ ¤‰ˆÛ·Ó Ù· ·È‰È¿.∂ÚÁ·Û›· Á ÙÔ˘ Δ.ª. π‰È·›ÙÂÚË ÛËÌ·Û›· ¤¯ÂÈ Ó· Ô˘Ó ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· Ù· ·È‰È¿Ì ‰Èο ÙÔ˘˜ ÏfiÁÈ·. Δ· ·È‰È¿ ÂÎÙÈÌÔ‡Ó ÚÒÙ· ÙË Ï‡ÛË. ™˘˙ËÙ¿Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔÔ˘ ÛΤÊÙËÎ·Ó ÁÈ· Ó· οÓÔ˘Ó ÙËÓ ÂÎÙ›ÌËÛË. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ˙ˆÁÚ·Ê›˙Ô˘Ó ÁÈ· Ó·ÂϤÁÍÔ˘Ó ÙËÓ ÂÎÙ›ÌËÛ‹ ÙÔ˘˜ Î·È Ó· χÛÔ˘Ó ÙÔ Úfi‚ÏËÌ·.∂ÚÁ·Û›· ‰ ÙÔ˘ Δ.ª. ∂›Ó·È Û‡ÓıÂÙÔ Úfi‚ÏËÌ· Ô˘ χÓÂÙ·È Â‡ÎÔÏ· ·Ó ÙÔ ˙ˆÁÚ·-Ê›ÛÔ˘Ó ‹ ·Ó ÙÔ ‰Ú·Ì·ÙÔÔÈ‹ÛÔ˘Ó. ∏ ‰˘ÛÎÔÏ›· ¤ÁÎÂÈÙ·È ÛÙÔ fiÙÈ ‰›ÓÔÓÙ·È Ù·Ú¤ÛÙ· Î·È Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÚÔ˚fiÓÙÔ˜ Î·È ˙ËÙÂ›Ù·È ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi ÔÛfi Ô˘ ¤‰ˆÛ ÙÔ ·È‰›.

9. ∂Ó·ÏÏ·ÎÙÈΤ˜ ‰È‰·ÎÙÈΤ˜ ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂȘ◗ ∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘Ó fiÛ· Â›Ó·È Ù· ÎÔÚ›ÙÛÈ· Î·È fiÛ· Ù·

·ÁfiÚÈ· Ù˘ Ù¿Í˘. ∞Ó ‰ÂÓ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙÔ˘˜, ÚˆÙ¿ÌÂ, ÏfiÁÔ˘ ¯¿ÚË,fiÛ· ·ÁfiÚÈ· Ú¤ÂÈ Ó· ¤ÚıÔ˘Ó ‹ fiÛ· Ó· ʇÁÔ˘Ó, ÁÈ· Ó· Â›Ó·È fiÛ· Ù·ÎÔÚ›ÙÛÈ·.

◗ ¶·Ú·ÙËÚÔ‡Ó ÙÔ ˆÚÔÏfiÁÈÔ Û¯ÔÏÈÎfi ÚfiÁÚ·ÌÌ· ÙˆÓ Ì·ıËÌ¿ÙˆÓ. ªÂÙÚÔ‡Ó,ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÙȘ ÒÚ˜ Ù˘ °ÏÒÛÛ·˜, ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, ÙÔ˘ ∂Ì›˜ Î·È ÔÎfiÛÌÔ˜, Ù˘ °˘ÌÓ·ÛÙÈ΋˜ Î.¿. ∑ËÙ¿Ì ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ó fiÛ˜ ÒÚ˜ ı· Ú¤-ÂÈ Ó· οÓÔ˘Ó °˘ÌÓ·ÛÙÈ΋ Û ÌÈ· ‚‰ÔÌ¿‰· ÁÈ· Ó· οÓÔ˘Ó ÙfiÛ˜ ÒÚ˜̿ıËÌ· fiÛ˜ ÛÙÔ Ì¿ıËÌ· Ù˘ °ÏÒÛÛ·˜.

10. ¶ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÁÈ· ÔÏÈÁÔı¤ÛÈ· Û¯ÔÏ›· – Δ¿ÍÂȘ Ì ¤ÓÙÔÓË ‰È·ÊÔÚÔÔ›ËÛËÌÂٷ͇ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ

√È ÔÌ·‰ÔÛ˘ÓÂÚÁ·ÙÈΤ˜ ÂÚÁ·Û›Â˜ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Á›ÓÔ˘Ó Ì ·È‰È¿ ·Ó¿ÏÔÁÔ˘ ÂÈ-

M·ıËÌ·ÙÈοBã T¿ÍË

90

¤‰Ô˘. ªÔÚÔ‡Ó Ó· ÌË Á›ÓÔ˘Ó ÔÈ ÂÚÁ·Û›Â˜ 2 ÙÔ˘ μ.ª., ‚ Î·È ‰ ÙÔ˘ Δ.ª.

11. ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ̆ ÔÛÙËÚ›ÍÔ˘Ó ÙÔ˘˜ÛÙfi¯Ô˘˜ ÙÔ˘ Ì·ı‹Ì·ÙÔ˜ ‰È·ıÂÌ·ÙÈο¶·È¯Ó›‰È «√È ÌÔ˘ÛÈΤ˜ ηڤÎϘ»: ∞Ó Ù· ·È‰È¿ Ô˘ ı· ·›ÍÔ˘Ó Â›Ó·È 8, ÔÈηڤÎϘ Ô˘ ı· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËıÔ‡Ó Â›Ó·È 7. •ÂÎÈÓ¿ÂÈ Ë ÌÔ˘ÛÈ΋. ªfiÏȘ ÛÙ·-Ì·Ù‹ÛÂÈ, Ù· ·È‰È¿ ÙÚ¤¯Ô˘Ó Ó· ηı›ÛÔ˘Ó. ¶¿ÓÙ· ¤Ó· ·È‰› ̤ÓÂÈ fiÚıÈÔ ÁÈ·Ù›ÔÈ Î·Ú¤ÎϘ ‰ÂÓ Â›Ó·È «ÙfiÛ˜ fiÛ˜ Î·È Ù· ·È‰È¿».

12. ™‡Ó‰ÂÛË Ì ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÏÔÁÈÛÌÈÎfi◗ √È ·ÚÈıÌÔ› 0-100, ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·.

Κεφάλαιο 22ο. Aναλύω αριθμούς μέχρι το 100. Εισαγωγή στηνπροπαίδεια

1. ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓÔ˜ ̄ ÚfiÓÔ˜ ‰È‰·Ûηϛ·˜: 2 ÒÚ˜

2. ∫‡ÚÈÔ˜ ‰È‰·ÎÙÈÎfi˜ ÛÙfi¯Ô˜: Δ· ·È‰È¿ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·Ó·Ï‡Ô˘Ó¤Ó· ‰È„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi Û ›‰ÈÔ˘˜ fiÚÔ˘˜. ∞Ó·Ï˘ÙÈο ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÌÔÚÔ‡Ó Ó·:◗ ™˘Óı¤ÙÔ˘Ó Î·È ·Ó·Ï‡Ô˘Ó ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi Û ¿ÏÏÔ˘˜ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˘˜ ›Ù ÌÂ Û˘Ì-

‚ÔÏÈ΋ ÌÔÚÊ‹ („ËÊ›·) ›Ù Ì ڷÁÌ·ÙÈ΋ (ηٷÛ΢‹ ÌÔÙ›‚Ô˘) Ì ÌÔÚÊ‹·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ ‹ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘.

◗ K·Ù·ÓÔÔ‡Ó ÙËÓ ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ· ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ (ÚÒÙ· ÔÈ Ú¿ÍÂȘ ̤۷ ÛÙȘ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ).

◗ EÚÁ¿˙ÔÓÙ·È Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ‹ ÙˆÓ ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ.

3. ¶ÚÔ··ÈÙÔ‡ÌÂÓ˜ ÁÓÒÛÂȘ - ŒÏÂÁ¯Ô˜◗ N· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·Ó·Ï‡Ô˘Ó ʈÓÔÏÔÁÈο ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi Û ÌÔÓ¿‰Â˜ Î·È ‰Âο‰Â˜. ◗ N· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·ıÚÔ›˙Ô˘Ó Ì fiÔÈÔÓ ÙÚfiÔ ÌÔÚÔ‡Ó (‰¿¯Ù˘Ï·, ··Ú›ı-

ÌËÛË, Ì ÙÔ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ, Ì ÙËÓ ˘¤Ú‚·ÛË Ù˘ ‰Âο‰·˜) ÌÔÓÔ„‹ÊÈÔ˘˜ ηȉȄ‹ÊÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.

◗ N· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÌÔÈÚ¿˙Ô˘Ó Û ›Û· ̤ÚË ÌÈ· ÔÛfiÙËÙ· (Ë ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ‰›Î·È˘ÌÔÈÚ·ÛÈ¿˜).

◗ N· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÊÙÈ¿¯ÓÔ˘Ó ·ÚÈıÌËÙÈÎfi ÌÔÙ›‚Ô Ì ¯¿ÓÙÚ˜, ˙ˆÁÚ·ÊÈ΋ ‹ Ì„ËÊ›·.

◗ N· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÙÔ «ÊÔÚ¤˜» fiÙ·Ó ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ó ›‰ÈÔ˘˜ fiÚÔ˘˜. ◗ N· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Û˘ÓÂÚÁ¿˙ÔÓÙ·È Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô.ŒÏÂÁ¯Ô˜: BȈ̷ÙÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· ¯ˆÚÈÛÙÔ‡Ó Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô Î·È Ó· ˙ˆÁÚ·Ê›ÛÔ˘Ó‹ Ó· ÊÙÈ¿ÍÔ˘Ó Û ÎÔÚ‰fiÓÈ ¤Ó· ÌÔÙ›‚Ô Ì ÎfiÎÎÈÓ˜ Î·È ¿ÛÚ˜ ¯¿ÓÙÚ˜ (Û˘ÓÔÏÈ-ο ‰Ò‰Âη ¯¿ÓÙÚ˜). Δ· ·È‰È¿ ‰Â›¯ÓÔ˘Ó Ù· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ù˘ ÂÚÁ·Û›·˜ ÙÔ˘˜: 1Ë ÂÚ›ÙˆÛË: OÈ ¯¿ÓÙÚ˜ ÂÓ·ÏÏ¿ÛÛÔÓÙ·È Û 1 ¿ÛÚË, 1 ÎfiÎÎÈÓË, Û˘ÓÔÏÈο

6 ¿ÛÚ˜ Î·È 6 ÎfiÎÎÈÓ˜.

BȂϛԉ·ÛοÏÔ˘Bã T¿ÍË

91

2Ë ÂÚ›ÙˆÛË: 1 ¿ÛÚË Î·È 2 ÎfiÎÎÈÓ˜, Û˘ÓÔÏÈο 4 ¿ÛÚ˜ Î·È 8 ÎfiÎÎÈÓ˜. 3Ë ÂÚ›ÙˆÛË: 1 ¿ÛÚË Î·È 3 ÎfiÎÎÈÓ˜, Û˘ÓÔÏÈο 3 ¿ÛÚ˜ Î·È 9 ÎfiÎÎÈÓ˜. 4Ë ÂÚ›ÙˆÛË: 1 ¿ÛÚË Î·È 5 ÎfiÎÎÈÓ˜, Û˘ÓÔÏÈο 2 ¿ÛÚ˜ Î·È 10 ÎfiÎÎÈÓ˜. ™ÙÔÓ ›Ó·Î· ‰Â›¯ÓÔ˘Ì Ì ‰ÂÓÙÚԉȿÁÚ·ÌÌ· ÙȘ χÛÂȘ Ô˘ ‚Ú‹Î·Ó Ù· ·È‰È¿. ¶.¯.:

12 12 12

1 1 1 2 1 31 1 1 2 1 31 1 1 2 1 31 1 1 21 11 1

‹ (6¯1) + (6¯1)=12 ‹ (4¯1) + (4¯2) ‹ (3¯1) + (3¯3)=12‹ 6+6=12 ‹ 4+8=12 ‹ 3+9=12‹ 2¯6=12

12

1 51 5

‹ (2¯1) + (2¯5) = 12‹ 2+10=12

∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· ‚ÚÔ‡Ó Ì ÔÈÔ ÌÔÙ›‚Ô ÔÈ ¿ÛÚ˜ Î·È ÔÈ ÎfiÎÎÈÓ˜¯¿ÓÙÚ˜ ›ӷÈ: ◗ ÿÛ˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ◗ ¢ÈÏ¿ÛȘ, ÙÚÈÏ¿ÛȘ ‹ ÂÓÙ·Ï¿ÛȘ ÔÈ ¯¿ÓÙÚ˜ ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ¯ÚÒÌ·ÙÔ˜ Ì ÙȘ

¯¿ÓÙÚ˜ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ¯ÚÒÌ·ÙÔ˜.

4. ¢È·ÊÔÚÂÙÈο Ï·›ÛÈ· fiÔ˘ ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Ô Î‡ÚÈÔ˜ ‰È‰·ÎÙÈÎfi˜ ÛÙfi¯Ô˜AÚÈıÌÔ›, ·ÚÈıÌÔ› Î·È Ú¿ÍÂȘ, ÌÔÙ›‚Ô, Úfi‚ÏËÌ·.

5. ª·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Î·È ‰Â ı··Ó·Ù˘¯ıÔ‡Ó ·Ó·Ï˘ÙÈο (ÁÈ·Ù› ı· ·Ó·Ù˘¯ıÔ‡Ó Û ÂfiÌÂÓ· ÎÂÊ¿Ï·È·)

◗ H ÚÔ·›‰ÂÈ· (‰ÂÓ Â›Ó·È ÛÙfi¯Ô˜ Ù˘ Bã T¿Í˘ Ë ÂÎÌ¿ıËÛË ÙˆÓ ÁÈÓÔÌ¤ÓˆÓ Ì·ÔÛÙ‹ıÈÛË, ·ÏÏ¿ Ë Î·Ù·ÓfiËÛË – ‰È‰¿ÛÎÂÙ·È Û ÂfiÌÂÓ· ÎÂÊ¿Ï·È·).

◗ H ‰È·›ÚÂÛË. ◗ H Ù¯ÓÈ΋ οıÂÙ˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Ì ÎÚ·ÙÔ‡ÌÂÓÔ.

6. ∂ÔÙÈÎfi ̆ ÏÈÎfi – ¢È‰·ÎÙÈο ÂÚÁ·Ï›·KÔÚ‰fiÓÈ Ì ¯¿ÓÙÚ˜ ‰‡Ô ¯ÚˆÌ¿ÙˆÓ, Í˘Ï¿ÎÈ· ·Ú›ıÌËÛ˘ ‹ ΢‚¿ÎÈ· ‹ fiÛÚÈ·‰‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÒÓ ÂȉÒÓ, ·ÚÈıÌÔÁÚ·ÌÌ‹, ̤ÙÚÔ ‹ ÌÂ˙Ô‡Ú·.

7. ∂Ó‰ÂÈÎÙÈÎfi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÚÔ‹˜ 1˘ ‰È‰·ÎÙÈ΋˜ ÒÚ·˜º¿ÛÂȘ ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜º¿ÛË ·ã: ŒÏÂÁ¯Ô˜ ÚÔ··ÈÙÔ‡ÌÂÓ˘ ÁÓÒÛ˘. º¿ÛË ‚ã: ∂ÚÒÙËÛË ·ÊfiÚÌËÛ˘.º¿ÛË Áã: ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - ·Ó·Î¿Ï˘„Ë.

M·ıËÌ·ÙÈοBã T¿ÍË

92

º¿ÛË ‰ã: ∂ÈÛËÌÔÔ›ËÛË Ù˘ Ó¤·˜ ÁÓÒÛ˘ - Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·. º¿ÛË Âã: ∂Ê·ÚÌÔÁ‹ Ù˘ Ó¤·˜ ÁÓÒÛ˘: ∂ÚÁ·Û›· Á ÙÔ˘ Δ.ª.

8. ¶ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÂÚÁ·ÛÈÒÓ. ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - ·Ó·Î¿Ï˘„Ë. μȈ̷ÙÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛËΔ· ·È‰È¿ Û˘˙ËÙÔ‡Ó ÛÙËÓ ÂÚÒÙËÛË ·ÊfiÚÌËÛ˘ ÌÂÙ¿ ÙË ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· ÂϤÁ-¯Ô˘. ∫·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì Û ÔÏÏÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜: ÌÈÛfi, ÌÔÈÚ·ÛÈ¿ ¤Ó· ÚÔ˜ ¤Ó·, ‰‡ÔÚÔ˜ ‰‡Ô ÎÙÏ. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ‰È·‚¿˙Ô˘Ó ÙË ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - ·Ó·Î¿Ï˘„Ë Î·È ÚÔÙ›ÓÔ˘Ó Ï‡ÛÂȘ.Δ· ·È‰È¿ ·Ú·ÙËÚÔ‡Ó ÙȘ ÛÙÚ·ÙËÁÈΤ˜ ÙˆÓ ÚˆÙ·ÁˆÓÈÛÙÒÓ (Ì ÙÔ ÌÈÛfi, ÙÔ ÌÔ›-Ú·ÛÌ· Ì ‰˘¿‰Â˜, ÙÚÈ¿‰Â˜ ÎÙÏ.) Î·È ÙȘ ÂÚÈÁÚ¿ÊÔ˘Ó.∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· „¿ÍÔ˘Ó Ó· ‚ÚÔ˘Ó ¿ÏÏÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜. ™˘ÓÂÚÁ¿˙ÔÓÙ·È ÌÂÙÔÓ ‰ÈÏ·Ófi ÙÔ˘˜ Î·È ˙ˆÁÚ·Ê›˙Ô˘Ó (ÌÔÓÙÂÏÔÔÈÔ‡Ó) ÙË ÛΤ„Ë ÙÔ˘˜. ¢Â›¯ÓÔ˘ÌÂÛÙÔÓ ›Ó·Î· ÛÙÔ ‰ÂÓÙÚԉȿÁÚ·ÌÌ· ÙÔ˘ 24, fiˆ˜ ÂÚÁ·ÛًηÌ ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜ÁÈ· ÙÔ 12. ¢›ÓÔ˘Ì ÛÙ· ·È‰È¿ ¿ÏÈ ÙÔ ÎÔÚ‰fiÓÈ Ì ÙȘ 24 ‰›¯ÚˆÌ˜ ¯¿ÓÙÚ˜ ηÈ˙ËÙ¿Ì ӷ ÊÙÈ¿ÍÔ˘Ó ¤Ó· ÌÔÙ›‚Ô ·fi ·˘Ù¿ Ô˘ ¤¯Ô˘Ì ·Ó·Ï‡ÛÂÈ ÛÙÔÓ ›Ó·Î·.¶ÚÔÛ¤¯Ô˘Ì ÒÛÙ fiÏÔÈ ÔÈ ÙÚfiÔÈ (ÌÔÙ›‚Ô) Ó· Á›ÓÔ˘Ó ·fi ÙȘ ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ·È-‰ÈÒÓ (οı ÔÌ¿‰· ÊÙÈ¿¯ÓÂÈ ·fi ¤Ó· ÌÔÙ›‚Ô).∫·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· Î·È ˙ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· ʤÚÔ˘Ó ¤Ó· ¿ÏÏÔ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·. ∂ÚÁ·Û›· Á ÙÔ˘ Δ.ª. AÚ¯Èο ÂÎÙÈÌÔ‡Ó Ù· Û˘ÓÔÏÈο ‚‹Ì·Ù· οı ÊÔÚ¿. ™ÙËÛ˘Ó¤¯ÂÈ· ÂÍËÁÔ‡Ó Ì ÙËÓ ·ÚÈıÌÔÁÚ·ÌÌ‹ Ù˘ Ù¿Í˘ ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ô˘ ÂÎÙ›ÌËÛ·Ó(Ì ··Ú›ıÌËÛË, ‰¿¯Ù˘Ï·, ÂÔÙÈÎfi ˘ÏÈÎfi). EÍËÁÔ‡Ó Ò˜ ˘ÔÏfiÁÈÛ·Ó Ù· ÁÈÓfi-ÌÂÓ· 16¯5=80 Î·È 22¯4=88 (Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈ· Ù· ‚‹Ì·Ù· ·ÊÔ‡ ÙÔ 80 Â›Ó·È ‰ÈÏ¿-ÛÈÔ ÙÔ˘ 40 Î·È ÙÔ 88 Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ 44).

∂Ó‰ÂÈÎÙÈÎfi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÚÔ‹˜ 2˘ ‰È‰·ÎÙÈ΋˜ ÒÚ·˜º¿ÛÂȘ ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜º¿ÛË ·ã : ŒÏÂÁ¯Ô˜ ÚÔ··ÈÙÔ‡ÌÂÓ˘ ÁÓÒÛ˘ ∂ÚÁ·Û›· 1 ÙÔ˘ B.ª.º¿ÛË Áã : ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - ·Ó·Î¿Ï˘„Ë ∂ÚÁ·Û›· · ÙÔ˘ T.ª.º¿ÛË Âã : ∂Ê·ÚÌÔÁ‹ Ù˘ Ó¤·˜ ÁÓÒÛ˘: ∂ÚÁ·Û›· ‚ ÙÔ˘ Δ.ª.º¿ÛË ÛÙã : ∂̤‰ˆÛË – ∂¤ÎÙ·ÛË ∂ÚÁ·Û›· ‰ ÙÔ˘ Δ.ª.

ŒÏÂÁ¯Ô. ∂ÚÁ·Û›· 1 ÙÔ˘ μ.ª. ∂›Û˘ Ù· ·È‰È¿ ÌÔÚÔ‡Ó ÚÔÊÔÚÈο Ó· ·Ó·-ÁÓˆÚ›ÛÔ˘Ó ÙÔ˘˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡˜:28=(2¯10) + (2¯4) 48=(2¯20) + (2¯4)∂ÚÁ·Û›· · ÙÔ˘ Δ.ª. μȈ̷ÙÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË. ªÔÚ› Ó· ·ÔÙÂϤÛÂÈ Î·È ÂÓ·Ï-Ï·ÎÙÈ΋ ‰È‰·ÎÙÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË. ∂ÚÁ·Û›· ‚ ÙÔ˘ Δ.ª. Δ· ·È‰È¿ ϤÓ ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· Ì ‰Èο ÙÔ˘˜ ÏfiÁÈ·. ™ÙË Û˘Ó¤-¯ÂÈ· ÌÔÓÙÂÏÔÔÈÔ‡Ó Ù· ‰Â‰Ô̤ӷ ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ (˙ˆÁÚ·Ê›˙Ô˘Ó). ∑ËÙ¿ÌÂÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ó· Ì·˜ ÂÍËÁ‹ÛÔ˘Ó ÛÙÔÓ ›Ó·Î· Ì ‰ÂÓÙÚԉȿÁÚ·ÌÌ· Î·È Ú¿ÍÂȘ ÙËχÛË Ô˘ ¤‰ˆÛ·Ó.∂ÚÁ·Û›· ‰ ÙÔ˘ Δ.ª. ∏ ‰˘ÛÎÔÏ›· ¤ÁÎÂÈÙ·È ÛÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· «‰ÈÏ¿ÛÈ·». ΔÔ Úfi‚ÏË-Ì· χÓÂÙ·È Â‡ÎÔÏ· ·Ó ÌÔÓÙÂÏÔÔÈËı› Ì ˙ˆÁÚ·ÊÈ΋, ›Ó·Î· ‹ ÂÔÙÈÎfi ˘ÏÈÎfi.√ ¤ÏÂÁ¯Ô˜ Ì ÙËÓ Î¿ıÂÙË Ú¿ÍË Â›Ó·È Ô ÂÍ‹˜:

BȂϛԉ·ÛοÏÔ˘Bã T¿ÍË

93

17 Ì‹Ï· 17 ·¯Ï¿‰È· 13 Ì‹Ï·- 4 Ì‹Ï· - 6 ·¯Ï¿‰È· + 11 ·¯Ï¿‰È·——————— ————————- ————————-13 Ì‹Ï· 11 ·¯Ï¿‰È· 24 ÊÚÔ‡Ù·

9. ∂Ó·ÏÏ·ÎÙÈΤ˜ ‰È‰·ÎÙÈΤ˜ ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂȘ◗ ∑ËÙ¿Ì ·fi ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ Ó· χÛÔ˘Ó ÙÔ ÂÍ‹˜ Úfi‚ÏËÌ·: «Δ¤ÛÛÂÚ· ·È‰È¿

¤¯Ô˘Ó Ó· ÌÔÈÚ·ÛÙÔ‡Ó ‰›Î·È· 28 ¢ÚÒ. ¶fiÛ· ¢ÚÒ ı· ¿ÚÂÈ ÙÔ Î¿ı ·È‰›;»∂ϤÁ¯Ô˘Ó Ì „‡ÙÈη ¢ÚÒ.

◗ ∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÔ˘Ó Î·È Ó· χÛÔ˘Ó ÙÔ Úfi‚ÏËÌ·: «∏∂ϤÓË Ì·˙‡ÂÈ ÎÔ¯‡ÏÈ·. Δ· ¤‚·Ï Û …. ‚·˙¿ÎÈ· ÁÈ· Ó· ÌËÓ Ù· ¯¿ÛÂÈ. ¶fiÛ·ÎÔ¯‡ÏÈ· ¤¯ÂÈ Û˘ÓÔÏÈο ·Ó ¤‚·Ï 6 ÎÔ¯‡ÏÈ· Û οı ‚·˙¿ÎÈ;»

◗ ∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ ÌÈ·˜ ÔÌ¿‰·˜ Ó· ÊÙÈ¿ÍÔ˘Ó ¤Ó· ÌÔÙ›‚Ô Ì 18 ¯¿ÓÙÚ˜(3 ¯ÚˆÌ¿ÙˆÓ) Î·È Ó· ‰ÒÛÔ˘Ó Û ¿ÏÏË ÔÌ¿‰· Ó· ‚ÚÂÈ Ò˜ ¯ˆÚ›ÛÙËÎ·Ó Ôȯ¿ÓÙÚ˜ Ì ‚¿ÛË ÙÔ ¯ÚÒÌ· (ηÓfiÓ·˜ ÙÔ˘ ÌÔÙ›‚Ô˘).

◗ ∏ ∂ÚÁ·Û›· 1 ÙÔ˘ μ.ª. Î·È Ë · ÙÔ˘ Δ.ª. ‚Ȉ̷ÙÈΤ˜. Ÿˆ˜ ÂÚÈÁÚ¿ÊÔÓÙ·È.

10. ¶ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÁÈ· ÔÏÈÁÔı¤ÛÈ· Û¯ÔÏ›· – Δ¿ÍÂȘ Ì ¤ÓÙÔÓË ‰È·ÊÔÚÔÔ›ËÛËÌÂٷ͇ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ

ªÔÚÔ‡Ó Ó· ÌË Á›ÓÔ˘Ó Ë ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ B.M. Î·È ‰ ÙÔ˘ Δ.ª. øÛÙfiÛÔ Û fiÏÔ ÙÔÌ¿ıËÌ· ‰›ÓÔ˘Ì ¤ÌÊ·ÛË ÛÙȘ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ·Ó··Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ·Ó¿Ï˘Û˘·ÚÈıÌÔ‡ (ÌÔÙ›‚Ô, ÁÈÓfiÌÂÓ·, ‰ÂÓÙÚԉȿÁÚ·ÌÌ·, ·ÚÈıÌÔÁÚ·ÌÌ‹).

11. ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ̆ ÔÛÙËÚ›ÍÔ˘Ó ÙÔ˘˜ÛÙfi¯Ô˘˜ ÙÔ˘ Ì·ı‹Ì·ÙÔ˜ ‰È·ıÂÌ·ÙÈο

◗ ™ÙË ÏÔÁÔÙ¯ӛ·: «ŒÓ· ‰¤ÓÙÚÔ Ô˘ ÙÔ ¤ÏÂÁ·Ó º›ÏÈÔ».◗ ™ÙÔ ∂Ì›˜ Î·È Ô ÎfiÛÌÔ˜: TÔ Ì¿ıËÌ· ÁÈ· Ù· Ê˘Ù¿ Î·È ÙȘ ÁˆÚÁÈΤ˜ ÂÚÁ·Û›Â˜

(fiÚÁˆÌ·, ʇÙÂÌ·). ◗ ™ÙËÓ AÈÛıËÙÈ΋ ·ÁˆÁ‹: ZˆÁÚ·Ê›˙Ô˘Ó ÙÔ ÂÚ›ÁÚ·ÌÌ· ÂÓfi˜ ‰¤ÓÙÚÔ˘ Î·È ÙÔ

¯ÚˆÌ·Ù›˙Ô˘Ó Ì ÔÏÏ¿ ¯ÚÒÌ·Ù·.

Κεφάλαιο 23ο. Yπολογίζω με πολλούς τρόπους το συμπλήρωμα του 100

1. ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓÔ˜ ̄ ÚfiÓÔ˜ ‰È‰·Ûηϛ·˜: 1 ÒÚ·

2. ∫‡ÚÈÔ˜ ‰È‰·ÎÙÈÎfi˜ ÛÙfi¯Ô˜ OÈ Ì·ıËÙ¤˜ Ó· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· οÓÔ˘Ó ÓÔÂÚÔ‡˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ Ì ÚfiÛıÂÛË Î·È·Ê·›ÚÂÛË ˆ˜ ÙÔ 100, Ì ÂÎÙ›ÌËÛË Î·È ·ÎÚ›‚ÂÈ·.∞Ó·Ï˘ÙÈο ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÌÔÚÔ‡Ó Ó·:◗ BÚ›ÛÎÔ˘Ó ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÂÓfi˜ ‰È„‹ÊÈÔ˘ ·fi ÙÔ 100 Ì ÙÔ Û˘Ìϋڈ̷ ‹ ÙË

‰È·‰Ô¯È΋ ·Ê·›ÚÂÛË (¿ÙËÌ· ÛÙË ‰Âο‰·).◗ ºÙÈ¿¯ÓÔ˘Ó ¤Ó· Úfi‚ÏËÌ· Ì ÚÔ¸Ôı¤ÛÂȘ.◗ ™˘ÌÏËÚÒÓÔ˘Ó ¤Ó· Úfi‚ÏËÌ· ÒÛÙ ӷ ÌÔÚ› Ó· Ï˘ı›.◗ E·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ¤Ó· ÓÔÂÚfi ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi (Ì ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊË Ú¿ÍË).◗ ™˘ÓÂÚÁ¿˙ÔÓÙ·È Û ÔÌ¿‰· ÁÈ· ÙËÓ Â›Ù¢ÍË ÌÈ·˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ·˜.

M·ıËÌ·ÙÈοBã T¿ÍË

94

3. ¶ÚÔ··ÈÙÔ‡ÌÂÓ˜ ÁÓÒÛÂȘ - ŒÏÂÁ¯Ô˜◗ N· ‰È·¯ÂÈÚ›˙ÔÓÙ·È ‰È„‹ÊÈÔ˘˜.◗ N· ·Ó·ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ó Î·È Ó· Û˘Ó¯›˙Ô˘Ó ·ÚÈıÌËÙÈο ÌÔÙ›‚·. ◗ N· ÌÂÙÚÔ‡Ó ‰È·‰Ô¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·.ŒÏÂÁ¯Ô˜ ¶·›˙Ô˘Ì –¯ˆÚÈṲ̂ÓÔÈ Û ÔÌ¿‰Â˜– ÛÙÔÓ ›Ó·Î· ÙÔ ·È¯Ó›‰È «AÚÈıÌfi˜-ÛÙfi¯Ô˜».¢›-ÓÔ˘Ì ηٷگ‹Ó ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 40 ˆ˜ ·ÚÈıÌfi-ÛÙfi¯Ô Î·È ‡ÛÙÂÚ· ÙÔ 52. ∂Óı·Ú-Ú‡ÓÔ˘Ì ٷ ·È‰È¿ Ó· ‚ÚÔ˘Ó ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜-ÛÙfi¯Ô˘˜ ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ÌÂÁ·Ï‡-ÙÂÚÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ (Ì ·Ê·›ÚÂÛË).∏ ÂÚÁ·Û›· ·˘Ù‹ Â›Ó·È Û˘Ó‹ıˆ˜ Ôχ ‰ËÌÔÊÈÏ‹˜ ÛÙ· ·È‰È¿ Î·È ÌÔÚ› Ó·Ì·˜ ÂÎÏ‹ÍÂÈ Ôχ ¢¯¿ÚÈÛÙ· Ë ‰È·›ÛÙˆÛË fiÛ˜ ÁÓÒÛÂȘ ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ó Ù··È‰È¿ ‰ÈÂÎÂÚ·ÈÒÓÔÓÙ¿˜ ÙË. ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· ÂϤÁ¯Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ·ÔÙÂϤÛÂÈ Î·È Ë ∂ÚÁ·Û›· ÙÔ˘ μ.ª. (ÂÓ·Ï-Ï·ÎÙÈ΋ ‰È‰·ÎÙÈ΋ ÚÔÛ¤ÁÁÈÛË).

4. ¢È·ÊÔÚÂÙÈο Ï·›ÛÈ· fiÔ˘ ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Ô Î‡ÚÈÔ˜ ‰È‰·ÎÙÈÎfi˜ ÛÙfi¯Ô˜AÚÈıÌÔ›, ·ÚÈıÌÔ› Î·È Ú¿ÍÂȘ, ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ (Ì‹ÎÔ˜), ÌÔÙ›‚Ô, Úfi‚ÏËÌ·.

5. ª·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ Ô˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ Î·È ‰Â ı··Ó·Ù˘¯ıÔ‡Ó ·Ó·Ï˘ÙÈο (ÁÈ·Ù› ı· ·Ó·Ù˘¯ıÔ‡Ó Û ÂfiÌÂÓ· ÎÂÊ¿Ï·È·)

◗ ¶ÚÔ·›‰ÂÈ·.

6. ∂ÔÙÈÎfi ̆ ÏÈÎfi – ¢È‰·ÎÙÈο ÂÚÁ·Ï›·◗ MÂ˙Ô‡Ú·, ·ÚÈıÌÔÁÚ·ÌÌ‹, ΢‚¿ÎÈ·, οıÂÙÔ˜ ¿‚·Î·˜.

7. ∂Ó‰ÂÈÎÙÈÎfi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÚÔ‹˜ º¿ÛÂȘ ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜º¿ÛË ·ã: ŒÏÂÁ¯Ô˜ ÚÔ··ÈÙÔ‡ÌÂÓˆÓ ÁÓÒÛÂˆÓ - ∂ÚÁ·Û›· μ.ª.º¿ÛË ‚ã: ∂ÚÒÙËÛË ·ÊfiÚÌËÛ˘. º¿ÛË Áã: ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - ·Ó·Î¿Ï˘„Ë. º¿ÛË ‰ã: ∂ÈÛËÌÔÔ›ËÛË Ù˘ Ó¤·˜ ÁÓÒÛ˘ – Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·.º¿ÛË Âã: ∂Ê·ÚÌÔÁ‹ Ù˘ Ó¤·˜ ÁÓÒÛ˘ ∂ÚÁ·Û›Â˜ · Î·È Á ÙÔ˘ Δ.ª.

∂̤‰ˆÛË ∂ÚÁ·Û›Â˜ ‚, ‰ ÙÔ˘ Δ.ª.

8. ¶ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÂÚÁ·ÛÈÒÓ. ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· - ·Ó·Î¿Ï˘„ËΔ· ·È‰È¿ ‰È·‚¿˙Ô˘Ó ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· Î·È ·Ú·ÙËÚÔ‡Ó ÙËÓ ÂÈÎfiÓ·. °›ÓÂÙ·È Û˘˙‹-ÙËÛË ÛÙËÓ Ù¿ÍË ÚÔÙÚ¤ÔÓÙ·˜ Ù· ·È‰È¿ Ó· οÓÔ˘Ó ÌÈ· ·Ú¯È΋ ÂÎÙ›ÌËÛË, Ó···ÓÙ‹ÛÔ˘Ó ‰ËÏ·‰‹ ÛÙÔ «fiÛ· ÂÚ›Ô˘». ∏ ÂÎÙ›ÌËÛË ÙÔ˘ ·ÔÙÂϤÛÌ·ÙÔ˜ÚÔ¸Ôı¤ÙÂÈ Î·Ù·ÓfiËÛË Î·È ÏÔÁÈ΋ ÛΤ„Ë Ô˘ Û˘¯Ó¿ ‰ÂÓ ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·ÈÂÎÙÂÏÒÓÙ·˜ ÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ Ú¿ÍË (Ù¯ÓÈ΋ ¯ˆÚ›˜ ηٷÓfiËÛË).∫·Ù·ÁÚ¿ÊÔ˘Ó ÙËÓ ÂÎÙ›ÌËÛ‹ ÙÔ˘˜ ÛÙÔÓ ›Ó·Î·.∫·Ïԇ̠ٷ ·È‰È¿ Ó· ·Ó·ÎÔÈÓÒÛÔ˘Ó ÙÔ˘˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜ Ì ÙÔ˘˜ ÔÔ›-Ô˘˜ ÛΤÊÙËÎ·Ó ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· οÓÔ˘Ó ÙÔ˘˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜. °È· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘ÓÌ ·ÎÚ›‚ÂÈ· ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· οı ڿ͢, ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ̄ ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ó ÙË ÌÂ˙Ô‡-Ú·, ÙËÓ ·ÚÈıÌÔÁÚ·ÌÌ‹ ÙÔ˘ ÙÔ›¯Ô˘, ÙÔÓ Î¿ıÂÙÔ ¿‚·Î·, Ù· ‰¿¯Ù˘Ï¿ ÙÔ˘˜ ÎÙÏ.√ÏÔÎÏËÚÒÓÔ˘ÌÂ Û˘˙ËÙÒÓÙ·˜ ÛÙËÓ Ù¿ÍË ÙÔ˘˜ ·ÎÚȂ›˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ ÙÔ˘˜.

BȂϛԉ·ÛοÏÔ˘Bã T¿ÍË

95

ºÙÈ¿¯ÓÔ˘Ì ÛÙÔÓ ›Ó·Î· ·ÚÈıÌÔÁÚ·ÌÌ‹ 0-100. ™ËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ÙÔ 62 Î·È ÂÍË-Áԇ̠ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ÂÚ›Ô˘ 60. ™˘˙ËÙ¿ÌÂ Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì 62+…=100 ‹ 100-...=62.™ÙÔ B.M. Ù· ÎfiÎÎÈÓ· ‚‹Ì·Ù· ‰Â›¯ÓÔ˘Ó 62+8+30=100 ‹ ηÙ‚·›ÓÔ˘Ì ·fi ÙÔ100 ÚÔ˜ ÙÔ 62: 100-30-8, 70-8=62.™˘˙ËÙ¿Ì ÁÈ· ÙȘ ÛÙÚ·ÙËÁÈΤ˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ÚˆÙ·ÁˆÓÈÛÙÒÓ. ∂ϤÁ¯Ô˘Ì ·Ó fiÏ· Ù· ·È‰È¿ ηٿϷ‚·Ó ÙȘ ÛÙÚ·ÙËÁÈΤ˜. ∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È-‰È¿ Ó· ‚ÚÔ˘Ó 50-13 Î·È Ó· ·ÏËı‡ÛÔ˘Ó ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi ÙÔ˘˜. ¢Â›¯ÓÔ˘ÌÂÛÙÔÓ ›Ó·Î· ÙȘ ÛÙÚ·ÙËÁÈΤ˜ ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ.∫·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì ÛÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·.∂ÚÁ·Û›· · ÙÔ˘ Δ.ª. ∏ ÂÚÁ·Û›· · ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈ΋ ‰È‰·ÎÙÈ΋ ÚÔ-Û¤ÁÁÈÛË. ∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· ÂÎÙÈÌ‹ÛÔ˘Ó ·Ú¯Èο ÔÈÔ ÌÔÙ›‚Ô ¤¯ÂÈ ÙË ÌÂ-Á·Ï‡ÙÂÚË ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Í›·. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÙËÓ ÂÎÙ›ÌËÛ‹ ÙÔ˘˜ ÌÂÓÔÂÚÔ‡˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜.∂ÚÁ·Û›· Á ÙÔ˘ Δ.ª. ™˘˙ËÙ¿Ì ÁÈ· ÔÈÔ ÏfiÁÔ ı· Ú¤ÂÈ Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÔ˘Ì‰‰Ô̤ӷ ÛÙÔ Úfi‚ÏËÌ·. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ù· ·È‰È¿ ÂÚÁ¿˙ÔÓÙ·È ·ÙÔÌÈο Î·È ·Ó·-ÎÔÈÓÒÓÔ˘Ó ÛÙËÓ Ù¿ÍË ÙËÓ ÚfiÙ·Û‹ ÙÔ˘˜ ÁÈ· Û˘ÌÏ‹ÚˆÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜.¶ÚÔÙ›ÓÔ˘Ó ÙË Ï‡ÛË ÙÔ˘ Î·È ÙË ÁÚ¿ÊÔ˘Ó ÛÙÔÓ ›Ó·Î·.∂ÚÁ·Û›· ‚ ÙÔ˘ Δ.ª. ∏ ÂÚÁ·Û›· ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ ÂÓ·ÏÏ·ÎÙÈ΋ ‰È‰·ÎÙÈ΋ ÚÔ-Û¤ÁÁÈÛË. ªÔÚ› Ó· ÚÔËÁËı› Û˘˙‹ÙËÛË ÛÙËÓ Ù¿ÍË ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘ÚÒÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜. £· ·ÎÔÏÔ˘ı‹ÛÂÈ Ë Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘ ‰Â‡ÙÂÚÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÙÚ›-ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ ·fi ÙȘ ÔÌ¿‰Â˜. Δ· ·È‰È¿ ‰È·‚¿˙Ô˘Ó ÛÙËÓ Ù¿ÍË Ù· ÚÔ‚Ï‹-Ì·Ù· Ô˘ ¤ÊÙÈ·Í·Ó Î·È ÚÔÙ›ÓÔ˘Ó ÙË Ï‡ÛË ÙÔ˘˜. MÔÚ› Ó· ÊÙÈ¿ÍÔ˘Ó Ù· ÚÔ-‚Ï‹Ì·Ù· Û ÎfiÏϘ A4 Î·È Ó· ÌËÓ Ù· χÛÔ˘Ó ÁÚ·Ù¿. T· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ù· ÎÚ·-Ù¿Ì ÛÙËÓ ÙÚ¿Â˙· ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ ÁÈ· ÌÂÏÏÔÓÙÈ΋ ¯Ú‹ÛË.∂ÚÁ·Û›· ‰ ÙÔ˘ Δ.ª. ∏ ‰˘ÛÎÔÏ›· ¤ÁÎÂÈÙ·È ÛÙȘ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÚÔÛı¤ÛÂȘ ÙÔ˘ 15.øÛÙfiÛÔ Ù· ·È‰È¿ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÛÎÂÊÙÔ‡Ó:ñ M ÙÔ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ 15: 15+15=30 30+30=60 60+10+5=75. ñ M ·Ó¿Ï˘ÛË ÙÔ˘ 15=10+5, ÔfiÙ ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ó 10+10+10+10+10 Î·È ÛÙË

Û˘Ó¤¯ÂÈ· 5+5+5+5+5 ‹ Ì 5¯(10+5) ‹ Ì ÂÈÌÂÚÈÛÌfi 5¯10 Î·È 5¯5.

9. ∂Ó·ÏÏ·ÎÙÈΤ˜ ‰È‰·ÎÙÈΤ˜ ÚÔÛÂÁÁ›ÛÂȘ◗ ∏ ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ μ.ª. Î·È ÔÈ ÂÚÁ·Û›Â˜ ·, ‚ ÙÔ˘ Δ.ª. fiˆ˜ ÂÚÈÁÚ¿ÊÔÓÙ·È.

10. ¶ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÁÈ· ÔÏÈÁÔı¤ÛÈ· Û¯ÔÏ›· – Δ¿ÍÂȘ Ì ¤ÓÙÔÓË ‰È·ÊÔÚÔÔ›ËÛËÌÂٷ͇ ÙÔ˘ ÂȤ‰Ô˘ ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ

∏ ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ μ.ª. ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ Î·È ·fi ¤Ó· ·È‰› ÌfiÓÔ, ·ÏÏ¿ Û’ ·˘Ù‹ ÙËÓÂÚ›ÙˆÛË ı· ÌÔÚÔ‡ÛÂ, ·Ó Â›Ó·È ·ÁfiÚÈ, Ó· ··ÓÙ‹ÛÂÈ ÌfiÓÔ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi-ÛÙfi¯ÔÙ˘ ˘ÔÙÈı¤ÌÂÓ˘ ÔÌ¿‰·˜ ÙˆÓ ·ÁÔÚÈÒÓ. AÓÙ›ÛÙÔȯ·, ·Ó Â›Ó·È ÎÔÚ›ÙÛÈ, Ó· ··-ÓÙ‹ÛÂÈ ÌfiÓÔ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi-ÛÙfi¯Ô ÙˆÓ ÎÔÚÈÙÛÈÒÓ. ™ÙËÓ ÂÚÁ·Û›· ‚ ÙÔ˘ Δ.ª. ·ÚΛӷ ηٷÛ΢·ÛÙ› ¤Ó· Úfi‚ÏËÌ· ÌfiÓÔ.∏ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ·-·Ó·Î¿Ï˘„Ë ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ ÛÂ Û˘ÓÂÚÁ·Û›· Ì ·È‰È¿ ·Ó¿ÏÔ-ÁÔ˘ ÂȤ‰Ô˘. ªÔÚÔ‡Ó Ó· ÌË Á›ÓÔ˘Ó ÔÈ ÂÚÁ·Û›Â˜ ‚, Á ÙÔ˘ Δ.ª.

11. ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ̆ ÔÛÙËÚ›ÍÔ˘Ó ÙÔ˘˜ÛÙfi¯Ô˘˜ ÙÔ˘ Ì·ı‹Ì·ÙÔ˜ ‰È·ıÂÌ·ÙÈο

™ÙËÓ AÈÛıËÙÈ΋ ·ÁˆÁ‹: ™Â ¯·ÚÙ› Ì ÙÂÙÚ·ÁˆÓ¿ÎÈ· (10¯10) ˙ˆÁÚ·Ê›˙Ô˘Ì ¤Ó·

M·ıËÌ·ÙÈοBã T¿ÍË

96

Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi Û¯¤‰ÈÔ ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ Ì›ÓÔ˘Ó ¿ÛÚ· Ù· 20 ÙÂÙÚ·ÁˆÓ¿ÎÈ·. (100-...=20). ∫ÔÏÏ¿Ì ÙȘ ˙ˆÁÚ·ÊȤ˜ Ì·˜ ÛÙÔ ÎÔÏ¿˙ Ù˘ Ù¿Í˘.

12. ™‡Ó‰ÂÛË Ì ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÏÔÁÈÛÌÈÎfi∞ÚÈıÌÔ› 0-100. ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·.

Κεφάλαιο 24ο. Bρίσκω την προπαίδεια του 10 και του 5

1. ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓÔ˜ ̄ ÚfiÓÔ˜ ‰È‰·Ûηϛ·˜: 2 ÒÚ˜

2. ∫‡ÚÈÔ˜ ‰È‰·ÎÙÈÎfi˜ ÛÙfi¯Ô˜ √È Ì·ıËÙ¤˜ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó Ù· ÁÈÓfiÌÂÓ· Ì ÙÔ 5 Î·È ÙÔ 10,·ÍÈÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙË Û¯¤ÛË ÌÈÛfi ‹ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ. ∞Ó·Ï˘ÙÈο ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÌÔÚÔ‡Ó Ó·:◗ EϤÁ¯Ô˘Ó ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·ÚÈıÌÒÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ÂÚÌËÓ›· ηÈ

ÂÔÙÈÎfi ˘ÏÈÎfi ‹ Ù· ‰¿¯Ù˘Ï·.◗ XÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÙËÓ ·ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡.◗ AÓÙÈÏ·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È fiÙÈ Ë ÚÔ·›‰ÂÈ· Â›Ó·È ¤Ó·˜ ÁÚ‹ÁÔÚÔ˜ ÙÚfiÔ˜ ˘ÔÏÔÁÈ-

ÛÌÔ‡ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ Î·È fiÙÈ ‰ÂÓ ÙÂÏÂÈÒÓÂÈ ÛÙÔ10.◗ §‡ÓÔ˘Ó ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ ··ÈÙÔ‡Ó ¯Ú‹ÛË ÚÔ·›‰ÂÈ·˜.◗ EÚÁ¿˙ÔÓÙ·È Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ‹ ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ.

3. ¶ÚÔ··ÈÙÔ‡ÌÂÓ˜ ÁÓÒÛÂȘ - ŒÏÂÁ¯Ô˜◗ ¡· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ·ıÚÔ›˙Ô˘Ó Ì fiÔÈÔÓ ÙÚfiÔ ÌÔÚÔ‡Ó (‰¿¯Ù˘Ï·, ··Ú›ı-

ÌËÛË, Ì ÙÔ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ, Ì ÙËÓ ˘¤Ú‚·ÛË Ù˘ ‰Âο‰·˜) ÌÔÓÔ„‹ÊÈÔ˘˜ ηȉȄ‹ÊÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.

◗ ¡· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ηٷÓÔÔ‡Ó ÙËÓ ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ· ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ (ÚÒÙ· ̤۷ÛÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ).

◗ ∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÌÈÛÔ‡.◗ ¡· ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Û˘ÓÂÚÁ¿˙ÔÓÙ·È Û ÔÌ¿‰Â˜ ÙˆÓ ‰‡Ô.

ŒÏÂÁ¯Ô˜∑ËÙ¿Ì ·fi Ù· ·È‰È¿ Ó· ·ÚÈıÌ‹ÛÔ˘Ó ÛÙ· ‰¿¯Ù˘Ï· ·Ó¿ 10 Î·È ·Ó¿ 5.¢Â›¯ÓÔ˘Ì ÛÙËÓ ·ÚÈıÌÔÁÚ·ÌÌ‹ Ù˘ Ù¿Í˘ ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ·Ï˘Û›‰Â˜(ÙÔ˘ 10 Î·È ÙÔ˘ 5).¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, …

5, 10, 15, 20 , 25, 30, 35, 40, …Δ· ·È‰È¿ ÂÍËÁÔ‡Ó Ò˜ ÊÙÈ¿¯ÙËÎÂ Ë ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ï˘Û›‰· οı ÊÔÚ¿ (+5, +10).¢Â›¯ÓÔ˘Ì ÛÙÔÓ ›Ó·Î· Ì ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi, ·Ú·‰Â›ÁÌ·ÙÔ˜ ¯¿ÚË, ÙÔ˘ 5, 5+5,5+5+5 ….‹ 1¯5, 2¯5, 3¯5 ÎÙÏ.∑ËÙ¿Ì ӷ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÔ˘Ó ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 5-10, 10-20, 15-30 ÎÙÏ. ∫·Ù·Ï‹ÁÔ˘ÓÛÂ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· (Û¯¤ÛË ÌÈÛÔ‡ – ‰ÈÏ¿ÛÈÔ˘).

BȂϛԉ·ÛοÏÔ˘Bã T¿ÍË

97