BAB 1

FUNGSI

Tujuan Pembelajaran Umum :

Setelah mempelajari topik ini, Anda diharapkan dapat memahami fungsi melalui konsep, sifat-sifat dan penerapannya pada persoalan teknik .

Tujuan Pembelajaran khususs :

Setelah Anda mempelajari topik ini, Anda diharapkan

1) Mengetahui konsep dasar fungsi ;

2) Mampu menentukan daerah asal dan daerah hasil fungsi ;

3) Mampu menentukan penjumlahan dan pengurangan fungsi ;

4) Mampu menentukan perkalian dan pembagian fungsi;

5) Mampu menentukan komposisi fungsi ;

6) Mampu menentukan invers fungsi

7) Mampu menerapkan fungsi dalam menyelesaikan persoalan teknik;

8) Mampu membuat sketsa grafik fungsi ;

9) Mengetahui konsep dasar fungsi trogonometri ;

10) Mampu menyelesaikan persamaan trigonometri ;

11) Mampu membuat sketsa grafik fungsi trigonometri ;

12) Mampu menentukan trigonometri dari jumlah dan selisih sudut;

13) Mampu menentukan penjumlahan dan perkalian fungsi trigonometri;14) Mampu menerapkan fungsi trigonometri dalam menyelesaikan persoalan teknik;

1.1 Fungsi Dalam masalah teknik sering dijumpai, hukum-hukum atau hasil pengamatan dinyatakan dalam bentuk fungsi . Berikut dibahas contoh-contoh fungsi yang dibentuk dari masalah teknik

Contoh 1.Hukum Ohm menyatakan bahwa potensial listrik pada suatu rangkaian listrik melalui hambatatan adalah berbanding lurus dengan besar arus dan besar hambatan. Apabila potensial listrik dinyatakan dengan V, arus I , dan hambatan R , pernyataan tersebut dituliskan

V = I R

(1)Contoh 2.Dari pengamatan disimpulkan bahwa jika suatu benda dicelupkan ke dalam medium dengan suhu berbeda, suhu berubah dengan laju perubahan waktu, di setiap waktu berbanding lurus dengan perbedaan suhu benda dan suhu medium pada waktu tersebut.

Kita nyatakan suhu benda pada waktu t adalah T, dan suhu medium T0, dan laju perubahan suhu benda terhadap perubahan waktu t, v(t). Dengan demikian, pernyataan tersebut dapat dituliskan

dengan k : konstanta

(2)

Definisi 1: Fungsi adalah pasangan terurut (x,y) yang tidak memiliki pasangan berbeda yang bilangan pertamanya sama.

Fungsi yang dinyatakan dalam y = f(x), adalah fungsi yang menghubungkan setiap variabel bebas x real dengan satu variabel tak bebas y real .Himpunan semua nilai x yang mungkin dinamakan daerah asal (Domain) fungsi yaitu :

Df = (x( y = f(x) terdefinisi (

dan himpunan semua nilai y yang dihasilkan dinamakan daerah hasil (Range) fungsi.

Rf = (y( y = f(x) , x ( Df (Contoh 3.

Apabila f(x) = x2 2x + 7 , hitung f(1), f(2), dan , f(x+h)

Penyelesaian

f(1) = 1 2 + 7 = 6

f(2) = 4 4 + 7 = 7

f(x+h) = (x+h)2 2(x+h) + 7 = x2 + (2h-2)x + h2 -2h + 7

Contoh 4.

Tentukan daerah asal a) f(x) = b) f(x) =

Penyelesaian

a. Karena bilangan di dalam akar non nehatif (0 )

( x 1 ) ( 0 ( x ( 1

Jadi

Df = (x( x ( 1 (b. (x2 3x + 2) ( 0 ( (x 2)(x 1 ) ( 0 ( x ( 1 atau x ( 2

Jadi

Df = (x( x ( 1 atau x ( 2 (Contoh 5.

Tentukan daerah hasil f(x) =

Penyelesaian

Karena untuk setiap x ( Df , minimum f(x) = 0 dan f(x) membesar tanpa batas untuk x yang membesar ,

Rf = (y( y ( 0 (Contoh 6.

Arus listrik yang melalui suatu rangkaian resisitor (R), induktor (L) , dan beda potensial E0 dinyatakan dengan fungsi

I(t) = ( 1 )

(3)

Tentukan daerah hasil fungsi tersebut, dan jika diketahui Eo = 100 volt dan R = 100 ( , berapakah L yang harus dipilih agar I naik dari 0 hingga 25% dari arus akhirnya dalam waktu 10-4 detikPenyelesaian

Untuk t = 0 ( I(0) = ( 1 ) = 0

dan untuk t yang membesar, mendekati 0, jadi I mendekati

Dengan demikian daerah hasil fungsi tersebut adalah {I( 0 ( I ( }

Dari daerah hasil arus akhirnya akan mendekati ,

Pada waktu t = 10-4 detik ( I = 25%, dengan menyubstitusikan ke persamaan 3 di dapat

25% = ( 1 )

= 0,75

= ln 0,75

( L = = 0,0347 H

Operasi Fungsi

Definisi 2:

Apabila f dan g masing-masing merupakan fungsi,

a) Jumlah dua fungsi adalah fungsi , (f + g) (x) = f(x) + g(x)

b) Pengurangan dua fungsi adalah fungsi , (f - g) (x) = f(x) - g(x)

c) Perkalian dua fungsi adalah fungsi , (f.g)(x) = f(x).g(x)

d) Pembagian dua fungsi adalah fungsi, (x) =

Daerah asal operasi aljabar a sampai dengan d adalah Df(Dg

Contoh 7.

Jika f(x) = dan g(x) =

tentukan (f + g)(x) , (f - g)(x) , (f.g)(x), (x) dan daerah asalnya

Penyelesainan

Karena penyebut dari pecahan tidak boleh nol,

Df = (x( x ( -2 dan x ( 2 ( dan Dg =(x( x ( 1( (f + g) (x) = + =

(f - g) (x) = - =

(f.g)(x) =

EMBED Equation.3 =

(x) =/ =

Daerah asalnya adalah Df(Dg = (x( x ( -2 , x ( 2 dan x ( 1(Definisi 3: fungsi komposisiDiberikan dua fungsi f dan g, fungsi komposisi yang dinyatakan fog ,didefinisikan oleh

(fog)(x) = f(g(x))

daerah asal fog adalah himpunan semua nilai x di daerah asal g(x) sehingga g(x) di daerah asal f(x).

Contoh 8.

Diketahui f(x) = dan g(x) = x2 4x + 2

Tentukan fog(x) serta daerah asalnya

Penyelesaian

fog(x) = =

Karena Df adalah (x(x ( 0( maka agar g(x) di Df

g(x) ( 0 ( x2 4x + 2 ( 0 ( x ( Real

Jadi , D fog(x) = (x( x ( Real (Definisi 3: fungsi inversApabila y = f(x) dapat dituliskan x = f(y), f(y) dikatakan invers dari f(x) ditulis f -1(y)=x.

Teorema

f -1of(x) = fof -1(x) = xContoh 9.Carilah f -1(x), jika f(x) =

Penyelesaian

y =

ax+b = cxy + dy

(a-cy)x = dy b

x = = f -1(y)

jadi f -1(x) =

Contoh 10. Total muatan pada suatu rangkaian listrik pada setiap waktu t detik diberikan oleh

= Coulomb .

Tentukan t ketika q dalam satuan Coulomb, adalah 2, 3, dan 5.

Penyelesaian q = t = q - q t t + q t = q t =

Jadi, untuk q = 2 t = = detik

untuk q = 3 t = = detik

untuk q = 5 t = = detik Grafik Fungsi

Definisi 4:

Apabila y = f(x) suatu fungsi, grafik fungsi f adalah himpunan titik-titik di bidang datar. Sehingga (x,y) merupakan pasangan terurut dari y = f(x) . Untuk membuat sketsa grafik fungsi y = f(x), substitusikan nilai- nilai x Df ke persamaan fungsinya. Tidak perlu menyubstitusi semua nilai x Df . Ambil nilai-nilai x yang dapat mewakili semua x Df Contoh 11.Sketsa grafik y = x2 1Penyelesaian

Nilai nilai x Df yang diambil dan bersesuaian dengan satu nilai y ,dinyatakan dalam tabel berikut

x-4-3-2-101234

y15830-103815

dan sketsa grafiknya ditampilkan pada gambar 1.1.1.

Gambar 1.1.1Contoh 12 Sketsa grafik y =

Penyelesaian

Nilai x Df yang bersesuaian dengan satu nilai y dinyatakan dalam tabel berikut

x-4-3-2-101234

y0,80,750,60,50Tidak terdefinisi21,51,3

dan sketsa grafiknya ditampilkan pada gambar 1.1.2.

Gambar 1.1.2Latihan 1.1 1. Untuk f(x) = x3 4x + 2 , tentukan a) f(-x), b) f(x-2), c) f()

2. Diketahui f(x) = , tentukan f(x2 -6x +8) f(x2-1)3. Carilah f -1(x) pada fungsi-fungsi berikut ini

a. f(x) = 2x -3

b. f(x) =

c. f(x) =

d. f(x) = x2 2x + 3

4. Diketahui fog(x) = x2 -1, dan f(x) = 4x + 2 , g(x) =

5. Diketahui fog(x) = x2 + 3, dan g(x) = x 4 , f(x) =

6. Untuk f(x +2) = x2 + 1 ,tentukan f(x 1) =

7. Jika f(x) = dan g(x) = x2 untuk x ( 0, (fog)-1(2) =

8. Sketsa grafik fungsi y = f(x) dengan

a) y = x2 4x + 3 b) y = c) y =

9. Suatu rangkaian arus bolak - balik memiliki periode 0,02 detik,voltase maksimum 45 volt ketika t = 0, dan voltase minimum adalah -25 volt. Tentukan bentuk fungsi dari voltase tersebut10. Arus litrik pada setiap waktu t dalam rangkaian RL , I(t) = (1 - ), Eo = 100 volt dan R = 50 , tentukan L agar arus naik 30% dari arus akhirnya, dalam waktu 10-2 detik.1.2 TrigonometriTrigonometri didefinisikan sebagai perbandingan segitiga siku-siku, Ada tiga besaran , yang masing-masing dinamakan sinus (sin), cosinus (cos), dan tangen (tan) kemudian bentuk kebalikan sinus , cosinus dan tangen, yang masing-masing dituliskan cosecan (csc) , secan (sec) dan cotangen (ctg), yang lengkapnya didefinisikan berikut

Definisi 1

Diketahui segitiga ABC , yang siku-siku di B dan panjang AB = c , BC = a , dan AC = b (Gambar 1.2.1).

perbandingan trigonometri :sin ( = , cos ( = , dan tan ( =

bentuk-bentuk kebalikan

csc = = , sec ( = = , dan ctg ( =

untuk sudut ( dikudran II , III dan IV dinyatakan dalam dalam gambar 1.2.2

Dengan menggunakan gambar 1.2.2, nilai-nilai sinus, cosinus , dan tangen ditampilkan pada tabel 1.2.1Sudut

Kuadran IKuadran IIKuadran IIIKuadran IV

++--

+--+

+-+-

Tabel 1.2.1

Nilai trigonometri suatu sudut ditentukan oleh tabel trigonometri atau alat bantu kalkulator. Tabel 1.2.2 adalah nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewa

(sin (cos (tan (csc (sec (ctg (

0o010tidak terdefinisi1tidak terdefinisi

30o

2

45o

1

1

60o

2

90o10tidak terdefinisi1tidak terdefinisi0

180o0-10tidak terdefinisi-1tidak terdefinisi

270o-100-1tidak terdefinisi0

360o010tidak terdefinisi1tidak terdefinisi

Tabel 1.2.2

Dengan menerapkan teorema Pythagoras pada gambar 1.2.1, dapat diturunkan tiga sifat 1. + = 1

2. = - 13. = - 1

Bukti

Berdasarkan teorema Pythagoras maka

+ =

(1)

apabila persamaan 1 dibagi dengan , didapat

+ = 1

(2)

Dari definisi 1, persamaan 2 dituliskan

+ = 1

(3)

Apabila persamaan 1 dibagi dengan

+ 1 =

(4)

Dari definisi 1, persamaan 4 menjadi

+ 1 =

(5)

Selanjutnya jika persamaan 1 dibagi dengan

1+ =

(6)

Dari definisi 1, persamaan 6 menjadi

1 + =

(7)

Hubungan tersebut tidak hanya berlaku untuk sudut diantara 0o sampai dengan 90o tetapi juga berlaku untuk sembarang sudut (Contoh 1

Selesaikanlah persamaan trigonometri berikut untuk setiap nilai sudut pada selang

00 ( x ( 360oa) 3sin x 2 = 0

b) 7 6 cos x = 9

c) 2 tan x 4 = 0

Penyelesaian

a) sin x =

Dengan menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator , didapatkan hasil

x = = 41,8102o

dan dengan menggunakan tabel 1.2.1, nilai lainya dikuadran II

x = 180 41,8102 = 138, 1898ob) cos x =

x = = -109,471

Karena x positif, bentuk positif sudut tersebut adalah

x = 360 109,471 = 250,529

dan dengan menggunakan tabel 1.2.1, nilai lainya dikuadran II

x = 180 (250, 529 180 ) = 360 250,529 = 109,529

c) tan x = 2

x = = 63,4349

dan dengan menggunakan tabel 1.2.1, nilai lainya dikuadran III

x = 180 + 63,4349 = 243,4349

Teerema 1. Trigonometri Jumlah Suduta. sin(( + () = sin ( cos ( + cos ( sin (b. sin(( - () = sin ( cos ( - cos ( sin (c. cos(( + () = cos ( cos ( - sin ( sin (d. cos(( - () = cos ( cos ( + sin ( sin (e. tan(( + () =

f. tan (( - () =

Dari teorema1, dapat diturunkan sifat-sifat berikuta) sin(-x) = -sin x

(8)b) cos(-x) = cos x

(9)c) tan(-x) = - tan x

(10)Bukti

a) sin (-x) = sin( 0 x ) = sin 0 cos x - cos 0 sin x

dari tabel 1.2.1, didapat

sin (-x) = - sin x

b) cos (-x) = cos ( 0 x ) = cos 0 cos x + sin 0 sin x dari tabel 1.2.1, didapat

cos (-x) = cos x

c) tan (-x) = tan (0 x ) = tan (0 - x) =

dari tabel 1.2.1, didapattan(-x) = - tan (x)

Contoh 2Hitunglah sin (-27o ) , cos (-127o ) , tan (-305o)

Penyelesaian

Dengan menerapkan persamaan 8, diperoleh hasil

sin (-27o ) = - sin (27) = 0,45399dan dari persamaan 9, diperoleh hasil

cos (-127o ) = cos (127o) = -0,6018Contoh 3Sederhanakan operasi aljabar trigonometri berikuta) cos 2( t cos 3( t sin 2( t sin 3( t

b) sin x cos 4x + cos x sin 4x

c) cos 3x cos 4x + sin 3x sin 4x

Penyelesaian

Dari teorema 1

a) cos 2( t cos 3( t sin 2( t sin 3( t = sin (2( t - 3( t) = sin( - ( t)

Dari persamaan 8, didapat

sin( - ( t) = - sin( ( t)

b) sin x cos 4x + cos x sin 4x = sin (x + 4x) = sin 5x

c) cos 3x cos 4x + sin 3x sin 4x = cos (3x - 4x) = cos x

= cos x

Trigonometri untuk sudut dengan penambah kelipatan 360o untuk sinus dan cosinus serta 180 untuk tangen , dapat ditentukan dengan menerapkan teorema 1.

Untuk nillai k = 0, 1 ,2 , 3, ....

sin ( ( + k 360o) = sin ( cos k360 + cos ( sin k360osin ( ( + k 360o) = sin (

(11)

Dengan cara yang sama

cos ( ( + k 360o) = cos (

(12)

dan

tan (( + k 180o) = tan (

(13)

Contoh 4Selesaikanlah persamaan trigonometri berikut untuk setiap nilai sudut pada interval 00 ( x ( 360

a) 3sin 2x 2 = 0

b) 7 6 cos 3x = 9

Penyelesaian

a) sin 2x =

2x = = 41,8102o, dan 2x = 138,189oDengan menerapkan persamaan 11

2x = 41,8102o + k360o , dan 2x = 138,189o + k360o( 2x = 41,8102o + k360o , dan 2x = 138,189o + k360o( x =20.9051o + k180o , dan x = 69.0945o + k180oDengan menyubstitukan nilai-nilai k = 0 , 1 , 2 , ... didapat

k012

x20,9051o dan 69,0945o200.9051o dan 249,0945o-

Untuk k = 2, x tidak perlu ditentukan, karena nilai x yang dicari terletak pada inteval 00 ( x ( 360b) cos 3x =

3x =

( 3x = 109,529+ k360 , dan 3x = 250,529+ k360

( x =36,5096 + k120 , dan x = 83,5097 + k120

dengan menyubstitukan nilai-nilai k = 0 , 1 , 2 , ... didapat

k012

x36,51o dan 83,51o156,51o dan 203,51o276,51o dan 323,51o

Teorema 2 Penjumlahan Trigonometri

a. sin ( + sin ( = 2 sin cos

b. sin ( - sin ( = 2 cos sin

c. cos ( + cos ( = 2 cos cos

d. cos ( - cos ( = - 2 sin sin

Contoh 5Nyatakan penjumlahan trigonometri berikut dalam bentuk perkalian a. sin 5x + sin 3xb. sin 5x + sin 7xc. cos 6x cos 8xPenyelesaian

Dengan menerapkan teorema 2, diperoleh

a. sin 5x + sin 3x = 2 sin cos = 2 sin 4x sin xb. cos 5x + cos 7x = 2 cos cos = -2 cos 6x cos xc. cos 6x cos 8x = - 2 sin sin = 2 sin 7x sin x Teorema 3

Penjumlahan sinus dan cosinus dengan sudut yang sama dapat dinyatakan dalam bentuk sinus

A cos (x + B sin (x = k sin ( (x + ( )

dengan k = , dan ( = tan -1

hubungan A, B dan sudut ( dinyatakan dalam tabel 1.2.3ABKuadran Sudut (

++I

+-II

__III

-+IV

Tabel 1.2.3

Contoh 6.

Tentukan penjumlahan trigonometri berikut dalam bentuk sinusa. sin 2x + cos 2x

b. sin 3x + cos 3x

c. -2 cos 2x + 2 sin 2x

Penyelesaian

a. Dengan menerapkan teorema 3 dan tabel 1.2.3

k = = , dan ( = tan -1 = 45oSehingga

sin 2x + cos 2x = sin (2x + 45o)

b. k = = , dan ( = tan -1 = 135oSehingga sin 3x + cos 3x = sin (3x + 135o)

c. k = = 4 , dan ( = tan -1 = 300oSehingga

-2 cos 2x + 2 sin 2x = 4 sin (3x + 300o)

Dari persamaan 11, diperoleh

sin (3x + 300o) = sin (3x 60o +360o) = sin ( 3x 60o )

sehingga penjumlahan tersebut dapat juga dituliskan

-2 cos 2x + 2 sin 2x = 4 sin ( 3x 60o )Teorema 4 Perkalian Trigonometri

a. sin ( sin ( = - ( cos - cos )b. sin ( cos ( = ( sin + sin )c. cos ( sin ( = ( sin - sin )d. cos ( cos ( = ( cos + cos )Contoh 7Nyatakan perkalian berikut ke bentuk penjumlahan

a. sin 5t sin 3t b. sin 4t cos 7t c. cos 3t cos 2t Penyelesaian

a. sin 5t sin 3t = - ( cos - cos ) = - ( cos - cos )b. sin 4t cos 7t = ( sin + sin ) =( sin - sin )c. cos 3t cos 2t = ( cos + cos ) = ( cos + cos )Latihan 1.2

Selesaikan persamaan berikut ini, dengan 0 ( x ( 36001. sin x = 02. cos x = 3. sin2x = 14. cos2x = 05. sec x = 2

6. sin3x=(37. cos2x = 8. sin3x= - 9. cos6x=-110. cos5x = 0

Sederhanakan penjumlahan trigonometri berikut ini 11. cos ( t cos 3( t sin ( t sin 3(

12. sin 3x cos 4x + cos3 x sin 4x

13. cos 2x cos 4x - sin 2x sin 4x

14. sin (-x)cos 4x + cos x sin 4x

Nyatakan penjumlahan trigonometri berikut dalam bentuk perkalian 15. cos 3( t cos ( t

16. sin 3x + sin 4x

17. cos 2x + cos 4x

18. sin x - cos 2x

Tentukan penjumlahan trigonometri berikut dalam bentuk sinus19. cos 3( t sin 3( t

20. cos 3x + 2 sin 3x

21. cos 4x - cos 4x

22. sin 2x - cos 2x

Nyatakan perkalian berikut ke bentuk penjumlahan

23. sin 3( t sin 3( t

24. cos 3x 2 sin 3x

25. cos 4x cos x

26. sin 2x cos 4x

1.3 Fungsi Trigonometri

Daerah asal dan hasil fungsi yang didefinisikan pada pasal 1.1 adalah bilangan real. Apabila trigonometri akan dinyatakan dalam fungsi trigonometri, ukuran sudutnya dirubah ke bentuk radian, sehingga daerah asal fungsi sinus dan cosinus adalah himpunan bilangan real. Karena fungsi sinus dan cosinus memiliki nilai terbesar 1 dan terkecil -1, daerah hasilnya {y ( -1 ( y ( 1 }Definisi . Misalkan sudut (o adalah sudut yang dibentuk oleh OA dan OB, yang panjangnya masing- masing 1, gambar 1.3.1

Apabila s adalah panjang busur lingkaran OA diputar ke OB, ukuran sudut radian dari sudut ( dalam derajat adalah

( = s

Suatu sudut yang dibentuk satu putaran lengkap oleh OA berlawanan arah jarum jam memiliki ukuran 360o, dan ukuran radian adalah keliling lingkaran 2( (( = 3,14159) , sehingga

360o = 2( rad

1800 = ( radDengan demikian, didapat hubungan

1o = rad , dan 1 rad =

Contoh 1

Nyatakan sudut sudut berikut ke bentuk radian

a) 125o , b) 24,125oPenyelesaian

a) 125o = 125o = 0,694 rad

b) 24,125 = 24,125 = 0,1340 rad

Contoh 2

Nyatakan sudut sudut berikut ke bentuk derajat a) 1,25 , b) 4,2

Penyelesaian

a) 1,25 = 1,25 = 71,6137o

b) 24,125 = 24,125 = 240,642o

1.4 Grafik Fungsi Trigonometri Grafik fungsi f(x) = sin x, f(x) = cos x , dan f(x) = tan x dapat digambar dengan membuat tabel nilai-nilai fungsi tersebut untuk x terletak pada [0 , 2]. Dengan bantuan kalkulator didapat f(x) = sin x

x02

Sin x00,50,8710,870,50-0,5-0,87-1-0,87-0,50

Gambar 1.3.2 y = sin xf(x) = cos x

x02

cos x10,870,500-0,5-0,87-1-0,5-0,8700,500,871

Gambar 1.3.3 y = cos xf(x) = tan x

x02

cos x00,581,73-1,73-0,5800,581,73-0,580,871

Gambar 1.3.4 y = tan xDari gambar 1.3.2, 1.3.3, dan 1.3.4 Grafik sinus dan cosinus berosilasi diantara puncak -1 sampai dengan 1

Kurva cosinus memiliki bentuk yang sama dengan kurva sinus setelah digeser

Kurva sinus dan cosinus kontinu, sedangkan tangen tidak kontinu dan mengalami pengulangan setiap radian.Cara lain menggambarkan fungsi sinus adalah dengan menggunakan lingkaran satuan ( lingkaran dengan jari-jari satu satuan), dalam contoh ini lingkaran dibagi kedalam 12 bagian dengan tiap bagian 30o, perhatikan sudut pusat 30o dengan komponen vertikalnya adalah AB dan komponen horizontalnya adalah OAsin 30o = maka AB = sin 30o f(x) = sin x Gambar 1.3.5

Komponen vertikal AB dapat diproyeksikan menjadi AB yang merupakan nilai dari f(30o) pada grafik f(x) = sin x. Apabila semua AB diproyeksikan pada grafik, diperoleh grafik fungsi sinus pada [0 , 360o] (lihat gambar 1.3.5)Selanjutnya untuk fungsi f(x) = cos x komponen vertikalnya adalah AB sebagaimana tampak pada gambar 1.3.6. Komponen vertikal AB dapat diproyeksikan menjadi AB yang merupakan nilai dari f(30o) pada grafik f(x) = cos x, apabila semua AB diproyeksikan pada grafik maka diperoleh grafik fungsi cosinus pada [0 , 360o].

cos 30o = maka AB = cos 30oGrafik fungsi cosinus sama dengan grafik sinus digeser 90o ( ) kekanan.

Gambar 1.3.6Fungsi Periodik

Suatu fungsi f(x) dikatakan periodik jika terdapat suatu bilangan real T > 0 sehingga

f(x + T) = f(x)

(1)

untuk semua x dan x + T di daerah asal f(x). Bilangan T ini dinamakan periode f(x).

Grafik fungsi periodik (Gambar 1.3.4) memperlihatkan bentuk pengulangan pada setiap nilai x + T. Periodenya dapat diperlebar menjadi 2T, 3T, 4T, dan seterusnya.

Apabila fungsi periodik mempunyai periode terkecil T = k (k > 0), nilai k ini dinamakan periode dasar dari f(x).

Contoh 3. Tentukan periode dasar dari f(x) = sin x

Penyelesaian

Misalnya periode f(x) adalah T, dengan mengganti x oleh x + T diperoleh

f(x + T) = sin (x + T) = sin x

Menurut rumus sinus jumlah sudut diperoleh

sin x cos T + cos x sin T = sin x

dan persamaan terakhir dipenuhi apabila

cos T = 1

(14)

sin T = 0

(15)Dari cos T = 1 diperoleh

T = 2(, 4(, 6(, 8(,

Dari sin T = 0 diperoleh

T = (, 2(, 3(, 4(, .

sehingga nilai T yang memenuhi persamaan (14) dan (15) adalah

T = 2(, 4(, 6(, 8(,

Karena nilai T paling kecil adalah 2(, periode dasarnya 2(.

Selanjutnya, dengan cara yang sama, fungsi cos x dan tan x berperiodik dengan periode masing-masing 2( dan (.

Contoh 4. Tentukan periode dasar dari fungsi

a) f(x) = sin ax

b) f(x) = cos axPenyelesaian

a. Misalnya periode dasar sin ax adalah T,

f(x + T) = sin a(x + T) = sin (ax + aT) = sin ax

Karena sin (ax + aT) = sin ax, diperoleh

aT = 2( dan T =

b. Dengan cara yang sama, periode dasar dari cos ax adalah

Teorema . Apabila f(x) dan g(x) berperiodik dengan periode T, maka fungsi f(x) + g(x), juga berperiodik dengan periode T.

Contoh 5.

Tentukan periode dasar dari sin x + sin 2x

Penyelesaian

Periode dasar dari sin x adalah 2(, selanjutnya memiliki periode

T = 2(, 4(, 6(, .

Periode dasar dari sin 2x adalah = (, kemudian memiliki periode

T = (, 2(, 3(, 4(,

Menurut teorema 1, periode sin x + sin 2x adalah

T = 2(, 4(, 6(, ..

Dengan demikian, periode dasarnya adalah 2(.

Masalah teknik yang berkaitan dengan periode, frekuensi, dan nilai maksimum, biasanya berbentuk fungsi trigonometri.

Fungsi trigonometri yang berbentuk f(t) = A sin (( t ) atau f(t) = A cos (( t )memiliki nilai maksimum dan minimum - , sedangkan periodanya dari contoh 4 pasal 1.3 , adalah

T =

dan frequensi f = =

Contoh 6

Suatu rangkaian listrik memiliki potensial v berbentuk sinus dengan harga maksimumnya 42 volt dan frekuensi 60 Hz , tentukan bentuk fungsi potensila tersebut

Penyelesaian

A = 42 volt

f = ( ( = 2(f = 2( 60 = 120 (Dengan menyubstitusikan ke persamaan 3, didapat bentuk fungsi

v = 42 sin 120 (t

Contoh 7

Potensial listrik pada setiap waktu adalah fungsi yang berbentuk

v = 70 sin (100 (t + 0,380 ) volt

a) hitung besar voltase ketika t = 0 , b) waktu t ketika voltase maksimum

Penyelesaian

a) v(0) = 70 sin( 0,380) = 26,2891 voltb) voltase maksimum apabila

sin (100 t + 0,380 ) = 1

100 t + 0,380 = + k 2

maka

t = = 1,19 + 0,02k , k = 0, 1, 2, ...

Contoh 8

Voltase suatu rangakaian listrik dinyatakan dalam fungsi

v = 50 sin 100(t + 30 cos 100(t

Tentukan voltase maksimum dan frequensinyaPenyelesaian

Dengan menerapkan teorema 3, pada pasal 1.2 , didapat

v = 50 sin 100(t + 30 cos 100(t = sin (100(t + ()

= 58,305 sin(100(t + ()

Dari persamaan 3 ,

maksimum v = 58,305 dan frekuensi f = = = 50 Hz

Latihan 1.3

Tentukan periode, frekuensi,dan sketsa grafik fungsi berikut ini

1. sin 3x2. tan x3. cos2 2x 4. cos x + sin x

5. sinx + sin 2x 6. cosx + cos 4x7. sin3x + cos2x 8. sin x + cosx

Sketsa grafik fungsi berikut pada selang 0 ( x ( 36009. sin x 10. tan x 11. cos x 12. sin 2x13. cos x

14. sin 3x15. cos 4x16. sin 1/3 x17. cos x18. cotg x

1. Bentuk fungsi voltase dari suatu rangkaian AC diberikan oleh

v = 73 sin ( 250(t + 0,25 ) , a) hitung besar voltase ketika t = 5 detik

b) tentukan bilamanakah voltase maksimum

2. Arus bolak-balik pada setiap waktu t, diberikan oleh i1= 300 sin(10(t - ) dan i2 = 800sin(10(t + ).

3. Tentukan i1 + i2 , carilah nilai maksimum, dan frekuensinya.

4. Dua buah beda potensial V1 = 4 cos((t) dan V2 = -3 sin((t) merupakan input dari suatu rangkainan analog. Tentukan output dari rangkaian tersebut, apabila output-nya adalah jumlah kedua potensial tersebut.

Rangkuman Fungsi yang dinyatakan dalam y = f(x), adalah fungsi yang menghubungkan setiap variabel bebas x real dengan satu variabel tak bebas y real.

Operasi fungsiApabila f dan g fungsi , berlaku

a) (f + g) (x) = f(x) + g(x)

b) (f - g) (x) = f(x) - g(x)

c) (f.g)(x) = f(x).g(x)

d) (x) =

e) (fog)(x) = f(g(x))

Trigonometri didefinisikan sebagai perbandingan segitiga siku-siku, yang memiliki sifat - sifat

= 1 -

= 1 -

= - 1

= - 1

Sifat-sifat yang berkaitan dengan operasi-operasi trigonometri

1. sin(( + () = sin ( cos ( + cos ( sin (2. sin(( - () = sin ( cos ( - cos ( sin (3. cos(( + () = cos ( cos ( - sin ( sin (4. cos(( - () = cos ( cos ( + sin ( sin (5. tan(( + () =

6. tan (( - () =

7. sin ( + sin ( = 2 sin cos

8. sin ( - sin ( = 2 cos sin

9. cos ( + cos ( = 2 cos cos

10. cos ( - cos ( = - 2 sin sin

11. sin ( sin ( = - ( cos - cos )12. sin ( cos ( = ( sin + sin )13. cos ( sin ( = ( sin - sin )14. cos ( cos ( = ( cos + cos )15. A cos (x + B sin (x = k sin ( (x + ( )

Fungsi Periodik

Fungsi periodik memiliki banyak penerapan dalam rangkaian listrik. Fungsi periodik adalah fungsi yang memenuhi persamaan

f( x + T ) = f( x ) , dengan T adalah periode

Penerapan fungsi

Hukum-hukum yang mengendalikan masalah teknik atau hasil pengamatan dinyatakan dalam bentuk fungsi . Masalah teknik elektro yang berkaitan dengan periode, frekuensi, dan nilai maksimum , biasanya berbentuk fungsi trigonometri.

C

B

A

c

a

b

(

Gambar 1.2.1

b

b

b

b

(

(

kuadran I

a

-a

c

-c

kuadran II

(

(

kuadran III

kuadran IV

Gambar 1.2.2

s

(o

1

B

A

O

Gambar 1.3.1

180o

360o

B

A

30o

B

A

180o

90o

30o

0o

330o

180o

360o

B

A

30o

B

B

A

EMBED Word.Picture.8

T

2T

3T

4T

Gambar 1.3.4 Grafik fungsi periodik

PAGE 30Matematika Terapan 1 nuntuk Teknik Elektronika

_1442546164.unknown

_1442546325.unknown

_1442546375.unknown

_1442548565.unknown

_1442549507.unknown

_1442549526.unknown

_1442549943.unknown

_1442549987.unknown

_1442550884.unknown

_1442551287.unknown

_1442551283.unknown

_1442550024.unknown

_1442549954.unknown

_1442549533.unknown

_1442549790.unknown

_1442549793.unknown

_1442549530.unknown

_1442549518.unknown

_1442549521.unknown

_1442549511.unknown

_1442548988.unknown

_1442549497.unknown

_1442549501.unknown

_1442549494.unknown

_1442548572.unknown

_1442548927.unknown

_1442548569.unknown

_1442546430.unknown

_1442546437.unknown

_1442546722.unknown

_1442547963.unknown

_1442546433.unknown

_1442546381.unknown

_1442546427.unknown

_1442546379.unknown

_1442546353.unknown

_1442546364.unknown

_1442546370.unknown

_1442546373.unknown

_1442546367.unknown

_1442546358.unknown

_1442546361.unknown

_1442546355.unknown

_1442546337.unknown

_1442546347.unknown

_1442546350.unknown

_1442546340.unknown

_1442546331.unknown

_1442546334.unknown

_1442546328.unknown

_1442546229.unknown

_1442546278.unknown

_1442546303.unknown

_1442546309.unknown

_1442546312.unknown

_1442546305.unknown

_1442546291.unknown

_1442546295.unknown

_1442546300.unknown

_1442546287.unknown

_1442546262.unknown

_1442546269.unknown

_1442546275.unknown

_1442546265.unknown

_1442546253.unknown

_1442546256.unknown

_1442546250.unknown

_1442546195.unknown

_1442546209.unknown

_1442546217.unknown

_1442546219.unknown

_1442546212.unknown

_1442546203.unknown

_1442546206.unknown

_1442546200.unknown

_1442546178.unknown

_1442546186.unknown

_1442546191.unknown

_1442546182.unknown

_1442546171.unknown

_1442546174.unknown

_1442546167.unknown

_1442544841.unknown

_1442546104.unknown

_1442546138.unknown

_1442546149.unknown

_1442546155.unknown

_1442546158.unknown

_1442546161.unknown

_1442546152.unknown

_1442546144.unknown

_1442546147.unknown

_1442546141.unknown

_1442546120.unknown

_1442546127.unknown

_1442546135.unknown

_1442546124.unknown

_1442546113.unknown

_1442546117.unknown

_1442546107.unknown

_1442546068.unknown

_1442546086.unknown

_1442546097.unknown

_1442546100.unknown

_1442546090.unknown

_1442546094.unknown

_1442546080.unknown

_1442546083.unknown

_1442546074.unknown

_1442546049.unknown

_1442546060.unknown

_1442546065.unknown

_1442546054.unknown

_1442545100.unknown

_1442546024.unknown

_1442546027.unknown

_1442546033.unknown

_1442545146.unknown

_1442545000.unknown

_1442545097.unknown

_1442544939.unknown

_1231568568.unknown

_1231589594.unknown

_1437991109.unknown

_1438146048.unknown

_1442310116.unknown

_1442544617.unknown

_1438004712.unknown

_1338830193.unknown

_1437973399.unknown

_1437990856.unknown

_1437990944.unknown

_1437990981.unknown

_1437991108.unknown

_1437990924.unknown

_1437975251.unknown

_1437990840.unknown

_1437973400.unknown

_1338996546.unknown

_1338996584.unknown

_1338996515.unknown

_1231591150.unknown

_1231599735.unknown

_1338829880.unknown

_1338829893.unknown

_1231599836.unknown

_1231604386.unknown

_1231604611.unknown

_1231599809.unknown

_1231599640.unknown

_1231599668.unknown

_1231591443.unknown

_1231590842.unknown

_1231591099.unknown

_1231590741.unknown

_1231590686.unknown

_1231590700.unknown

_1231590601.unknown

_1231568755.unknown

_1231572864.unknown

_1231589538.unknown

_1231572909.unknown

_1231572351.unknown

_1231572396.unknown

_1231572302.unknown

_1231568669.unknown

_1231568741.unknown

_1231568654.unknown

_1231557042.unknown

_1231557112.unknown

_1231563532.unknown

_1231568553.unknown

_1231562922.unknown

_1231557062.unknown

_1231557076.unknown

_1231509849.unknown

_1231555688.unknown

_1231557028.unknown

_1231556981.unknown

_1231556998.unknown

_1231556965.unknown

_1231550397.unknown

_1231550862.unknown

_1231551289.unknown

_1231551304.unknown

_1231550896.unknown

_1231550502.unknown

_1231542400.unknown

_1231542426.unknown

_1125658127.unknown

_1149134693.unknown

_1149135117.unknown

_1149135147.unknown

_1149135146.unknown

_1149135090.unknown

_1149133240.unknown

_1149134635.unknown

_1149133220.unknown

_1099303947.unknown

_1125658038.unknown

_1096385802.unknown

_1096872440.doc

_1096385544.unknown