bab 1 himpunan
TRANSCRIPT
1
NAMA : NAMA : AGUS DWI ATMOKO, SE, AGUS DWI ATMOKO, SE, MMMMALAMAT : Ds. Mrentul, Bonorowo, ALAMAT : Ds. Mrentul, Bonorowo, KebumenKebumenHPHP : 0852. 9101.5027 : 0852. 9101.5027
Ruang Lingkup :
Himpunan, Permutasi dan Kombinasi, Deret, Matriks dan Determinan, Anuiti dan Aplikasinya, Saham dan Obligasi, Pembelian, Penjualan, Asuransi, Fungsi Linier, Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi Bisnis, Fungsi Non Linier, Limit dan Kontinuitas, Turunan, Penggajian, Depresiasi, Bunga dan Diskonto
SILABUSMATEMATIKA KEUANGAN DAN BISNIS
Tujuan:Mahasiswa diharapkan mampu memahami Konsep-konsep Matematika dalam penerapannya pada masalah Keuangan.
Kompetensi Lulusan:
Mampu menyelesaikan persoalan Matematika permasalahan Keuangan, Ekonomi dan Bisnis.
Literatur 1. Seri Diktat Kuliah Matematika Keuangan
Pengarang : - Algifari, Rudy Badrudin Penerbit :Gunadarma
2. Seri Diktat Kuliah Matematika Ekonomi
Pengarang : Bambang Kustituanto, Penerbit : Gunadarma
3. Matematika Dasar utk Perguruan Tinggi
Pengarang : - Yusuf Yahya, D. Suryadi H.S.
Penerbit : Ghalia Indonesia
4. Matematika Terapan utk Bisnis&Ekonomi
Pengarang : Dumairy, Penerbit : BPFE - Yogyakarta
5. Pengantar Matematika untuk Ekonomi
Pengarang : - Prof. H. Johannes
Budiono Sri Handoko, Penerbit : LP3ES
Rencana Penilaian
Ujian Tengah Semester (UTS) 30 %
Ujian Akhir Semester (UAS) 30 %
Tugas Terstruktur 30 %
Kuis 10 %
Materi Himpunan
Permutasi dan Kombinasi
Deret
Matriks dan Determinan
Anuiti dan Aplikasinya
Saham dan Obligasi
Pembelian, Penjualan
Asuransi, Fungsi Linier, Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi Bisnis, Fungsi Non Linier, Limit dan Kontinuitas, Turunan, Penggajian, Depresiasi, Bunga dan Diskonto
Silabus Materi Himpunan
Pengertian Himpunan
Penyajian Himpunan
Himpunan Universal dan Himpunan Kosong
Operasi Himpunan
Kaidah Matematika dalam Operasi Himpunan
Silabus Materi Sistem Bilangan Hubungan Perbandingan antar Bilangan
Operasi Bilangan
Operasi Tanda
- Operasi Penjumlahan
- Operasi Pengurangan
- Operasi Perkalian
- Operasi Pembagian
Operasi Bilangan Pecahan
- Operasi Pemadanan
- Operasi Penjumlahan dan Pengurangan
- Operasi Perkalian
- Operasi Pembagian
Silabus Materi Pangkat, Akar dan Logaritma
Pangkat
Kaidah pemangkatan bilangan
Kaidah perkalian bilangan berpangkat
Kaidah pembagian bilangan berpangkat
Akar
Kaidah pengakaran bilangan
Kaidah penjumlahan bilangan terakar
Kaidah perkalian bilangan terakar
Kaidah pembagian bilangan terakar
Logaritma
- Basis Logaritma
- Kaidah-kaidah Logaritma
- Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma
Silabus Materi Deret
Deret Hitung
- Suku ke-n dari DH
- Jumlah n suku Deret Ukur
- Suku ke-n dari DU
- Jumlah n suku
Silabus Materi Fungsi
Pengertian dan Unsur- unsur Fungsi Jenis- jenis fungsi Penggambaran fungsi Linear Penggambaran fungsi non linear
- Penggal- Simetri- Perpanjangan- Asimtot- Faktorisasi
Silabus Materi Hubungan Linear Penggal dan lereng garis lurus
Pembentukan Persamaan Linear
- Cara dwi- kordinat
- Cara koordinat- lereng
- Cara Penggal lereng
- Cara dwi- penggal
Hubungan dua garis lurus
Pencarian Akar- akar persamaan linear
- Cara substitusi
- Cara eliminasi
- Cara determinan
Silabus Materi Hubugan Non Linear
Fungsi kuadrat
- Identifikasi persamaan kuadrat
- Lingkaran
- Elips
- Hiperbola
- Parabola
Silabus Materi Diferensial Fungsi Sederhana
Kuosien Diferensi dan Derivatif
Kaidah- Kaidah Diferensiasi
Hakikat Derivatif dan Diferensial
Derivatif dari Derivatif
Hubungan antara Fungsi dan Derivatifnya
- Fungsi menaik dan fungsi menurun
- Titik ekstrim fungsi parabolik
- Titik ekstrim dan titik belok fungsi kubik
Silabus Materi Diferensial Fungsi Majemuk
Diferensial Parsial
Derivatif dari Derivatif Parsial
Nilai ekstrim : Maksimum dan Minimum
Optimisasi Bersyarat
- Pengganda Lagrange
- Kondisi Kuhn-Tucker
Homogenitas Fungsi
Silabus Materi Integral
Integral tak tentu
Kaidah- kaidah Integrasi tak tentu
Integral tertentu
Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu
Silabus Materi Matriks
Pengertian Matriks dan Vektor Kesamaan Matriks dan Kesamaan
Vektor Pengoperasian Matriks dan Vektor Bentuk- bentuk khas matriks Pengubahan Matriks
18
Himpunan (set)
Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Cara Penyajian Himpunan
Enumerasi
Simbol-simbol Baku
Notasi Pembentuk Himpunan
Diagram Venn
Enumerasiadalah suatu set Konstanta Integer yang masing-masing konstanta akan memiliki nama dan nilai yang berbeda
Contoh
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
-
Enumerasi Keanggotaan
x A : x merupakan anggota himpunan A;
x A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
EnumerasiContoh Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a,
c} } K = {{}}maka
3 A5 B{a, b, c} R
c R {} K
{} R
Enumerasi
Contoh Bila P1 = {a, b}, P2 = { {a, b} }, P3
= {{{a, b}}}maka
a P1a P2P1 P2P1 P3P2 P3
Simbol-simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ...}
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ...}
Z = himpunan bilangan bulat ={...,-2, -1, 0, 1, 2,...}
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
Simbol-simbol Baku Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan
dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan
A adalah himpunan bagian dari U,
dengan A = {1, 3, 5}.
Notasi Pembentuk HimpunanNotasi: { x syarat yang harus dipenuhi
oleh x }
Contoh (i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil
dari 5 A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari
5} atau A = { x | x P, x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah MA 2333}
GABUNGAN HIMPUNAN
Gabungan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggota nya menjadi anggota A saja atau anggota B saja atau anggota persekutuan A dan B.
Dengan notasi pembentuk Dengan notasi pembentuk himpunan, gabungan himpunan A himpunan, gabungan himpunan A
dan B didefinisikan sebagai :dan B didefinisikan sebagai :A A B = { x | x B = { x | x A dan x A dan x B }. B }.
Contoh SoalA = { m, e, r, a, h }
B = { r, a, t, i, h }
A B = . . .
Penyelesaian : Semua anggota A dan B, tetapi anggota yang sama hanya di tulis satu kali.
A B = { m, e, r, a, h, i, t }
DIAGRAM VENN
Diagram Venn merupakan gambar himpunan yang digunakan untuk menyatakan hubungan beberapa
himpunan.
S
A
Model - 1S
A , B
Jika anggota himpunan A sama dengan anggota himpunan B
ditulis : A = B
Model 2
A B
S
Jika anggota himp. A tidak ada yang sama dengan anggota himp. B
Ditulis : A B
Model - 3S
A B
Jika ada anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B
Ditulis : A B
Model 4S
A
B
Jika semua anggota himpunan B adalah anggota himpunan B
Dtulis : B A
S = { bilangan asli }, A = { bilangan ganjil }
B = { bilangan prima > 2 },
himpunan di atas dapat dinyatakan dalam diagram Venn berikut :
LATIHAN -1
SA B
SA B
S
AB
S
AB
A
B
C
D
PembahasanS = { 1, 2, 3, 4, 5, . . . }
A = { 1, 3, 5, 7, 11, . . .}
B = { 3, 5, 7, 11, . . .}
Karena semua anggota himpunan B dimuat di A maka B A, artinya kurva B ada di dalam kurva A.
Jadi jawaban yang benar adalah : C
LATIHAN - 2Perhatikan gambar disamping
Yang bukan anggota K adalah . . .
a. { 7, 8 }
b. { 1, 2, 9 }
c. { 3, 4, 5, 6 }
d. { 1, 2, 7, 8, 9 } S
K L
.1 .2
.3
.4
.5.6
.7
.8
.9
Pembahasan
S = { 1, 2, 3, . . ., 9 }
K = { 3, 4, 5, 6 }
Anggota S yang tidak
menjadi anggota K
adalah : { 1, 2, 7, 8, 9 }
Jadi jawaban yang benar adalah : D
S
K L
.1 .2
.3
.4
.5.6
.7
.8
.9
LATIHAN - 3K = { k, o, m, p, a, s }
L = { m, a, s, u, k }
K L = . . .
a. { p. o, s, u, k, m, a }
b. { m, a, s, b, u, k }
c. { p, a, k, u, m, i, s}
d. { k, a, m, p, u, s }
Pembahasan
K = { k, o, m, p, a, s }
L = { m, a, s, u, k }
K L = { k, o, m, p, a, s, u }
Diantara jawaban A, B, C, dan D yang memiliki anggota = anggota K L adalah A
Jadi jawaban yang benar : A
LATIHAN - 4P = { faktor dari 10 }
Q = { tiga bilangan prima pertama }
P Q = . . . .
a. { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10 }
b. { 1, 2, 3, 4, 5, 10 }
c. { 1, 2, 3, 5, 7, 10 }
d. { 1, 2, 3, 5, 10 }
Pembahasan
P = { 1, 2, 5, 10 }
Q = { 2, 3, 5 },
maka :
P Q = { 1, 2, 3, 5, 10 }
Jadi jawaban yang benar adalah : D
LATIHAN - 5
Jika himpunan A B dengan n(A) = 11 dan n(B) = 18, maka n ( A B ) = . . .
a. 7 b. 11
c. 18 d. 28
Pembahasan
n ( A ) = 11
n ( B ) = 18
Setiap A B, maka A B = A
Sehingga n ( A B ) = n ( A )
n ( A B ) = 11
Jadi jawaban yang benar adalah : B
LATIHAN - 6Diagram Venn dibawah ini menunjukkan banyak siswa yang mengikuti ekstra kurikuler basket dan voli dalam sebuah kelas. Banyak siswa yang tidak gemar basket adalah . . .
a. 12 orang
b. 15 orang
c. 19 orang
d. 22 orang
SBasket voli
8 3 12
7
PembahasanBanyak siswa yang tidak gemar basket ditunjukkan oleh daerah arsiran pada diagram Venn.
Yang tidak gemar basket
= 12 + 7 = 19
Jadi jawaban yang
Benar adalah : C
SB V
8 3 12
7
LATIHAN - 7Dalam sebuah kelas terdapat 17 siswa gemar
matematika, 15 siswa gemar fisika, 8 siswa gemar keduanya. Banyak siswa dalam kelas adalah . . .
a. 16 siswa c. 32 siswa
b. 24 siswa d. 40 siswa
Pembahasann(M) = 17 orang
n(F) = 15 orang
n(M F ) = 8 orang
n( M F ) = n(M) + n(F) – n(M F )
= 17 + 15 – 8
= 32 – 8
= 24 orang
Jadi jawaban yang benar adalah : B
LATIHAN - 8
Dalam seleksi penerima beasiswa, setiap siswa harus lulus tes matematika dan bahasa. Dari 180 peserta terdapat 103 orang dinyatakan lulus tes
matematika dan 142 orang lulus tes bahasa.
Banyak siswa yang dinyatakan lulus Banyak siswa yang dinyatakan lulus sebagai penerima beasiswa ada . . .sebagai penerima beasiswa ada . . .
a. 38 orang c. 65 oranga. 38 orang c. 65 orangb. 45 orang d. 77 orangb. 45 orang d. 77 orang
Pembahasann(S) = 180 orang
n(M) = 103 orang
n(B) = 142 orang
n(M B ) = x orang
n(S) = n( M B ) = n(M) + n(B) – n( MB)
180 = 103 + 142 - X
X = 245 – 180 = 65
Jadi yang lulus adalah 65 orang = ( C )
LATIHAN-9
Dalam satu kelas terdapat 40 siswa, 12 orang di antaranya senang biola, 32 orang senang gitar, dan 10 orang
senang keduanya. Banyak siswa yang tidak senang keduanya
adalah….
a. 2 orang b. 4 orang
b. c. 6 orang d. 8 orang
Pembahasan
Biola = 12 orang, Gitar = 32 orang
Biola dan Gitar = 10 orang.
Jlh Siswa di kelas = 40 orang.
Jlh siswa = n(B) +n(G) – n( BG)
40 – x = 12 + 32 - 10
40 - x = 44 - 10
x = 40 – 34 = 6
LATIHAN - 10Sebuah RS mempunyai pasien
sebanyak 53 orang, 26 orang menderita demam ber- arah, dan 32 orang
menderita muntaber. penderita DBD dan muntaber 7 orang,yang tidak menderita
DBD atau muntaber adalah …
a. 2 orang c. 5 orang
b. 3 orang d. 6 orang
PembahasanJumlah pasien = 53 orang.Demam berdarah = 26 orang.Muntaber = 32 orang.DBD dan muntaber = 7 orang.Bkn DBD atau muntaber = X orang.X = ( 53 org ) - ( 26 org + 32 org – 7 ) =X = 53 org – 51 org X = 2 orang
LATIHAN - 11Dari 40 orang anak, ternyata 24 anak gemar minum teh, 18 anak gemar minum kopi, 5 anak tidak gemar minum keduanya Banyaknya anak yang gemar keduanya adalah . . .
a. 2 orangb. 5 orangc. 7 orang
d. 9 orang
Pembahasan
Jumlah anak = 40 orangTeh = 24 orangKopi = 18 orangTeh dan Kopi = x orangTidak keduanya = 5 orang(24 + 18 ) - x = 40 - 5 42 - x = 35 x = 42 - 35 = 7Yang gemar keduanya adalah 7 anak.
LATIHAN - 12
Dari 60 orang siswa ternyata 36 orang gemar membaca, 34 orang gemar menulis, 12 orang gemar kedua-duanya. Banyaknya anak yang tidak mengemari keduanya adalah . . .
a. 2 orangb. 5 orangc. 7 orang
d. 9 orang
Pembahasan
Jumlah anak = 60 orangMembaca = 36 orangMenulis = 34 orangMembaca dan menulis = 12 orangTidak keduanya = x orang(36 + 34 ) - 12 = 60 - x 58 = 60 - x x = 60 – 58 x = 2.
LATIHAN - 13
Jika himpunan B A dengan n(A) = 25 dan n(B) = 17, maka n ( A B ) = . . .
a. 8 b. 11
c. 17 d. 25
Pembahasan
n ( A ) = 25
n ( B ) = 17
Setiap B A,
maka A B = A
Sehingga n ( A B ) = n ( A )
n ( A B ) = 25
LATIHAN - 14Dalam sebuah kelas terdapat 20 siswa gemar matematika, 15 siswa gemar fisika, 8 siswa gemar keduanya.
Banyak siswa dalam kelas adalah . . . .
a. 23 siswa b. 27 siswa
b. c. 28 siswa d. 43 siswa
Pembahasan
n(M) = 20 orang
n(F) = 15 orang
n(M F ) = 8 orang
n( M F ) = n(M) + n(F) – n(M F )
= 20 + 15 – 8
= 35 – 8
= 27 orang
