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TRANSCRIPT
Bab 1
INDUKSI MATEMATIKA
ℎ𝑎𝑙𝑚 1 − 34
A. PENGERTIAN𝑃𝑒𝑟𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎𝑎𝑛 =
𝐾𝑎𝑙𝑖𝑚𝑎𝑡 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑎 →
𝑘𝑎𝑙𝑖𝑚𝑎𝑡 𝑦𝑔 𝑝𝑢𝑛𝑦𝑎 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘𝑒𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛,
𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 𝐵𝐸𝑁𝐴𝑅 𝑠𝑎𝑗𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑆𝐴𝐿𝐴𝐻 𝑠𝑎𝑗𝑎
𝑏𝑒𝑙𝑢𝑚 𝑝𝑢𝑛𝑦𝑎 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘𝑒𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛,
𝑡𝑎𝑝𝑖 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙𝑛𝑦𝑎 𝑑𝑖𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖,
𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑃𝑒𝑟𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎𝑎𝑛
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ:
𝑷𝒆𝒓𝒏𝒚𝒂𝒕𝒂𝒂𝒏 𝑲𝒂𝒍 𝑻𝒆𝒓
2 + 3 = 5 2 + 𝑥 = 5
𝐾𝑒𝑝𝑖𝑡𝑖𝑛𝑔 𝑝𝑢𝑛𝑦𝑎 16 𝑘𝑎𝑘𝑖 𝐼𝑏𝑢𝑘𝑜𝑡𝑎 𝐼𝑛𝑔𝑔𝑟𝑖𝑠 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑚
3X = −9 𝑎X = 4
(𝑩)
(𝑺)
(𝑺)
𝑆𝑜𝑎𝑙:
𝟏) 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑥 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑩𝑬𝑵𝑨𝑹
𝒂) 6𝑥 − 7 = 11
𝒃) 𝑥X = 𝑥 + 12
→ 𝑥 = 3
→ 𝑥 = 4 ∨ 𝑥 = −3
𝟐) 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑥 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑺𝑨𝑳𝑨𝑯
𝒂) 2𝑥 + 3 = 11
𝒃) 𝑥X ≥ 9
→ 𝑥 ≠ 4
→ −3 < 𝑥 < 3
𝑥X − 9 ≥ 0
𝑥 + 3 𝑥 − 3 ≥ 0−3
−
3
+ +
𝟑) 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘𝑒𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛 𝜏 𝑑𝑎𝑟𝑖:
𝒂) 𝑝: 236 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 6
𝒃) 𝑞: 81 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑏𝑖𝑙 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
𝜏 𝑝 =
𝜏 𝑞 =
𝑺
𝑺
𝑼𝑲 𝟏. 𝟏 𝒉𝒂𝒍𝒎 𝟕
2)
4)
6)
8)
10)
𝐾𝑎𝑙 𝑇𝑒𝑟
𝐾𝑎𝑙 𝑇𝑒𝑟
𝑃𝑒𝑟𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎𝑎𝑛 (𝑩)
𝑃𝑒𝑟𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎𝑎𝑛 (𝑩)
𝐵𝑢𝑘𝑎𝑛
B. INGKARAN / NEGASI
𝐼𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑆𝐸𝑀𝑈𝐴 / 𝑆𝐸𝑇𝐼𝐴𝑃
𝐼𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝐵𝐸𝑁𝐴𝑅 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑆𝐴𝐿𝐴𝐻
& 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑙𝑖𝑘𝑛𝑦𝑎
. . . . 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ
𝐴𝐷𝐴 𝑌𝐺 𝑇𝐼𝐷𝐴𝐾 / 𝐵𝐸𝐵𝐸𝑅𝐴𝑃𝐴 𝑇𝐼𝐷𝐴𝐾 . . . .
& 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑙𝑖𝑘𝑛𝑦𝑎
( − / ~ )
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ:
𝟏) 𝑝: 8 − 5 = 3 → −𝑝: 8 − 5 ≠ 3
𝟐) 𝑞: 𝑥X > 25 → ~𝑞: 𝑥X ≤ 25
𝟑) 𝑟: 𝑆𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑎𝑦𝑎𝑚 𝑏𝑒𝑟𝑘𝑎𝑘𝑖 𝑑𝑢𝑎→ ~𝑟: 𝐴𝑑𝑎 𝑎𝑦𝑎𝑚 𝑦𝑔 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑟𝑘𝑎𝑘𝑖 𝑑𝑢𝑎
𝐵𝑒𝑏𝑒𝑟𝑎𝑝𝑎 𝑎𝑦𝑎𝑚 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑟𝑘𝑎𝑘𝑖 𝑑𝑢𝑎
C. PERNYATAAN MAJEMUK
∗ 𝑎𝑡𝑎𝑢
→ 𝑔𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑏𝑟𝑝 𝑝𝑒𝑟𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎𝑎𝑛 𝑡𝑢𝑛𝑔𝑔𝑎𝑙,
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑎𝑡𝑎 ℎ𝑢𝑏𝑢𝑛𝑔:
∗ 𝑑𝑎𝑛/𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖
∗ 𝑗𝑖𝑘𝑎 . . . . 𝑚𝑎𝑘𝑎 . . . .
∗ . . . . 𝑗𝑖𝑘𝑎 & ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑗𝑖𝑘𝑎 . . . .
( ∧ )
( ∨ )
( → )
( ↔ )
𝑪𝟏. 𝑲𝑶𝑵𝑱𝑼𝑵𝑮𝑺𝑰 ( ∧ )𝐾𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑩𝑬𝑵𝑨𝑹
𝑗𝑖𝑘𝑎 𝒌𝒆𝒅𝒖𝒂 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑛𝑦𝑎 𝑩𝑬𝑵𝑨𝑹
𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑘𝑒𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛 𝐾𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖:𝒑 𝒒 𝒑 ∧ 𝒒𝐵 𝐵 𝑩𝐵 𝑆 𝑆𝑆 𝐵 𝑆𝑆 𝑆 𝑆
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ:
𝟏) 𝑝: 5 − 1 = 4
𝑞: 3X= 9𝑝 ∧ 𝑞 ∶ 5 − 1 = 4 ∧ 3X = 9
𝟐) 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑚 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑩𝑬𝑵𝑨𝑹
𝒂) 3 −𝑚 = 5 ∧ 𝑚X = 4
𝒃) 𝑚 < 5 ∧ 𝑚 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑠𝑙𝑖
𝑚 = −2
𝒄) 6𝑚 = 18 ∧ 𝑚X + 2𝑚 − 3 = 0
𝑚 = 1, 2, 3, 4
𝑚 = 3 𝑚 + 3 𝑚 − 1 = 0𝑚 = −3 𝑎𝑡𝑎𝑢 1
maka
∅𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛
𝐵 ∧ 𝐵 = 𝑩
𝑪𝟐. 𝑫𝑰𝑺𝑱𝑼𝑵𝑮𝑺𝑰 ( ∨ )𝐷𝑖𝑠𝑗𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑏𝑒𝑟𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑺𝑨𝑳𝑨𝑯𝑗𝑖𝑘𝑎 𝒌𝒆𝒅𝒖𝒂 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑛𝑦𝑎 𝑺𝑨𝑳𝑨𝑯
𝒑 𝒒 𝒑 ∨ 𝒒𝐵 𝐵 𝐵𝐵 𝑆 𝐵𝑆 𝐵 𝐵𝑆 𝑆 𝑺
𝟏) 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑛 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑺𝑨𝑳𝑨𝑯
𝒂) 3 − 𝑛 = 1 ∨ 𝑛X = 4
𝒃) 𝑛 ≤ 4 ∨ 𝑛 > 2
𝑛 ≠ 2
𝒄) 16 = 4 ∨ 5𝑛 = 10 ∅
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ: 𝑆 ∨ 𝑆 = 𝑺
∅
𝟐) 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑥 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑩𝑬𝑵𝑨𝑹
𝒂) 5𝑥 = 0 ∨ 1 + 1 = 2
𝒃)𝑥2= 3 ∨ 5 < 8
𝑥 ∈ 𝑅𝑒𝑎𝑙
𝒄)42𝑥= 6 ∨ 𝑥X = 49 𝑥 = 7 𝑎𝑡𝑎𝑢 − 7
𝑥 ∈ 𝑅𝑒𝑎𝑙
𝟑) 𝑁𝑦𝑎𝑡𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 ∧ & ∨
𝑝
𝑞
𝑟
𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)
𝟒)
𝑝
𝑞
𝑠
𝑡
𝑟
𝑝 ∧ [ (𝑞 ∧ 𝑟) ∨ 𝑠 ∨ 𝑡 ]
(𝑟 ∨ 𝑠) ∨ (𝑞 ∧ 𝑝)𝟓) 𝐺𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟𝑘𝑎𝑛:
𝑞
𝑟
𝑠
𝑝
𝑪𝟑. 𝑰𝑴𝑷𝑳𝑰𝑲𝑨𝑺𝑰 ( → )𝐼𝑚𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑠𝑖 𝑏𝑒𝑟𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑺𝑨𝑳𝑨𝑯 𝑗𝑖𝑘𝑎
𝑝𝑒𝑟𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎𝑎𝑛 𝐼 𝑩𝑬𝑵𝑨𝑹 & 𝑝𝑒𝑟𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎𝑎𝑛 𝐼𝐼 𝑺𝑨𝑳𝑨𝑯
𝒑 𝒒 𝒑 → 𝒒𝐵 𝐵 𝐵𝐵 𝑆 𝑺𝑆 𝐵 𝐵𝑆 𝑆 𝐵
𝟏) 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑝 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑩𝑬𝑵𝑨𝑹
𝒂) 𝑝 + 3 = 4 → 𝑝X = 64
𝒃) 2𝑝 = 6 → 4𝑝 = 12
𝑝 ≠ 1
𝒄) 9 = −3 → 𝑝X = 81
𝑝 ∈ 𝑅𝑒𝑎𝑙
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ: 𝐵 → 𝑆 = 𝑺
𝒅) 2𝑝 < 10 → 3 − 1 = 4 𝑝 ≥ 5
𝑝 ∈ 𝑅𝑒𝑎𝑙
𝟐) 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑡 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑺𝑨𝑳𝑨𝑯
𝒂) 2𝑡 = 0 → 6 + 1 = 7
𝒃)𝑡4 = 3 → 6 < 5
∅
𝒄)15𝑡= 5 → 𝑡X = 1
𝑡 = 12
𝐵 → 𝑆 = 𝑺
𝑡 = 3
𝑪𝟒. 𝑩𝑰𝑰𝑴𝑷𝑳𝑰𝑲𝑨𝑺𝑰 ( ↔ )𝐵𝑖𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑠𝑖 𝑏𝑒𝑟𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑩𝑬𝑵𝑨𝑹 𝑗𝑖𝑘𝑎
𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑛𝑦𝑎 𝑏𝑒𝑟𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑎.
𝒑 𝒒 𝒑 ↔ 𝒒𝐵 𝐵 𝑩𝐵 𝑆 𝑆𝑆 𝐵 𝑆𝑆 𝑆 𝑩
𝟏) 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 ℎ 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑩𝑬𝑵𝑨𝑹
𝒂) ℎ + 3 = 1 ↔ ℎX = 4
𝒃) 2ℎ = 16 ↔ 3ℎ = 24
ℎ ≠ 2
𝒄) 121 = 11 ↔ ℎX = 9
ℎ ∈ 𝑅𝑒𝑎𝑙
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ:
ℎ = 3 𝑎𝑡𝑎𝑢 − 3
𝒅) ℎ + 1 = 6 ↔ 4 − 1 = 2 ℎ ≠ 5
𝐵 ∧ 𝐵 = 𝐵
𝑆 ∨ 𝑆 = 𝑆
𝐵 → 𝑆 = 𝑆
𝐾𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑔ℎ𝑎𝑓𝑎𝑙:
2 𝑠𝑎𝑚𝑎 ↔ 𝐵
− 𝑝 ∧ 𝑞 = −𝑝 ∨ −𝑞
− 𝑝 ∨ 𝑞 = −𝑝 ∧ −𝑞
− 𝑝 → 𝑞 = 𝑝 ∧ −𝑞
𝑪𝟓. 𝑹𝑼𝑴𝑼𝑺 𝑵𝑬𝑮𝑨𝑺𝑰
𝑝𝑒𝑚𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖𝑎𝑛 ? 𝑝𝑎𝑘𝑎𝑖 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙
𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖:
𝟏) 𝐴𝑑𝑖 𝑚𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝐵𝑒𝑛𝑖 𝑡𝑖𝑑𝑢𝑟
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ:
↣
− 𝑝 ∧ 𝑞 = −𝑝 ∨ −𝑞
𝐴𝑑𝑖 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑚𝑎𝑘𝑎𝑛 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝐵𝑒𝑛𝑖 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑡𝑖𝑑𝑢𝑟
𝟐) 𝑎 − 𝑏 < 0 → 𝑏 > 𝑎
↣ 𝑎 − 𝑏 < 0 ∧ 𝑏 ≤ 𝑎
𝟑) 𝐽𝑖𝑘𝑎 𝑊𝑒𝑠𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑖𝑐𝑢𝑏𝑖𝑡 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑤𝑖 𝑚𝑎𝑟𝑎ℎ
↣ 𝑊𝑒𝑠𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑖𝑐𝑢𝑏𝑖𝑡 𝒅𝒂𝒏/𝒕𝒂𝒑𝒊 𝑏𝑏𝑟𝑝 𝑠𝑖𝑠𝑤𝑖 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑚𝑎𝑟𝑎ℎ
𝟒) − 𝑝 → −𝑟 ∨ (−𝑞 → 𝑠) =
− 𝑎 ∨ 𝑏 = −𝑎 ∧ −𝑏
− 𝑝 → −𝑟 ∧ −(−𝑞 → 𝑠)
= 𝑝 ∧ 𝑟 ∧ (−𝑞 ∧ −𝑠)
− 𝑝 → 𝑞 = 𝑝 ∧ −𝑞
D. TABEL KEBENARAN
𝐷𝑢𝑎 𝑘𝑎𝑙𝑖𝑚𝑎𝑡 𝑚𝑎𝑗𝑒𝑚𝑢𝑘 𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑡𝑎𝑟𝑎/𝑒𝑘𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑦𝑎 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘𝑒𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑦𝑔 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑖𝑠.
1) 𝐵𝑢𝑎𝑡𝑙𝑎ℎ 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙: − 𝑝 → 𝑞 & 𝑝 ∧ −𝑞
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ:
𝒑 𝒒𝐵 𝐵𝐵 𝑆𝑆 𝐵𝑆 𝑆
−𝒒𝑆𝐵𝑆𝐵
𝒑 → 𝒒
𝑺𝐵
𝐵𝐵
−(𝒑 → 𝒒)𝑆𝐵𝑆𝑆
𝒑 ∧ −𝒒𝑆𝑩𝑆𝑆
𝑒𝑘𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛
2) 𝐵𝑢𝑎𝑡𝑙𝑎ℎ 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙: 𝑝 ∧ 𝑞 → 𝑝
𝒑 𝒒𝐵 𝐵𝐵 𝑆𝑆 𝐵𝑆 𝑆
𝒑 ∧ 𝒒
𝑆𝑩
𝑆𝑆
(𝒑 ∧ 𝒒) → 𝒑𝐵𝐵𝐵𝐵
𝑡𝑎𝑢𝑡𝑜𝑙𝑜𝑔𝑖
𝑘𝑎𝑙𝑎𝑢:𝑆𝑆𝑆𝑆
𝑘𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑘𝑠𝑖
𝑠𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛 𝑖𝑡𝑢 → 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛𝑠𝑖
3) 𝐵𝑢𝑎𝑡𝑙𝑎ℎ 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙: 𝑝 → 𝑞 ∨ 𝑟𝒑 𝒒 𝒓𝐵 𝐵 𝐵𝐵 𝐵 𝑆𝐵 𝑆 𝐵𝐵 𝑆 𝑆𝑆 𝐵 𝐵𝑆 𝐵 𝑆𝑆 𝑆 𝐵𝑆 𝑆 𝑆
𝒑 → 𝒒𝐵
𝑺𝐵
𝐵
(𝒑 → 𝒒) ∨ 𝒓
𝑺
𝐵𝐵𝐵
𝑺
𝐵𝐵𝐵
𝐵𝐵𝐵𝐵
𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛𝑠𝑖
2𝑐) 𝑝 ↔ 𝑞 ↔ (−𝑝 ∨ 𝑞)
𝒑 𝒒𝐵 𝐵𝐵 𝑆𝑆 𝐵𝑆 𝑆
−𝒑
𝑆𝑆
𝐵𝐵
𝒑 ↔ 𝒒 −𝒑 ∨ 𝒒 𝒑 ↔ 𝒒 ↔ (−𝒑 ∨ 𝒒)𝑩
𝑩
𝑆𝑆
𝑺𝐵
𝐵𝐵
𝑩𝑩
𝑩𝑆
𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛𝑠𝑖
𝑼𝑲 𝟏. 𝟒 𝒉𝒂𝒍𝒎 𝟏𝟒
1𝑑) 𝑝 ∧ 𝑞 → 𝑟 ≅ −𝑝 ∨ −𝑞 ∨ 𝑟𝒑 𝒒 𝒓𝐵 𝐵 𝐵𝐵 𝐵 𝑆𝐵 𝑆 𝐵𝐵 𝑆 𝑆𝑆 𝐵 𝐵𝑆 𝐵 𝑆𝑆 𝑆 𝐵𝑆 𝑆 𝑆
−𝒑𝑆−𝒒 𝒑 ∧ 𝒒 (𝒑 ∧ 𝒒) → 𝒓 −𝒑 ∨ −𝒒−𝒑 ∨ −𝒒 ∨ 𝒓
𝑆𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵
𝑆𝑆𝐵𝐵𝑆𝑆𝐵𝐵
𝑩𝑩𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆
𝑺𝐵
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵
𝑺𝑺𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵
𝑺𝐵
𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵
𝑒𝑘𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛
E. KONVERS, INVERS, KONTRA POSISI
𝒌𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔(𝑘𝑒𝑏𝑎𝑙𝑖𝑘𝑎𝑛)
𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔(𝑙𝑎𝑤𝑎𝑛)
𝒌𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒔𝒊(𝑑𝑖𝑏𝑎𝑙𝑖𝑘, 𝑑𝑖𝑙𝑎𝑤𝑎𝑛)
𝑝 → 𝑞 𝑞 → 𝑝 −𝑝 → −𝑞 −𝑞 → −𝑝
1) “𝐽𝑖𝑘𝑎 𝑎𝑦𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑟𝑔𝑖 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐵𝑒𝑛𝑖 𝑠𝑒𝑑𝑖ℎ”
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ:
𝐾𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠:
𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠:
𝐾𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑝𝑜:
“𝐽𝑖𝑘𝑎 𝐵𝑒𝑛𝑖 𝑠𝑒𝑑𝑖ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎𝑦𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑟𝑔𝑖”
“𝐽𝑖𝑘𝑎 𝑎𝑦𝑎ℎ 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑝𝑒𝑟𝑔𝑖 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐵𝑒𝑛𝑖 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑑𝑖ℎ”
“𝐽𝑖𝑘𝑎 𝐵𝑒𝑛𝑖 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑑𝑖ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎𝑦𝑎ℎ 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑝𝑒𝑟𝑔𝑖”
2) 𝑥 = 3 → 𝑥X = 9
𝐾:
𝐼:
𝐾𝑃:
𝑥X = 9 → 𝑥 = 3
𝑥 ≠ 3 → 𝑥X ≠ 9
𝑥X ≠ 9 → 𝑥 ≠ 3
3) 𝑥 < 0 → 𝑥X ≥ 0
𝐾:
𝐼:
𝐾𝑃:
𝑥X ≥ 0 → 𝑥 < 0
𝑥 ≥ 0 → 𝑥X < 0
𝑥X < 0 → 𝑥 ≥ 0
4) ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑛𝑎𝑖𝑘 → 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑒𝑠
𝐾:
𝐼:
𝐾𝑃:
𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑒𝑠 → ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑛𝑎𝑖𝑘
ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑎𝑘 𝑛𝑎𝑖𝑘 → 𝒃𝒆𝒃𝒆𝒓𝒂𝒑𝒂 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 𝒕𝒂𝒌 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑒𝑠
𝑏𝑒𝑏𝑒𝑟𝑎𝑝𝑎 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑎𝑘 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑒𝑠 → ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑎𝑘 𝑛𝑎𝑖𝑘
1𝑎) −𝑝 → 𝑞
𝐾:
𝐼:
𝐾𝑃:
𝑞 → −𝑝
𝑝 → −𝑞
−𝑞 → 𝑝
1𝑑) 𝑝 ∧ −𝑞 → (𝑞 ∨ 𝑟)
𝐾:
𝐼:
𝐾𝑃:
(𝑞 ∨ 𝑟) → 𝑝 ∧ −𝑞
− 𝑝 ∧ −𝑞 → −(𝑞 ∨ 𝑟)
≅ −𝑝 ∨ 𝑞 → (−𝑞 ∧ −𝑟)
(−𝑞 ∧ −𝑟) → −𝑝 ∨ 𝑞
𝑼𝑲 𝟏. 𝟓 𝒉𝒂𝒍𝒎 𝟏𝟔
F. KUANTOR → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡𝑦 ; 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ
𝑭𝟏. 𝑲𝑼𝑨𝑵𝑻𝑶𝑹 𝑼𝑵𝑰𝑽𝑬𝑹𝑺𝑨𝑳 (∀)
𝑭𝟐. 𝑲𝑼𝑨𝑵𝑻𝑶𝑹 𝑬𝑲𝑺𝑰𝑺𝑻𝑬𝑵𝑺𝑰𝑨𝑳 (∃)
∀𝑥, 𝑝 𝑥 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑐𝑎: 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑥 𝑏𝑒𝑟𝑙𝑎𝑘𝑢 𝑝(𝑥)
∃𝑥, 𝑝 𝑥 : 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑥 𝑏𝑒𝑟𝑙𝑎𝑘𝑢 𝑝(𝑥)
𝑁𝑦𝑎𝑡𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑠𝑖 𝑘𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜𝑟
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ:
𝟏) 𝑝 𝑥 : 𝑥X+ 4 > 0
𝟐) 𝑞 𝑥 : 3𝑥 − 5 = 1
𝟑) 𝑟 𝑥 : 𝑥¬+ 8 > 0
∀𝑥, 𝑝 𝑥 : 𝑥X+ 4 > 0
∃𝑥, 𝑞 𝑥 : 3𝑥 − 5 = 1
∃𝑥, 𝑟 𝑥 : 𝑥¬+ 8 > 0
𝟒) 𝑠: 𝑝𝑟𝑖𝑎 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 ℎ𝑎𝑚𝑖𝑙 ∀, 𝑠: 𝑝𝑟𝑖𝑎 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 ℎ𝑎𝑚𝑖𝑙
𝑭𝟑. 𝑰𝑵𝑮𝑲𝑨𝑹𝑨𝑵𝑲𝑼𝑨𝑵𝑻𝑶𝑹
− ∀𝑥, 𝑝 𝑥 = ∃𝑥,−𝑝(𝑥)
− ∃𝑥, 𝑝 𝑥 = ∀𝑥,−𝑝(𝑥)
𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 “𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎”
𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ “𝑏𝑏𝑟𝑝 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘”
& 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑙𝑖𝑘𝑛𝑦𝑎
𝑼𝑲 𝟏. 𝟔 𝒉𝒂𝒍𝒎 𝟏𝟖
1𝑎)
2𝑎)
𝑛𝑒𝑔𝑎𝑠𝑖:
𝐵𝑒𝑛𝑎𝑟
2𝑏) 𝐵𝑒𝑛𝑎𝑟
2𝑐) 𝑆𝑎𝑙𝑎ℎ
2𝑑) 𝑆𝑎𝑙𝑎ℎ
𝑆𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑚𝑒𝑛𝑦𝑜𝑛𝑡𝑒𝑘𝑠𝑎𝑎𝑡 𝑢𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛
G. PENARIKAN KESIMPULAN𝑚𝑒𝑚𝑎𝑘𝑎𝑖 𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎 ” → ”
𝑴𝑶𝑫𝑼𝑺 𝑷𝑶𝑵𝑬𝑵𝑺
𝑝 → 𝑞𝑝
𝑞
𝑴. 𝑻𝑶𝑳𝑳𝑬𝑵𝑺
𝑝 → 𝑞−𝑞
−𝑝
𝑺𝑰𝑳𝑶𝑮𝑰𝑺𝑴𝑬
𝑝 → 𝑞𝑞 → 𝑟
𝑝 → 𝑟∴
𝑝 → 𝑞𝑝
𝑞
𝐶𝑒𝑘 𝑘𝑒𝑎𝑏𝑠𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑠
ditulis 𝑝 → 𝑞 ∧ 𝑝 → 𝑞
𝒑 𝒒𝐵 𝐵𝐵 S𝑆 𝐵𝑆 𝑆
𝒑 → 𝒒𝐵𝑺𝐵
𝑩𝑆
𝐵
(𝒑 → 𝒒) ∧ 𝒑
𝑆𝑆
𝑨𝑨 → 𝒒𝑩𝑩𝑩𝑩𝒔𝒂𝒉
𝟏) 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠 1: 𝐽𝑖𝑘𝑎 ℎ𝑢𝑗𝑎𝑛 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑟𝑢𝑚𝑝𝑢𝑡 𝑏𝑎𝑠𝑎ℎ
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ:
𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠 2: 𝑆𝑒𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔 ℎ𝑢𝑗𝑎𝑛
∴
𝑝 → 𝑞
𝑝
𝑟𝑢𝑚𝑝𝑢𝑡 𝑏𝑎𝑠𝑎ℎ
𝟐) 𝑃1: 𝑎 = 4 → 2𝑎 = 8
𝑃2: 2𝑎 ≠ 8
𝑎 ≠ 4∴
𝑝 → 𝑞−𝑞
−𝑝
𝟑) 𝑃1: 𝐽𝑖𝑘𝑎 ℎ𝑢𝑗𝑎𝑛 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑟𝑢𝑚𝑝𝑢𝑡 𝑏𝑎𝑠𝑎ℎ𝑝 → 𝑞
𝑃2: 𝐽𝑖𝑘𝑎 𝑟𝑢𝑚𝑝𝑢𝑡 𝑏𝑎𝑠𝑎ℎ 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑢𝑑𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑎𝑟𝒒 → 𝑟
∴ 𝐽𝑖𝑘𝑎 ℎ𝑢𝑗𝑎𝑛 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑢𝑑𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑎𝑟
𝟒) 𝑃1: 𝑚 = 3 → 𝑚X = 9
𝑃2: 𝑚 ≠ 3
∴ 𝑡𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑒𝑠𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑎𝑛
𝑹𝒖𝒎𝒖𝒔 𝒆𝒌𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒔𝒊:
𝑝 → 𝑞 = −𝑞 → −𝑝
𝑝 → 𝑞 = −𝑝 ∨ 𝑞
⇒ 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑠𝑖
𝑼𝑲 𝟏. 𝟕 𝒉𝒂𝒍𝒎 𝟐𝟏
1𝑎) 1𝑏) 1𝑐) 1𝑑) 1𝑒)
𝑝 → 𝑞−𝑞
−𝑞
𝑝 → 𝑞𝑞
𝑝
𝑝 → 𝑞−𝑞 ∨ 𝑟
𝑝 → 𝑟
𝑝 → 𝑞−𝑟 → −𝑞
−𝑝 ∨ 𝑟
𝑝 → 𝑞−𝑞
−𝑝
𝒕𝒊𝒅𝒂𝒌 𝒕𝒊𝒅𝒂𝒌 𝒔𝒂𝒉 𝒔𝒂𝒉 𝒔𝒂𝒉
2𝑎)
2𝑏)
2𝑐)
𝐽𝑖𝑘𝑎 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑜 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑖𝑘𝑖𝑛 𝑃𝑅 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑖ℎ𝑢𝑘𝑢𝑚 𝑑𝑖 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠
𝐷𝑖𝑛𝑖 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑟𝑢𝑙𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛
𝑡𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑒𝑠𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑎𝑛
H. BUKTI LANGSUNG & TAK LANGSUNG
𝑯𝟏.𝑩𝑼𝑲𝑻𝑰 𝑳𝑨𝑵𝑮𝑺𝑼𝑵𝑮
𝑝𝑎𝑘𝑎𝑖 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑠, 𝑡𝑜𝑙𝑙𝑒𝑛𝑠, 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑠𝑖𝑙𝑜𝑔𝑖𝑠𝑚𝑒
1) 𝐵𝑢𝑘𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 𝑏𝑖𝑙 𝒈𝒂𝒏𝒋𝒊𝒍 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥X 𝑏𝑖𝑙 𝒈𝒂𝒏𝒋𝒊𝒍
𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙 𝑝: 𝑥 𝑏𝑖𝑙. 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙𝑞: 𝑥X 𝑏𝑖𝑙. 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙
𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑖𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑝 → 𝑞 𝑩𝑬𝑵𝑨𝑹
𝑥 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 → 𝑥 = 2𝑘 + 1 ; 𝑘 ∈ 𝐶𝑎𝑐𝑎ℎ
𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥X = 4𝑘X + 4𝑘 + 1 = 2 2𝑘X + 2𝑘 + 1
= 2𝑚 + 1
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑚 = 2𝑘X + 2𝑘𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖 𝑥X 𝑏𝑖𝑙. 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙
𝑝 → 𝑞 𝑩𝑬𝑵𝑨𝑹
2) 𝐵𝑢𝑘𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑛𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑎𝑛 2 𝑏𝑖𝑙 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑏𝑖𝑙 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝
𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑏𝑖𝑙 𝑖𝑡𝑢 𝑚 = 2𝑝 + 1 & 𝑛 = 2𝑞 + 1
𝑚 + 𝑛 =
𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑚 + 𝑛 = 2𝑘 & 𝑘 = 𝑝 + 𝑞 + 1
2𝑝 + 1 + 2𝑞 + 1
= 2 𝑝 + 𝑞 + 1 = 2𝑘
𝑚𝑎𝑘𝑎 𝒕𝒆𝒓𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊 𝑚 + 𝑛 𝑏𝑖𝑙 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝
𝑝: 𝑥 𝑏𝑖𝑙 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙
1) 𝐵𝑢𝑘𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 𝑏𝑖𝑙 𝒈𝒂𝒏𝒋𝒊𝒍 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥X 𝑏𝑖𝑙 𝒈𝒂𝒏𝒋𝒊𝒍
𝑥 = 2𝑘 + 1
− 𝑝 → 𝑞 = 𝑝 ∧ −𝑞
𝑞: 𝑥X 𝑏𝑖𝑙 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 ,𝑚𝑎𝑘𝑎 − 𝒒: 𝑥X 𝑏𝑖𝑙 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝
𝑥X = 4𝑘X + 4𝑘 + 1 = 2 2𝑘X + 2𝑘 + 1 = 2𝑚 + 1
𝑡𝑎𝑚𝑝𝑎𝑘 𝑥X 𝑏𝑖𝑙. 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙, 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑘𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 − 𝒒𝑏𝑒𝑟𝑎𝑟𝑡𝑖 𝒕𝒆𝒓𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊 𝑥X 𝑏𝑖𝑙 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙
𝑯𝟐.𝑩𝑼𝑲𝑻𝑰 𝑻𝑨𝑲 𝑳𝑨𝑵𝑮𝑺𝑼𝑵𝑮
𝑎 − 𝑏 = 0
𝑐 𝑎 − 𝑏 = 0 →
𝑝: 𝑎 = 𝑏
𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 = 0 →
𝑞: 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐
𝑎𝑐 = 𝑏𝑐
𝒕𝒆𝒓𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊
𝑼𝑲 𝟏. 𝟖 𝒉𝒂𝒍𝒎 𝟐𝟒
1) 𝐵𝑢𝑘𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑔𝑛 𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖 𝑙𝑎𝑛𝑔𝑠𝑢𝑛𝑔:
𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 = 𝑏 & 𝑐 𝑏𝑖𝑙 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 ,𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐
I. INDUKSI MATEMATIKA
≫ 𝑛 = 𝑘 → 𝑃
≫ 𝑛 = 𝑘 + 1 → 𝑃 µ¶
≫ 𝑛 = 1 → 𝑃¶ 𝒃𝒆𝒏𝒂𝒓
𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑛𝑦𝑎𝑡𝑎𝑎𝑛 / 𝑟𝑢𝑚𝑢𝑠 𝑃·:
1) 𝐵𝑢𝑘𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑃· = 1 + 3 + 5 + 7+ . . . . . + 2𝑛 − 1 = 𝑛X
≫ 𝑛 = 1 → 𝑃¶ = 2 . 1 − 1 = 1 = 1X
≫ 𝑛 = 𝑘 → 𝑃 =
≫ 𝑛 = 𝒌 + 𝟏
1 + 3 + 5+ . . . . + 2𝑘 − 1 = 𝒌𝟐
1 + 3 + 5+ . . . . + 2𝑘 − 1 + [2 𝒌 + 𝟏 − 1]→ 𝑃𝒌µ𝟏=
= 𝒌𝟐 + 2𝑘 + 1
= 𝑘 + 1 X 𝒕𝒆𝒓𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊
(𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟)
2) 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≥ 4 𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑃· ∶ 2· ≥ 𝑛X
≫ 𝑛 = 4 → 𝑃 : 2¸ ≥ 4X
≫ 𝑛 = 𝑘 → 𝑃 :
≫ 𝑛 = 𝑘 + 1 → 𝑃 µ¶:
2´ ≥ 𝑘X
(𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟)
2´µ¶ ≥ (𝑘 + 1)X
2´µ¶ ≥ 2 . 2´ ≥ 2 . 𝒌𝟐 ≥
2´ = 𝒌𝟐2´ > 𝑘X
𝑘X + 𝑘X ≥
𝑘 ≥ 4 → 2´ ≥ 4𝑘
𝑘X + 4𝑘≥ 𝑘X + 2𝑘 + 2𝑘 ≥ 𝑘X + 2𝑘 + 8
𝑘 = 4 → 2𝑘 = 8≥ 𝑘X +2𝑘 + 1 ≥ 𝑘 + 1 X
𝒕𝒆𝒓𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊
𝟏𝒂) 1 + 2 + 3 + . . . . . + 𝑛 =12𝑛 (𝑛 + 1) → 𝑃·
≫ 𝑛 = 1 → 𝑃¶ =
≫ 𝑛 = 𝑘 → 𝑃 =
(𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟)1 =12 . 1 (1 + 1)
1 + 2 + 3 + . . . . . + 𝑘 =12𝑘 (𝑘 + 1)
≫ 𝑛 = 𝒌 + 𝟏 → 𝑃𝒌µ𝟏 = 1 + 2 + 3 + . . . . . + 𝑘 + 𝒌 + 𝟏
=12𝑘 (𝑘 + 1) + 𝒌 + 𝟏
𝑼𝑲 𝟏. 𝟗 𝒉𝒂𝒍𝒎 𝟑𝟎
≫ 𝑛 = 𝒌 + 𝟏 → 𝑃𝒌µ𝟏 =12𝑘 (𝑘 + 1) + 𝒌 + 𝟏
. . . . 𝒍𝒂𝒏𝒋𝒖𝒕𝒂𝒏
=12𝑘
X +12𝑘 +
𝟐𝒌𝟐 +
𝟐𝟐
=12 𝑘X + 3𝑘 + 2 =
=
12 (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
12(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟏 + 1)
𝒕𝒆𝒓𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊
12𝑘 (𝑘
+ 1)
𝟏𝒃) 2 + 4 + 6 + . . . . . + 2𝑛 = 𝑛X + 𝑛 → 𝑃·
≫ 𝑛 = 1 → 𝑃¶ =
≫ 𝑛 = 𝑘 → 𝑃 =
(𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟)2 . 1 = 1X + 1
2 + 4 + 6 + . . . . . + 2𝑘 = 𝒌𝟐 + 𝒌
≫ 𝑛 = 𝒌 + 𝟏 → 𝑃𝒌µ𝟏 = 2 + 4 + 6 + . . . . . + 2𝑘 + 𝟐(𝒌 + 𝟏)
= 𝒌𝟐 + 𝒌 + 2𝑘 + 2
= 𝑘X + 2𝑘 + 1 + 𝑘 + 1
= 𝒌 + 𝟏 X + 𝒌 + 𝟏 𝒕𝒆𝒓𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊𝒌𝟐 +
𝒌
𝟏𝒄) 𝑛 ≤ 2𝑛 − 1 ; 𝑛 ≥ 1 → 𝑃·≫ 𝑛 = 1 → 𝑃¶:
≫ 𝑛 = 𝑘 → 𝑃 :
(𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟)1 ≤ 2 . 1 − 1
𝑘 ≤ 2𝑘 − 1
≫ 𝑛 = 𝒌 + 𝟏 → 𝑃𝒌µ𝟏: 𝑘 + 1 ≤ 2(𝑘 + 1) − 1
𝒌 + 1 ≤
𝑘 < 2𝑘 − 1
𝒌 = 2𝑘 − 1
2𝑘 − 1 + 1 ≤2𝑘 ≤
≤ 2𝑘 + 1 𝒕𝒆𝒓𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊
𝟒) 2¶ + 2X + 2¬+ . . . . . + 2· = 2 2· − 1 → 𝑃·
≫ 𝑛 = 1 → 𝑃¶: (𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟)2¶ = 2 2¶ − 1
≫ 𝑛 = 𝑘 → 𝑃 : 2¶ + 2X + 2¬+ . . . . . + 2´ = 2 2´ − 1
≫ 𝑛 = 𝑘 + 1 → 𝑃 µ¶: 2¶ + 2X + 2¬+ . . . . . + 2´+ 2´µ¶
= 2 2´ − 1 + 2´µ¶
= 2 2´ − 1 + 2´µ¶
= 2¶ . 2´ − 2 + 2´µ¶
= 2´µ¶ + 2´µ¶ − 2
= 2 . 2´µ¶ − 2
= 2 2´µ¶ − 1𝒕𝒆𝒓𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊
𝟐 𝟐𝒌 − 𝟏
𝟖) 𝐽𝑖𝑘𝑎 𝑛 𝑏𝑖𝑙 𝑎𝑠𝑙𝑖 & 𝑛 ≥ 10 𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 2𝑛 > 𝑛¬ → 𝑃·
≫ 𝑛 = 10 → 𝑃¶»: (𝑠𝑎𝑙𝑎ℎ)2 . 10 > 10¬
𝒕𝒊𝒅𝒂𝒌 𝒕𝒆𝒓𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊
𝟏𝟎𝒂) 𝑛¬ + 2𝑛 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 3 ; 𝑛 ∈ 𝑏𝑖𝑙 𝑎𝑠𝑙𝑖
𝑘𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 3
≫ 𝑃¶:
≫ 𝑃 :
≫ 𝑃 µ¶:
→ 𝑃·
1¬ + 2 . 1 = 3 (𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟)
𝑘¬ + 2𝑘
𝑘 + 1 ¬ + 2(𝑘 + 1)
. . . . 𝑙𝑎𝑛𝑗𝑢𝑡𝑎𝑛 𝑃 µ¶: 𝑘 + 1 ¬ + 2(𝑘 + 1)
𝒌𝟑 +𝟐𝒌
= 𝒌𝟑 + 3𝑘X + 3𝑘 + 1 + 𝟐𝒌 + 2
= 𝒌𝟑 + 𝟐𝒌 + 3𝑘X + 3𝑘 + 3
= 𝒌𝟑 + 𝟐𝒌 + 𝟑 𝑘X + 𝑘 + 1
ℎ𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 𝟑 𝒕𝒆𝒓𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊
𝑱𝒂𝒘𝒂𝒃𝒂𝒏 𝑬𝒗𝒂𝒍𝒖𝒂𝒔𝒊 𝑩𝒂𝒃 𝟏 ℎ𝑎𝑙𝑚 31
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
𝐷
𝑆𝑆𝑆𝐵
𝐸
𝐶
𝐸
𝐸
𝐸
𝐷
𝐸
𝐵
𝐸
𝐶
𝐸
𝐶
𝐸
𝐶
𝐸
𝐹
𝐹. 𝐴𝑛𝑔𝑖𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑡𝑖𝑢𝑝 𝑘𝑒𝑛𝑐𝑎𝑛𝑔
𝐶
𝐷