bab 1 nilai eigen dan vektor eigen - … prak. tpd.pdf · gauss-jordan untuk mendapatkan solusi...

ii

“"Modul prak. TPD"” — 2017/7/10 — 9:18 — page 1 — #1 ii

ii

ii

Bab 1

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

1.1 Tujuan1. menghitung nilai eigen dan vektor eigen menggunakan fungsi

built-in di MATLAB

2. memeriksa sifat-sifat dari nilai eigen dan vektor eigen

1.2 Dasar TeoriPrasyarat:

1. Konsep dasar matriks dan sifat-sifat, determinan, reduksi barisdan penyelesaian sistem persamaan.

2. Konsep dasar untuk nilai eigen, vektor eigen dan diagonalisasi.

Definisi nilai eigen dan vektor eigenUntuk matriks Anxn, suatu bilangan real λ disebut nilai eigen darimatriks A jika terdapat sebuah vektor taknol x di Rn sedemikiansehingga Ax = λx. Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaiandengan nilai eigen λ . Persamaan Ax = λx ekuivalen dengan persamaan(A−λI)x = 0, sehingga semua yang berikut ini adalah ekuivalen:

1. λ adalah nilai eigen dari A.

2. (A−λI)x = 0 memiliki solusi tak trivial.

ii


ii

ii

1.2. Dasar Teori 2

3. A−λI adalah singular.

4. det(A−λI) = 0.

Vektor eigen untuk λ adalah solusi taknol x untuk persamaan(A − λI)x = 0. Vektor-vektor ini bersama-sama dengan vektor 0disebut ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Ekspresidet(A− λI) adalah suku banyak berderajat n disebut suku banyakkarakteristik dari A. Dengan sifat 4, nilai eigen adalah akar-akar daripersamaan karakteristik det(A−λI).

Menentukan nilai eigen dan vektor eigen dengan MATLAB:Di dalam MATLAB kita dapat menemukan suku banyak karakteristikdari matriks A dengan mengetikkan poly(A). Jika A adalah matriksberukuran n× n, poly(A) adalah vektor baris dengan n + 1 elemenyang merupakan koefisien-koefisien dari suku banyak karakteristik.Perintah roots(C) menghitung akar-akar dari suku banyak yang manakeofisiennya adalah elemen dari vekor C. Jadi, roots(poly(A)) akanmenghasilkan nilai eigen dari A dalam vektor kolom.

Untuk mendapatkan vektor eigen yang bersesuaian dengan setiapnilai eigen, kita perlu mencari solusi taknol x dari (A−λI)x = 0. Salahsatu cara yang dapat dilakukan di dalam MATLAB adalah denganmenggunakan fungsi rref(A− λI) dan kemudian gunakan eliminasiGauss-Jordan untuk mendapatkan solusi umumnya. Vektor eigen yangbesesuaian dengan nilai eigen tertentu adalah tidak unik.

Metode kedua untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen didalam MATLAB adalah dengan menggunakan fungsi eig. Untuk suatumatriks Anxn, eig(A) akan menghasilkan n× 1 vektor kolom dimanaelemen-elemennya adalah nilai eigen dari A. Perintah MATLAB dalambentuk [V D] = eig(A) menghitung vektor eigen dan nilai eigen dariA sekaligus. V adalah matriks dimana vektor-vektor kolomnya adalahvektor eigen dari matriks A dan D adalah matriks diagonal dimanaelemen-elemen pada diagonalnya adalah nilai eigen dari A. Kolom ke-idari V, V (:, i) adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigenD(i, i).

Diagonalisasi matriksSuatu matriks bujur sangkar dikatakan dapat didigonalisasi jka terdapatsebuah matriks C sedemikian sehingga C−1AC adalah matriks diagonal.

ii


ii

ii

1.3. Praktikum 3

Suatu teorema penting dalam aljabar linear menyatakan bahwa jikaA adalah matriks berukuran n× n maka A dapat didiagonalisasi jikadan hanya jika matriks tersebut memiliki n buah vektor eigen yangbebas linear. Matriks C yang memuat n buah vektor eigen yangbebas linear dapat digunakan dengan cara serupa pada C−1AC untukmemperoleh matriks diagonal D, yang mana akan memuat nilai eigenpada diagonalnya.

Di dalam MATLAB, kita dapat menentukan apakah suatu matriksA dapat didiagonalisasi dengab menggunakan perintah [V D] = eig(A).Selanjutnya jika rank(V) adalah n, maka n kolom dari V adalah bebaslinear sehingga matriks A dapat didiagonalisasi dan matriks diagonalnyaadalah D =V−1AV .

1.3 PraktikumBerikut ini adalah sesi MATLAB untuk menentukan nilai eigen danvektor eigen untuk matriks 3 2 −2

−3 −1 31 2 0

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Memasukkan elemen-elemen matriks A

>> A = [3 2 -2; -3 -1 3; 1 2 0]A =

3 2 -2-3 -1 31 2 0

2. Menghitung akar-akar dari persamaan karakteristik det(A−λI) = 0

>> roots(poly(A))ans =

-1.00002.00001.0000

3. Gunakan fungsi rref untuk mendapatkan solusi (A−2I)x = 0

ii


ii

ii

1.3. Praktikum 4

>> rref(A-2*eye(3))ans =

1 0 00 1 -10 0 0

4. Gunakan fungsi rref untuk mendapatkan solusi (A−1I)x = 0

>> rref(A-1*eye(3))ans =

1 0 -10 1 00 0 0

5. Gunakan fungsi rref untuk mendapatkan solusi (A− (−1)I)x = 0

>> rref(A-(-1)*eye(3))ans =

1 0 -10 1 10 0 0

Selanjutnya akan dicari solusi umum masing-masing (A− λI)x = 0.Bentuk eselon baris tereduksi untuk A− 2I memberikan solusi umum

untuk (A− 2I)x = 0 yaitu x =

0rr

= r

011

, yang merupakan

vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ = 2.Dengan cara yang sama, dapat ditentukan juga vektor-vektor eigen

s

101

yang bersesuaian dengan nilai eigen λ = 1 dan t

1−11

yang bersesuaian dengan nilai eigen λ =−1.

Menghitung nilai eigen dengan menggunakan fungsi eig

>> eig(A)ans =

-1.00001.00002.0000

ii


ii

ii

1.4. Latihan 5

Bentuk ini memberikan vektor eigen dalam V dan nilai eigen dalammatriks D. Kolom dari V adalah vektor eigen dengan norma 1.

>> [V D]=eig(A)V =

-0.5774 0.7071 0.00000.5774 0.0000 0.7071-0.5774 0.7071 0.7071

D =-1.0000 0 0

0 1.0000 00 0 2.0000

1.4 LatihanTentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks

1.

6.5 7 10.5−6 −9 181.5 3 7.5

2.

3 −2 02 −2 00 1 1

3.

0 14 0 0 0 0 0 0 0

14 0 1

414 0 0 0 0 0

0 14 0 0 1

4 0 0 0 00 1

4 0 0 14 0 1

4 0 00 0 1

414 0 1

4 0 14 0

0 0 0 0 14 0 0 0 1

40 0 0 1

4 0 0 0 14 0

0 0 0 0 14 0 1

4 0 14

0 0 0 0 0 14 0 1

414

ii


ii

ii

Bab 2

Sistem Persamaan Diferensial

2.1 Tujuan1. menyelesaikan sistem persamaan linier dengan koefisien konstan-

ta real dengan MATLAB


1. Sistem persamaan diferensial dan penelesaiannya.

2. Konsep nilai eigen, vektor eigen dan aplikasinya dalam menyele-saikan sistem persamaan diferensial linier.

Sistem persamaan diferensial orde pertamaPerhatikan bentuk umum sistem persamaan diferensial orde pertama

x′1 = F1(t,x1,x2, · · · ,xn)

x′2 = F2(t,x1,x2, · · · ,xn)... =

...x′n = Fn(t,x1,x2, · · · ,xn)

ii


ii

ii

2.2. Dasar Teori 7

Sistem di atas banyak muncul dalam aplikasi antara lain dalamstudi sistem massa pegas. Sistem persamaan diferensial orde pertamajuga muncul dalam studi persamaan diferensial tingkat tinggi. Suatupersamaan diferensial tingkat tinggi

y(n) = F(t,y,y′,y′′, · · · ,y(n−1))

dapat dirubah menjadi sistem persamaan diferensial orde pertamadengan memisalkan

x1 = y, x2 = y′, · · · ,xn = y(n−1).

Sistem yang diperoleh adalah

x′1 = x2

x′2 = x3... =

...x′n−1 = xn

x′n = F(t,x1,x2, · · · ,xn)

Sistem persamaan diferensial linier orde pertamaPerhatikan sistem linier

x′1 = a11(t)x1 + a12(t)x2 + · · · + a1n(t)xn + b1(t)

x′2 = a21(t)x1 + a22(t)x2 + · · · + a2n(t)xn + b2(t)...

x′n = an1(t)x1 + an2(t)x2 + · · · + ann(t)xn + bn(t)

Kita dapat tuliskan sistem di atas dengan notasi matriks

X′= A(t)X+B(t),

dimana

X(t) =

x1(t)x2(t)

...xn(t)

B(t) =

b1(t)b2(t)

...bn(t)

ii


ii

ii

2.2. Dasar Teori 8

dan

A(t) =

a11(t) a12(t) · · · a1n(t)...

... . . . ...an1(t) an2(t) · · · ann(t)

Jika X(1),X(2), · · · ,X(n) adalah solusi-solusi fundamental yang be-

bas linier maka dari sistem homogen (B=0), maka solusi umum sistemhomogen adalah

X =

n∑i=1

CiX(i).

Jika Xp adalah solusi khususnya maka solusi umum dari sistem adalah

X =n∑

i=1

CiX(i)+Xp.

Selanjutnya, perhatikan sistem linier homogen

X′= AX (2.1)

dimana

A =

a11 a12 · · · a1n...

... . . . ...an1 an2 · · · ann

adalah matriks berukuran n× n dengan antri-entri konstanta real. Kitaakan mencari solusi taknol dalam bentuk X(t) = ξert . Kita temukanbahwa X(t) adalah solusi dari (2.1) jika dan hanya jika

Aξ = rξ,

yaitu jika dan hanya jika r adalah nilai eigen dari A dan ξ adalah vektoreigen yang bersesuaian dengan r.

Dalam mencari himpunan solusi fundamental, kita harus memper-hatikan tiga kasus yang mungkin terjadi.Kasus I: A memiliki nilai eigen real yang berbeda.Misalkan r1,r2, · · · ,rn adalah nilai-nilai eigen yang berbeda dari A danξ(1),ξ(2), · · · ,ξ(n) adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan

ii


ii

ii

2.2. Dasar Teori 9

nilai eigen, maka

X(1)(t) = ξ(1)er1t , · · · ,X(n)(t) = ξ

(n)ernt

adalah himpunan solusi fundamental dari sistem (2.1), dan solusiumumnya adalah

X(t) = c1ξ(1)er1t + · · ·+ cnξ

(1)er1t .

Kasus II: A memiliki nilai eigen yang berbeda tetapi beberapaadalah bilangan kompleks.Andaikan r bilangan kompleks dan ξ adalah vektor eigen denganentri-entri bilangan kompleks. Jika X(1)(t) = ξert adalah solusi makakonjugetnya yaitu X(2)(t) = ξert juga merupakan solusi. Jadi kita dapatmenemukan dua solusi sistem (2.1) yang bersesuaian dengan r dan rdengan mengambil bagian real dan imajiner dari X(1)(t) atau X(2)(t).Dengan menuliskan ξ = a+ ib dimana a dan b adalah bilangan real,dan r = λ+ iµ dimana λ dan µ adalah bilangan real maka diperoleh

X(1)(t) = (a+ ib)e(λ+iµ)t

= (a+ ib)ert(cosλt + isinµt)= ert(acosµt−bsinµt)+ iert(asinµt +bcosµt)

Jadi fungsi-fungsi vektor

u(t) = ert(acosµt−bsinµt)v(t) = ert(asinµt +bcosµt)

adalah solusi-solusi real untuk sistem (2.1).Kasus III: A memiliki nilai eigen real yang berulang.

Kita batasi untuk pengulangan dua kali. Andaikan r = ρ dengan pengu-langan dua kali. Akan terdapat dua kemungkinan dalam menemukanvektor eigen yang bersesuaian dengan ρ. Jika kita dapat menemukandua vektor eigen ξ(1) dan ξ(2) yang bersesuaian dengan rho bebaslinier maka solusi X(1)(t) = ξ(1)eρt dan X(2)(t) = ξ(2)eρt membentukhimpunan solusi fundamental. Jika kita hanya dapat menemukan hanyasatu vektor eigen ξ yang bebas linier yang bersesuaian dengan ρ maka

ii


ii

ii

2.3. Praktikum 10

solusi fundamental sistem (2.1) diberikan oleh

X(1)(t) = ξeρt

danX(2)(t) = ξteρt +ηeρt ,

dimana η memenuhi(A−ρI)η = ξ.

Vektor η disebut generalisasi vektor eigen dari A untuk nilai eigen ρ.

2.3 PraktikumBerikut ini adalah sesi MATLAB untuk menentukan solusi umumsistem persamaan diferensial linier orde pertama.

Contoh 1.Perhatikan sistem

x′=

3 −2 02 −2 00 1 1

x (2.2)

1. Kita akan masukkan entri-entri matriks ke MATLAB.

>> A=[3 -2 0; 2 -2 0; 0 1 1]A =

3 -2 02 -2 00 1 1

2. Mencari nilai eigen dan vektor eigen dengan perintah:

>> [V D]=eig(sym(A))

V =[ -1, 0, 2][ -2, 0, 1][ 1, 1, 1]

D =[ -1, 0, 0]

ii


ii

ii

2.3. Praktikum 11

[ 0, 1, 0][ 0, 0, 2]

Bandingkan dengan perintah

>> [V D]=eig(A)

Output kedua dari matriks D memuat nilai eigen −1,1,2 padadiagonalnya. Untuk setiap nilai eigen, bersesuaian dengan kolom padamatriks V adalah vektor eigennya. Jadi kita peroleh pasangan nilaieigen dan vektor eigennya yaitu:

r1 =−1, ξ(1) =

−1−21

,

r2 = 1, ξ(2) =

001

,

r3 = 2, ξ(3) =

211

.

3. Himpunan solusi fundamentalnya adalah

X(1)(t) =

−1−21

e−t , X(2)(t) =

001

et , X(3)(t) =

221

e2t .

Solusi umum sistem (2.2) adalah

x(t) = c1

−1−21

e−t + c2

001

et + c3

221

e2t .

4. Andaikan sistem (2.2) adalah masalah nilai awal dengan nilai awal

x(0) =

350

.

ii


ii

ii

2.4. Latihan 12

Maka konstanta c1,c2 dan c3 harus memenuhi

c1

−1−21

+c2

001

+c3

221

=

−1 0 2−2 0 21 1 1

c1c2c3

=

350

Selesaikan sistem di atas untuk memperoleh c1,c2 dan c3.

>> b=[3; 5; 0]b =

350

>> c=V\bc =-7/3

21/3

Jadi diperoleh c1 = −7/3, c2 = 2 dan c3 = 1/3, sehingga solusimasalah nilai awal sistem (2.2) adalah

x(t) =−73

−1−21

e−t +2

001

et +13

221

e2t .

2.4 LatihanTentukan solusi umum sistem persamaan diferensial linier orde pertamaberikut ini:

1. x′ =(

3 −24 −1

)x

2. x′ =(

3 −41 −1

)x

ii


ii

ii

2.4. Latihan 13

3. Cari solusi umum dari sistem

x′1 = 15x1 − 6x2 − 18x3 − 6x4

x′2 = −4x1 + 5x2 + 8x3 + 4x4

x′3 = 12x1 − 6x2 − 15x3 − 6x4

x′4 = 4x1 − 2x2 − 8x3 − x4

ii


ii

ii

Bab 3

Persamaan Differensial OrdePertama

3.1 Tujuan1. menggambar medan arah dari suatu persamaan differensial

2. menentukan titik tetap, solusi tetap dan plot kurvanya


1. Konsep dasar persamaan differensial orde pertama

2. Konsep dasar medan arah, titik tetap dan solusi tetap

3.2.1 Medan arahPersamaan differensial orde pertama memiliki bentuk

x′= f (t,x).

Untuk menyelesaikan persamaan ini kita harus menemukan fungsi x(t)sedemikian sehingga

x′(t) = f (t,x(t)), untuk semua t.

ii


ii

ii

3.2. Dasar Teori 15

Hal ini berarti pada setiap titik (t,x(t)) pada grafik x, grafik harusmemiliki gradien f (t,x(t)). Jadi pada setiap titik (t,x), bilangan f (t,x)menyatakan gradien dari kurva solusi yang melalui titik ini. Kitamenarik ruas garis pada setiap titik (t,x) dengan gradien f (t,x). Koleksidari ruas garis ini disebut garis medan arah (direction line field).

3.2.2 Fungsi dfield7Fungsi dfield7 adalah suatu tool interaktif untuk mempelajari persama-an differensial orde pertama. Fungsi dfield7 ditulis oleh John C. Polkingdari Rice University. Ketika fungsi dfield7 dieksekusi, dfield7 akanmembuka sebuah window dimana user dapat memasukkan persamaandifferensial, parameter dan nilai-nilainya serta pengaturan tampilangambar yang dihasilkan. Selain itu juga terdapat pilihan menu yangmemungkinkan user merubah beberapa parameter.

Fungsi dfield7 mengharuskan input persamaan differensial dalambentuk normal (normal form) yaitu turunan dari fungsi dinyatakansebagai fungsi dari variabel bebas dan variabel takbebas. Fungsi dfield7juga menerima input dalam bentuk persamaan differensial dengan nilaiawal (atau disebut masalah nilai awal (initial value problem))

x′= f (t,x), x(t0) = x0.

3.2.3 Titik tetap dan solusi tetapPerhatikan masalah nilai awal

x′= f (t,x), x(t0) = x0.

dimana fungsi f (t,x) = f (x) dikatakan dalam bentuk autonomous yaitutidak bergantung pada variabel t. Suatu solusi dalam bentuk x(t) = cdisebut solusi tetap (equilibrium solution) dan titik x = c disebut titiktetap (equilibrium point). Solusi dari masalah nilai awal adakalanyakonvergen menuju ke solusi tetap tetapi adakalanya divergen dari solusitetap. Definisi berikut memberikan kestabilan dari titik tetap.

Definisi 3.1 Andaikan x(t) = c adalah solusi tetap. Jika semua kurvasolusi x(t) yang dimulai cukup dekat dengan x = c sedemikian sehingga

ii


ii

ii

3.3. Praktikum 16

limt→∞ x(t) = c kita katakan x = c adalah stabil tetap (stable equilibri-um).

Definisi 3.2 Andaikan x(t) = c adalah solusi tetap. Jika semua kurvasolusi x(t) yang dimulai cukup dekat dengan x = c sedemikian sehinggax(t) divergen dari c kita katakan x = c adalah takstabil tetap (unstableequilibrium).

3.3 PraktikumUntuk menggunakan fungsi dfield7 ketikkan dfield7 pada prompt MAT-LAB. Selanjutnya MATLAB akan menampilkan window seperti berikutini.

Gambar: Tampilan window pertama dari fungsi dfield7

Perhatikan bahwa persamaan x′= x2− t (default) telah dimasukkan di

dalam edit box dengan judul "The differential equation". Juga terdapatedit box untuk variabel bebas dan beberapa parameter termasuk batasandisplay masing-masing. Di bagian bawahnya terdapat tiga buah buttonyang diberi label dengan "Quit", "Revert", dan "Proceed".

Selanjutnya tekan button "Proceed" maka beberapa detik kemudianakan muncul window berikut yang merupakan medan arah dari persa-maan differensial.

ii


ii

ii

3.3. Praktikum 17

Gambar: Tampilan medan arah dari x′= x2− t

Selanjutnya tempatkan kursor pada suatu titik pada tampilan medanarah, katakan titik (t0,x0) lalu klik kiri maka akan terbentuk sebuahkurva. Kurva ini adalah kurva solusi untuk masalah nilai awal dari x

′=

x2− t, x(t0) = x0. Perhatikan gambar berikut.

Gambar: Solusi dari x′= x2− t, x(t0) = x0

Selanjutnya coba klik di beberapa titik lainnya, maka kita mempe-roleh sustu famili dari masalah nilai awal x

′= x2− t, x(t0) = x0.

ii


ii

ii

3.3. Praktikum 18

Gambar: Beberapa solusi dari x′= x2− t, x(t0) = x0

Kita dapat merubah tampilan gambar dengan merubah beberapa pa-rameter melalui menu. Sebagai contoh, jika ingin tampilan medan arahdari bentuk garis menjadi panah, pada menu Options pilih Windowsettings. lalu klik radio button Arrows maka tampilan medan arah akanmenjadi seperti berikut ini.

Gambar: Tampilan medan arah dari x′= x2− t dalam bentuk panah

Selanjutnya, kita akan mencoba menganalisa secara kualitatif arahuntuk model populasi. Misalkan P(t) menyatakan populasi bakteri pada

ii


ii

ii

3.3. Praktikum 19

waktu t (diukur dalam juta). Andaikan model untuk P dalam persamaandifferensial adalah

dPdt

= rP(1−P/K).

Misalkan diambil nilai untuk parameter r = 0.5 dan K = 10 sertapopulasi pada t0 = 0 adalah P(0) = 1. Bagaimana kondisi populasiuntuk waktu yang cukup lama?

Untuk menganalisa model tersebut, pertama kita coba gambarkanmedan arah untuk persamaan differensial tersebut. Masukkan persama-an differensial, parameter beserta niilai-nilainya pada masing-masingkotak edit di window dfield7. Tekan button Proceed, maka akanditampilkan medan arah seperti berikut.

Gambar: Tampilan medan arah dari P′ = rP(1−P/K)

Dengan membuat beberapa solusi untuk nilai awal yang berbeda,kita dapat lihat bahwa untuk semua P > 0, solusinya akan menuju 10bila t meningkat. Hal ini sebenarnya mudah untuk dianalisis yaitudengan memperhatikan sisi kanan dari persamaan yang merupakanbentuk kuadratik dalam P. P akan meningkat dalam selang 0 < K < 10.

Dari hasil plot grafik, kita dapat simpulkan bahwa P = 10 adalahtitik tatap dari persamaan differensial dan solusi x(t) = 10 adalah stabilttetap. Berikut ini adalah beberapa solusi dari persamaan differensialuntuk model populasi.

ii


ii

ii

3.4. Latihan 20

Gambar: Beberapa solusi dari P′ = rP(1−P/K).

3.4 LatihanGambarkan beberapa solusi dari persamaan differensial berikut

1. y′= y2− y−6

2. y′= (y2−4)(y+1)2

3. y′= y2− t2

4. y′= 2ty/(1+ y2)

5. x′+ xsin t = cos t

ii


ii

ii

Bab 4

Penyelesaian PersamaanDifferensial

4.1 Tujuan1. menyelesaiakan persamaan differensial secara eksplisit menggu-

nakan fungsi built-in di MATLAB

2. menyelesaiakan persamaan differensial secara numerik menggu-nakan fungsi built-in di MATLAB


1. Penyelesaian umum persamaan differensial

2. Masalah nilai awal persamaan differensial

4.2.1 Solusi eksplisit persamaan differensialMATLAB memiliki fungsi library yang dapat digunakan untuk mencarisolusi umum atau solusi eksplisit dari persamaan differensial. Fungsitersebut adalah dsolve(). Fungsi dsolve(’pers1’,’pers2’, ...) mene-rima input persamaan simbolik yang merepresentasikan persamaandifferensial dan kondisi awal. Beberapa persamaan atau kondisi awal

ii


ii

ii

4.2. Dasar Teori 22

dapat dikelompokkan secara bersama-sama dalam input tunggal padaargumennya dengan cara dipisahkan oleh koma.

Secara default, variabel bebasnya adalah ′t ′. Variabel bebas dapatdiubah dari ′t ′ menjadi variabel lainnya dengan memasukkan variabeltersebut sebagai input terakhir pada argumennya. Huruf ′D′ menyatakanoperator differensial yaitu pendifferensialan terhadap variabel bebasnya(d/dt). Huruf ′D′ yang di ikuti oleh sebuah angka menyatakan pe-ngulangan pendifferensialan. Sebagai contoh, D2 menyatakan d2/dt2.Sebarang karakter setelah operator differensial ini dianggap sebagaivariabel tak bebas. Sebagai contoh, D3y menyatakan turunan ketigadari y(t). Jadi perlu diperhatikan bahwa nama variabel pada inputargumennya tidak boleh memuat huruf "D". Pada masalah nilai awal,kondisi awal seperti ′y(a) = b′ ditulis sebagai ′Dy(a) = b′ dimana yadalah variabel bebas dan a dan b adalah konstanta.

Fungsi dsolve() dapat digunakan untuk menyelesaikan hampir se-mua persamaan differensial yang dapat diselesaikan dengan metodestandar seperti yang dipelajari pada perkuliahan persamaan differensiabiasa, baik berbentuk linier maupun nonlinier. Argumen dari dsolvedapat berupa persamaan differensial orde pertama, orde kedua maupunorde n serta dalam bentuk sistem persamaan differensial.

4.2.2 Solusi numerik persamaan differensialKetika kita tidak dapat menemukan solusi eksplisit dari persamaandifferensial, sebagai alternatifnya kita dapat menggunakan metodenumerik. Dengan metode numerik kita hanya dapat menyelesaikanpersamaan differensial dengan nilai awal (masalah nilai awal). Hal inimirip seperti pada kalkulus dimana jika kita tidak dapat menemukanantiturunan dalam bentuk fungsi elementer lalu beralih ke penyelesaiannumerik untuk integral tertentu.

MATLAB memiliki sejumlah tool untuk menyelesaikan secaranumerik persamaan differensial, seperti ode23, ode45, ode113, ode15s,ode23s, ode23t, ode23tb dan ode15i. Sekarang kita akan fokus padafungsi built-in ode45, yaitu suatu fungsi yang mana mengimplementa-sikan metode Runge-Kutta orde 4 dan 5.

Fungsi ode45 adalah suatu fungsi untuk menyelesaiakan persamaandifferensial non-stiff dengan order medium. Format penggunaannyaadalah

ii


ii

ii

4.3. Praktikum 23

[t,x]=ode45(fungsi,domain,kondisi awal).Fungsi ode45 menghasilkan dua vektor kolom, pertama dengan nilait (variabel bebas) dan yang kedua dengan nilai y (variabel tak bebas).Karena t dan y adalah vektor dimana komponen-komponennya salingterkait, kita dapat memplotkannya dengan perintah plot(x,y).

4.3 Praktikum

4.3.1 Penyelesaian secara eksplisitPersamaan differensial orde pertamaPerhatikan persamaan differensial orde pertama

x = tx. (4.1)

Dengan menggunakan fungsi dsolve(), diperoleh solusi umum persa-maan differensial

>> x=dsolve(’Dx=t*x’,’t’)x =C1*exp(t^2/2)

Jika persamaan (4.1) adalah masalah nilai awal, katakan nilaiawalnya adalah x(1) = 1, maka solusinya dapat dicari dengan perintah

>> x=dsolve(’Dx=t*x’,’x(1)=1’,’t’)x =exp(t^2/2)/exp(1)^(1/2)

Jika kita ingin menggambarkan kurva solusi masalah nilai awal,dapat kita lakukan dengan perintah-perintah berikut:

>> t = linspace(-2*PI,2*PI,50);>> xt = eval(vectorize(x));>> plot(t,xt)

atau secara sederhana menggunakan perintah

>> ezplot(x)

Berikut ini adalah gambar kurva dari persamaan differensial di atas.

ii


ii

ii

4.3. Praktikum 24

Kurva plot(t,xt)

Kurva ezplot(x)

Gambar: Kurva untuk masalah nilai awal x = tx x(1) = 1

Persamaan differensial orde dua atau lebihAndaikan kita ingin menyelesaikan dan memplot solusi dari persamaandifferensial orde dua berikut ini

y′′(x)+8y′(x)+2y(x) = cos(x); y(0) = 0,y′(0) = 1. (4.2)

Dengan mengetikkan perintah-perintah berikut, diperoleh solusi danplot kurva solusinya.

>> pd=’D2y + 8*Dy + 2*y = cos(x)’;>> nil=’y(0)=0, Dy(0)=1’;>> y=dsolve(pd,nil,’x’)y =(14^(1/2)*exp(4*x - 14^(1/2)*x)*exp(x*(14^(1/2) - 4))

*(sin(x) - cos(x)*(14^(1/2) - 4)))/(28*((14^(1/2) - 4)^2 + 1))- (98*14^(1/2)+ 378)/(exp(x*(14^(1/2) + 4))*(868*14^(1/2)+ 3136)) - (14^(1/2)*exp(4*x + 14^(1/2)*x)*(sin(x)+ cos(x)*(14^(1/2) + 4)))/(28*exp(x*(14^(1/2) + 4))*((14^(1/2)+ 4)^2 + 1))- (exp(x*(14^(1/2) - 4))*(98*14^(1/2) - 378))

ii


ii

ii

4.3. Praktikum 25

/(868*14^(1/2) - 3136)

>> ezplot(y)

Kurva solusinya adalah

Gambar: Kurva untuk masalah nilai awaly′′(x)+8y′(x)+2y(x) = cos(x); y(0) = 0,y′(0) = 1.

Sistem Persamaan differensialAndaikan kita ingin menyelesaikan dan memplot solusi dari sistem tigapersamaan differensial berikut ini

x′(t) = x(t) + 2y(t) − 5z(t)y′(t) = x(t) + z(t)z′(t) = 4x(t) − 4y(t) + 5z(t)

(4.3)

Pertama sekali kita dapat menemukan solusi umum dengan carasebagai beikut

>> [x,y,z]=dsolve(’Dx=x+2*y-z’,’Dy=x+z’,’Dz=4*x-4*y+z’)x =- (C1*exp(t))/2 - (C2*exp(2*t))/2 - (C3*exp(3*t))/4y =(C1*exp(t))/2 + (C2*exp(2*t))/4 + (C3*exp(3*t))/4

ii


ii

ii

4.3. Praktikum 26

z =C1*exp(t) + C2*exp(2*t) + C3*exp(3*t)

Jika sistem (4.3) adalah masalah nilai nilai awal dengan nilaiawalnya adalah x(0) = 1, y(0) = 2 z(0) = 3 maka solusinya adalah

>> [x,y,z]=dsolve(’Dx=x+2*y-z’,’Dy=x+z’,’Dz=4*x-4*y+5*z’,’x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3’)

x =6*exp(2*t) - (5*exp(3*t))/2 - (5*exp(t))/2y =(5*exp(3*t))/2 - 3*exp(2*t) + (5*exp(t))/2z =10*exp(3*t) - 12*exp(2*t) + 5*exp(t)

Akhirnya, memplotkan solusi ini dapat dilakukan dengan

>> t=linspace(0,1,25);>> xx=eval(vectorize(x));>> yy=eval(vectorize(y));>> zz=eval(vectorize(z));>> plot(t,xx,t,yy,t,zz)

Kurva solusinya adalah

Gambar: Kurva solusi untuk sistem

ii


ii

ii

4.3. Praktikum 27

4.3.2 Penyelesaian secara numerikMenggunakan fungsi inlineAndaikan kita ingin menyelesaikan persamaan differensial orde perta-ma

dydx

= xy2 + y; y(0) = 1 (4.4)

pada interval x ∈ [0,0.5].Untuk sebarang persamaan differensial dalam bentuk y′ = f (x,y),

kita dapat mulai dengan mendefinisikan fungsi f (x,y). Untuk persama-an tunggal, kita dapat definisikan f (x,y) sebagai sebuah fungsi inline.indexfungsi!inline

>> f=inline(’x*y^2+y’)f =

Inline function:f(x,y) = x*y^2+y

>> [x,y]=ode45(f,[0 0.6],1);>> plot(x,y)

Fungsi ode45 menghasilkan dua vektor kolom, pertama dengan nilait (variabel bebas) dan yang kedua dengan nilai y (variabel tak bebas).Karena t dan y adalah vektor dimana komponen-komponennya salingterkait, kita dapat memplotkannya dengan perintah plot(x,y). Berikutplot untuk masalah nilai awal (4.4).

Gambar: Kurva untuk masalah nilai awal dydx = xy2 + y; y(0) = 1

ii


ii

ii

4.4. Latihan 28

Menggunakan M-fileAlternatif lain untuk menyelesaikan masalah nilai awal (4.4) adalahdengan mendefinisikan f (x,y) sebagai fungsi M-file fode.m.

function fsode = fode(x,y)fsode=x*y^2+y;

Pada kasus ini, kita hanya perlu merubah perintah ode45 denganmenambahkan pointer @ untuk mengidikasikan M-file.

[x,y]=ode45(@fode,[0 0.6],1);>> plot(x,y)

4.4 Latihan1. Cari solusi dari persamaan differensial berikut dan plotkan solu-

sinya

(a) y′=−2y+2cos t sin t; y(0) = 5.

Coba juga untuk nilai awal y(0) =−5,y(0) = 0.

(b) y′+4y = 2cos t + sin4t; y(0) = 5.

Coba juga untuk nilai awal y(0) =−5,y(0) = 0.

(c) y′+4y = t2; y(0) = 0.

(d) x′= cos t− x3; x(0) = 0.

(e) x′+ x+ x3 = cos2 t; y(0) = 0.

(f) yy′′− (y

′)2− y2 = 0; y(0) = 1, ;y

′(0) =−1.

2. Cari solusi dari sistem persamaan differensial berikut dan plotkansolusinya

(a) x′1 = x2 dan x

′2 = (1−x2

1)x2−x1, dengan x1(0) = 0,x2(0) =0 pada interval [0, 10].

(b) x′1 = x2 dan x

′2 =−25x1+2sin4t, dengan x1(0)= 0,x2(0)=

2 pada interval [0, 2π].

(c) x′1 =(x2+x1/5)(1−x2

1) dan x′2 =−x1(1−x2

2), dengan x1(0)=0.8, x2(0) = 0 pada interval [0, 30].

ii


ii

ii

Bab 5

Potret Phase

5.1 Tujuan1. menggambar potret fase dari suatu sistem persamaan differensial

2. menganalisa kestabilan dari titik kritis pada bidang fase


1. Penyelesaian umum sistem persamaan differensial

2. Potret fase dari sistem persamaan differensial

5.2.1 Sistem autonomousSuatu sistem persamaan differensiaql berbentuk

x′

= f (t,x,y)y′

= g(t,x,y)(5.1)

dimana variabel bebas t biasanya menyatakan waktu disebut sistemplanar (planar system). Jika fungsi-fungsi f dan g bebas dari waktu tyaitu tidak secara eksplisit melibatkan t maka sistem (5.1) dapat ditulis

ii


ii

ii

5.2. Dasar Teori 30

menjadix′

= f (x,y)y′

= g(x,y)(5.2)

Suatu sistem berbentuk (5.2) disebut sistem otonomus (autonomoussystem)

Sistem (5.1) dapat ditulis sebagai persamaan vektor[xy

]′=

[x′

y′

]=

[f (t, [x,y]T )g(t, [x,y]T )

]. (5.3)

Jika kita misalkan x = [x,y]T , maka x′ = [x′,y′]T dan sistem (5.3) dapatditulis menjadi

x′ =[

f (t,x)g(t,x)

]. (5.4)

Kemudian jika kita definisikan F(t,x) = [ f (t,x),g(t,x)]T maka persa-maan (5.4) menjadi

x′ = F(t,x) (5.5)

Jika sistem adalah otonomus maka persamaan (5.5) dapat ditulis sebagai

x′ = F(x) (5.6)

Jadi, untuk sistem otonomus medan vektor yang sama merepresentasik-an semua vektor tangen yang mungkin untuk kurva-kurva solusi untuksemua nilai t.

5.2.2 Potret faseSolusi dari sistem (5.1) dapat diplot dalam suatu bidang xy. Titik(x(t),y(t)) untuk t ∈ I menelusuri sebuah kurva yang disebut trayektoriatau orbit dari penyelesaian (5.1) di bidang fase. Pasangan (x,y)disebut fase dari sistem dan bidang xy disebut bidang fase. Gambar darisemua trayektori dari suatu sistem disebut potret fase (phase potrait)dari sistem.

Karena medan arah pada sistem (5.1) berubah bilamana t berubah,mengakibatkan sistem menjadi sulit untuk divisualisasi sehingga men-jadi tidak terlalu berguna. Sekarang kita perhatikan sistem taklinier

ii


ii

ii

5.3. Praktikum 31

otonomus berbentuk

x′ = ax+by+F(x,y), y′ = cx+dy+G(x,y) (5.7)

Potret fase dari sistem (5.7) hampir seluruhnya tergantung pada akar-akar dari persamaan karakteristik dari matriks[

a bc d

].

Teorema berikut memberikan sifat-sifat dari sistem (5.7) untuk titikkritis (0,0).

Teorema 5.1 Titik kritis (0,0) dari sistem (5.7) merupakan

1. sebuah simpul jika λ1 dan λ2 real, berbeda dan bertanda sama;

2. sebuah pelana jika λ1 dan λ2 real dan berlawanan tanda;

3. sebuah fokus jika λ1 dan λ2 kompleks sekawan tetapi bukanimajiner murni;

4. sebuah fokus atau pusat jika λ1 dan λ2 imajiner sejati.

5.2.3 Fungsi pplane7Fungsi pplane7 adalah suatu tool interaktif untuk mempelajari sistemotonomus planar dari persamaan differensial. Ketika fungsi pplane7dieksekusi, sebuah window setup pplane7 dibuka. User dapat mema-sukkan persamaan differensial, parameter, jenis medan arah dan ukurantampilan display gambar. Sama seperti fungsi dfield7, fungsi pplane7juga ditulis oleh John C. Polking dari Rice University.

5.3 PraktikumUntuk menggunakan fungsi pplane7, ketikkan pplane7 pada promptMATLAB. Selanjutnya MATLAB akan menampilkan window sepertiberikut ini:

ii


ii

ii

5.3. Praktikum 32

Gambar: Tampilan awal window setup pplane7

Terlihat bahwa pada window setup pplane7 sudah memuat defaultsuatu sistem persamaan differensial beserta setting dari tampilan displaydan jenis medan arahnya. Fungsi pplane7 menyediakan beberapasistem persamaan differensial lainnya yang dapat dipilih melalui menuGalery. Misalkan kita pilih sistem persamaan differensial untuk gerakpendulum. Persamaan differensial untuk gerak pendulum adalah

mLd2θ

dt2 =−mgsin(θ)− cdθ

dt

dimana θ adalah sudut yang terbentuk antara pendulum dengan garisvertikal, L adalah panjang lengan pendulum, g adalah percepatangravitasi dan c adalah konstanta perlambatan.

Gambar: Memilih sistem persamaan differensial pada menu Galery

ii


ii

ii

5.3. Praktikum 33

Berikut tampilan window setup pplane7 untuk pilihan pendulum. Per-hatikan gambar berikut.

Gambar: Tampilan window setup pplane7 untuk pendulum

Selanjutnya tekan button "Proceed" maka beberapa akan muncul win-dow berikut yang merupakan medan arah dari sistem persamaan diffe-rensial untuk pendulum.

Gambar: Tampilan medan arah untuk pendulum

Selanjutnya tempatkan kursor pada suatu titik pada tampilan medanarah, katakan titik (x0,y0) lalu klik kiri maka akan terbentuk sebuah ku-

ii


ii

ii

5.4. Latihan 34

rva. Kurva ini adalah kurva trayektori atau orbit dari sistem persamaandifferensial untuk pendulum. Perhatikan gambar berikut.

Gambar: Potret fase untuk gerak pendulum

5.4 Latihan1. Buatlah gambar potret fase dari sistem linear

(a) x′ =−2x+ y, y′ = x−2y.

(b) x′ = 3x−2y, y′ = 2x−2y.

(c) x′ =−2x, y′ =−2y.

(d) x′ =−x, y′ =−x− y.

(e) x′ =−x+ y, y′ =−x− y.

(f) x′ = y, y′ =−x.

2. Tentukan apakah titik kritis (0,0) merupakan titik simpul, pelana,fokus atau pusat, dan gambarkan potret fasenya.

(a) x′ = x, y′ = 3y.

(b) x′ =−x, y′ =−3y.

(c) x′ = x, y′ =−y.

ii


ii

ii

5.4. Latihan 35

(d) x′ =−x, y′ = y.

ii


ii

ii

Bab 6

Linierisasi

6.1 Tujuan1. menghampiri solusi sistem persamaan differensial taklinier de-

ngan metode linierisasi

2. menganalisa solusi hampiran dari linierisasi


1. Sistem persamaan differensial taklinier dan solusinya

2. Matriks Jacobian

6.2.1 Sistem autonomousPada umumnya masalah yang muncul di dalam dunia nyata adalah tidaklinier, dan bahkan dalam banyak kasus sistem tak linier tidak dapat di-selesaikan karena belum tersedianya metode untuk menyelesaikannya.Ketika dihadapkan dengan masalah tidak linier, kita biasanya cukuppuas dengan solusi hampiran. Salah satu metode untuk mendapatkansolusi hampiran adalah linierisasi (linierization). Linierisasi adalahsuatu cara menghampiri kelakuan dari sistem tak linier dengan suatusistem linier.

ii


ii

ii

6.2. Dasar Teori 37

Dalam modul ini kita hanya akan fokus pada sistem dengan duapersamaan differensial, tetapi teknik-teknik yang digunakan di sini jugadapat digunakan untuk sistem yang lebih besar.

Suatu sistem dua persamaan differensial autonomus orde pertamamempunyai bentuk

dxdt

= f (x,y)dydt

= g(x,y).(6.1)

Solusi tetap terhadap sistem (6.1) disebut solusi tetap (equilibria).Solusi tersebut harus memenuhi persamaan

f (x∗,y∗) = 0 g(x∗,y∗) = 0. (6.2)

6.2.2 Linierisasi di titik tetapLinierisasi di suatu titik tetap pada suatu sistem persamaan differensialdapat dilakukan dengan mengganti f (x,y) dan g(x,y) pada (6.1) denganhampiran linier di dekat (x∗,y∗), sehingga diperoleh

dxdt

= f (x∗,y∗)+ fx(x∗,y∗)(x− x∗)+ fy(x∗,y∗)(y− y∗)dydt

= g(x∗,y∗)+gx(x∗,y∗)(x− x∗)+gy(x∗,y∗)(y− y∗)(6.3)

Jika (x∗,y∗) adalah suatu titik tetap (equilibrium point) dari (6.1), makakita peroleh f (x∗,y∗) = 0 dan g(x∗,y∗) = 0.

Selanjutnya kita definisikan koordinat baru yang relatif terhadap(x∗,y∗) yaitu u = x− x∗, v = y− y∗. Dalam koordinat (u,v), titiktetapnya adalah pada titik asalnya. Karena x∗ dan y∗ adalah konstanta,

kita perolehdudt

=dxdt

dandvdt

=dydt

. Jadi sistem (6.1) dapat dihampiridengan

dudt

= fx(x∗,y∗)u+ fy(x∗,y∗)vdvdt

= gx(x∗,y∗)u+gy(x∗,y∗)v(6.4)

Sistem (6.4) adalah linierisasi dari sistem (6.1) pada (x∗,y∗). Dengan

ii


ii

ii

6.3. Praktikum 38

mendefinisikan~u =

[uv

], kita dapat menuliskan sistem (6.4) sebagai

d~udt

= J~u, (6.5)

dimana

J =

[fx(x∗,y∗) fy(x∗,y∗)gx(x∗,y∗) gy(x∗,y∗)

](6.6)

disebut matriks Jacobian.

6.2.3 Arti LinierisasiPersamaan (6.5) adalah pendekatan linier untuk sistem (6.1) tetapiseberapa "baik" hampirannya. Jika bagian real dari kedua nilai eigenadalah taknol, maka kelaluan dari sistem (6.1) dekat dengan (x∗,y∗)secara kualitatif sama dengan kelakuan dari hampiran linier persamaan(6.5).

6.3 PraktikumPerhatikan sistem persamaan differensial

dxdt

= 3x− y2

dydt

= siny− x(6.7)

dimana sistem tersebut memiliki dua titik tetap, dan salah satunyaadalah (0,0). Potret phase dari sistem (6.7) adalah (gunakan fungsipplane7)

ii


ii

ii

6.3. Praktikum 39

Gambar: Potret phase untuk sistem (6.7)

Matriks Jacobiannya adalah

J =


]=

[3 −2y−1 cosy

](6.8)

dan pada titik (0,0), matriks Jacobiannya adalah

J =

[3 0−1 1

](6.9)

Nilai eigen dari persamaan (6.9) adalah λ1 = 1 dan λ2 = 3. Karenakedua nilai eigen adalah positif dan berbeda dapat disimpulkan bahwatitik asal dari sistem linierisasi adalah titik simpul tak stabil.

Dengan menggunakan MATLAB, solusi di atas dapat dilakukansebagai berikut.

>> syms x y;>> J=jacobian([3*x-x^2;sin(y)-x],[x,y])J =[ 3 - 2*x, 0][ -1, cos(y)]

ii


ii

ii

6.3. Praktikum 40

>> J0=subs(J,{x,y},{0,0})J0 =

3 0-1 1

>> eig(J0)ans =

13

Potret phase untuk sistem linierisasi adalah sebagai berikut.

Gambar: Potret phase untuk sistem linierisasi

Terlihat bahwa pada linierisasi di dekat (0,0) memberikan hampiranyang baik untuk sistem taklinier (6.7).

Perhatikan sistem persamaan differensial

dxdt

= 2x− y− x2

dydt

= x−2y+ x2(6.10)

dimana sistem tersebut memiliki dua titik tetap,yaitu (0,0) dan (1,1).

ii


ii

ii

6.3. Praktikum 41

Matriks Jacobiannya adalah

J =


]=

[2−2x −1

1 −2+2y

](6.11)

Pada titik (0,0) matriks Jacobiannya adalah

J =

[2 −11 −2

](6.12)

Nilai eigen dari persamaan (6.12) adalah λ1 = −√

3 dan λ2 =√3. Karena nilai-nilai eigen adalah real dan berbeda tanda dapat

disimpulkan bahwa titik asal dari sistem linierisasi adalah titik pelana.Solusi dengan menggunakan MATLAB,

>> syms x y;>> J=jacobian([2*x-y-x^2;x-2*y+x^2],[x,y])J =[ 2 - 2*x, -1][ 2*x + 1, -2]

>> J0=subs(J,{x,y},{0,0})J0 =

2 -11 -2

>> eig(J0)ans =

1.7321-1.7321

Potret phase dari sistem asal(6.10) adalah

ii


ii

ii

6.3. Praktikum 42

Gambar: Potret phase untuk sistem (6.10)

Potret phase untuk sistem linierisasi adalah sebagai berikut.

Gambar: Potret phase untuk sistem linierisasi

ii


ii

ii

6.4. Latihan 43

6.4 LatihanLakukan linierisasi dari sistem tak linier berikut. Cari dimana titiktetapnya dan tentukan apakah titik tersebut titik simpul, pelana, fokusatau pusat, dan gambarkan potret phasenya.

1. x′ = (2+ x)(y− x), y′ = (4− x)(y+ x).

2. x′ = x− x2− xy, y′ = 3y− xy−2y2.

3. x′ = 1− y, y′ = x2− y2.

4. x′ = (1+ x)siny, y′ = 1− x− cosy.

5. x′ = y+ x(1− x2− y2), y′ = x− y+ y(x2 + y2).

6. x′ = y, y′ = x+2x3.

ii


ii

ii

Bab 7

Sistem Dinamik

7.1 Tujuan1. menggunakaan tool-tool pada paket aplikasi sistem dinamik

2. mengenal perangkat lunak phaser


1. Konsep sistem dinamik

2. Paket aplikasi MATDS dan Phaser

7.2.1 Pengertian sistem dinamikSebuah sistem disebut sistem dinamik (dynamical system) jika outputyang sekarang tergantung pada input sebelumnya. Jika output sekaranghanya bergantung pada input saat ini, sistem ini dikenal sebagai sistemstatik (static system). Output dari sistem statik tetap sama jika inputtidak berubah. Outputnya berubah hanya ketika inputnya berubah.Dalam sistem dinamik, output berubah bersamaan dengan perubahanwaktu jika sistem tidak dalam keadaan kesetimbangan. Contoh sistemdinamik antara lain model matematika yang menggambarkan ayunanpendulum, aliran air di dalam pipa, jumlah ikan yang dapat dipanenpada suatu waktu di danau.

ii


ii

ii

7.2. Dasar Teori 45

Dalam mempelajari sistem dinamik, kita sering menemukan perila-ku sistem yang disebut sebagai chaos dan bifurkasi. Chaos adalah studiyang mempelajari perilaku sistem dinamik yang sangat sensitif terhadapkondisi awal. Perbedaan kecil dalam kondisi awal (seperti yangdisebabkan oleh kesalahan pembulatan dalam perhitungan numerik)dapat menghasilkan hasil yang beragam untuk sistem dinamik tersebut.Bifurkasi (bifurcation) adalah studi matematika dari perubahan strukturkualitatif atau topologi dari sebuah keluarga kurva tertentu. Bifurkasiyang terjadi ketika perubahan kecil pada nilai parameter (parameterbifurkasi) dari sistem menyebabkan perubahan ’kualitatif’ atau topologimendadak dalam perilakunya. Bifurkasi dapat terjadi pada sistem konti-nu maupun sistem diskrit. Nama "bifurkasi" pertama kali diperkenalkanoleh Henri Poincaré pada 1885.

Berikut ini adalah pemetaan sistem persamaan differensial menurutlinearitas dan banyaknya variabel yang terlibat. (Sumber: Steven H.Strogatz, Nonlinear Dynamics And Chaos, Perseus Books Publishing,New York, 1994.)

... ci'i" c iil �

Linear

e-..... � <1) j:1 '''; ....... S

z

J Nonlinear

n = l

Growth, decay, or equilibrium

Exponential growth

RC circuit

Radioactive decay

Fixed points

Bifurcations

Overdamped systems, relaxational dynamics

Logistic equation for single species

n 2

Number of variables n;:::3

..

n» 1

Oscillations

Linear oscillator

Mass and spring

RLC circuit

Pendulum

Anharmonic oscillators

Limit cycles

Biological oscillators (neurons, heart cells)

Predator-prey cycles

Nonlinear electronics (van der Pol, Josephson)

Civil engineering, structures

Electrical engineering

Collective phenomena

Coupled harmonic oscillators

Solid-state physics

Molecular dynamics

Eqnilibrium statistical mechanics

The frontier 1-

Chaos

Strange attractors (Lorenz)

3-body problem (Poincare)

Chemical kinetics

Iterated maps (Feigenbaum)

Fractals (Mandelbrot)

Forced nonlinear oscillators (Levinson, Smale)

I Practical uses of chaos

Quantum chaos?

Coupled nonlinear oscillators

Lasers, nonlinear optics

Nonequilibrium statistical mechanics

Nonlinear solid-state physics (semiconductors)

Josephson arrays

Heart cell synchronization

Neural networks

Immune system

Ecosystems

Economics

Continuum

Waves and patterns

Elasticity

Wave oquations

Electromagnetism (Maxwell)

Quantum mechanics (Schrodinger, Heisenberg, Dirac)

Heat and diffusion

Acoustics

Viscous fluids

Spatio-temporal complexity

Nonlinear waves (shocks, solitons)

Plasmas

Earthquakes

General relativity (Einstein)

Quantum field theory

Reaction-diffusion, biological and chemical waves

Fibrillation

Epilepsy

Turbulent fluids (Navier-Stokes)

Life

Gambar:Pemetaan sistem persamaan differensial

ii


ii

ii

7.3. Praktikum 46

7.3 Praktikum

7.3.1 Menggunakan MATDSMATDS adalah program berbasis MATLAB untuk menginvestigasisuatu sistem dinamik. MATDS merupakan paket grafis untuk studinumerik secara interaktif sistem dinamik. MATDS diciptakan olehVasiliy Govorukhin dari Rostov State University, Rusia.

Instalasi dan mulai MATDSUntuk menginstal paket MATDS, anda perlu membuat direktori MA-TDS, meng-copy file matds.zip ke direktori ini dan menjalankan unzip.Ini menciptakan subdirektori dari MATDS dengan semua file yangdiperlukan. MATDS direktori harus menjadi direktori kerja dan untukmemulai MATDS, ketikkan "matds" pada window MATLAB.

Struktur direktori MATDS:

• temp - direktori kerja untuk file sementara.

• maths - direktori untuk bagian matematika dari MATDS.

• system - direktori untuk file sistem dinamik.

• gui - direktori untuk bagian GUI dan pelayanan MATDS.

Main menu dan windowBerikut tampilan window menu ketika MATDS dipanggil

ii


ii

ii

7.3. Praktikum 47

Gambar: Main menu dan window

Output dari hasilBerikut ini secara berurutan plot output untuk 2 dimensi dan 3 dimensi.

Gambar: 2D output window

ii


ii

ii

7.3. Praktikum 48

Gambar: 3D output window

Mendefinisikan sistem dinamikKita dapat mendefinisikan dan mengedit model sistem dinamik kitasendiri.

Gambar:Menu langkah pertama dari definisi sistem

ii


ii

ii

7.3. Praktikum 49

Gambar: Menu untuk mengedit sistem (langkah kedua definisi)

Gambar: 2D dan 3D output

7.3.2 Menggunakan perangkat lunak PhaserPhaser menyediakan lingkungan komputasi yang powerful khusus di-buat untuk simulasi grafis dan numerik dari persamaan diferensialdan persamaan beda untuk sistem linier dan sistem chaos. Phasertelah dirancang untuk memenuhi kebutuhan berbagai macam penggunaseperti mahasiswa, instruktur, ataupun peneliti. Untuk versi 3.0,

ii


ii

ii

7.3. Praktikum 50

Phase ditulis dengan bahasa pemrograman Java sehingga Phaser dapatdigunakan pada berbagai platform.

Berikut langkah-langkah menggunakan Phaser.


ii


ii

ii

7.3. Praktikum 51


ii


ii

ii

7.4. Latihan 52



7.4 Latihan

1. x′ = (2+ x)(y− x), y′ = (4− x)(y+ x).

2. x′ = x− x2− xy, y′ = 3y− xy−2y2.

3. x′ = 1− y, y′ = x2− y2.

4. x′ = (1+ x)siny, y′ = 1− x− cosy.

5. x′ = y+ x(1− x2− y2), y′ = x− y+ y(x2 + y2).

6. x′ = y, y′ = x+2x3.

ii


ii

ii

Bab 8

Kestabilan Lyapunov

8.1 Tujuan1. menggunakaan tool-tool pada paket aplikasi sistem dinamik

2. mengenal perangkat lunak phaser


1. Konsep sistem dinamik

2. Paket aplikasi MATDS dan Phaser

8.2.1 Pengertian kestabilan LyapunovMisalkan kita nyatakan x sebagai variabel keadaan dari sistem dinamik,yang dapat dinyatakan secara umum oleh persamaan differensial

x =dxdt

= f (x).

Misalkan x = 0 menjadi titik tetap, kita akan menganalisis stabilitassekitar 0.

ii


ii

ii

8.2. Dasar Teori 54

Definisi 8.1 (Stabil)Suatu sistem disebut stabil dengan titik tetap x = 0 jika dan hanya jika∀ε > 0, ∃δ > 0 sehingga jika

‖x(0)‖ ≤ δ,

maka‖x(t)‖ ≤ ε, ∀t.

Definisi 8.2 (Stabil asimtotik)Suatu sistem disebut stabil asimtotik jika ∃δ > 0 sehingga jika

‖x(0)‖ ≤ δ,

makax(t)→ 0

bilamana t→ ∞.

Definisi 8.3 (Global dan stabil asimtotik)Suatu sistem disebut global dan stabil asimtotik jika

x(t)→ 0

bilamana t → ∞. Dengan kata lain, sistem ini global dan stabilasimtotik untuk setiap nilai awal x.

Lyapunov menunjukkan bahwa selama kita bisa menemukan suatufungsi kontinu yang differensiabel V (x) ≥ 0 dan memenuhi beberapakondisi lainnya, maka sistem akan stabil.

Teorema 8.1 (Kondisi kestabilan)Jika fungsi Lyapunov V (x) ada dan

V =dVdt≤ 0,

maka sistem adalah stabil.

Teorema 8.2 (Kondisi kestabilan asimtotik)Jika fungsi Lyapunov V (x) ada dan

V =dVdt

< 0,

ii


ii

ii

8.2. Dasar Teori 55

maka sistem adalah stabil asimtotik.

Teorema 8.3 (Kondisi kestabilan global dan asimtotik)Jika fungsi Lyapunov V (x) ada dan

V =dVdt

< 0,

dan V (x) secara radikal tak terbatas yaitu

V (x)→ ∞

jika‖x‖→ ∞.

maka sistem adalah global dan stabil asimtotik.

Selanjutnya, misalkan diberikan suatu sistem dinamik dan sebuahfungsi V . Kita dapat nyatakan

V (x) =∂V∂x

dxdt

= ∇V · f (x)

=[

∂Vdx1

∂Vdx2

· · · ∂Vdxn

] f1(x)...

fn(x)

8.2.2 Kestabilan untuk sistem outonomus

Sebuah matriks persegi P adalah definit positif jika xT Px > 0 untuksemua vektor kolom taknol x. Matriks P adalah definit negatif jikaxT Px < 0 untuk semua vektor kolom taknol x. Selanjutnya matriksP disebut semidefinite positif jika xT Px ≥ 0 dan semidefinit negatifjika xT Px ≤ 0 untuk semua vektor kolom taknol x. Jika P adalahmatriks definit positif maka semua nilai eigennya adalah positif danjika P adalah matriks definit negatif maka semua nilai eigennya adalahnegatif. Jika matriks P adalah definit positif maka −P adalah matriksdefinit negatif.

ii


ii

ii

8.3. Praktikum 56

Suatu sistem dinamik dalam bentuk

x = Ax

adalah stabil asimtotik jika dan hanya jika untuk sebarang matriks defi-nit positif Q terdapat matriks definit positif simetrik P yang memenuhipersamaan Lyapunov

AT P+PA =−Q.

8.3 PraktikumTentukan kestabilan dari sistem x = Ax dimana

A =

[0 1−6 −5

].

Untuk menyelesaikannya, pilih matriks Q adalah matriks satuan, yaitu

Q =

[1 00 1

].

Selanjutnya misalkan matriks

P =

[p11 p12p21 p22

].

AT P+PA =−Q.[0 −61 −5

][p11 p12p21 p22

]+

[p11 p12p21 p22

][0 1−6 −5

]=

[−1 00 −1

].[

−12p12 −6p22 + p11−5p12−6p22 + p11−5p12 2p12−10p22

]=

[−1 00 −1

]. 0 12 0

1 −5 −60 −2 10

p11p12p22

=

101

.

ii


ii

ii

8.3. Praktikum 57

Diselesaikan sehingga diperolehp12 = 1/12; p22 = 7/60; p11 = 67/60. Jadi diperoleh

P =

[67/60 1/121/12 7/60

]=

[1.1167 0.0833

10.0833 0.1167

].

Selanjutnya, cari nilai eigen dari matriks P, diperoleh λ1 = 0.1098 danλ2 = 1.1236.

Solusi menggunakan MATLAB:

>> A=[0 1;-6 -5]A =0 1-6 -5

>> Q=eye(2)Q =1 00 1

>> P=lyap(A,Q)

P =0.5333 -0.5000-0.5000 0.7000

>> eig(P)ans =0.10981.1236

Terlihat bahwa matriks P tidak sama dengan cara manual, tetapisebenarnya kedua-duanya menghasilkan nilai eigen yang sama. Untukmendapatkan matriks P seperti yang diperoleh secara manual, dapatdilakukan dengan perintah berikut:

>> P=lyap(A’,Q)P =

ii


ii

ii

8.3. Praktikum 58

1.1167 0.08330.0833 0.1167

>> eig(P)ans =0.10981.1236

Berikut ini adalah contoh fungsi Lyapunov:

>> x=[-4:.04:4];>> y=x;>> [X,Y]=meshgrid(x,y);>> z=X.^2 + Y.^2;>> mesh(X,Y,z)

Gambar: Fungsi Lyapunov kuadratik V (x) = x2 + y2.

>> x=[-4:.04:4];>> y=x;> [X,Y]=meshgrid(x,y);>> z=(1-cos(X))+(Y.^2)/2;> meshc(X,Y,z)

ii


ii

ii

8.4. Latihan 59

Gambar: Fungsi Lyapunov V (x) = (1− cosx)+ y2/2.

8.4 Latihan

1. x′ = (2+ x)(y− x), y′ = (4− x)(y+ x).

2. x′ = x− x2− xy, y′ = 3y− xy−2y2.

3. x′ = 1− y, y′ = x2− y2.

4. x′ = (1+ x)siny, y′ = 1− x− cosy.

5. x′ = y+ x(1− x2− y2), y′ = x− y+ y(x2 + y2).

6. x′ = y, y′ = x+2x3.

ii


ii

ii

Indeks

bidang fase, 30

fase, 30fungsi

dfield7, 15dsolve, 21eval, 23ezplot, 23ode45, 22pplane7, 31vectorize, 23

garis medan arah, 15

orbit, 30

potret fase, 30

sistem otonomus, 30sistem planar, 29solusi tetap, 15

titik tetap, 15trayektori, 30

bab 1 nilai eigen dan vektor eigen - … prak. tpd.pdf · gauss-jordan untuk mendapatkan solusi...

Documents