BAB 11PROGRAM LINIER

A. Persamaan Garis

Melalui titik (x1,y1) dengan gradien m:

Melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2):

Memotong sumbu x dan sumbu y:abyx

Persamaan garisnya:

0

x=babyx

y=a

Persamaan garisnya: x = b dan y = a

B. Daerah Penyelesaian (DP)

Langkah dalam menentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linier Ax + By C atau Ax + By C adalah:1. Gambar garis Ax + By = C2. Jika A > 0: Tanda maka DP sebelah kanan garis Tanda maka DP sebelah kiri garis.3. Jika A < 0: Tanda maka DP sebelah kiri garis. Tanda maka DP sebelah kanan garis.

C. Menentukan Nilai Optimum

Fungsi objektif , yaitu:1. Buatlah model matematika dari soal cerita yang terdiri dari sistem pertidaksamaan linier .2. Gunakan metode titik pojok atau metode garis selidik. Metode titik pojok: Setiap titik pojok (x,y) di substitusikan ke fungsi sasaran objektif z = ax + by dari himpunan penyelesaian yang mengakibatkan nilai objektif mencapai optimum. Metode garis selidik:Menggunakan garis ax + by = k. dengan mengambil nilai k (konstanta) akan diperoleh himpuanan garis-garis salaing sejajar, satu diantara itu akan melalui titik yang mengakibatkan nilai objektif mencapai optimum.3. Nilai tertinggi dari fungsi objektif disebut maksimum dan nilai terendak disebut minimum.

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Jika titik (x,y) memenuhi maka nilai maksimum x + y adalah . (SBMPTN 2014)A. 5B. 6C. 7D. 9E. 12

Pembahasan: Gambar Hilangkan variable x: y = 6 (0,6)Hilangkan variable y: x = -6 (-6,0)

Gambar Puncak melalui (0,0) dan a = 1 > 0 (membuka ke atas)yx2

B

6

A

-6

Menghitung titik A dan B:

Metode titik pojok:

Nilai Maksimum = 12

Jawaban: E

2.

Nilai maksimum fungsi objektif (tujuan) dengan kendala adalah . (SNMPTN 2012)A. 24B. 22C. 20D. 18E. 12

Pembahasan:

Titik potong sb x, y = 0:

Titik potong sb y, x = 0:

Berikut gambar dari melewati titik (6,0) dan (0,15), :B

15

C

A5

026

Titik Pojok: nilai maksimum :

Nilai maksimum: 22Jawaban: B

3.

Nilai maksimum dari dengan kendala adalah(SPMB 2004)A. 400B. 500C. 600D. 700E. 800

Pembahasan:

Titik potong sb x, y = 0:

Titik potong sb y, x = 0:

Jadi melewati (120,0) dan (0,30)

Titik potong sb x, y = 0:

Titik potong sb y, x = 0:

Jadi melewati (60,0) dan (0,60)P601203060

Gunakan rumus titik pojok untuk nilai max :

Nilai maksimum = 800Jawaban: E

4. Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp 4.000,- per biji dan tablet II Rp 8.000,- per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah .. (UN 2011)A. Rp 12.000,-B. Rp 14.000,-C. Rp 16.000,-D. Rp 18.000,-E. Rp 20.000,-

Pembahasan:Misal: Tablet jenis I = xTablet jenis II = yJenis tabletVit AVit B

I53

II101

Jumlah255

Fungsi tujuan (4000x + 8000y)Model matematikanya:

Substitusikan ke pers 3x + y = 5

Titik potongnya (1,2)(1,2)252,55

Titik pojokF(x,y)=4000x+8000y

6666.6668

(1,2)20.000

(0, 2.5)20.000

(0,0)0

Pengeluaran minimum Rp 20.000,-Jawaban: E

5. Suatu perusahaan meuble memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. jika barang jenis I dijual seharga Rp 250.000,- per unit dan barang jenis II dijual Rp 400.000,- per unit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus dibuat? (UN 2010)A. 6 jenis IB. 12 jenis IIC. 6 jenis I dan 6 jenis IID. 3 jenis I dan 9 jenis IIE. 9 jenis I dan 3 jenis II

Pembahasan:Barang jenis IBarang jenis IIJumlah unsur

Unsur A1318

Unsur B2224

Harga250.000400.000

Maka:

(9,3)1218612

Fungsi tujuan: 250.000x + 400.000yTitik pojokf(x,y)=250.000x+400.000y

(0,6)2.400.000

(9,3)3.400.000

(12,0)3.000.000

Jadi keuntungan maksimal 9 jenis I dan 3 jenis IIJawaban: E

6.

Fungsi dengan kendala mencapai minimum di (4,2) jika (SNMPTN 2011)A. B.

C. D.

E.

Pembahasan:

Titik (4,2) merupakan titik perpotongan dan besar gradien masing-masing garis adalah:

Maka:

Jawaban: D

7. Seorang peternak ikan memiliki 20 kolam untuk memelihara ikan koi dan lele. Setiap kolam dapat menampung ikan koi saja sebanyak 24 ekor atau ikan lele saja sebanyak 36 ekor. Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor. Jika banyak kolam berisi ikan koi adalah x dan kolam ikan lele adalah y maka model matematika untuk masalah ini adalah A. B. C. D. E.

Pembahasan:Kolam ikan koi = xKolam ikan lele = y

Jadi model matematikanya:

Jawaban: C

8.

Nilai minimum untuk dengan syarat dan adalah (UMPTN 1993)A. 24B. 32C. 36D. 40E. 60

Pembahasan:

Titik potong sb x, y = 0:

Titik potong sb y, x = 0:

Titik potong sb x, y = 0:

Titik potong sb y, x = 0:

P1216812

Titik pojokf(x,y)=2x+5y

(16,0)32 (Minimum)

(0,12)60

(8,4)36

Cara smart:

Metode lain dari menggambar garis adalah dengan cara menutup salah satu variabel.Contoh:

tutup variabel x maka,

Tutup variabel y maka,

Sehingga garis tersebut melewati titik (0,12) dan (12,0). Lakukan hal sama pada .Kemudian gambar grafik dan gunakan cara titik pojok.

Jawaban: B

9.

Nilai minimum dari yang memenuhi syarat adalah .A. 10B. 20C. 30D. 40E. 50

Pembahasan:

P102010205

Titik potong:

Titik kritisZ=3x+6y

(10,0)30 (minimum)

(20,0)60

(0,20)120

50

Jadi nilai minimum = 30Jawaban: C

10.

Nilai maksimum dari yang memenuhi syarat adalah .A. 10B. 12C. 14D. 18E. 20

Pembahasan:P3459

Tittik kritisZ=-3x+2y

(0,9)18 (Maksimum)

(0,5)10

Jawaban: C

11. Untuk membuat barang A diperlukan 6 jam pada mesin I dan 4 jam pada mesin II sedangkan membuat barang B memelukan 2 jam pada mesin I dan 8 jam pada mesin Ii. Kedua mesin tersebut setiap harinya masing-masing bekerja tidak lebih dari 18 jam. Jika setiap hari dibuat x buah barang A dan y buah barang B, maka model matematika dari uraian di atas adalah (SIPENMARU 1985)A. B. C. D. E.

Pembahasan:Misal:Barang A = xBarang B = yJenis BarangMesin IMesin II

AB6 jam2 jam4 jam8 jam

Jumlah18 jam18 jam

Model matematikanya:

Jadi model matematikanya:

Jawaban: C

12. Nilai minimum fungsi objektif dari daerah yang diarsir pada gambar adalah B2334AC

A. 3B. 7C. 9D. 11E. 13

Pembahasan:Persamaan garisnya:

Titik potong B:

Terdapat tiga titik kritis yaitu: (3,0);(1,2);(0,4)Maka:Fungsi objektif f(x,y) = 3x + 2yTitik pojokf(x,y)=3x+2y

(3,0)9

(1,2)7 (minimum)

(0,4)8

Jawaban: B

13. Dina, Ety dan Feby belanja di toko yang sama. Dina membeli 5 bungkus mie dan 2 kaleng susu kental seharga Rp 25.000,00. Ety membeli 10 bungkus mie dan 3 kaleng susu kental seharga Rp 42.000,00. Jika Feby membeli 1 bungkus mie dan 1 kaleng susu kental, Feby harus membayar sebesar . (UN 2014)A. Rp 13.000,00B. Rp 12.000,00C. Rp 10.500,00D. Rp 11.000,00E. Rp 12.500,00

Pembahasan:Misal:Mie = xSusu = y

Maka:

Sehingga:

1 mie dan 1 kaleng susu Jawaban: C

14. Fungsi yang didefinisikan pada daerah yang diarsir, mencapai maksimum pada 1424-2-2

A. B. C. D. E.

Pembahasan:

L1= garis melalui titik (-2,0) dan (0,2)

L2= garis melalui titik (1,0) dan (0,-2)

L3= garis melalui titik (4,0) dann (0,2)

L4= garis melalui titik (4,0) dan (0,4)

Titik potong L1 dan L4 (1,3)Titik potong L2 dan L 3 (2,1)Titik potong L2 dan L4 (2,2)Titik kritisF(x,y)=2x+2y-5

(1,3)3 (maksimal)

(2,1)2

(2,2)3 (maksimal)

(0,2)-1

Nilai maksimal berada di garis x + y =4Jawaban: A

15. Perusahaan pengiriman barang mempunyai dua jenis mobil yaitu mobil I dan II. Mobil jenis I daya muatnya 12 m3, sedangkan mobil jenis II daya muatnya 36 m3. Order tiap bulan rata- rata mencapai lebih dari 7.200 m3, sedangkan biaya per pengiriman untuk mobil jenis I Rp 400.000,00 dan jenis II Rp 600.000,00. Dari biaya yang telah ditetapkan tersebut pendapatan perusahaan rata-rata sebulan tidak kurang dari Rp 200.000.000,00. Model matematika yang tepat dari masalah tersebut adalah A. B. C. D. E.

Pembahasan:Misal:Mobil jenis I = xMobil jenis II = yModel matematika:Dari daya tampung:

Dari pendapatan:

Jawaban: D

16. Nilai maksimum dari untuk (x,y) pada daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini .3846

A. 100B. 150C. 180D. 220E. 280

Pembahasan:Persamaan garis pada grafik:

Titik potongnya:

Titik kritisF(x,y)=60x+30y

(0,4)120

180

(0,6)180

Nilai maksimumnya adalah 180Jawaban: C

17. Daerah yang diarsir memenuhi .2324

A. B. C. D. E.

Pembahasan:Misal:

L1 = garis yang melalui titik (2,0) dan (0,4) maka

L2 = garis yang melalui titik (3,0) dan (0,2) maka Titik potong P.Daerah di sebelah kiri P =

Daerah di sebelah kanan P =

Sehingga daerah yang diarsir adalah:

Jawaban: A

18. Jika daerah yang diarsir pada daerah dibawah ini merupakan daerah penyelesaian untuk soal program linier dengan fungsi sasaran f(x,y) = x y, maka nilai maksimum dari f(x,y) adalah 2221

A. f(2,1)B. f(3,1)C. f(4,1)D. f(3,2)E. f(4,2)

Pembahasan:Misal:

M = garis melalui (0,-2) dan (2,0)

N = garis melalui (-2,0) dan (0,1) Dan garis x = 2

Pada garis M, daerah penyelesaian berada di atas maka , hal ini berarti f(x,y) akan mencapai nilai ekstrim sepanjang segmen garis g dengan Sehingga f maksimum terjadi di titik (3,1)Jawaban: B

19. Sebuah angkutan umum paling banyak mengangkut 50 penumpang. Tarif untuk seorang pelajar dan mahasiswa berturut-turut adalah Rp 1.500,00 dan Rp 2.500,00. Penghasilan diperoleh tidak kurang dari Rp 75.000,00. Misal banyak penumpang pelajar dan mahasiswa masing-masing x dan y. model matematika yang sesuai adalah A. B. C. D. E.

Pembahasan:Misal:Pelajar = xMahasiswa = yModel matematikanya:

Sehingga:

Jawaban: B

20. Andre membeli 3 buku tulis dan 2 pensil di koperasi sekolah dengan harga Rp 11.500,00. Di tempat yang sama Abdul membeli 2 buku tulis dan sebuah pensil dengan harga Rp 7.250,00. Jika Sasa membeli sebuah buku tulis dan sebuah pensil di koperasi tersebut dengan membayar Rp 5.000,00, berapa uang kembalian yang diterima Sasa A. Rp 1.000,00B. Rp 750,00C. Rp 500,00D. Rp 400,00E. Rp 200,00

Pembahasan:Misal:Buku = xPensil = y

Harga 1 buku dan 1 pensil Jika Sasa membayar Rp 5.000 maka kembalian yang Sasa terima adalah 5.000 4.250 = 750Jawaban: C

21. Nilai maksimum di daerah yagn diarsir adalah 1321

A. 3B. 4C. 5D. E. 6

Pembahasan:Misal:

L1 = garis yang melalui titik (1,0) dan (0,2) maka

L2 = garis yang melalui titik (3,0) dan (0,1) maka Titik potongnya:

Maka Titik kritisF(x,y)=3x+4y

(1,0)3

5 (maksimum)

(0,1)4

Jawaban: C

22.

Nilai minimum dari yang memnuhi syarat adalah A. 10B. 15C. 20D. 25E. 30

Pembahasan:Misal:

L1 =

L2 = 52020

Titik kritisZ=3x+6y

(5,0)15 (minimum)

(20,0)60

(0,20)120

Jawaban: B

23. Sebuah kapal pesiar dapat menampung 150 orang penumpang. Setiap penumpang kelas utam boleh membawa 60 Kg bagasi dan penumpang kelas ekonomi 40 Kg. kapal itu hanya dapat membawa 800 Kg bagasi. Jika banyak penumpang kelas utama x orang dan kelas ekonomi y orang, maka model matematikanya adalah A. B. C. D. E.

Pembahasan:Kelas utama = xKelas ekonomi = yDaya tampung penumpangDaya tampung bagasi

utamax60

ekonomiy40

150800

Model matematikanya:

Maka model matematikanya adalah

Jawaban: A

24.

Nilai minimum dari untuk x dan y yang memenuhi adalah A. 32B. 40C. 46D. 50E. 52

Pembahasan:Misal:

L1 =

L2 =

L3 = 51020

10

5

-5

L2

L3L1

Titik potong L1dan L2

Titik kritis-2x+4y+6

(0,10)46 (minimum)

(0,20)86

61

Jawaban: C

25. Seorang tukang jahit akan membuat pakaian model A dan model B. Model A perlu 1m kain polos dan 1,5 m kain garis. Model B perlu 2 m kain polos dan 0,5 m kain garis. Persediaan kain polos 20 m dan garis 10 m. banyak total pakaian jadi akan maksimal jika banyaknya model A dan model B masing-masing adalah A. 5 dan 7B. 4 dan 8C. 9 dan 2D. 5 dan 6E. 7 dan 6

Pembahasan:Misal:Model A = xModel B = yKain polosKain garis

Model A11,5

Model B20,5

Persediaan2010

Model matematika:

Kain polos:

Kain garis: Maka:

Maka y= 8Jadi maksimal ketika model A = 4 dan model B = 8Jawaban: B