bab 2 - deret tak hingga

B A B 2 Deret Tak Hingga

BAB 2

2.1 Barisan

2.2 Deret Tak Hingga

2.3 Deret Suku Positif

2.4 Deret Ganti Tanda

2.4 Deret Pangkat

2.6 Deret Taylor dan Deret Mac Laurin

2 Deret Tak Hingga


M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A 2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 2

Pendahuluan

Kebanyakan fungsi dapat diuraikan menjadi bentuk deret. Keunggulan ini amat

bermanfaat dalam aplikasi fisika karena dalam aplikasi fisika banyak hal-hal yang berkaitan

dengan bilangan yang sangat kecil atau selisih yang amat kecil antara dua buah fungsi. Pada

kasus-kasus seperti ini, suku-suku awal dari deret cukup memberikan informasi fenomena

fisika dengan bentuk yang lebih sederhana dibandingkan keseluruhan fungsi. Salah satu contoh

aplikasi adalah penggunaan uraian fungsi pada persamaan radiasi Planck.

Bab 2 akan membahas hal-hal yang berkaitan dengan deret. Subbab 2.1 membahas

mengenai barisan tak hingga. Dilanjutkan dengan Subbab 2.2 mengenai deret tak hingga. Pada

Subbab 2.3 dibahas mengenai deret yang suku-sukunya positif sedangkan pada Subbab 2.4

dibahas mengenai deret yang suku-sukunya berganti tanda. Untuk deret dengan suku-suku

berupa fungsi dibahas pada Subbab 2.5, yaitu deret pangkat. Pada bagian akhir, Subbab 2.6,

dibahas mengenai salah satu deret yang banyak digunakan dalam aplikasi, yaitu deret Taylor.

Tujuan Instruksional Khusus Mahasiswa mampu: 1. menerapkan aturan limit untuk menghitung

limit barisan dan menerapkan konsep keterbatasan (boundedness) untuk meng-indentifikasi kekonvergenan barisan monoton.

2. menggunakan konsep jumlah parsial untuk membedakan deret konvergen dan divergen dan mendefinisikan jumlah dari deret konvergen.

3. mengenali deret geometri dan deret collaps, dan menghitung jumlahnya jika konvergen.

4. menggunakan uji integral, uji banding biasa, uji banding limit, dan uji rasio untuk menen-tukan kekonvergenan atau kedivergenan de-ret.

5. mengenali deret ganti tanda dan menerapkan uji deret ganti tanda untuk mengidentifikasi kekonvergenan mutlak dari deret.

6. menentukan jari-jari konvergensi dan him-punan kekonvergenan dari deret pangkat.

7. menerapkan pengintegralan suku demi suku dan penurunan pada deret pangkat, dan melakukan operasi aljabar pada deret pangkat secara manual untuk deret pangkat yang sederhana dan dengan bantuan TIK untuk deret pangkat yang lebih kompleks.

8. menguraikan fungsi dalam deret Taylor secara manual dan dengan bantuan TIK.

9. menyebutkan dan menggunakan deret Taylor dari fungsi elementer.

10. menggunakan sisa pada deret Taylor untuk menduga kesalahan pendekatan pada polinomial Taylor.



Barisan

Barisan Tak Hingga

Suatu barisan tak hingga adalah deretan terurut bilangan-

bilangan yang tak berakhir,

(1)

Karena barisan adalah deretan angka yang terurut, maka suku

pertama barisan adalah , suku kedua adalah , suku ketiga

adalah , dan seterusnya. Lebih lanjut, karena barisan ini adalah

barisan tak terhingga, maka untuk setiap suku selalu terdapat

suku yang mengikutinya.

Notasi

Notasi yang digunakan untuk barisan adalah

atau secara sederhana . Apabila daerah asalnya adalah

bilangan bulat yang lebih besar atau sama dengan bilangan bulat

tertentu , maka notasi barisannya adalah . Contohnya

barisan maka notasinya adalah .

Rumus barisan

Jika diberikan beberapa suku dari barisan, misalkan

(3)

DEFINISI 2.1 Barisan Tak Hingga Barisan tak hingga (atau barisan) dari bilangan adalah fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan bulat positif dan daerah hasil himpunan bilangan riil, (2)

Barisan Tak Hingga, Kekonvergenan Barisan, Sifat Limit dan Teorema-teorema Limit, Barisan Monoton

2.1



dan

(4)

maka kita dapat mencari rumus untuk barisan (3) dan (4). Ada

dua macam rumus yang digunakan, yaitu:

1. Rumus eksplisit untuk suku ke-n.

Rumus eksplisit untuk barisan (3) adalah

2. Rumus rekursif.

Rumus rekursif untuk barisan (4) adalah

Contoh 1

Berikut ini beberapa contoh barisan yang ditulis dengan tiga

macam cara,

Notasi Rumus Daftar anggota

Contoh 2

Carilah rumus umum dari barisan dengan beberapa suku awal

sebagai berikut.

(5)

Penyelesaian

Rumus umum barisan (5) adalah



Carilah rumus umum barisan apabila beberapa suku awalnya

adalah

Kekonvergenan Barisan

Perhatikan barisan-barisan di Contoh 1, masing-masing barisan

memiliki perilaku yang berbeda. Perhatian kita adalah jika n

menuju tak hingga apakah barisan tersebut menuju suatu nilai

tertentu? Apabila barisan menuju nilai tertentu, maka dikatakan

barisan konvergen. Definisi formal barisan yang konvergen

diberikan pada Definisi 2.2.

Gambar 1 memberikan ilustrasi dari barisan konvergen. Karena

ketaksamaan memiliki arti

maka, jika , titik-titik akan terletak antara garis

horizontal dan . Atau, jika di garis real, untuk

bilangan terletak antara titik dan (Gambar

2).

Contoh 3

Buktikan bahwa barisan , konvergen ke 0.

Penyelesaian

Barisan konvergen ke 0 karena .

Berdasarkan Definisi 2.2, barisan konvergen ke jika

untuk setiap bilangan positif terdapat bilangan asli N

sedemikian sehingga jika berlaku . Jika

DEFINISI 2.2 Barisan Konvergen Barisan dikatakan konvergen ke bilangan L jika untuk setiap bilangan positif terdapat bilangan asli N sedemikian sehingga jika

Apabila tidak terdapat L, maka dikatakan barisan divergen. Barisan yang konvergen ke L seringkali ditulis dengan

dan L disebut limit dari barisan.

Gambar 1

( | | )

L L na L

Gambar 2



maka , sehingga berlaku . Misalkan

sembarang, pilih sedemikian sehingga jika

diperoleh

Jadi terbukti barisan konvergen ke 0.

Periksalah apakah barisan , , konvergen atau

divergen? Bila konvergen, tentukan kemana barisan ,

konvergen? Lakukanlah hal serupa namun untuk barisan

dengan .

Sifat Limit dan Teorema-teorema Limit

Seperti pada limit fungsi, terdapat operasi limit fungsi yang

analog dengan operasi pada barisan yang konvergen.

Contoh 4

Tentukan .

Penyelesaian

TEOREMA 2.1 Sifat Limit Misalkan dan adalah barisan yang konvergen dan k adalah konstanta, dan misalkan juga dan ada, maka a.

b. c.

d.

e. asalkan



Tentukan nilai dengan menggunakan sifat-sifat

limit seperti Contoh 4. Bandingkan hasilnya bila kita faktorkan

dulu bentuk tersebut menjadi bentuk .

Berikut ini adalah beberapa teorema untuk limit barisan.

Contoh 5

Tentukan limit dari barisan:

TEOREMA 2.3 Teorema Apit Misalkan untuk suatu dengan K bilangan

bulat yang tetap dan

maka konvergen menuju L atau

TEOREMA 2.2 Aturan Substitusi untuk Barisan

Jika dan f adalah fungsi yang kontinu di x=L,

maka



Penyelesaian

Karena untuk setiap n berlaku maka untuk

berlaku . Karena ,

maka menurut Teorema Apit kita peroleh . Jadi

Coba kalian gunakan Teorema Apit seperti pada Contoh 5 untuk

menentukan limit dari barisan berikut:

Pada barisan yang suku-sukunya berganti tanda, Teorema 2.4

berikut digunakan untuk menguji kekonvergenan barisan.

Contoh 6

Tunjukkan bahwa .

Penyelesaian

Dari Contoh 3 diketahui bahwa . Karena

maka menurut Teorema 2.4 .

Barisan Monoton

Suatu barisan dikatakan naik apabila

atau dan dikatakan turun apabila

atau . Barisan yang naik atau turun

dikatakan barisan monoton.

TEOREMA 2.4

Jika maka .



Contoh 7

Tentukan apakah barisan , merupakan barisan

monoton.

Penyelesaian

Barisan merupakan barisan yang turun karena

mengakibatkan , maka . Lebih

lanjut , atau dengan kata lain , .

Karena barisan adalah barisan yang turun maka barisan

adalah barisan monoton.


yang monoton atau tidak.

Barisan dikatakan terbatas apabila terdapat bilangan

sedemikian sehingga , untuk setiap n.

Contoh 8


yang terbatas?

Penyelesaian

Karena maka untuk

setiap n. Berarti barisan adalah barisan yang terbatas dan

dibatasi oleh 1.

Coba kalian tentukan apakah barisan ,

terbatas? Bila terbatas, tentukan batasnya.

Misalkan adalah barisan yang monoton naik dan terbatas di

atas oleh M, maka walaupun suku-suku barisan naik, suku-

sukunya tidak akan melebihi batas atasnya. Kenyataan ini

memberikan ide mengenai kekonvergenan barisan monoton

pada Teorema 2.5 berikut.

Contoh 9

Tentukan apakah barisan pada Contoh 7 konvergen?

TEOREMA 2.5 Kekonvergenan Barisan Monoton Setiap barisan monoton yang terbatas adalah konvergen.


M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A 2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 1 0

Penyelesaian

Barisan merupakan barisan yang monoton turun. Selain

itu, barisan ini juga terbatas di bawah oleh . Maka menurut

Teorema 2.5, barisan ini konvergen.

Deret Tak Hingga

Jumlah Deret

Misalkan barisan tak hingga. Jumlah suku-suku dari barisan

tak hingga disebut deret tak hingga dan ditulis sebagai

(6)

Contoh 1

Deret yang suku-sukunya dari barisan adalah

(7)

Perhatikan Tabel 1. Tabel ini menunjukkan jumlah n suku

pertama dari deret (7).

Tabel 1

N Jumlah n suku

pertama

5 0.96875000

10 0.99902344

15 0.99996948

20 0.99999905

25 0.99999997

Dari Tabel 1 dapat diharapkan bahwa jumlah deret (7) adalah 1.

Sehingga jumlah deretnya dapat ditulis sebagai,

Jumlah Deret, Deret Geometri, Sifat-sifat Deret Tak Hingga yang Konvergen, Uji Suku ke-n untuk Kedivergenan, Deret Collaps

2.2



(8)

Berdasarkan jumlah n suku pertama seperti pada Tabel 1,

dikenal suatu definisi yaitu jumlah parsial yang didefinisikan

sebagai berikut.

Perhatikan kembali kolom jumlah n suku pertama pada Tabel 1.

Kolom ini membentuk suatu barisan baru yaitu barisan jumlah

parsial

atau

Jumlah suatu deret dikatakan ada jika limit barisan jumlah

parsialnya ada.

DEFINISI 2.4 Jumlah Deret Deret tak terhingga konvergen dengan jumlah S jika

barisan jumlah parsial konvergen ke S,

S disebut sebagai jumlah deret.

Jika divergen maka deret divergen, yaitu deret

tidak mempunyai jumlah.

DEFINISI 2.3 Jumlah Parsial Jumlah parsial ke-n, Sn , adalah



Contoh 2

Tentukan jumlah deret tak hingga berikut

Penyelesaian

Barisan jumlah parsial deret

adalah

Maka, jumlah deret tak hingga adalah

Coba kalian tentukan jumlah deret tak hingga berikut.

Deret Geometri

Salah satu deret yang banyak digunakan untuk uji

kekonvergenan deret lainnya adalah deret geometri. Deret

geometri juga merupakan salah satu deret yang rumus jumlah

deretnya dapat ditulis secara eksplisit.



Kekonvergenan deret geometri dapat dilihat pada Teorema 2.6

berikut.

Bukti

Jumlah parsial dari deret gometri adalah

Jika , maka . Artinya, deret geometri akan divergen

jika karena membesar terus apabila n. Jika ,

maka

Jadi diperoleh,

Untuk , karena , maka

Untuk atau r =1, maka barisan divergen. Akibatnya

barisan juga divergen.

TEOREMA 2.6 Jumlah Deret Geometri Jika , maka deret geometri konvergen dengan jumlah

Jika maka deret geometri divergen.

DEFINISI 2.5 Deret Geometri Deret disebut deret geometri jika terdapat bilangan r yang disebut sebagai rasio deret sedemikian sehingga

untuk semua . Jika , maka deret geometri memiliki bentuk



Contoh 2

Tentukan apakah deret geometri berikut konvergen atau

divergen:

a.

b.

Penyelesaian

Deret pada Contoh 2.a memiliki rasio maka barisan

divergen. Sedangkan deret pada Contoh 2.b memiliki rasio

maka barisan konvergen. Deret pada Contoh 2.b

konvergen ke karena

Coba kalian tentukan apakah deret geometri

konvergen atau divergen. Carilah jumlah deretnya bila konvergen.

Sifat-sifat Deret Tak Hingga yang Konvergen

Suatu jumlah deret ada jika limit jumlah parsialnya ada.

Akibatnya sifat dari jumlah deret serupa dengan sifat-sifat limit

barisan.

Contoh 3

Tentukan apakah deret

konvergen atau divergen.

TEOREMA 2.7 Kelinieran Deret Konvergen Jika dan adalah deret yang konvergen dan

adalah suatu konstanta, maka:

a. konvergen dan

b. konvergen dan



Penyelesaian

Jadi deret tersebut konvergen ke 1.

Coba kalian tentukan apakah deret


Uji Suku ke-n untuk Kedivergenan

Teorema 2.8 berikut merupakan salah satu uji yang digunakan

untuk menentukan kekonvergenan deret.

Contoh 4

Tunjukan bahwa

adalah deret yang divergen.

Penyelesaian

Karena 0 maka,

menurut Teorema 2.8, deret tersebut adalah deret yang divergen.

Coba kalian tunjukan bahwa

divergen.

TEOREMA 2.8 Uji Suku ke-n untuk Kedivergenan Jika atau jika tidak ada, maka deret

divergen.

Kontrapositif dari Teorema

2.8 adalah: Jika deret tak

hingga konvergen

dengan jumlah S, maka

.

Jadi deret berkaitan

dengan dua barisan, yaitu

barisan suku-suku deret

dan barisan jumlah

parsial . Kebalikan dari

Teorema 2.8 tidaklah

berlaku, yaitu jika

belum tentu

konvergen.

Ingat !



Contoh paling baik dari keadaan seperti dapat dilihat pada deret

harmonik yang memiliki bentuk

(9)

Jelas bahwa barisan memiliki , namun

Teorema 2.9 di bawah ini menyatakan bahwa deret harmonik

divergen.

Bukti

Jumlah parsial Sn deret harmonik

Jumlah parsial ini dapat ditulis kembali menjadi

Jika n maka Sn akan meningkat tanpa batas. Akibatnya

divergen.

Deret Collaps

Tidak banyak deret yang jumlah parsialnya dapat dituliskan

secara eksplisit seperti deret geometri. Salah satu deret yang

jumlah parsialnya dapat ditulis secara eksplisit adalah deret

collaps.

Misalkan adalah barisan. Jumlah parsial deret collaps

memiliki bentuk

(10)

Maka, jumlah deret collaps adalah

TEOREMA 2.9 Deret Harmonik Deret harmonik adalah divergen.



(11)

Contoh 5

Tentukan jumlah deret

Penyelesaian

Suku deret dapat dituliskan kembali menjadi

Jumlah parsial deret adalah

Maka,

Deret Suku Positif

Deret suku positif adalah deret yang suku-sukunya

positif, atau ai>0 untuk setiap i. Dua hal yang menjadi perhatian

pada deret ini adalah, pertama apakah deretnya konvergen?

Kedua, bila konvergen, berapa jumlah deretnya?

Dari Subbab 2.1, telah dikenalkan beberapa deret khusus yang

telah diketahui kekonvergenannya dan ada rumus untuk

menghitung jumlah parsialnya. Deret tersebut adalah deret

geometri dan deret collaps. Untuk deret suku positif, ada

Uji Jumlah Terbatas, Uji Integral, Uji Banding, Uji Banding Limit, Uji Rasio

2.3



beberapa uji yang digunakan untuk menentukan apakah deret

suku ini konvergen.

Uji Jumlah Terbatas

Contoh 1

Tunjukan bahwa deret

konvergen.

Penyelesaian

Mula-mula perhatikan bahwa,

Akibatnya,

Maka jumlah parsialnya,

Dapat kita lihat bahwa suku-suku terakhir deret tersebut

merupakan deret geometri dengan rasio . Maka,

Karena jumlah-jumlah parsialnya Sn terbatas di atas oleh 3 maka,

berdasarkan Teorema 2.10, deret tersebut adalah deret yang

konvergen.

TEOREMA 2.10 Uji Jumlah Terbatas Deret dengan suku-suku tak negatif akan konvergen jika dan hanya jika barisan jumlah parsialnya mempunyai batas atas.



Coba kalian tunjukan bahwa deret

konvergen.

Uji Integral

Ingat kembali integral tak wajar pada Bab 1. Perilaku integral tak

wajar terhadap kekonvergenan serupa dengan

perilaku deret . Hal ini memberikan salah satu uji yaitu

uji integral seperti pada Teorema 2.10 berikut.

Bukti

Karena f(x) adalah fungsi yang tak turun, maka didapat

Integralkan dari sampai untuk mendapatkan

bentuk berikut ini :

Kemudian jumlahkan dari suku ke n = 1 sampai n = M-1 sehingga

didapat :

TEOREMA 2.11 Uji Integral Misalkan adalah deret suku positif dan f fungsi kontinu yang bernilai positif, dan tak menurun di interval [1,]. Jika f(n)=an untuk setiap bilangan bulat positif n1, maka deret tak terhingga

dan

akan konvergen atau divergen bersamaan.



(12)

Jika ada dan bernilai S, maka dari ruas kiri

ketaksamaan (12) didapat bahwa merupa-

kan deret yang tak turun dan terbatas di atas oleh S. Sehingga

didapat bahwa deret konvergen.

Jika bernilai tidak terbatas, dari ruas kanan

persamaan (12) didapat bahwa merupakan

deret yang tidak turun dan tidak mempunyai batas atas atau

dengan kata lain deret divergen.

Contoh 2

Ujilah kekonvergenan deret

Penyelesaian

Karena

maka menurut Teorema 2.11 deret divergen.

Contoh berikut ini adalah deret-p yang sering digunakan untuk

uji kekonvergenan deret yang lain. Deret-p memiliki bentuk:

(13)

Contoh 3

Perhatikan deret-p seperti pada persamaan (13). Tunjukkan:



a. Deret-p konvergen jika p>1.

b. Deret-p divergen jika p1.

Penyelesaian

Fungsi , p0 adalah kontinu, positif dan tidak naik pada

interval [1,). Lebih lanjut, , p0. Menurut uji integral,

konvergen jika dan hanya jika ada.

Jika p1

Jika p=1

Karena jika p>1 dan jika p1 dan divergen untuk 0p1.

Uji Banding

Uji banding adalah salah satu uji yang menentukan kekon-

vergenan suatu deret dengan cara membandingkannya dengan

kekonvergenan integral tak wajar dari fungsi yang sama dengan

fungsi deret yang akan diuji. Hal ini memberikan ide yang serupa

untuk melakukan uji kekonvergenan deret, namun kali ini

dengan cara membandingkannya dengan deret lain yang telah

diketahui kekonvergenannya, misalkan deret geometri. Ada dua

macam uji banding, yaitu uji banding biasa dan uji banding limit.

TEOREMA 2.12 Perkiraan Galat untuk Uji Integral Misalkan deret tak hingga dan integral tak tentu

memenuhi hipotesa uji integral dan keduanya

konvergen. Maka

dengan adalah sisa, yaitu selisih antara jumlah deret S dengan jumlah parsial ke-n .



Uji Banding Biasa

Contoh 4

Tentukan apakah deret


Penyelesaian

Misalkan dan . Karena

atau

dan karena divergen (karena deret

harmonik) maka menurut Uji Banding Biasa adalah

deret yang divergen. Dalam contoh ini, kita membandingkan

deret dengan deret yang telah diketahui

kekonvergenannya.

Coba kalian tentukan apakah

merupakan deret yang konvergen atau divergen.

TEOREMA 2.13 Uji Banding Biasa Misalkan 0anbn untuk , konstanta. Jika konvergen, maka juga konvergen.

Jika divergen, maka juga divergen.



Uji Banding Limit

Contoh 4

Tentukan apakah


Penyelesaian

Untuk menentukan pembanding suku ke-n deret di atas pada uji

banding limit, kita pilih suku-suku dengan pangkat tertinggi di

pembilang dan penyebutnya. Dalam contoh ini, kita

membandingkan

dengan

Mula-mula kita hitung limit dari

Kemudian kita tentukan kekonvergenan . Karena

konvergen dan

maka menurut Uji Banding Limit barisan

konvergen.

TEOREMA 2.14 Uji Banding Limit Misalkan dan adalah deret dengan suku-

suku yang positif. Maka:

a. Jika maka dan

konvergen atau divergen secara bersamaan.

b. Jika dan konvergen maka

juga konvergen.

c. Jika dan divergen maka

juga divergen.





Uji Rasio

Kesulitan yang timbul jika menggunakan uji banding adalah

memilih deret yang akan digunakan sebagai pembandingnya.

Salah satu cara mengatasi hal ini adalah dengan menggunakan uji

rasio. Dalam uji ini kita membandingkan deret dengan dirinya

sendiri. Teorema 2.13 berikut menyatakan uji rasio.

Contoh 5

Tentukan apakah


Penyelesaian

Misalkan maka . Kemudian kita cari nilai ,

diperoleh

TEOREMA 2.15 Uji Rasio Misalkan adalah deret dengan suku-suku positif dan

misalkan

a. Jika p1 atau jika maka deret tersebut

divergen.

c. Jika p=1, maka uji ini tidak dapat memberikan

kesimpulan.



Menurut uji rasio, karena =0



Kesalahan yang dibuat dengan menggunakan jumlah Sn dari n

suku pertama untuk menghampiri jumlah S dari deret tersebut

tidak lebih dari an+1. Ini berarti kesalahannya (galat),

.

Contoh 1

Tentukan apakah


Penyelesaian

Deret adalah suatu deret berganti tanda dengan

. Karena

dan

maka dan . Jadi

konvergen.



TEOREMA 2.16 Uji Deret Berganti Tanda

Misalkan:

dengan . Jika , maka deret

tersebut konvergen.



Uji Konvergensi Mutlak

Jika setiap suku pada deret berganti tanda kita beri harga mutlak,

maka diperoleh deret suku positif. Dengan demikian kita dapat

menggunakan semua uji pada deret suku positif. Hubungan

antara deret suku positif dengan deret berganti tanda diberikan

pada Teorema 2.17 namun sebelumnya diberikan definisi

konvergensi mutlak dahulu.

Contoh 2

Tentukan apakah barisan


Penyelesaian

Misalkan maka . Untuk menentukan

apakah konvergen atau divergen, mula-

mula perhatikan bahwa deret merupakan

deret geometri dengan rasio . Akibatnya

adalah deret yang konvergen. Maka berdasarkan uji konvergensi

mu-tlak kita peroleh adalah deret yang

konvergen juga.

Periksalah apakah


TEOREMA 2.17 Uji Konvergensi Mutlak Jika konvergen maka konvergen.

DEFINISI 2.6 Konvergensi Mutlak

Deret dikatakan konvergen mutlak jika

konvergen.



Uji Rasio Mutlak

Uji rasio mutlak untuk deret berganti tanda serupa dengan uji

rasio pada deret suku positif. Berikut adalah teorema uji rasio

mutlak.

Contoh 3

Tentukan apakah merupakan deret yang


Penyelesaian

Misalkan maka . Kemudian

kita hitung nilai rasio seperti berikut:

Karena = 0 < 1 maka menurut Uji Rasio Mutlak deret tersebut

adalah deret yang konvergen.



TEOREMA 2.18 Uji Rasio Mutlak Misalkan adalah deret dengan suku-suku tak nol dan

andaikan

a. Jika < 1, maka deret tersebut konvergen mutlak

(sehingga konvergen).

b. Jika > 1, maka deret tersebut divergen.

c. Jika = 1, maka uji tidak memberikan kesimpulan.



Deret Pangkat

Deret Pangkat

Perhatikanlah deret berikut

(15)

Deret pada (15) berbeda dengan deret yang telah kita pelajari

dalam subbab terdahulu dimana suku-suku deret berupa

bilangan. Pada deret di (15), suku-suku deret merupakan fungsi

dari . Ada dua hal yang perlu diperhatikan pada deret fungsi ini

yaitu:

1. Pada nilai x berapa deret fungsi akan konvergen?

2. Fungsi seperti apakah yang merupakan jumlah dari deret

fungsi?

Pada Matematika Dasar A2 hanya dibahas deret fungsi yang

khusus yaitu deret pangkat.

Bentuk umum deret pangkat dalam adalah

(16)

Teorema berikut digunakan untuk menentukan nilai-nilai yang

menyebabkan deret pangkat konvergen.

TEOREMA 2.19 Konvergensi Deret Pangkat

Himpunan konvergensi dari deret pangkat selalu

berupa interval yang berbentuk:

1. Titik tunggal .

2. Interval konvergensi dengan kemungkinan-

kemungkinannya adalah: , , atau

.

3. Seluruh garis bilangan riil.

Deret Pangkat, Deret Pangkat dalam , Operasi pada Deret Pangkat

2.5



Bilangan R pada Teorema 2.19 disebut jari-jari kekonvergenan

dari deret pangkat. Untuk kasus 1 pada Teorema 2.19, jari-jari

kekonvergenannya adalah R=0, dan pada kasus 3, R=. Interval

dimana deret pangkat konvergen seringkali disebut interval

kekonvergenan.

Contoh 1

Tentukan himpunan konvergensi dari deret berikut:

(17)

Penyelesaian

Himpunan nilai-nilai dimana deret fungsi konvergen disebut

himpunan konvergensi. Untuk menentukan himpunan

konvergensi, kita lakukan uji rasio mutlak seperti berikut:

Deret pada (17) konvergen bila



Deret Taylor dan Deret MacLaurin

Deret Taylor

Deret pangkat yangn kita pelajari sangat berguna untuk mencari

fungsi hampiran. Contohnya deret geometri adalah salah satu

deret pangkat yang digunakan untuk menghampiri fungsi

. Namun demikian, masih ada masalah yang

ingin dipecahkan, misalkan diberikan suatu fungsi f , dapatkah

kita membuat deret pangkat dalam x, atau lebih umum dalam x-a.

Dengan kata lain, apakah ada nilai-nilai sedemikian

sehingga

(19)

Misalkan Persamaan (19) ada, berdasarkan Teorema 2.20

didapat

(20)

Substitusikan x=a ke Persamaan (20) kemudian selesaikan

Deret Taylor, Rumus Taylor dengan Suku Sisa, Deret MacLaurin

2.6



Persamaan (20) sehingga diperoleh konstanta cn.

Bentuk umum dari ck adalah

(21)

Dari persamaan (21) dapat dilihat bahwa konstanta ck

bergantung dari fungsi f. Karena nilai ck hanya bergantung dari f

dan nilainya tunggal, ini mengandung arti bahwa uraian f

terhadap deret pangkat dalam (x-a) adalah tunggal.

Uraian fungsi f dalam deret pangkat atas (x-a) seperti pada (22)

disebut deret Taylor. Jika a=0 maka deret (22) disebut deret

MacLaurin. Jadi deret MacLaurin adalah bentuk khusus dari

deret Taylor.

Rumus Taylor dengan Suku Sisa

Teorema 2.22 dan Teorema 2.23 berikut ini memberikan

jaminan keberadaan uraian deret Taylor.

TEOREMA 2.21 Teorema Ketunggalan Misalkan f memenuhi (22) untuk semua x di interval yang mengandung a. Maka (23)



Teorema 2.22 menyatakan bentuk sisa yang terjadi apabila kita

menghampiri fungsi sampai dengan sejumlah berhingga suku

dari deret Taylor. Sedangkan pada Teorema 2.23, akan

disebutkan kapan suatu fungsi f dapat dihampiri oleh deret

pangkat dalam .

Contoh 1

Buatlah uraian deret Taylor dengan a=1 untuk fungsi

.

TEOREMA 2.23 Teorema Taylor Misalkan f fungsi yang memiliki turunan-turunan keberapapun pada suatu selang . Deret Taylor (24)

merepresentasikan fungsi f pada selang jika dan hanya jika

dimana Rn(x) adalah suku sisa dalam Rumus Taylor, (25)

dan titik c adalah titik pada .

TEOREMA 2.22 Rumus Taylor dengan Suku Sisa

Misalkan f fungsi terturunkan (k+1) kali dengan ada untuk setiap x di interval buka I yang mengandung a. Maka, untuk setiap x di I

dengan sisa yang rumusnya

dengan c titik antara dan a.



Penyelesaian

Mula-mula tentukan

dst.

Maka didapat uraian deret Taylor dari fungsi adalah

taylor(cos(x),x=1);

Coba kalian buat uraian deret Taylor dengan a=1 untuk fungsi

.

Deret MacLaurin

Jika nilai a di deret Taylor pada persamaan (24) adalah 0 maka

diperoleh deret MacLaurin

(26)

Contoh 2

Buatlah uraian MacLaurin dari fungsi seperti pada Contoh 1

yakni .

Penyelesaian

Substitusikan nilai a=0 pada persamaan deret Taylor pada

Contoh 1, maka diperoleh



taylor(cos(x),x=0);

Coba kalian buat uraian deret MacLaurin untuk fungsi

Dari Contoh 2, kita peroleh uraian MacLaurin untuk ,

yaitu

(27)

Contoh 3

Dengan menggunakan persamaan (27) dan Teorema 2.22 a

untuk mencari uraian deret MacLaurin dari .

Penyelesaian

Dari penyelesaian Contoh 3, kita miliki uraian deret MacLaurin

dari , yaitu

(28)

Dengan cara yang serupa, kita dapat mencari uraian deret

MacLaurin dari fungsi-fungsi trigonometri, fungsi eksponensial

dan fungsi-fungsi lain yang terturunkan. Beberapa uraian

MacLaurin dari fungsi-fungsi yang penting dapat dilihat pada

buku-buku kalkulus.

bab 2 - deret tak hingga

Documents