BAB 3DERET FOURIEROLEHJENERY SEVENTINA100801054EMIDOLA ELIZABETH PINEM100801035

BAB 3DERET FOURIER

3.1 UMUMPada bab sebelumnya kita telah mempelaajari tentang fungsi yang rumit f(x) kedalam deret pangkat melalui rumusan uraian Taylor. Disini kita akan membahas khusu uraian deret fungsi periodik. Fungsi ini sangat menarik karena dapat memecahkan berbagai persoaalan fisika seperti getaran mekanik, arus elektrik bolak balik (AC), hantaran panas, gelombang bunyi, elektromagnetik dan lainnya. Contok fungsi periodik yang sederhana adalah fungsi sin x, dan cos x/ keduanya memiliki periode 2 yang artinya berlaku hubungan sin (x) = sin x, dan cos (x) = cos x.Sama halnya dengan uraian Taylor, fungsi-fungsi rumit dapat pula dianalisis secara sederhana dengan menguraikannya kedalam deret fungsi periodik sederhana yang dibangun oleh fungsi sin x, cos x, atau fungsi eksponensial . uraian deret fungsi periodik ini disebut uraian atau deret Fourier.3.2 FUNGSI PERIODIK DAN DERET TRIGONOMETRIDefinisi 3.1:Sebuah fungsi f(x) dikatakan periodik juka dengan periode L > 0, maka berlaku:(3.1)Berlauku untuk semua x.Catatan :(a) Jika L adalah periode terkecil, maka L disebut periode dasar dan selang a x a + L, dengan a adalah tetapan, disebut selang dasar fungsi periodik f (x)). Sebutan periode selanjunya untuk periode dasar.(b) Tetapan a pada selang dasar dipilih apa saja, nol ataupun negatif. Pilihan a = -L/2 ini sering digunakan karena dapat memberikan selang dasar yang simetris terhadap titik x = 0, yaitu : -L/2 x L/2, yang disebut sebagai selang simetris.Seperti yang telah dijelaskan pada persamaan 3.1 diatas, fungsi sin x dan cos x adalah periodik, karena :Sin ( x cos ( x = cos x (3.2)Yang menunjukkan bahwa keduanya memiliki periode L = 2. Disini x merupakan variabel sudut dengan satuan radian atau derajat. Pada x bukan variabel sudut, x harus dikalikan dengan sebuat faktor alih p, sehingga px = berdimensi sudut. Jadi satuan p adalah : 3.3Misalkan x berdimensi panjang, dengan satuan meter (m) maka [p] = rad/m. Dalam hal ini pernyataan fungsi sin dan cos yang bersangkutan adalah :Sin x sin px; cos x cos px 3.4Jadi, translasi argumen sudut = px sebesar satu periode 2 dapat dialihkan ke translasi variabel x sejauh L, dengan syarat :Px 2 = p ( x L) 3.5Yang mana p berkaitan dengan L melalui hubungan : 3.6Dengan pernyataan faktor alih p ini, sifat periodik fungsi px, dan cos px diberikan oleh hubungan:sin px = sin p (x L) cos px = cos p (x L) 3.7yang memperlihatkan bahwa fungsi sin px dan cos px adalah periodik dengan periode L. Khusus, dalam hal periode L = 2, maka p = 1, dan kita peroleh kembali hubungan 3.2. dalam semua bahasan berikut, faktor alih p selalu dimaksudkan sebagaimana diberikan oleh hubungan 3.7.salah satu contoh sederhana fungsi periodik dalam persoalan fisika adalah gerak sebuah benda bermassa m yang digantungkan pada ujung sebuah pegas denga n tetapan pegas k. Jika benda tersebut ditarik sejauh A dari kedudukan setimbangnya ( dengan beban) y = 0, kemudian dilepaskan ia akan begetar secara harmonik sederhana dengan simpangan vertikalnya y(t) setiap saat t, dari kedudukan setimbang adalah :y(t) = A cos (t + ) 3.8besaran A dan bertururt-turut adalah amplitudo dan frekuensi sudut getaran, sedangkan adalah fase getaran, dengan sebagai fase awalnya berdimensi sudut. Jika T adalah periode atau waktu getar benda dalam satuan sekon (s), maka = 2/T satuannya (rad/s). Jadi T adalah periode L dan sebagai faktor alih p yang bersangkutan sehingga membuat t berdimensi sudut.Dari kedua fungsi periodik dasar cos px dan sin px ini kita bentuk suatu deret fungsi istimewa dengan suku ke-n:

Yakni

Deret (3.9b) disebut deret trigonometri yang berhubungan dengan (3.7) adalah periodik dengan periode L. Jika deret trigonometri (3.9) konvergen, maka ia konvergen ke suatu fungsi jumlah f(x) yaitu:

Fungsi jumlah f(x) dengan demikian juga periodik dengan periode L.3.3 DERET FOURIERSama halnya dengan alasan rumusan uraian taylor pada bab sebelumnya, persamaan (3.10) menyarankan kita untuk membuat rumusan kebalikannya sebagai berikut. Andaikanlah f(x) adalah sebuah fungsi periodik dengan periode L yang terdefinisikan dalam selang dasar ax a+L yakni f(x) = f(x L). Maka fungsi f(x) dapat diuraikan atas deret trigonometri (3.10) yaitu:

Dengan koevisien ao, an, dan bn ditentukan oleh fungsi f(x) melalui hubungan integral:

Uraian deret trigonometri fungsi f(x) pada pers. (3.11) dengan koefisien-koefisiennya diberikan oleh pers. (3.12) disebut uraian atau deret fourier fungsi periodik f(x). Koefisien ao, an, dan bn ini disebut koefisien Fourier. Penamaan ini untuk menghargai jasa matematikawan perancis, Joseph Fourier yang pertama kali merumuskan deret ini dalam sebuah makalah mengenai hantaran panas yang dilaporkan kepada Akademi Ilmu Pengetahuan Perancis pada tahun 1807.Hubungan (3.12) diturunkan dengan menggunakan hubungan ortogonalitas integral fungsi cos px dan sin ps dalam selang dasar: a x a + L yaitu:

Dengan m = 0, 1, 2, 3,...............Perkenalkan simbol delta kronecker:

Maka pers. (3.13b) dan (3.13c) disingkat menjadi:

Untuk memberikan gambaran mengenai pembuktian pers. (3.12) dan (3.13), berikut akan dibuktikan pers. (3.13b) dan kemudian darinya diturunkan hubungan (3.12c). semua persamaan (3.12) dan (3.13) yang sisanya dapat dibuktikan dengan cara yang sama dan dibiarkan sebagai latihan pada himpunan soal.Untuk membuktikan pers. (3.13b) kita gunakan rumus jumlah trigonometri:Yang memberikan,

Dengan k = (n-m), dan l = (n+m)(a) Jika n = m, maka k= 0 dan

Sedangkan l = bulat 0, sehingga:

Kadang pL = Sisipkan pers. (3.16) dan (3.17) ke dalam pers. (3.15) maka akan kita peroleh :

(b) Jika n m maka k 0 dan l 0 sehingga menurut pers. (3.16) kedua integral di ruas kanan pers. (3.15) adalah nol atau:

Pers. (3.18) dapat membuktikan pers. (3.13b).Selanjutnya untuk menurunkan hubungan (3.12c) kalikan deret (3.11) dengan sin mpx kemudian integrasikan terhadap x dari x=a hingga a+L:

Tanda integral dan jumlah telah di tukar dengan anggapan deret trigonometri yang konvergennya seragam yang pembuktiannya telah di buktikan dalam buku-buku metematika lanjutan. Selanjutnya gunkan hubungan ortogonalitas (3.13) pada setiap integral diruas kanan persamaan terakhir diatas, kita peroleh: Yang memberikan pers. (3.12c) setelah indeks m dinamakan ulang dengan n.

Contoh 3.1Diketahui fungsi:

Periodik dengan periode 2, f(x2) = f(x)Pemecahan:Menurut definisi fungsi periodik diatas periode fungsi ini adalah L = 2 jadi p=1 dan selang dasar adalah x , dengan a = diluar selang ini f(x) didefinisikan sebagai perluasan periodiknya dalam selang dasar. Sketsanya diberikan pada gambar 3.1:Jadi koefisien Fourier f(x) menurut (3.12) adalah:

Dengan demikian uraian Fourier bagi fungsi f(x) pada contoh ini adalah:

SYARAT DIRICHLETKarena koefisien uraian deret Fourier diberikan oleh hubungna integral (3.12) dari fungsi f(x) maka berbeda dari uraian Taylor yang mempunyai syarat fungsi f(x) harus diferensiabel, disini f(x) mungkin bisa menjadi tak kontiniu seperti pada contoh 3.1 pada titik yg tidak kontinuannya x = 0, deret trigonometri di ruas kanan konvergen ke yakni separuh jumlah limit f(X) di x = 0 dari kiri, yakni 1, dan kanan 0.Persyaratan sebuah fungsi f(x) agar terurai kedalam deret Fourier harus memenuhi syarat Dirichlet berikut:Jika:(a) F(x) harus periodik dengan periode L(b) Bernilai tunggal serta kontiniu sedikit demi sedikit bagian dalam selang dasarnya a x < a + L dan(c) berhingga,Maka deret Fourier diruas kanan (3.11) dikonvergen kan ke:(1) f(x) disemua titik kekontiniuan f(x) dan(2) [f(xo_) + f(xo+)], disetiap titik ketakkontiniuan xo, dengan ( > 0)

3.4 FUNGSI GENAP DAN GANJILPerhitungan koefisien Fourier seringkali dipermudah jika fungsi f(x) yang diuraikan memiliki sifat istimewa tertentu yakni genap atau ganjil terhadap sumbu x = 0. Keduanya didefinisikan sebagai berikut:DEFINISI 3.2:Sebuah fungsi f(x) adalah:(a) Genap, jika berlaku : f(-x) = f(x),(b) Ganjil, jika berlaku: f(-x) = -f(x).Untuk semua x dalam daerah definisi f(x).Sebagai contoh, fungsi x2 dan cos x adalah genap, karena menurut definisi diatas (-x)2 = x2, dan cos (-x) = cos x; sedangkan fungsi x dan sin x misalnya ganjil karena (-x) = -x dan sin (-x) = -sin x. Pada umumnya fungsi pangkat genap dari x adalah fungsi genap, sedangkan fungsi pankat ganjilnya adalah fungsi ganjil.Integrasi fungsi genap dan ganjil dalam selang simetris, seperti L/2 < x < L/2, ternyata menjadi sederhana. Tinjauan misalnya f (x) adalah genap, maka:

Terhadap integral pertama diruas kanan, yang didefinisikan dalam selang negatif x: -L/2 < x < 0, kita lakukan sisipan variabel integral baru, u = -x, sehingga f(x) = (-u). Karena fungsi f(x) dalam genap makak f(-u) = f(u) dengan demikian jumlah keduanya integral diatas menjadi:

Atau dengan menamakan ulang variabel integrasi u dengan x, kita peroleh:

Sedangkan jika f (x) ganjil, dengan cara yang sama kita peroleh:

Uraian Fourier fungsi periodik genap dan ganjil, khususnya perhitungan koefisien an dan bn yang bersangkutan menjadi lebih sederhana. Tinjau dahulu fungsi f(x) adalah ganjil. Karena cos npx adalah genap, maka f(x) co npx ganjil dan f(x) sin npx genap. Dengan demikian dalam selang simetris L/2 < x < L/2, an adalah integral dari suatu fungsi ganjil, sehingga nilainya adalah nol. Tetapi bn adalah integral dari suatu fungsi genap dalam selang simetris karena itulah nilainya adalah dua kali integral dalam selang 0 hingga L/2. Jadi kita peroleh: 3.19Dalam hal ini dikatakan bahwa f(x) teruraikan dalam deret sinus (an=0, sehingga tak ada suku cosinus).Dengan cara yang sama, jika f(x) genap semua koefisien bn adalah nol, dan an adalah integral dari fungsi genap. Jadi kita peroleh: 3.20Dalam hal ini f(x) dikatakan teruraikan dalam deret cosinus.Contoh 3.2:Fungsi periodik f(x) dengan periode 8, yakni f (x + 8) = f(x), didefinisikan dalam selang dasar -4 x < 4 sebagai f(x) = |x|. Uraikan fungsi ini kedalam deret Fourier.Pemecahan:Fungsi f(x) = |x|, secara terinci adalah sebagai berikut:

Yang memperlihatkan bahwa ia adalah suatu fungsi genap. Karena itu, menurut pers. (3.20), f(x) teruraikan atas deret cosinus dengan p = 2/8 = /4, bn = 0 dan

Karena, cos n = (-1)n, dan np = n/4, maka:

Jadi, uraian fungsi f(x) ke dalam deret Fourier diberikan oleh deret cosinus:

Contoh 3.3Fungsi periodik f(x) dengan periode 8 yakni f(x + 8) = f(x), didefinisikan dalam selang dasar -4 x< 4 sebagai f(x) = x. Uraikan fungsi ini kedalam deret Fourier.PEMECAHAN:Fungsi f(x) = x, dengan selang dasar -4 x < 4 adalah sebuah fungsi ganjil. Karena itu menurut pers. (3.19), f(x) teruraikan atas deret sinus dengan p = 2/8 = /4, ao = an = 0, dan

Atau,

Jadi, uraian fungsi f(x) ke dalam deret Fourier diberikan oleh deret sinus :

DERET FOURIER JAGKAUAN SETENGAHDalam suatu persoalan fisika, fungsi f(x) mungkin hanya terdefinisikan dalam selang positif: 0. Seringkali kita sering memperluas ke seluruh sumbu x. Dalam haliniada tiga pilihan yang dapat kita lakukan :(1)Fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodic fb(x) dengan periode L=1 , dan selang dasar 0x