bab 4 determinan
DESCRIPTION
freeTRANSCRIPT
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Determinan
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Determinan Matrik 2x2
bcaddc
baA
det)det(
Syarat suatu matrik mempunyai determinan: matrik bujursangkar
Lambang determinan matrik A adalah det(A) atau A
Dengan menggunakan determinan matrik 2x2 ini, akan didefinisikan determinan matrik yang berordo yang lebih besar
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Determinan Matrik 3x3
332112322311312213322113312312332211
333231
232221
131211
)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A
det(A)= )()1()()1()()1( 3122322131
133123332121
123223332211
11 aaaaaaaaaaaaaaa
det(A)=3231
22213113
3331
23212112
3332
23221111 )1()1()1(
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
det(A)= )()1()()1()()1( 3112321132
233113331122
223213331212
21 aaaaaaaaaaaaaaa
det(A)= 3231
12113223
3331
13112222
3332
13121221 )1()1()1(
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
Dari kenyataan di atas dapat dirumuskan berikut:
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Minor dan Kofaktor
Definisi:
Misalkan Anxn=[aij], maka minor dari aij , yang
dilambangkan oleh Mij, adalah determinan dari sub
matrik A yang diperoleh dengan cara membuang
semua entri pada baris ke-i dan semua entri pada
kolom ke-j.
Kofaktor dari aij, yang dilambangkan oleh Cij, adalah
(-1)i+jMij.
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Contoh Minor dan Kofaktor
454
210
132
A14
45
2111
M 420
1232
M 22
54
3223
M
14)1( 1111
11 MC 4)4()1( 3223
32 MC 22)1( 2332
23 MC
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Ekspansi Kofaktor
Misalkan Anxn=[aij]
determinan dari A:
det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2+ + ainCin
{karena baris ke-i menjadi acuan/ tetap, disebut: ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i}
atau
det(A) = a1jC1j + a2jC2j+ + anjCnj
{karena kolom ke-j menjadi acuan/ tetap, disebut: ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j}
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Contoh Determinan 1
135
650
432
A
16465
43)1)(5()1(0
13
65)1(2)det( 13
211211
MA
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Contoh Determinan 2
1243
3202
0113
0200
B
131314131211 220200)det( MCCCCCB
4743
13)1(3
14
01)1(2
143
302
0133212
13
M
det(B) = 2(-47) = - 94
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Sifat-sifat determinan
1. det(AB)=det(A)det(B)2. det(AT)=det(A)
3. Jika A matrik diagonal, maka det(A)=a11a22...ann {perkalian dari semua entri pada diagonal utama}
4. Jika A matrik segitiga, maka det(A)=a11a22...ann {perkalian dari semua entri pada diagonal utama}
5. Jika Anxn, maka det(kA)=kndet(A)6. det(A-1)=1/det(A)7. Jika A memuat baris nol atau kolom nol, maka det(A)=0
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Sifat-sifat determinan
8. Terhadap operasi baris elementer, determinan mempunyai sifat, sebagai berikut:
a. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara mengalikan satu baris dari A dengan konstanta k0, maka det(A’)=k det(A)
b. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menukar dua baris, maka det(A’) = - det(A)
c. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menjumlahkan kelipatan satu baris dengan baris yang lain, maka det(A’)=det(A)
9. Jika A memuat dua baris yang saling berkelipatan atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka det(A)=0
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Reduksi Baris
Dengan menggunakan sifat ke 8 dan 4, maka dapat mempermudah dalam menghitung determinan, dengan cara mengubah bentuknya menjadi matrik segitiga
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Contoh Reduksi Baris
135
650
432
A
det(A)
13 2135
650
432
bb
31 2
931
650
432 bb
21 2
931
650
2290 bb
12 5
931
650
3410
bb
1
3
931
16400
3410
b
b
2
3
3410
16400
931
b
b
16400
3410
931
)(
164)164(1)1)((
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Kombinasi Reduksi Baris dan Ekspansi Kofaktor Penggunaan kombinasi metode reduksi baris
dan ekspansi kofaktor secara bersamaan, menyebabkan penghitungan determinan lebih cepat
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Contoh Kombinasi
1243
3202
0113
0200
B
det(B) =
1243
3202
0113
0200
13
31
4143
302
013
)1(2
bb
=
1015
302
013
)1(2 31
=
115
32)1.(1)1(2 2131
=
= -2(2 - 3(-15)) = -94
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Tantangan 1
42
32
564
456
465
221
032
221
1. Untuk matrik-matrik di bawah ini, tentukan: a. minor dari semua entri darib. Kofaktor dari semua entric. Determinan dengan menggunakan ekspansi kofaktor
8421
0421
0021
1031
1002
2100
4210
8421
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Tantangan 2
2. Hitung determinan matrik di bawah ini, menggunakan metode campuran, yaitu gabungan metode reduksi baris dan ekspansi kofaktor.
4332
2543
0023
1043
0232
0430
201
1055
41
3212
2432
2121
1111
3. Diketahui matrik A dan B berordo 4x4, det(A)= - 12 dan det(B)=3/4, hitunglah: det(A2BA-1B3B-3)
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Tantangan 3
12ihg
fed
cba
ihg
fed
cba
222
cba
ihg
fed
fcebda
ihg
cba
fiehdg
cba
fed
222
ihg
cfbead
cba
21
21
21
222
333
, hitunglah4. Jika
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Adjoin
Definisi: Misalkan Anxn=[aij], Cij adalah kofaktor dari entri aij, matrik:
disebut matrik kofaktor. Transpos matrik kofaktor A disebut matrik adjoin A ditulis adj(A).
nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
21
22221
11211
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Contoh Adjoin
454
023
321
A
496
31623
7128adj(A) =
437
91612
6238
Matrik Kofaktor A =
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Jumlah perkalian Entri dan Kofaktor tak seletak
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
131211
232221
131211
'
aaa
aaa
aaa
A
b1 = a11C31 + a12C32 + a13C33
b2 = a11C’31 + a12C’32 + a13C’33
b1=b2 b2=det(A’)det(A’)=0b1=0
Dengan cara yang sama, kenyataan tersebut dapat dikembangkan untuk matrik nxn, sehingga Jumlah perkalian entri dan kofaktor yang tak seletak = nol
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
A dikali adj(A)
nnnn
n
n
nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
aaa
aaa
aaa
AA
21
22212
12111
21
22221
11211
)(adj
n
knknk
n
kknk
n
kknk
n
knkk
n
kkk
n
kkk
n
knkk
n
kkk
n
kkk
CaCaCa
CaCaCa
CaCaCa
112
11
12
122
112
11
121
111
bij=
jninjiji
n
kjkik CaCaCaCa
22111
bij=
Jika ij, maka bij=0Jika i=j, maka bij=det(A)
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Invers Matrik dgn Adjoin
A adj(A)= IA
A
A
A
)det(
)det(00
0)det(0
00)det(
A adj(A)=det(A)I
IA
AA )det(
1)(adj
IAA
AAA 11
)det(
1)(adj
)(adj)det(
1 1 A
AA
Jika det(A)0, maka
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Contoh Invers dgn Adjoin
454
023
321
A
13
12
4
3
454
023
321
)det(
bb
bbA
1630
940
321
37163
941
)()det(
11 AadjA
A
437
91612
6238
37
1
374
373
377
3793716
3712
376
3723
378
=
=
= =
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Aturan Cramer
BAA
X )(adj)det(
1
nnnnn
n
n
b
b
b
CCC
CCC
CCC
AX
2
1
21
22212
12111
)det(
1
nnnnn
nn
nn
CbCbCb
CbCbCb
CbCbCb
AX
2211
2222121
1212111
)det(
1
nx
x
x
X2
1
)det(1
A
Cbx
n
iiji
j
X=A-1B
nnjnnjnnn
njj
njj
j
aabaaa
aabaaa
aabaaa
A
)1()1(21
2)1(22)1(22221
1)1(11)1(11211
n
iijij CbA
1
)det(
)det(
)det(
A
Ax jj
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Contoh Aturan Cramer
232
1323
432
zyx
zyx
zyx
2
1
4
312
323
132
z
y
x
32
31
2
3
312
323
132
bb
bb
312
907
804
20
97
84)1)(1(
det(A)=
= =
32
31
2
3
312
321
134
bb
bb
312
905
8010
5095
810)1)(1(
det(Ax)==
=
2
12
20
50
)det(
)det(
A
Ax x
Aljabar Linier - Mahmud 'Imrona - [email protected]
Tantangan 4
Tentukan solusi dari persamaan-persamaan di bawah ini, menggunakan metode:
A. Perkalian dengan determinan matrik koefisien dan adjoinnya
B. Aturan Cramer
4
11
14
32
2411
1113
1927
4112
w
z
y
x
426
53423
0254
2323
wzy
wzyx
wyx
wzyx
5
0
3
114
232
132
z
y
x
0
22
1352
zyx
zyx
zyx