• Suatu pemetaan f dari himpunan A kehimpunan B disebut fungsi jika setiap anggotadari himpunan A dipetakan atau dikaitkandengan tepat satu anggota dari himpunan B

1

2

3

4

a

b

c

d

A B

f

Gambar 6.1: Fungsi

• Suatu Fungsi biasanya dinyatakan denganhuruf tunggal, boleh huruf kecil ataupun hurufbesar misalnya f, g, h, d, F, G, K, L, V dansebagainya

• Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan

f : A B

yang artinya f memetakan A ke B

• A disebut daerah asal (domain) dari f dan Bdisebut daerah hasil (codomain) dari f.

• Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df

• Apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwadomain fungsi f adalah himpunan terbesar di dalamR sehingga f terdefinisikan atau ada.

• Himpunan semua anggota B yang mempunyaikawan di A dinamakan Range atau daerah hasilfungsi f, ditulis Rf

| ( )fD x f x

( ) |f fR f x x D

• Jika pada fungsi f : A B , sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan“y merupakan bayangan x oleh f “ atau “ymerupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).

• Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakanvariable bebas dan variabel tak bebas.Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.

A B

fx y

Gambar 6.4 : fungsi dari himpunan A ke B

• Tentukan domain dan range dari fungsiberikut:

1. ( ) 3f x x 2. 2( )f x x

3. ( ) 2 6f x x 4. 2( ) 9f x x

5. 3

( )4

f xx

2. 2( )f x x

Untuk setiap x nilai dari ( )f x selalu ada

dan memiliki nilai positif ( ( )f x + ) sehingga:

{ | }fD x x dan fR y y

1. ( ) 3f x x

Untuk setiap x nilai dari ( )f x

selalu ada dan ( )f x .

{ | }fD x x dan fR y y

3. ( ) 2 6f x x

Jika kita memasukan nilai x = 1 maka

(1) 2(1) 6 4f (tak terdefinisi),

Karena “akar” hanya didefinisikan untuk bilangan yang lebih dari atau sama dengan nol. Jadi

2 6 0 2 6 3x x x .

Jadi daerah asalnya dalah: { | 3, }fD x x x

Daerah hasil diperoleh dengan cara memasukan

nilai x pada daerah asal. 0, 0,~fR y y y

4. 2( ) 9f x x

f(x) akan terdefinisi jika bilangan dibawah tanda akar

lebih dari atau sama dengan nol, sehingga

2 9 0 ( 3)( 3) 0x x x

Dan nilai–nilai x yang memenuhi pertidak samaan terakhir adalah

3x atau 3x jadi daerah asalnya adalah

3 3fD x x atau x .

0, 0,~fR y y y

-3 0 3

5. 3

( )4

f xx

Suatu pecahan akan terdefinisi jika penyebutnya

tidak sama dengan nol. Jadi agar f(x) terdefinisi maka

4 0 4x x sehingga:

4 4 atau 4,fD x x x x x x

Nilai f(x) tidak mungkin nol sehingga :

0, ( ,0) (0, )fR y y y

4

Carilah domain dan range dari fungsi :

Solusi:

a. Mencari domain

Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :

1

4 3f x

x

34 3 0

4x x 3 3 3

, ,4 4 4

fD

0fR

,00,fR

b. Mencari Range

f(x) tidak mungkin bernilai nol, sehingga

13

2

x

xxf

013 x

3

1x

a. Mencari domain

Sehingga

,

3

1

3

1,tD

2. Carilah domain dan range dari fungsi :

Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :

13

2

x

xyxf

23 xyxy

yxxy 23

yyx 213

b. Range

13

2

y

yx

013 y

3

1y

,

3

1

3

1,fR

1

3

Syarat fungsi tersebut terdefinisi,

Jadi

Atau

n

nxaxaxaaxf ...2

210

0axf

xaaxf 10

2

210 xaxaaxf

-Fungsi konstan,

-Fungsi linier,

-Fungsi kuadrat,

1. Fungsi polinom

xq

xp

1

123

2

xx

xxf

2. Fungsi Rasional

p(x), q(x) = fungsi polinom dengan q(x) ≠ 0

contoh :

3. Fungsi harga/nilai mutlak

2213 xxxf

Bentuk umum :

Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh :

x

55

32,3

4. Fungsi bilangan bulat terbesar

= Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x

xfxf

5. Fungsi Genap

dan grafiknya simetris Disebut fungsi genap jika

terhadap sumbu y

22,1

2xxf

xxf

xxf cos

xfxf

xxf sin

3xxf

Contoh :

6. Fungsi Ganjil

simetris terhadap titik asal, contoh :

Disebut fungsi ganjil jika dan grafiknya

xf xg

xf xg xgfxgf

xgf

xg xg fD

7. Fungsi Komposisi

dan , komposisi fungsi antara

dan ditulis Domain dari

adalah himpunan semua bilangan x dengan domain

sehingga di dalam

Diberikan fungsi

Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan,

terpenuhi

maka harus

g fR D

g(x) f(x)

(fog)(x)

DgRg Df Rf

g fR D

Dengan cara yang sama, xfgxfg

Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan,

terpenuhi

maka harus

f gR D

Domain dari komposisi fungsi f dan g didefinisikan sbb :

fggf DxgDxD

gffg DxfDxD

Sedangkan definisi dari Range komposisi fungsi komposisi

fgfg RttgyRyR ,

gfgf RttfyRyR ,

xxf 21 xxg

fg gf

Tentukan

dan beserta domain dan range-nya!

1. Jika diketahui

,0fD

,0fR

gD

1,gR

gf DR 0, fg

xxgxfgxfg 1

Karena = , maka fungsi

terdefinisi

fg

g f f gD x D f x D

0,x x

xx 0

a. Mencari Domain

00 xx

00 xx

,0,0x

,0x

fg

fgfg RttgyRyR ,

,0,11, 2 ttyyR fg

b. Mencari Range

1,1, yR fg

1, y

Jadi

gf

fggf DxgDxD

21 0,x x

21 0x x

c.Domain

1 1x x

1,1 1,1

fg DR ,01, 0,1

gf

xgf xgf 21 xf 21 x

Karena , maka fungsi

terdefinisi dengan

MA 1114 Kalkulus I

gf

gfgf RttfyRyR ,

1,,,0 ttyy

10,0 ttyy

100 yy

1,0,0

1,0

d. Range

• Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi yang diberikan!a. 2( ) 2 3f x x

b. ( ) 3 9f x x

c. 2( ) 2 8f x x

d. 4( )

2 6f x

x

e. 2

5( )

5 6f x

x x

f. 2 5

( )3 9

xf x

x

g. 2 5 6f x x x

Tentukan

a. 2( ) 5f x x dan ( ) 2 3g x x

b. ( ) 1f x x dan 2( ) 4g x x

fg gf dan beserta domain dan range-nya!