bab 4 - pendidikan matematika smk bk 5 … · web viewbentuk kelompok-kelompok kecil yang terdiri...
TRANSCRIPT
BAB 4
BARISAN DAN DERET
Standar Kompetensi : Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan
masalah
Kompetensi Dasar : 1. Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku
deret aritmatika dan geometri
2. Merancang model matematika dari masalah yang
berkaitan dengan deret
3. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang
berkaitan dengan deret dan menafsirkan solusinya.
Untuk mempersiapkan pendidikan anak-anaknya, seorang ayah menabung di
sebuah bank. Pada tahun pertama ia menabung sebesar Rp 100.000,00 per bulan,
pada tahun berikutnya, ia menaikkan tabungannya manjadi Rp 150.000,00 per
bulan. Pada tahun ketiga ia menaikkan lagi tabungannya menjadi Rp 200.000,00
per bulan, demikian seterusnya setiap tahun ia menaikkan sebesar Rp 50.000,00.
Setelah 10 tahun, berapakah besar uang yang sudah ditabungkan ayah?
Penyelesaian dari permasalahan di atas, akan sangat mudah apabila menggunakan
konsep barisan dan deret.
Pada pokok bahasan ini, kita akan mempelajari mengenai barisan dan deret
aritmatika dan geometri. Untuk lebih jelasnya, perhatikan peta konsep di bawah
ini:
Barisan dan Deret
Aritmatika
Geometri
Suku ke-n Barisan Aritmatika
Suku Tengah dan Sisipan Barisan Aritmatika
Barisan Aritmatika
Deret Aritmatika
Barisan Geometri
Suku ke-n Barisan Geometri
Deret Geometri
Deret Geometri Tak Hingga
Notasi Sigma
Suku Tengah dan Sisipan Geometri
Penerapan Deret Arimatika dan Geometri
Bunga Tunggal
Bunga Majemuk
Anuitas
Motivasi
Johann Carl Friedrich Gauss (30 April 1777-23 Februari 1855) adalah
matematikawan, astronom dan fisikawan Jerman legendaries, sebagai salah satu
matematikawan terbesar selain Archimedes dan Isaac Newton. Ia dilahirkan di
Braunsehweig, Jerman. Saat umurnya belum genap 3 tahun, ia telah mampu
membetulkan kesalahan daftar gaji tukang batu ayahnya. Pada umur 10 tahun ia
dan teman-teman sekelasnya mendapatkan soal dari gurunya untuk menghitung
deret 1 + 2 + 3 + …+ 100. Dalam waktu singkat, Gauss memberikan jawaban
yang ditulis pada selembar kertas. Guru mengecek jawaban tersebut dan ia
terkejut karena Gauss memberikan jawaban yang benar dalam waktu singkat.
Bagaimana Gauss menemukan jawaban itu dalam waktu singkat?
Apakah kalian bisa menemukan jawaban dari soal tersebut dalam waktu singkat
pula?
Permasalahan ini akan dijelaskan pada uraian materi berikut ini.
4.1. Barisan dan Deret
Seorang ayah menyiapkan biaya pendidikan anak-anaknya dengan
cara menabung. Pada tahun pertama ia menabung Rp. 50.000,00 perbulan.
Pada tahun kedua ia menambah jumlah uang yang ditabung menjadi
Rp.75.000,00 perbulan. Demikian seterusnya setiap tahun dinaikkan Rp.
25.000,00 perbulan. Tanpa memperhitungkan bunga dari pihak bank,
berapakah jumlah tabungan ayah setelah sepuluh tahun mendatang?
Permasalahan diatas merupakan suatu masalah yang berkaitan
dengan barisan dan deret. Apa yang dimaksud dengan barisan dan deret?
Perhatikan bentuk-bentuk berikut ini!
a. 1, 2, 3, 4, 5… e. 1, 2, 4, 8, …
b. 2, 7, 12, 17, 22, 27, … f. ,1,,3,,9,…
c. …, –2, –1, 0, 1, 2,… g. 3, 2, 10, 11, 8, 7, 13, …
d. 6, 8, 10, 12, … h. 1 + 2 + 3 + … + 20
i. 3 + 6 + 9 + … + 99
j. U1 + U2 + U3 + … Un
Bentuk-bentuk pada a sampai dengan f merupakan contoh barisan bilangan,
yaitu bilangan-bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan tertentu.
Sedangkan bentuk pada g bukan barisan bilangan. Bentuk pada h – j adalah
deret bilangan, yaitu bentuk jumlah dari suatu barisan.
Contoh 1:
Secara umum suatu barisan yang terdiri dari n suku, dinyatakan U1 , U2 , U3 , … Un
dengan :U1 : suku pertamaU2 : suku kedua Un : suku ke n
Tuliskan 5 suku berikutnya pada barisan :
a. 1, 4, 7, 10,…
b. 6, 9, 13, 18,…
Penyelesaian :
a. 1, 4, 7, 10, …
dengan memeprhatikan barisan tersebut, kita ketahui bahwa antar suku
mempunyai selisih 3 maka empat suku beriklutnya: 1, 4, 7, 10, 13, 16,
19, 22.
b. 6, 9, 13, 18,…
Selisih U1 dan U2 adalah 3
Selisih U2 dan U3 adalah 4
Selisih U3 dan U4 adalah 5
Jadi selisih berikutnya adalah 6, dan seterusnya.
Sehingga empat suku berikutnya 6, 9, 13, 18, 24, 31, 39, 48
Contoh 2:
a. Un = 2n + 4
b. Un = n2 + 2n
Penyelesaian :
a. Un = 2n + 4
U1 = 2 (1) + 4 = 6
U2 = 2 (2) + 4 = 8
U3 = 2 (3) + 4 = 10
U4 = 2 (4) + 4 = 12
Jadi empat suku pertamanya adalah 6, 8, 10, 12
b. Un = n2 + 2n
Un = (1)2 + 2n = 3
Un = (2)2 + 2n = 8
Un = (3)2 + 2n = 15
Un = (4)2 + 2n = 24
Jadi empat suku pertamanya adalah 3, 8, 15, 24
Contoh 3:
Suatu barisan bilangan mempunyai aturan Un = 7n + 4.
a. Tentukan suku ke 5
b. Suku keberapakah yang nilaianya 81?
Penyelesaian :
a. Tentukan suku ke 5
suku kelima = U5 = 7 (5) + 4
= 35 + 4
= 39
b. Suku yang nilaianya 81
81 = 7n + 4
7n = 77
n =
= 11
Jadi suku yang nilainya 81 adalah suku ke-11
Contoh 4:
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 10, 12, 14, 16, …
Jawab :
n = 1 U1 = 10 =
n = 2 U2 = 12 =
n = 3 U2 = 14 =
n = 4 U1 = 16 =
Un =
Jadi rumus suku ke-n adalah Un = 2n + 8.
1. Tentukan lima suku berikutnya dari barisan bilangan:
a. 1, 6, 11, 16, ... e. 1, –2, 4, –8
b. 10, 7, 4, 1,... f.
c. 1, 4, 9, 16,... g. 9, 3, 1, ,...
d. 2, 6, 18, 54,... h. 12, 22, 32, 42, ...
2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan-barisan berikut:
a. –3, –2, –1, 0,...
b. 2, 7, 12, 17, ...
c. 2, 6, 12, 20,...
d. 8, 4, 2, 1, ...
3. Tentukan empat suku pertama dari barisan yang mempuynyai aturan berikut:
a. Un = 5n – 8 e. Un = + 3
b. Un = 3n2 + 1 f.
c. Un = 3nn–4
d. Un = n (n2 + 8)
4. Suatu barisan bilangan suku ke-n nya mempunyai aturan Un = ½ (3n + 10)
a. Tentukan U2 dan U4
b. Tentukan nilai n untuk Un = 35
4.1.1. Barisan dan Deret Aritmatika
A. Barisan Aritmatika
Barisan artimatika ialah suatu barisan yang selisih tiap dua
suku yang beruruitan selalu sama. Selisih tersebut disebut beda yang
dilambangkan dengan huruf b, sebagai contoh :
Latihan 1
a. Barisan 2, 6, 10, 14,…; dengan beda b = 6 – 2 = 10 – 6 = 4
b. Barisan 10, 5, 0, –5,… ; dengan beda b = 5 – 10 = 0 – 5 = –5
Misalkan U1, U2 …, Un adalah barisan aritmatika dengan selisih b dan
suku pertama a, maka:
U1 = a
U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b
Un = Un-1 + b
= {a + (n – 2)} + b
= a + (n – 1) b
Sehingga diperoleh :
B. Suku ke-n suatu barisan aritmatika
Dari bentuk umum barisan aritmatika di atas,
a, a + b, a + 2b, a + 3b,…, a + (n-1)b
maka rumus suku ke-n
Contoh 5:
Diketahui suatu deret aritmatika 5, 7, 9, 11,...
Tentukan suku ke-15
Jawab :
a = 5 Un = a + (n – 1) b
b = 7 – 5 = 2 = 5 + (15 – 1) 2
n = 15 = 5 +
= 5 + 28
= 33
Bentuk umum barisan aritmatika:a, a + b, a + 2b, a + 3b,…, a + (n-1)bdengan a = U1 (suku pertama)
b = Un – Un - 1
Un = a + (n – 1)b
Contoh 6
Suatu barisan aritmatika mempunyai suku ke-2 = 8 dan suku kje -5
= 20. tentukan:
a. Suku pertama dan bedanya
b. Suku ke-n
c. Suku ke-20
jawab :
a. U2 = a + b = 8 Untuk b = 4
U5 = a + 4b = 20 a + b = 8
–3 b = – 12 a + 4 = 8
b = 4 a = 4
b. Un = a + (n – 1) b
= 4 + (n – 1) 4
= 4 + 4n – 4
= 4n
c. Un = 4n
U20 = 4 (20)
= 80
Contoh 7
Diketahui barisan aritmatika U2 + U3 = 35 dan U3 + U5 = 50
a. Tentukan suku pertama dan bedanya
b. Tentukan suku ke-10
Jawab :
a. U2 + U3 = 35 (a + b) + (a + 2b) = 35
2a + 3b = 35..........................(i)
U3 + U5 = 50 (a + 2b) + (a + 4b) = 50
2a + 6b = 50
a + 3b = 25.........................(ii)
–
dari (i) dan (ii) diperoleh:
2a + 3b = 35 a + 3b = 25
a + 3b = 25 10 + 3b = 25
a = 10 3b = 25 – 10
3b = 15
B= 5
Jadi a = 10 dan b = 5
b. Suku ke-10
Un = a + (n – 1)b
U10 = 10 + (10 – 1)
= 10 + (9)
= 10 + 45
= 55
Contoh 8:
Diketahui suatu barisan artimatika 99, 96, 93,...
Suku ke berapakah yang nilainya nol?
Jawab:
U1 = a = 99
b = – 3
Un = 0
Un = a + (n – 1) b
0 = 99 + (n – 1) (–3)
0 = 99 + 3 – 3n
3n = 102
n = 34
–
1. Tentukan beda (b) dan suku ke-12 dari setiap barisan aritmatika berikut
ini :
a. 20, 18, 16, 14 d.
b. 6, 6 ½ , 7, 7 ½ e. 5,4½ , 4,3½
c. –44, –39, –34, –29 f. 25x, 22x, 19x, 16x,…
2. Tentukan nilai suku ke-20, jika diketahuyi :
a. U1 = 6 dan b = 5
b. U3 = 17 dan b = 3
c. U4 = –2 dan U10 = 10
3. Tentukan nilai a, b dan Un dari barisan aritmatika di bawah ini jika :
a. U3 = 22 dan U6 = 37
b. U10 = 15 dan U20 = 20
4. Pada barisan aritmatika diketahui U7 = –20 dan U8 + U12 = –64. tentukan
nilai U1 + U20.
5. Tentukan nilai suku ke -30 dari barisan
6. Tentukan banyaknya suku dari barisan 1, 6, 11, …, 121
7. Berapakah banyaknya bilangan asli antara 10 dan 85 yang habis dibagi 5 ?
8. Berapakah banyaknya bilangan asli kurang dari 200 yang habis dibagi 3 ?
9. Berapakah banyaknya bilangan asli antara 100 dan 300 yang habis dibagi
8 tetapi tidak habis dibagi 12 ?
10. Jika suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah 250, suku pertamanya
adalah 3 dan suku kelimanya adalah 55, tentukan banyak suku barisan
tersebut !
C. Suku Tengah dan Sisipan dari Barisan Aritmatika
1. Suku Tengah Barisan Aritmatika
Latihan 2
Suku tengan (Ut) dari suatu barisan aritmatika adalah suku yang
berada di tengah-tengah (suku paling tengah). Barisan aritmatika yang
jumlah sukunya ganjil dan paling tidak terdiri dari 3 suku, maka memiliki
suku tengah.
Misal :
U1, U2, U3 suku tengahnya U2
U1, U2, U3, U4, U5 suku tengahnya U3
U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7 suku tengahnya U4
Misal diberikan barisan aritmatika U1, U2, …, Ut, Ut + 1, …,U2t-1 dengan
suku tengah Ut dan banyaknya suku (2t – 1), maka berdasarkan rumus Un,
diperoleh :
Ut = a + (t – 1) b
=
=
U2t-1
= {a + a + (2t – 2)b}
= {a + U2t-1}
= {U1 + U2t-1}
Jadi besarnya suku tengah dihitung dengan rumus :
Atau atau Ut = (U1 + U2t-1) Ut =
dengan t = (n+1) untuk n ganjil
Ut = suku tengah
a = U1 = suku pertama
b = selisih
Un = suku ke-n (suku terakhir)
Contoh 9
Ditentukan barisan aritmatika 11, 15, 19, …, 203. banyaknya suku barisan
itu ganjil. Tentukan suku tengahnya dan nomor berapakah suku tengahnya?
Jawab:
11, 15, 19, …, 203
a = 11 Un = 203
b = 4
Ut =
Jadi suku tengahnya Ut = 107
Ut = a + (t – 1) b
107 = 11 + (t – 1) 4
107 = 11 + 4t – 4
107 = 7 + 4t
t = 25
Jadi suku tengahnya suku ke-25
Contoh 10 :
Diketahui suatu barisan x – 2, x, 2x – 2, 2x, 2x + 2. tentukan nilai X agar
barisan ini membentuk barisan aritmatika.
Jawab :
U1 = x – 2 U4 = 2x
U2 = x U5 = 2x + 2
U3 = 2x – 2
Barisan tadi terdiri dari 5 suku, maka berlaku :
U3 =
2(2x – 2) = (x – 2) + (2x + 2)
4x – 4 = 3x
4x – 3x = 4
x = 4
Jadi agar membentuk barisan aritmatika maka nilai x = 4
2. Suku Sisipan Barisan Aritmatika
Diantara setiap dua suku berurutan pada barisan aritmatika disisipkan k
suku, maka barisan aritmatika yang baru (yang terbentuk) diperoleh:
dengan:
b’ : beda setelah disisipi
n’ : banyaknya suku setelah disisipi
b : beda sebelum disisipi
n : banyaknya suku sebelum disisipi
Contoh 11:
Diantara bilangan 3 dan bilanganh 31 disisipkan 6 bilangan sehingga
membentuk barisan aritmatika. Hitunglah beda dari barisan tersebut!
Jawab :
k = 6
b = 31 – 3 = 28
b’ =
Jadi beda yang baru (b’) = 4
1. Tentukan suku tengah dari barisan aritmatika berikut ini:
a. 4, 6, 8, 10, …, 32
b. 7, 2, –3, –8, …, –93
c. 12, 5, –2, –9,…, –72
2. Ditentukan barisan aritmatika 30, 36, 42, …, 162. Tentukan suku tengahnya
dan nomor berapakah (suku keberapakah) suku tengahnya?
3. Suku tengah dan suku terakhir suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah
85 dan 148. jika suku ke-3 adalah 36 maka:
b’ =
n, = n + (n – 1)k
Latihan 3
a. Berapakah suku pertama dan beda barisan tersebut?
b. Berapakah banyak suku pada barisan tersebut?
4. Diantara bilangan 15 dan bilangan 30 disisipkan empat bilangan sehingga
membentuk barisan aritmatika. Tentukan :
a. beda setelah disisipi
b. barisan bilangan tersebut
5. Diantara dua suku berurutan pada bilangan 14, 22, 30,... disisipi 3 buah
bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika yang baru.
a. tentukan beda setelah disisipi
b. tentukan suku ke-20 dari barisan aritmatika yang baru
D. Deret Aritmatika
Deret aritmatika dari barisan aritmatika U1, U2, U3,…Un adalah
U1 + U2 + U3 +…+ Un. Jika Sn menyatakan jumlah n suku pertama, maka :
S1 = U1 U2 = S2 – S1
S2 = U1 + U2 U3 = S3 – S1
S3 = U1 + U2 + U3
Un = Sn – Sn – 1
Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un
Karena U1 = 0, U2 = a + b, U3 = a + 2b, ...Un – 2 = a + (n –3) b = Un – 2b, Un-1
= Un – b, maka :
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (Un – 2b) + (Un – b) + Un
Sn = Un + (Un – b) + (Un – 2b) + … + (a + 2b) + (a + b) + a
2 Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un)….+ (a + Un) + (a + Un) + (a + Un)
Sebanyak n suku
Sehingga : 2 Sn = n (a + Un)
Sn =
+
Sn = )
Karena Un = a + (n – 1)b, maka
Sn =
Diperoleh rumus jumlah n suku yang pertama :
Contoh 12
Hitunglah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika 3 + 7 + 11 +...
Jawab :
a = 3, b = 4, n = 10
S10 =
Sn =
Sn =
Sn =
Un = Sn – Sn – 1
Untuk a, b, n diketahui
Untuk a, Un diketahui
Sekilas info:
Bagaimana Gauss yang berumur 10 tahun menyelesaiakn soal
1 + 2 + 3 + …+ 100 dengan singkat?
Untuk menjawab soal tersebut, Gauss menggunakan cara
sebagai berikut:
1 + 2 + 3 + … + 100
100 + 99 + 98 + … + 1
101 + 101 + 101 + … + 101 = 101 100 = 10.100
Sehingga jumlah dari 1 + 2 + 3 + … + 100 =
+
S10 =
= 5 {6 +
= 5 {6 + 36}
=
Contoh 13:
Hitunglah jumlah dari deret aritmatika 2 + 7 + 12 + ...+ 97
Jawab :
a = 2, b = 5, Un = 97
Un = a (n – 1)b
97 = 2 + (n – 1)5
95 = (n – 1) 5
19 = n – 1
n = 20
Jadi jumlah n suku pertama : Sn =
S20 =
= 10 {4 + 95}
= 990
Contoh 14
Tentukan jumlah bilangan asli antara 10 dan 100 yang habis dibagi 4 tetapi tidak
habis dibagi 8!
Jawab:
(i) Bilangan yang habis dibagi 4 adalah : 12 + 16 + 20 + ... + 96 = Sn
a = 12, b = 4 , Un = 96
Un = a + (n – 1) b
96 = 12 + (n – 1) 4
96 = 12 + 4n – 4
96 = 8 + 4n
4n = 88
n = 22
Sn =
=
=
= 1188
(ii) Bilangan yang habis dibagi 4 dan habis dibagi 8 adalah:
16 + 24 + … + 96 = Sn
a = 16, b = 8 dan Un = 96
Un = a + (n – 1) b
96 = 16 + (n – 1) 8
96 = 16 + 8n – 8
8n = 88
n = 11
Sn =
=
=
= 616
Jadi, jumlah bilangan asli antara 10 dan 100 yang habis dibagi 4 dan tidak
habis dibagi 8 adalah : 1188 – 616 = 572
1. Hitunglah jumlah 15 suku pertama dari deret aritmatika berikut ini :
a. 3 + 10 + 17 + 24 + …
b.
c. –70 – 68 – 66 – 64 –…
Jawab : a. …………………………………………………………………..
…………………………………………………………………..
b. …………………………………………………………………..
Latihan 4
…………………………………………………………………..
c. …………………………………………………………………..
…………………………………………………………………..
2. Hitunglah jumlah dari deret aritmatika berikut ini:
a. 10 + 12 + 14 + … + 30
b.
Jawab : a. …………………………………………………………………..
…………………………………………………………………..
b. …………………………………………………………………..
…………………………………………………………………..
3. Suatu deret aritmatika diketahui suku ke-2 = 18. jumlah suku ke-6 dan ke-
8 adalah 16. hitunglah jumlah 14 suku pertamanya!
Jawab : …………………………………………………………………..
…………………………………………………………………..
4. Hitunglah jumlah bilangan asli kurang dari 200 yang habis dibagi 3 dan
tidak habis dibagi 9!
Jawab : …………………………………………………………………..
…………………………………………………………………..
5. Tentukan rumus suku n (Un) dari Sn = 3n2 – 2n !
Jawab : …………………………………………………………………..
…………………………………………………………………..
Kerjakan secara berkelompok !
Bentuk kelompok-kelompok kecil yang terdiri dari 4 orang untuk
mengerjakan soal berikut ini.
1. Anto menabung di sebuah koperasi sebesar Rp. 200.000,00. jika koperasi
tersebut memberikan keuntungan sebesar 1% per bulan dari modal awal,
maka berapakah uang Anto setelah dua tahun?
Jawab : …………………………………………………………………..
Tugas
…………………………………………………………………..
2. Tita membeli tape recorder seharga Rp. 680.000,00. jika harga tape
recorder tersebut selalu menyusut sebesar 5% dari harga beli per tahunnya,
maka tentukan harga tape tersebut setelah dipakai selama 10 tahun !
Jawab : …………………………………………………………………..
…………………………………………………………………..
3. Tunjukkan bahwa tiga bilangan berurutan U1, U2 dan U3 membentuk
barisan aritmatika apabila memenuhi persamaan 2U2 = U1 + U3
Jawab : …………………………………………………………………..
…………………………………………………………………..
4. Tunjukkan bahwa empat bilangan berurutan U1, U2, U3, U4 membentuk
barisan aritmatika apabila memenuhi persamaan U2 + U3 = U1 + U4.
Jawab : …………………………………………………………………..
…………………………………………………………………..
5. Tiga suku pertama dari barisan aritmatika adalah 2x – 2, 3x – 3, 3x + 7.
tentukan rumus jumlah n suku pertama!
Jawab : …………………………………………………………………..
…………………………………………………………………..
4.1.2. Barisan dan Deret Geometri
Penduduk sebuah kota selalu bertambah sebesar 2% per tahun. Jika
penduduk kota saat ini adalah 3000 orang, maka berapa jumlah penduduk
kota tersebut setelah empat tahun?
Penyelesaian masalah diatas adalah:
Pada tahun pertama jumlah penduduk kota adalah 3000
Pada tahun kedua jumlah penduduk menjadi
300 +
Pada tahun ketiga jumlah penduduk menjadi 300
(1 + 0,02) +
Pada tahun keempat jumlah penduduk menjadi 3000 (1 + 0,02) +
Untuk menghitung jumlah penduduk setelah empat tahun seperti diatas,
tentunya memakan waktu yang cukup lama. Dengan barisan dan deret
geometri, maka permasalahan seperti diatas dapat diselesaikan dalam
waktu singkat.
A. Barisan Geometri
Untuk lebih memahami barisan geometri, maka perhatikan
contoh berikut ini!
1. 2, 4, 8, 16, …
2. 100, 50, 25, 12,5,…
3. 32, 33, 34, 35,…
Barisan-barisan diatas menunjukkan bahwa untuk memperoleh suku-
suku selanjutnya adalah dengan mengalikan suku sebelumnya dengan
bilangan tertentu.
Barisan semacam itu disebut barisan geometri. Barisan a diperoleh
dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan 2, barisan b
diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan ½ dan
barisan c diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan
3. angka 2, ½ dan 3 disebut sebagai rasio.
Jika rasio dinotasikan dengan r dan suku pertama adalah a, maka
bentuk umum barisan geometri adalah:
a, ar, ar2, ar3,…
r =
=
n = banyaknya suku
B. Suku ke-n Barisan Geometri
Misal diketahui barisan geometri U1, U2, U3,...,Un dengan rasio
r dan U1 = a, maka :
U1 = a =
U2 = =
U3 = ar2 =
Un =
Sehingga suku ke-n barisan geometri adalah :
Contoh 15 :
Dalam suatu barisan geometri diketahui U1 = 64 dan U4 = 1. tentukan
barisan geometri itu!
Jawab:
U1 = a = 64 dan U4 = 1
Un = arn-1
U4 =
1 =
r3 = 641
r3 =
r =
Jadi barisan geometri itu adalah 64, 16, 4, 1,…
C. Suku Tengah dan Sisipan dari Barisan Geometri
Un = dengan r =
1. Suku Tengah Barisan Geometri
Suku tengah dari barisan geometri adalah suatu suku yang letaknya
di tengah-tengah barisan, apabila banyaknya suku ganjil. Misal
barisan itu:
U1, U2,..., Ut, ... U2t–1
Karena Un = , maka
Ut =
=
=
=
U2t–1
=
=
dengan = untuk n ganjil
a = suku pertama
Un = suku ke-n (suku terakhir) = U2t–1
Jika ada tiga suku geometri U1, U2, U3, atau a, b, c membentuk
barisan geometri maka berlaku:
atau
Contoh 16 :
Diketahui barisan geometri dengan U3 = 8 dan U5 = 32. tentukan :
Besar suku tengah jika banyaknya suku adalah 17
Jawab :
U3 = 8 ar2 = 8………...(i)
Ut =
Ut = Ut
2 = b = b2 =
U5 = 8 ar4 = 32……….(ii)
Dari (i) dan (ii)
ar4 = 32
= 32
8r3 = 32 r2 =
r = 2
dari (i) :
ar2 = 8
, jadi nilai rasio (r) = 2 dan a = 2
Sehingga besar suku tengahnya adalah :
n = 17 t =
Ut = U9
= ar9–1
= ar8
= 2 (2)8
= 29
= 512
2. Sisipan dari barisan geometri
Diantara dua bilangan real x dan y untuk (x y) dapat disisipkan
sebanyak k bilanga, sehingga x, y dan bilangan yang disisipkan
membentuk barisan geometri.
x, xr, xr2, xr3,...,xrk, y
sisipan
dari barisan itu diperoleh :
r =
dengan r = rasio
k = banyaknya bilangan yang disisipkan
x = a = suku pertama
y = suku terakhir
rumus suku ke-n pada barisan yang baru adalah :
dengan n’ = n + (n – 1)k
n’ = banyaknya suku barisan yang baru
n = banyaknya suku barisan semula
Contoh 17:
Diketahui barisan geometri 1, 8, 64, ...
Diantara masing-masing suku yang berurutan disisipokan dua
suku sehingga membentuk barisan geometri baru. Tentukan rasio
dan suku ke-8 dari suku yang baru tersebut.
Jawab:
Barisan geometri semula adalah 1, 8, 64, ..., berarti
a = 1 dan disispkan suku, maka k = 2
r =
=
=
= 2
Un’ = arn’–1
U8 =
= 1 (27)
= 128
r =
Un’ = arn’–1
Latihan 5
1. Suatu barisan geometri diketahui suku kedua adalah 4 dan suku
kelima adalah 256. Tentukan:
a. rasio dan suku pertama
b. suku ke-10
c. suku tengah jika banyaknya suku adalah 13
Jawab : a. ............................................................................................
............................................................................................
b. ............................................................................................
............................................................................................
c. ............................................................................................
............................................................................................
2. Suatu barisan geometri ditentukan 2, 4, 8, ..., 512. Tentukan :
a. banyaknya suku
b. besar suku tengahnya
Jawab : a. ............................................................................................
............................................................................................
b. ............................................................................................
............................................................................................
3. Dari barisan geometri diketahui U2 = 3 dan U5 = . Tentukan
barisan tersebut !
Jawab : ............................................................................................
............................................................................................
4. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiganya
= 26 dan hasil kalinya adalah 3216. tentukan ketiga bilangan
tersebut!
Jawab : ............................................................................................
............................................................................................
5. Diantara bilangan 18 dan 1458 disisipkan 3 bilangan sehingga
membentuk barisan geometri. Tentukan rasio dan suku ke-6 barisan
tersebut!
Jawab : ............................................................................................
............................................................................................
D. Deret Geometri
Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri secara
berurutan dan ditulis dengan Sn.
Bentuk umum deret geometri :
a + ar + ar2 + ar3 + … + arn–1
Untuk menemukan rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri,
perhatikan skema berikut ini:
Sn = a + ar + ar3 ... + arn–1
ar + ar2 + ar3 + … + arn–1 + arn
Sn – rSn = a – arn
Sn – rSn = a – arn
Sn (1 – r) = a – arn
Sn =
Sn =
Sehingga jumlah n suku pertama deret geometri dirumuskan :
Sn =
Sn =
Un = Sn – Sn–1
Contoh 18 :
Hitunglah jumlah deret geometri berikut,
32 + 16 + 8 + … +
Jawab:
a = 32 ; r = dan Un =
Un = arn–1
¼ = 32 n
2164
41
¼ = 32
¼ = 32
Sehingga n = 8
Karena r < 1 maka
Sn =
S8 =
=
=
=
=
Latihan 6
1. Diketahui barisan geometri dengan U3 = dan U8 = 8.
Tentukan jumlah 10 suku pertama?
Jawab :............................................................................................
............................................................................................
2. Hitunglah jumlah dari deret geometri berikut ini 1 + 3 + 9 + 27 + ... +
2187!
Jawab :............................................................................................
............................................................................................
3. Dari suatu barisan geometri diketahui suku ke-2 adalah 6 dan suku ke-4
adalah 54 dan Sn = 728.
Tentukan : a. Rasio dari barisan itu!
b. Suku pertama
c. Banyak suku barisan itu
Jawab : a ............................................................................................
............................................................................................
b. ............................................................................................
............................................................................................
c. ............................................................................................
............................................................................................
4. Diketahui deret geometri + 2 + 32 + ...(sampai dengan 5 suku). Diantara
setiap dua suku yang berurutan disispkan satu suku sehingga membentuk
deret geometri baru.
a. Hitunglah jumlah deret geometri semula
b. Hitunglah jumlah deret geometri baru
c. Hitunglah jumlah suku-suku yang disisipkan
Jawab : a ............................................................................................
............................................................................................
b. ............................................................................................
............................................................................................
c. ............................................................................................
............................................................................................
5. Darisebuah deret geometri diketahui U2 = 800, U5 = 100 dan Ut = 200.
tentukan banyaknya suku dan tulis deret itu!
Jawab :............................................................................................
............................................................................................
E. Deret Geometri Tak Berhingga
Deret geometri tak hingga adalah suatu deret geometri yang
mempunyai suku-suku tak terhingga banyaknya (tidak terbatas). Perhatikan
deret berikut ini!
dengan rumus jumlah n suku pertama :
Sn = r1
)r1(a n
=
=
=
Jika n semakin besar, maka nilai semakin kecil dan akan mendekati 0
sehingga dapat dinyatakan bahwa = 0. n ~ .
Jadi untuk –1 < r < 1, r 0 maka .
Jadi menghitung jumlah deret hingga = a + ar + ar2 + ... sama dengan
menghitung
=
=
=
=
=
Sehingga diperoleh rumus :
Jenis deret geometri tak berhingga :
a. Deret geometri tak berhingga konvergen
Deret ini dapat dicari jumlah suku-sukunya, dirumuskan :
b. Deret geometri tak berhingga divergen
Deret ini tidak dapat dicari jumlah suku-sukunya.
Syarat deret divergen adalah
Contoh 19 :
Hitunglah jumlah deret tak hingga berikut ini :
8 + 4 + 2 + 1 + …
Jawab :
a. a = 8, r = ½
S~ =
=
Sn = = , untuk dan r
0
Sn= , dengan atau –1 < r < 1, r 0
=
= 16
Jadi, jumlah deret 8 + 4+ 2 + 1 + … adalah 16.
1. Hitunglah jumlah deret geometri tak hingga berikut:
a. 9 + 3 + 1 + + … d. 1 + (0,5) + (0,25) + …
b. 4 + 1 + e. 8 – 4 + 2 – 1 + …
c. 2 + f. 2log x + 4log x + 16log x + …
2. Suatu deret geometri tak hingga dengan U2 = dan Sn = 2 .
Tentukan a. rasio deret itu
b. besar suku ke-empat
3. Dalam suatu barisan geometrim diketahui U1 U3 = 24 dan U2 U4 =
216. Tentukan :
a. rasio dari barisan tersebut
b. suku pertama
c. jumlah 6 suku pertama
4. Tentukan batas-batas nilai x agar jumlah tak hingga deret geometri di
bawah ini konvergen.
a. 1 + 2x – 1 + 22 (x – 1) + ...
b. 1 + (x – 3) + (x – 3)2 + …
5. Hitunglah jumlah tak hingga dari 2log x + 4log x + 16log x + …
Diskusikan dengan kelompok belajarmu!
1. Tentukan nilai x agar deret geometri berikut ini konvergen
Latihan 7
TUGAS
2log (x + 2) + 2log 2(x + 2) + 2log 3(x + 2) + …
2. 3 buah bilangan membentuk barisan geometri. Jumlahan dari suku-
sukunya adalah 56 dan hasil kalinya adalah 4096.
Tentukan barisan tersebut!
3. Sebuah bola tennis dijatuhkan diatas lantai dengan ketinggian 12 m. setiap
memantul dilantai bola itu mencapai ketinggian kali ketinggian semula.
Begitu seterusnya sampai bola itu berhenti. Tentukan panjang lintasan bola
sampai berhenti!
4. Tunjukkan bahwa tiga bilangan berurutan a, b, dan c membentuk barisan
geometri apabila memenuhi pewrsamaan b2 =
5. Tunjukkan bahwa empat bilangan berurutan a, b, c, dan d membentuk
barisan geometri apabila memenuhi persamaan ad = bc.
4.1.3 Notasi Sigma
Untuk lebih memahami mengenai notasi sigma, perhatikan bentuk
berikut ini:
a. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
b. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20
Bentuk a merupakan bentuk penjumlahan enam bilangan asli pertama,
sedang b merupakan bentuk penjumlahan sepuluh bilangan genap pertama.
Apabila yang dijumlahkan mencapai lima puluh bilangan, maka untuk
menuliskan secara lengkap tentu sangat merepotkan.
Salah satu cara untuk menuliskan deret secara ringkas adalah dengan
menggunakan lambang “” yang dibaca sigma. Sehingga deret diatas dapat
dinyatakan dengan :
a. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =
b. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 =
Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut :
U1 + U2 + U3 + … + Un =
Keterangan :
1. dibaca sigma yang berarti penjumlahan
2. dibaca penjumlahan suku Ui untuk I = 1
Sampai n, t = 1 adalah batas bawah penjumlahan dan I = n adalah batas
atas penjumlahan.
Contoh 20
Tunjukkan bahwa :
1.
2.
Jawab :
1.
2. = (U1 – V1) + (U2 – V2) + (U3 – V3) + (U4 – V4)
+ (U5 – V5)
= U1 + U2 + U3 + U4 + U5 – V1 – V2 – V3 – V4 – V5
Sifat-sifat Notasi sigma Jika A suatu bilangan konstan, Ui dan Vi merupakan suku ke-i dari suatu deret, maka berlaku :
1. 4.
2. 5.
3. 6.
= (U1 + U2 + U3 + U4 + U5)– (V1 – V2 – V3 – V4 – V5
)
=
Mengubah Batas Bawah Sigma
Untuk mengubah batas bawah sigma perhatikan contoh :
Mengubah batas bawah 6 menjadi 0
Misal :
=
=
=
dengan:
a = 10 – 6 + 0
= 4
b = 6 – 0
= 6
Suatu deret aritmetika dapat dituliskan secara singkat dengan
notasi sigma. Perhatikan contoh berikut:
Misal diberikan deret aritmetika berikut:
4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18
Maka suku pertama : U1 = a = 4
beda : b = U2 – U1 = 2
banyak suku : n = 8
rumus suku ke-n : Un = a + (n-1)b
= 4 + (n-1)2
= 4 + 2n – 2
= 2n + 2
Jadi, 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 =
Demikian pula untuk deret geometri juga dapat dinyatakan dalam
notasi sigma. Perhatikan contoh berikut:
Nyatakan deret geometri berikut dengan notasi sigma:
1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243
Dari deret itu diperoleh suku pertama : U1 = a = 1
rasio : r = = 3
banyaknya suku : 6
rumus suku ke-n : Un = a rn-1 = 1. 3n-1
= 3n-1
Jadi, 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 =
1. Nyatakan ke dalam notasi sigma tiap deret berikut !
a. 1 + 2 + 3 + 4 + … + 25
b. 2 + 4 + 6 + 8 + … + 30
c. a + a2 + a3 + … + a8
d. ab + a2b2 + a3b3 + …+ a10b10
2. Tuliskan notasi sigma berikut ke dalam deret!
a. c.
b. d.
3. Buktikan bahwa :
a.
Latihan 8
b.
4. Ubahlah ke batas bawah 3
a.
b.
5. Hitunglah nilai dari :
a.
b.
4.1.4 Penerapan Deret Aritmatika dan Deret Geometri
Banyak permasalahan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan
menggunakan deret aritmatika dan deret geometri. Jika permasalahan itu
berkaitan dengan penambahan atau pengurangan secara tetap, maka dapat
diselesaikan dengan aturan-aturan deret aritmatika. Tetapi apabila
permasalahan itu berkaitan dengan kelipatan dengan kelipatan yang tetap,
maka dapat diselesaikan dengan aturan-aturan deret geometri.
Contoh 21
Suatu perusahaan yang memproduksi tas,
pada awal beroperasinya memproduksi
100 unit tas dalam satu bulan. Bulan
kedua jumlah produksinya dinaikkan 120
unit. Bulan ketiga dinaikkan lagi menjadi
140 unit, demikian seterusnya. Berapakah
jumlah produksi pada bulan ke-12?
Jawab:
Selisih produksi setiap bulannya selalu sama, yaitu 20 unit, maka masalah
ini akan diselesaikan dengan menggunakan deret aritmatika.
Jumlah produksi pertama yaitu pada bulan pertama adalah a (U1).
Jumlah produksi pada bulan ke-12 adalah Un = U12
a = 100
b = 120 – 100 = 20
Un = a + (n – 1) b
U12 = a + (12 – 1)b
= a +
U12 = 100 +
= 100 + 220
Contoh 22
Suatu kota pada awal tahun 2001 berjumlah 10000 orang. Jika setiap tahun
penduduk kota itu bertambah 5%, tentukan jumlha penduduk pada akhir
tahun 2005.
Jawab
Karena pertambahan penduduk kota tersebut selalu dari jumlah pada
tahun sebelumnya, maka hal ini akan lebih mudah diselesaikan dengan
deret geometri.
Jumlah penduduk pada awal tahun 2001 adalah U1 = a = 10.000
Jumlah penduduk pada akhir tahun 2001 adalah U2 = 10.000 +
= 10.000
Demikian seterusnya, sehingga a = 10.000 dan r =
Jumlah penduduk pada akhir tahun 2005: U5
U5 =
= 10.000
= 10.000
= 10.000 (1,2155)
= 12.155,06
Jadi jumlah penduduk pada akhir tahun 2005 adalah 12.155 orang.
1. Seorang karyawan perusahaan bekerja dengan gaji Rp. 700.000,00 tiap
bulan. Setiap bulann gajinya bertambah Rp. 25.000,00. berapa besar
gaji karyawan itu setelah bekerja 4 tahun?
2. Suatu barang elektronik dibeli dengan harga Rp. 7.000.000,00. jika
setiap tahun harganya menyusut 10% dari harga pada tahun terakhir,
pada tahun ke berapakah harganya tinggal Rp. 4.592.700,00?
3. Di suatu daerah transmigrasi, jumlah penduduk pada awal tahun 20032
adalah 20.000 orang. Jika tingkat pertumbuhannya 5% per tahun,
tentukan :
a. Jumlah penduduk pada akhir tahun 2007
b. Persentase pertumbuhan penduduk sejak tahun 2003 sampai
tahun 2007
4. Suatu perusahaan pada tahun pertama memproduksi 6000 unit barang.
Pada tahun-tahun berikutnya produksi turun secara tetap sebesar 20%
dari produksi awal. Pada tahun ke berapakah perusahaan tersebut tidak
beroperasi lagi ?
1. Seorang distributor pakaian anak-anak mendapat rabat 10% pada
pembelian 5 kodi pakaian dengan harga jual Rp. 80.000,00. pada
pembelian 5 kopdi berikutnya, ia mendapatkan rabat 12% demikian
seterusnya, setiap 5 kodi berikutnya ia mendapatkan tambahan rabat
2%. Berapakah keuntungan distributor itu jika ia berhasil menjual
1000 potong pakaian ?
Tugas Kelompok
Latihan 9
2. seorang ayah menitipkan uangnya di sebuah koperasi. Pada tyahu
pertama ia menitipkan yang Rp. 50.000,00 perbulan. Pada tahun
kedua ia menitipkan uang Rp. 75.000,00 perbulan. Pada tahun ketiga ia
menitipkan uang Rp. 100.000,00 demikian seterusnya. Tentukan
jumlah uang yang dititipkan setelah 10 tahun!
3. Suatu bakteri mampu membelah menjadi 2 bagian setiap 2 jam. Jika
pada hari senin pukul 18.00, ada 1500 bakteri, maka tentukan jumlah
bakteri pada hari selasa pukul 10.00!
4. Sebuah bola tenis jatuh dari ketinggian 12 meter. Setiap kali memantul
mencapai ketinggian 75% dari ketinggian sebelumnya. Berapa tinggi
bola memantul pada pantulan ke-5?
5. Seorang perngusaha membeli sebidang tanah dengan harga Rp.
100.000,00. jika setiap tahun harga naik 10%, tentukan harga tanah itu
pada akhir tahun kedua?
B. Deret dalam Hitung Keuangan
1. Bunga Tunggal
Dalam hitung keuangan
masalah-masalah yang berkaitan
dengan modal dan bunga sering
diselesaikan dengan deret, misalnya
pada bunga tunggal, bunga majemuk
dan anuitas.
Seorang pengusaha kecil meminjam uang di sebuah koperasi
sebanyak Rp. 5.000.000,00. apakah pengusaha itu hanya mengembalikan
sebesar Rp. 5.000.000,00? Ternyata tidak. Pengusaha itu harus
mengembalikan pinjamannya lebih dari Rp. 5.000.000,00. kelebihan itu
disebut bunga.
Apabila bunga yang dibayarkan pada akhir periode peminjaman,
dihitung berdasarkan besar peminjaman awal, dimana besarnya dari
periode ke periode berikutnya selalu sama, disebut bunga tunggal.
Misalkan diketahui uang sebesar Rp. 500.000,00 dibungakan
berdasar atas bunga tunggal dengan tingkat suku bunga 10% pertahun,
maka :
i. Jumlah uang dan bungan sampai akhir tahun pertama adalah
Rp. 500.000,00 + 10% Rp. 500.000,00 = Rp. 500.000,00 (1 + 10%)
ii. Jumlah uang dan bunga sampai akhir tahun kedua adalah
Rp. 500.000,00 + 10% Rp. 500.000,00 + 10% Rp. 500.000,00 =
Rp. 500.000,00 (1 + 2 10%)
iii. Jumlah uang dan bunga sampai akhir tahun ketiga adalah
Rp. 500.000,00 + 10% Rp. 500.000,00 + 10% Rp. 500.000,00 +
10% Rp. 500.000,00 = Rp. 500.000,00 (1 + 3 10%)
Demikian seterusnya sehingga diperoleh jumlah uang dan bunga sampai
akhir tahun ke –t adalah = Rp. 500.000,00 (1 + t 10%).
Dengan besar seluruh bunga sampai akhir tahun ke-t adalah :
Rp. 500.000,00 (t 10%) = Rp. 500.000,00 t 10%.
Jadi jika modal sebesar Mo dibungakan atas dasar bunga tunggal selama t
perioode dengan tingkat suku bunga I (dalam persen) per periode, maka
besar bunga (B) adalah :
Besar uang yang harus dikembalikan (Mt) adalah:
Contoh 20 :
Suatu koperasi memberikan pinjaman kepada anggotanya atas dasar bunga
tunggal 2% per bulan. Jika Ali seorang anggota koperasi tersebut
meminjam uang Rp. 2.000.000,00 dengan jangka waktu pengembalian 1
tahun, tentukan:
a. Besar bunga selama jangka waktu pinjaman’
b. Besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka waktu
peminjaman
B = Mo i t
Mt = Mo (1 + i t)
Jawab:
Diketahui : i = 2% per bulan
Mo = Rp. 2.000.000,00
t = 1 tahun = 12 bulan
a. Besar bunga selama 12 bulan adalah:
B = Mo i t
= Rp. 2.000.000,00
= Rp. 480.000,00
b. Besar uang yang harus dikembalikan setelah 12 bulan adalah…
M12 = Mo + B
= Rp. 2.000.000,00 + Rp. 480.000,00
= Rp. 2.480.000,00
atau = M (1 + i t)
= Rp. 2.000.000,00
= Rp. 2.000.000,00 (1,24)
= Rp. 2.480.000,00
Contoh 21:
Ario meminjam uang di BPR “JAYA ABADI” sebesar Rp. 8.000.000,00.
BPR itu menerapkan sistem bunga tunggal dengan suku bunga 20% per
tahun. Tentukan besar bunga dan uang yang harus dikembalikan jika
jangka waktu peminjaman:
a. 3 tahun
b. 6 bulan
Catatan!Jika suku bunga diberikan per tahun, maka besar bunga:
Setelah n bulan : B = Mo i
Setelah w hari : B = Mo i
c. 60 hari
Jawab:
Diketahui Mo = Rp. 8.000.000,00
i = 20% per tahun
a. Untuk t = 3, maka besar bunga:
B = Mo i t
= Rp. 8.000.000,00
= Rp. 4.800.000,00
Jumlah uang yang harus dikembalikan :
Mt = Mo (1 + i t)
= Mo + Mo i t
= Mo + B
= Rp. 8.000.000,00 + Rp. 4.800.000,00
= Rp. 12.800.000,00
b. Untuk jangka waktu 6 bulan, berarti t =
Besar bunga = B = Mo i t
= Rp. 8.000.000,00
= Rp. 8.000.000,00
Jumlah uang yang harus dikembalikan :
Mt = Mo + B
= Rp. 8.800.000,00
c. Jangka waktu 90 hari, berarti t =
besar bunga : B = Mo i t
= Rp. 8.000.000,00
= Rp. 4.000.000,00
Besar uang yang harus dikembalikan:
Mt = Mo + B
= Rp. 8.400.000,00
1. Cobalah definisikan apa yang dimaksud bunga dan bunga tunggal!
2. Rena meminjam uang di sebuah bank dengan suku bunga tunggal 1 ½
% per bulan. Pinjaman itu harus dikembalikan dalam waktu 1 tahun.
Apabila ia harus mengembalikan besar uang uang yang dipinjam
beserta bunganya sebesar Rp. 295.000,00, maka tentukan besar uang
yang dipinjam !
3. Pada awal tahun 2007, Ali meminjam uang padsa sebuah koperasi
sebesar Rp. 2.000.000,00. jika koperasi menggunakan suku bunga
tunggal per triwulan, dan pada akhir tahun 2009 Ali harus
mengembalikan uang beserta bunganya sebesar Rp. 3.200.000,00,
maka tentukan besar suku bunganya!
2. Bunga Majemuk
Apakah kalian punya tabungan di sebuah bank? Pernahkah kalian
mencermati perubahan besarnya uang yang kalian tabungkan? Misalkan
kita menabung uang sebesar Rp. 1.000.000,00 pada sebuah bank, dan bank
tersebut memberi keuntungan 1% per bulan, maka uang kita pada akhir
bulan menjadi Rp. 1.000.000,00 + Jika
keuntungan itu dalam hal ini berarti bunga tiodak diambil, maka besarnya
uang yang ditabung beserta bunganya dijadikan dasar untuk menghitung
besar bunga pada bulan berikutnya. Bunga itu disebut bunga berbunga.
Perhitungan semacam ini dinamakan bunga majemuk.
Hal ini dapat kita fahami melalui perhitungan deret geometri.
Misalkan modal sebesar Modibungakan atas dasar bunga majemuk,
dengan tingkat suku bunga i (dalam persen) per periode. Besar modal pada
periode t (Mt) adalah....
M1 = Mo + Mo i = Mo (1 + i)
TUGAS KELOMPOK
M2 = Mo (1 + i) + Mo (1 + i) i = Mo (1 + i) (1 + i) = Mo (1 +
i)2
M3 = Mo (1 + i)2 + (Mo (1 + i)2) i = Mo (1 + i)2 (1 + i) =
Mo(1 + i)3
Mt = Mo (1 + i)t–1 (1 + i) = Mo (1 + i)t
Sehingga, jika modal sebesar Mo dibungakan atas dasar bunga majemuk
dengan tingkat suku bunga I (dalam persen) per periode tertentu, maka
besar modal pada periode + (Mt) dapat dinyatakan dengan rumus:
Keterangan : Mt = Modal pada periode t
Mo = Modal awal
i = Tingkat suku bunga
t = Jangka waktu
Contoh 22:
Bapak Hadi menabung di sebuah bank pada awal tahun sebesar Rp.
4.000.000,00. jika Bank tersebut menerapkan sistem bunga majemuk
dengan suku bunga 1% per bulan, maka tentukan uang Bapak Hadi pada
akhir tahun!
Penyelesaian :
Diketahui bahwa Mo = Rp. 4.000.000,00, i = 1% = , t = 1 tahun = 12
bulan. Jadi uang Bapak Hadi pada akhir tahun menjadi :
Mt = Mo (1 + i)t
= Rp. 4.000.000,00 (1 + 0,01)12
= Rp. 4.000.000,00 (1,12682503)
= Rp. 4.507.300,12
Mt = Mo (1 + i)t
TUGAS
1. Tentukan modal akhir sebuah modal yang besarnya Rp. 7.500.000,00
Jika diperbungakan dengan bunga majemuk selama 5 tahun suku
bunga 8% setahun!
2. Seorang pengusaha harus mengembalikan uang yang dipinjamkannya
dari sebuah bank beserta bunganya sebesar Rp. 2.431012,50 dalam
jangka waktun 5 tahun. Jika banka menerapkan suku bunga majemuk
5% setahun, maka tentukan besar uang yang dipinjam pengusaha
tersebut !
3. Modal Rp. 3.000.000,00 ditanamkan di bank selama satu semester
dengan suku bunga majemuk 1 ½ % sebulan. Tentukan besar bunga
selama satu semester tersebut !
3. Anuitas
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita
jumpai pembayaran terhadap suatu hutang dengan
cara mengangsur. Periode waktu pembayaran yang
dilakukan mungkin setiap tahun, setiap semster,
setiap catur wulan, atau setiap bulan.
Misalnya pembelian sebuah rumah yang pembayarannya diangsur
setiuap bulan Rp. 750.000,00 selama 10 athun. Pembayaran yang sama
besar dan secara teratur ini disebut Anuitas.
Terdapat dua macam anuitas, yaitu anuitas yang periode
pembayarannya sudah ditentukan yang disebut anuitas pasti, dan anuitas
yang periode pembayarannya tidak tentu yang disebut anuitas tidak pasti.
Misalnya santunan asuransi kecelakaan.
Dalam pembahasan ini hanya akan membicarakan anuitas pasti
dengan periode waktu dan selang pembayaran tetap, besar pembayaran
tetap, pembayaran dilakukan pada akhir periode dan suku bunga yang
dikenakan tetap.
Apabila besar anuitas disimbolikkan dengan A, bunga pada periode
ke-n disimbulkan an dan angsuran pada periode ke-n disimpulkan an, maka:
; n = 1, 2, 3, …
Contoh 23
Sebuah pinjaman sebesar Rp. 2.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas
bulanan sebesar Rp. 500.000,00 dengan bunga 2%. Buatlah tabel rencana
pelunasannya !
Penyelesaian
Bulan Pinjaman awal Anuitas = Rp. 500.000,00 Pinjaman akhir Bunga (2%) Angsuran
12345
Rp. 2.000.000,00Rp. 1.540.000,00Rp. 1.070.800,00Rp. 592.216,00Rp. 104,060,00
Rp. 40.000,00Rp. 30.800,00Rp. 21.415,00Rp. 11.844,32Rp. 2081,21
Rp. 460.000,00Rp. 469.200,00Rp. 478.584,00Rp. 488.155,68Rp. 104.060,00
Rp. 1.540.000,00Rp. 1.070.800,00Rp. 592.216,00Rp. 104.060,32
0
Selanjutnya tabel pelunasan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk
yang lebih umum dengan pinjaman awal pada periode t adalah M t; t = 1
sampai dengan n dan besar bunga pada periode t adalah b t, angsuran pada
periode t adalah at serta pinjaman akhir periode t adalah Pt.
Tabel Rencana Angsuran
Periode Pinjaman awal Anuitas = A Pinjaman akhirBunga Angsuran
0123
n
Mo = 0M1 = MM2 = M1 – a1
M3 = M2 – a2
Mn = Mn–1 – an–1
b1 = 1Mi b2 = 2Mi b3 =
Bn =
a1 = A – iMa2 = A – iM2
a3 = A – iM3
an = A – iMn
P1 = M1 – a1
P2 = M2 – a2
P3 = M3 – a3
Pn = Mn – an
diperoleh angsuran tiap periode adalah:
a1 = A – iM
A = an + bn Catatan Sisa pinjaman dihitung dari pinjaman awal dikurangi angsuran dalam setiap periodenya
a2 = (A – iM2)
= A – I (m – ai)
= A – iM +
= (A – iM) + (A –iM)
= (A – iM) (1 + i)
a3 = (A – iM) (1 + i)2
Contoh 23
Suatu pinjaman sebesar Rp. 500.000,00 akan dilunasi dengan
anuitas bulanan sebesar Rp. 100.000,00 dan suku bunga 5%
sebulan. Tentukan angsuran ke-3!
Penyelesaian :
Diketahui A = Rp. 100.000,00; I = 5% = 0,05; M = Rp. 500.000,00
an = (A – iM) (1 + i)n–1
a3 = (A – iM) (1 + i)2
= (Rp. 100.000,00 – 0,05 ) (1 + 0,05)2
= (Rp. 100.000,00 – Rp. 25.000,00) (1,05)2
= Rp. 75.000,00 (1,1025)
= Rp. 82.687,00
Lebih lanjut lagi cermati tabel rebcana pelunasan dan dapatkah
kalian menemukan hubungan antara angsuran ke-4 dengan angsuran ke-2?
Untuk mejnawab permasalahan tersebut, perhatikan berikut ini!
Jika pinjaman sebesar M dilunasi dengan anuitas selama n periode
atas dasar bunga I = P % per periode, maka :
Pada akhir periode ke-t :
At = at + bt
an = (A – iM) (1 + i)n–1
Pada akhir periode ke-(t + 1) :
At+1 = at+1 + bt+1
Oleh karena besarnya Anuitas selalu sama, maka:
At = At+1
At+1 = At
at+1 + bt+1 = at + bt
at+1 = at + bt – bt+1
at+1= at +
at+1= at + i (Mt – Mt+1)
at+1= at + iat
at+1= =at (1 + i)
Sehingga :
a2 = a1 (1 + i)
a3 = a2 (1 + i)
= a1 (1 + 1) (1 + i)
= a1 (1 + i)2
an = an–1 (1 + i)n–(n–1)
= an–2 (1 + i)n–(n–2)
= a1 (1 + i)n–1
Jadi diperoleh :
Lebih luas lagi diperoleh:
Keterangan :
an = angsuran ke-n
a1 = angsuran ke-1
ak = angsuran ke-k
an = a1 (1 + i)n–1
an = ak (1 + i)n–k
i = suku bunga
Contoh 24
Suatu pinjaman dilunasi dengan anuitas tahunan sebesar Rp. 2.000.000,00
dengan suku bunga 10% setahun. Jika diketahui angsuran ke-3 adalah
sebesar Rp. 1.100.000,00 maka tentukan besarnya angsuran ke-4.
Penyelesaian :
a2 = Rp. 1.100.000,00
i = 10% = 0,1
an = ak (1 + i)n–k
a4 = a2 (1 + i)4–2
= Rp. 1.100.000,00 (1,1)2
= Rp. 1.331.000,00
Sampai disini kita selalu membahas mengenai besarnya angsuran, tetapi
jika kalian dihadapkan dengan pertanyaan besarnya anuitas yang diketahui
besarnya pinjaman dan suku bunga serta periode pembayaran, maka
dapatlah penjelasan berikut ini!
Dari tabel rencana pelunasan dapat dilihat bahwa pinjaman awal (M)
merupakan jumlah dari seluruh angsuran, sehingga :
M = a1 + a2 + a3 + …+an
= a1 + a1 (1 + i) + a1 (1 + i)2 + … + a1 (1 + i)n–1
Hal ini merupakan jumlah n suku deret geometri dengan suku pertama a1
dan r = (1 + i) maka :
Sn = M =
Sehingga diperoleh = a1 ((1 + i)n – 1)
a1 =
Karena A = maka:
A =
A =
A =
A =
Jadi, besarnya anuitas dapat ditentukan dengan rumus :
1. Seorang pedagang meminjam uang sebesar Rp. 500.000,00 akan
dilunasi dengan anuitas bulanan dengan suku bunga 2%. Buatlah tabel
rencana pelunasannya!
2. Suatu pinjaman dilunasi dengan sistem anuitas. Jika suku bunga 4%
dan diketahui angsuran pertama Rp. 180.000,00. Tentukan besar
angsuran pada periode ke-3!
3. Pinjaman sebesar Rp. 6.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas
tahunan. Jika suku bunganya 8%, tentukan besarnya anuita!
1. Agar kalian lebih memahami konsep barisan dan deret termasuk
penerapannya, maka cari informasi melalui media yang ada di sekitar
kalian yaitu perpustakaan, buku-buku referensi mauoun internet.
Buatlah kliping mengenai hal tersebut!
2. Carilah data dari beberapa buku tabungan dari bank yang berbeda
(minimal 3 bank), kemudian berdasarkan modal awal dan modal akhir
serta jangka waktu, tentukan besar suku bunga bank tersebut!
RANGKUMAN
A =
TUGAS
TUGAS KELOMPOK
Barisan dan Deret Aritmatika
1. Rumus suku ke-n
Un = a + (n – 1)b dengan Un = suku ke-n, b = selisih = Un – Un – 1, a =
suku pertama
2. Jumlah n suku adalah
Sn = ½ n {a + Un} atau Sn = ½ n {2a + (n – 1)b}
3. Un = Sn – Sn-1
Barisan dan Deret Geometri
1. Rasio (r) yaitu perbandingan antara dua suku berurutan yang selalu tetap.
2. Rumus suku ke-n
3. Jumlah n suku adalah:
Sn =
Notasi Sigma
Sifat-sifat notasi sigma
Jika A suatu bilangan konstan, Ui dan Vi merupakan suku ke-i dari suatu deret, maka berlaku :
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Hitung keuangan
1. Bunga tunggal
dengan Mt = modal setelah jangka waktu t,
i = suku bunga per periode dan t = jumlah waktu
2. Bunga majemuk
Mt = Mo (1 + i)t
r = Un =
Mt = M i t
3. Anuitas
Angsuran ke-n :
Dengan an = angsuran ke-n
A = Anuitas
i = suku bunga
M = Besar pinjaman awal
an = angsuran ke-k
Anuitas :
A =
Dengan : M = Besar pinjaman awal
i = Suku bunga
UJI KOMPETENSI II
I. Pilihlah Jawaban yang paling tepat!
1. Range dari data = 10, 22, 18, 3, 7, 9, 15, 18, 24, 21, 8, 25, 18 adalah….
a. 8 c. 12 e. 15
b. 10 d. 13
2. Simpangan rata-rata dari data 20, 21, 22, 23, 24 adalah… .
a. c. e.
b. 1 d.
3. Data deret badan (dalam kg) siswa TK sebagai berikut : 11, 14, 20, 10, 13,
15, 19, 18, 17, 13. kuartil bawah dari data tersebut adalah...
an = (A – iM) (1 + i)n–1
an = ak (1 + i)n–t
a. 11, 5 c. 13,5 e. 18,5
b. 12, 5 d. 15,5
4. Simpangan rata-rata dari data: 4, 2, 6, 5, 8 adalah....
a. c. e.
b. d.
5. Simpangan rata-rata dari data :
x 8 9 12 13 14f 3 1 2 3 1
a. 2,0 c. 2,2 e. 2,5
b. 2,1 d. 2,4
6. Simpangan baku dari data :
x 20 23 25 28f 2 4 8 6
a. c. e.
b. d.
7. Standar deviasi dari data : 10, 3, 1, 9, 11, 2 adalah... .
a. c. e.
b. d.
8. Rata-rata dan simpangan standar nilai matematika pada suatu kelas adalah
7,4 dan 1,2. Jika Aci mendapat nilai 7,8, angka bakunya adalah... .
a. 0,25 c. 0,37 e. 0,45
b. 0,33 d. 0,40
9. Simpangan kuartil dari data : 3, 4, 3, 3, 5, 7, 2, 1, 8, 9, 10, 7, 6 adalah...
a. 3,5 c. 4,5 e. 5,5
b. 4,0 d. 5,0
10. Dari sekelompok data diketahui nilai rata-rata = 6,5 dan koefisien
variansinya 60%. Simpangan standar dari data tersebut adalah... .
a. 0,20 c. 0,23 e. 0,27
b. 0,21 d. 0,25
11. Varians dari data 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 adalah... .
a. 0,16 c. 0,9 e. 4
b. 0,4 d. 1
12. Tabel berikut ini menunjukkan besarnya uang saku siswa suatu SMK dalam
ribuan rupiah
Uang saku (ribuan rupiah)
f
10 – 19 20 – 2930 – 39 40 – 4950 – 59 60 – 69
3417186250
Nilai tengahnya dalah... .
a. Rp. 40.000,00 c. Rp. 41.000,00 e. Rp. 42.000,00
b. Rp. 40.050,00 d. Rp. 41.050,00
13. Nilai kuartil ketiga data pada
diagram disamping adalah… .
a. 55,5
b. 57,5
c. 60,5
d. 62,5
e. 65,5
14. Persentil ke-40 dari data pada tabel di bawah adalah...
Nilai f
2 – 7 3
14
10862
2
14
10
68
35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5
a. 14,5b. 15c. 15,5d. 16e. 16,5
8 – 1314 – 1920 – 25 26 – 31
1112104
15. Jangkauan persentil dari data : 12, 10, 9, 16, 18, 17, 14, 13, 8, 8, 6, 7m 13,
14, 19, 11, 9, 6 adalah...
a. 16, 1 c. 14, 1 e. 12, 1
b. 15, 1 d. 13, 1
16.