Bab 6

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

April 15, 2023

Operasi Fungsi

Invers FungsiKomposisi Fungsi

PenjumlahanPengurangan

PerkalianPembagian

Sifat-Sifat

Fungsi Komposisi

Fungsi Invers

Invers FungsiKomposisi

Sifat-Sifat

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

mempelajari

membahas membahasmembahas

April 15, 2023

1. Apa yang dimaksud dengan fungsi? Berikan contohnya.

2. Apa yang dimaksud dengan domain, kodomain, dan range?

3. Misalkan diberikan fungsi f(x) = 2 + 3x. Tentukan

a. domain dan range fungsi itu;

b. f(0), f(–3), f(t), dan f(1 – t2).

April 15, 2023

1. Pengertian Fungsi

Fungsi atau pemetaan adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B dalam hal ini setiap x A dipasangkan dengan tepat satu y B.

April 15, 2023

Misalkan diketahui himpunan A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4}, dan f menyatakan fungsi dari A ke B, dengan aturan seperti diagram berikut.

Daerah asal (domain) dari f adalah A = {a, b, c, d}.Daerah kawan (kodomain) dari f adalah B = {1, 2, 3, 4}.Daerah hasil (range) dari f adalah {2, 3}.

2. Sifat-Sifat Fungsi

a. Fungsi Surjektif

Fungsi f : A → B disebut fungsi surjektif jika dan hanya jika Rf = B.

Gambar di bawah ini merupakan fungsi surjektif karena setiap kodomain mempunyai pasangan atau Rf = B.

April 15, 2023

b. Fungsi Injektif

Fungsi f : A → B disebut fungsi injektif jika a1, a2 A dan

a1 ≠ a2 maka berlaku f(a1) ≠ f(a2).

Gambar di bawah ini menunjukkan fungsi injektif karena setiap anggota domain fungsi berbeda mempunyai peta yang berbeda pula.

April 15, 2023

c. Fungsi Bijektif

Fungsi f : A → B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika

fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan injektif.

Gambar di atas merupakan fungsi surjektif karena range

fungsi f sama dengan kodomain fungsi f atau Rf = B.

April 15, 2023

Contoh:

Tentukan jenis fungsi f : R → R (R adalah himpunan

bilangan real) yang didefinisikandengan f(x) = 2x.

Jawab: Untuk setiap bilangan real a, maka pasti akan mendapat

satu pasangan bilangan real, yaitu 2a. Demikian pula untuk setiap anggota kodomain

mendapat pasangan bilangan real dari domain. Artinya, setiap bilangan real 2a, pasti akan ditemukan

bilangan real a (dalam domain). Jadi, fungsi tersebut bersifat injektif dan surjektif (atau

bijektif).April 15, 2023

Misalkan diberikan suatu fungsi f(x) dan g(x).

Jika Df domain fungsi f dan Dg domain fungsi g, Df ∩ Dg ≠

maka dapat dituliskan operasi aljabar untuk fungsi-fungsi

tersebut sebagai berikut.

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)

2. (f – g)(x) = f(x) – g(x)

3. (f × g)(x) = f(x) × g(x)

4. 0,

xg

xg

xfx

g

f

April 15, 2023

Contoh:

Diketahui f(x) = x2 + 3x – 1 dan (f + g)(x) = x2 + 5.

Tentukan g(x).

Jawab:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

x2 + 5 = (x2 + 3x – 1) + g(x)

g(x) = (x2 + 5) – (x2 + 3x – 1)

g(x) = x2 + 5 – x2 – 3x + 1

g(x) = –3x + 6

April 15, 2023

1. Pengertian Fungsi Komposisi

Misalkan diberikan fungsi f: R → R dan g: R → R.

Fungsi f dirumuskan dengan f(x) = x + 1 dan g

dirumuskan dengan g(x) = x2.

Untuk x = 1 → f(1) = 1 + 1

x = 2 → f(2) = 2 + 1

x = t → f(t) = t + 1

Jika x diganti g(x), diperoleh f(g(x)) = g(x) + 1 = x2 + 1.

April 15, 2023

April 15, 2023

Fungsi f(g(x)) di tulis (f o g)(x). Fungsi f o g dibaca

“f bundaran g”.

Misalkan fungsi f : A → B, dengan f(a) = b dan

fungsi g : B → C dengan g(b) = c.

Komposisi fungsi f dan g, ditulis g o f (dibaca: g

bundaran f) adalah suatu fungsi yang ditentukan

dengan aturan berikut.

(g o f)(a) = g(f(a))

Contoh:Diketahui f = {(6, –2), (8, –1), (10, 0), (12, 1)};

g = {(–2, 8), (–1, 10), (0, 12), (1, 6)}.Tunjukkan hubungan f o g dan g o f dalam diagram. Tentukan f o g dan nilai (g o f )(10).

Jawab:

f o g = {(–2, –1), (–1, 0), (0, 1), (1, –2)}Dengan memperhatikan diagram, diperoleh (g o f)(10) = 12.

April 15, 2023

2. Syarat agar Dua Fungsi Dapat Dikomposisikan

Misalkan diketahui fungsi f dan g dinyatakan dengan pasangan berurutan berikut.

f = {(0, p), (1, q), (2, 5), (3, 5)}

g = {(p, 1), (s, 2), (t, 7), (u, 0)}

Mari kita selidiki komposisi fungsi f o g dan g o f.

April 15, 2023

(a) (b)

Komposisi fungsi f o g berarti pemetaan pertama fungsi g dilanjutkan pemetaan kedua fungsi f.

Berdasarkan diagram (a) di atas, dapat kita peroleh pasangan berurutan (f o g ) = {(p, q), (s, r), (u, p)}.

Komposisi fungsi (g o f) berarti pemetaan pertama fungsi f dilanjutkan pemetaan kedua fungsi g.

Berdasarkan diagram (b) di atas, dapat kita peroleh pasangan berurutan g o f = {(0, 1), (3, 2)}.

Syarat agar fungsi f dan g dapat dikomposisikan menjadi komposisi fungsi (f o g) adalah apabila range fungsi g merupakan himpunan dari domain f atau Rg Df

.

April 15, 2023

3. Sifat-Sifat Fungsi Komposisi

Misalkan diketahui fungsi-fungsi sebagai berikut.

f(x) = 5x – 4

g(x) = 2x + 8

h(x) = x2

Fungsi komposisi f o g dan g o f adalah sebagai berikut.

a. (f o g)(x) = f(g(x))

= f(2x + 8)

= 5(2x + 8) – 4

= 10x + 36

b. (g o f)(x) = g(f(x))

= g(5x – 4)

= 2(5x – 4) + 8

= 10x

April 15, 2023

Dari hasil di atas tampak bahwa f o g ≠ g o f sehingga

fungsi komposisi tidak bersifat komutatif, tetapi fungsi

komposisi berlaku sifat asosiatif.

Misalkan f dan I adalah fungsi pada himpunan bilangan

real dengan f(x) = 2x2 + 1 dan I(x) = x.

Perhatikan:

(f o I)(x) = f(I(x)) = f(x) = 2x2 + 1;

(I o f)(x) = I(f(x)) = I(2x2 + 1) = 2x2 + 1 = f(x).

Terlihat bahwa (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x).

Jadi, I(x) = x merupakan fungsi identitas dalam fungsi

komposisi.

April 15, 2023

Sifat-Sifat Komposisi Fungsi:

a. Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif, yaitu

(f o g)(x) ≠ (g o f)(x).

b. Komposisi fungsi bersifat asosiatif, yaitu

((f o g) o h)(x) = (f o (g o h))(x).

c. Terdapat fungsi identitas I(x) = x sehingga

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x).

April 15, 2023

4. Menentukan Fungsi yang Diketahui Fungsi Komposisinya

Contoh:

Diketahui fungsi (f o g)(x) = –15x + 5 dan fungsi f(x) = 3x + 2. Tentukan fungsi g.

Jawab:

Karena (f o g)(x) = f(g(x)), berarti f(g(x)) = –15x + 5

3(g(x)) + 2 = –15x + 5

g(x) =

g(x) = –5x + 1

Jadi, g(x) = –5x + 1.

3

515 x

April 15, 2023

1. Pengertian Invers Suatu Fungsi

Definisi untuk invers suatu fungsi f adalah sebagai berikut.

Jika fungsi f : A → B dinyatakan dengan

f = {(x, y) | x Є A, y Є B}

maka invers dari fungsi f adalah f-1 : B → A, dengan

f-1 = {(y, x) | y Є B, x Є A}

April 15, 2023

Suatu fungsi f : A → B mempunyai fungsi invers f-1 : B → A

jika dan hanya jika f bijektif atau A dan B korespondensi

satu-satu.

Contoh:

Diketahui fungsi f : A → B dengan A = {1, 3, 5}, dan B =

{2, 4, 6, 8}, dan f dinyatakan dengan pasangan berurutan

f = {(1, 2), (3, 6), (5, 8)}. Tentukan invers fungsi f dan

selidikilah apakah invers fungsi f merupakan sebuah

fungsi.

Jawab:

f-1 : B → A , yaitu f-1 = {(2, 1), (6, 3), (8, 5)}.

Invers fungsi f adalah relasi biasa (bukan fungsi) karena

ada sebuah anggota B yang tidak dipetakan ke A, yaitu 4.

April 15, 2023

2. Menentukan Invers Suatu Fungsi

Misal f-1 adalah invers f maka x = f-1(y). Rumus x = f-1(y) dapat diperoleh dengan langkah berikut.

a. Ubahlah bentuk y = f(x) menjadi x = g(y).

Karena x = f-1(y) maka diperoleh bentuk

f-1(y) = g(y).

b. Setelah memperoleh bentuk f-1(y) = g(y), gantilah variabel

y dengan variabel x sehingga akan diperoleh f-1(x) yang

sudah dalam variabel x.

April 15, 2023

Contoh:

Tentukan rumus invers fungsi dari fungsi f(x) = 5x + 2.

Jawab:

y = f(x)

y = 5x + 2

5x = y – 2

x

f -1(y)

5

2

y

5

2

y

April 15, 2023

3. Komposisi Suatu Fungsi dengan Inversnya

Untuk mengetahui tentang hubungan invers dengan

komposisi fungsi perhatikan uraian berikut.

Misal f(x) = x + 5.

Dapat kita tentukan invers dari fungsi f, yaitu

y = f(x) y = x + 5

x = y – 5

f-1(y) = y – 5

Jadi, f-1(x) = x – 5.

April 15, 2023

Sekarang perhatikan komposisi fungsi f dan f-1 berikut.

1) (f o f-1)(x) = f(f-1(x)) = f(x – 5) = (x – 5) + 5 = x

2) (f-1 o f)(x) = f-1(f(x)) = f(x + 5) = (x + 5) – 5 = x

Dengan demikian, diperoleh (f o f-1)(x) = (f-1 o f)(x) = x.

Dari uraian di atas, dapat dilihat bahwa komposisi fungsi

dengan inversnya (atau sebaliknya) akan menghasilkan

fungsi identitas sehingga dapat dituliskan sebagai berikut.

(f o f-1)(x) = (f-1 o f)(x) = x = I(x)

April 15, 2023

Contoh:

Diketahui fungsi f(x) = 2x + 6.

a. Carilah f-1(x).

b. Tentukan domain dan kodomain fungsi f agar f(x) mempunyai fungsi invers.

Jawab:

a. f(x) = 2x + 6

Misalkan y = f(x). Dengan demikian,

y = 2x + 6

2x = y – 6

x = y −3

f -1(y) = y − 32

12

1

April 15, 2023

April 15, 2023

b. Domain untuk f adalah semua himpunan bilangan

real atau ditulis Df = {x | x R}.

Domain dari f-1(x) merupakan kodomain fungsi f

maka kodomain f agar mempunyai fungsi invers

adalah semua bilangan anggota himpunan

bilangan real.

Jika digambarkan dalam bidang Cartesius, tampak

seperti gambar berikut.

Grafik f-1(x) diperoleh dari

hasil pencerminan grafik

f(x) terhadap sumbu y = x.

April 15, 2023

Invers dari fungsi komposisi f o g adalah

(f o g) -1(x) = (g -1 o f -1)(x)

Demikian sebaliknya, invers fungsi komposisi g o f adalah

(g o f )-1 (x) = (f -1 o g-1)(x)

April 15, 2023

Contoh: