bab 9b

Bab 9B

Analisis Variansi 2

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

Bab 9B

ANALISIS VARIANSI 2

A. Analisis Variansi Dua Jalan

1. Pendahuluan

Analisis variansi satu jalan hanya terdiri atas satu faktor dengan dua atau lebih level

Analisis variansi dua jalan terdiri atas dua faktor, masing-masing dengan dua atau lebih level

Faktor menghasilkan efek utama sehingga di sini terdapat dua efek utama

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

2. Faktor Utama dan Interaksi

Dalam hal lebih dari satu faktor, faktor itu dapat saja saling mempengaruhi atau tidak saling mempengaruhi

Apabila faktor itu tidak saling mempengaruhi maka kita memperoleh dua faktor utama saja

Apabila faktor itu saling mempengaruhi, maka selain efek utama, kita memperoleh lagi interaksi pada saling mempngaruhi itu

Dalam hal terdapat interaksi, kita memiliki efek utama dan interaksi

• Efek utama (dengan perbedaan rerata)

• Interaksi (dengan interaksi di antara faktror)

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

3. Interaksi X terhadap Y

• Tanpa interaksi (dua efek utama)

• Dengan interaksi (bentuk interaksi)

X1

X2

Y

Y

X1

X2

Y

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

• Tanpa interaksi

• Ada interaksi

Y

X

X

Y

X1

X2

X1

X2

interaksi

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

-----------------------------------------------------------------------------

4. Interaksi

• Interaksi terjadi apabila perbedaan rerata pada satu level (misalnya level 1) tidak sama untuk dua level berbeda pada level 2 sehingga terjadi perpotongan

Level 1

Level 2

Ada perpotongan karena tidak sama

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

B. Analisis Variansi

1. Pemilahan variansi

Variansi untuk efek utama dan interaksi perlu dipilah ke dalam beberapa bagian. Pemilahan ini dikenal sebagai analisis variansi

Pilahan variansi ini menyebabkan variansi total terpilah menjadi variansi dalam kelompok, variansi antara kelompok, dan variansi intreraksi,

Secara tidak langsung, variansi total berkaitan dengan variansi dalam kelompok, variansi antara kelompok, dan variansi interaksi

Kaitan di antara pilahan variansi itu terjadi melalui komponen Jumlah Kuadrat Simpangan (JK) dan Derajat Kebebasan (DK) yakni melalui hubungan

• Variansi = (JK) / DK

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

2. Macam Variansi

Variansi total

Vartot = (JKtot) / (DKtot)

Variansi dalam kelompok

Vardk = (JKdk) / (DKdk)

Variansi antara kelompok

Var ak = (JKak) / (DKak)

Variansi interaksi

Varint = (JKint) / (DKint)

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

3. Variansi

• Banyak kemiripan di antara analisis variansi satu jalan dan dua jalan yang bersangkutan dengan variansi, jumlah kuadrat, dan derajat kebebasan

• Variansi

Variansi Total

Variansi Variansi

Antara kelompok Dalam kelompok

Variansi Variansi Variansi

Faktor 1 Faktor 2 Interaksi

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

4. Jumlah kuadrat (JK)

JKtotal

JKantara kelompok JKdalam kelompok

JKfaktor 1 JKfaktor 2 JKinteraksi

JKT = JKA + JKD

JKA = JK1 + JK2 + JK1x2

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

5. Derajat kebebasan (DK)

DKtotal

DKantara kelompok DKdalam kelompok

DKfaktor 1 DKfaktor 2 DKinteraksi

DKT = DKA + DKD

DKA = DK1 + DK2 + DK1x2

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

6. Rumus Variansi

2121

2

2

22

1

22

22

2

2

2

1

2

1

2

2

...

JKJKJKJK

n

X

n

XJK

n

X

n

XJK

JKJKJK

n

X

n

X

n

X

n

X

n

X

n

XJK

n

XXJK

DK

JKVAR

Ax

baris

baris

lajur

lajur

ATD

kel

kel

k

kA

T

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

DKT = n 1

DKA = k 1

DKD = DKT DKA = n k

DK1 = (banyaknya level 1) 1

DK2 = (banyaknya level 2) 1

DK1x2 = DKA DK1 DK2

k = banyaknya kelompok

n = ukuran seluruh kelompok

X = seluruh data

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

C. Pengujian Hipotesis

1. Pendahuluan

• Pengujian hipotesis hanya dapat menguji apakah ada perbedaan rerata di antara kelompok dan apakah ada interaksi

• Jika terdapat lebih dari dua rerata dan sekiranya ada perbedaan di antara rerata, maka pengujian ini tidak dapat menentukan rerata mana saja yang berbeda

• Penentuan selanjutnya dilakukan melalui komparasi ganda secara sepasang demi sepasang

• Pengujian komparasi ganda sama dengan cara komparasi ganda pada analisis variansi satu jalan

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

2. Rumusan hipotesis

• Ada hipotesis untuk efek utama dan ada hipotesis untuk interaksi

• Pada faktor A dan faktor B

H0 : A1 = A2 = A3 = …

H1 : Ada yang tidak sama

H0 : B1 = B2 = B3 = …

H1 ; Ada yang tidak sama

H0 : A x B = 0

H1 : A x B ≠ 0

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

-----------------------------------------------------------------------------

Indikator adanya interaksi

• Interaksi terjadi jika ada perpotongan pada grafik

• Perpotongan ini terjadi apabila perbedaan pada dua rerata berlawan arah

Faktor Faktor A

B A1 A2 A3 A4

B1 > >

B2 > <

Ada interaksi (berlawanan sehingga ada perpotongan)

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

3. Statistik Uji

• Statistik uji adalah perbandingan variansi

variansi yang diuji

F = ---------------------------------

variansi dalam kelompok

• Efek utama faktor 1

F = (VAR1) / (VARD)

• Efek utama faktor 2

F = (VAR2) / (VARD)

• Interaksi faktor 1 x 2

F = (VAR1x2) / (VARD)

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

4. Kriteria pengujian

• Pengujian pada taraf signifikansi dilakukan terhadap nilai kritis

Ftabel = F()( atas)( bawah)

• Hasil pengujian

Signifikan s jika F > Ftabel

Tidak signifikan ts jika F Ftabel

• Biasanya hasil pengujian diberi notasi s untuk signifikan atau ts untuk tidak signifikan

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

• Ukuran efek

Ukuran efek pada analisis variansi dua jalan di antara faktor A dan faktor B

JKA

2A = -----------------------------

JKtotal JKB JKAxB

JKB

2B = -----------------------------

JKtotal JKA JKAxB

JKAxB

2AxB = --------------------------

JKtptal JKA JKB

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

D. Pelaksanaan Pengujian Hipotesis

1. Analisis variansi

Contoh 1

Pada suatu penelitian dicoba dua macam pupuk A dan B dengan kadar berbeda yang diberikan kepada tumbuhan. Pada taraf signifikansi 0,05 diuji

a. efek utama kadar pupuk

b. efek utama macam pupuk

c. interaksi kadar dan macam pupuk

Sampel acak menunjukkan pertumbuhan seperti pada halaman berikut

----------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

Macam Kadar pupuk

pupuk tiada (1) sedikit (2) sedang (3) cukup (4)

9 6 12 10

10 15 10 13

A 7 (45) 12 (58) 12 (54) 15 (60) (217)

12 12 13 12

7 13 7 10

4 10 9 12

7 13 7 13

B 6 (35) 4 (41) 10 (46) 15 (63) (185)

9 9 7 10

9 5 13 13

(80) (99) (100) (123) (402)

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

• Hipotesis

H0 : K1 = K2 = K2 = K4

H1 : Ada yang beba

H0 : MA = MB

H1 : Berbeda

H0 : M x K = 0

H1 : M x K ≠ 0

• Statistik uji

nkelompok = 5 n = 40Σ X = 402 Σ X2 = 4394(ΣX)2 / n = 4022 / 40 = 4040,1

JKT = 4394 4040,1 = 353,9

DKT = n 1 = 40 1 = 39

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

Antara kelompok

nK Σ XK (Σ XK)2 / nK

5 45 405,0

5 58 672,8

5 54 583,2

5 60 720,0

5 35 245,0

5 41 336,2

5 46 423,2

5 63 793,8

4179,2

JKA = 4179,2 4040,1 = 139,1

DKA = K 1 = 8 1 = 7

JKD = JKT JKA = 353,9 139,1 = 214,8

DKD = n K = 40 8 = 32

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

Faktor utama kadar pupuk

nL Σ XL (Σ XL)2 / nL

10 80 640,0

10 99 980,1

10 100 1000,0

10 123 1512,9

4133,0

JK1 = 4133,0 4040,1 = 92,9

DK1 = 4 1 = 3

Faktor utama macam pupuk

nB Σ XB (Σ XB)2 / nB

20 217 2354,45

20 185 1711,25

4065,7

JK2 = 4065,7 4040,1 = 25,6

DK2 = 2 1 = 1

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

JK1x2 = JKA JK1 JK2

= 139,1 92,9 25,6

= 20,6

DK1x2 = DKA DK1 DK2

= 7 3 1 = 3

• Nilai kritis untuk = 0,05

Ada dua nilai kritis bergantung kepada derajat kebebasan atas dan bawah, yakni

F(0,95)(3)(32) = 2,90

F(0,95)(1)(32) = 4,15

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

• Hasil pengujian

Sumber variansi JK DK VAR F = 0,05

Kadar pupuk 92,9 3 30,97 4,62 s

Macam pupuk 25,6 1 25,6 3,82 ts

Interaksi 20,6 3 6,87 1,02 ts

Dalam kelompok 214,8 32 6,71

Tampak di sini bahwa pada kadar pupuk terdapat

perbedaan pada rerata sekalipun belum ditentu-

kan rerata mana saja yang beda (perlu ditentu-

kan melalui komparasi ganda)

Pada macam pupuk tidak terdapat perbedaan

rerata

Tidak terdapat interaksi di antara macam dan

kadar pupuk

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 2

Empat jenis operator menggunakan tiga macam filter. Kehilangan bahan terjadi pada penfilteran. Pada taraf signifikansi 0,05 uji efek operator, efek filter, dan interaksi operator dan filter terhadap kehilangan bahan

Sampel acak menunjukkan

Filter Operator

O1 O2 O3 O4

16,2 15,9 15,6 14,9

F1 16,8 15,1 15,9 15,2

17,1 14,5 16,1 14,9

16,6 16,0 16,1 15,4

F2 16,9 16,3 16,0 14,6

16,8 16,5 17,2 15,9

16,7 16,5 16,4 16,1

F3 16,9 16,9 17,4 15,4

17,1 16,8 16,9 15,6

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

• Hipotesis

• Statistik uji

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

• Antara kelompok

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

• Faktor utama operator

• Faktor utama filter

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

• Nilai kritis

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

• Hasil pengujian

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 3

Dengan analisis variansi dua jalan, pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah ada efek utama A, efek utama B, dan interaksi A x B


Faktor A Faktor B

B1 B2 B3 B4

A1 34,0 30,1 29,8 29,0

32,7 32,8 26,7 28,9

A2 32,0 30,2 28,7 27,6

33,2 29,8 28,1 27,8

A3 28,4 27,3 29,7 28,8

29,3 28,9 27,3 29,1

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 4

Dengan analisis variansi dua jalan, pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah ada efek utama H, efek utama P, dan interaksi H x P


Faktor P Faktor H

H1 H2 H3 H4

P1 39,0 33,1 33,8 33,0

42,8 37,8 30,7 32,9

P2 36,9 27,2 29,7 28,5

41,0 26,8 29,1 27,9

P3 27,4 29,2 26,7 30,9

30,3 29,9 32,0 31,5

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 5

Dengan analisis variansi dua jalan, pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah ada efek utama A, efek utama B, dan interaksi A x B


Faktor B Faktor A A1 A2 A3 3 2 4 1 4 4 B1 2 3 5 2 1 5 2 4 4 1 4 7 6 4 5 6 2 2 B2 5 3 4 3 6 3 4 3 4 6 5 4

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

2. Komparasi Ganda

• Apabila analisis variansi menghasilkan penolakan H0 maka ada di antara rerata yang berbeda

• Untuk menentukan rerata mana saja yang berbeda dilakukan pengujian melalui komparasi ganda

• Ada beberapa jenis uji komparasi ganda meliputi LSD Fisher, Scheffe, HSD Tukey, dan Duncan

• Cara pengujian komparasi ganda adalah sama seperti pengujian komparasi ganda pada analisis variansi satu jalan

• Komparasi ganda dilakukan terhadap sepasang selisih rerata (untuk semua pasang atau untuk pasangan yang diperlukan saja)

• Hanya dilakukan pada faktor dengan H0 yang ditolak serta dengan level lebih dari dua

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 6

Pada contoh 1 dengan taraf signifikansi 0,05 uji kadar pupuk mana saja yang menghasilkan perbedaan pada pertumbuhan

Di sini kita menggunakan metoda LSD Fisher

Selisih rerata yang diuji adalah

K1 K2

K1 K3

K1 K4

K2 K3

K2 K4

K3 K4

Diketahui

VARD = 6,71

n1 = n2 = n3 = n4 = 10

XK1 = 8,0 XK2 = 9,9 XK3 = 10,0 XK4 = 12,3

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

• Statistik uji

Karena n1 = n2 = n3 = n4 = 5, maka untuk semua pasang selisih rerata, ij adalah sama yakni

36

440

161

3421

10

1

10

1716

11

kn

nnVAR

JiDij

,

,

,

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

• Kriteria pengujian

Nilai kritis pada = 0,05

ujung bawah t(0,025)(36) = 2,028

ujung atas t(0,975)(36) = 2,028

• Keputusan

Pada taraf signifikansi 0,05, terdapat perbedaan rerata jika

t < 2,028 atau t > 2,028

• Pengujian

(a) K1 K2

XK1 XK2 = 8,0 9,9 = 1,9 t = ( 1,9) / (1,16) = 1,64 Tidak signifikan

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

(b) K1 K3

XK1 XK3 = 8,0 10,0 = 2,0

t = ( 2,0) / (1,16) = 1,72

Tidak signifikan

(c) K1 K4

XK1 XK4 = 8,0 12,3 = 4,3

t = ( 4,3) / (1,16) = 3,71

Signifikan

(d) K2 K3

XK2 XK3 = 9,9 10,0 = 0,1

t = ( 0,1) / (1,16) = 0,09

Tidak signifikan

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

(e) K2 K4

XK2 XK4 = 9,9 12,3 = 2,4

t = ( 2,4 )/ (1,16) = 2,07

Signifikan

(f) K3 K4

XK3 XK4 = 10,0 12,3 = 2,3

t = ( 2,3) / (1,16) = 1,98

Tidak signifikan

• Pada taraf signifikansi 0,05, perbedaan rerata terdapat pada

K1 K4 dan K2 K4

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

Contoh 7

Melalui komparasi ganda pada taraf signifikansi 0,05, uji perbedaan rerata pada contoh 2

Contoh 8


Contoh 9


Contoh 10


------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

E. Analisis Variansi Banyak Faktor

1. Jenis Analisis Variansi

Analisis variansi dapat dibagi ke dalam beberapa jenis menurut banyaknya faktor yakni

• Analisis variansi satu jalan (satu faktor)• Analisis variansi dua jalan (dua faktor)• Analisis variansi tiga jalan (tiga faktor)• dan seterusnya

Analisis variansi satu jalan hanya melibatkan satu faktor sehingga hanya memiliki satu efek utama

Analisis variansi dua jalan melibatkan dua faktor sehingga memiliki dua efek utama dengan satu interaksi

Analisis variansi selanjutnya melibatkan banyak faktor dengan banyak efek utama dan banyak interaksi (tidak dibahas di sini)

------------------------------------------------------------------------------Bab 9B

------------------------------------------------------------------------------

2. Analisis Variansi dan Level

Pada analisis variansi dua jalan atau lebih, banyaknya level sering dikemukakan juga

Apabila dua faktor pada analisis variansi dua jalan masing-masing memiliki 3 dan 4 level, maka analisis variansi ini merupakan analisis variansi

3 x 4

Apabila tiga faktor pada analisis variansi tiga jalan masing-masing memiliki 3, 4, dan 4 level, maka analisis variansi ini merupakan analisis variansi

3 x 4 x 4

Hal serupa terjadi pada analisis variansi selanjutnya

bab 9b

Documents