bab ii dasar teori ii.1. model biaya...
TRANSCRIPT
4
BAB II
DASAR TEORI
Pada bab ini akan dijabarkan dasar teori sebagai pendukung penelitian.
Materi yang dijabarkan adalah mengenai model kegagalan dua dimensi,
persamaan integral pembaruan dua dimensi, dan hal-hal yang berkaitan dengan
distribusi bivariat.
II.1. Model Biaya Garansi
Biaya garansi dinyatakan oleh peubah acak kerugian aggregat A yaitu
𝐴 = ∑ 𝐿𝑖 =
𝑁
𝑖=1
𝐿1 + 𝐿2 + ⋯ + 𝐿𝑁 (2.1)
dimana 𝑁 adalah peubah acak yang menyatakan banyak kegagalan yang terjadi
dan 𝐿𝑖 adalah peubah acak yang menyatakan besar biaya yang dikeluarkan untuk
melakukan pembetulan ke-i. Untuk kasus dimana komponen yang gagal adalah
non-repairable, disini diasumsikan harga per unit komponen (ℓ) tersebut tidak
berubah sepanjang waktu, ekspektasi biaya garansi didefinisikan oleh
𝐸[𝐴] = ℓ𝐸[𝑁] (2.2)
Peubah 𝑁 melibatkan proses stokastik dimana pada kasus garansi dua dimensi
maka proses stokastik berada di bidang dua dimensi. Hal di atas berarti bahwa
biaya garansi bergantung pada model kegagalan di dua dimensi. Selanjutnya, hal-
hal berkaitan dengan model kegagalan dua dimensi dijelaskan.
II.2. Notasi
Pada bagian ini akan diuraikan notasi-notasi yang digunakan dalam
penulisan penelitian ini, antara lain:
𝑋𝑛 : peubah acak kontinu tak negatif menyatakan umur saat kegagalan ke- 𝑛.
𝑌𝑛 : peubah acak kontinu tak negatif menyatakan penggunaan saat kegagalan
ke- 𝑛.
5
𝑇𝑛 : peubah acak kontinu tak negatif menyatakan antar umur kegagalan ke 𝑛 −
1 sampai ke-𝑛. 𝑇𝑛 = 𝑋𝑛 − 𝑋𝑛−1, 𝑛 = 1,2,3, …, dan 𝑋0 = 0.
𝑆𝑛 : peubah acak kontinu tak negatif menyatakan antar penggunaan kegagalan
ke 𝑛 − 1 sampai ke-𝑛. 𝑆𝑛 = 𝑌𝑛 − 𝑌𝑛−1, 𝑛 = 1,2,3, …, dan 𝑌0 = 0.
𝑁1(𝑥) : proses hitung satu dimensi di interval umur [0, 𝑥).
𝑁1(𝑦) : proses hitung satu dimensi di interval penggunaan [0, 𝑦).
𝑁2(𝑥, 𝑦) : proses hitung dua dimensi di daerah persegi panjang [0, 𝑥) × [0, 𝑦).
II.3. Model Kegagalan Pertama Dua Dimensi
Model kegagalan dua dimensi diketahui memiliki dua pendekatan. Dalam
pendekatan pertama, masalah dua dimensi secara efektif dikurangi menjadi satu
dimensi dengan memisalkan penggunaan (usage) sebagai fungsi dalam umur.
Dalam pendekatan kedua, pemodelan kegagalan dua dimensi melibatkan distribusi
bivariat. Model kegagalan nantinya bergantung pada pembetulan yang dilakukan
terhadap kegagalan komponen produk seperti perbaikan minimum, perbaikan
imperfect, dan penggantian yang masing-masing memiliki laju kegagalan (fungsi
hazard) yang khas. Untuk komponen non-repairable, pembetulan atau pemulihan
melibatkan penggantian komponen gagal dengan komponen baru yang nantinya
dimodelkan oleh proses pembaruan. Model kegagalan dua dimensi dengan strategi
penggantian dimodelkan melalui kegagalan pertama komponen.
Misalkan (𝑋1, 𝑌1) merupakan peubah acak bivariat yang memiliki fungsi
distribusi bivariat
𝐻(𝑥, 𝑦) = Pr[𝑋1 ≤ 𝑥, 𝑌1 ≤ 𝑦] (2.3)
dan fungsi survival bivariat yaitu
�̅�(𝑥, 𝑦) = Pr[𝑋1 ≤ 𝑥, 𝑌1 ≤ 𝑦]
= 1 − Pr[𝑋1 ≤ 𝑥] − 𝑃𝑟[𝑌1 ≤ 𝑦] + Pr[𝑋1 ≤ 𝑥, 𝑌1 ≤ 𝑦]
= 1 − 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑦) + 𝐻(𝑥, 𝑦) (2.4)
dengan 𝐹(𝑥) = Pr[𝑋1 ≤ 𝑥] dan 𝐺(𝑦) = Pr [𝑌1 ≤ 𝑦] masing-masing fungsi
distribusi marginal 𝑋1 dan 𝑌1. Fungsi 𝐻(𝑥, 𝑦) dapat diturunkan hingga diperoleh
fungsi kepadatan peluang bivariat (𝑋1, 𝑌1) yaitu
6
ℎ(𝑥, 𝑦) = lim∆𝑥→0∆𝑦→0
Pr [𝑥 ≤ 𝑋1 < 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 ≤ 𝑌1 < 𝑦 + ∆𝑦]
∆𝑥∆𝑦=
𝜕2𝐻(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑦 (2.5)
Fungsi hazard bivariat dapat diperoleh dari
𝑟2(𝑥, 𝑦) = lim∆𝑥→0∆𝑦→0
Pr [𝑥 ≤ 𝑋1 < 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 ≤ 𝑌1 < 𝑦 + ∆𝑦]
Pr [𝑋1 > 𝑥, 𝑌1 > 𝑦]∆𝑥∆𝑦=
ℎ(𝑥, 𝑦)
𝐻(𝑥, 𝑦) (2.6)
Fungsi hazard bivariat, 𝑟2(𝑥, 𝑦), pada persamaan (2.6) mengartikan laju kegagalan
(failure rate) hingga kegagalan pertama di bidang dua dimensi. Laju kegagalan
setelah pembetulan dapat didefinisikan melalui fungsi 𝑟2(𝑥, 𝑦) bergantung pada
strategi yang digunakan untuk pembetulan komponen produk yang gagal.
Misalkan 𝜆𝑛(𝑥, 𝑦) adalah laju kegagalan setelah pembetulan komponen
produk yang gagal ke- 𝑛 kali di bidang dua dimensi. Fungsi 𝜆𝑛(𝑥, 𝑦) secara umum
untuk strategi perbaikan minimum (𝜀 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝜏 = 0), perbaikan imperfect
(0 < 𝜀 < 1 𝑑𝑎𝑛 0 < 𝜏 < 1 ), dan penggantian (𝜀 = 1 𝑑𝑎𝑛 𝜏 = 1) dapat
dituliskan
𝜆𝑛(𝑥, 𝑦) = 𝑟2(𝑥 − 𝜀𝑋𝑛, 𝑦 − 𝜏𝑌𝑛), 𝑋𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑋𝑛+1 dan 𝑌𝑛 ≤ 𝑦 < 𝑌𝑛+1 (2.7)
𝜆𝑛(𝑥, 𝑦) = {
𝑟2(𝑥, 𝑦) , perbaikan minimum
𝑟2(𝑥 − 𝜀𝑋𝑛, 𝑦 − 𝜏𝑌𝑛) , perbaikan imperfect
𝑟2(𝑥 − 𝑋𝑛, 𝑦 − 𝑌𝑛) , pengantian
(2.8)
(Sasongko, 2016). Laju kegagalan merupakan kurva permukaan di ruang tiga
dimensi. Gambar II.1 adalah domain laju kegagalan strategi penggantian di bidang
dua dimensi.
II.4. Strategi Penggantian pada Model Kegagalan Dua Dimensi
Pada strategi penggantian dua dimensi ini kinerja produk yang gagal dapat
dipulihkan melalui penggantian komponen yang gagal dengan komponen baru
agar kembali ke keadaan operasionalnya, yang berarti laju kegagalan dapat
kembali beroperasi seperti saat pertama kali digunakan (kembali ke umur dan
penggunaan nol). Komponen pengganti yang digunakan merupakan komponen
yang baru dan identik serta memiliki distribusi kegagalan yang i.i.d (independent
and identically distributed) dengan komponen sebelumnya. Laju kegagalan dari
strategi penggantian untuk 𝑋𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑋𝑛+1 dan 𝑌 ≤ 𝑦 < 𝑌𝑛+1 yaitu
7
𝜆𝑛(𝑥, 𝑦) = 𝑟2(𝑥 − 𝑋𝑛, 𝑦 − 𝑌𝑛) (2.9)
Ilustrasi strategi penggantian di bidang dua dimensi tertampil pada Gambar II.1.
Gambar II.1. Domain Laju Kegagalan Strategi Penggantian di Dua Dimensi
Untuk 𝑋𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑋𝑛+1,𝑌 ≤ 𝑦 < 𝑌𝑛+1 atau (𝑥, 𝑦) ∈ (𝑇𝑖+1, 𝑆𝑖+1), 𝑖 = 0,1, … , 𝑛 − 1,
menyebabkan (𝑇1, 𝑆1), (𝑇2, 𝑆2), (𝑇3, 𝑆3), … , (𝑇𝑛, 𝑆𝑛) memiliki distribusi kegagalan
yang i.i.d dengan peubah (𝑇1, 𝑆1) = (𝑋1, 𝑌1) dengan fungsi distribusi bivariat
𝐻(𝑥, 𝑦). Sehingga proses titik (point process) dua dimensi yang sesuai untuk
strategi penggantian adalah proses pembaruan (renewal process) dua dimensi
(Hunter, 1974; Yang, 1999; Baik, 2004; Blischke, 2011).
II.5. Proses Pembaruan Dua Dimensi
Pada kasus pembaruan dua dimensi ini, peubah acak bivariat (𝑋𝑛, 𝑌𝑛) =
(∑ 𝑇𝑖𝑖=1𝑛 , ∑ 𝑆𝑖𝑖=1
𝑛 ) dan proses perhitungan (counting process) dua dimensi
𝑁2(𝑥, 𝑦) dapat diartikan sebagai suatu kesamaan kejadian (same events). Pada
himpunan titik umur dan penggunaan terdapat kesamaan kejadian peubah-peubah
acak {(𝑥, 𝑦)} yang ekivalen. Pertama yang harus dilakukan adalah terlebih dahulu
mendefinisikan 𝑁2(𝑥, 𝑦) yaitu
𝑁2(𝑥, 𝑦) = 𝑚𝑖𝑛 {𝑁1(𝑥)𝑁1(𝑦)} (2.10)
dengan 𝑁1(𝑥) adalah proses hitung marginal di interval umur [0, 𝑥) dan 𝑁1(𝑦)
merupakan proses hitung marginal di interval penggunaan [0, 𝑦). Jadi proses
hitung 𝑁2(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑛 di himpunan titik (𝑥, 𝑦) diberikan
{(𝑥, 𝑦)|𝑁2(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑛} ≡ {(𝑥, 𝑦)|𝑚𝑖𝑛 {𝑁1(𝑥), 𝑁1(𝑦)} ≥ 𝑛}
≡ {(𝑥, 𝑦)|𝑁1(𝑥) ≥ 𝑛, 𝑁1(𝑦) ≥ 𝑛} (2.11)
8
Persamaan (2.11) ekuivalen dengan
{(𝑥, 𝑦)|𝑁2(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑛} ≡ {(𝑥, 𝑦)|𝑋𝑛 ≤ 𝑥, 𝑌𝑛 ≤ 𝑦}
≡ {(𝑥, 𝑦)| ∑ 𝑇𝑖 ≤ 𝑥𝑛𝑖=1 , ∑ 𝑆𝑖 ≤ 𝑦𝑛
𝑖=1 } (2.12)
Ilustrasi mengenai hubungan persamaan diatas diperlihatkan pada Gambar II.2.
Gambar II.2. Peubah-Peubah pada Proses Titik Dua Dimensi
Berdasarkan persamaan diatas, peluang proses hitung 𝑁2(𝑥, 𝑦) = 𝑛 diperoleh dari
Pr [𝑁2(𝑥, 𝑦) = 𝑛] = Pr[𝑁2(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑛] − Pr[𝑁2(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑛 + 1]
= Pr [∑ 𝑇𝑖 ≤ 𝑥, ∑ 𝑆𝑖 ≤ 𝑦
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
] − Pr [∑ 𝑇𝑖 ≤ 𝑥, ∑ 𝑆𝑖 ≤ 𝑦
𝑛+1
𝑖=1
𝑛+1
𝑖=1
] (2.13)
Peubah acak bivariat antar umur dan penggunaan kegagalan
(𝑇1, 𝑆1), (𝑇2, 𝑆2), (𝑇3, 𝑆3), . . . , (𝑇𝑛, 𝑆𝑛) memiliki distribusi kegagalan yang i.i.d
dengan peubah bivariat (𝑇, 𝑆). Peubah bivariat (𝑇, 𝑆) dapat dilihat sebagai peubah
(𝑇1, 𝑆1) = (𝑋1, 𝑌1) yang memiliki fungsi distribusi bivariat 𝐻(𝑥, 𝑦). Karena
(𝑇1, 𝑆1), (𝑇2, 𝑆2), (𝑇3, 𝑆3), . . . , (𝑇𝑛, 𝑆𝑛) i.i.d dengan fungsi distribusi bivariat
𝐻(𝑥, 𝑦), maka peubah (𝑋𝑛, 𝑌𝑛) = (∑ 𝑇𝑖𝑛𝑖=1 , ∑ 𝑆𝑖
𝑛𝑖=1 ) memiliki konvolusi bivariat
(bivariate convolution) yaitu (∑ 𝑇𝑖𝑛𝑖=1 , ∑ 𝑆𝑖
𝑛𝑖=1 )~𝐻(𝑛)(𝑥, 𝑦) dimana adalah n-fold
bivariate convolution dari dan dengan 𝐻(𝑥, 𝑦) sendiri. Persamaan (2.13) menjadi
Pr[𝑁2(𝑥, 𝑦) = 𝑛] = 𝐻(𝑛)(𝑥, 𝑦) − 𝐻𝑛+1(𝑥, 𝑦) (2.14)
(Hunter, 1974; Yang, 1999; Baik, 2004; Blischke, 2011).
Ekspektasi banyak kegagalan pada daerah persegi panjang [0, 𝑥) × [0, 𝑦) adalah
9
𝐸[𝑁2(𝑥, 𝑦) = 𝑛] = ∑ 𝑛Pr[𝑁2(𝑥, 𝑦) = 𝑛]
∞
𝑛=1
= ∑ 𝐻𝑛(𝑥, 𝑦)
∞
𝑛=1
(2.15)
Persamaan (2.15) disederhanakan dengan bantuan persamaan integral pembaruan
dua dimensi (two-dimensional renewal integral equation), 𝑀(𝑥, 𝑦), yaitu
𝐸[𝑁2(𝑥, 𝑦)] = 𝑀(𝑥, 𝑦) (2.16)
dimana,
𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝐻(𝑥, 𝑦) + ∫ ∫ 𝑀(𝑥 − 𝑡, 𝑦 − 𝑠)𝑑2𝐻(𝑡, 𝑠)
𝑦
0
𝑥
0
(2.16a)
𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝐻(𝑥, 𝑦) + ∫ ∫ 𝐻(𝑥 − 𝑡, 𝑦 − 𝑠)𝑑2𝑀(𝑡, 𝑠)
𝑦
0
𝑥
0
(2.16b)
Ekspresi analitik 𝑀(𝑥, 𝑦) sangat sulit untuk diperoleh. Iskandar (Baik,
2004) menggunakan metode Riemann-Stieljies di dua dimensi untuk menghitung
𝑀(𝑥, 𝑦) pada persamaan (2.16b) dari perluasan metode Riemann-Stieljies untuk
𝑀(𝑥) oleh Min Xie (Baik, 2004). Pada penelitian ini, 𝑀(𝑥, 𝑦) pada persamaan
(2.16a) dihitung dengan menggunakan metode Mean Value Theorem for Integrals
yang diusulkan oleh Sasongko (2016).
II.6. Solusi Numerik Persamaan Integral Pembaruan Dua Dimensi
Ekspektasi banyak kegagalan komponen bergaransi dua dimensi dengan
strategi penggantian diperoleh melalui persamaan integral pembaruan dua dimensi
seperti pada (2.16a) atau (2.16b). Sangat rumit dan sulit untuk memperoleh
solusi atau ekspresi analitik fungsi 𝑀(𝑥, 𝑦) pada (2.16b) atau (2.16b). Dalam
penelitian ini 𝑀(𝑥, 𝑦) pada (2.16b) akan dihitung secara numerik melalui metode
Mean Value Theorem for Integrals yang dijabarkan sebagai berikut:
Metode Mean Value Theorem for Integrals untuk Menghitung 𝑀(𝑥, 𝑦)
Dilakukan perubahan peubah pada persamaan (2.16a). Misalkan 𝑎 = 𝑥 − 𝑡
dan 𝑏 = 𝑦 − 𝑠, suku pertama dan kedua pada persamaan (2.16a) menjadi
𝐻(𝑥, 𝑦) = ∫ ∫ 𝑑2𝐻(𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏)
𝑏=𝑦
𝑏=0
𝑎=𝑥
𝑎=0
(2.17)
10
∫ ∫ 𝑀(𝑥 − 𝑡, 𝑦 − 𝑠)𝑑2𝐻(𝑡, 𝑠)
𝑦
0
𝑥
0
= ∫ ∫ 𝑀(𝑎, 𝑏)𝑑2𝐻(𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏)
𝑏=𝑦
𝑏=0
𝑎=𝑥
𝑎=0
(2.18)
Dapat diperoleh persamaan baru untuk 𝑀(𝑥, 𝑦) dengan perubahan peubah yaitu
𝑀(𝑥, 𝑦) = ∫ ∫ 𝑑2𝐻(𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏)
𝑦
0
𝑥
0
+ ∫ ∫ 𝑀(𝑎, 𝑏)𝑑2𝐻(𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏)
𝑦
0
𝑥
0
= ∫ ∫(1 + 𝑀(𝑎, 𝑏))𝑑2𝐻(𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏)
𝑦
0
𝑥
0
(2.19)
Interval [0, 𝑥) dan [0, 𝑦) masing-masing dibagi sebanyak n dan m bagian sama
panjang, ∆𝑥 =𝑥
𝑛 dan ∆𝑦 =
𝑦
𝑚 , sehingga diperoleh 𝑛 × 𝑚 persegi panjang
[𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖) × [𝑦𝑗−1, 𝑦𝑗) , 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑥 , 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛 , 𝑦𝑗 = 𝑗∆𝑦 , 𝑗 = 0,1,2, … , 𝑚.
Selanjutnya dilakukan diskritisasi pada persamaan (2.19) menjadi
𝑀(𝑥, 𝑦) = ∑ ∑ [ ∫ ∫ (1 + 𝑀(𝑎, 𝑏))𝑑2𝐻(𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏)
𝑦𝑗
𝑦𝑗−1
𝑥𝑖
𝑥𝑖−1
]
𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
(2.20)
Metode Mean Value Theorem for Integrals diterapkan dititik kiri bawah
(𝑥𝑖−1, 𝑦𝑗−1) pada persegi panjang [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖) × [𝑦𝑗−1, 𝑦𝑗) estimasi 𝑀(𝑥, 𝑦) adalah
�̂�(𝑥, 𝑦) = ∑ ∑ [(1 + �̂�(𝑥𝑖−1, 𝑦𝑗−1)) ∫ ∫ 𝑑2𝐻(𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏)
𝑦𝑗
𝑦𝑗−1
𝑥𝑖
𝑥𝑖−1
]
𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
= ∑ ∑ [(1 + �̂�(𝑥𝑖−1, 𝑦𝑗−1)) ∆𝑥𝑖−1
𝑥𝑖 ∆𝑦𝑖−1
𝑦𝑖 𝑑2𝐻(𝑥 − 𝑎, 𝑦 − 𝑏)]
𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
(2.21)
�̂�(𝑥, 𝑦) diperoleh secara rekursif dengan memperoleh dahulu
�̂�(𝑥𝑝, 𝑦𝑞) = ∑ ∑ [(1 + �̂�(𝑥𝑖−1, 𝑦𝑗−1)) ∆𝑥𝑖−1
𝑥𝑖 ∆𝑦𝑖−1
𝑦𝑖 𝑑2𝐻(𝑥𝑝 − 𝑎, 𝑦𝑞 − 𝑏)]
𝑞
𝑗=1
𝑝
𝑖=1
(2.22)
dengan syarat awal �̂�(0,0) = 𝑀(0,0) = 0 dan �̂�(0, 𝑦𝑞) = �̂�(𝑥𝑝, 0) = 0
untuk 𝑝 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1 dan 𝑞 = 0,1,2, … , 𝑚 − 1.
II.7. Distribusi Bivariat
11
Beberapa keluarga distribusi bivariat yang sering digunakan dalam analisis
garansi seperti dijelaskan oleh Blischke (2011). Dua keluarga distribusi bivariat
tersebut adalah
a. Distribusi Eksponensial bivariat
Salah satu distribusi eksponensial bivariat yang diusulkan oleh
Marshall dan Olkin yang mana distribusi eksponensial bivariat dinyatakan
oleh fungsi survival bivariat adalah
�̅�(𝑥, 𝑦) = exp{−[𝜆1 + 𝜆2𝑦 + 𝜆12𝑚𝑎𝑥(𝑥, 𝑦)]} (2.23)
Distribusi marginal-marginal dari (2.23) diberikan oleh
𝐹(𝑥) = 1 − exp{−(𝜆1 + 𝜆12)𝑥} (2.24)
𝐺(𝑦) = 1 − exp{−(𝜆1 + 𝜆12)𝑦} (2.25)
b. Distribusi Weibull bivariat
Salah satu distribusi Weibull bivariat yang diusulkan oleh Lu dan
Bhattacharyya (1990) yang mana distribusi Weibull bivariat dinyatakan oleh
fungsi survival bivariat adalah
�̅�𝐿𝐵,𝛿(𝑥, 𝑦) = exp {− [(𝑥
𝛽1)
𝛼1𝛿
− (𝑦
𝛽2)
𝛼2𝛿
]
𝛿
} (2.26)
Fungsi distribusi marginal Weibull disajikan di Lampiran 1.
II.8. Copula
Menentukan fungsi distribusi bivariat yang cocok untuk suatu data (bivariat)
bukanlah persoalan mudah. Umumnya, fungsi distribusi bivariat standar yang
tersedia memiliki marginal-marginal dari keluarga distribusi yang sama. Saat
bekerja dengan data, sangat mungkin dijumpai marginal-marginal data berbeda
keluarga distribusi, padahal keinginan untuk mempertahankan distribusi marginal-
marginal data menjadi kebutuhan utama. Selain itu, sangat mungkin dijumpai
struktur kebergantungan data berbeda dengan struktur kebergantungan dari fungsi
distribusi bivariat standar yang tersedia sehingga berakibat tidak dijumpainya
fungsi distribusi bivariat yang cocok untuk data yang dimiliki. Copula hadir
memberikan solusi terhadap persoalan dalam menentukan fungsi distribusi
12
bivariat yang cocok terhadap data yang dimiliki. Melalui copula, struktur
kebergantungan data bivariat dapat dipelajari (Tse, 2009). Pada bagian ini
dijabarkan bagaimana Copula merupakan suatu fungsi distribusi bivariat.
Copula (bivariat) adalah suatu fungsi distribusi bivariat dengan marginal-
marginalnya berdistribusi seragam [0,1]. Copula C dapat dinyatakan sebagai
𝐶(𝑢, 𝑣) = 𝑃𝑟[𝑈 ≤ 𝑢, 𝑉 ≤ 𝑣] (2.27)
(Nelsen, 2006). Misalkan dua peubah acak kontinu 𝑋 dan 𝑌 masing-masing
memiliki fungsi distribusi berurutan 𝐹dan 𝐺. Kita dapat membentuk peubah-
peubah acak baru yaitu 𝑈 = 𝐹(𝑋) dan 𝑉 = 𝐺(𝑌). Menurut teorema Sklar, fungsi
distribusi bivariat 𝑋 dan 𝑌 dapat didefinisikan oleh
𝐻(𝑥, 𝑦) = Pr[𝑋 ≤ 𝑥, 𝑌 ≤ 𝑦] = Pr[𝐹(𝑋) ≤ 𝐹(𝑥) , 𝐺(𝑌) ≤ 𝐺(𝑦)]
= Pr[𝑈 ≤ 𝑢 , 𝑉 ≤ 𝑣] = 𝐶(𝑢, 𝑣) (2.28)
untuk suatu copula 𝐶 (Nelsen, 2006). Oleh karena itu, jika 𝐻 fungsi distribusi
bivariat dengan fungsi-fungsi distribusi marginal 𝐹 dan 𝐺, maka terdapat suatu
copula untuk semua (𝑥, 𝑦) sedemikian hingga
𝐻(𝑥, 𝑦) = 𝐶(𝐹(𝑥), 𝐺(𝑦)) (2.29)
Berdasarkan Nelsen (2006), fungsi densitas copula 𝑐(𝑢, 𝑣) dari suatu copula
𝐶 yang kontinu diperoleh dari 𝑐(𝑢, 𝑣) = lim∆𝑢→0∆𝑣→0
𝑃𝑟[𝑢≤𝑈<𝑢+∆𝑢,𝑢≤𝑉<𝑣+∆𝑣]
∆𝑢∆𝑣 atau
𝑐(𝑢, 𝑣) =𝜕2𝐶(𝑢, 𝑣)
𝜕𝑢𝜕𝑣 (2.30)
Sehingga fungsi kepadatan peluang bivariat ℎ(𝑥, 𝑦) dapat dinyatakan oleh
ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦)𝑐(𝐹(𝑥), 𝐺(𝑦)) (2.31)
Kendall’s Tau
Menurut Nelsen (2006), ukuran keterhubungan Kendal’s tau didefinisikan
sebagai probabilitas concordant dikurangi probabilitas discordant yaitu
𝜏 = 𝑃[(𝑋1 − 𝑋2)(𝑌1 − 𝑌2) > 0] − 𝑃[(𝑋1 − 𝑋2)(𝑌1 − 𝑌2) < 0] (2.32)
Kaitan dengan copula, Kendal’s tau dapat dinyatakan oleh
𝜏 = 4 ∬ 𝐶(𝑢, 𝑣)𝑑𝐶(𝑢, 𝑣)𝐼2
− 1 (2.33)
II.9. Copula Archimedean
13
Keluarga copula Archimedean adalah fungsi-fungsi copula yang memiliki
kekhasan yaitu memiliki satu parameter kebergantungan (𝜃) dan dapat dibentuk
dari suatu fungsi pembangkit copula 𝜑 (Nelsen, 2006). Copula Archimedean
untuk peubah acak bivariat dapat ditulisan sebagai berikut
𝜑(𝐶𝜃(𝑢, 𝑣)) = 𝜑(𝑢) + 𝜑(𝑣) (2.34)
Estimasi parameter copula Archimedean (𝜃) dapat dihitung melalui
keterkaitannya dengan Kendall’s tau pada (2.33) yaitu mencari solusi persamaan
𝜏 = 1 + 4 ∫𝜑𝜃(𝑡)
𝜑𝜃′ (𝑡)
𝑑𝑡
1
0
(2.35)
Terdapat berbagai macam keluarga copula Archimedean, empat copula
Archimedean yang dikenal dan dirujuk dari Nelsen (2006) adalah copula Clayton,
copula Frank, copula Gumbel, dan copula Ali-Mikhail-Haq.
Copula Clayton
Copula Clayton pertama kali diperkenalkan oleh Clayton pada tahun 1978.
Fungsi copula Clayton didefinisikan oleh
𝐶𝐶,𝜃(𝑢, 𝑣) = (𝑢−𝜃 + 𝑣−𝜃 − 1)−
1
𝜃 (2.36)
dengan 𝜃 ∈ (0, ∞). Fungsi pembangkit copula Clayton didefinisikan oleh
𝜑𝜃(𝑡) =1
𝜃(𝑡−𝜃 − 1) (2.37)
Dengan mencari solusi persamaan (2.35) berdasarkan (2.37), diperoleh
parameter 𝜃 untuk copula Clayton adalah
𝜃 =2𝜏
1 − 𝜏 (2.38)
Sampel acak bivariat copula Clayton dapat diperoleh melalui langkah-langkah:
• Bangkitkan dua bilangan acak saling bebas 𝑢 dan 𝑡, seragam di [0,1],
• Dapatkan 𝑣 = 𝑢 [𝑡−(𝜃
𝜃+1) − 1 + 𝑢𝜃]
−1
𝜃
sehingga diperoleh (𝑢, 𝑣),
• Dapatkan sampel acak bivariat (𝑥, 𝑦) = (𝐹−1(𝑢), 𝐺−1(𝑣)).
Copula Gumbel
14
Copula Gumbel juga sering disebut copula Gumbel-Hougaard. Copula
Gumbel dinyatakan oleh
𝐶𝐺,𝜃(𝑢, 𝑣) = 𝑒𝑥𝑝 (−[(− ln 𝑢)𝜃 + (− ln 𝑣)𝜃]1
𝜃) (2.39)
dengan 𝜃 ∈ [1, ∞). Fungsi pembangkit copula Gumbel adalah
𝜑𝜃(𝑡) = (−𝑙𝑛(𝑡))𝜃
(2.40)
Dengan mencari solusi persamaan (2.35) berdasarkan (2.40), diperoleh
parameter 𝜃 untuk copula Gumbel adalah
𝜃 =1
1 − 𝜏 (2.41)
Sampel acak bivariat copula Gumbel dapat diperoleh melalui langkah-langkah:
• Bangkitkan dua bilangan acak saling bebas (𝑣1, 𝑣2), seragam di [0,1],
• Dapatkan 𝑤 dari persamaan 𝐾𝑐(𝑤) = 𝑤 (1 −ln(𝑤)
𝜃) = 𝑣2 di mana
0 < 𝑤 < 1, untuk mendapatkan solusi bisa diselesaikan secara numeric,
• Dapatkan 𝑢 = 𝑒𝑥𝑝[𝑣11/𝜃
ln(𝑤)] dan 𝑣 = 𝑒𝑥𝑝[(1 − 𝑣1)1/𝜃 ln(𝑤)],
• Dapatkan sampel acak bivariat (𝑥, 𝑦) = (𝐹−1(𝑢), 𝐺−1(𝑣)).
Copula Frank
Ekspresi fungsi copula Frank adalah
𝐶𝐹,𝜃(𝑢, 𝑣) = −1
𝜃ln (1 +
(𝑒−𝜃𝑢 − 1)(𝑒−𝜃𝑣 − 1)
𝑒−𝜃 − 1) (2.42)
dengan 𝜃 ∈ 𝑅\{0}. Fungsi pembangkit copula Frank adalah
𝜑𝜃(𝑡) = −𝑙𝑛 (𝑒−𝜃𝑡 − 1
𝑒−𝜃 − 1) (2.43)
Dengan mencari solusi persamaan (2.35) berdasarkan (2.43), diperoleh
parameter 𝜃 untuk copula Frank adalah
𝜏 = 1 −4(1−𝐷1(𝜃))
𝜃 (2.44)
dengan 𝐷1(𝜃) adalah fungsi Debye yang disajikan pada Lampiran 1. Sampel acak
bivariat copula Frank dapat diperoleh melalui langkah-langkah:
15
• Bangkitkan dua bilangan acak saling bebas (𝑢, 𝑣2), seragam di [0,1]
• Dapatkan 𝑣 = −1
𝜃𝑙𝑛 (1 +
𝑣2(1−𝑒−𝜃)
𝑣2(1−𝑒−𝜃)−𝑒−𝜃𝑢) sehingga diperoleh (𝑢, 𝑣),
• Dapatkan sampel acak bivariat (𝑥, 𝑦) = (𝐹−1(𝑢), 𝐺−1(𝑣));
Copula Ali-Mikhail-Haq
Copula Ali-Mikhail-Haq didefinisikan oleh
𝐶𝐴,𝜃 =𝑢𝑣
1 − 𝜃(1 − 𝑢)(1 − 𝑣) (2.45)
dengan 𝜃𝜖[−1, 1). Dengan fungsi pembangkit copula Ali-Mikhail-Haq adalah
𝜑𝜃(𝑡) = 𝑙𝑛 [1 − 𝜃(1 − 𝑡)
𝑡] (2.46)
Dengan berdasarkan (2.35) dan (2.46), parameter 𝜃 untuk copula Frank
diperoleh dengan mencari solusi persamaan
𝜏 =3𝜃 − 2
3𝜃−
2(1 − 𝜃)2𝑙𝑛(1 − 𝜃)
3𝜃2 (2.47)
Sampel acak bivariat copula Ali-Mikhail-Haq dapat diperoleh melalui langkah-
langkah:
• Bangkitkan dua bilangan acak saling bebas 𝑢 dan 𝑡, seragam di [0,1],
• Dapatkan 𝑎 = 1 − 𝑢, 𝑏 = −𝜃(2𝑎𝑡 + 1) + 2𝜃2𝑎2𝑡 + 1, dan
𝑐 = 𝜃2(4𝑎2𝑡 − 4𝑎𝑡 + 1) − 𝜃(4𝑎𝑡 − 4𝑡 + 2) + 1,
• Peroleh 𝑣 = 2𝑡(𝑎𝜃 − 1)2 (𝑏 + √𝑐)⁄ , sehingga diperoleh (𝑢, 𝑣),
• Dapatkan sampel acak bivariat (𝑥, 𝑦) = (𝐹−1(𝑢), 𝐺−1(𝑣)).
a. Fungsi Distribusi b. Scatterplot Sampel Bivariat c. Fungsi Densitas
16
Gambar II.3. Copula Clayton dengan 𝜃 = 6
a. Fungsi Distribusi b. Scatterplot Sampel Bivariat c. Fungsi Densitas
Gambar II.4. Copula Gumbel dengan 𝜃 = 6
a. Fungsi Distribusi b. Scatterplot Sampel Bivariat c. Fungsi Densitas
Gambar II.5. Copula Frank dengan 𝜃 = 6
a. Fungsi Distribusi b. Scatterplot Sampel Bivariat c. Fungsi Densitas
Gambar II.6. Copula Ali-Mikhail-Haq dengan 𝜃 = 0.6
II.10. Goodness of Fit Test untuk Distribusi Bivariat atau Copula
Setelah parameter suatu distribusi bivariat atau copula diperoleh,
selanjutnya uji kecocokan data terhadap suatu distribusi bivariat atau copula dapat
dilakukan. Uji kecocokan diperlukan untuk mengetahui seberapa cocok distribusi
bivariat atau copula mencerminkan perilaku data. terlebih dahulu dikenalkan
proses empiris data terhada distribusi bivariat atau copula untuk suatu parameter 𝜃
yang dinyatakan oleh
17
𝑒(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) = √𝑛[𝐻𝑒(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) − 𝐻𝜃(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)]
= √𝑛[𝐶𝑒(𝐹(𝑥𝑖), 𝐺(𝑦𝑖)) − 𝐶𝜃(𝐹(𝑥𝑖), 𝐺(𝑦𝑖))] (2.48)
dengan 𝐻𝑒(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) = 𝐶𝑒(𝐹(𝑥𝑖), 𝐺(𝑦𝑖)) =#(𝑥≤𝑥𝑖,𝑦≤𝑦𝑖)
𝑛+1 adalah fungsi distribusi
bivariat empiris atau Copula empiris untuk data, {(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)}, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Fungsi
#(𝑥 ≤ 𝑥𝑖 , 𝑦 ≤ 𝑦𝑖) menyatakan banyaknya data bivariat {(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)} dengan 𝑥 ≤ 𝑥𝑖
dan 𝑦 ≤ 𝑦𝑖.
Kecocokan data terhadap suatu fungsi distribusi bivariat atau Copula
bergantung pada nilai statistik terkecil Cramér-von Mises (𝑆𝑛) dari beberapa
fungsi distribusi bivariat atau Copula yang dicocokkan dengan dibantu simulasi
parametric bootstrap. Nilai 𝑆𝑛 tersebut diperoleh dari
𝑆𝑛 =1
𝑛∑[℮(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)]2 =
𝑛
𝑖=1
∑[𝐻𝑒(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) − 𝐻𝜃(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)]2
𝑛
𝑖=1
= ∑[𝐶𝑒(𝐹(𝑥𝑖), 𝐺(𝑦𝑖)) − 𝐻𝜃(𝐹(𝑥𝑖), 𝐺(𝑦𝑖))]2
𝑛
𝑖=1
(2.49)
Parametric Bootstrap untuk Ukuran Statistik Cramer-von Mises
Ukuran statistik dan p-value Cramér-von Mises (𝑆𝑛) dapat diperoleh
melalui metode simulasi parametric bootstrap. Algoritma simulasi Parametric
Bootstrap tersebut dijabarkan sebagai berikut:
Diketahui data bivariat sebanyak n pasang yaitu {(𝑥𝑎, 𝑦𝑎)}, 𝑎 = 0,1,2,3, … , 𝑛.
Untuk N bilangan bulat positif sangat besar,
1. Bangkitkan n sampel acak bivariat {(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)}, 𝑖 = 0,1,2,3, … , 𝑛, dari
suatu distribusi bivariat 𝐻𝜃(𝑥, 𝑦)atau Copula 𝐶𝜃(𝐹(𝑥), 𝐺(𝑦)),
2. Hitung 𝐻𝑒(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) = 𝐶𝑒(𝐹(𝑥𝑖), 𝐺(𝑦𝑖)) =#(𝑥𝑎≤𝑥𝑖,𝑦𝑎≤𝑦𝑖)
𝑛+1 yang mana
#(𝑥𝑎 ≤ 𝑥𝑖, 𝑦𝑎 ≤ 𝑦𝑖) menyatakan banyak data bivariat {(𝑥𝑎, 𝑦𝑎)} dengan
𝑥𝑎 ≤ 𝑥𝑖 dan 𝑦𝑎 ≤ 𝑦𝑖,
3. Untuk 𝑗 = 1, hitung
𝑠𝑛,𝑗∗ = ∑ [𝐻𝑒(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) − 𝐻𝜃(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)]2
𝑛
𝑖=1
= ∑ [𝐶𝑒(𝐹(𝑥𝑖), 𝐺(𝑦𝑖)) − 𝐶𝜃(𝐹(𝑥𝑖), 𝐺(𝑦𝑖))]2𝑛
𝑖=1
18
4. Untuk 𝑗 = 𝑗 + 1 , ulangi poin 1 sampai poin 3, ke poin 5 jika 𝑗 = 𝑁 + 1,
5. Hitung p-value yaitu #(𝑠𝑛,𝑗
∗ >𝑠𝑛)
𝑁 atau ∑ (
𝐼(𝑠𝑛,𝑗∗ >𝑠𝑛)
𝑁)𝑁
𝑗=1 , yang mana
𝐼(𝑠𝑛,𝑗∗ > 𝑠𝑛) adalah fungsi bernilai 1 untuk nilai 𝑠𝑛,𝑗
∗ > 𝑠𝑛.
II.11. Goodness of Fit Test untuk Distribusi Marginal
Goodness of fit test untuk distribusi marginal perlu dilakukan sebelum
memperoleh model copula, jelas bahwa copula adalah suatu fungsi yang
memodelkan marginal-marginal. Langkah-langkah dalam Uji Goodness of fit
adalah dengan melakukan estimasi parameter distribusi marginal lalu melakukan
uji kecocokan distribusi marginal melalui metode teoritis tertentu. Estimasi
parameter distribusi dapat dilakukan dengan metode Maximum Likelihood
Estimation (MLE), sedangkan untuk uji kecocokan distribusi dapat dilakukan
dengan metode Kolmogorov-Smirnov.
Maximum Likelihood Estimation (MLE)
Dalam penelitian ini penaksiran parameter akan dilakukan menggunakan
metode penaksiran Maximum Likelihood Estimation (MLE). Penaksir maksimum
likelihood diperoleh dengan memaksimalkan fungsi likelihood, yang didefinisikan
sebagai distribusi gabungan seluruh sampel acak (Blishcke,2011). Fungsi
likelihood untuk 𝑛 sampel acak 𝒙 = {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛} didefinisikan oleh
𝐿(𝒙; Ω) = ∏ 𝑓(𝑥𝑖; Ω)
𝑛
𝑖=1
(2.50)
dengan Ω adalah vektor parameter yang dimiliki distribusi marginal. Estimasi
parameter dapat dilakukan dengan memaksimumkan logaritma natural dari fungsi
likelihood, 𝑙𝑛(𝐿). Untuk memaksimumkan 𝑙𝑛(𝐿), dengan asumsi differentiability,
dilakukan dengan menyamakan turunan fungsi 𝑙𝑛(𝐿) ke nol hingga diperoleh
solusi persamaannya. Dalam membantu menyelesaikan persamaan tersebut solusi
dapat diperoleh dengan menggunakan metode numerik.
Uji Kecocokan Distribusi Kolmogorov-Smirnov Satu Sampel
19
Uji Kolmogorov-Smirnov dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan
hipotesis
𝐻0 : data mengikuti distribusi parametric �̂�(𝑥; Ω),
𝐻1 : data tidak mengikuti distribusi parametrik �̂�(𝑥; Ω),
dengan Ω telah terlebih dahulu diestimasi. Statistik uji Kolmogorov-Smirnov
dinotasikan 𝐷𝑛 yang menyatakan perbedaan terbesar antara fungsi distribusi
empirik dan distribusi teoritis yang ingin diuji, didefinisikan oleh
𝐷𝑛 = 𝑚𝑎𝑥{𝐷𝑛−, 𝐷𝑛
+} (2.51)
dengan
𝐷𝑛− = max
𝑖=1,…,𝑛[
𝑖
𝑛− �̂�(𝑥𝑖; Ω)] ; 𝐷𝑛
+ = max𝑖=1,…,𝑛
[�̂�(𝑥𝑖; Ω) −𝑖 − 1
𝑛] (2.52)
dengan 𝑥𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (ordered statistic) adalah data yang telah diurutkan dari
yang terkecil hingga yang terbesar (Blishcke,2011). Selanjutnya dilakukan
penarikan kesimpulan yaitu 𝐻0 ditolak jika 𝐷𝑛 pada (2.51) melebihi batas kritis
𝑑𝛼(𝑛−1/2 + 0.11𝑛−1/2 + 0.12)−1
, dengan 𝑑𝛼 = 1.224, 1.358, 1.628 untuk
tingkat signifikansi 𝛼 berurutan 𝛼 = 0.10, 0.05, 0.01 atau jika p-value kurang dari
tingkat signifikansi 𝛼, 𝑃𝑟[𝐷 > 𝐷𝑛] < 𝛼, dari distribusi Kolmogorov-Smirnov.
II.12. Metode Bagi Dua
Metode bagi dua digunakan untuk mencari akar persamaan dari suatu
fungsi. Diasumsikan fungsi 𝑓(𝜃) kontinu di interval [𝑎1, 𝑏1] dan 𝑓(𝑎1)𝑓(𝑏1) < 0
sehingga terdapat minimal satu akar pada interval tersebut. Ilustrasi dapat dilihat
pada Gambar II.7.
20
Gambar II.7. Ilustrasi Grafis untuk Akar Hampiran dalam Metode Bagi Dua
Merujuk pada Nugroho (2009), algoritma untuk metode bagi dua dijabarkan
sebagai berikut:
1. Hitung 𝜃𝑛 =𝑎𝑛+𝑏𝑛
2.
2. Tentukan subinterval mana yang akan mengurung akar:
a. Jika 𝑓(𝑎𝑛) ∙ 𝑓(𝑏𝑛) < 0, maka 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛, 𝑏𝑛+1 = 𝜃𝑛,
b. Jika 𝑓(𝑎𝑛) ∙ 𝑓(𝑏𝑛) > 0, maka 𝑎𝑛+1 = 𝜃𝑛, 𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛,
c. Jika 𝑓(𝑎𝑛) ∙ 𝑓(𝑏𝑛) = 0, maka diperoleh solusi adalah 𝜃𝑛.
3. Hitung 𝜀𝑛 =𝜃𝑛−𝜃𝑛−1
𝜃𝑛× 100% dimana 𝑛 ≥ 1,
4. Ulangi langkah 1 hingga langkah 3 sedemikian sehingga 𝑓(𝜃𝑛) ≈ 0,
5. Peroleh akar persamaan yaitu 𝜃𝑛.
Dalam penelitian ini, metode bagi dua digunakan untuk mencari parameter
𝜃 pada copula Frank seperti pada (2.44) dan copula AMH seperti pada (2.47).
yang mana fungsi 𝑓 didefinisikan oleh 𝑓(𝜃) = 𝜏(𝜃) − 𝜏. Fungsi 𝜏(𝜃) adalah
seperti pada (2.44) & (2.47) dan 𝜏 adalah ukuran keterhubungan kendall’s tau
dari data.