bab ii. konsep matematika dalam surveying
DESCRIPTION
Konsep perhitungan dalam ilmu ukur tanahTRANSCRIPT
ILMU UKUR TANAH 1
2.0.0. KONSEP MATEMATIKA DALAM SURVEYING
Disaat pekerjaan pengukuran, pada waktu yang bersamaan harus dilakukan
bermacam-macam pekerjaan dan pengamatan. Karenanya, kesalahan-kesalahan
baik yang kecil maupun besar mungkin saja terjadi. Untuk menghindari hal ini,
maka tugas pengukur harus didasarkan pada prinsip-prinsip dasar pengukuran,
yaitu:
a. Perlu adanya pengecheckkan yang terpisah. Tidak cukup hanya satu
kali pengukuran saja.
b. Tidak ada kesalahan-kesalahan yang prinsip dalam pengukuran
2.1.0. Dimensi-Dimensi Yang Dapat Diukur
- Jarak, dapat diukur dengan mistar, pita ukur dan alat optis seperti alat Penyipat
Datar dan Theodolite
- Ketinggian, dapat diukur dengan waterpass dan rambu ukur dan alat-alat optis
seperti alat Penyipat Datar.
- Sudut, dapat diukur dengan alat optis seperti Theodolite dan sebagainya
Catatan untuk pengajar:
- Jarak: perlihatkan alat-alat ukur, mistar, pita ukur, dan sebagainya
- Ketinggian dan sudut: hanya diperlihatkan alat-alat- penyipat datar dan
theodolit, tetapi tidak menerangkannya.
2.2.0. Konsep Trigonometri2.2.1. Jarak Vertikal (Vertikal Distance)
VAB
A
B
Gambar 2.1. Jarak Vertikal Titik A-B
2.2.2. Jarak Horizontal (Horizontal Distance)
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 20
ILMU UKUR TANAH 1
HAB
A
B
Gambar 2.2. Jarak Horizontal Titik A-B
2.2.3. Jarak Miring (Slope Distance)
A
B
Gambar 2.3. Jarak Miring Titik A-B
2.3.0. Rumus-rumus Dasar Trigonometri
2.3.1. Rumus Sinus
H
SV
A B
C
a
aa Htan Vor SsinV
Velev elev AC
aSCosH
Gambar 2.4. Rumus-Rumus Sinus
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 21
ILMU UKUR TANAH 1
Contoh 1 :
Diketahui jarak miring garis AC, S = 125,6m dan besar sudut kemiringannya
adalah α = 35º24'17". Carilah jarak horizontal dan jarak vertikal antara kedua
titik tersebut?
Jawab:
Contoh 2 :
Diketahui jarak BC = 4,1667m dan jarak AB = 15,0m. Carilah besar sudut α dan
jarak miringnya (slope distance)
Jawab:
2.3.2. Rumus Cosinus
A
B
c
b
aγ
α
β
C
Gambar 2.5. Rumus-Rumus Cosinus
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 22
ILMU UKUR TANAH 1
a
A
B
C
Ukur jarak ABUkur jarak ACUkur jarak BCHitung sudut a
)AB)(AC2(
BCABACcos
222
1α
Gambar 2.6. Menghitung sudut α di titik A
2.3.3. Rumus-Rumus Penting Lainnya
cos θ = cos (-θ) =sin(/2-θ)
sin θ = -sin (-θ) = cos(/2-θ)
tan θ = -tan (-θ) = cot(/2-θ)
sin 2θ = 2cos θ sin θ
cos 2θ = cos2 θ – sin2 θ = 2 cos2 θ – 1 = 1 - 2 sin2 θ
tan 2θ = 2tan θ/ (1 - tan2 θ)
sin θ/2 = ±√{(1-cosθ)/2}
cos θ/2 = ±√{(1+cosθ)/2}
tan θ/2 = sinθ/ (1+cosθ)
cos2 θ + sin2 θ = 1
sec2 θ – tan2 θ = 1
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 23
ILMU UKUR TANAH 1
cosec2 θ – cot2 θ = 1
sin2 θ = ½(1 - cos2θ)
cos2 θ = ½(1+ cos2θ)
tan2 θ = (1-cos2θ)/(1+cos 2θ)
sin A + sin B = 2sin ½(A + B)cos ½(A - B)
sin A - sin B = 2cos ½(A + B)sin ½(A - B)
cos A + cos B = 2cos ½(A + B)cos ½(A - B)
cos A - cos B = -2sin ½(A + B)sin ½(A - B)
tan A + tan B = sin (A + B)/(cos A cos B)
tan A - tan B = sin (A - B)/(cos A cos B)
sin2 A + sin2 B = 1 - cos(A + B)cos(A - B)
sin2 A - sin2 B = sin(A + B)sin(A - B)
cos2 A + sin2 B = 1 - sin(A + B)sin(A - B)
cos2 A - sin2 B = cos(A + B)cos(A - B)
cos2 A + cos2 B = 1 + cos(A + B)cos(A - B)
cos2 A - cos2 B = -sin(A + B)sin(A - B)
2.4.0. Luasan Bentuk Lahan Yang Beraturan2.4.1. Rumus Sinus Mencari Luas
A
B
c
b
aγ
α
β
C
Gbr. 2.7. Rumus Sinus Mencari Luas
dimana s = ½ (a + b + c)
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 24
ILMU UKUR TANAH 1
Atau
Contoh 3:
Diketahui:- Gambar dan data seperti pada gambar di bawah ini- Luas tanah sebesar 325m2 akan dibebaskan
Ditanya:1. Panjang jarak BC2. Berapa luas tanah keseluruhan3. Panjang jarak B"-B, B'-B dan B"B'4. Panjang jarak B'-C5. Besar sudut AB'C, BB'C, ACB', dan BCB'
Jawab:1. Panjang jarak B-C
2. Luas Tanah Areal Total
a.
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 25
CLuas = 325m2
A B' B
c = 100,85m
146º47'01,8"
17º31'06,66" 15º41''51,56"
a
ILMU UKUR TANAH 1
b.
c.
d.
3. Panjang Jaraka. Panjang Jarak
Luas = 325m2
, dimana adalah jarakB’B
b. Panjang jarak
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 26
CLuas = 325m2
h
A B" B' B
c = 100,85m
a146º47'01,8"
15º41''51,56" δ 17º31'06,66"
sin'2
1acArea
ILMU UKUR TANAH 1
C.
Jadi,
4. Panjang jarak
sin" aCB
Sehingga jarak
5. Sudut Dalam
a. Sudut
, dimana
b. Sudut
c. Sudut
d. Sudut
2.4.2. Luasan Segitiga (The Area of Triangles)
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 27
ILMU UKUR TANAH 1
Topik ini membahas perhitungan luas areal berdasarkan hasil pengukuran
maupun penggambaran beserta ciri-cirinya. Ada beberapa rumus yang dapat
digunakan untuk mencari luasan segitiga, antara lain:
A = , dimana h = tinggi
a
b
c
A
B
C
h
Gambar 2.8. Luasan Segitiga
2.4.3. Luasan Trapesium (The Trapezium)
A = , dimana a and b harus sejajar/parallel
a
b
p
Gambar 2.9. Luasan Trapesium
2.4.4. Lingkaran (The Circle)
a. Luasan Lingkaran Penuh: Keliling = 2πr
r
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 28
ILMU UKUR TANAH 1
Gambar 2.10. Luasan Lingkaran
b. Luasan Sebuah Sektor Dalam Lingkaran:
Panjang Busur =
r rθ
Gambar 2.11. Luasan Sektor Lingkaran
c. Luasan Sebuah Segmen Dalam Lingkaran:
r rθ
h
Gambar 2.12. Luasan Segmen Lingkaran
2.4.5. Luasan Ellipse Dan Parabola
a. Ellipse
A =
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 29
ILMU UKUR TANAH 1
a
b
Gambar 2.13. Luasan Ellipse
b. Parabola
A =
h
b
Gambar 2.14. Luasan Parabola
2.4.6. Bentuk Lahan Yang Tidak Beraturan
1. Cara Trapesium
Rumus Trapesium ini sering digunakan untuk menghitung luasan tanah
yang bentuknya tidak beraturan. Bagi-bagilah areal tersebut ke dalam
beberapa bagian yang lebih kecil hingga bagian tersebut bentuknya lebih
mendekati sebuah trapezium. Lebar masing masing bagian biasanya sama
besarnya (L). Untuk mencari luasan areal seperti terlihat pada gambar di
bawah ini adalah:
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 30
ILMU UKUR TANAH 1
h1 h2 h3 h4 h5 h7h6 h8 h9
L L L L L L L L
Gambar 2.15. Luasan Dengan Cara Trapesium
- Luasan trapesium pertama:
- Luasan trapesium kedua:
- Luas Total:
Contoh 4:
Diketahui:
h1 = 12,35m h4 = 10,47m h7 = 09,73m
h2 = 11,74m h5 = 09,86m h8 = 08,84m
h3 = 11,05m h6 = 10,98m h9 = 08,57m
dan L = 2,40m
Ditanya : Cari luas areal tersebut dengan cara trapezium
Jawab:
Luas Total:
2. Cara Simpson (The Simpson's Rule)
Untuk mencari luas diantara h1 dan h3
A = luas trapezium + luas parabola
A = (luas parabola)
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 31
ILMU UKUR TANAH 1
A =
A =
A =
h1 h2 h3
a
bc
dL L
f
g
e
g
e
a
f
h1 h2 h3
b Lc
L d
Dan bagian trapesium ini akan dilanjutkan dan dijumlahkan untuk
mendapatkan luas total dari sebuah potongan yang tidak beraturan, namun
jumlah h yang membagi potongan tersebut harus ganjil.
h1 h2 h3 h4 h5 h7h6 h8 h9
L L L L L L L L
Gambar 2.16. Luasan Dengan Simpson
Dengan demikian, maka luas total:
A =
Contoh 5:
Diketahui:
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 32
ILMU UKUR TANAH 1
h1 = 12,35m h4 = 10,47m h7 = 09,73m
h2 = 11,74m h5 = 09,86m h8 = 08,84m
h3 = 11,05m h6 = 10,98m h9 = 08,57m
dan L = 2,40m
Ditanya : Cari luas areal tersebut dengan cara trapezium
Jawab:
Luas Total =
Ingat!!!! Agar rumus ini berguna, jumlah h harus ganjil
Hasil dari perhitungan ini lebih baik dibanding dengan cara trapesium.
2.4.7. Mencari Luas Dengan Metode Koordinat
Dengan mengetahui koordinat dari semua titik-titik sudut dari sebuah
potongan, dapat dicari besar luas potongan tersebut dengan menggunakan
metode koordinat. Misalkan, sebuah potongan dengan empat buah sudut,
ABCD, yang masing-masing mempunyai koordinat (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), dan
(x4,y4) seperti telihat pada gambar 2.17 di bawah ini. Rumus untuk mencari
luasnya:
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 33
ILMU UKUR TANAH 1
x3 C
x4 D
x2 B
x1 y3 y2
A y4
y1
O
Y
X
c
d
b
a
Gambar 2.17. Mencari Luas Dengan Metode Koordinat
Luas = Abba + BCcb – Adda –DCcd
Luas = (x1 + x2)(y2 – y1) + (x2 + x3)(y3 – y2) -
(x1 + x4)(y4 – y1) - (x3 + x4)(y4 – y3)
Luas = [y1(x4 + x2) + y2(x1 – x3) + y3(x2 + x4) + y4(x3 + x1)]
Dapat dinyatakan bahwa aturan untuk mencari luas dengan metode
koordinat ini adalah dengan mengalikan setiap ordinat (y) dengan perbedaan
antar dua absis (x) yang menghimpitnya, dan hasil penjumlahannya dibagi
dengan dua.
Aturan yang lebih sederhana untuk mencari luas potongan ini didapat
dengan memutar berlawanan arah jam koordinat-koordinat titik-titik sudutnya.
Seperti pada gambar 2.17 di atas, dalam bentuk fraksi, koordinatnya diatur, di
mulai dan diakhiri dari titik yang sama, dengan absisnya berada dibagian atas
fraksi tersebut, yaitu:
y1 y2 y3 y4 y1
x1 x2 x3 x4 x1
Dengan mengalikan secara diagonal fraksi-fraksi yang diberi tanda dan
menjumlahkan (hasilnya positif) dan fraksi-fraksi yang tidak diberi tanda dan
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 34
ILMU UKUR TANAH 1
menjumlahkannya (hasilnya negatif), hasil penjumlahannya sama dengan dua
kali besar luas yang sebenarnya.
Untuk memudahkan perhitungan mencari luas areal potongan yang berada
diantara titik pusat (center line), dimana koordinatnya 0,0, harus dibagi dengan
dua bagian. Dengan menghilangkan tanda negatif pada koordinatnya,
perhitungan luas bagian tersebut dapat dicari dan putaran koordinatnya harus
searah jarum jam.
Contoh 6:
Cari luas potongan tanah yang akan digali seperti pada gambar 2.18 di bawah
ini.
A1 A2
C
6m 6m6
0
6
0
9
5,10
6,16,7
3,29,10
4,2
Gambar 2.18. Menghitung Luas Galian
Jawab:
Luas bagian kiri, A1:
0 0 2,4 2,3 1,6 0
0 6 10,9 7,6 0 0
2A1 = 0 + 14,4 + 25,07 + 12,16 + 0 – (0 + 0 + 18,24 + 0 + 0) = 33,39m2
Luas bagian kanan, A2:
0 0 1,5 1,6 00 6 9 0 0
2 A2 = 0 + 9,0 + 14,4 + 0 – (0 + 0 + 0 + 0) = 23,4 m2
Luas Total =
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 35
ILMU UKUR TANAH 1
2.5.0. Keliling Bumi
α/2 α/2
O
r
Panjang Busur
Panjang Tali Busur
A B
Gambar 2.19. Panjang Busur dan Tali Busur
r = 6370km (Versi IUT I)
Keliling bumi (km) Panjang Busur (km) Panjang tali Busur (km)
2 πr
360º 40023.8904067 180º 20011.9452034 90º 10005.9726 9008.54039245º 5002.986301 4875.3869281º 111.1774734 111.176062230' 55.58873668 55.588560291' 1.852957889 1.852957883
30" 0.926478945 0.9264789441" 0.030882631 0.030882631
Tabel 2.1. Panjang Busur dan Tali Busur Versi IUT 1 PEDC
r = 6378.136km (Versi ITRS, hal 17)
Keliling bumi (km) Panjang Busur (km) Panjang tali Busur (km)
2 πr
360º 40075.01040239 180º 20037.50520120 90º 10018.75260060 9020.0464338645º 5009.37630030 4881.613953141º 111.31947334 111.3180604330' 55.65973667 55.659560061' 1.85532456 1.85532455
30" 0.92766228 0.927662281" 0.03092208 0.03092208
Tabel 2.1. Panjang Busur dan Tali Busur Versi ITRS
2.6.0. Catatan Sejarah Tentang Konstanta
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 36
ILMU UKUR TANAH 1
Konstanta adalah perbandingan besaran keliling lingkaran dibagi
diameternya, yaitu S = D = 2r. Sejarah tentang konstanta sudah diketahui
sejak dulu kala. Barangkali pertama kali dicatat dari sebuah usaha untuk
mendapatkan nilai diberikan kepada seorang bangsa Mesir yang namanya
Ahmes, kira-kira pada Tahun 1600 B.C. Hasil perhitungannya tentang besaran
konstanta adalah 3,1605. Archimedes (287-212 B.C) menentukan nilai
konstanta dengan memberikan penjelasan dan membagi sebuah lingkaran
kedalam 96 segi. Hasilnya, nilai konstanta berada diantara dua nilai, yaitu
3,1429 dan 3,1408. Sedang Ptolemy (?100–168 A.D) menetapkan nilai
konsatanta sebesar 3,14166. Vieta (1540– 603) memberikan nilai konstanta
sebesar 3,141592653.
Dalam perhitungan Calculus dapat dibuktikan bahwa nilai konstanta yang
didapat berupa bilangan irrasional; ketingkat akurasi berapapun akan ditentukan,
nilai konstanta tidak pernah sama. Dapat dibuktikan dalam penyelesaian
matematika tingkat tinggi, nilai konstanta = 4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11……)
atau merupakan perkalian angka 4 dengan sebuah bilangan seri yang infinity.
Dengan menggunakan mesin hitung modern saat ini (komputer), nilai konstanta
bisa didapat sampai 100.000 angka dibelakang koma. Nilai ini sangat akurat
namun tidak memiliki nilai praktis. Nilai konstanta dengan akurasi 10 angka
dibelakang koma adalah 3,1415926536.
Soal-Soal:
1. Cari luas potongan tanah yang akan ditimbun seperti pada gambar di bawah ini.
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 37
ILMU UKUR TANAH 1
A1 d A2
6m
0
0
38,7
18,2
0
81,1
6
51,1
3
0
3
0
2. Cari Panjang setiap sisi dan luas dari sebidang tanah dengan koordinat titik-titik
sudutnya sebagai berikut:
X(m) Y(m)A 1000.00 1000.00B 1183.79 1000.00C 1281.84 1128.72D 1140.99 1306.48E 986.55 1229.82F 986.55 1052.73A 1000.00 1000.00
3. Cari Panjang setiap sisi dan luas dari sebidang tanah dengan koordinat titik-titik
sudutnya sebagai berikut:
Titik 1 Titik 2 Titik 3
x1 = 27.350,14m x2 = 27.471,75m x3 = 27.437,51m
y1 = 45.214,43m y2 = 45.167,22m y3 = 45.330,72m
4. Cari panjang setiap sisi bidang dan besar sudut-sudut dalam setiap antara dua sisi
pada soal-soal di bawah ini serta cari luas bidang lahannya. Besar Sudut θ =
136º30'10".
A
100 m
C
θB
80 m
5. Cari panjang setiap sisi bidang dan besar sudut-sudut dalam setiap antara dua sisi
pada soal-soal di bawah ini serta cari luas bidang lahannya.
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 38
ILMU UKUR TANAH 1
B
50 m
C80
A60 m
6. Cari panjang setiap sisi bidang dan besar sudut-sudut dalam setiap antara dua sisi
pada soal-soal di bawah ini serta cari luas bidang lahannya.
R
T100
S40
20 m
7. Cari panjang setiap sisi bidang dan besar sudut-sudut dalam setiap antara dua sisi
pada soal-soal di bawah ini serta cari luas bidang lahannya.
R
P 20 Q
100
40 m
8. Cari panjang setiap sisi bidang dan besar sudut-sudut dalam setiap antara dua sisi
pada soal-soal di bawah ini serta cari luas bidang lahannya.
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 39
ILMU UKUR TANAH 1
Z
X 24 Y62
100 m
9. Cari panjang setiap sisi bidang dan besar sudut-sudut dalam setiap antara dua sisi
pada soal-soal di bawah ini serta cari luas bidang lahannya.
Z
80 m
X W
Y
50
80 m
80 m
80 m
10. Cari panjang setiap sisi bidang dan besar sudut-sudut dalam setiap antara dua sisi
pada soal-soal di bawah ini serta cari luas bidang lahannya.
G
60 m
E90
F
H
90
80 m
40 m
11. Cari panjang setiap sisi bidang dan besar sudut-sudut dalam setiap antara dua sisi
pada soal-soal di bawah ini serta cari luas bidang lahannya.
D
100 m
B39
C
A 11
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 40
ILMU UKUR TANAH 1
12. Cari luasan sebuah segmen dalam lingkaran yang berjari-jari 30m dengan besar
sudut = 761648?
13. Cari luasan sebuah sektor dalam lingkaran yang berjari-jari 30m dengan besar sudut
= 761648? Dan berapa panjang h nya.
14. Cari panjang setiap sisi bidang dan besar sudut-sudut dalam setiap antara dua sisi
pada soal-soal di bawah ini serta cari luas bidang lahannya.R
S
60 m
T100
50 m
15. Cari panjang setiap sisi bidang dan besar sudut-sudut dalam setiap antara dua sisi
pada soal-soal di bawah ini serta cari luas bidang lahannya.
16. Cari luas areal di bawah ini baik dengan cara trapezium dan simpson rule
3,2m 2,7 2,8 2,5 2,6 2,32,7 1,9 1,6m
L L L L L L L L
L= 1,25m
POLITEKNIK NEGERI MEDAN 41