bab ii-pengantar probabilitas-distribusi satu peubah acak
TRANSCRIPT
Distribusi Satu Peubah Acak
Oleh: Sugiman
Dalam Bab ini akan dibahas macam-macam peubah acak, distribusi peluang,
fungsi densitas, dan fungsi distribusi. Pada pembahasan selanjutnya, fungsi
peluang untuk peubah acak diskret dan fungsi densitas untuk peubah acak
kontinu akan banyak sekali peranannya, seperti pcnghitungan beberapa
macam ekspektasi matematis, pembahasan beberapa distribusi khusus yang
dikenal, dan penentuan distribusi dan fungsi peubah acak. Dalam hal ini,
fungsi peluang maupun fungsi densitas mempunyai bentuk yang berbeda-
beda.
Mahasiswa setelah mempelajari bab ini dengan baik, diharapkan secara
keseluruhan mampu memahami konsep dasar dan penggunaan distribusi
satu peubah acak, baik diskret maupun kontinu.
Adapun sasaran belajarnya, mahasiswa diharapkan mampu:
1. membedakan peubah acak diskret dan peubah acak kontinu,
2. menentukan distribusi peluang dari sebuah peubah acak diskret dan
modifikasinya,
3. menghitung peluang dari sebuah peubah acak diskret yang berharga
tertentu,
4. menentukan konstanta dan fungsi densitas untuk sebuah peubah acak
kontinu berdasarkan sifatnya,
5. menghitung peluang dan sebuah peubah acak kontinu yang berharga
tertentu,
6. menggambarkan grafik berdasarkan fungsi peluang maupun fungsi
densitas,
7. menentukan fungsi distribusi dan sebuah peubah acak, baik diskret
maupun kontinu,
8. menggambarkan grafik dan fungsi distribusi untuk satu peubah acak,
baik diskret maupun kontinu,
9. menghitung peluang dan sebuah pcubah acak yang berharga tertentu
berdasarkan fungsi distribusinya,
10. menentukan distribusi peluang dan fungsi densitas dan sebuah peubah
acak berdasarkan fungsi distribusinya.
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
1
Macam-macam Peubah Acak
Definisi 1: PEUBAH ACAK
Berdasarkan definisi di atas, ada dua buah himpunan yang melibatkan
peubah acak, yaitu ruang sampel S yang berisi anggotanya (titik sampel) s
dan Rx berupa nilai-nilai yang mungkin dari X yang berkaitan dengan anggota
S-nya. Pendefinisian peubah acak bisa dijelaskan dalam gambar berikut.
X
X : S R
S=Ruang sampel
RX = nilai yang mungkin dari X sesuai s nya
X : peubah acak
Contoh 1:
Misalnya percobaan melempar dua buah mata uang logam yang seimbang
sekaligus.
Catatan, hasil yang mungkin.
G = Gambar “KARAPAN SAPI” H = Huruf “BANK INDONESIA”
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
2
Misalkan E suatu eksperimen dengan ruang
sampel S. Sebuah fungsi X yang memetakan
setiap anggota s S, dengan sebuah bilangan
real X(s) dinamakan peubah acak.
s .
. X(s)
S R
Jika X menunjukkan banyak huruf ”BANK INDONESIA” yang terjadi, apakah
X memenuhi peubah acak?
Penyelesaian:
Ruang sampelnya adalah:
S= {HH, GH, HG, GG}
dengan: G = Gambar “KARAPAN SAPI” H = Huruf “BANK INDONESIA”
Untuk s1 = HH, maka X(s1) = X(HH) = 2
Untuk s1= GH, maka X(s2) = X(GH) = 1
Untuk s1 = HG maka X(s3) = X(HG) = 1
Untuk s1= GG. maka X(s4) = X(GG) = 0
Jadi nilai-nilai yang mungkin dari RX = {0, 1, 2}.
Berikut ini akan dijelaskan definisi secara umum dari peubah acak.
S RX
Karena X memenuhi syarat-syarat sebuah fungsi, maka X disebut peubah
acak.
Apabila kita bisa memperoleh sebuah peristiwa berkenaan dengan ruang
sampel S dan sebuah peristiwa berkenaan dengan peubah acak X (yaitu
himpunan bagian dan ruang hasil R), maka dua peristiwa itu akan ekivalen.
Hal ini bisa dilihat dalam definisi berikut.
Contoh 2:
Ketika kita mengundi dua mata uang logam Rp 100 yang seimbang secara
sekaligus, maka ruang sampelnya: S = {HH, HG, GH, GG}.
Jika X menunjukkan banyak G yang terjadi, maka nilai-nilai yang mungkin dan
X adalah R= {0, 1,2}.
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
3
HH .HG .GH .GG .
. 0
. 1
. 2
Dua Peristiwa Ekuivalen
Misalnya E adalah sebuah eksperimen dengan ruang sampelnya S.
X adalah peubah acak yang didefinisikan pada S dengan RX adalah ruang
hasilnya, dan B adalah peristiwa yang berkenaan dengan RX, artinya B RX.
Jika peristiwa A didefinisikan sebagai: A = {s S |X(s) B}, artinya A berisi
semua hasil dalam S dengan X(s) B, maka A dan B dikatakan dua peristiwa
yang ekivalen.
S RX
A dan B dua peristiwa yang ekuivalen
Contoh 3:
Ketika kita mengundi dua mata uang logam Rp 100 yang seimbang secara
sekaligus, maka ruang sampelnya: S = {HH, HG, GH, GG}.
Jika X menunjukkan banyak G yang terjadi, maka nilai-nilai yang mungkin dan
X adalah R= {0, 1,2}.
Dua peristiwa A dan B yang ekivalen ada tiga buah, yaitu:
1. Ruang peristiwa B : B = {0}.
Karena X(HH) = 0 jika dan hanya jika X(s) = 0, maka s = (HH) dan ia
merupakan ruang peristiwa dan peristiwa lainnya, yaitu A. Jadi A =
{HH}. Akibatnya, A dan B merupakan dua buah peristiwa yang
ekivalen.
2. Ruang peristiwa B : B = {1}.
Karena X(HG) = X(GH) = 1 jika dan hanya jika X(s) = 1, maka s = (HG)
atau s = (GH) dan ia merupakan ruang peristiwa dan peristiwa lainnya,
yaitu A. Jadi A = {HG, GH}.
Akibatnya, A dan B merupakan dua buah peristiwa yang ekivalen.
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
4
AB
. X(s) s .
3. Ruang peristiwa B : B {2}.
Karena X(GG)= 2 jika dan hanya jika X(s) = 2, maka s = (GG) dan ia
merupakan ruang peristiwa dari peristiwa lainnya, yaitu A. Jadi A =
{GG}. Akibatnya, A dan B merupakan dua buah peristiwa yang
ekivalen.
Kita sudah mengetahui bahwa peristiwa A yang berkaitan dengan ruang
sampel S ekivalen dengan peristiwa B yang berkaitan dengan nilai-nilai yang
mungkin dan peubah acak X.
Akibatnya, peluang dari kedua peristiwa itu akan sama, yaitu P(A) = P(B). Hal
ini bisa dilihat dalam Definisi 3.
Contoh 4:
Dalam pengundian dua mata uang logam Rp 100 yang seimbang, maka
S = {HH, HG, GH, GG}
P(HG) =P(GH)= P(HH)= P(GG) = .
Misalkan X menyatakan banyak G yang terjadi/muncul, maka nilai-nilai yang
mungkin dari X adalah R= {0, 1, 2}.
Hitung P(X= 0), P(X= 1), dan P(X =2).
Penyelesaian:
a. Karena X = 0 ekivalen dengan peristiwa yang ruang peristiwanya {HH}
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
5
Definisi 3: PELUANG DUA PERISTIWA YANG
EKIVALEN
Jika B adalah sebuah peristiwa dalam ruang hasil RX,
maka P(B) didefinisikan sebagai: P(B) = P(A), dengan A
= { sS| X(s) B}.
Pemahaman penghitungan peluang dari kedua peristiwa
yang ekivalen diperjelas melalui contoh 4.
danP(HH)= , maka P(X=0)=P(HH)= .
b. Karena X =1 ekuivalen dengan peristiwa yang ruang peristiwanya {HG} dan
{GH}, dan:
P(HG atau GH} = P(HG) +P(GH) = + =
maka P(X= 1) = P(HG atau GH) =
c. Karena X =2 ekuivalen dengan peristiwa yang ruang peristiwanya {GG}.
P(GG) = , maka P(X=2) =
Nilai-nilai yang mungkin dari X bisa ditulis sebagai: x1, x2, x3, ...,
Pemahaman pengertian peubah acak diskret diperjelas melalui contoh-contoh
berikut.
Contoh 5:
Nilai-nilai yang mungkin dari X adalah R = {0, 1, 2}.
Karena banyak anggota dan R berhingga, maka X termasuk ke dalam peubah
acak diskret.
Contoh 6:
Misalnya Sandy mengundi sebuah dadu yang seimbang.
Jika peubah acak X menunjukkan banyak pengulangan percobaan sampai
mata dadu 5 muncul pertama kali, maka nilai-nilai yang mungkin dari X
adalah: R= {1,2,3,...}.
Karena banyak anggota R tak berhingga tapi dapat dihitung, maka X
termasuk ke dalam peubah acak diskret.
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
6
Definisi 4: PEUBAH ACAK DISKRET
Misalnya X adalah peubah acak. Jika banyak nilai-nilai
yang mungkin dari X (yaitu ruang hasil R) berhingga
atau tak berhingga tapi dapat dihitung, maka X
dinamakan peubah acak diskret.
PEUBAH ACAK KONTINU
Misalnya X adalah peubah acak. Jika nilai-nilai yang mungkin dan X (yaitu
ruang hasil R) merupakan sebuah interval pada garis bilangan real, maka X
dinamakan peubah acak kontinu.
Pemahaman pengertian peubah acak kontinu diperjelas melalui Contoh 7.
Contoh 7:
Misalnya jumlah mahasiswa sebuah universitas adalah 25.000 orang dan
para mahasiswa itu diberi nomor induk mahasiswa mulai dari 00001 sampai
25000.
Kemudian seorang mahasiswa dipilih secara acak dan ia diukur berat
badannya. Dalam hal ini, ruang sampelnya adalah:
S = {s | s=00001,00002, 00003, ...,25000}
Misalnya X menunjukkan berat badan dari mahasiswa yang terpilih, maka ia
bisa ditulis sebagai: X(s), dengan s S.
Kita mengasumsikan bahwa tidak ada mahasiswa di universitas tersebut yang
mempunyai berat badan kurang dan 20 kg atau lebih dan 175 kg, sehingga
ruang hasil dan X adalah:
R={x|20 x 175}
Karena R merupakan sebuah interval, maka X termasuk ke dalam peubah
acak kontinu.
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
7
Definisi 6: FUNGSI PELUANG
Jika X adalah peubah acak diskret, maka p(x) = P(X = x) untuk
setiap x dalam range X dinamakan fungsi peluang dari X
Nilai fungsi peluang dan X, yaitu p(x), harus memenuhi sifat-
sifat sebagai berikut.
1. p(x) O
2. p(x) =1
Fungsi f dari A ke dalam R yang memenuhi:
(1) f(x) 0 untuk setiap x di A
(2) = 1
Disebut fungsi kepadatan peluang.
Misalkan X1,X2,X3, ... Xn semuanya kontinu, maka fungsi f dari A ke dalam R
yang memenuhi:
(1) f(X1,X2,X3, ... Xn) 0 untuk semua (X1,X2,X3, ... Xn) di A
(2) = 1
Contoh 8:
Misalnya Farah mengundi dua buah mata uang logam Rp 100 yang seimbang
secara sekaligus.
Jika peubah acak X menunjukkan banyak Huruf “BANK INDONESIA” yang
muncul, maka tentukan distribusi peluang dan X.
Penyelesaian:
Dalam hal ini, kita harus menghitung nilai peubah acak X, yaitu x dan nilai
peluangnya.
Ruang sampelnya: S = {GG, GH, HG, HH}.
Karena X menyatakan banyak H yang muncul, maka:
i. Untuk titik sampel GG, bilangan bulat yang sesuai adalah 0, ditulis X(s) =
X(GG) =0.
ii. Untuk titik sampel GH, bilangan bulat yang sesuai adalah 1, ditulis X(s) =
X(GH) = 1.
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
8
Fungsi f dari A ke dalam R yang memenuhi:
(1) f(x) 0 untuk setiap x di A
(2) = 1
Disebut fungsi kepadatan peluang kontinu.
iii. Untuk titik sampel HG, bilangan bulat yang sesuai adalah 1, ditulis X(s) =
X(HG) = 1.
iv. Untuk titik sampel HH, bilangan bulat yang sesuai adalah 2, ditulis X(s) =
X(HH) = 2.
Karena mata uang logam Rp 100 yang digunakan dalam pengundian itu
seimbang, maka peluang masing-masing titik sampel sama, yaitu
Peluang setiap nilai peubah acaknya adalah sebagai beriku.
i. P(X=0)= P({GG})=
ii. P(X= 1) = P({GH} atau P({HG})
= P({GH}) + P({HG})
= + =
iii. P(X=2) =P(HH) = .
Distribusi peluang
Contoh 9:
Misalnya fungsi peluang dan peubah acak X berbentuk:
p(x)=( )(kx+ 1); x=0, 1,2,3
= 0 ; x lainnya.
Tentukan nilai k agar mendefinisikan fungsi peluang.
Penyelesaian:
Syarat fkp adalah:
p(x) = 1
( )(kx + 1)= 1
{1 +(k+ 1)+(2k+ 1)+(3k+ 1)} =1
6k+4= 5
k= 1/6
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
X 0 1 2
f(x) = P(X=x)
9
Contoh penerapan (Peubah Acak Diskret)
1. Peubah Acak Bernoulli
Peubah acak bernoulli dihasilkan dari percobaan bernoulli (nama dari James Bernoulli). Percobaan ini hanya menghasilkan dua peristiwa (gagal (G) atau sukses (S)). Sukses diartikan sebagai kejadian yang sedang diamati.
Percobaan :
Pelantunan sekeping mata uang sebanyak satu kali:
Maka S = {H,G}. Jika muncul sisi ”H” dengan P(H) = p, dengan 0 < p < 1.
Maka P(G) = 1-p.
Peubah acak:
X disebut peubah acak Bernoulli.
X : Banyaknya sisi H yang muncul dari satu kali lemparan.
X = 0 atau 1.
X = 0, jika yang muncul G, sehingga P(G) = 1-p.
X = 1, jika yang muncul H, sehingga P(H) = p
Peubah acak atau variabel random adalah fungsi yang memetakan ruang sampel dengan bilangan real.
X : S R.
Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah statistik untuk menkuantifikasikan kejadian-kejadian alam. Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakan setiap kejadian tepat satu bilangan real.
Contoh 10:
Percobaan :
Mengamati masa hidup seorang bayi.
P(X=1) = p
P(X=0) = 1- p
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
10
Contoh 11:
Percobaan melempar sebuah dadu yang berisi 6 permukaan seimbang.
Ruang sampel S={1,2,3,4,5,dan 6}.
Dari percobaan ini didefinisikan beberapa peubah acak yang mampu memetakan kejadian-kejadiannya ke dalam bilangan real. Misalnya:
X : munculnya sisi mata dadu =
Sehingga X = 0, merupakan peta dari {1,3,5} dan
X=1, merupakan peta dari {2,4,6}. Secara jelas digambarkan dalam diagram venn berikut.
X :
Kaidah Peluang Peubah Acak
Sebaran peluang dari peubah acak mengikuti sebaran peluang setiap kejadian. Jika terdapat beberapa kejadian dipetakan bilangan yang sama maka peluang dari nilai peubah acak tersebut adalah total peluang dari kejadian-kejadian tersebut. Dari contoh di atas dapat diperjelas sebagai berikut.
Sisi yang muncul1 2 3 4 5 6
Peluang kejadian 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6X 0 1 0 1 0 1
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
11
1.2.3.4.5.6.
S
. 0
. 1
R
Ruang Sampel Bil Real
Sehingga sebaran peubah acak X dapat dijabarkan sebagai berikut.
P(x=0) = P(1)+P(3)+P(5) = 1/6+1/6+1/6 = 3/6 = ½
P(x=1) = P(2) + P(4) + P(6) =1/6+1/6+1/6 = 3/6 = ½
Beberapa kaidah dalam sebaran peluang sebagai berikut.
1. 0 P(xi) 1, untuk i =1,2, . . ., n
2. , untuk peubah acak diskret
=1, untuk peubah acak kontinu
3. P(A1+A2 +A3 + . . . +An ) =P(A1) +P(A2)+ . . . +P(An) = ,
Jika Ai merupakan kejadian yang saling lepas.(diskret)
P(A) = (kontinu)
Catatan:
Suatu fungsi dikatakan sebagai fungsi peluang jika memenuhi ketiga kaidah
di atas.
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
12
Fungsi Kepadatan Peluang (fkp) atau
Fungsi densitas probabilitas
Jika ruang sampel dari variabel random X countable, maka variabel
random X dinamakan variabel random diskret. Suatu fungsi dengan
domain variabel acak diskret dinamakan fungsi kepadatan peluang (fkp)
atau fungsi densitas probabilitas diskret. Disingkat dengan pdf diskret atau
dinamakan fungsi masa probabilitas.
Teorema :
Suatu fungsi f (x) adalah pdf diskret jika hanya jika memenuhi sifat:
1. f (x) > 0
2.
Catatan:
Penulisan lain f (x) dengan x = nilai variabel random X
Contoh :
Dari contoh pelemparan koin di atas (Sebuah koin yang dilempar 3 kali),
Maka S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG,GGA, GAG, GGG}
Misalkan: f : S R, f menyatakan jumal “A” yang muncul, maka x = 0,1,2
jelas bahwa f (x) = P (X = x), x = 0, 1, 2, 3. Semua nilai f(x) dan
jumlahnya = 1
Jadi memenuhi fkp.
Fungsi f dari A ke dalam R yang memenuhi:(1) f(x) 0 untuk setiap x di A
(2) = 1
Disebut fungsi kepadatan peluang.Fungsi f dari A ke dalam R yang memenuhi:(1) f(x) 0 untuk setiap x di A
(2) = 1
Disebut fungsi kepadatan peluang kontinu.
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
13
Contoh:
Misalkan X peubah acak dan f(X) = , untuk 1<x<3
= 0, untuk x lainnya
Apakah f(x ) memenuhi fkp?
Contoh 12:
Misalkan S ={1,2,3, . . . } adalah ruang peubah acak X. Misalkan f adalah
fungsi dari S ke R sedemikian sehingga f(x) = , x =1,2,3, . . .
a. Buktikan f adalah fkp.b. Jika A ={1,3,5. . . } hitung P(A).
Jawab:
a. Membuktikan f adalah fkp1) f(x)> 0, S (jelas)
2) = = B
= = =
= 1 1 + B = 2 B =1.
Jadi = 1
Jadi f(x) memenuhi fkp.
b. Hitunglah P(A), jika A = A ={1,3,5. . . }
P(A) = =
=
2 P(A) = = (1+ P(AC)
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
14
= 1 + (1 – P(A))
= 2 –PA 3 P(A) = 2 P(A) = 2/3.
Contoh 13:
f(x) = , 0<x<2
a. Buktikan f memenuhi fkp.b. Gambarkan/sket grafikya.c. Hitung P(A), A ={x|-1<x<3}
Catatan:
Hal Penting untuk Fungsi Kepadatan Peluang (fkp) kontinu
Misalkan X peubah acak kontinu, a dan b bil real sed. Sehingga a<b.
Hitunglah:
1. P(A) , A ={x| a }2. P(B), B = {x| a < x < b}3. P(C), C = {x|a }4. P(D), D = {x| a< x b}
Contoh 14:Misalkan A = adalah ruang peubah acak X. Misalkan peluang
P(a<x<b) diberikan oleh , dimana f(x) = untuk ,
untuk setiap a dan b. Maka hitunglah:
a. P(0<X< )
b. P(1 )
c. P(0 < X < 3)
d. P(0 < X < atau 1 < X < 2)
Jawaban:
a. P(0<X< ) = dx = = = .
b. P(1 ) = dx = = =
c. P( ) = = =
d. P(0 < X < 3) = dx + 0 =1
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
15
e. Karena {0 < X < } dan {1 < X < 2} tidak beririsan, maka
P(0 < X < atau 1 < X < 2) = P(0 < X < ) + P(1 < X < 2)
= + = i.
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
16
FUNGSI DISTRIBUSI
Misalkan X1, X2, X3, …, Xn merupakan peubah acak diskrit dengan fungsi
probabilitas p(x) > 0, maka fungsi sebaran bagi peubah acak tersebut dapat
ditulis sebagai berikut
Contoh :
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
17
Fungsi Probabilitas Kumulatif (Fungsi Sebaran) Kontinu
Bila X1, X2, X3, …, Xn merupakan peubah acak kontinu dengan fungsi
kepekatan probabilitas f(x) > 0, maka fungsi sebaran bagi peubah acak
tersebut dapat ditulis sebagai berikut
Contoh :
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
18
Sifat–sifat dari fungsi sebaran F(x):
Baik untuk peubah acak diskrit ataupun untuk peubah acak kontinu, terdapat
beberapa sifat dari fungsi sebaran sebagai berikut ;
1. F (- ~) = P (X - ~ ) = 0
2. F (+~) = P (X + ~) = 1
3. Monoton tidak turun :
F(x1) F(x2) untuk x1 >x2
4. Kontinu dari sebelah kanan :
5. P(a < X b)
= P(X b) - P(X a)
= F(b) - F(a)
6. P(a X b)
= P(X b) - P(X < a)
= F(b) - F(a) + P(X = a)
7. P(a X < b)
= P(X <b) - P(X < a)
= F(b)- F(a) - P(X = a) + P(X=b)
8. P(a < X < b)
= P(X < b)-P(X a)=F(b)-F(a) + P(X = b)
Contoh 1 :
Peubah X1, X2, X3, X4 merupakan sampel acak berukuran 4 yang me-nyebar
binomial dengan probabi-litasnya sama dengan 0.50 dan fungsi probabilitas
p(x) sebagai berikut :
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
19
probabilitas untuk seluruh nilai x dan sebaran probabilitas kumulatif, disertai
gambar grafiknya adalah sebagai berikut
p(x) :
Fungsi sebarannya adalah
F(x) = P ( X x ), untuk x = 0, 1, 2, 3, 4 dapat diperoleh nilai-nilai F(x) se-
bagai berikut :
Grafik dari P(X=x) = p(x) dan F(x) dapat dilihat sebagai berikut
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
20
Contoh 2 :
Peubah X kontinu dengan fungsi kepekatan probabilitas f(x) sebagai berikut :
a. Gambarkan grafik f(x)
b. Gambarkan F(x) = P( X x )
c. Cari P ( 2 < x < 4 ) = P (2 X 4 ) berlaku untuk peubah kontinyu.
Di mana e = 2,7182818 2,718
Penyelesaian :
Fungsi kepekatan probabilitas dari peubah X yang kontinu adalah f(x), se-
demikian rupa sehingga
dengan
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
21
kurva f(x) dan P ( a X b ), f(x) = fungsi kepekatan Probabilitas, bukan
fungsi probabilitas
Apabila F(x) diketahui maka f(x) dapat ditentukan dengan
Contoh 15:
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
22
Ekspektasi Matematika
Definisi 4.1:
Jika X suatu variabel random diskret dergan fungsi probabilitas f(x), maka
ekspektasi matematik (expected value) dari X, ditulis E(X), didefinisikan
sebagai:
E(X) =
Ekspektasi E(X), sering disebut pula sebagai mean (mean value) dari X.
Sedang simbol E(X) sering pula disajikan sebagai x atau .
Definisi 4.2:
Jika X suatu variabel random kontinu dengan fungsi densitas probabilitas f(x),
maka ekspektasi dari X, didefinisikan sebagai
E(X) =
Contoh 4.1:
Jika X = banyaknya titik yang muncul pada pelantunan sebuah dadu (ideal),
maka
(a) E(X) = 3½; (c) E(X – E(X))2 = ;
(b) E(X2) = ; (d) E(X2) – (E(X))2 = .
Contoh 4.2:
Jika variabel random X mempunyai fungsi densitas probabilitas
f(x) = ,
maka E(X) = 1/
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
23
Beberapa sifat ekspektasi
(i) E(c) = c; c konstan;
(ii) E(cx) = cE(X)
(iii) Jika Y = aX + b, dengan a dan b konstan,
maka E(Y) = aE(X) + b
(iv) Jika = E(X), maka E(X - ) = 0
Variansi
Definisi 4.3: Jika X suatu variabel random, maka variansi dari X, ditulis
Var(X) atau V(X), didefinisikan
Var(X) = E(X – E(X))2
Teorema 4.4: Var(X) = E(X2) – (E(X))2
Bukti: Var(X) = E(X – E(X))2
= E[X2 – 2XE(X) + (E(X))2]
= E(X2) – 2E(X)E(X) + (E(X))2
= E(X2) – (E(X))2
Contoh 4.3: Variansi dari Contoh 4.2 adalah Var(E) =
Beberapa sifat variansi:
Sifat VariansiMisal X peubah acak dengan fkp f(x)Misalkan a dan b suatu konstanta, maka:
1. Var(ax) = a2 Var(x)2. Var (ax +b) = a2 var(x)3. Var(k) = 0, untuk suatu konstanta kBukti:1. Var(ax) = ? Misal y =ax Var(y) =E(y2) – E(y)2 =
= - ( )2=
= - ( )2
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
24
= a2 - (a )2
= a2 E(x2) – a2 E(x)2
= a2 (E(x2) – E(x)2) = a2 var (x)
E(y) = E(ax) = a E(x).1. Var(ax+b) = ?
Misal y =ax +b
Var(Y) = = E(y) =
Contoh 4.4: Jika diketahui, bahwa E(XY) = E(X)E(Y), maka buktikan bahwa
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)
Bukti: Gunakan Teorema 4.4.
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
25
Ekspektasi Fungsi Variabel Random
Teorema 4.5: Jika X suatu variabel random diskret dengan fungsi probabilitas
f(x), maka ekspektasi dari fungsi variabel random g(x) adalah
E(g(x)) =
Demikian pu1a, jika X suatu variabel random kontinu dengan fungsi densitas
f(x), maka ekspektasi dari fungsi variabel random h(x) adalah
E(h(x)) =
Bukti: Untuk membuktikan Teorema ini, dibiarkan sebagai latihan.
Contoh 4.5: Jika X mempunyai fungsi densitas
f(x) = ,
maka ekspektasi dari fungsi variable random g(x) = e3x/4 adalah E(g(x)) = 4.
Soalpeubah acak X. Misalkan peluang P(a<x<b)Misalkan X peubah acak dengan fkp f(x) = 3x2 , 0<x<1Tentukan:a. E(x)b. E(x-1)c. E(4x+1)d. E(x2 +1)e. E(x+1)2
f. Var(x)
Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika
26