bab ii respons struktur terhadap pembebanan · pdf filekarena massa terdistribusi secara...

Laporan Tugas Akhir Pemodelan Numerik Respons Benturan Tiga Struktur Akibat Gempa

Bab II Respons Struktur Terhadap Pembebanan Dinamik II-1

BAB II

RESPONS STRUKTUR TERHADAP PEMBEBANAN DINAMIK

2.1 UMUM

Gempa bumi adalah suatu gerakan tiba–tiba atau suatu rentetan gerakan tiba–tiba

dari tanah dan bersifat transien yang berasal dari suatu daerah terbatas dan

menyebar dari titik tersebut ke segala arah (M. T. Zein). Gempa bumi ini adalah

penyebab goncangan tanah. Goncangan tanah ini menyebabkan suatu gedung

berespons secara khusus, respons ini disebut respons dinamis gedung.

Beban dinamik adalah beban yang merupakan fungsi dari waktu, jadi besar dan

arah beban berubah-ubah tergantung waktu. Apabila struktur menerima beban

dinamik ini maka struktur akan berespons secara dinamik juga, dimana selain

mempunyai simpangan juga mempunyai kecepatan dan percepatan.

Selain sifat perubahan waktu pada masalah dinamik seperti di atas, juga terdapat

sifat lain yaitu pada pembebanan dinamik timbul gaya inersia yang menahan

percepatan struktur akibat pembebanan.

Gambar 2.1 Struktur dengan pembebanan dinamik

P(t)

Gaya inersia



Untuk keadaan seperti pada gambar di atas, analisis gaya inersia sangat rumit

karena massa terdistribusi secara kontinu sepanjang bentang sehingga

perpindahan dan percepatan harus ditetapkan untuk tiap-tiap titik sepanjang

bentang tersebut. Untuk menyederhanakan hal tersebut, massa batang dianggap

terpusat pada titik-titik tertentu. Dengan demikian gaya inersia, perpindahan dan

percepatan hanya terjadi pada titik-titik tersebut. Hal ini yang disebut dengan

konsep massa tergumpal (lumped mass).

Jumlah komponen perpindahan pada massa tergumpal yang harus

dipertimbangkan agar mewakili pengaruh semua gaya inersia yang penting dari

struktur tersebut disebut jumlah derajat kebebasan dinamik.

Apabila suatu sistem dengan satu massa tergumpal dibuat sedemikian rupa

sehingga massa tersebut hanya dapat bergerak dalam satu arah saja maka disebut

sistem dengan satu derajad kebebasan (SDOF). Komponen-komponen utama

dalam pembebanan dinamik pada sistem SDOF ini adalah massa, sifat elastis

(kekakuan), mekanisme kehilangan energi (redaman) dan beban luar. Percepatan,

kecepatan dan simpangan masing-masing akan menimbulkan gaya inersia, gaya

redaman, dan gaya pegas.

2.2 SIFAT GONCANGAN TANAH

Berdasarkan penyebab goncangan tanah, terdapat beberapa macam gempa bumi,

yaitu :

a. Gempa bumi runtuhan

Gempa bumi ini disebabkan antara lain oleh keruntuhan yang terjadi baik di atas

maupun di bawah permukaan tanah, contohnya tanah longsor, salju longsor, dan

jatuhnya batuan.

b. Gempa bumi vulkanik

Gempa bumi ini disebabkan oleh kegiatan gunung berapi baik sebelum maupun

saat meletusnya gunung berapi tersebut.



c. Gempa bumi tektonik

Gempa bumi ini disebabkan oleh terjadinya pergeseran kulit bumi (litosfer) yang

umumnya terjadi di daerah patahan kulit bumi.

Beberapa retakan yang terdapat pada permukaan tanah kadang-kadang menjadi

besar akibat suatu goncangan gempa dengan arah goncangan gempa adalah

sembarang. Suatu rekaman gempa (earthquake record) terdiri dari tiga bagian

yang diukur dalam masing-masing arah yang tegak lurus, yaitu dua buah

komponen horisontal dan satu buah komponen vertikal sebagaimana yang

dilukiskan dalam Gambar 2.2. Dari gambar ini kita dapat melihat harga

goncangan gempa maksimum, tidak serentak terjadi pada ketiga arah yang saling

tegak lurus. Hasil ini dapat diramalkan apabila sifat goncangan gempa tadi adalah

benar-benar sembarang (semacam random process). Sekarang timbul pertanyaan

lain yaitu apa tolak ukur yang paling tepat digunakan untuk melukiskan

goncangan tanah itu ?

Gambar 2.2 Sifat goncangan gempa



Goncangan atau gerakan tanah dapat dilukiskan dengan menggunakan tolak ukur

perpindahan, kecepatan atau percepatan. Dalam Grafik 2.1 menggambarkan

mengenai rekaman gempa bumi El-Centro (1940) N-S, Amerika Serikat.

Rekaman tersebut dilukiskan dengan menggunakan tolak ukur seperti yang telah

disebutkan di atas.

Bilamana rekaman percepatan dengan waktu diintegrasikan maka akan dihasilkan

rekaman kecepatan dengan waktu. Kemudian bilamana rekaman baru ini

diintegrasikan sekali lagi maka akan dihasilkan rekaman perpindahan dengan

waktu. Dengan kata lain, bilamana kita mengetahui salah satu dari rekaman-

rekaman tadi maka dengan mudah dapat ditentukan rekaman yang lainnya. Tetapi

mana dari ketiga rekaman tadi yang paling berguna, atau apakah kita harus

menggunakan lebih dari satu bentuk rekaman? Berhubung pengertian kita

terhadap rekaman kecepatan dan perpindahan masih sangat terbatas maka

biasanya kita hanya memakai rekaman percepatan saja untuk analisis dinamik.

Biasanya juga kita mengabaikan pengaruh dari komponen goncangan tanah yang

vertikal dalam perencanaan struktur bangunan gedung. Tetapi untuk beberapa

elemen gedung harus diakui bahwa ada pengaruh goncangan vertikal. Jadi, tiap

bangunan gedung tahan gempa harus direncankan agar dapat menahan goncangan

gempa horisontal, yang terdiri dari dua komponen yang saling tegak lurus.

Time History Acceleration El Centro

-3.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00

t (detik)

x"g

(m/s2 )

Grafik 2.1 Rekaman gempa bumi El-Centro



2.3 RESPONS STRUKTUR DENGAN SATU DAN DUA DERAJAT

KEBEBASAN

Dalam dinamika struktur, jumlah koordinat bebas (independent coordinates)

diperlukan untuk menetapkan susunan atau posisi sistem pada setiap saat, yang

berhubungan dengan jumlah derajat kebebasan (degree of freedom). Pada

umumnya struktur berkesinambungan mempunyai jumlah derajat kebebasan tak

berhingga. Namun dengan posisi idealisasi atau seleksi, sebuah model matematis

yang tepat dapat mereduksi jumlah derajat kebebasan menjadi suatu jumlah diskrit

dan untuk beberapa keadaan dapat menjadi berderajat kebebasan tunggal. Suatu

struktur dapat dianggap sebagai berderajat tunggal bila dapat dimodelisasikan

sebagai sistem dengan koordinat perpindahan tunggal (single displacement

coordinate).

2.3.1 Model Matematik Sistem Dinamik SDOF

Persamaan gerak untuk sistem dengan SDOF dapat diperoleh dengan prinsip

kesetimbangan dari gaya-gaya yang bekerja pada sistem tersebut, yaitu gaya luar

dan gaya-gaya lainnya yang terjadi akibat adanya gerakan-gerakan pada sistem

tersebut, seperti gaya inersia dan gaya elastik pegas seperti terlihat pada Gambar

2.3 di bawah ini.

Gambar 2.3 Sistem dinamik massa-pegas SDOF

Struktur yang paling sederhana pada masalah dinamik dapat diidealisasikan

seperti pada Gambar 2.3, dengan satu derajat kebebasan yaitu translasi lateral.



Sistem berderajat tunggal dapat dijelaskan secara tepat dengan model matematis

yang mempunyai elemen-elemen sebagai berikut: (1) elemen massa m

menyatakan massa dan sifat inersia dari struktur, (2) elemen pegas k yang

menyatakan gaya balik elastis (elastic restoring force) dan kapasitas energi

potensial dari struktur, (3) elemen redaman c yang menyatakan sifat geseran dan

kehilangan energi dari struktur dan (4) gaya pengaruh P(t) yang menyatakan gaya

luar yang bekerja pada sistem struktur.

Sehingga persamaan gerak dapat ditulis sebagai persamaan kesetimbangan dari

gaya-gaya tersebut, yaitu :

FI(t) + FD(t) + FS(t) = P(t) (2-1)

dimana FI = gaya inersia, FD = gaya redaman, FS = gaya pegas (elastik), P = beban

dinamik, yang semuanya merupakan fungsi dari waktu. Gaya inersia, redaman,

dan elastik dapat diperoleh melalui persamaan :

FI = xm && (t)

FD = xc& (t) (2-2)

FS = kx(t)

Substitusi Persamaan (2-2) kedalam Persamaan (2-1) maka persamaan gerak

SDOF adalah :

xm && (t)+ xc& (t) + kx(t) = P(t) (2-3)

dimana :

)(tx&& = percepatan

)(tx& = kecepatan

x(t) = perpindahan



dengan m, c dan k berturut-turut adalah massa, redaman dan kekakuan struktur,

P(t) adalah beban dinamik fungsi waktu t yang bekerja pada sistem, yang

selanjutnya untuk alasan praktis, fungsi waktu t dapat tidak ditulis.

Beban gempa bumi adalah beban dari percepatan tanah ( gx&& (t)) bukan beban luar

P(t), sehingga persamaan menjadi :

)( gxxm &&&& + + xc&+ kx = 0 (2-4)

Dalam membahas sifat dinamis dari sistem berderajat kebebasan tunggal,

dianggap bahwa gaya pemulih (restoring forces) selaras dengan perpindahan pada

model yang mewakili struktur. Juga dianggap terjadi kehilangan energi akibat

mekanisme redaman liat dimana gaya redaman selaras dengan kecepatan. Sebagai

tambahan, massa pada model selalu ditetapkan tak berubah. Sebagai akibat dari

anggapan ini, persamaan gerak sistem menjadi persamaan diferensial linear orde

kedua dengan koefisien konstan seperti Persamaan (2-3) di bawah ini :

xm && (t)+ xc& (t) + kx(t) = P(t)

Persamaan (2-3) menyatakan sifat dinamis dari berbagai struktur dengan model

sebagai sistem berderajat kebebasan tunggal. Namun, ada kondisi fisik dimana

model linear tak dapat menyatakan karakteristik dinamis dari struktur. Analisis

keadaan ini memerlukan suatu model dimana gaya pegas atau gaya redaman tidak

tetap proporsional terhadap perpindahan atau kecepatan. Akibatnya hasil

persamaan gerak tidak linear dan pada umumnya solusi matematisnya lebih rumit

dan sering memerlukan penyelesaian numerik untuk integrasinya.



Pergerakan (respons) SDOF absolut adalah sebagai berikut :

Gambar 2.4 Idealisasi struktur SDOF yang mengalami gerakan pada tumpuannya

pada saat t

dimana : FI = m ( ))()( txtx gs &&&& + merupakan gaya inersia pada struktur (percepatan

absolut struktur).

FD = c )(txs& merupakan gaya damping (respons relatif).

FS = kxs(t) merupakan gaya pegas, gaya ini harus dipikul oleh struktur

terutama elemen vertikal (respons relatif).

2.3.2 Respons Getaran Bebas (free vibration)

Respons getaran bebas adalah akibat adanya simpangan dan/atau kecepatan awal

dari struktur. Dalam hal ini beban luar P(t) = 0 (tidak ada). Apabila Persamaan (2-

3) diselesaikan untuk getaran bebas tanpa redaman dengan c dan P(t) = 0 maka

akan diperoleh persamaan umum simpangan :

x(t) = txtx

ωωω

cossin 00 +&

(2-5)

xs

(0,0) (x1,0)

x1

Absolut displacemen x(t) = x1(t) + xs(t)

gx&&

Respons SDOF relatif terhadap dasar struktur



dimana :

ω = 2πf = mk (radian/detik), T =

ωπ2 (detik), f =

πω2

1=

T(Hz), dengan 1 Hz

= 1 siklus perdetik dan ω menyatakan frekuensi alami dari sistem tersebut.

x0 = perpindahan awal pada saat t = 0.

0x& = kecepatan awal pada saat t = 0.

2.3.3 Respons Getaran Paksa (forced vibration)

Respons ini adalah akibat adanya beban luar dinamik yang berupa beban periodik.

Beban periodik merupakan beban yang mempunyai besar dan bentuk yang sama

setiap selang waktu tertentu.

a. Beban harmonik

Beban harmonik adalah beban periodik yang berbentuk sederhana, biasanya

merupakan fungsi sinus. Beban bervariasi secara harmonik dengan amplitudo F0

dan frekuensi sudut Ω (dari gaya luar) dan didefenisikan sebagai :

P(t) = F0 sin tΩ

Respons dinamik akibat beban harmonik untuk sistem getaran paksa tanpa

redaman adalah :

x(t) = trkF

Ω−

sin)1(

/2

0 (2-6)

Persamaan (2-6) ini biasa disebut juga sebagai persamaan steady state.

dimana r = perbandingan antara frekunsi gaya luar dengan frekuensi alami sistem,

r = ωΩ .



b. Beban kompleks

Beban kompleks adalah beban periodik dengan bentuk yang lebih kompleks.

Beban ini biasa dinyatakan sebagai Deret Fourier.

Beban harmonik dan beban kompleks merupakan beban yang sifatnya periodik.

Adapula beban-beban luar yang sifatnya non periodik, seperti beban impulsif dan

beban dinamik sembarang.

a. Beban impulsif

Beban impulsif adalah beban yang bekerja dengan waktu yang sangat singkat.

Karena beban bekerja dalam waktu yang sangat singkat maka redaman tidak

mempunyai cukup waktu untuk mengabsorpsi energi impuls sehingga struktur

berespons dengan sistem tanpa redaman sampai terjadinya respons maksimum.

Beban impuls digambarkan sebagai gaya dikalikan dengan waktu terjadinya gaya

tersebut, beban ini dapat digunakan sebagai dasar untuk pengembangan formula

untuk mencari respons beban dinamik sembarang.

b. Beban sembarang

Diasumsikan sebagai kumpulan dari beban impulsif. Beban-beban ini dapat

berupa gaya luar konstan, gaya luar segiempat, gaya luar segitiga, dan gaya luar

sinusoidal.

2.3.4 Sistem Dinamik Dengan Dua Derajat Kebebasan

Sistem dengan dua derajat kebebasan merupakan bagian dari sistem dengan

banyak derajat kebebasan (MDOF). Sistem dinamik dengan dua derajat kebebasan

dapat diperlihatkan pada Gambar 2.5 di bawah ini.

Gambar 2.5 Model massa-pegas dengan dua derajat kebebasan



Persamaan gerak untuk sistem yang diperlihatkan pada Gambar 2.5 adalah :

1221212212111 )()( Pxkxkkxcxccxm =−++−++ &&&&

21222122222 Pxkxkxcxcxm =−+−+ &&&& (2-7)

Dalam bentuk matriks, persamaan (2-7) menjadi :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2

1

22

221

2

1

22

221

2

1

2

1

00

PP

xx

kkkkk

xx

ccccc

xx

mm

&

&

&&

&& (2-8)

dimana P1 dan P2 adalah gaya yang masing-masing bekerja pada m1 dan m2.

a. Getaran Bebas

Untuk gerakan bebas tanpa gaya luar maka P1 dan P2 = 0 dan persamaannya

menjadi :

0=+ KxxM && (2-9)

dimana :

M = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

00

mm

, K = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

22

221

kkkkk

, x =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

1

xx

dan P = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

1

PP

.

Frekuensi alami dari sistem tersebut dapat diperoleh dengan menyelesaikan

Persamaan (2-9).

Solusi non-trivial didapat dengan mencari harga ω yang menganulir harga

determinan matriks.

02 =− MK ω dan akar-akar persamaan ini adalah 1ω dan 2ω yang mengandung

mk .

dimana : 1ω dan 2ω adalah frekuensi alami yang ditinjau.

Dengan mensubstitusi 1ω dan 2ω kedalam Persamaan (2-9) didapat :

0)()(

0)()(

22

22

122

12

12

121

=Δ=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Δ

=Δ=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Δ

φωω

φωω

xx

xx



dimana 1φ dan 2φ adalah mode getaran dari sistem. Secara umum dikatakan

bahwa 11,φω dan 22 ,φω menyatakan dua buah mode getaran dari sistem.

b. Getaran Paksa

Persamaan gerak umum untuk sistem getaran paksa dengan gaya luar harmonik

adalah :

)(tPKxxCxM =++ &&& (2-10)

dimana gaya luar adalah merupakan fungsi harmonik P(t) = F0 e tjΩ .

Jawab dari Persamaan (2-10) dapat diperoleh dengan berbagai pendekatan

misalnya dengan Metode Eksak atau Metode Modal.

2.4 RESPONS STRUKTUR DENGAN BANYAK DERAJAT KEBEBASAN

Analisis dinamis struktur yang dibebani oleh beban sebagai fungsi waktu disebut

analisis yang tertentu (deterministic). Bila beban yang bekerja pada struktur

mempunyai bentuk yang acak dan dalam analisisnya ditentukan secara statistik

maka dinamakan analisis tak tentu (non-deterministic). Beban seperti ini dijumpai

pada ledakan yang terjadi dekat struktur, getaran pada jet dan getaran akibat

gempa.

Getaran akibat gempa termasuk dalam analisis non-deterministic sebab tidak

diketahui harga sesaatnya. Meskipun demikian, fenomena random ini mempunyai

keteraturan bila dianalisis secara statistik. Bila jumlah data yang tersedia cukup

banyak (untuk dianalisis secara statistik) maka hasil yang akan didapat semakin

mendekati kebenaran, sayangnya catatan (rekaman) data gempa yang terbatas.

Struktur akan berespons dinamis jika struktur tersebut menerima gaya luar atau

simpangan awal. Yang dimaksud dengan gaya luar disini adalah beban dinamis

yaitu beban dan arah dan besarnya merupakan fungsi waktu. Beban dinamis

tersebut dapat berupa beban harmonis, beban impulsif ataupun beban yang

diakibatkan oleh gempa.



Sifat dari beban harmonis maupun beban impulsif adalah beban luar murni karena

bekerja langsung pada struktur dan menghasilkan respons struktur yang searah.

Tidak demikian halnya dengan beban yang diakibatkan oleh gempa karena gempa

tidak mengakibatkan gaya luar murni akan tetapi mengakibatkan percepatan

tanah. Percepatan tanah ini akan mengakibatkan struktur berespons secara dinamis

dengan arah berlawanan.

Masalah dinamis yang gaya-gayanya tergantung pada waktu dan yang

menyebabkan getaran pada struktur, perlu diperhitungkan gaya akibat inersia

massa yang mempunyai percepatan. Untuk itu, kita gunakan hukum gerak Newton

kedua yang menyatakan bahwa hasil kali massa dan percepatannya sama dengan

gaya. Dalam prakteknya, beban dinamis ditimbulkan oleh gaya gempa, angin yang

tidak tetap, ledakan, mesin torak atau kejut (impact) akibat beban bergerak.

Asumsi yang digunakan dalam analisis dengan MDOF adalah :

a. Massa perlantai sangat kaku (diafragma).

b. Gaya aksial diabaikan.

c. Derajat Kebebasan (degree of freedom) lateral.

2.4.1 Model Matematik Sistem Dinamik MDOF

Sebagaimana sistem SDOF, persamaan gerak untuk sistem MDOF dapat

diperoleh dari prinsip kesetimbangan gaya-gaya yang bekerja pada sistem

tersebut, yaitu gaya luar, gaya inersia, gaya elastik pegas dan gaya redaman.



Gambar 2.6 Idealisasi tiga struktur dengan massa tergumpal

Persamaan umum MDOF adalah :

[ ]{ }gs xxm &&&& + +[c]{ }sx& +[k]{xs} = P(t) (2-11)

dimana :

[m] = matiks massa yang merupakan matriks diagonal

[c] = matriks redaman

[k] = matriks kekakuan lateral

{P} = vektor gaya luar yang bekerja pada massa

{xs} = vektor simpangan relatif

{ }sx& = vektor kecepatan

{ }sx&& = vektor percepatan relatif

{ }sg xx &&&& + = vektor percepatan total

)(txg&& = percepatan gempa (ground).



Persamaan di atas biasa ditulis :

[ ]{ }xm && +[c]{ }x& +[k]{x} = -[m]{ }gx&& (2-12)

Semua matriks di atas berdimensi (nxn), sedangkan semua vektor berdimensi

(1xn) dimana n adalah jumlah derajat kebebasan horisontal yang sama dengan

jumlah lantai tingkat dari struktur yang ditinjau.

11xm && )(1 tF=

22xm && )(2 tF=

)( 122 xxk −

11xk

33xm && )(3 tF=

)( 233 xxk −

44xm &&

)( 344 xxk −

)(4 tF=

55xm &&

)( 455 xxk −

)(5 tF=

66 xm &&

)( 566 xxk −

)(6 tF=

77 xm && )(7 tF=

)( 677 xxk −

88xm && )(8 tF=

)( 788 xxk −

99xm && )(9 tF=

)( 899 xxk −

1010xm && )(10 tF=

)( 91010 xxk −

Gambar 2.7 Pemodelan bangunan menjadi sistem lumped mass



Berdasarkan kesetimbangan gaya dari Gambar 2.7, diperoleh gaya-gaya yang

bekerja pada setiap massa (untuk 5 lantai) :

m1 0)( 1122111

..=−−−+ Pxxkxkx

m2 0)()( 22331222

..=−−−−+ Pxxkxxkx

m3 0)()( 33442333

..=−−−−+ Pxxkxxkx (2-13)

m4 0)()( 44553444

..=−−−−+ Pxxkxxkx

m5 0)( 54555

..=−−+ Pxxkx

Dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai :

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

5

4

3

2

1

00000000000000000000

mm

mm

m

M merupakan matriks massa.

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−

−+−−+−

−+

=

55

5544

4433

3322

221

00000

0000000

kkkkkk

kkkkkkkk

kkk

K merupakan matriks kekakuan.

Vektor {X}, { X&& } dan {P} adalah masing-masing vektor perpindahan, vektor

percepatan dan vektor beban gempa, seperti ditunjukkan di bawah ini :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)()()()()(

}{,}{,}{

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

tPtPtPtPtP

P

xxxxx

X

xxxxx

X

&&

&&

&&

&&

&&

&& (2-14)



Dalam bentuk matriks notasi dapat ditulis sebagai berikut :

[M] { X&& }+ [K]{X} = {P}

dimana :

[M] = matriks massa

[K] = matriks kekakuan.

Solusi umumnya dapat ditulis sebagai : {X} = {Xh} + {Xk}

dimana :

{Xh} = vektor perpindahan solusi homogen

{Xk} = vektor perpindahan solusi khusus

Dan solusi homogennya dapat ditulis sebagai :

[M]{ X&& } + [K]{X} = 0 (2-15)

Apabila solusi homogen berbentuk fungsi sinusoidal, maka perpindahannya

menjadi :

xi(t) = Ai cos ωt + Bi sin ωt

ix& (t) = -ωAi sin ωt + ωBi cos ωt

ix&& (t) = -ω2Ai cos ωt -ω2Bi sin ωt = -ω2 xi (2-16)

Apabila Persamaan (2-16) disubstitusi ke Persamaan (2-15) akan didapatkan :

-ω2[M]{X} + [K]{X} = 0

ω2[M]{X} = [K]{X}

[K] 1− [K]{X} = ω2[K] 1− [M]{X}

2

1ω

[I]{X} = [K] 1− [M]{X}

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ [I]1 -[M] [K] 2

1-

ω{X} = 0, bentuk ini dapat diubah menjadi persamaan di bawah

ini : 0}{][1][ =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − XIA

λ (2-17)



Dimana [A] = [K] 1− [M] yang merupakan matriks dinamik dan λ = 2

1ω

yang

biasa disebut sebagai nilai eigen (eigen value).

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−+−

−−+−−−+−

−−+

00000

00000

0000000

5

4

3

2

1

2555

52

4544

42

3433

32

2322

22

121

xxxxx

mkkkmkkk

kmkkkkmkkk

kmkk

ωω

ωω

ω

Untuk solusi non-trivial maka determinan matriks diatas harus nol, sehingga dapat

ditulis sebagai :

0

00000

0000000

2555

52

4544

42

3433

32

2322

22

121

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−+−

−−+−−−+−

−−+

ωω

ωω

ω

mkkkmkkk

kmkkkkmkkk

kmkk

Sebagaimana uraian kesetimbangan gaya-gaya untuk 5 (lima) lantai,

kesetimbangan gaya-gaya untuk 10 (sepuluh) lantai sama saja, dan setelah

dijabarkan maka akan diperoleh persamaan matriks dengan determinan sebagai

berikut :

0

210101000000000

102

910990000000

092

8988000000

0082

787700000

00072

67660000

000062

5655000

0000052

454400

00000042

34330

000000032

2322

0000000022

121

=

−−

−−+−

−−+−

−−+−

−−+−

−−+−

−−+−

−−+−

−−+−

−−+

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

mkk

kmkkk

kmkkk

kmkkk

kmkkk

kmkkk

kmkkk

kmkkk

kmkkk

kmkk



Perhitungan-perhitungan di atas akan dilakukan dengan program Matlab 5.3.

Perhitungan eigen value ( )iλ , frekuensi alami ( )1i

i λω = , mode getar )( ix

yang biasa disebut juga sebagai eigen vector { }iφ . Vektor-vektor eigen

menggambarkan pola-pola deformasi dari struktur pada setiap frekuensi alaminya.

2.4.2 Normalisasi Mode

Harga dari mode getar { }iφ adalah harga relatif, elemen-elemen dari mode getar

menunjukkan perbandingan satu dengan lainnya. Untuk mendapatkan harga mode

getar yang umum maka mode getar yang didapat dari hasil perhitungan problem

eigen harus dinormalisasi terlebih dahulu.

Ada beberapa cara normalisasi mode getar yang biasa digunakan, antara lain :

a. Mode getar untuk setiap modenya dinormalisasi dengan membuat massa

umum Mi menjadi satu IMT =φφ .

b. Elemen-elemen tertentu dari setiap mode getar dibuat sama dengan satu satuan

dan elemen lainnya hanya merupakan perbandingan saja.

Pemilihan normalisasi tergantung kepada kebutuhan dan acuan yang digunakan

dalam analisis dinamik.



2.5 GAYA TUMBUKAN

Bila dua buah benda bermassa saling bertumbukan, maka diantara kedua benda

tersebut akan timbul gaya tumbukan atau berturan (Fc) yang arahnya saling

berlawanan satu dengan lainnya, seperti yang ditunjukkan pada Gambar (2-8) di

bawah ini :

M1 M2 Gambar 2.8 Gaya tumbukan Fc dari dua massa yang saling bertumbukan

Bila kedua benda tersebut rigid (padat) maka akan terjadi tumbukan yang sangat

singkat dengan amplitudo gaya tumbukan yang ditimbulkan akan sangat besar.

Persamaan gerak dari kedua massa selama tumbukan dapat ditulis sebagai berikut:

Sistem 1 : [M]1 [ X&& ]1 + [K] 1 [X] 1 + [Fc] = P(t)

Sistem 2 : [M] 2 [ X&& ] 2 + [K] 2 [X] 2 - [Fc] = P(t) (2-18)

dimana :

P(t) = adalah beban gempa yang bekerja pada sistem.

Fc = adalah gaya bentur yang bekerja pada struktur yang merupakan gaya

luar.

Fc=kDt



Indeks pada persamaan-persamaan di atas menunjukkan bangunan ke-1 dan ke-2.

Besarnya gaya tumbukan Fc bergantung pada perilaku dinamis zona kontak

massa dan kecepatan tumbukan. Perilaku zona kontak biasanya disimulasikan

dengan model matematis. Penyelesaian persamaan gerak selama tumbukan

dilakukan dengan menggunakan metode numerik, dalam skripsi ini digunakan

metode Runga-Kutta.

Benturan akan terjadi bila jarak benturan (gap atau Dt) antara dua buah model

tidak mencukupi (negatif atau nol), dan dapat ditulis dalam bentuk :

Dt = Initial gap + 12 xx − (2-19)

M1 M1 M2 M2

gx&&

Gambar 2.9 Jarak Benturan (Dt)

dimana :

x1 = Displacement relatif massa ke-1.

x2 = Displacement relatif massa ke-2.

Dt = Jarak benturan.

Initial gap = Jarak antara bangunan yang berdampingan.

Initial gap

x1 x2

Dt



2.6 INTEGRASI NUMERIK RUNGA-KUTTA

Untuk sistem dinamik dengan banyak derajad kebebasan yang mengalami beban

sembarang seperti beban gempa, angin, gelombang laut, beban mesin atau beban

dinamik sembarang lainnya, respon struktur dapat dihitung dengan menggunakan

integrasi numerik Runga-Kutta.

Integrasi numerik metode Runga-Kutta banyak digunakan karena ketepatan dan

kemudahannya. Metode ini adalah metode numerik yang mereduksi persamaan

diferensial orde kedua menjadi dua persamaan diferensial orde pertama.

Persamaan diferensial tingkat dua dari sistem dinamik dengan n-derajat kebebasan

adalah :

)],,([]][[]][[)]({[][][ 1 tXXGXKXCtPMX &&&& =−−= − (2-20)

Persamaan di atas dapat juga ditulis menjadi dua buah persamaan diferensial

tingkat satu, yaitu :

)],,([][][][

tYXGYYX

=

=&

& (2-21)

Respons struktur sebagai fungsi waktu untuk setiap interval waktu tΔ dapat

dihitung dengan menggunakan persamaan :

( )

( )

)](][[)](][[)]([)]([

][][2][2][61)]([)]([

][][2][2][61)]([)]([

1

4321

4321

nnnn

nn

nn

tXKtXCtPMhtX

GGGGhtXhtX

YYYYhtXhtX

−−=+

++++=+

++++=+

− &&&

&& (2-22)



dimana :

T1 = t i [X1] = [X i ] [Y1] = [Y i ] [G1] =

[G(T1,X1,Y1)]

T2 = t i +2h [X2] = [X i ] + [Y1]

2h [Y2] = [Y i ]+[P1]

2h [G2] =

[G(T2,X2,Y2)]

T3 = t i +2h [X3] = [X i ] + [Y2] 2

h [Y3] = [Y i ]+[P2] 2h [G3] =

[G(T3,X3,Y3)]

T4 = t i +2h [X4] = [X i ] + [Y3] 2

h [Y3] = [Y i ]+[P3] h [G3] =

[G(T4,X4,Y4)] (2-23)

h = tΔ , X i dan Y i adalah vektor respons awal pada setiap iterasi.

bab ii respons struktur terhadap pembebanan · pdf filekarena massa terdistribusi secara...

Documents