5

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Program Linear

Program linear merupakan salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan

pengalokasian sumber-sumber yang terbatas diantara kegiatan yang bersaing,

dengan cara terbaik yang bisa dilakukan. Persoalan ini akan muncul manakala

seseorang harus memilih tingkat kegiatan tertentu yang bersaing dalam hal

sumber daya langka yang dibutuhkan untuk melakukan kegiatan tersebut.

Program linear ini menggunakan model matematis untuk menjelaskan persoalan

yang dihadapinya. Sifat linear disini memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis

dalam model ini merupakan fungsi yang linear, sedangkan kata program

merupakan sinonim untuk perencanaan. Dengan demikian, program linear adalah

perencanaan suatu kegiatan untuk memperoleh suatu hasil yang optimal [7].

2.1.1 Istilah Program Linear

Karakteristik yang digunakan dalam membangun model dari formulasi persoalan

program linear, yaitu [7] :

1) Variabel Keputusan

Variabel keputusan yaitu variabel yang menguraikan secara lengkap

keputusan-keputusan yang akan dibuat.

2) Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan adalah fungsi dari variabel keputusan yang akan

dimaksimalkan (pendapatan atau keuntungan) atau minimalkan (ongkos).

3) Fungsi Kendala

Fungsi kendala adalah kendala yang dihadapi sehingga tidak bisa

menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang.

6

4) Pembatas Tanda

Pembatas tanda adalah pembatas yang menjelaskan apakah variabel

keputusannya diasumsikan nonnegatif, nonpositif, atau nol.

2.1.2 Model Program Linear

Model matematis dari permasalahan program linear yang merupakan bentuk dan

susunan dalam menyajikan masalah-masalah yang akan dipecahkan dengan teknik

program linear. Bentuk tabel standar program linear sebagai berikut [7] :

Tabel 2. 1 Tabel program linear

Aktivitas /

Sumber

Penggunaan Sumber / Unit Sumber Daya

1 2 ... N

1 𝑎11 𝑎12 ... 𝑎1𝑛 𝑏1

2 𝑎21 𝑎22 ... 𝑎2𝑛 𝑏2

. . . ... .

. . . ... .

. . . ... .

M 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ... 𝑎𝑚2 𝑏𝑚

∆z/unit 𝑐1 𝑐2 ... 𝑐𝑛

Tingkat 𝑥1 𝑥2 ... 𝑥𝑛

Dengan demikian, dapat dibuat formulasi model matematis dari persoalan

pengalokasian sumber-sumber pada kegiatan sebagai berikut [8]:

1 1 2 2Max, Min n nZ c x c x c x

1

n

j j

j

c x

(2.1)

Dengan syarat :

1

, , , untuk semua 1,2, , dan 0n

ij j i n

i

a x b j n x

7

Keterangan

𝑥𝑗 : Variabel keputusan ke-𝑗, dimana 𝑗 = 1,2, … , 𝑛

𝑍 : Fungsi tujuan yang dioptimalkan

𝑏𝑖 : Kapasitas kendala ke-𝑖

𝑎𝑖𝑗 : Koefisien fungsi kendala ke-𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 dari variabel keputusan

ke −𝑗, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛.

2.1.3 Solusi Persamaan Program Linear

Banyak teknik-teknik yang dikembangkan untuk menyelesaikan suatu masalah

program linear antara lain dengan metode simpleks, titik interior, ellipsoidal,

ataupun dengan pendekatan teori game. Akan tetapi, untuk program linear yang

terdiri dari dua peubah keputusan, teknik penyelesaian yang hanya dengan

menggunakan grafik lebih mudah dan menguntungkan untuk digunakan karena

selain mudah penerapannya juga dapat dilihat bentuk geometrisnya [9].

2.2 Metode Simpleks

Metode simpleks adalah suatu metode yang digunakan untuk penyelesaian

masalah program linear dengan cara mencari penyelesaian yang layak dan

dilakukan secara berulang-ulang (iteratif) sehingga akhirnya diperoleh

penyelesaian yang optimal. Metode ini digunakan karena metode grafik tidak

dapat menyelesaikan persoalan program linear yang memiliki variabel keputusan

yang cukup besar atau lebih dari dua [10].

Syarat-syarat yang harus dipenuhi dalam menggunakan metode simpleks untuk

menyelesaikan masalah program linear adalah sebagai berikut [11]:

a. Semua kendala pertidaksamaan harus diubah menjadi bentuk persamaan.

b. Sisi kanan dari tanda pertidaksamaan kendala tidak boleh ada yang negatif.

c. Semua variabel dibatasi pada nilai nonnegatif.

d. Fungsi tujuan dapat berupa kasus memaksimalkan atau meminimalkan.

8

Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan program linear

dengan metode simpleks [12]:

Langkah 1: Mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala ke dalam bentuk standar

dan tambahkan variabel slack.

Langkah 2: Fungsi tujuan dan fungsi kendala yang telah diubah ke dalam bentuk

standar disusun ke dalam tabel simpleks awal. Bentuk tabel simpleks

awal adalah sebagai berikut:

Tabel 2. 2 Tabel awal simpleks

Variabel

Basis 𝑧 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 𝑠1 𝑠2 … 𝑠𝑛 bi

𝑍 1 𝑐1 𝑐2 … 𝑐𝑛 0 0 … 0

𝑠1 0 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 1 0 … 0 b1

𝑠2 0 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 0 1 … 0 b2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑠𝑛 0 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … amn 0 0 … 1 bn

Langkah 3: Menentukan kolom kunci. Jika kasus memaksimalkan maka kolom

kunci yang dipilih yaitu koefisien pada baris yang bernilai negatif

terbesar. Jika kasus meminimalkan maka kolom kunci yang dipilih

yaitu koefisien pada baris yang bernilai positif terbesar.

Langkah 4: Menentukan nilai rasio solusi dengan rumus berikut:

𝑅𝑖 =𝑏𝑖

𝑎𝑖𝑘

dengan

R𝑖 = Rasio pada baris ke-i

𝑏𝑖 = Nilai pada ruas kanan sumber daya ke-i

𝑎𝑖𝑘 = Nilai pada entering variable atau nilai pada kolom kunci

baris ke-i kolom ke-k

Langkah 5: Mengubah nilai-nilai baris kunci. Nilai yang ada pada baris kunci

diubah dengan cara membagi nilai tersebut dengan angka kunci

(pivot).

9

Langkah 6: Melakukan operasi baris elementer. Operasi baris elementer di

lakukan pada baris yang bukan merupakan baris kunci. Sehingga

kolom kunci berubah menjadi 0 kecuali angka kunci (pivot).

Langkah 7: Lakukan Langkah 3 sampai Langkah 6 sehingga diperoleh nilai

optimal pada baris. Dikatakan optimal apabila semua nilai pada baris

untuk kasus memaksimalkan bernilai positif atau nol dan nilai pada

baris untuk kasus meminimalkan bernilai negatif atau nol.

2.3 Program Linear Multi Objektif

Program linear multi objektif merupakan program linear yang meminimalkan

atau memaksimalkan fungsi tujuan yang lebih dari satu dengan himpunan

pembatas berbentuk pertidaksamaan [10].

Bentuk umum model persamaan program linear multi objektif dapat dituliskan

sebagai berikut [11] :

1 1

1

Max,Min Z ( ) ( )n

j j

j

x c x c x

⋮

1

Max,Min Z ( ) ( )n

k k j j

j

x c x c x

(2.2)

Dengan fungsi kendala

1

, , ,n

ij j i

j

a x b

𝑖 = 1,2, … , 𝑚 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛

0jx

Keterangan

𝑍 : Fungsi tujuan yang dioptimalkan

𝑥𝑗 : Variabel keputusan ke -𝑗, dengan 𝑗 = 1,2, . . . , 𝑛.

𝑏𝑖 : Kapasitas kendala ke-𝑖.

𝑎𝑖𝑗 : Koefisien fungsi kendala ke-𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 dengan variabel

keputusan ke−𝑗, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛.

10

2.4 Optimal Pareto

Beberapa definisi tentang optimal pareto sebagai berikut [12]:

2.4.1 Definisi Solusi Optimal Lengkap

Berikut diberikan definisi solusi solusi optimal lengkap untuk kasus minimasi.

Sebuah titik *x dikatakan sebagai solusi optimal lengkap, jika dan hanya jika

untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 sedemikian sehingga 𝑧𝑖 ( *x ) ≤ 𝑧𝑖 (𝑥), 𝑖 = 1, . . . , 𝑘.

Namun, secara umum, solusi optimal lengkap yang secara bersamaan

meminimalkan semua fungsi tujuan ganda tidak selalu ada ketika fungsi tujuan

saling bertentangan, maka diperkenalkan konsep solusi baru yang disebut optimal

pareto dalam program linear multi objektif.

2.4.2 Definisi Solusi Optimal Pareto

Berikut diberikan definisi solusi solusi optimal pareto untuk kasus minimasi.

Suatu titik *x dikatakan sebagai solusi optimal pareto jika dan hanya jika tidak

terdapat 𝑥 ∈ 𝑋 lain sehingga 𝑧𝑖(𝑥) ≤ 𝑧𝑖( *x ) untuk semua 𝑖 dan 𝑧𝑗(𝑥) ≠ 𝑧𝑗( *x )

untuk setidaknya satu 𝑗.

Solusi optimal pareto terkadang disebut solusi noninferior karena tidak kalah

dengan solusi layak lainnya. Selain optimalitas pareto, optimalitas pareto lemah

berikut ini didefinisikan sebagai konsep solusi yang sedikit lebih lemah daripada

optimalitas pareto. Solusi optimal pareto juga disebut solusi optimal pareto kuat.

2.4.3 Definisi Solusi Optimal Pareto Lemah

Berikut diberikan definisi solusi solusi optimal pareto lemah untuk kasus

minimasi.

Suatu titik *x dikatakan sebagai solusi optimal Pareto lemah jika dan hanya jika

tidak terdapat 𝑥 ∈ 𝑋 sehingga 𝑧𝑖(𝑥) < 𝑧𝑖( *x ), 𝑖 = 1 ,2, … , 𝑘.

11

Misalkan XCO, XP , dan X WP masing-masing menyatakan himpunan solusi optimal

lengkap, optimal pareto, dan optimal pareto lemah. Dari definisi 2.4.1, 2.4.2 dan

2.4.3, dapat dengan mudah dipahami bahwa hubungan berikut berlaku:

𝑋𝑐𝑜 ⊆ 𝑋𝑝 ⊆ 𝑋𝑤𝑝

2.5 Compromise programming

Metode compromise programming merupakan metode yang digunakan untuk

menyelesaikan permasalahan multi objektif untuk mencari solusi kompromi

terbaik dalam mengoptimalkan dua atau lebih fungsi objektif. Solusi optimal

diperoleh dari nilai ideal fungsi objektif [13].

2.5.1 Konsep Metode Compromise Programming

Pada [14] memperkenalkan konsep solusi kompromi. Solusi kompromi terbaik

adalah solusi yang mendekati titik ideal. Solusi ideal diartikan sebagai solusi yang

secara bersamaan dapat mengoptimalkan semua fungsi tujuan yang mempunyai

daerah yang layak. Solusi ideal digunakan untuk menentukan solusi kompromi

dengan meminimalkan fungsi jarak ke solusi ideal. Untuk itu perlu menghitung

jarak antara setiap solusi dan titik ideal. Nilai ideal untuk tujuan ke−𝑗 disebut 𝑍𝑗∗

sedangkan fungsi tujuan untuk tujuan ke−𝑗 disebut 𝑍𝑗(𝑥). Derajat kedekatan 𝑑𝑗 ,

antara fungsi tujuan dan nilai ideal dapat dirumuskan:

*

j j jd Z Z x (2.3)

ketika fungsi tujuan dimaksimalkan, atau

*

j j jd Z x Z (2.4)

ketika fungsi tujuan diminimalkan. Derajat kedekatan antara tujuan 𝑍𝑗(𝑥) dan

nilai idealnya kemudian ditambahkan menjadi fungsi jarak gabungan. Derajat

kedekatan perlu dinormalisasi untuk menghindari penjumlahan yang tidak berarti.

Tidak hanya itu, jika nilai absolut untuk mencapai tujuan ada yang berbeda, maka

skalarisasi atau normalisasi derajat kedekatan diperlukan untuk menghindari

12

solusi yang bias ke arah tujuan tersebut dan mencapai nilai yang lebih besar. Jadi,

derajat kedekatan yang dinormalisasi 𝑑𝑗𝑛 dirumuskan :

*

*

*

j j

j

j j

nZ Z x

dZ Z

(2.5)

dengan 𝑍∗𝑗 adalah nilai anti ideal untuk tujuan ke−𝑗. Derajat yang dinormalisasi

kedekatannya dibatasi antara 0 dan 1, ketika tujuan mencapai solusi ideal maka

kedekatannya adalah 0. Sebaliknya, ketika tujuan mencapai solusi anti ideal maka

derajat kedekatannya adalah 1. Oleh karena itu, derajat kedekatannya

dinormalisasi untuk mengukur persentase pencapaian suatu tujuan yang

berhubungan dengan nilai ideal. Untuk mengukur jarak antara setiap solusi dan

titik ideal, compromise programming menggunakan metrik 𝐿𝑝 dirumuskan

sebagai berikut:

1/*

1

pp

nj jp

p j

j j

Z Z xL W W

Z Z

(2.6)

atau setara dengan

1/

1

pp

np

p j j

j

L W W d

(2.7)

dengan 𝑊𝑗𝑝 adalah bobot yang mewakili perbedaan antara tujuan ke−𝑗 dan titik

ideal. Rumusan umum untuk bobot sebagai berikut:

1

1n

j

j

W

Fungsi jarak pada persamaan (2.7) dapat diterapkan pada himpunan yang layak

dan efisien alternatif untuk memilih solusi kompromi terbaik. Alternatifnya

dengan nilai terendah untuk 𝐿𝑝(𝑊) akan menjadi solusi kompromi terbaik karena

ini adalah solusi terdekat yang berhubungan dengan titik ideal. Solusi kompromi

terbaik bisa berubah sesuai dengan nilai parameter 𝑝 dan bobot 𝑊𝑗 yang dipilih

oleh pengambil keputusan. Parameter 𝑝 adalah parameter ukuran jarak. Metrik 𝐿1

(yaitu 𝑝 = 1) pada persamaan (2.6) memberikan minimalisasi deviasi relatif

13

terhadap ideal. Jika 𝑍𝑗∗ ≥ 𝑍𝑗(𝑥) untuk setiap 𝑗, karena 𝑍𝑗

∗ adalah komponen vektor

ideal, maka tanda absolut (2.6) bisa dihilangkan dan untuk metrik 𝐿1 kompromi

terbaik atau solusi terdekat titik ideal dapat dirumuskan:

*

*1 *

Min n

j j

j

j j j

Z Z xL W W

Z Z

(2.8)

dengan

x F

dengan 𝐹 adalah solusi layak. Solusi optimal dari masalah program linear untuk

setiap 𝑊1 = 𝑊2 (yaitu saat tujuan sama pentingnya). Selanjutnya untuk metrik

𝐿∞(𝑝 = ∞), deviasi maksimal antar individu diminimalkan. Artinya, ketika 𝑝 =

∞ hanya penyimpangan terbesar yang dihitung. Untuk metrik ini solusi kompromi

terbaik diperoleh dengan menyelesaikan masalah program linear sebagai berikut

[13]:

Min L d (2.9)

dengan

*

1 1

*

1 *1

i

Z Z xW d

Z Z

⋮

*

*

*

n n

n

n n

Z Z xW d

Z Z

x F

Keterangan

𝑊𝑛 : Bobot fungsi tujuan ke – 𝑛

𝑍𝑛∗ : Nilai ideal fungsi tujuan ke – 𝑛

𝑍𝑗(𝑥) : Nilai fungsi tujuan ke – 𝑛

𝑍∗𝑛 : Nilai anti ideal fungsi tujuan ke – 𝑛

𝐹 : Solusi layak

𝑑 : Deviasi terbesar

14

Strategi interaktif untuk mengurangi himpunan solusi kompromi yang

dikemukakan oleh [14] berdasarkan pada konsep displaced ideal dan disebut

metode dari displaced ideal. Dalam pendekatan ini nilai ideal sehubungan dengan

himpunan solusi kompromi baru menggantikan nilai ideal yang sebelumnya, dan

solusi kompromi (yang dikurangi) akhirnya menutup nilai ideal, menghentikan

proses.

Langkah-langkah metode displaced ideal sebagai berikut [13]:

1. Misalkan himpunan solusi kompromi adalah 𝑋.

2. Menentukan titik ideal (𝑍𝑛∗ ) dan anti ideal (𝑍∗𝑛) dari minimal fungsi

tujuan.

3. Himpunan solusi kompromi dapat diperoleh dengan menentukan solusi

pareto optimal yang diperoleh pada persamaan (2.8) dan (2.9).

4. Jika pengambil keputusan dapat menyeleksi solusi akhir himpunan solusi

kompromi maka berhenti. Jika dianggap terlalu besar maka kembali pada

langkah 2.

2.5.2 Contoh Penyelesaian Metode Compromise Programming dalam

Masalah Perencanaan Produksi

Sebuah perusahaan manufaktur ingin memaksimalkan total keuntungan, untuk

menghasilkan dua produk yaitu 𝑃1 dan 𝑃2 dengan memanfaatkan tiga material

berbeda yaitu 𝑀1, 𝑀2, dan 𝑀3. Untuk memproduksi 1 ton produk 𝑃1

membutuhkan 2 ton material 𝑀1, 3 ton material 𝑀2, dan 4 ton material 𝑀3,

sedangkan untuk menghasilkan 1 ton produk 𝑃2 membutuhkan 6 ton material 𝑀1,

2 ton material 𝑀2, dan 1 ton material 𝑀3. Jumlah total bahan yang tersedia

dibatasi masing-masing 27, 16, dan 18 ton untuk 𝑀1, 𝑀2, dan 𝑀3. Produk 𝑃1

menghasilkan keuntungan 3 juta yen per ton, sedangkan 𝑃2 menghasilkan 8 juta

yen per ton (lihat Tabel 2.3). Mengingat keterbatasan bahan tersebut, pihak

perusahaan berusaha mencari tau berapa unit produk 𝑃1 dan 𝑃2 yang harus

diproduksi untuk memaksimalkan total keuntungan. Produk˙𝑃1 menghasilkan 5

unit pencemaran sedangkan 𝑃2 menghasilkan 4 unit pencemaran. Maka dari itu,

manager tidak hanya memaksimalkan keuntungan tetapi juga harus

15

meminimalkan jumlah pencemaran. Misalkan 𝑥1 dan 𝑥2 menunjukkan variabel

keputusan yang mewakili jumlah ton untuk menghasilkan produk 𝑃1 dan 𝑃2.

Dengan menggunakan variabel keputusan, masalah perencanaan produksi dapat

dirumuskan sebagai berikut:

Tabel 2. 3 Kondisi produksi dan keuntungan

Produk 𝑃1 Produk 𝑃2 Jumlah yang tersedia

Material 𝑀1 2 6 27

Material 𝑀2 3 2 16

Material 𝑀3 4 1 18

Keuntungan (juta yen) 3 8

Penyelesaian dengan metode compromise programming

Fungsi Tujuan : 1 1 2Min Z 3 8x x

2 1 2Min Z 5 4x x

Kendala

1 22 6 27x x

1 23 2 16x x

1 24 18x x

1 20, 0x x

Langkah-langkah penyelesaian:

1. Misalkan bobot 𝑊1 = 𝑊2 = 1 dan 𝑋 = {(𝑥1, 𝑥2) ∈ ℝ2|2𝑥1 + 6𝑥2 ≤

27, 3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 16, 4𝑥1 + 𝑥2 ≤ 18, 𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0}.

2. Menentukan titik ideal (𝑍𝑛∗ ) dan anti ideal (𝑍𝑛∗) menggunakan Program

lingo 11.0.

1) Mencari nilai ideal (𝑍1∗) dari fungsi tujuan pertama menggunakan

Program Lingo 11.0 diperoleh :

1 1 2Min Z 3 8x x

16

Kendala

1 22 6 27x x

1 23 2 16x x

1 24 18x x

1 20, 0x x

Diperoleh:

*

1 37Z

Mencari nilai anti ideal (𝑍1∗) dari fungsi tujuan pertama menggunakan

Program Lingo 11.0 yaitu:

1 1 2Max Z 3 8x x

Kendala

1 22 6 27x x

1 23 2 16x x

1 24 18x x

1 20, 0x x

Diperoleh :

1* 0Z

2) Sedangkan untuk mencari nilai ideal (𝑍2∗) dari fungsi tujuan kedua

menggunakan Program Lingo 11.0 yaitu :

2 1 2Min Z 5 4x x

Kendala

1 22 6 27x x

1 23 2 16x x

1 24 18x x

1 20, 0x x

Diperoleh :

*

2 0Z

17

Mencari nilai anti ideal (𝑍2∗) dari fungsi tujuan kedua menggunakan

Program Lingo 11.0 yaitu :

2 1 2Max Z 5 4x x

Kendala

1 22 6 27x x

1 23 2 16x x

1 24 18x x

1 20, 0x x

Diperoleh :

2* 29Z

3. Membangun solusi kompromi dengan menentukan solusi optimal pareto

yang diperoleh pada persamaan (2.8) dan (2.9). Masalah pemrograman dua

tujuan berikut ini dirumuskan:

1) Mencari Min 𝐿1 dari fungsi tujuan pada percobaan 1

1 2 1 2

1

3 8 37 5 4 0Min

29 00 37

x x x xL

Kendala

1 22 6 27x x

1 23 2 16x x

1 24 18x x

1 20, 0x x

Diperoleh:

0,4.5x

2) Mencari 𝑀𝑖𝑛 𝐿∞ dari fungsi tujuan pada percobaan 1

Min L d

Kendala

1 23 8 37d

0 37

x x

18

1 25 4 0

d29 0

x x

1 22 6 27x x

1 23 2 16x x

1 24 18x x

1 20, 0x x

Diperoleh:

0,2.823684x

Dari masalah tersebut, solusi kompromi merupakan garis lurus segmen

antara titik A(−36,18) dan B(−22.589472, 11.294736) dapat dilihat

pada Gambar 2.1, dimana titik A bersesuaian dengan solusi 𝑥 = (0,4.5)

meminimalkan 𝐿1 dari fungsi tujuan dan titik B terkait dengan solusi 𝑥 =

(0,2.823684) meminimalkan 𝐿∞ dari fungsi tujuan.

Gambar 2. 1 Grafik titik ideal dan solusi kompromi

4. Misalkan pengambil keputusan tidak dapat memilih solusi akhir karena

himpunan kompromi dianggap terlalu besar. Maka kembali pada langkah 2

diperoleh :

19

1) Nilai ideal (𝑍1∗) dan anti ideal (𝑍1∗) baru

𝑍1∗ = −36 dan 𝑍1∗ = −22.589472

2) Nilai ideal (𝑍2∗) dan anti ideal (𝑍2∗) baru

𝑍2∗ = 11.294736 dan 𝑍2∗ = 18

Pada langkah 3, masalah pemrograman dua tujuan berikut ini dirumuskan

ulang:

1) Mencari Min 𝐿1 dari fungsi tujuan pada percobaan 2

1 2 1 2

1

3 8 36 5 4 11.294736Min

18 11.29473622.589472 36

x x x xL

Kendala

1 22 6 27x x

1 23 2 16x x

1 24 18x x

1 20, 0x x

Diperoleh:

0,4.5x

2) Mencari Min 𝐿∞ dari fungsi tujuan pada percobaan 2

Min L d

Kendala

1 23 8 36d

22.589472 36

x x

1 25 4 11.294736

d18 11.294736

x x

1 22 6 27x x

1 23 2 16x x

1 24 18x x

1 20, 0x x

20

Diperoleh:

0,3.661842x

Solusi kompromi yang baru merupakan sebuah garis lurus antar titik

A(−36,18) dan C(−29.294736, 14.647368) ditampilkan pada gambar

2.1, dimana titik A bersesuaian dengan solusi 𝑥 = (0, 4.5) meminimalkan

𝐿1 dari fungsi tujuan pada percobaan 2 dan titik C yang sesuai ke solusi

𝑥∗ = (0, 3.661842) meminimalkan 𝐿∞ dari fungsi tujuan pada percobaan

2. Jadi diperoleh solusi kompromi dari masalah tersebut adalah titik

C(−29.294736, 14.647368).

2.6 Investasi

Investasi merupakan komitmen atas sejumlah dana atau sumber daya lainnya yang

dilakukan pada masa sekarang, dengan tujuan akan memperoleh keuntungan

dimasa yang akan datang [15]. Investasi juga berkaitan dengan berbagai macam

aktivitas, seperti menginvestasikan dana pada sektor riil (tanah, emas, mesin, atau

bangunan) maupun aset finansial (deposito, saham, atau obligasi).

Istilah investasi menurut [16], investasi dapat didefinisikan sebagai penundaan

konsumsi sekarang untuk digunakan dalam produksi yang efisien selama periode

tertentu. Investasi adalah penanaman modal disuatu perusahaan, dengan tujuan

agar kekayaan suatu korporasi atau perusahaan bertambah.

2.6.1 Tujuan Investasi

Ada beberapa alasan seseorang melakukan investasi yaitu [15] :

1. Dalam meraih masa depan yang layak, seseorang akan berfikir dan berusaha

dengan keras, serta bertindak dengan bijaksana untuk dapat

mempertahankan apa yang dimilikinya sekarang dan meningkatkan

pendapatan dimasa yang akan datang.

2. Mengurangi tekanan inflasi. Investasi bagi sebagian orang dan perusahaan

merupakan salah satu cara yang dapat dilakukan untuk menghindari diri dari

21

risiko yang mampu menurunkan nilai kekayaan yang diakibatkan dari

pengaruh inflasi.

3. Dorongan untuk menghemat pajak. Beberapa negara terdapat kebijakan

yang dapat mendorong pertumbuhan investasi di masyarakat yaitu melalui

pemberian fasilitas perpajakan kepada masyarakat yang melakukan investasi

pada bidang-bidang tertentu.

2.6.2 Bentuk-Bentuk Investasi

Investasi pada umumnya dibedakan menjadi dua bentuk yaitu [17] :

1. Real Investment

Investasi nyata (real investment) biasanya melibatkan aset yang berwujud

seperti tanah, emas, mesin-mesin atau pabrik, dan bangunan.

2. Financial Investment

Investasi keuangan (financial investment) biasanya melibatkan aset kontrak

tertulis, seperti saham biasa (common stock) dan obligasi (bound).

Perbedaan antara investasi nyata (real investment) dan investasi keuangan

(financial investment) adalah tingkat likuiditas pada kedua investasi tersebut.

Investasi nyata (real investment) relatif lebih sulit dicairkan karena terbentur pada

komitmen jangka panjang antara investor dan perusahaan. Sedangkan investasi

keuangan (financial investment) lebih mudah untuk dicairkan karena dapat

diperjual belikan tanpa terikat oleh waktu.

2.7 Pasar Modal

Pengertian pasar modal secara umum adalah suatu wadah bagi pihak yang

memiliki dana lebih dan pihak yang membutuhkan dana sebagai aternatif

penghimpun dana dengan memperjualbelikan suatu sekuritas. Menurut Undang-

Undang No.8 tahun 1995 tentang Pasar Modal yaitu mendefinisikan pasar modal

sebagai kegiatan yang bersangkutan dengan penawaran umum dan perdagangan

efek, perusahaan publik yang berkaitan dengan efek.

22

Pasar modal pada dasarnya merupakan tempat berbagai pihak, khususnya

perusahaan yang menjual saham (stock) dan obligasi (bond), dengan tujuan dari

hasil penjualan tersebut nantinya akan dipergunakan sebagai tambahan dana atau

untuk memperkuat modal perusahaan [18]. Pasar modal juga merupakan tempat

terjadinya transaksi aset keuangan jangka panjang (long-term financial asset)

yang memiliki jatuh tempo lebih dari satu tahun [19].

2.8 Saham

Saham adalah kertas yang tercantum dengan jelas nilai nominal, nama

perusahaan, dan diikuti dengan hak serta kewajiban yang telah dijelaskan kepada

setiap pemegangnya [18]. Saham merupakan penyertaan modal dalam

kepemilikan suatu perseroan terbatas atau emiten. Pemilik saham merupakan

pemilik sebagian dari perusahaan tersebut [20].

Menurut Widoatmodjo menyatakan bahwa saham adalah tanda penyertaan atau

pemilikan seseorang atau badan dalam suatu perusahaan. Selembar saham adalah

selembar kertas yang menerangkan bahwa pemilik kertas tersebut adalah pemilik

(berapapun porsinya) dari suatu perusahaan yang menerbitkan kertas (saham)

tersebut, sesuai dengan porsi kepemilikannya yang tertera pada saham [21].

2.8.1 Saham Biasa

Saham biasa (common stock) merupakan surat berharga yang dijual oleh suatu

perusahaan yang menjelaskan nilai nominal (rupiah, dollar, yen, dan sebagainya)

dimana pemegangnya diberi hak untuk mengikuti Rapat Umum Pemegang Saham

(RUPS) dan Rapat Umum Pemegang Saham Luar Biasa (RUPSLB) serta berhak

untuk menentukan membeli right issue (penjualan saham terbatas) atau tidak,

yang selanjutnya diakhir tahun akan memperoleh keuntungan dalam bentuk

dividen [22].

23

2.8.2 Saham Preferen

Saham istimewa (preferen stock) merupakan surat berharga yang dijual oleh suatu

perusahaan yang menjelaskan nilai nominal (rupiah, dollar, yen, dan sebagainya)

dimana pemegangnya akan memperoleh pendapatan tetap dalam bentuk dividen

yang akan diterima setiap kuartal (3 bulan) [22].

2.9 Indeks LQ-45

Indeks LQ-45 merupakan nilai kapitalisasi pasar dari 45 saham yang paling liquid

dan memiliki nilai kapitalisasi yang besar. Indeks LQ-45, menggunakan 45 saham

yang terpilih berdasarkan likuiditas perdagangan saham dan disesuaikan setiap

enam bulan (setiap awal Februari dan Agustus). Dengan demikian saham yang

terdapat indeks tersebut akan selalu berubah.

Tujuan indeks LQ-45 yaitu sebagai pelengkap IHSG dan khususnya untuk

menyediakan sarana yang obyektif serta terpercaya bagi analisis keuangan,

manajer investasi, investor, dan pemerhati pasar modal lainnya dalam memonitor

pergerakan harga dari saham-saham yang aktif diperdagangkan.

2.10 Portofolio

Portofolio adalah suatu gabungan dari berbagai instrumen atau saham yang

disusun untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal, jika dirumuskan secara

matematis dalam suatu model investasi terdapat dua fungsi tujuan yang

dipertimbangkan oleh investor yaitu memaksimalkan return dan meminimalkan

koefisien risiko [18].

Portofolio salah satu cara yang dilakukan oleh investor dalam mengalokasikan

sejumlah dana tertentu untuk memperoleh keuntungan yang optimum. Maka

untuk mencapai tujuan tersebut, dapat dirumuskan fungsi tujuan yaitu

meminimalkan koefisien risiko dan memaksimalkan expected return.

24

2.11 Return

Return merupakan keuntungan yang diperoleh investor dari hasil kebijakan

investasinya. Perhitungan return realisasi ini ada dua jenis yaitu diskret dan

kontinu. Return diskret dirumuskan sebagai berikut [20]:

1

1

t tt

t

S SR

S

(2.10)

dengan

𝑅𝑡 : Tingkat pengembalian (return) saham pada periode ke-𝑡

𝑆𝑡 : Harga saham pada periode ke-𝑡

Sedangkan untuk menghitung return kontinu menggunakan rumus :

1

ln ii

i

SR

S

(2.11)

dengan

𝑅𝑖 : Tingkat pengembalian (return) saham pada periode ke-𝑖

𝑆𝑖 : Harga saham pada periode ke-𝑖

2.12 Expected Return

Expected Return merupakan keuntungan yang diharapkan oleh investor di

kemudian hari dari investasinya. Rumus dari Expected Return adalah [21]:

1( )

N

ijj

i

RE R

N

(2.12)

dengan

𝐸(𝑅𝑖) : Return yang diharapkan pada saham 𝑖

𝑅𝑖𝑗 : Return saham 𝑖 pada saat ke-𝑗 dan seterusnya

𝑁 : Banyak periode pengamatan

25

2.13 Variansi

Variansi adalah ukuran dalam perhitungan koefisien risiko saham dengan melihat

return, expected return, dan banyak periode dilakukan pengamatan harga saham.

Varians dari N data return dapat dirumuskan [21]:

2

12

N

ij i

j

i

R E R

N

(2.13)

dengan

𝜎𝑖2 : Nilai variansi saham ke-𝑖

𝑅𝑖𝑗 : Return saham 𝑖 pada saat ke-𝑗 dan seterusnya

𝐸(𝑅𝑖) : Return yang diharapkan pada saham 𝑖

𝑁 : Banyak periode pengamatan

2.14 Kovariansi

Kovariansi adalah pengukur untuk menunjukkan arah pergerakan dua variabel.

Kovarian dirumuskan sebagai [22]:

1Cov ,

N

ij i mj m

j

i m

R E R R E R

R RN

(2.15)

Dengan

𝑅𝑖𝑗 : Return saham 𝑖 pada saat ke-𝑗 dan seterusnya

𝐸(𝑅𝑖) : Return yang diharapkan pada saham 𝑖

𝑅𝑚𝑗 : Return saham 𝑚 pada saat ke-𝑗 dan seterusnya

𝐸(𝑅𝑚) : Return pasar yang diharapkan pada saham 𝑚

𝑁 : Banyak periode pengamatan

26

2.15 Koefisien Risiko

Risiko dalam berinvestasi akan ditanggung oleh investor dapat dilihat dari

koefisien risiko saham. Untuk mencari koefisien risiko dapat menggunakan rumus

sebagai berikut[22]:

2

Cov i m

i

m

R R

(2.16)

dengan

𝛽𝑖 : Koefisien risiko saham ke-𝑖

𝑅𝑚 : Return pasar (diwakili oleh Indeks Harga Saham Gabungan(IHSG))

𝑅𝑚 =𝐼𝐻𝑆𝐺𝑡−𝐼𝐻𝑆𝐺𝑡−1

𝐼𝐻𝑆𝐺𝑡−1 , dengan t = periode pengamatan

𝜎𝑚2 : Varian pasar