bab iii kelas-kelas ring dan...
TRANSCRIPT
33 Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
BAB III
KELAS-KELAS RING DAN IMPLIKASINYA
Dalam bab ini terdapat 10 kelas ring yang dibagi ke dalam tiga macam kelas
ring, yakni kelas ring berdasarkan hasil operasi, kelas ring yang melibatkan
polinom, dan kelas ring yang melibatkan ideal. Selain itu, dibahas juga mengenai
implikasi dari kelas-kelas ring tersebut. Dalam bab ini, semua ring yang dimaksud
merupakan ring dengan elemen kesatuan.
3.1 Kelas-kelas Ring Berdasarkan Hasil Operasi
Dalam subbab ini terdapat enam kelas ring yang akan ditunjukkan hubungan
implikasinya. Keenam kelas ring tersebut adalah kelas ring tereduksi, kelas ring
simetrik, kelas ring reversibel, kelas ring semi-komutatif, kelas ring abelian, dan
kelas ring Dedekind finite.
Kelas ring yang pertama dalam subbab ini adalah kelas dari ring tereduksi,
dengan definisinya sebagai berikut.
Definisi 3.1.1 (Kose et al., 2012: 689)
Suatu ring ๐ disebut ring tereduksi jika ๐2 = 0 maka ๐ = 0, untuk setiap
๐ โ ๐ , atau ekivalen dengan pernyataan bahwa jika ๐ โ 0 maka ๐2 โ 0.
Contoh
Diketahui โค5 merupakan ring.
Perhatikan bahwa
1 5 โ 0 5 โ 1 5 2 = 1 5 โ 0 5,
2 5 โ 0 5 โ 2 5 2 = 4 5 โ 0 5,
3 5 โ 0 5 โ 3 5 2 = 1 5 โ 0 5,
4 5 โ 0 5 โ 4 5 2 = 3 5 โ 0 5.
Jadi, jika ๐ โ 0 5 maka ๐2 โ 0 5 untuk setiap ๐ โ โค5.
โค5 merupakan ring tereduksi.
34
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Kelas ring yang kedua merupakan kelas dari ring simetrik. Berikut ini
merupakan definisi dari ring simetrik.
Definisi 3.1.2 (Pourteharian dan Rakminhov, 2012: 2)
Suatu ring ๐ disebut ring simetrik jika ๐๐๐ = 0 maka ๐๐๐ = 0, untuk setiap
๐, ๐, ๐ โ ๐ .
Contoh
Diketahui bahwa โค6 merupakan ring.
Perhatikan bahwa
0 6 2 6 3 6 = 0 6 โ 2 6 0 6 3 6 = 0 6,
1 6 2 6 3 6 = 0 6 โ 2 6 1 6 3 6 = 0 6,
0 6 3 6 4 6 = 0 6 โ 3 6 0 6 4 6 = 0 6,
1 6 3 6 4 6 = 0 6 โ 3 6 1 6 4 6 = 0 6.
Jadi, jika ๐๐๐ = 0 6, maka ๐๐๐ = 0 6 untuk setiap ๐, ๐, ๐ โ โค6.
โค6 merupakan ring simetrik.
Kelas ring yang ketiga adalah kelas ring reversibel. Berikut ini merupakan
definisi dari ring reversibel.
Definisi 3.1.3 (Pourteharian dan Rakminhov, 2012: 2)
Suatu ring ๐ disebut ring reversibel jika ๐๐ = 0 maka ๐๐ = 0, untuk setiap
๐, ๐ โ ๐ .
Contoh
Pada ring โค6, misalkan ๐๐ = 0 6 untuk suatu ๐, ๐ โ โค6, sehingga terdapat
kemungkinan sebagai berikut:
1. Jika salah satu dari ๐ atau ๐ adalah 0 6, maka jelas ๐๐ = 0 6.
2. Jika ๐, ๐ โ 0 6.
Perhatikan bahwa
2 6 3 6 = 0 6
35
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
= 3 6 2 6,
4 6 3 6 = 0 6
= 3 6 4 6.
Jadi, jika ๐๐ = 0 6, maka ๐๐ = 0 6 untuk setiap ๐, ๐ โ โค6.
โค6 merupakan ring reversibel.
Selanjutnya, kelas ring yang keempat adalah kelas ring semi-komutatif,
dengan definisi sebagai berikut.
Definisi 3.1.4 (Camillo dan Nielsen, 2008: 599)
Suatu ring ๐ disebut ring semi-komutatif jika ๐๐ = 0 maka ๐๐ ๐ = 0, untuk
setiap ๐, ๐ โ ๐ .
Contoh
Pada ring โค4, misalkan ๐๐ = 0 4 untuk suatu ๐, ๐ โ โค4, sehingga terdapat
kemungkinan sebagai berikut:
1. Jika salah satu dari ๐ dan ๐ adalah 0 4.
Misalkan ๐ = 0 4, maka ๐โค4 = 0 4, sehingga ๐โค4๐ = 0 4.
2. Jika ๐, ๐ โ 0 4, maka ๐๐ = 0 4 โ ๐ = ๐ = 2 4.
Perhatikan bahwa
2 4 0 4 2 4 = 0 4,
2 4 1 4 2 4 = 2 4 2 4
= 0 4,
2 4 2 4 2 4 = 0 4 2 4
= 0 4,
2 4 3 4 2 4 = 2 4 2 4
= 0 4.
Jadi, jika ๐๐ = 0 4 maka ๐โค4๐ = 0 4.
โค4 merupakan ring semi-komutatif.
36
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Kelas ring yang kelima dalam subbab ini adalah kelas ring abelian, yang
didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 3.1.5 (Pourteharian dan Rakminhov, 2012: 2)
Suatu ring ๐ disebut ring abelian jika setiap elemen idempotennya merupakan
central, yakni ๐๐ = ๐๐ untuk setiap idempoten ๐ dan ๐ โ ๐ .
Contoh
Pada himpunan bilangan real โ, elemen nilpoten adalah 0 dan 1.
Perhatikan bahwa untuk setiap ๐ โ โ, berlaku
0๐ = 0 = ๐0, dan
1๐ = ๐ = ๐1.
Jadi โ merupakan ring abelian.
Dalam teorema berikut ini ditunjukkan hubungan implikasi dari kelas lima
ring yang telah didefinisikan di atas.
Teorema 3.1.6 (Pourteharian dan Rakminhov, 2012: 3)
Misalkan ๐ suatu ring. Hubungan implikasi pada ๐ berikut ini benar:
Tereduksi โ Simetrik โ Reversibel โ Semi-komutatif โ Abelian.
Bukti
1. Tereduksi โ Simetrik.
Misalkan ๐ suatu ring tereduksi, ๐, ๐, ๐ โ ๐ , sedemikian sehingga ๐๐๐ = 0.
Perhatikan bahwa
๐๐๐ = 0 โ ๐ ๐๐๐ ๐๐ = 0
โ ๐๐๐๐๐๐ = 0
โ ๐๐๐ 2 = 0
โ ๐๐๐ = 0 (karena ๐ tereduksi)
โ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ = 0
โ ๐๐๐๐ 2 = 0
37
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
โ ๐๐๐๐ = 0 (karena ๐ tereduksi)
โ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ = 0
โ ๐๐๐๐๐ 2 = 0
โ ๐๐๐๐๐= 0 (karena ๐ tereduksi)
โ ๐๐๐๐๐ ๐ = 0
โ ๐๐๐ 2 = 0
โ ๐๐๐ = 0 (karena ๐ tereduksi).
Karena ๐๐๐ = 0 mengakibatkan ๐๐๐ = 0 untuk setiap ๐, ๐, ๐ โ ๐ , maka
terbukti ๐ ring simetrik.
2. Simetrik โ Reversibel.
Misalkan ๐ ring simetrik dan ๐, ๐ โ ๐ sedemikian sehingga ๐๐ = 0.
Perhatikan bahwa
๐๐ = 0 โ ๐๐ 1 = 0
โ ๐๐ 1 = 0 (karena ๐ simetrik)
โ ๐๐ = 0.
Karena ๐๐ = 0 mengakibatkan ๐๐ = 0 untuk setiap ๐, ๐ โ ๐ , maka terbukti
๐ ring reversibel.
3. Reversibel โ Semi-komutatif.
Misalkan ๐ suatu ring reversibel dan ๐, ๐ โ ๐ sedemikian sehingga ๐๐ = 0.
Karena ๐ ring reversibel, maka ๐๐ = 0.
Perhatikan bahwa untuk setiap ๐ โ ๐ , berlaku
๐ ๐๐ = 0 โ ๐๐ ๐ = 0
โ ๐ ๐๐ = 0 (karena ๐ reversibel)
โ ๐๐๐ = 0.
Karena ๐๐ = 0 mengakibatkan ๐๐๐ = 0, untuk setiap ๐ โ ๐ , maka ๐๐ ๐ = 0,
sehingga terbukti bahwa ๐ semi-komutatif.
4. Semi-komutatif โ Abelian.
Misalkan ๐ suatu ring semi-komutatif, dan ๐ suatu elemen idempoten dari ๐ .
Perhatikan bahwa untuk setiap ๐ โ ๐ ,
๐2 = ๐ โ ๐2 โ ๐ = 0 (3.1)
38
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
โ ๐ ๐ โ 1 = 0
โ ๐๐ ๐ โ 1 = 0 (karena ๐ semi-komutatif)
โ ๐๐๐ โ ๐๐ = 0
โ ๐๐ = ๐๐๐. (3.2)
Dari (3.1), diperoleh
๐ โ 1 ๐ = 0 โ ๐ โ 1 ๐๐ = 0 (karena ๐ semi-komutatif)
โ ๐๐๐ โ ๐๐ = 0
โ ๐๐๐ = ๐๐. (3.3)
Berdasarkan (3.2) dan (3.3), maka ๐๐ = ๐๐๐ = ๐๐,
akibatnya ๐ merupakan central di ๐ , sehingga ๐ ring abelian.
Jadi terbukti bahwa hubungan implikasi yang dinyatakan di atas adalah benar. โ
Selanjutnya, kelas ring yang terakhir dalam subbab ini adalah kelas ring
Dedekind finite, yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 3.1.7 (Camillo dan Nielsen, 2008: 606)
Suatu ring ๐ disebut ring Dedekind finite jika ๐๐ = 1, maka ๐๐ = 1, untuk
setiap ๐, ๐ โ ๐ .
Contoh
Dapat ditunjukkan bahwa โค5 merupakan ring Dedekind finite.
Perhatikan bahwa
2 5 3 5 = 1 5 โ 3 5 2 5 = 1 5,
4 5 4 5 = 1 5 โ 4 5 4 5 = 1 5.
Jadi โค5 merupakan ring Dedekind finite.
Dalam proposisi berikut ini, ditunjukkan hubungan dari kelas ring abelian dan
kelas ring Dedekind finite.
Proposisi 3.1.8 (Camillo dan Nielsen, 2008: 606)
Jika ๐ merupakan ring abelian, maka ๐ merupakan ring Dedekind finite.
39
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Bukti
Misalkan ๐, ๐ โ ๐ dengan ๐๐ = 1, akan ditunjukkan bahwa ๐๐ = 1.
Karena ๐๐ = 1, maka
๐๐ 2 = 1
= ๐๐,
sehingga ๐๐ merupakan suatu idempoten di ๐ .
Selanjutnya perhatikan bahwa
๐๐ 2 = ๐๐๐๐
= ๐1๐
= ๐๐,
sehingga ๐๐ merupakan suatu idempoten di ๐ .
Karena ๐ ring abelian maka ๐๐ adalah central, dan berdasarkan Lemma 2.1.3,
didapat
๐๐๐ 1 โ ๐๐ = 0 โ ๐๐๐ 1 โ ๐๐ = 0
โ ๐ ๐๐๐ 1 โ ๐๐ = 0
โ ๐๐๐๐ 1 โ ๐๐ = 0
โ 1 1 โ ๐๐ = 0
โ 1 โ ๐๐ = 0
โ ๐๐ = 1.
Akibatnya, jika ๐๐ = 1, maka ๐๐ = 1, untuk setiap ๐, ๐ โ ๐ .
Jadi terbukti, jika ๐ ring abelian maka ๐ merupakan ring Dedekind finite. โ
Jadi dalam subbab ini telah ditunjukkan hubungan implikasi dari keenam
kelas ring tersebut. Dalam subbab berikutnya dijelaskan kelas ring yang lainnya.
3.2 Kelas-kelas Ring Melibatkan Polinom
Dalam subbab ini terdapat dua kelas ring yang dalam definisinya melibatkan
polinom, dan akan ditunjukkan hubungan implikasinya. Kedua kelas ring tersebut
yakni kelas ring McCoy dan kelas ring Armendariz, dengan definisinya sebagai
berikut.
40
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Definisi 3.2.1 (Camillo dan Nielsen, 2008: 599)
Suatu ring ๐ disebut ring McCoy kanan jika untuk setiap polinom tak nol di
๐ [๐ฅ], yakni
๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ + โฏ+ ๐๐๐ฅ๐ , dan
๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ + โฏ+ ๐๐๐ฅ๐ ,
sedemikian sehingga
๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = 0,
maka terdapat suatu elemen tak nol ๐ โ ๐ sedemikian sehingga ๐ ๐ฅ ๐ = 0.
Suatu ring ๐ disebut ring McCoy kiri jika untuk setiap polinom tak nol di
๐ [๐ฅ], yakni ๐ ๐ฅ ,๐ ๐ฅ sedemikian sehingga ๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = 0, maka terdapat suatu
elemen tak nol ๐ โ ๐ sedemikian sehingga ๐ ๐ ๐ฅ = 0.
Suatu ring ๐ disebut ring McCoy jika ๐ merupakan ring McCoy kanan dan
McCoy kiri.
Ring berikut ini merupakan bentuk khusus dari ring McCoy dimana
polinomnya merupakan polinom linier.
Definisi 3.2.2 (Camillo dan Nielsen, 2008: 606)
Suatu ring ๐ disebut ring McCoy linier kanan jika untuk setiap polinom linier
tak nol di ๐ [๐ฅ], yakni
๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ, dan
๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ,
sedemikian sehingga
๐(๐ฅ)๐(๐ฅ) = 0,
maka terdapat suatu elemen tak nol ๐ โ ๐ sedemikian sehingga ๐(๐ฅ)๐ = 0.
Suatu ring ๐ disebut ring McCoy linier kiri jika untuk setiap polinom linier
tak nol di ๐ [๐ฅ], yakni ๐ ๐ฅ ,๐(๐ฅ) sedemikian sehingga ๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = 0, maka
terdapat suatu elemen tak nol ๐ โ ๐ sedemikian sehingga ๐ ๐ ๐ฅ = 0.
Jika ring ๐ merupakan ring McCoy linier kanan dan McCoy linier kiri, maka
ring ๐ disebut ring McCoy linier.
41
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Contoh
Diketahui bahwa ๐2(โ) merupakan ring. Misalkan dua polinom atas ๐2 โ
yakni ๐ ๐ฅ = 1 00 0
+ โ1 10 0
๐ฅ, dan ๐ ๐ฅ = 0 00 โ1
+ 0 10 1
๐ฅ.
Perhatikan bahwa
๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = 1 00 0
+ โ1 10 0
๐ฅ 0 00 โ1
+ 0 10 1
๐ฅ
= 1 00 0
0 00 โ1
+ 0 10 1
๐ฅ
+ โ1 10 0
๐ฅ 0 00 โ1
+ 0 10 1
๐ฅ
= 1 00 0
0 00 โ1
+ 1 00 0
0 10 1
๐ฅ
+ โ1 10 0
๐ฅ 0 00 โ1
+ โ1 10 0
๐ฅ 0 10 1
๐ฅ
= 0 00 0
+ 0 00 0
๐ฅ + 0 00 0
๐ฅ2
= 0 00 0
.
Andaikan terdapat ๐ = ๐ ๐๐ ๐
โ 0 00 0
โ ๐2 โ , sedemikian sehingga
๐ ๐ฅ ๐ = 0 00 0
. Perhatikan bahwa
0 00 0
= ๐ ๐ฅ ๐ = 1 00 0
+ โ1 10 0
๐ฅ ๐ ๐๐ ๐
= ๐ ๐0 0
+ โ๐ + ๐ โ๐ + ๐
0 0 ๐ฅ
โ ๐ ๐0 0
= 0 00 0
dan โ๐ + ๐ โ๐ + ๐0 0
= 0 00 0
โ ๐ = 0, ๐ = 0, dan โ๐ + ๐ = 0,โ๐ + ๐ = 0
โ ๐ = ๐ = ๐ = ๐ = 0
โ ๐ = 0 00 0
.
Ini kontradiksi, akibatnya tidak ada ๐ โ 0 00 0
yang memenuhi ๐ ๐ฅ ๐ = 0.
Jadi ๐2(โ) bukanlah ring McCoy linier.
42
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Proposisi 3.2.3 (Camillo dan Nielsen, 2008: 607)
Semua ring semi-komutatif adalah ring McCoy linier.
Bukti
Misalkan ๐ ring semi-komutatif, dan dua polinom linier tak nol, yakni
๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ, ๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ โ ๐ [๐ฅ],
dengan ๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = 0, sehingga
๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ ๐0 + ๐1๐ฅ
= ๐0๐0 + ๐0๐1 + ๐1๐0 ๐ฅ + ๐1๐1๐ฅ2
= 0
โ ๐0๐0 = 0, (3.4)
๐0๐1 + ๐1๐0 = 0, (3.5)
๐1๐1 = 0. (3.6)
Akan ditunjukkan terdapat ๐, ๐ โ 0 โ ๐ , sedemikian sehingga
๐ ๐ฅ ๐ = ๐ ๐ ๐ฅ = 0.
Kondisi 1:
Jika ๐0 = 0 dan ๐0 โ 0, maka ๐ ๐ฅ = ๐1๐ฅ, sehingga
๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = ๐1๐ฅ (๐0 + ๐1๐ฅ)
= ๐1๐0๐ฅ + ๐1๐1๐ฅ2
= 0.
Karena ๐1๐0๐ฅ + ๐1๐1๐ฅ2 = 0, maka ๐1๐0 = 0, sehingga
๐ ๐ฅ ๐0 = ๐1๐ฅ ๐0
= ๐1๐0๐ฅ
= 0,
๐ ๐ฅ ๐1 = ๐1๐ฅ ๐1
= ๐1๐1๐ฅ
= 0,
๐1 ๐ ๐ฅ = ๐1 ๐0 + ๐1๐ฅ
= ๐1๐0 + ๐1๐1๐ฅ
= 0.
43
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Akibatnya terdapat ๐0,๐1,๐1 โ 0 โ ๐ sedemikian sehingga
๐ ๐ฅ ๐0 = ๐ ๐ฅ ๐1 = ๐1 ๐ ๐ฅ = 0.
Kondisi 2:
Jika, ๐0 โ 0 dan ๐0 = 0 maka ๐ ๐ฅ = ๐1๐ฅ, sehingga
๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ ๐1๐ฅ = 0
โ ๐0๐1๐ฅ + ๐1๐1๐ฅ2 = 0
โ ๐0๐1 = 0 (3.7)
โ ๐0๐1 + ๐1๐1๐ฅ = 0
โ ๐0 + ๐1๐ฅ ๐1 = 0
โ ๐ ๐ฅ ๐1 = 0.
Berdasarkan (3.7) dan (3.6), maka
๐0 ๐ ๐ฅ = ๐0๐1๐ฅ = 0, dan
๐1 ๐ ๐ฅ = ๐1๐1๐ฅ = 0.
Akibatnya terdapat ๐1,๐0,๐1 โ 0 โ ๐ sedemikian sehingga
๐ ๐ฅ ๐1 = ๐0 ๐ ๐ฅ = ๐1 ๐ ๐ฅ = 0.
Kondisi 3:
Jika ๐0 โ 0, ๐0 โ 0, dan ๐ ๐ฅ ๐0 = 0, maka
0 = ๐ ๐ฅ ๐0
= ๐0 + ๐1๐ฅ ๐0
= ๐0๐0 + ๐1๐0๐ฅ
โ ๐1๐0 = 0. (3.8)
Dari (3.5) dan (3.8), didapat
๐0๐1 = 0, (3.9)
sehingga
๐0 ๐ ๐ฅ = ๐0 ๐0 + ๐1๐ฅ
= ๐0๐0 + ๐0๐1๐ฅ
= 0.
Dari (3.6), (3.8), dan (3.9), didapat
๐1 ๐ ๐ฅ = ๐1 ๐0 + ๐1๐ฅ
= ๐1๐0 + ๐1๐1๐ฅ
44
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
= 0,
๐ ๐ฅ ๐1 = ๐0 + ๐1๐ฅ ๐1
= ๐0๐1 + ๐1๐1๐ฅ
= 0.
Akibatnya terdapat ๐0,๐1,๐0,๐1 โ 0 โ ๐ , sedemikian sehingga
๐ ๐ฅ ๐0 = ๐ ๐ฅ ๐1 = ๐0 ๐ ๐ฅ = ๐1 ๐ ๐ฅ = 0.
Kondisi 4:
Jika ๐0 โ 0 dan ๐0 โ 0, dan ๐ ๐ฅ ๐0 โ 0 maka
๐ ๐ฅ ๐0 = ๐0 + ๐1๐ฅ ๐0
= ๐0๐0 + ๐1๐0๐ฅ โ 0
โ ๐0๐0 โ 0 atau ๐1๐0 โ 0
โ ๐1๐0 โ 0. (3.10)
Dari (3.5) dan (3.10), didapat
๐0๐1 โ 0. (3.11)
Dari (3.4), (3.6), dan karena ๐ semi-komutatif maka
๐0๐1๐0 = 0, (3.12)
๐0๐1๐0 = 0, (3.13)
๐1๐0๐1 = 0, (3.14)
๐1๐0๐1 = 0. (3.15)
Jika ๐1 dikalikan (3.5), didapat
๐1 ๐0๐1 + ๐1๐0 = ๐10 โ ๐1๐0๐1 + ๐1๐1๐0 = 0
โ 0 + ๐1๐1๐0 = 0 (berdasarkan (3.14))
โ ๐1๐1๐0 = 0. (3.16)
Jika (3.5) dikalikan ๐1, didapat
๐1๐0 + ๐0๐1 ๐1 = 0๐1 โ ๐1๐0๐1 + ๐0๐1๐1 = 0
โ 0 + ๐0๐1๐1 = 0 (berdasarkan (3.15))
โ ๐0๐1๐1 = 0. (3.17)
Berdasarkan (3.12) dan (3.16), maka
๐0๐1๐0 + ๐1๐1๐0 ๐ฅ = 0 โ ๐0 + ๐1๐ฅ ๐1๐0 = 0
โ ๐ ๐ฅ ๐1๐0 = 0.
45
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Berdasarkan (3.13) dan (3.17), maka
๐0๐1๐0 + ๐0๐1๐1 ๐ฅ = 0 โ ๐0๐1 ๐0 + ๐1 ๐ฅ = 0
โ ๐0๐1 ๐ ๐ฅ = 0.
Berdasarkan (3.10) dan (3.11), maka terdapat ๐1๐0,๐0๐1 โ 0 โ ๐ ,
sedemikian sehingga
๐ ๐ฅ ๐1๐0 = ๐0๐1 ๐ ๐ฅ = 0.
Dari masing-masing kondisi di atas, terbukti terdapat ๐, ๐ โ 0 โ ๐ , sedemikian
sehingga ๐ ๐ฅ ๐ = 0 dan ๐ ๐ ๐ฅ = 0, artinya ๐ merupakan ring McCoy linier.
Jadi terbukti jika ๐ merupakan ring semi-komutatif, maka ๐ merupakan ring
McCoy linier. โ
Dalam proposisi berikut ini ditunjukkan hubungan dari kelas ring McCoy
linier kanan dengan kelas ring Dedekind finite.
Proposisi 3.2.4 (Camillo dan Nielsen, 2008: 606)
Jika ๐ merupakan suatu ring McCoy linier kanan, maka ๐ merupakan ring
Dedekind finite.
Bukti
Akan dibuktikan dengan kontrapositif, yakni jika ๐ bukan ring Dedekind
finite, maka ๐ bukan ring McCoy linier kanan.
Karena ๐ bukan Dedekind finite, maka ada ๐, ๐ โ ๐ dengan ๐๐ = 1, tetapi
๐๐ โ 1.
๐๐ โ 1 โ 1 โ ๐๐ โ 0,
โ ๐ + 1 โ ๐๐ ๐ฅ โ 0, dan
1 โ ๐๐ โ ๐ 1โ ๐๐ ๐ฅ โ 0.
Misalkan
๐ ๐ฅ = ๐ + 1 โ ๐๐ ๐ฅ โ 0 โ ๐ [๐ฅ], dan
๐ ๐ฅ = 1 โ ๐๐ โ ๐ 1 โ ๐๐ ๐ฅ โ 0 โ ๐ [๐ฅ],
sehingga
46
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = ๐ + 1 โ ๐๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ
= ๐ + ๐ฅ โ ๐๐๐ฅ ๐ ๐ฅ
= ๐ ๐ ๐ฅ + ๐ฅ ๐ ๐ฅ + โ๐๐๐ฅ ๐ ๐ฅ .
Perhatikan bahwa
๐ ๐ ๐ฅ = ๐ 1 โ ๐๐ โ ๐ 1 โ ๐๐ ๐ฅ
= ๐ 1 โ ๐๐ โ ๐๐ฅ + ๐๐๐๐ฅ
= ๐ โ ๐๐๐ โ ๐๐๐ฅ + ๐๐๐๐๐ฅ
= ๐ โ ๐ โ ๐ฅ + ๐๐๐ฅ
= โ๐ฅ + ๐๐๐ฅ . (3.18)
๐ฅ ๐ ๐ฅ = ๐ฅ 1 โ ๐๐ โ ๐ 1 โ ๐๐ ๐ฅ
= ๐ฅ 1 โ ๐๐ โ ๐๐ฅ + ๐๐๐๐ฅ
= ๐ฅ โ ๐๐๐ฅ โ ๐๐ฅ2 + ๐๐๐๐ฅ2 . (3.19)
โ๐๐๐ฅ ๐ ๐ฅ = โ๐๐๐ฅ 1 โ ๐๐ โ ๐ 1 โ ๐๐ ๐ฅ
= โ๐๐๐ฅ 1 โ ๐๐ โ ๐๐ฅ + ๐๐๐๐ฅ
= โ๐๐๐ฅ + ๐๐๐๐๐ฅ + ๐๐๐๐ฅ2 โ ๐๐๐๐๐๐ฅ2
= โ๐๐๐ฅ + ๐๐๐ฅ + ๐๐ฅ2 โ ๐๐๐๐ฅ2
= (๐๐ฅ2 โ ๐๐๐๐ฅ2). (3.20)
Dari (3.18), (3.19), dan (3.20), didapat
๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = ๐ ๐ ๐ฅ + ๐ฅ ๐ ๐ฅ + โ๐๐๐ฅ ๐ ๐ฅ
= โ๐ฅ + ๐๐๐ฅ + ๐ฅ โ ๐๐๐ฅ โ ๐๐ฅ2 + ๐๐๐๐ฅ2 + (๐๐ฅ2 โ ๐๐๐๐ฅ2)
= โ๐ฅ + ๐ฅ + ๐๐๐ฅ โ ๐๐๐ฅ โ ๐๐ฅ2 + ๐๐ฅ2 + ๐๐๐๐ฅ2 โ ๐๐๐๐ฅ2
= 0.
Selanjutnya andaikan bahwa ๐ merupakan ring McCoy linier kanan, sehingga
terdapat ๐ โ 0 โ ๐ sedemikian sehingga ๐ ๐ฅ ๐ = 0.
Perhatikan bahwa untuk setiap ๐ โ ๐ , berlaku:
0 = ๐ ๐ฅ ๐ = ๐ + 1 โ ๐๐ ๐ฅ ๐
= ๐๐ + 1 โ ๐๐ ๐ ๐ฅ
โ ๐๐ = 0 dan 1 โ ๐๐ ๐ = 0
โ ๐ โ ๐๐๐ = 0
47
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
โ ๐ โ ๐0 = 0
โ ๐ โ 0 = 0
โ ๐ = 0.
Ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa terdapat ๐ โ 0 โ ๐ sedemikian sehingga
๐ ๐ฅ ๐ = 0. Akibatnya tidak ada ๐ โ 0 โ ๐ yang memenuhi ๐ ๐ฅ ๐ = 0, sehingga
๐ bukan ring McCoy linier kanan.
Jadi terbukti, jika ๐ bukan ring Dedekind finite, maka ๐ bukan ring McCoy linier
kanan. โ
Kelas ring yang selanjutnya adalah kelas ring Armendariz, yang didefinisikan
sebagai berikut.
Definisi 3.2.5 (Camillo dan Nielsen, 2008: 599)
Suatu ring ๐ disebut ring Armendariz jika untuk setiap ๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ +
โฏ+ ๐๐๐ฅ๐ dan ๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ + โฏ+ ๐๐๐ฅ
๐ โ ๐ [๐ฅ] sedemikian sehingga
๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = 0, maka ๐๐๐๐ = 0 untuk setiap ๐ = 0, 1,โฆ ,๐ dan ๐ = 0, 1,โฆ ,๐.
Contoh
Misalkan ๐ ๐ฅ ,๐ ๐ฅ โ โค ๐ฅ dengan
๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ + โฏ+ ๐๐๐ฅ๐ , dan
๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ + โฏ+ ๐๐๐ฅ๐ ,
sedemikian sehingga ๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = 0.
Karena โค adalah daerah integral, maka โค[๐ฅ] juga adalah daerah integral, sehingga
๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = 0 โ ๐ ๐ฅ = 0 atau ๐ ๐ฅ = 0.
Pilih ๐ ๐ฅ = 0, perhatikan bahwa
0 = ๐ ๐ฅ
= ๐0 + ๐1๐ฅ + โฏ+ ๐๐๐ฅ๐
โ ๐0 = ๐1 = โฏ = ๐๐ = 0
โ ๐๐๐๐ = 0, untuk setiap ๐, ๐.
Jadi โค merupakan ring Armendariz.
48
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Ring berikut ini merupakan bentuk khusus dari ring Armendariz dimana
polinomnya merupakan polinom linier.
Definisi 3.2.6 (Antoine, 2009: 4132)
Suatu ring ๐ disebut Armendariz linier jika untuk setiap ๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ,
dan ๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ โ ๐ [๐ฅ], sedemikian sehingga ๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = 0, maka
๐๐๐๐ = 0, untuk ๐, ๐ โ {0,1}.
Contoh
Misalkan ๐ ๐ฅ = ๐0 3 + ๐1 3๐ฅ, dan
๐ ๐ฅ = ๐0 3 + ๐1 3๐ฅ โ โค3 ๐ฅ ,
sedemikian sehingga ๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = 0, akibatnya
๐0๐0 3 = 0 3, (3.21)
๐1๐0 + ๐0๐1 3 = 0 3, (3.22)
๐1๐1 3 = 0 3. (3.23)
Karena ๐(๐ฅ) dan ๐(๐ฅ) merupakan polinom berderajat 1, maka
๐1 3 โ 0 3 dan
๐1 3 โ 0 3.
Dari (3.21), mengakibatkan ๐0 3 = 0 3 atau ๐0 3 = 0 3.
Kasus 1: Jika ๐0 3 = 0 3 dan ๐0 3 = 0 3, maka
๐1๐0 3 = 0 3,
๐0๐1 3 = 0 3.
Kasus 2: Jika salah satunya tak nol.
Misalkan ๐0 3 โ 0 3 dan ๐0 3 = 0 3, maka
๐1๐0 3 = ๐1 3 ๐0 3
= 0 3,
dan berdasarkan (3.22), maka
0 3 = ๐1๐0 3 + ๐0๐1 3
= 0 3 + ๐0๐1 3
= ๐0๐1 3.
49
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Dari kedua kasus tersebut, didapat
๐1๐0 3 = ๐0๐1 3 = 0 3. (3.24)
Berdasarkan (3.21), (3.23), dan (3.24), maka
๐0๐0 3 = ๐1๐1 3 = ๐1๐0 3 = ๐0๐1 3 = 0 3.
Jadi โค3 merupakan ring Armendariz linier.
Dalam proposisi berikut ini ditunjukkan hubungan dari kelas ring Armendariz
dengan kelas ring tereduksi.
Proposisi 3.2.7 (Pourteharian dan Rakminhov, 2012: 2)
Jika ring ๐ merupakan ring tereduksi, maka ring ๐ merupakan ring
Armendariz.
Bukti
Misalkan ๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ + โฏ+ ๐๐๐ฅ๐ , dan
๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ + โฏ+ ๐๐๐ฅ๐ โ ๐ [๐ฅ],
sedemikian sehingga ๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = 0.
Perhatikan bahwa
๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ + โฏ+ ๐๐๐ฅ๐ ๐0 + ๐1๐ฅ + โฏ+ ๐๐๐ฅ
๐
= ๐0๐0 + ๐0๐1 + ๐1๐0 ๐ฅ + ๐0๐2 + ๐1๐1 + ๐2๐0 ๐ฅ2 + โฏ
+ ๐๐๐๐๐ฅ๐+๐
= 0,
โ ๐0๐0 = 0, (konstanta)
๐0๐1 + ๐1๐0 = 0, (koefisien ๐ฅ)
๐0๐2 + ๐1๐1 + ๐2๐0 = 0, (koefisien ๐ฅ2)
โฎ
๐๐๐๐๐ฅ๐+๐ = 0. (koefisien ๐ฅ๐+๐)
Karena ๐ merupakan ring tereduksi, dan berdasarkan Teorema 3.1.6, maka ๐
merupakan ring reversibel, sehingga ๐0๐0 = 0 mengakibatkan ๐0๐0 = 0.
Perhatikan bahwa
50
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
1. Persamaan untuk koefisien ๐ฅ:
๐0๐1 + ๐1๐0 = 0 โ ๐0 ๐0๐1 + ๐1๐0 = 0
โ ๐0๐0๐1 + ๐0๐1๐0 = 0
โ 0๐1 + ๐0๐1๐0 = 0
โ ๐0๐1๐0 = 0
โ ๐1 ๐0๐1๐0 = 0
โ ๐1๐0 2 = 0
โ ๐1๐0 = 0 (karena ๐ ring tereduksi)
โ ๐0๐1 = 0. (karena ๐ ring reversibel)
Persamaan yang tersisa untuk koefisien ๐ฅ adalah
๐0๐1 = 0.
2. Persamaan untuk koefisien ๐ฅ2:
๐0๐2 + ๐1๐1 + ๐2๐0 = 0 โ ๐0 ๐0๐2 + ๐1๐1 + ๐2๐0 = 0
โ ๐0๐0๐2 + ๐2๐0๐1๐1 + ๐2๐0๐2๐0 = 0
โ 0๐2 + 0๐1 + ๐0๐2๐0 = 0
โ ๐0๐2๐0 = 0
โ ๐2 ๐0๐2๐0 = 0
โ ๐2๐0 2 = 0
โ ๐2๐0 = 0 (karena ๐ ring tereduksi)
โ ๐0๐2 = 0. (karena ๐ ring reversibel)
Persamaan yang tersisa untuk koefisien ๐ฅ2 adalah
๐0๐2 + ๐1๐1 = 0.
3. Persamaan untuk koefisien ๐ฅ3:
๐0๐3 + ๐1๐2 + ๐2๐1 + ๐3๐0 = 0
โ ๐0 ๐0๐3 + ๐1๐2 + ๐2๐1 + ๐3๐0 = 0
โ ๐0๐0๐3 + ๐0๐1๐2 + ๐0๐2๐1 + ๐0๐3๐0 = 0
โ 0๐3 + 0๐2 + 0๐1 + ๐0๐3๐0 = 0
โ ๐0๐3๐0 = 0
โ ๐3 ๐0๐3๐0 = 0
โ ๐3๐0 2 = 0
51
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
โ ๐3๐0 = 0 (karena ๐ ring tereduksi)
โ ๐0๐3 = 0. (karena ๐ ring reversibel)
Persamaan yang tersisa untuk koefisien ๐ฅ3 adalah
๐0๐3 + ๐1๐2 + ๐2๐1 = 0.
4. Jika langkah 1, 2, dan 3 diteruskan sampai koefisien ๐ฅ๐, maka akan didapat
๐๐๐0 = 0, akibatnya ๐๐๐0 = 0, untuk setiap 1 โค ๐ โค ๐, dan
persamaan yang tersisa untuk koefisien ๐ฅ๐ adalah
๐0๐๐ + ๐1๐๐โ1 + โฏ + ๐๐โ1๐1 = 0.
Jadi persamaan-persaman yang tersisa untuk masing-masing koefisien adalah
๐0๐1 = 0,
๐0๐2 + ๐1๐1 = 0,
๐0๐3 + ๐1๐2 + ๐2๐1 = 0,
โฎ
๐0๐๐ + ๐1๐๐โ1 + โฏ+ ๐๐โ1๐1 = 0.
Karena ๐0๐1 = 0, maka ๐1๐0 = 0 (๐ ring reversibel), dan dengan cara yang
serupa seperti keempat langkah di atas, akan didapat
๐๐๐1 = 0, untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐ โ 1.
Jika diteruskan, maka akan didapat ๐๐๐๐ = 0 untuk setiap 0 โค ๐ โค ๐, 0 โค ๐ โค ๐,
sehingga ๐ merupakan ring Armendariz.
Jadi terbukti jika ๐ merupakan ring tereduksi, maka ๐ merupakan ring
Armendariz. โ
Selanjutnya, Proposisi 3.2.7 dan Akibat 3.2.8 berikut ini menunjukkan
hubungan kelas ring Armendariz dengan kelas ring McCoy dan kelas ring abelian.
Proposisi 3.2.8 (Camillo dan Nielsen, 2008: 600)
Jika ring ๐ merupakan ring Armendariz, maka ring ๐ merupakan ring
McCoy.
Bukti
52
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Misalkan ๐ ๐ฅ ,๐ ๐ฅ โ ๐ ๐ฅ merupakan polinom tak nol, sedemikian
sehingga ๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = 0.
Akan ditunjukkan bahwa ๐ merupakan ring McCoy linier kanan dan McCoy
linier kiri, yakni terdapat ๐, ๐ โ 0 โ ๐ , sedemikian sehingga
๐ ๐ฅ ๐ = 0 dan ๐ ๐ ๐ฅ = 0.
Karena ๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ + โฏ+ ๐๐๐ฅ๐ โ 0, dan
๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ + โฏ+ ๐๐๐ฅ๐ โ 0,
maka ๐๐ โ 0 dan ๐๐ โ 0.
Karena ๐ Armendariz, maka ๐๐๐๐ = 0 untuk setiap ๐ dan ๐.
1. Dari ๐๐๐๐ = 0, pilih ๐ = ๐ sehingga ๐๐๐๐ = 0 untuk setiap ๐.
Akibatnya ๐0๐๐ + ๐1๐๐๐ฅ+ โฏ+ ๐๐๐๐๐ฅ๐ = 0 โ ๐ ๐ฅ ๐๐ = 0.
Karena ada ๐๐ โ 0 โ ๐ sedemikian sehingga ๐ ๐ฅ ๐๐ = 0,
maka ๐ adalah ring McCoy kanan.
2. Dari ๐๐๐๐ = 0, pilih ๐ = ๐ sehingga ๐๐๐๐ = 0 untuk setiap ๐.
Akibatnya ๐๐๐0 + ๐๐๐1๐ฅ+ โฏ+ ๐๐๐๐๐ฅ๐ = 0 โ ๐๐ ๐ ๐ฅ = 0.
Karena ada ๐๐ โ 0 โ ๐ sedemikian sehingga ๐๐ ๐ ๐ฅ = 0,
maka ๐ adalah ring McCoy kiri.
Karena ๐ adalah ring McCoy kanan dan McCoy kiri, maka ๐ adalah ring McCoy.
Jadi terbukti jika ๐ ring Armendariz maka ๐ merupakan ring McCoy. โ
Akibat 3.2.9
Jika ๐ merupakan ring Armendariz linier, maka ๐ merupakan ring McCoy
linier.
Bukti
Misalkan ๐ ๐ฅ , ๐ ๐ฅ polinom linier tak nol di ๐ [๐ฅ]
๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ โ 0, dan ๐ ๐ฅ = ๐0 + ๐1๐ฅ โ 0. (3.25)
Akan ditunjukkan bahwa terdapat ๐, ๐ โ 0 โ ๐ [๐ฅ], sedemikian sehingga
๐ ๐ฅ ๐ = ๐ ๐ ๐ฅ = 0.
Karena ๐ merupakan ring Armendariz linier, maka
53
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
๐0๐0 = ๐0๐1 = ๐1๐0 = ๐1๐1 = 0.
Berdasarkan (3.25), maka ๐1,๐1 โ 0.
Perhatikan bahwa
๐ ๐ฅ ๐1 = ๐0 + ๐1๐ฅ ๐1
= ๐0๐1 + ๐1๐1๐ฅ
= 0.
๐1 ๐ ๐ฅ = ๐1(๐0 + ๐1๐ฅ)
= ๐1๐0 + ๐1๐1๐ฅ
= 0.
Karena ๐1,๐1 โ 0 dan ๐ ๐ฅ ๐1 = ๐1 ๐ ๐ฅ = 0, maka terbukti bahwa ๐
merupakan ring McCoy linier.
Jadi jika ๐ adalah ring Armendariz linier, maka ๐ adalah ring McCoy linier. โ
Proposisi 3.2.10 (Camillo dan Nielsen, 2008: 611)
Jika ๐ adalah ring Armendariz linier, maka ๐ adalah ring abelian.
Bukti
Akan dibuktikan dengan kontrapositif, yakni jika ๐ bukan ring abelian maka
๐ bukan ring Armendariz linier.
Karena ๐ bukan ring abelian, maka terdapat suatu idempoten ๐ yang bukan
central di ๐ , sehingga ๐ ๐๐ โ ๐๐ ๐, untuk suatu ๐ โ ๐ .
Perhatikan bahwa
๐ ๐๐ โ ๐๐ ๐ โ ๐2๐ โ ๐๐๐
โ ๐๐ โ ๐๐๐
โ ๐๐ โ ๐๐๐ โ 0. (3.26)
Misalkan
๐ ๐ฅ = ๐ โ ๐๐ 1 โ ๐ ๐ฅ, dan
๐ ๐ฅ = 1 โ ๐ + ๐๐ 1 โ ๐ ๐ฅ.
Perhatikan bahwa
๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = ๐ โ ๐๐ 1 โ ๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ
54
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
= ๐ ๐ ๐ฅ โ ๐๐ 1 โ ๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ
= ๐ ๐ ๐ฅ โ ๐๐๐ฅ โ ๐๐๐๐ฅ ๐ ๐ฅ
= ๐ ๐ ๐ฅ + โ๐๐๐ฅ + ๐๐๐๐ฅ ๐ ๐ฅ
= ๐ ๐ ๐ฅ + โ๐๐๐ฅ ๐ ๐ฅ + ๐๐๐๐ฅ ๐ ๐ฅ .
๐ ๐ ๐ฅ = ๐ 1 โ ๐ + ๐๐ 1 โ ๐ ๐ฅ
= ๐ 1 โ ๐ + ๐ ๐๐ 1 โ ๐ ๐ฅ
= ๐ โ ๐2 + ๐2๐๐ฅ โ ๐2๐๐๐ฅ
= ๐ โ ๐ + (๐๐๐ฅ โ ๐๐๐๐ฅ) (karena ๐ idempoten)
= ๐๐๐ฅ โ ๐๐๐๐ฅ. (3.27)
โ๐๐๐ฅ ๐ ๐ฅ = โ๐๐๐ฅ 1 โ ๐ + ๐๐ 1 โ ๐ ๐ฅ
= โ๐๐๐ฅ 1 โ ๐ + โ๐๐๐ฅ ๐๐ 1 โ ๐ ๐ฅ
= โ๐๐๐ฅ + ๐๐๐๐ฅ + โ๐๐๐๐๐ฅ2 + ๐๐๐๐๐๐ฅ2 . (3.28)
๐๐๐๐ฅ ๐ ๐ฅ = ๐๐๐๐ฅ 1 โ ๐ + ๐๐ 1 โ ๐ ๐ฅ
= ๐๐๐๐ฅ 1 โ ๐ + ๐๐๐๐ฅ ๐๐ 1 โ ๐๐ฅ
= ๐๐๐๐ฅ โ ๐๐๐๐๐ฅ + (๐๐๐๐๐๐ฅ2 โ ๐๐๐๐๐๐๐ฅ2)
= ๐๐๐๐ฅ โ ๐๐๐2๐ฅ + (๐๐๐2๐๐ฅ2 โ ๐๐๐2๐๐๐ฅ2)
= ๐๐๐๐ฅ โ ๐๐๐๐ฅ + (๐๐๐๐๐ฅ2 โ ๐๐๐๐๐๐ฅ2) (karena ๐ idempoten)
= ๐๐๐๐๐ฅ2 โ ๐๐๐๐๐๐ฅ2. (3.29)
Berdasarkan (3.27), (3.28), dan (3.29) maka
๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = ๐ ๐ ๐ฅ + โ๐๐๐ฅ ๐ ๐ฅ + ๐๐๐๐ฅ ๐ ๐ฅ
= ๐๐๐ฅ โ ๐๐๐๐ฅ + โ๐๐๐ฅ + ๐๐๐๐ฅ + โ๐๐๐๐๐ฅ2 + ๐๐๐๐๐๐ฅ2
+ ๐๐๐๐๐ฅ2 โ ๐๐๐๐๐๐ฅ2
= ๐๐๐ฅ โ ๐๐๐๐ฅ โ ๐๐๐ฅ + ๐๐๐๐ฅ โ ๐๐๐๐๐ฅ2 + ๐๐๐๐๐๐ฅ2
+ ๐๐๐๐๐ฅ2 โ ๐๐๐๐๐๐ฅ2
= ๐๐๐ฅ โ ๐๐๐ฅ โ ๐๐๐๐ฅ + ๐๐๐๐ฅ โ ๐๐๐๐๐ฅ2 + ๐๐๐๐๐ฅ2
+ ๐๐๐๐๐๐ฅ2 โ ๐๐๐๐๐๐ฅ2
= 0.
Diperoleh ๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ = 0.
Selanjutnya andaikan bahwa ๐ merupakan ring Armendariz, sehingga
55
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
0 = ๐ ๐ฅ ๐ ๐ฅ
= ๐ โ ๐๐ 1 โ ๐ ๐ฅ 1 โ ๐ + ๐๐ 1 โ ๐ ๐ฅ
= ๐ 1 โ ๐ + ๐ ๐๐ 1 โ ๐ ๐ฅ + โ๐๐ 1 โ ๐ ๐ฅ 1 โ ๐
+ โ๐๐ 1 โ ๐ ๐ฅ ๐๐ 1 โ ๐ ๐ฅ ,
mengakibatkan
๐ 1 โ ๐ = 0,
๐ ๐๐ 1 โ ๐ ๐ฅ = 0, (3.30)
โ๐๐ 1โ ๐ ๐ฅ 1 โ ๐ = 0,
โ๐๐ 1โ ๐ ๐ฅ ๐๐ 1โ ๐ ๐ฅ = 0.
Dari (3.30) didapat
๐ ๐๐ 1 โ ๐ ๐ฅ = 0 โ ๐๐๐ 1 โ ๐ ๐ฅ = 0
โ ๐๐๐ โ ๐๐๐๐ ๐ฅ = 0
โ ๐๐๐ โ ๐๐๐๐ = 0
โ ๐๐ โ ๐๐๐ = 0. (karena ๐ idempoten)
Ini kontradiksi dengan (3.26), sehingga haruslah ๐ bukan ring Armendariz.
Jadi terbukti jika ๐ bukan ring abelian, maka ๐ bukan ring Armendariz. โ
Jadi dalam subbab ini telah dibahas hubungan dari kelas ring McCoy dengan
kelas ring Armendariz, dan juga dengan kelas-kelas ring pada subbab sebelumnya.
3.3 Kelas-kelas Ring Melibatkan Ideal
Dalam subbab ini terdapat dua kelas ring yang dalam definisinya melibatkan
ideal. Kedua kelas ring tersebut yakni kelas ring duo dan kelas ring 2-primal.
Berikut ini merupakan definisi dari ring duo.
Definisi 3.3.1 (Camillo dan Nielsen, 2008: 612)
Suatu ring ๐ disebut ring duo jika setiap ideal dari ๐ merupakan ideal dua
sisi.
56
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Jika ๐ merupakan suatu ring komutatif, maka jelas setiap ideal dari ๐ adalah
ideal dua sisi, sehingga setiap ring komutatif merupakan ring duo. Salah satu
contohnya adalah sebagai berikut:
Contoh
Seluruh ideal dari โค6 adalah ideal dua sisi, yakni 0 6, 0 6, 2 6, 4 6 ,
0 6, 3 6 , dan โค6.
Perhatikan tabel berikut ini.
Tabel 3.1. Pengurangan pada 0 6, 2 6, 4 6
โ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐ 0 6 4 6 2 6
๐ ๐ 2 6 0 6 4 6
๐ ๐ 4 6 2 6 0 6
Tabel 3.2. Perkalian 0 6, 2 6, 4 6 dengan โค6
โ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐ 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6
๐ ๐ 0 6 2 6 4 6 0 6 2 6 4 6
๐ ๐ 0 6 4 6 2 6 0 6 4 6 2 6
Berdasarkan Tabel 3.1, Tabel 3.2, dan karena โค6 adalah ring komutatif, maka
0 6, 2 6, 4 6 merupakan ideal dua sisi dari โค6.
Selanjutnya perhatikan tabel-tabel berikut ini:
Tabel 3.3. Pengurangan pada 0 6, 3 6
โ ๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐ 0 6 3 6
๐ ๐ 3 6 0 6
57
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Tabel 3.4. Perkalian 0 6, 3 6 dengan โค6
โ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐ 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6
๐ ๐ 0 6 3 6 0 6 3 6 0 6 3 6
Berdasarkan Tabel 3.3, Tabel 3.4, dan karena โค6 adalah ring komutatif, maka
0 6, 3 6 merupakan ideal dua sisi dari โค6, selain itu jelas bahwa 0 6 dan โค6
merupakan ideal dua sisi dari โค6.
Jadi, karena semua ideal dari โค6 merupakan ideal dua sisi, maka โค6 merupakan
ring duo.
Berikut ini merupakan contoh ring non-komutatif yang merupakan ring duo.
Contoh
Diketahui suatu ring ๐ = ๐ 2 ๐ 2
0 2 ๐ 2 | 0 2, ๐ 2, ๐ 2, ๐ 2 โ โค2 .
Misalkan 1 2 1 2 0 2 0 2
, 0 2 0 2
1 2 1 2 โ ๐ ,
tetapi 1 2 1 2 0 2 0 2
0 2 0 2
1 2 1 2 =
1 2 1 2
0 2 0 2 โ
0 2 0 2
1 2 1 2
1 2 1 2
0 2 0 2 .
Jadi ๐ adalah ring non-komutatif.
Ideal-ideal dari ๐ hanyalah ideal trivial, yakni 0 2 0 2
0 2 0 2 dan ๐ .
Baik 0 2 0 2
0 2 0 2 maupun ๐ merupakan ideal dua sisi, sehingga ๐ dapat
dikatakan sebagai ring duo.
Lemma 3.3.2 (Abdelkader, 2013: 1538)
Jika ๐ merupakan ring duo, maka berlaku ๐๐ = ๐ ๐, untuk setiap ๐ โ ๐ .
Bukti
Misalkan ๐ suatu ring duo, ๐ฅ๐ โ ๐ ๐, dan ๐๐ฆ โ ๐๐ .
Perhatikan bahwa
58
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
๐ฅ๐ = ๐ฅ๐1 โ ๐ฅ๐๐ , dan
๐๐ฆ = 1๐๐ฆ โ ๐ ๐๐ฆ.
Karena ๐ merupakan ring duo, maka ๐๐ merupakan ideal kiri, sehingga
๐ฅ๐๐ โ ๐๐ , untuk setiap ๐ฅ โ ๐ ,
dan akibatnya ๐ ๐ โ ๐๐ .
Karena ๐ merupakan ring duo, maka ๐ ๐ merupakan ideal kanan, sehingga
๐ ๐๐ฆ โ ๐ ๐, untuk setiap ๐ฆ โ ๐ ,
dan akibatnya ๐๐ โ ๐ ๐.
Jadi terbukti, jika ๐ merupakan ring duo, maka ๐ ๐ = ๐๐ untuk setiap ๐ โ ๐ . โ
Dari Lemma 3.3.2, dapat ditunjukkan hubungan kelas ring duo dan kelas ring
semi-komutatif, yang dinyatakan oleh proposisi berikut ini.
Proposisi 3.3.3 (Camillo dan Nielsen, 2008: 612)
Jika ๐ merupakan ring duo, maka ๐ merupakan ring semi-komutatif.
Bukti
Misalkan ๐, ๐ โ ๐ sedemikian sehingga ๐๐ = 0.
Perhatikan bahwa untuk setiap ๐ โ ๐ berlaku
๐๐ = 0 โ ๐๐๐ = 0
โ ๐๐๐ = 0.
Berdasarkan Lemma 3.3.2, maka ๐ ๐ = ๐๐ , sehingga ๐๐ ๐ = ๐๐๐ = 0.
Jadi terbukti bahwa jika ๐ merupakan ring duo, maka ๐ semi-komutatif. โ
Kelas ring yang terakhir dalam bab ini adalah kelas dari ring 2-primal.
Definisi 3.3.4 (Camillo dan Nielsen, 2008: 617)
Suatu ring disebut ring 2-primal jika setiap elemen nilpoten termuat di ๐(๐ ),
atau dengan kata lain ๐ ๐ โ ๐(๐ ).
59
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Pada Lemma 2.2.11 telah ditunjukkan bahwa untuk setiap ring ๐ , berlaku
๐ ๐ โ ๐(๐ ), sehingga jika ๐ merupakan ring 2-primal, maka ๐ ๐ = ๐(๐ ).
Selanjutnya, pada proposisi berikut ini ditunjukkan hubungan kelas ring 2-primal
dengan kelas ring Dedekind finite.
Proposisi 3.3.5 (Lam, 2003: 198)
Jika ๐ merupakan ring 2-primal, maka ๐ merupakan ring Dedekind finite.
Bukti
Misalkan ๐, ๐ โ ๐ sedemikian sehingga ๐๐ = 1.
Akan ditunjukkan bahwa ๐๐ = 1.
Perhatikan bahwa
๐ โ ๐ = 0 โ ๐ โ 1๐ = 0
โ ๐ โ ๐๐๐ = 0
โ ๐ 1 โ ๐๐ = 0
โ 1 โ ๐๐ ๐ 1 โ ๐๐ ๐ = 0
โ 1 โ ๐๐ ๐ 1 โ ๐๐ ๐ = 0
โ 1 โ ๐๐ ๐ 2
= 0.
โ 1 โ ๐๐ ๐ โ ๐ ๐ (karena 1 โ ๐๐ ๐ nilpoten)
โ 1 โ ๐๐ ๐ โ ๐(๐ ) (karena ๐ ๐ = ๐(๐ ))
โ 1 โ ๐๐ ๐ ๐ โ ๐(๐ ) (karena ๐(๐ ) ideal, Lemma 2.2.12)
โ 1 โ ๐๐ ๐๐ โ ๐(๐ )
โ 1 โ ๐๐ 1 โ ๐(๐ ) (karena ๐๐ = 1)
โ 1 โ ๐๐ โ ๐ ๐ = ๐(๐ ).
Karena 1โ ๐๐ โ ๐(๐ ), maka (1 โ ๐๐) merupakan suatu nilpoten.
Misalkan ๐ฅ suatu nilpoten di ๐ dengan ๐ฅ๐ = 0.
Perhatikan bahwa
1 = 1 โ 0
= 1 โ ๐ฅ๐
= 1 โ ๐ฅ + ๐ฅ โ ๐ฅ2 + ๐ฅ2 โโฏโ ๐ฅ๐โ1 + ๐ฅ๐โ1 โ ๐ฅ๐
60
Barry Yonathan, 2013 Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
= 1 + ๐ฅ + ๐ฅ2 + โฏ+ ๐ฅ๐โ1 โ ๐ฅ โ ๐ฅ2 โโฏโ ๐ฅ๐โ1 โ ๐ฅ๐
= 1 + ๐ฅ + ๐ฅ2 + โฏ+ ๐ฅ๐โ1 + โ๐ฅ โ ๐ฅ2 โโฏโ ๐ฅ๐โ1 โ ๐ฅ๐ (3.32)
= 1 + ๐ฅ + ๐ฅ2 + โฏ+ ๐ฅ๐โ1 1 + 1 + ๐ฅ + โฏ+ ๐ฅ๐โ2 + ๐ฅ๐โ1 โ๐ฅ
= 1 + ๐ฅ + ๐ฅ2 + โฏ+ ๐ฅ๐โ1 (1 โ ๐ฅ). (3.33)
Berdasarkan (3.32), didapat
1 = 1 1 + ๐ฅ + ๐ฅ2 + โฏ+ ๐ฅ๐โ1 + โ๐ฅ 1 + ๐ฅ + โฏ+ ๐ฅ๐โ2 + ๐ฅ๐โ1
= 1 โ ๐ฅ 1 + ๐ฅ + โฏ+ ๐ฅ๐โ2 + ๐ฅ๐โ1 . (3.34)
Berdasarkan (3.33) dan (3.34), dapat disimpulkan bahwa untuk sembarang
nilpoten ๐ฅ, bentuk (1 โ ๐ฅ) merupakan unit.
Karena 1 โ ๐๐ nilpoten, maka 1โ 1โ ๐๐ = ๐๐ adalah unit, sehingga
terdapat ๐ โ ๐ sedemikian sehingga ๐๐๐ = 1, dan akibatnya
1 = ๐๐๐ โ 1 ๐๐ = ๐๐๐(๐๐)
โ ๐๐ = ๐๐๐๐๐
โ ๐๐ = ๐๐ ๐๐ ๐
โ ๐๐ = ๐๐1๐
โ ๐๐ = ๐๐๐
โ ๐๐ = 1.
Karena ๐๐ = 1 mengakibatkan ๐๐ = 1, maka ๐ merupakan ring Dedekind finite.
Jadi terbukti jika ๐ merupakan ring 2-primal, maka ๐ merupakan ring Dedekind
finite. โ
Pada bab selanjutnya dibahas mengenai sejumlah modul yang merupakan
perluasan konsep dari ring-ring pada bab ini.