bab iii teori dasar 3.1 konsep dasar seismik · pdf file3.1 konsep dasar seismik refleksi...
TRANSCRIPT
8
BAB III
TEORI DASAR
3.1 Konsep Dasar Seismik Refleksi
Penjalaran gelombang seismik mengikuti hukum snellius dimana gelombang
datang akan dipantulkan dan di transmisikan jika melewati suatu reflektor.
Gambar 3.1 Penjalaran Gelombang Melalui Batas Dua medium Menurut Hukum Snellius
Kemampuan dari batuan untuk melewatkan gelombang akustik disebut Impedansi
Akustik. Impedansi Akustik (IA) adalah produk dari densitas (ρ) dan kecepatan
gelombang kompresional (V) (Badley,1985) dimana :
IA = ρ.V (3.1)
9
Perubahan Impedansi Akustik dapat digunakan sebagai indikator perubahan
litologi, porositas, kekerasan, dan kandungan fluida. AI berbanding lurus dengan
kekerasan batuan dan berbanding terbalik dengan porositas.
Refleksi seismik terjadi bila ada perubahan atau kontras pada AI. Untuk Koefisien
Refleksi pada sudut datang nol derajat dapat dihitung menggunakan persamaan berikut:
12
12
AIAIAIAIRc +
−= (3.2)
Wavelet adalah sinyal transien yang mempunyai interval waktu dan amplitudo
yang terbatas. Ada empat jenis wavelet yang umum diketahui, yaitu zero phase, minimum
phase, maximum phase, dan mixed phase. Seismogram sintetik adalah rekaman seismik
buatan yang dibuat dari data log kecepatan dan densitas. Data kecepatan dan densitas
membentuk fungsi koefisien refleksi yang selanjutnya dikonvolusikan dengan wavelet
untuk mendapatkan seismogram sintetik seperti terlihat pada Gambar 3.2.
Gambar 3.2 Ilustrasi Seismogram Sintetik
10
3.2 Metode Seismik Inversi
Pengertian secara lebih spesifik tentang seismik inversi dapat didefiniskan sebagai
suatu teknik pembuatan model bawah permukaan dengan menggunakan data seismik
sebagai input dan data sumur sebagai kontrol (Sukmono, 2000). Definisi tersebut
menjelaskan bahwa metoda inversi merupakan kebalikan dari pemodelan dengan metoda
ke depan (forward modelling) yang berhubungan dengan pembuatan seismogram sintetik
berdasarkan model bumi. Russel (1988) membagi metoda seismik inversi dalam dua
kelompok, yaitu inversi pre-stack dan inversi post-stack. Pada penelitian ini akan dibahas
inversi post-stack yang berhubungan dengan inversi amplitudo, dimana dalam inversi ini
terdiri dari beberapa algoritma, yaitu inversi bandlimited (rekursif), inversi berbasis
model (blocky) dan inversi sparse spike (maximum likelihood).
3.2.1 Inversi Seismik Rekursif/Bandlimited
Inversi rekursif (bandlimited) adalah algoritma inversi yang mengabaikan efek
wavelet seismik dan memperlakukan seolah-olah trace seismik merupakan kumpulan
koefisien refleksi yang telah difilter oleh wavelet fasa nol. Metoda ini paling awal
digunakan untuk menginversi data seismik dengan persamaan dasar (Russel, 1988) :
ii
ii
iiii
iiiii Z
Zr
Z Z
V V V V
1
1
11
11
+−
=+−
=+
+
++
++
ρρρρ
(3.3)
dengan r = koefisien refleksi, (ρ = densitas, V=kecepatan gelombang P dan Z =
Impedansi Akustik ). Dimulai dari lapisan pertama, impedansi lapisan berikutnya
ditentukan secara rekursif dan tergantung nilai impedansi akustik lapisan di atasnya
dengan perumusan sebagai berikut :
11
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +Π=+
i
iiiZ
r - 1r 1
* Z 1 (3.4)
3.2.2 Inversi Seismik Model Based
Prinsip metoda ini adalah membuat model geologi dan membandingkannya
dengan data rill seismik. Hasil perbandingan tersebut digunakan secara iteratif
memperbaharui model untuk menyesuaikan dengan data seismik . Metode ini
dikembangkan untuk mengatsi masalah yang tidak dapat dipecahkan menggunakan
metode rekursif. Teknik ini dapat dijelaskan melalui diagram alur berikut.
Gambar 3.3 Metoda Inversi Model Based
Keuntungan penggunaan metoda inversi berbasiskan model adalah metode ini tidak
menginversi langsung dari seismik melainkan menginversi model geologinya. Sedangkan
Permasalahan potensial menggunakan metoda inversi berbasis model adalah Sifat sensitif
12
terhadap bentuk waveletdan Sifat ketidak-unikan (non-uniqueness) untuk wavelet
tertentu.
3.2.3 Inversi Seismik Sparse Spike
Metode Sparse-spike ini mengasumsikan bahwa reflektivitas yang sebenarnya
dapat diasumsikan sebagai seri dari spike-spike besar yang bertumpukan dengan spike-
spike yang lebih kecil sebagai background. Kemudian dilakukan estimasi wavelet
berdasarkan asumsi model tersebut. Sparse-spike mengasumsikan bahwa hanya spike
yang besar yang penting. Inversi ini mencari lokasi spike yang besar dari tras seismik.
Spike-spike tersebut terus ditambahkan sampai tras dimodelkan secara cukup akurat.
Amplitudo dari blok impedansi ditentukan dengan menggunakan algoritma inversi Model
Based. Input parameter tambahan pada metoda ini adlah menentukan jumlah maksium
spike yang akan dideteksi pada tiap tras seismik dan treshold pendeteksian seismik.
Model dasar trace seismik didefinisikan oleh :
s(t) = w (t) * r (t) + n (t) (3.5)
Persamaan mengandung tiga variabel yang tidak diketahui sehingga sulit untuk
menyelesaikan persamaan tersebut, namun dengan menggunakan asumsi tertentu
permasalahan dekonvolusi dapat diselesaikan dengan beberapa teknik dekonvolusi yang
dikelompokkan dalam metoda sparse-spike. Teknik-teknik tersebut meliputi :
1. Inversi dan dekonvolusi maximum-likelihood
2. Inversi dan dekonvolusi norm-L1
3. Dekonvolusi entropi minimum (MED)
13
3.3 Metoda Multi-Atribut
Analisis seismik multi-attrribute adalah salah satu metode statistik menggunakan
lebih dari satu atribut untuk memprediksi beberapa properti fisik dari bumi. Pada analisa
ini dicari hubungan antara log dengan data seismik pada lokasi sumur dan menggunakan
hubungan tersebut untuk memprediksi atau mengestimasi volum dari properti log pada
semua lokasi pada volum seismik.
Statistik dalam karakteristik reservoar digunakan untuk mengestimasi dan
mensimulasikan hubungan spasial variabel pada nilai yang diinginkan pada lokasi yang
tidak mempunyai data sampel terukur. Hal ini didasarkan pada kenyataan yang sering
terjadi di alam bahwa pengukuran suatu variabel di suatu area yang berdekatan adalah
sama. Kesamaan antara dua pengukuran tersebut akan menurun seiring dengan
bertambahnya jarak pengukuran.
Schultz et al. (1994) mengidentifikasi tiga sub-kategori utama pada teknik analisa
multi-atribut geostatistik, yaitu:
1. Perluasan dari co-kriging untuk melibatkan lebih dari satu atribut sekunder untuk
memprediksi parameter utama.
2. Metode yang menggunakan matriks kovariansi untuk memprediksi suatu
parameter dari atribut input yang telah diberi bobot secara linear.
3. Metode yang menggunakan Artificial Neural Networks (AANs) atau teknik
optimisasi non-linear untuk mengkombinasikan atribut-atribut menjadi perkiraan
dari parameter yang diinginkan.
14
Analisa multi-atribut pada penelitian ini menggunakan kategori yang kedua.
Prosesnya sendiri melibatkan pembuatan dari volum pseudolog yang nantinya akan
digunakan untuk memetakan penyebaran batupasir dan batulempung.
Dalam kasus yang paling umum, kita mencari sebuah fungsi yang akan
mengkonversi m atribut yang berbeda ke dalam properti yang diinginkan, ini dapat ditulis
sebagai :
P(x,y,z) = F[A1(x,y,z),…, Am(x,y,z)] (3.6)
dimana : P = properti log, sebagai fungsi dari koordinat x,y,z
F = fungsi yang menyatakan hubungan antara atribut seismik dan
properti log
Ai = atribut m, dimana i = 1,...,m.
Untuk kasus yang paling sederhana, hubungan antara log properti dan atribut
seismik dapat ditunjukkan oleh persamaan jumlah pembobotan linier.
P = w0 + w1A1 + ... + wmAm (3.7)
dimana :
wi = nilai bobot dari m+1, dimana 1 = 0,...,m
Atribut input dalam Analisa Multi-attribute (Internal Attribute)
Atribut-seismik dapat dibagi kedalam dua kategori :
• Horizon-based attributes : dihitung sebagai nilai rata-rata antara dua horizon.
• Sample-based attributes : merupakan transformasi dari tras input untuk menghasilkan
tras output lainnya dengan jumlah yang sama dengan tras input (nilainya dihitung
sampel per sampel).
15
Hubungan linier antara log target dan atribut ditunjukkan oleh sebuah garis lurus
yang memenuhi persamaan:
Koefisien a dan b pada persamaan ini diperoleh dengan meminimalisasikan mean-square
prediction error :
dimana penjumlahan dilakukan pada setiap titik di cross-plot. Dengan mengaplikasikan
garis regresi tersebut kita dapat memberikan prediksi untuk atribut target.
Lalu dihitung kovariansi yang didefinisikan dalam persamaan:
Dimana mean nya adalah:
Nilai Kovariansi yang sudah dinormalisasi adalah:
Nilai ini merupakan prediksi eror, yaitu hasil pengukuran kecocokan untuk garis regresi.
Prediksi eror ini merupakan perbedaan RMS antara target log sebenarnya dan target log
prediksi.
Nilai korelasi terkadang dapat diperbaiki dengan mengaplikasikan transform non-
linear untuk variabel target, variabel atribut, ataupun keduanya.
∑=
−−=N
1i
2ii
2 )x*ba(yN1E
∑=
−−=N
1iyixixy )m)(ym(x
N1σ
∑=
=N
1iix x
N1m
∑=
=N
1iiy y
N1m
xy
x y
ρ σσ σ
=
xbay ∗+= (3.8)
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
16
3.3.1 Regresi Linear Multi-Attribute
Pengembangan dari Cross-plot konvensional adalah dengan menggunakan
multiple-attribute
(a) (b)
Gambar 3.4 Ilustrasi Cross-plot dengan menggunakan (a) satu atribut dan (b) dua atribut
Dalam metoda ini, tujuan kita adalah untuk mencari sebuah operator, yang dapat
memprediksi log sumur dari data seismik didekatnya. Pada kenyataannya, kita
menganalisa data atribut seismik dan bukan data seismik itu sendiri. Salah satu alasan
kenapa kita melakukan hal ini karena menggunakan data atribut seismik lebih
menguntungkan dari pada data seismik itu sendiri, banyak dari atribut ini bersifat non
linier, sehingga mampu meningkatkan kemampuan prediksi.
Pengembangan (extension) analisa linier konvensional terhadap multiple atribut
(regresi linier multivariat) dilakukan secara langsung.
17
Gambar 3.5 Contoh kasus tiga atribut seismik, tiap sampel log target dimodelkan sebagai
kombinasi linier dari sampel atribut pada interval waktu yang sama.
Pada tiap sampel waktu, log target dimodelkan oleh persamaan linier :
(t)A w (t)A w (t)A w w L(t) 3322110 +++=
Pembobotan (weights) pada persamaan ini dihasilkan dengan meminimalisasi mean-
squared prediction error.
∑=
−−−−=N
ji
2i33i22i11o
2 )AwAwAwwLi(N1E
Solusi untuk empat pembobotan menghasilkan persamaan normal standar :
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ −
ii3
ii2
ii1
i1
i32
i3i2i3i1i3
i3i2i22
i2i1i2
i3i1i2i1i12
i1
i3i2i1
3
2
1
0
LALALA
L
AAAAAAAAAAAAAAAAAA
AAAN
wwww
Seperti pada kasus atribut tunggal, mean-squared error yang dihitung
menggunakan pembobotan, merupakan pengukuran kesesuaian untuk transformasi
tersebut, dimana sekarang koordinat x merupakan nilai log yang diprediksi dan koordinat
y merupakan nilai real dari data log.
(3.14)
(3.15)
(3.16)
18
Lalu bagaimana caranya memilih kombinasi atribut yang paling baik untuk
memprediksi log target? Dilakukan sebuah proses yang dinamakan step-wise regression:
1. Dicari atribut tunggal pertama yang paling baik dengan menggunakan trial and
error. Untuk setiap atribut yang terdapat pada software dihitung error prediksinya.
Atribut terbaik adalah atribut yang memberikan eror prediksi terendah. Atribut ini
selanjutnya akan disebut atribut-a
2. Dicari pasangan atribut yang paling baik dengan mengasumsikan anggota
pasangan yang pertama adalah atribut-a. Pasangan yang paling baik adalah
pasangan yang memberikan eror paling kecil. Atribut ini selanjutnya akan disebut
atribut-b.
3. Dicari tiga buah atribut yang berpasangan paling baik, dengan mengasumsikan
dua buah anggota yang pertama atribut-a dan atribut-b. Tiga buah atribut yang
paling baik adalah yang memberikan eror prediksi paling kecil.
Prediksi ini berlangsung terus sebanyak yang diinginkan.
Eror prediksi, En, untuk n atribut selalu lebih kecil atau sama dengan En-1 untuk
n-1 atribut, tidak peduli atribut mana yang digunakan.
3.3.2 Validasi
Pertanyaan selanjutnya yang harus dijawab adalah kapan kita harus berhenti
menambahkan jumlah atribut. Bagaimanapun juga transformasi multi-atribut dengan
jumlah atribut N+1 selalu mempunya prediksi eror lebih kecil atau sama dengan
transformasi dengan N atribut. Menambah jumlah atribut, serupa dengan mencari kurva
19
regresi yang cocok untuk sebuah plot data, dengan menggunakan polinomial yang
ordenya semakin besar.
Apabila jumlah atribut yang digunakan semakin banyak, maka eror prediksi akan
semakin berkurang. Masalah yang kemudian timbul adalah, biasanya data yang
dihasilkan akan buruk bila diterapkan pada data baru (yang tidak termasuk dalam data
training), karena atribut tersebut terlalu dicocokan dengan data training. Hal ini biasa
disebut dengan over-training.
Gambar 3.6 Ilustrasi cross-validasi. Kedua kurva digunakan untuk mencocokkan data. Kurva putus-putus menunjukkan korelasi yang baik dengan data training. Namun
buruk jika kemudian digunakan set data validasi.
Untuk mengukur validitas dari jumlah atribut yang digunakan, dilakukan prosedur
sebagai berikut. Misalnya, terdapat tiga buah atribut dan lima buah well. Untuk
perhitungan pertama, sumur pertama tdak diikutkan. Lalu dihitung koefisien regresinya,
tanpa menggunakan data dari sumur pertama. Dengan nilai koefisien yang dihasilkan,
lalu dihitung prediksi eror dari sumur satu dengan rumus:
∑=
−−−−=N
1i
2i3i2i10i
2 )F*wE*wI*ww(N1E ϕ (3.17)
20
Ini adalah eror validasi untuk sumur satu. Proses ini kemudian diulang untuk sumur 2,
sumur 3, dan sumur 4. Eror rata-ratanya dihitung dengan:
3.3.3 Convolutional Multi-Attribute
Analisa muli-atribut yang telah dijelaskan di atas melakukan korelasi dari setiap
sampel target dengan sampel seismik atribut pada titik yang sama. Pendekatan ini sangat
terbatas karena tidak mengindahkan kenyataan bahwa terdapat perbedaan kandungan
frekuensi antara data seismik dengan data log.
Gambar 3.7 Perbedaan frekuensi antara data seismik dan data log
Alternatif lain untuk menyelesaikan masalah ini yaitu dengan mengasumsikan tiap
sampel pada log target berhubungan dengan sejumlah sampel yang berdekatan pada
atribut seismik.
( )5
54321 EEEEEEA++++
= (3.18)
21
Gambar 3.8 Pengunaan 5 titik operator konvolusi untuk menghubungkan atribut seismik
dengan log target.
Pengembangan dengan melibatkan operator konvolusi adalah :
3322 110 A* w A* wA* w w L +++=
dimana * operator konvolusi, dan w1 adalah operator jarak tertentu. Perlu dicatat jumlah
koefisien bertambah menjadi :
(jumlah waktu atribut panjang operator) + 1
Koefisien operator dihasilkan dengan meminimalisaskan mean-squared
prediction error : 3322 110 A* w A* wA* w w L +++=
2 21 1 2 2 3 3
1 ( * * * )N
o i i ii j
E Li w w A w A w AN =
= − + + +∑
(3.19)
(3.20)
(3.21)
22
3.4 Neural Network
Regresi Multi attribute dapat berjalan dengan baik apabila ada relasi linear
fungsional yang baik di antara log yang di prediksi dan atribut seismik. Pada kasus
hubungan yang non-linear kita dapat mengaplikasikan transformasi tersebut dengan
metoda neural network sebagai algoritma prediksi. Dalam pengertian umum artificial
neural network (ANN) adalah sekumpulan kumpulan komponen elektronik atau program
komputer yang di desain untuk memodelkan kerja sistem otak. Otak manusia
dideskripsikan sebagai suatu system yang kompleks, tidak linear dan mempunyai system
informasi dan proses yang pararel. Komponen struktural otak manusia adalah sel-sel
syaraf yang disebut neuron yang tersambung dengan jumlah besar koneksi yang disebut
sinapsis. Sistem yang kompleks ini mempunyai kemampuan yang luar biasa untuk
membangun cara kerjanya dan menyimpan informasi.
Neural Network meniru cara kerja otak dalam dua aspek :
• Pengetahuan atau data di dapatkan dari proses training.
• Kekuatan koneksi inter-neuron diketahui sebagai bobot sinaptik yang digunakan
untuk menyimpan pengetahuan tersebut.
Prosedur yang digunakan dalam proses training disebut algoritma training. Algoritma
ini berfungsi untuk memodifikasi bobot sinaptik dari sebuah network untuk mendesain
sebuah objek yang diinginkan. Meskipun neural network tergolong baru dalam dunia
industri perminyakan, secara sejarah algoritma ini sudah dikenal sejak tahun 1940 dimana
pada saat itu para psikolog mencoba untuk memodelkan cara otak manusia dalam belajar.
Seiring dengan penemuan computer, peneliti mengembangkan sebuah program untuk
melihat simulasi kerja otak manusia yang kompleks. Pada tahun 1969 Marvin Minsky
menemukan satu metode perceptron yang dapat menyelesaikan beberapa masalah
sederhana. Tahun 1986 Rumelhart dan McClelland mempublikasi sebuah algoritma
Back-Propagation yang kemudian dikenal sebagai MLFN saat ini. Tahun 1990 Donald
specht menemukan PNN dan metoda ini menjadi popular di lingkungan geofisika sebagai
aplikasi yang cukup sukses (Huang et al., 1996; Todorov et al., 1998).
23
3.4.1 Multi Layer Feed Forward Neural Network
Gambar menunujukkan secara skematik arsitektur dasar dari MLFN. Algoritma
ini terdiri dari beberapa set layer yang di desain menjadi dua layer atau lebih. Ada layer
input dan output, dimana masing-masing layer terdiri atas paling sedikit satu neuron. Di
antara dua layer tersebut terdapat ”hidden layer”. Neuron terkoneksi melalui sistem
dimana neuron input untuk masing-masing layer berasal dari layer sebelumnya. Pada
contoh di gambar ini ditunjukkan kita mempunyai empat atribut seismik dengan dengan
hidden layer mempunyai tiga neuron dan satu output neuron, berarti ada 15 koneksi dan
ini berarti skema ini punya 15 bobot.
Gambar 3.9. Ilustrasi MLFN
Neuron adalah unit informasi yang sangat penting dalam operasi algoritma neural
network. Model neuron di tunjukkan oleh gambar 3. . Kita dapat mengidentifikasi 3
proses dasar dari model neuron :
• Setiap sinyal masukan Xi dikalikan dengan bobot Wi
• Sinyal input yang sudah berbobot dijumlahkan
• Fungsi non-linear yaitu fungsi aktivasi di aplikasikan pada hasil penjumlahan
tersebut.
24
Secara matematika :
Gambar 3.10. Fungsi Akstivasi dan Ouput MLFN
Fungsi aktivasi menentukan output dari neuron sesuai dengan inputnya. Fungsi sigmoid
adalah salah satu fungsi aktivasi yang disunakan dalam konstruksi atifisial neural
network. Fungsi yang membuat optimasi dari smoothness dan hubungan asimtotik di
berikan oleh :
Fungsi Logistik mempunyai interval 0 sampai 1. Pada kasus fungsi anti simetrik, fungsi
aktivasi juga bisa bernilai -1 sampai 1. Contohnya fungsi tangensial hiperbolik
(3.22)
(3.23)
(3.24)
25
Neural network didefinisi sebagai beberapa layer yang berisi neuron di setiap
layer dan factor koneksi bobot. Proses estimasi bobot disebut training. Selama proses
training neural network membangun model dengan menggunakan sampel. Setiap sampel
terdiri dari input sinyal dan respon keluaran dari neural network. Set dari sampel
merepresentasikan data. Untuk beberapa sampel kita akan membandingkan output dari
netwoek dengan output dari model.
Misalnya y=[y1,y2,…yp] adalah vector yang mencakup output dengan p adalah jumlah
neuron, dan d=[d1,d2,…,dp] adalah vector yang mencakup respon kita dapat menghitung
error dari k :
Dan jika mempunyai beberapa sampel, maka errornya :
Tujuan algoritma neural network ini adalah untuk meminimalkan error. Ini dilakukan
dengan terus memperbaharui faktor bobot. Masters (1995) mengkombinasikan conjugate-
gradient algorithm dengan simulated annealing untuk mencari fungsi error global yang
paling minimum. Jika kita menggunakan polynomial derajat tinggi, kemungkinan kita
akan dapat mencocokkan fungsi dengan tepat.
3.4.2 Probabilistic Neural Network
3.4.3
Ide dasar dibalik PNN adalah menggunakan satu data atau lebih yang disebut
variable independen untuk memprediksi variable dependen tunggal. Variable independen
di representasikan sebagai vector x = [x1,x2,..,xp] dimana p adalah jumlah variable
independen. Sedangkan variable dependen adalah y. Tujuan algoritma ini adalah untuk
memprediksi variable y' yang tidak diketahui. Estimasi ini didasarkan pada persamaan
fundamental dari regresi umum PNN :
(3.25)
(3.26)
26
Dimana n adalah jumlah dari sampel dan D(x,xi) :
D adalah jarak yang di skalakan diantara poin yang akan di estimasi, jarak tersebut yang
disebut "smoothing" parameter. Untuk sampel ke m, prediksinya :
Jadi nilai yang di prediksi dari sampel ke m adalah y'm. Jika tahu nilai ym, kita dapat
memprediksi error validasi
Dan total error prediksinya adalah :
(3.27)
(3.28)
(3.29)
(3.30)
(3.31)
27
3.4.3 Radial Basis Function
Misalnya kita mempunyai sampel seismik atribut dan sampel log kita dapat
membuat ilustrasi skematik mengenai perbedaan antara training vektor.
Gambar 3.11 Ilustrasi Skematik tentang training vektor
Gambar 3.12 Grafik Skematik dari vektor si,sj,xk
Algoritma RBF dapat kita mengerti jika kita memahami algoritma PNN. Algoritma ini
berdasarkan pada konsep jarak dalam spasi atribut. Jarak pada ilustrasi yang diberikan
adalah amplitudo atribut dan kita dapat menghitung tiga kemungkinan jarak diantara
vektor tersebut, yaitu ;
(3.32)
28
Pada RBF kita akan menggunakan fungsi dari jarak yang disebut basis fungsi, kita
menggunakan fungsi Gaussian, yaitu :
Kemudian kita mengihitung nilai bobot dari data training menggunakan persamaan :
Setelah bobot dihitung kita dapat mengaplikasikannya pada set data menggunakan
persamaan :
(3.33)
(3.34)
(3.35)