2

26

Rzky@gung

2. AKAR-AKAR PERSAMAAN NON LINIER

Dalam matematika terapan, sering dijumpai masalah bagaimana mencari akar dari persamaan :

f(x) = 0[2.1]

z disebut akar dari f(x) jika berlaku f(z) = 0

perhatikan contoh-contoh berikut ini :

x2 + x 1 = 0x3 + 2x2 +2 = x

(

)

(

)

0

4

1

3

2

2

1

=

-

-

+

x

x

x

sin (x) = x exsin (x) cos (x) = 0x2 sin (x) + sinh (x) = 0ln (x) + sin (x) = x

Contoh 1 3 di atas disebut Fungsi Aljabar, sedangkan contoh 4 7 disebut Fungsi Transenden (Fungsi Non Aljabar).

Di dalam bab ini dipelajari beberapa metode untuk mencari akar-akar suatu persamaan non linear.

Untuk polinomial derajat dua yang dikenal dengan nama persamaan kuadrat yaitu f(x) = ax2 + bx + c = 0, dapat dicari akar-akarnya secara analitis dengan menggunakan rumus (dikenal dengan rumus ABC), yaitu :

a

ac

b

b

x

2

4

2

12

-

-

=

[2.2]

Untuk polinomial derajat tiga atau empat, rumus-rumus yang ada sangat kompleks dan jarang sekali digunakan. Sedang untuk persamaan-persamaan dengan derajat yang lebih tinggi tidak ada rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya.

Metode numerik memberikan cara-cara untuk menyelesaikan bentuk persamaan tersebut secara perkiraan sampai diperoleh hasil yang mendekati penyelesaian eksak. Penyelesaian numerik dilakukan dengan perkiraan yang berurutan (iterasi), sedemikian sehingga setiap hasil adalah lebih teliti dari perkiraan sebelumnya.

Metode iterasi Numerik adalah suatu metode dimana kita memilih nilai xo sebarang, kemudian menghitung barisan xo, x1, x2, x3, secara rekursi dengan rumus berbentuk :

xn+1 = g(xn)[2.3]

Jadi bila diberikan nilai xo, secara beruntun kita dapat mencari :

x1 = g(xo) ;

x2 = g(x1) ;

x3 = g(x2) ;

x4 = g(x3) ;

dan seterusnya.

Defenisi 2.1

Suatu barisan xo, x1, x2, x3, disebut konvergen jika terdapat suatu k sedemikian hungga untuk setiap n k berlaku :

xn = xn+1[2.4]

Selanjutnya bila tidak, dalam arti xk xk+1 untuk setiap k maka barisan xo, x1, x2, x3, disebut divergen.

Dapat dikatakan bahwa metode iterasi sangat penting untuk beragam jenis masalah dalam analisis numeris. Metode iterasi mempunyai keuntungan bahwa umumnya tidak sangat terpengaruh oleh merambatnya galat pembulatan.

Ada banyak cara yang dapat dilakukan untuk mencari penyelesaian dari persamaan non linear f(x) = 0 akan tetapi yang akan dibicarakan antara lain :

Metode Lokalisasi Akar (Kurungan), yang terdiri dari :Metode grafikMetode tabel (daftar)Metode Bagi Dua (Bisection Method)Metode Posisi Palsu (Regula False) Metode Terbuka, yang terdiri dari :Metode Titik Tetap (Fixed Point)Metode Newton RapsonMetode Tali Busur (Secant)Modifikasi Metode Newton Rapson Untuk Polinomial

LOKALISASI AKAR

Metode ini yang paling sederhana dalam mencari akar suatu fungsi f(x) = 0 adalah dengan Metode Grafik atau menggunakan Metode Tabel (Daftar).

Metode Grafik

Pada prinsipnya dengan metode grafik tersebut, kita hanya dapat memperkirakan nilai akar setelah dari fungsi tersebut digambarkan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.1

Metode Tabel (Daftar)

Metode tabel adalah suatu cara untuk mencari akar-akar dari suatu persamaan non linear dengan cara membuat daftar nilai fungsi pada beberapa nilai x yang berbeda, kemudian memperkirakan disekitar mana nilai z sedemikian sehingga f(z) = 0.

Contoh 1 :

Lokalisasikan akar persamaan :

f(x) = e-x x

Penyelesaian :

Tabel 1

x

f(x)

0.0

1.000

0.2

0.619

0.4

0.270

0.6

-0.251

0.8

-0.351

1.0

-0.632

Kesimpulan yang dapat dibuat berdasarkan tabel 2.1 adalah terdapat suatu akar yang terletak pada selang (0.4,0.6) karena nilai f(0.4) > 0 sedangkan nilai f(0.6) < 0. selanjutnya untuk lebih mendekati akar yang diinginkan dapat dipilih sebarang nilai pada selang (0.4,0.6). Proses ini dapat dilanjutkan hingga diperoleh nilai fungsi yang mendekati 0. (mendekati dalam batas toleransi yang diinginkan).

Kedua metode lokalisasi akar ini kurang diminati, karena pendekatan akar yang diperoleh tergantung sedekat apa nilainya dengan f(x) = 0 yang diperoleh, disamping itu nilai hampiran akar yang diperoleh tergantung dari intuisi pendekatan kita.

Metode Bagi dua

Metode bagi dua adalah suatu metode untuk mencari akar dari f(x) = 0, dimana f(x) kontinu. Metode ini didasarkan pada teorema 2.1 berikut :

Teorema 2.1

Bila f(x) kontinu, pada selang [a,b] = {xa x b} sedemikian sehingga f(a) berlawanan tanda dengan f(b) atau f(a) f(b) < 0, maka terdapat suatu nilai x = z sedemikian hingga f(z) = 0. Lihat Gambar 2.2 a dan Gambar 2.2.b

Metode bagi dua ini, memerlukan dua nilai sebagai tebakan awal, masing-masing a dan b dengan nilai f(a) dan f(b) berlawanan tanda. Kemudian membagi selang tersebut menjadi dua bagian yang sama panjang, sebut titik tengahnya T, jadi :

T =

2

b

a

+

[2.5]

Penentuan setengah selang yang mengandung akar dilakukan dengan memeriksa tanda dari hasil kali f(a) f(T).

(

)

(

)

(

)

(

)

>

=

=

0 maka nilai T berubah menjadi a yang baru :

T = 0.375 maka f(0.375) = e0.375 4(0.375) = -0.0450

Proses tersebut dilanjutkan, hasil lengkap perhitungan diberikan pada tabel 3 berikut ini :

Tabel 3 :

Iterasi

a

b

T

f(a)

f(b)

f(T)

f(a) f(T).

0

0.0000

1.0000

0.5000

1.0000

-1.2817

-0.3513

Negatif

1

0.0000

0.5000

0.2500

1.0000

-0.3513

0.2840

Positif

2

0.2500

0.5000

0.3750

0.2840

-0.3513

-0.0450

Negatif

3

0.2500

0.3750

0.3125

0.2840

-0.0450

0.1168

Positif

4

0.3125

0.3750

0.3438

0.1168

-0.0450

0.0352

Positif

5

0.3438

0.3750

0.3594

0.0352

-0.0450

-0.0051

Negatif

6

0.3438

0.3594

0.3516

0.0352

-0.0051

0.0150

Positif

7

0.3516

0.3594

0.3555

0.0150

-0.0051

0.0050

Positif

8

0.3555

0.3594

0.3574

0.0050

-0.0054

-0.0000

Negatif

Metode Posisi Palsu (Regula False)

Metode setengah interval yang dibahas dalam sub c memang mudah tetapi tidak efisien, karena kadang-kadang untuk mendapatkan hasil yang cukup dekat dengan nilai eksak diperlukan iterasi yang cukup panjang.

Metode posisi palsu, memanfaatkan wawasan grafis ini dengan cara menetapkan hampiran akar c sebagai perpotongan antara garis pada dengan sumbu x. garis yang dimaksud adalah garis lurus yang menghubungkan titik (a,f(a)) dengan (b,f(b)), dimana f(a) dan f(b) berlawanan tanda. Lihat gambar 2.6.

Persamaan garis lurus yang melalui titik-titik (a,f(a)) dan (b,f(b)), adalah :

y f(a) =

(

)

(

)

(

)

a

x

a

b

a

f

b

f

-

-

-

[2.7]

Misalkan garis tersebut memotong sumbu x di titik (c,0) maka :

-f(a) =

(

)

(

)

(

)

a

c

a

b

a

f

b

f

-

-

-

atau

(

)

(

)

(

)

(

)

a

f

b

f

a

f

a

b

a

c

-

-

-

=

Sehingga :

(

)

(

)

(

)

(

)

a

f

b

f

a

bf

b

af

c

-

-

=

[2.8]

Dengan memodifikasi persamaan [2.6] diperoleh :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

a

f

b

f

b

f

a

b

b

c

a

f

b

f

b

f

a

b

c

b

-

-

-

=

-

-

=

-

Sehingga :

(

)

(

)

(

)

(

)

a

f

b

f

a

bf

b

af

c

-

-

=

[2.9]

Penentuan setengah selang yang mengandung akar dilakukan sama seperti pada metode bagi dua, yaitu dengan memeriksa tanda dari hasil kali

(

)

(

)

c

f

a

f

.

(

)

(

)

(

)

(

)

=

>

=

0 maka nilai c dipilih menjadi nilai a yang baru

a = 1.57143 dan b = 2

selanjutnya kembali dengan menggunakan persamaan [2.7] diperoleh :

(

)

(

)

(

)

70541

.

1

36442

.

4

44313

.

7

36442

.

1

3

36442

.

1

2

3

57143

.

1

=

=

-

-

-

-

=

c

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

24775

.

0

3

70541

.

1

3

70541

.

1

70541

.

1

70541

.

1

2

3

-

=

-

-

+

=

=

f

c

f

Karena

(

)

(

)

c

f

a

f

.

> 0 maka nilai c dipilih menjadi nilai a yang baru

a = 1.70541 dan b = 2

dengan menggunakan persamaan [2.7] diperoleh :

(

)

(

)

(

)

72788

.

1

24775

.

3

61173

.

5

24775

.

0

3

24775

.

0

2

3

70541

.

1

=

=

-

-

-

-

=

c

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0393

.

0

3

72788

.

1

3

72788

.

1

72778

.

1

72778

.

1

2

3

-

=

-

-

+

=

=

f

c

f

Proses tersebut dilanjutkan, hasil lengkap perhitungan diberikan pada tabel 6 berikut ini :

Tabel 6.

Iterasi

A

b

c

f(a)

f(b)

f(c)

f(a) f(c).

0

1.0000

2.0000

1.5714

-4.0000

3.0000

-1.3644

Positif

1

1.5714

2.0000

1.7254

-1.3644

3.0000

-0.2478

Positif

2

1.7054

2.0000

1.7279

-0.2478

3.0000

-0.0393

Positif

3

1.7579

2.0000

1.7314

-0.0393

3.0000

-0.0061

Positif

4

1.7314

2.0000

1.7320

-0.0061

3.0000

-0.0010

Positif

5

1.7320

2.0000

1.7320

-0.0010

3.0000

-0.0002

Positif

6

1.7320

2.0000

1.7321

-0.0002

3.0000

-0.0000

Positif

7

1.7321

2.0000

1.7321

-0.0000

3.0000

-0.0000

Positif

8

1.7321

2.0000

1.7321

-0.0000

3.0000

-0.0000

Positif

METODE TERBUKA

Salah satu kelebihan metode kurungan adalah adanya jaminan akan ditemukan barisan yang konvergen, metode ini mempunyai kekurangan karena diperlukan dua nilai a dan b dengan

(

)

a

f

dan

(

)

b

f

yang berlainan tanda. Pada beberapa masalah hal ini sangat sulit kita temukan. Untuk mengatasi masalah tersebut, berikut ini dibahas metode lain dalam mencari akar-akar suatu persamaan non linier.

Metode Titik Tetap

Metode titik tetap ini dikerjakan dengan jalan mentransformasikan fungsi

(

)

0

=

x

f

secara aljabar ke bentuk

(

)

x

g

x

=

. Suatu penyelesaian dari bentuk

(

)

x

g

x

=

disebut titik tetap dari g. Prosedur iterasi yang bersesuaian akan diberikan oleh :

(

)

n

n

x

g

x

=

+

1

[2.11]

Bagian iterasi xo, x1, x2, x3, mungkin berbeda satu sama lain (panjang iterasinya) tergantung dari pemilihan nilai awal serta bentuk iterasi yang dipilih. Sebagai ilustrasi perhatikan contoh sederhana berikut :

Contoh 7 :

Susun proses iterasi untuk menghitung akar dari persamaan kuadrat berikut :

(

)

0

1

3

2

=

+

-

x

x

x

f

Akar yang sebenarnya dengan menggunakan rumus abc, adalah :

25

.

1

5

.

1

12

=

x

618034

.

2

1

=

x

dan

381966

.

0

2

=

x

Penyelesaian :

Misalkan ada tiga orang (Si A, Si C dan Si C) yang menyelesaikan masalah tersebut, dengan cara yang berbeda seperti yang diberikan pada kolom berikut :

Tabel 7

Si A

Si B

Si C

(

)

(

)

(

)

(

)

1

3

1

1

3

1

1

3

0

1

3

2

1

2

2

2

+

=

=

+

=

+

=

=

+

-

+

n

n

n

x

x

g

x

x

x

x

x

x

x

x

f

(

)

(

)

(

)

(

)

1

3

1

3

1

3

0

1

3

1

2

2

+

=

=

+

=

-

=

=

+

-

+

n

n

n

x

x

g

x

x

x

x

x

x

x

x

f

(

)

(

)

n

n

n

x

x

g

x

x

x

x

x

x

x

x

f

1

3

1

3

1

3

0

1

3

1

2

2

-

=

=

-

=

-

=

=

+

-

+

1

0

=

x

1

0

=

x

1

0

=

x

666667

.

0

1

=

x

414214

.

1

1

=

x

2

1

=

x

481481

.

0

2

=

x

800733

.

2

2

=

x

5

.

2

2

=

x

410608

.

0

3

=

x

098142

.

2

3

=

x

6

.

2

3

=

x

389533

.

0

4

=

x

300962

.

2

4

=

x

615385

.

2

4

=

x

383912

.

0

5

=

x

429586

.

2

5

=

x

617647

.

2

5

=

x

382463

.

0

6

=

x

507739

.

2

6

=

x

617978

.

2

6

=

x

382093

.

0

7

=

x

554059

.

2

7

=

x

618026

.

2

7

=

x

391998

.

0

8

=

x

581119

.

2

8

=

x

618033

.

2

8

=

x

391974

.

0

9

=

x

596798

.

2

9

=

x

618034

.

2

9

=

x

391968

.

0

10

=

x

605838

.

2

10

=

x

618034

.

2

10

=

x

Perhatikan bahwa, ketiga cara tersebut walaupun memilih nilai awal yang sama, akan tetapi hasil yang diperoleh berbeda. Dengan cara si A ternyata iterasinya menuju ke akar yang pertama, hasil ini eksak 6 desimal diperoleh pada iterasi ke 11. dengan cara si B ternyata iterasinya menuju kea akar yang kedua, bila iterasinya dilanjutkan hasil eksak 6 desimal diperoleh pada iterasi ke 30, sedangkan dengan cara si C iterasinya menuju ke akar yang kedua, akan tetapi hanya pada iterasi ke 9 telah diperoleh hasil eksak 6 desimal.

Perhatikan bahwa pada metode titik tetap, fungsi

(

)

0

=

x

f

dimodifikasi menjadi

(

)

x

g

x

=

. Penyelesaian dengan metode titik tetap secara grafik mencari titik potong antara garis

x

y

=

dan kurva

(

)

x

g

y

=

, lihat Gambar 2.7 Gambar 2.10. Untuk menghindari iterasi yang berkepanjangan atau tidak konvergen (divergen), pilihlah bentuk iterasi yang memenuhi sifat berikut.

Sifat konvergensi metode titik tetap

Andaikan

s

x

=

adalah suatu penyelesaian dari

(

)

x

g

x

=

dan andaikan

(

)

x

g

mempunyai turunan yang kontinu pada selang J yang memuat s. maka jika

(

)

1

'