BAB IVPEMBAGIAN

DEFINISI :

Bilangan bulat a (a ≠ 0) membagi habis bilangan bulat b (ditulis a│b) bhb ada bilangan bulat k sehingga b = ak.

Contoh : 2│18 5│20

SIFAT :

1. Jika a│b maka a│bd, dengan a, b, d B

2. a│b dan b│c maka a│c dengan a, b, c B

3. a│b, a│c maka a│(bk + cl); k, l B

4. Jika a│b dan b│a, maka a = ± b

5. Jika a│b , a > 0, b > 0, maka a ≤ b

6. Jika m B dan m ≠ 0, a│b bhb ma│mb

BUKTI (1) :

Jika a│b maka a│bd, d B

Bukti :

a│b (def) sds b = ak

bd = (ak)d

bd = a(kd), kd bilangan bulat

Karena

a│bd

BUKTI (2) :

a│b dan b│c a│c

Bukti :

a│b, k1 B b = ak1…..(1)

b│c, k2 B c = bk2…..(2)

subtutusi (1) dan (2) c = (ak1)k2

c = a(k1k2), k1k2 bilangan bulat

Karena k1k2 B sds c = a(k1k2)

a│c

BUKTI (3) :

a│b, a│c a│(bk + cl); k, l B

Bukti :

a│b, k1 B bk = (ak1)k…..(

a│c, k2 B cl = (ak2)l…..(

bk = (ak1)k

cl = (ak2)l

bk + cl = (ak1)k + (ak2)l

bk + cl = a(k1k) + a(k2l)

bk + cl = a(k1k + k2l)

Karena (k1k + k2l) B srs bk + cl = a(k1k + k2l)

a│(bk + cl)

BUKTI (4) :

Jika a│b dan b│a, maka a = ± b

Bukti :

a│b, k1 B b = ak1…..(1)

b│a, k2 B a = bk2…..(2)

(1) Subtitusi ke (2) a = (ak1)k2

a = a(k1k2)

Karena a, k1, k2 B maka

k1k2 = 1 atau k1k2 = -1

untuk k1 k2 = 1 maka a = b

untuk k1k2 = -1 maka a = -b

a = ± b

FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR

DEFINISI :

Suatu bilangan bulat d adalah faktor persekutuan dari bilangan bulat a dan b, bhb d│a dan d│b.

Ambil bilangan bulat a dan b yang tidak nol. Kita katakan d FPB dari a dan b jika :1.d > 02.d│a dan d│b3.Jika c│a dan c│b maka c│d dengan c < d

CONTOH : FPB (36, 48)= 12

1.12 > 02.12 | 36 dan 12 | 483.Jika 6│36 dan 6│48 maka 6│12 dengan 6 <

12

FPB (30, 45)= 151.15 > 02.15 | 30 dan 15 | 453.Jika 5│30 dan 5│45 maka 5│15 dengan 5 <

15

SIFAT : FPB dari a dan b ditulis FPB (a, b). Jika FPB (a, b) =1 maka a dan b disebut dua

bilangan relatif prima.

Sifat-sifat :1. FPB (a, b) = d

FPB (a:d, b:d) = 12. a│b dan a > 0 FPB (a, b) = a3. FPB (a, b) = 1 dan c│a, maka FPB (c, b) = 14. FPB (a, b) = FPB (a+b, a)

PEMBAGIAN BERSISA : Untuk sembarang bilangan-bilangan bulat a dan b

dengan a > 0, ada tepat satu pasang bilangan-bilangan bulat q dan r sehingga b = qa + r dengan 0 ≤ r ≤ a.

Jika a tidak membagi habis b maka r memenuhi ketidaksamaan 0 < r < a, r disebut sisa pembagian b oleh a dan q disebut hasil bagi bersisa b oleh a

Contoh : 19 = 3.5 + 433 = 5.6 + 3

Jika b = qa + r maka FPB(b, a) = FPB(a, r)

LATIHAN :

Hitung FPB(314, 159) Hitung FPB(1009, 4001) Buktikan :

2 | (3n – 1)3 | (4n – 1)6 | (a3 – a)