BAB 8

MATRIKS

A. Definisi Matriks

Matriks adalah suatu susunan dari bilangan berbentuk segi empat menurut baris dan kolom serta ditempatkan dalam tanda kurung. Bilangan yang terdapat di dalam matriks disebut dengan elemen matriks. Ukuran matriks dinyatakan dalam baris x kolom, contoh:

Matriks ukuran 2 x 2

Matriks ukuran 3 x 2b

Bentuk umum matriks berordo i x j dengan i,j bilangan asli adalah sebagai berikut:

B. Jenis Jenis Matriks

1. Matriks bujur sangkar

Matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.

2. Matriks identitas

Matriks yang dikalikan dengan suatu matriks maka hasilnya matriks itu sendiri.

3. Matriks konstanta

4. Matriks segitiga

C. Operasi Matriks

Penjumlahan dan pengurangan

Perkalian

D. Transpose Matriks

Matriks transpose dinotasikan dengan . Contoh matriks transpose:

E. Determinan Matriks

Suatu skalar yang berkaitan dengan matriks bujur sangkar. Determinan matriks A ditulis det (A) atau .

Contoh:

F. Matriks Invers

Sifat-sifat matriks invers :

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

1.

Jika maka nilai 2p + r s adalah . (SNMPTN 2012)

A. -2

B. -1

C. 0

D. 1

E. 2

Pembahasan:

Cara Smart:

Misalkan

Rumus persamaan matriks: AX = B

Jawaban: B

2.

Diketahui Matriks dan C=A+B. Nilai determinan matriks C adalah (UN 2013)

A. -49

B. -10

C. 49

D. 77

E. 105

Pembahasan:

Jawaban: C

3.

Jika diketahui matriks tidak memiliki invers, maka nilai a adalah .

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

Pembahasan:

Jawaban: A

4.

Jika dan determinan matriks AB adalah 0, maka nilai adalah . (SBMPTN 2013)

A. -10

B. -3

C. 1

D. 3

E. 10

Pembahasan:

Det(AB) = 0

Jawaban: E

5.

Diketahui matriks serta Bt dan C-1 berturut-turut menyatakan transpose matriks B dan invers matriks C. Jika det(ABt) = k det(C-1), dengan det(A) menyatakan determinan matriks A, maka nilai k adalah . (SNMPTN 2009)

A. 10

B. 8

C. 4

D. 2

E. 1

Pembahasan:

Det(ABt) = k det(C-1), maka:

Jawaban: B

6.

Jika dengan maka nilai (SBMPTN 2014)

A. -4

B. -2

C. 0

D. 2

E. 4

Pembahasan:

Jawaban: D

7.

Jika matriks dan I matriks identitas berorder sama dengan matriks P maka hasil kali akar persamaan det(P x I) = 0 adalah . (UM UGM 2010)

A. -6

B. -4

C. -3

D. 3

E. 4

Pembahasan:

Jawaban: B

8.

Nilai a dan b yang memenuhi adalah . (SPMB 2002)

A. a = 1 dan b = 2

B. a = 2 dan b = 1

C. a = 1/3 dan b = 2/3

D. a = -1/3 dan b = 2/3

E. a = -1/3 dan b = -2/3

Pembahasan:

Jawaban: D

9.

Jika maka p + q +r +s = .

A. 1

B. -1

C. 3

D. -3

E. -5

Pembahasan:

Jawaban: E

10.

Jika matriks maka (A-1)3 adalah (SPMB 2002)

A.

B.

C.

D.

E.

Pembahasan:

Cara Smart:

Jawaban: E

11.

Jika matriks dan X = A + B, invers matriks X adalah . (UN 2013)

A.

B.

C.

D.

E.

Pembahasan:

Jawaban: A

12.

sama dengan .

A. -2

B. -1

C. 0

D. 3

E. 4

Pembahasan:

Jawaban: C

13.

Diketahui matriks dan A + B = C. Nilai 2x + y = . (UN 2013)

A. 44

B. 28

C. 24

D. 12

E. -12

Pembahasan:

Jawaban: B

14.

Diketahui matriks Jika matriks C = A.B maka det(C) adalah.

A. -98

B. 46

C. -93

D. -7

E. 11

Pembahasan:

Jawaban: A

15.

Jika matriks tidak memiliki invers, maka nilai (UM UGM 2010)

A. -10

B. 14

C. -16

D. 18

E. 0

Pembahasan:

Jawaban: A

16.

Diketahui matriks Jika maka nilai x +2xy +y adalah . (UN 2012)

A. 8

B. 12

C. 18

D. 20

E. 22

Pembahasan:

Jawaban: E

17.

Jika dan determinan matriks AB = 10, maka nilai 2b a adalah .(SBMPTN 2013)

A. -2

B. -1

C. 0

D. 1

E. 2

Pembahasan:

Jawaban: E

18.

Jika diketahui maka x + y adalah .

A.

B.

C.

D.

E. 0

Pembahasan:

Jawaban: A

19.

Diketahui matriks jika A = B, maka a + b + c = . (UN 2010)

A. -7

B. -5

C. -1

D. 5

E. 7

Pembahasan:

Jawaban: C

20.

Diketahui persamaan matriks Nilai x y = . (UN 2011)

A.

B.

C.

D.

E.

Pembahasan:

Jawaban: E

21.

Diketahui merupakan matriks singular. Maka (SIMAK UI 2012)

A. -10

B. -6

C. 0

D. 6

E. 10

Pembahasan:

Jawaban: B

22.

Diketahui matriks dan Jika At transpose matriks A dan AX = B + At, maka determinan matriks X = (UN 2011)

A. -5

B. -1

C. 1

D. 5

E. 8

Pembahasan:

Det(X)=2.1-(-3)(-1)=-1

Jawaban: B

23.

Jika dan det(AB) = 12, maka nilai x adalah . (SNMPTN 2012)

A. -6

B. -3

C. 0

D. 3

E. 8

Pembahasan:

Jawaban: B

24.

Jika dan maka A6B = (SIMAK UI 2011)

A. 26B

B. 212B

C. 46

D. 47B

E. 214

Pembahasan:

Jawaban: B

25.

Diketahui matriks Maka det(AB C) adalah .

A. -7

B. -5

C. 3

D. 1

E. 5

Pembahasan:

Jawaban: C

11

120pq10

10

312rs01

21

-

-

+=

-

11

120pq10

10

312rs01

21

31pq10

05rs01

-

-

+=

-

-

+=

3p1

p2

+=

=-

1q0

q1

-+=

=

0r0

r0

+=

=

11121j

21222j

ixj

i1i2ij

aaa

aaa

A

aaa

=

L

L

KLLL

L

5s1

s4

+=

=-

pqrs210(4)

5

+++=-+++-

=-

10

A

32

=

10

218

-

1/80

21/81

-

1/80

27/81

-

10

21/81/8

-

10

21/81/8

-

1

10

A

32

20

1

A

31

1.23.0

20

1

31

2

-

=

=

-

-

=

-

13111

(A)A.A.A

202020

111

..

313131

222

202020

111

..

313131

222

2.20.(3)2.00.120

1

6.31.(3)3.01.131

8

4020

1

9131

8

80

1

211

8

----

=

=

---

=

---

+-+

=

--+--+-

=

--

=

-

=

13

8/80/8

21/81/8

10

(A)

21/81/8

-

-

=

-

1331

3

3

31

(A)(A)

101010

A

323232

100010

360432

1010

9432

100

91208

10

A

218

80

1

(A)

211

1.821.0

80

1

211

8

10

21/81/8

--

-

=

=

++

=

++

=

+

=

++

=

=

-

-

=

-

=

-

1223

A,B

3454

--

==

--

01

1

21

2

-

01

1

21

2

-

11

1

20

2

-

10

A

01

100

A010

001

=

=

11

1

20

2

-

01

1

21

2

-

-

1

1223

A,B

3454

XAB

1223

3454

122(3)

354(4)

11

X

20

1

Xadj(X)

X

01

1

21

1.02.1

01

1

21

2

-

--

==

--

=+

--

=+

--

-++-

=

-++-

-

=

=

=

-

--

=

-

023

204

340

-

--

02302

20420

34034

0.0.02.4.(3)3.(2).(4)3.0.(3)

0.4.(4)2.(2).0

02424000

0

--

----

=+-+----

----

=-+---

=

23x7610

A,B,C

15xx11y5

===

+

23x7610

A,B,C

15xx11y5

ABC

23x7610

15xx11y5

2x37610

15x1x1y5

2x10610

x16x1y5

===

+

+=

+=

+

++

=

+++

+

=

++

2x6

x4

+=

=

x16y

416y

y20

+=

+=

=

2xy2.420

28

+=+

=

50

K5

05

==

2453

A,B.

3112

-

==

2453

A,B

3112

CA.B

2453

3112

62

1611

det(C)6.1116.2

98

-

==

=

-

=

-

=

=--

=-

pp

p

72

224

V

01

22

-

--

=

-

2

2p18....

-=

pp

p

p

2

72

224

V

01

22

Det(V)0

misal 2x

xx4

0

2x

(x)(x)2(x4)0

x2x40

(x4)(x2)0

-

--

=

-

=

=

--

=

-

----=

-+=

-+=

p2

x4

22

p2

=

=

=

x2(tidak memenuhi)

=-

22

2p182.21810

-=-=-

3yx531

A,B,C.

5136y9

--

===

--

85x

ABC

x4

+-=

--

156

A023

004

100

D220

624

=

=

3yx531

A,B,C

5136y9

85x

ABC

x4

3yx53185x

5136y9x4

3x(3)y5(1)85x

5(3)y169x4

x6y685x

2y4x4

--

===

--

+-=

--

--

+-=

----

+--+--

=

+---+---

++

=

----

x68

x2

+=

=

2yx

y22

y4

-=-

=+

=

x2xyy22.4.24

22

++=++

=

11

212

A,B12

abc

10

--

==-

-

11

212

A,B12

abc

10

11

212

AB12

abc

10

50

abca2b

50

det(AB)

abca2b

105(a2b)

2ba2

--

==-

-

--

=-

-

-

=

-+--

-

=

-+--

=--

-=

x2y

80

40

27

23x2

+

=

-

9

4

9

5

11

3

ABBa

ABBA

(AB)cA(BC)

+=+

-=-

++=++

8

7

x2y

80

40

27

23x2

+

=

-

3x27

3x9

x3

-=

=

=

x2y

2(x2y)3

48

22

2(x2y)3

2x4y3

2.34y3

4y3

3

y

4

+

+

=

=

+=

+=

+=

=-

-

=

31239

xy3

444

--

+=+==

4a841284

A613b,B613a

53c95b9

=--=-

4a841284

A613b,B613a

53c95b9

AB

=--=-

=

4a12

a3

=

=

3a3b

3.3

b

3

3

=-

=

-

=-

b3c

3

c

3

1

=

-

=

=-

KIInkn

ABC

=

g

abc331

1

++=--

=-

521110

.

94xxy01

--

=

-+

5

2

15

2

19

2

22

2

23

2

521110

94xxy01

102x52x2y10

184x94x4y01

--

=

-+

----

=

----

102x1

2x9

9

x

2

-=

=

=

52x2y0

9

52.2y0

2

592y

14

y

2

y7

---=

---=

--=

-

=

=-

abkla.kb.ma.lb.n

A.B

cdmnc.kd.mc.ld.n

A.BB.A

++

==

++

9

xy(7)

2

914

2

23

2

-=--

+

=

=

z

a

2logb

A

1

log1

z

=

a3zb2

logbaloga.logz....

+=

z

a

az

a1z

az

a

matriks singlar det(A)0

2logb

det(A)0

1

log1

z

1

2log.logb0

z

logz.logb2

logz.logb2

logb2

-

=

==

-=

-=-

=-

=-

a3zb2aab

z

b

logbaloga.logz3.logbloga2.logz.

loga

3(2)12.loga

1

52

2

6

+=++

=-++

=-+-

=-

32

A

05

=

31

B.

170

--

=

-

31

B

170

--

=

-

t

1t

AXBA

XA(BA)

-

=+

=+

1

52

1

A

03

3.50.2

52

1

03

15

-

-

=

-

-

=

t

A atau A

t

3130

BA

17025

3310

17205

01

155

--

+=+

-

-+-+

=

-++

-

=

-

1t

XA(BA)

5201

1

03155

15

30510

1

4515

15

21

31

-

=+

--

=

-

--

=

-

=-

-

2015

A,B

1x02

==

-

AB12

AB12

2015

12

1x02

2x(2)12

x3

=

=

=

-

-=

=-

21

A

04

=

3

B

6

-

=

-

65

5

5

5

4

32

6

12

ABA(AB)

213

A

046

12

A

24

A4B

A(AB)4

A(AB)4

4B

2B

=

-

=

-

-

=

-

=

=

=

=

=

3243410

A,B,C.

4121912

-

===

---

3243410

A,B,C

4121912

3243410

ABC

4121912

1612410

1813912

121

91

det(ABC)12.19.13

-

===

---

-

-=-

---

=-

=

-=-=

t

(3x2)

23

214

A16A

365

45

==

A

abab

Adet(A)a.db.c

cdcd

abcabcab

Adefdet(A)defde(a.e.ib.f.gc.d.h)(c.e.ga.

f.hb.d.i)

ghighigf

===-

===++-++

A.A'A'.A1

(A.B)'B'.A'

(A')'A

==

=

=

21pq23

,

01rs03

=

--

21pq23

01rs03

2.p1.r2.q1.s23

0.p(1).r0.q(1).s03

2pr2qs23

rs03

2pr2....(1)

2qs3....(2)

r0....(3)

s3....(4)

=

--

++

=

+-+--

++

=

---

+=

+=

=

=

r02pr22p2p1

=+===

2prs2.1031

+-=+-=-

pq2123

XX

rs0103

==

--

1

2123

X

0103

1123

1

0203

2(1)0.1

2033

1

0006

2

10pq

03rs

-

=

--

--

=

-

--

-+-+

=-

+-

==

2prs2.1031

+-=+-=-

5723

A,B

3645

-

==

5723

A,B

3645

CAB

5723

3645

527(3)

3465

74

C

711

74

C

711

(7.11)(7.4)

7728

49

-

==

=+

-

=+

++-

=

++

=

=

=-

=-

=

2a13

A

6a15

+

=

-

2a13

A

6a15

Det(A)0

(2a1)5(6a1)30

10a518a30

8a80

8

a

8

a1

+

=

-

=

+--=

+-+=

-+=

-

=

-

=

a3

311

A,B11

21a

21

==

2

3a20a

-

a3

311

AB11

21a

21

3.a1.11.23.31.11.1

2.a1.1a.22.31.1a.1

3a311

4a1a7

=

++++

=

++++

+

=

++

2

2

2

(3a3)(a7)11(4a1)0

3a21a3a2144a110

3a20a100

3a20a10

++-+=

+++--=

--=

-=

10121022

A,B,C

10001113

--

===

--

t

1

1

1

20

210

BB11

011

01

2232

1

CC

1312

2.31.2

32

1

C

12

4

3/42/4

C

1/42/4

-

-

-

-

==-

-

-

-

==

-

-

-

=

-

-

=

-

23

A

21

=

t

20

101

AB11

100

01

1.20.(1)(1).01.00.1(1).(1)

1.20.(1)0.01.00.10.(1)

21

20

-

=-

-

-

+-+-++--

=

-+-+-++-

=

-

213/42/4

k

201/42/4

3212

2.0(2).1k..

4444

62

2k

1616

4

2k

16

32

k

4

k8

-

=

--

--=---

=-

=

=

=

1

214

y

1x1

x

-

=

--

1

x

2

-

1

xy....

2

+=

1

214

y

1x1

x

x14

y1

121

x2.x(1).1

4x1

1

4(2)

2x1

4x1

2x1

2

2x1

4x12

y dan x

2x12x1

-

=

--

-

=

-

--

+

=

+-

+

+

+

=

+

+

==

++

2

22

x2x1

2x1x

4x14x1

y

2

2x1

x

x(4x1)

2

2y4xx.....(1)

=+=

+

++

==

+

+

=

=+

2

2

2x1

x

x(2x1)2

2xx2....(2)

+=

+=

+=

22

22

4xx2yx14xx2y

2xx2 x24x2x4_

x2y4

x2y4

1

xy2

2

+=+=

+=+=

-=-

+=

+=

12

P

32

=

12

B23

31

=

1210

PxIx

3201

1x2

32x

-=-

-

=

-

2

12

det(PxI)0

1x2

0

32x

(1x)(2x)2.30

x2x40

c

x.x4

a

-=

-

=

-

---=

--=

==-

1

ab12

ba21

-

=

1

22

2222

2222

abab

1

baba

a.ab.b

ab

1

ba

ab

ab

abab

.....(1)

ba

abab

-

-

=

-

-

-

=

-

-

-

--

=

-

--

1

2222

2222

22

22

22

22

22

2

ab12

ba21

ab

12

abab

ba21

abab

a

1aab....(2)

ab

b

2....(3)

ab

subtitusikan pers(2) ke (3):

b

2

a

b2a

maka:

aab

aa(2a)

a3a

3a1

12

ab2a

33

-

=

-

--

=

-

--

==-

-

-

=

-

-

=

=-

=-

=--

=-

-=

==-=

-