bab v karakteristik dinamis sistem orde dua

BAB V

KELAKUAN DINAMIS SISTEM ORDE DUA

5.1 Pendahuluan

Sistem-sistem dengan kelakuan dinamik orde satu, bukanlah satu-satunya

jenis sistem yang biasa ditemui dalam model proses-proses kimia. Pada bab ini

akan dibahas mengenai :

Karateristik dinamis sistem-sistem orde dua

Spesifikasi respons sistem orde dua

Respons orde dua dari proses dengan adanya pengendali

(controller)

5.2 Karakteristik Sistem Orde Dua

Sistem orde dua adalah suatu sistem yang outputnya, y(t) sebagai hasil dari

penyelesaian suatu persamaan diferensial linier orde kedua. Model matematis sistem

orde dua dapat dituliskan sebagai berikut :

(5.1)

dengan,

τ = konstanta waktu sistem orde dua

= faktor redaman / damping factor

Kp = gain statik, steady state gain

Transpormasi Laplace dari persamaan diferemsial linier orde dua diatas, akan

menghasilkan fungsi transfer baku untuk sistem orde dua sebagai berikut :

(5.2)

Kebanyakan sistem orde dua atau lebih tinggi yang dijumpai dalam suatu proses

kimia adalah proses-prosess multikapasitas atau merupakan akibat dari penambahan

sistem pengendali (controller) pada proses tersebut.

Bab V. Kelakuan Dinamis Sistem Orde Dua

5.3 Spesifikasi Respons Dinamis Sistem Orde dua

Respons atau tanggapan dinamik dari suatu sistem orde dua terhadap masukan

berupa fungsi tangga (step satuan) diuraikan secara detail sebagai berikut.

Untuk suatu perubahan input berupa fungsi step satuan f(t), pada persamaan (5.2)

akan menghasilkan persamaan berikut :

(5.3)

Bentuk respons sistem orde dua, sangat tergantung pada nilai faktor redaman ( )

berikut :

> 1 : sangat terredam (overdamped)

= 1 : redaman kritik (criticaly damped)

0 < < 1 : osilasi teredam (underdamped)

= 0 : osilasi kontinyu

< 0 : response tidak stabil (amplitudo membesar)

Jika masukan berupa fungsi step satuan, bentuk kurva respons adalah sebagai

berikut :

Gambar 5.1. Respons sistem orde dua untuk input step

5.4 Karakteristik Respons Osilasi Teredam (Underdamped)


Hampir seluruh respons underdamped pada suatu proses kimia disebabkan

oleh interaksi antara sistem pengendali (controller) dengan unit proses yang

dikendalikannya, sehingga respons underdamped merupakan jenis respons yang akan

sangat sering dijumpai dalam pengendalian proses pabrik kimia, sehingga

karakteritiknya perlu dipelajari secara khusus.

Istilah-istilah yang digunakan pada penjelasan mengenai karakteristik respons

underdamped, mengacu pada Gambar 5.2 berikut :

Gambar 5.2. Karakteristik suatu respons underdamped.

a. Overshoot

Overshoot merupakan perbandingan atau rasio A/B, dengan B adalah nilai

akhir respons dan A adalah selisih nilai maksimum yang dapat dicapai respons

dengan nilai akhirnya. Overshoot merupakan fungsi dari faktor redaman ( ) dan

dapat dinyatakan dengan persamaan berikut :

(5.4)


Gambar 5.3. di bawah menunjukkan kurva hubungan antara overshoot dengan .

Pada gambar tersebut terlihat bahwa overshoot meningkat dengan menurunnya

dan pada saat nilai yang mendekati 1 nilai overshoot akan mendekati nol

(respons redaman kritik, critically damped response).

Gambar 5.3. Pengaruh faktor damping terhadap Overshoot dan Decay ratio.

b. Perioda osilasi (period of oscillation)

Frekuensi radian osilasi (rad/satuan waktu) dari suatu respons underdamped

dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut :

(5.5)

Perioda osilasi (T) atau waktu antara dua puncak berurutan, dapat diturunkan

menggunakan hubungan : ω = 2πf dan f = 1/T, dengan f adalah frekuensi

siklus :

(5.6)

c. Perioda osilasi alamiah (natural period of oscillation)

Sistem orde dua dengan nilai = 0 merupakan sistem yang bebas damping.

Sesuai dengan gambaran diatas respon sistem ini akan berosilasi terus-menerus


dengan amplitudo yang konstan dan dengan frekuensi alamiah (natural frequency)

sebagai berikut : ωn = 1/τ

Perioda siklus (Tn) dari respons tersebut adalah : Tn = 2πτ .............(5.7)

d. Waktu mantap, waktu respons (settling time)

Respons suatu sistem underdamped setelah berosilasi akan mencapai nilai

akhirnya pada nilai t → ∞. Untuk keperaktisan, biasanya dianggap telah mencapai

nilai akhirnya bila nilai respon telah mencapai ± 2% atau 5% dari nilai akhirnya

dan terus berosilasi dalam rentarng tersebut. Waktu yang diperlukan untuk

mencapai keadaan tersebut disebut waktu mantap (respons time). Waktu mantap

berkaitan erat dengan konstanta waktu sistem.

Kriteria 2% :

(5.8)

Kriteria 5% :

(5.9)

e. Rasio peluruhan (Decay ratio)

Decay ratio adalah perbandingan antara besarnya amplitudo kedua dengan

amplitudo pertama. Decay ratio merupakan fungsi dari , dan dapat dinyatakan

dalam bentuk persamaan berikut :

(5.10)

f. Waktu naik (rise time)

Istilah rise time digunakan untuk menyatakan kecepatan suatu sistem

underdamped berrespons. Rise time didefinisikan sebagai waktu yang dibutuhkan

untuk respons pertama kali mencapai nilai akhirnya. Gambar 5.4 terlihat bahwa


jika nilai makin kecil, rise time juga akan semakin kecil (respons sistem makin

cepat), tetapi overshoot akan semakin besar.

g. Waktu puncak (peak time)

Peak time adalah waktu yang dibutuhkan variabel keluaran sistem untuk

mencapai puncak gelombang yang pertama.

(5.11)

5.5 Sistem Orde Dua yang Disebabkan Kehadiran Pengendali (Controller)


Penempatan suatu sistem pengendali pada suatu proses kimia dapat mengubah

orde proses dan menghasilkan suatu kelakuan dinamik spesifik yang tidak terdapat

pada proses tanpa kehadiran suatu pengendali. Uaraian lebih lanjut tentang sistem

dengan pengendalian rangkaian tertutup (pengendalian umpan balik) dibahas pada

bab 6 dan 7. Contoh kelakuan dinamik sistem orde satu dengan adanya pengendalian

dapat dipelajari sebagai berikut :

Contoh 5.1.

Proses Orde Pertama dengan Kelakuan Dinamik Orde Dua, Kerena Adanya

Sistem Pengendali

Suatu tangki pada Gambar 4.4.a (Contoh 4.1) merupakan sistem orde pertama. Untuk

mengendalikan ketinggian cairan dalam tangki tersebut tetap pada nilai yang

diinginkan meskipun laju alir masuk, Fi berubah menurut fungsi step. Pada alat

digunakan sistem pengendali yang ditunjukkan pada Gambar 5.5. Sistem pengendali

ini mengukur ketinggian cairan dan membandingkannya dengan sistem steady yang

diinginkan. Jika ketinggian cairan melebihi nilai yang diinginkan, sistem pengendali

memperbesar nilai laju alir keluar Fo dengan membuka controlvalve V, sebaliknya

jika ketinggian cairan kurang dari nilai yang diinginkan, sistem pengendali menutup

controlvalve. Pada contoh ini akan ditunjukkan bagaimana kehadiran pengendali

dapat mengubah kelakuan dinamik tangki dari orde pertama menjadi kelakuan orde

kedua.


Gambar 5.5. a. Sistem tangki dengan pengendalian (Feedback control)

b. Karakteristik respon orde dua ketinggian cairan yang dihasilkan

Neraca massa untuk sistem tangki di atas adalah sebagai berikut :

(5.12)

Neraca untuk keadaan mantap (steady) : (5.13)

Pengurangan persamaan (5.12) dan (5.13) akan menghasilkan,

dengan variabel-variabel penyimpangan yang didefinisikan sebagai berikut :

Jika ketinggian cairan tidak sesuai dengan yang harapkan (acuan), maka h’ ≠ 0.

Instument pengukur mengukur nilai h dan membandingkan nilai tersebut dengan nilai

hs yang diinginkan. Nilai penyimpangan (error) h’ digunakan oleh pengendali untuk

menaikkan atau menurunkan laju alir keluaran menurut hubungan :

(5.14)


Dimana, Kc dan τI adalah parameter konstan dan berharga positif. Berdasarkan

persamaan (5.14) diatas :

1. Jika h’ = 0, maka Fo = Fo,S , posisi bukaan katup V tidak berubah.

2. Jika h’ < 0 (ketinggian cairan menurun), maka dari persamaan (5.14) , Fo < Fo,S

(pengendali akan mengurangi laju keluaran dan ketinggian cairan mulai

bertambah)

3. Jika h’ > 0 (ketinggian cairan menaik), maka dari persamaan (5.14), Fo > Fo,S

(pengendali menambah laju keluaran dan ketinggian cairan berkurang)

Aksi pengendali yang dinyatakan dalam persamaan (5.14) disebut aksi

pengendalian Proporsional-Integral (PI), karena nilai dari variabel manipulasi (laju

aliran masuk) ditentukan oleh dua suku. Suku pertama propossional terhadap error,

h’ dan suku kedua proposional terhadap integral waktu dan error.

Substitusi variabel Fo pada persamaan (5.12) ke persamaan (5.14) menghasilkan :

(5.15)

Transformasi Laplace terhadap persamaan (5.15), menghasilkan :

Fungsi transfer sistem adalah hubungan antara output, h’(s) dengan input

eksternalnya, Fi’(s) merupakan fungsi transfer untuk sistem orde kedua, dapat

dituliskan sebagai berikut :

(5.16)

dengan : τ2 = AτI / Kc , 2 τ = τI, dan Kp = τI / Kc

Dari persamaan tersebut,


(5.17)

Untuk sistem di atas, responsnya tergantung dari nilai-nilai parameter pengendali Kc

dan τI , terdapat beberapa kemungkinan kasus sebagai berikut :

1. < 2. Dengan demikian < 1 , respons h’(s) terhadap input step,

Fi’(s), akan menghasilkan sistem underdamped.

2. = 2. Dengan demikian = 1, respons yang dihasilkan critical

damped.

3. > 2. Dengan demikian < 1, akan dihasilkan respons

overdamped.

Gambar 5.5.b. di atas menunjukkan kurva respons dinamik ketinggian cairan

dalam tangki terhadap perubahan step laju alir masuk dengan pengendalian dan

tanpa dilakukan pengendalian.

Contoh 5.1. diatas menunjukkan dengan jelas bagaimana kelakuan dinamik

suatu tangki yang merupakan sistem orde pertama sederhana dapat berubah

menjadi sistem orde kedua, jika suatu pengendali proporsional-integral

ditambahkan ke dalam proses. Contoh tersebut juga menunjukkan bahwa

parameter-parameter pengendali Kc dan τI dapat memberikan pengaruh yang

sangat besar pada kelakuan dinamik sistem, sehingga dapat menghasilkan rentang

respons mulai dari underdamped sampai overdamped.

5.6 Penutup

Sifat-sifat sistem orde dua adalah :

Respons keluaran dari sistem tergantung pada faktor redama/damped factor (

)

Sistem orde dua memiliki tiga parameter yaitu steady state gain (Kp),

konstanta waktu ( τ ), faktor redaman/damped factor ( )


Disamping untuk penerapan khusus yang tidak membolehkan adanya osilasi,

biasanya respons transien yang diinginkan adalah cukup cepat dan cukup teredam.

Berdasarkan pengalaman, nilai faktor redaman ( ) yang memenuhi syarat demikian

terletak antara 0,4 dan 0,8. Nilai faktor redaman yang lebih kecil dari 0,4

menyebabkan overshoot berlebihan. Sedangkan lebih besar dari 0,8 menyebabkan

tanggapan (respons) terlalu lambat. Sementara itu, overshoot dan waktu mantap

saling tarik menarik secara berlawanan. Jika overshoot kecil, waktu mantap/waktu

respons menjadi panjang. Sebaliknya, jika waktu mantap dibuat pendek, overshoot

menjadi besar.


bab v karakteristik dinamis sistem orde dua

Documents