bab vi. penerapan integral 6.1. luas daerah bidang · pdf filesoal-soal latihan ......
TRANSCRIPT
![Page 1: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/1.jpg)
31
BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL
6.1. Luas Daerah Bidang Datar
Daerah di atas sumbu-x. Andaikan y = f(x) menentukan persamaan sebuah
kurva di bidang-xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang [a, b]. Luas
daerah R yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b, dan y = 0 adalah
A(R) = ∫b
a
dxxf )(
Contoh 1:
Tentukanlah luas daerah R dibawah kurva y = x4 – 2x
3 + 2 di antara x = -1 dan
x = 2.
Jawab:
A(R) = dxxx )22(
2
1
34
∫−
+− = 2
1
45
]225
[ −−− xxx
= 1,510
51)2
2
1
5
1()4
2
16
5
32( ==−−−−+−
y = x4- 2x
3 + 2
![Page 2: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/2.jpg)
32
Penyelesaian dengan Derive:
AreaUnderCurve(f(x), x, a, b, y) adalah menggambar daerah R yang dibatasi
grafik fungsi y = f(x) di atas sumbu-x di antara x = a dan x = b.
1. Tulislah: AreaUnderCurve(x4 – 2x
3 + 2, x, -1, 2, y), enter, sama dengan
2. Klik icon gambar
3. Tulislah: A(R):= int(x4 – 2x
3 + 2,x,-1,2), enter
4. Klik icon sama dengan, lalu aproksimasi.
Jadi luas daerah R adalah A(R) = 5,1
Daerah di bawah sumbu-x. Andaikan y = f(x) menentukan persamaan sebuah
kurva di bidang-xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang [a, b]. Luas
daerah R yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b, dan y = 0 adalah
A(R) = ∫−b
a
dxxf )(
![Page 3: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/3.jpg)
33
Contoh 2:
Tentukanlah luas daerah R dibawah kurva 43
2
−=x
y di antara x = -2 dan x = 3.
Jawab:
A(R) = dxx
)43
(
3
2
2
−− ∫−
=3
2
3
]49
[ −+− xx
= 11,169
145)8
9
8()12
9
27( ==−−+−
Penyelesaian dengan Derive:
AreaOverCurve(f(x), x, a, b, y) adalah menggambar daerah R yang dibatasi
grafik fungsi y = f(x) di bawah sumbu-x di antara x = a dan x = b.
1. Tulislah: AreaOverCurve( 43
2
−x
, x, -2, 3, y), enter
2. Klik icon gambar
3. Tulislah: A(R):= int( 43
2
−x
, x, -2, 3), enter
4. Klik icon sama dengan, lalu aproksimasi.
43
2
−=x
y
![Page 4: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/4.jpg)
34
Jadi luas daerah R adalah A(R) = 145/9 = 16,11.
Daerah di kanan sumbu-y. Andaikan x = f(y) menentukan persamaan sebuah
kurva di bidang-xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang [a, b]. Luas
daerah R yang dibatasi oleh x = f(y), y = a, y = b, dan x = 0 adalah
A(R) = ∫b
a
dyyf )(
Contoh 3:
Tentukanlah luas daerah R yang dibatasi oleh kurva x = y + cos(y) di antara y = 0
dan y = 3.
![Page 5: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/5.jpg)
35
Jawab:
A(R) = ∫ +3
0
)cos( dyyy = 3
0
2
)]sin(2
[ yy
+
= )3sin(2
9+ = 4,50 + 0,1411 = 4,64
Penyelesaian dengan Derive:
AreaUnderCurve(f(y), y, a, b, x) adalah menggambar daerah R yang dibatasi
grafik fungsi x = f(y) di kanan sumbu-y di antara y = a dan y = b.
1. Tulislah: AreaUnderCurve(y + cos(y), y, 0, 3, x), enter
2. Klik icon gambar
3. Tulislah: A(R):= int(y + cos(y), y, 0, 3), enter
4. Klik icon sama dengan, lalu aproksimasi.
x = y + cos(y)
![Page 6: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/6.jpg)
36
Jadi luas daerah R adalah A(R) = 4,64
Daerah di kiri sumbu-y. Andaikan x = f(y) menentukan persamaan sebuah kurva
di bidang-xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang [a, b]. Luas
daerah R yang dibatasi oleh x = f(y), y = a, y = b, dan x = 0 adalah
A(R) = - ∫b
a
dyyf )(
AreaOverCurve(f(y), y, a, b, x) adalah menggambar daerah R yang dibatasi
grafik fungsi x = f(y) di kiri sumbu-y di antara y = a dan y = b.
Contoh 4:
Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh yyx −= )cos( di antara y = 1 dan
y = 3 (lihat tugas kelompok)
![Page 7: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/7.jpg)
37
Daerah di antara Dua Kurva. Andaikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan
f(x) ≥ g(x) pada selang [a, b]. Luas yang dibatasi oleh f(x) – g(x), x = a, x = b
adalah dxxgxf
b
a
))()((∫ −
Contoh 5:
Tentukanlah luas daerah di antara kurva 4xy = dan 2
2 xxy −=
Jawab:
A(R) = 1
0
532
]53
[xx
x −−
= 47,015
7)
5
1
3
11( ==−− ∫ −−
1
0
42 )2( dxxxx =
Penyelesaian dengan Derive:
AreaBetweenCurves(f(x), g(x), x, a, b, y) adalah menggambar daerah R yang
dibatasi grafik fungsi y = f(x) dan y = g(x) di antara x = a dan x = b.
1. Deklasikan: f(x):= 2x – x2 dan g(x):= x
4
2. Tulislah: AreaBetweenCurves(2x – x2, x
4, x, 0, 1, y)
y = x4
y = 2x-x2
![Page 8: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/8.jpg)
38
3. Klik icon gambar
4. Tulislah: A:= int(f(x)-g(x), x, 0, 1), enter
5. Klik icon sama dengan, lalu aproksimasi.
Jadi luas daerah di antara y = 2x – x2 dan y = x
4 adalah 0,47.
AreaBetweenCurves(f(y), g(y), y, a, b, x) adalah menggambar daerah R yang
dibatasi grafik fungsi x = f(y) dan x = g(y) di antara y = a dan y = b.
Tugas Kelompok
1. Konstruksi langkah-langkah menentukan luas daerah R yang dibatasi oleh
yyx −= )cos( di antara y = 1 dan x = 3, Jawab: 2,47.
2. Konstruksi langkah-langkah menentukan luas daerah R yang dibatasi oleh
3323 +−−= xxxy di antara x = -1 dan x = 2, Jawab: 23/4
3. Konstruksi langkah-langkah menentukan luas daerah R yang dibatasi oleh
kurva xy 42 = dan 434 =− yx . Jawab: 125/24
![Page 9: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/9.jpg)
39
Soal-Soal Latihan
Gambarlah daerah yang dibatasi grafik persamaan-persamaan yang diketahui,
kemudian tentukanlah luas daerah yang terbentuk.
1. 2
3
13 xy −= , y = 0, di antara x = 0 dan x = 3
2. )2)(4( +−= xxy , y = 0, di antara x = 0 dan x = 3
3. )7(4
1 2 −= xy , y = 0, di antara x = 0 dan x = 2
4. 3 xy = , y = 0, di antara x = -2 dan x = 2
5. )1)(3( +−= xxy , y = x
6. 22 ,2 xyxxy −=−=
7. 0,8 2 =−= xyyx
8. 04,22 =−−−= yxyyx
9. 01244,024 22 =−+=− xyxy
10. 02,,6 3 =+=+= xydanxyxy
11. Tinjaulah kurva y = 2
1
x untuk 1 ≤ x ≤ 6
(a) Hitunglah luas dibawah kurva ini
(b) Tentukanlah c sedemikian sehingga garis x = c membagi dua luas pada (a)
sama besar
(c) Tentukanlah d sedemikian sehingga garis y = d membagi dua luas pada (a)
sama besar
![Page 10: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/10.jpg)
40
6.2. Volume Benda Putar
Apabila sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada satu sisi dari
sebuah garis tetap dalam bidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah itu
akan membentuk sebuah benda putar. Garis tetap disebut sumbu benda putar.
Metode Cakram
Menentukan volume benda yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi kurva
y = f(x), x = a, x = b diputar mengelilingi sumbu-x dengan metode cakram adalah
V = ∫b
a
dxxf ))(( 2π
Contoh 6:
Tentukanlah volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh
kurva xy = , sumbu-x, dan garis x = 4 apabila R diputar mengelilingi sumbu-x.
Jawab:
V = ∫4
0
2 ))( dxxπ = ∫4
0
. dxxπ
![Page 11: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/11.jpg)
41
= 13,258)2
16(]
2[ 4
0
2
=== πππx
Penyelesaian dengan Derive
Cara 1:
Menggunakan rumus V= ∫b
a
dxxf2))((π
1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve( x , x, 0, 4, y) enter
2. Klik icon gambar
3. Deklarasikan: V:= )4,0,,int(. xxπ enter
4. Klik sama dengan, lalu klik aproksimasi
Jadi volume benda putar yang dibatasi oleh kurva xy = , sumbu-x, dan garis
y = 4 apabila R diputar mengelilingi sumbu-x adalah V = π8 = 25,13.
![Page 12: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/12.jpg)
42
Cara 2:
Volume_Of_Revolution(f(x), x, x1, x2) adalah menghitung volume daerah yang
dibatasi oleh y = f(x), sumbu-x, di antara x = x1 dan x = x2 di putar mengelilingi
sumbu-x.
1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve( x , x, 0, 4, y) enter
2. Klik icon gambar
3. Tuliskan: VOLUME_OF_REVOLUTION( x , x, 0, 4) enter
4. Klik sama dengan, lalu aproksimasi
![Page 13: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/13.jpg)
43
Menentukan volume benda yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi kurva
x = f(y), y = a, y = b diputar mengelilingi sumbu-y adalah
V = ∫b
a
dxyf ))(( 2π
Contoh 6:
Tentukanlah volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh
kurva 3xy = , sumbu-y, dan garis y = 3 apabila R diputar mengelilingi sumbu-y.
Jawab:
V = ∫4
0
23 )( dxyπ = ∫4
0
3/2. dxyπ
= 76,115
9.9)
2
16(]
5
3[
33
0
3/5 === πππ y
Penyelesaian dengan Derive
Cara 1:
Menggunakan rumus V= ∫b
a
dxyf2))((π
1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve( 3 y , y, 0, 3, x) enter
![Page 14: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/14.jpg)
44
2. Klik icon gambar
3. Deklarasikan: V:= )3,0,,int(. 3/2 yyπ enter
4. Klik sama dengan, lalu klik aproksimasi
Cara 2:
Volume_Of_Revolution(f(y), y, y1, y2) adalah menghitung volume daerah yang
dibatasi oleh x = f(y), sumbu-y, di antara y = y1 dan y = y2 di putar mengelilingi
sumbu-y.
1. Menggambar daerah R: AreaUnderCurve(y1/3
, y, 0, 3, x) enter
2. Klik icon gambar
3. Tuliskan: VOLUME_OF_REVOLUTION(y1/3
, y, 0, 3) enter
4. Klik sama dengan, lalu aproksimasi
![Page 15: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/15.jpg)
45
Metode Cincin.
Menentukan volume benda yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi kurva
y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) ≥ g(x) diantara x = a, x = b diputar mengelilingi
sumbu-x dengan metode cincin adalah
V = ∫ −b
a
dxxgxf ))()(( 22π
Contoh 7:
Tentukanlah volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang dibatasi oleh
kurva 2xy = dan xy 82 = diputar mengelilingi sumbu-x.
![Page 16: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/16.jpg)
46
Jawab:
V = ∫ −2
0
4 )8( dxxxπ = 16,305
48]
52
8[ 2
0
52
==−π
πxx
Penyelesaian dengan Derive
Menggunakan rumus V= ∫ −b
a
dxxgxf22 )()((π :
1. Deklarasikan f(x): x8 dan g(x): = x2
2. Tulislah: AreaBetweenCurves( x8 , x2, x, 0, 2, y)
3. Klik icon gambar
4. Deklarasikan: V:= )2,0,,)()(int(. 22 xxgxf −π enter
5. Klik sama dengan, lalu klik aproksimasi
y = x2
y2 = 8x
![Page 17: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/17.jpg)
47
Jadi volume benda putar yang dibatasi oleh kurva xy 8= dan 2xy =
mengelilingi sumbu-x adalah V = 4 π8 /5 = 30,16.
Tugas Kelompok:
1. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume benda putar yang dibentuk
oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva 2yx = , sumbu-y, dan garis y = 2
apabila R diputar mengelilingi sumbu-y.
2. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R
diputar mengelilingi sumbu-y (Metode Kulit Tabung).
Gunakan:
a. Rumus V = ∫ dxxf )(.2π
b. VOLUMEY_OF_REVOLUTION (y, x, 0, 4)
![Page 18: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/18.jpg)
48
3. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume benda putar dengan metode
kulit tabung diputar mengelilingi sumbu y = c, c konstan.
(Gunakan: rumus V= ∫ −b
a
dxyxc )(2π )
4. Konstruksilah langkah-langkah mencari volume benda putar yang dibentuk
oleh daerah R yang dibatasi oleh kurva 2xy = dan xy 82 = mengelilingi
sumbu-y.
Soal-Soal Latihan
Dalam soal-soal (1-5) gambarlah daerah R yang dibatasi oleh grafik persamaan,
kemudian tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila R diputar
mengelilingi sumbu-x.
1. 0,4,2
=== yxx
yπ
2. 0,4,2,1
==== yxxx
y
3. 0,4,2,9 2 ==−=−= yxxxy
4. 1,0,2 === yxyx
5. 0,4,0,1 ===+= yyxyx
Dalam soal-soal (4-6) gambarlah daerah R yang dibatasi oleh grafik persamaan,
kemudian tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila R diputar
mengelilingi sumbu-y.
6. 3,0,2 === yxyx
![Page 19: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/19.jpg)
49
7. 4,0,2 === yxyx
8. 9,0,2/3 === yxyx
9. 0,4,1,1
==== yxxx
y
10. 0,3, === yxxy
Dalam soal-soal (11-14) gambarlah daerah R yang dibatasi oleh grafik persamaan,
kemudian tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila R diputar
mengelilingi garis yang diberikan.
11. 0,5, === yxxy mengelilingi garis x = 5
12. 0,0),0(9 2 ==≥−= yxxxy mengelilingi garis x = 3
13. 2,0,2 === yxyx mengelilingi garis y = 2
14. 2,0,0,12 ===+= yyxyx mengelilingi garis y = 3
![Page 20: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/20.jpg)
50
6.3. Panjang Kurva Bidang dan Luas Permukaan Benda Putar
Panjang Kurva
Kurva bidang ditentukan sepasang persamaan parametrik x = f(t), y = g(t),
a ≤ t ≤ b, dengan fungsi f dan g kontinu pada selang tersebut. Anggp t
menyatakan waktu, apabila t bertambah dari a ke b maka (x, y) menyelusuri suatu
kurva di bidang.
Rumus panjang kurva:
∫ +=b
a
dttgtfL22 )(')(' ; bentuk parametrik x = f(t), y = g(t), dan a ≤ t ≤ b.
Contoh 8:
Carilah panjang kurva x = 3 t2 +2, y = 2 t
3-
2
1 dengan 1 ≤ t ≤ 4
Jawab:
dx/dt = 6t, dy/dt = 6t2
∫ +=b
a
dttgtfL22 )(')(' = ∫ +
4
1
222 )6()6( dttt
= 6 ∫ +4
1
42dttt = 6 ∫ +
4
1
21 dttt
Misalkan u = 1 + t2 maka du = 2t dt
Untuk t = 1 diperoleh u = 2 dan t = 4 diperoleh u =17
Sehingga:
6 ∫ +4
1
21 dttt = 3 ∫17
2
duu = 17
2
2/3 ][2 u = 2(173/2
-23/2
) = 134,53
Jadi panjang kuva adalah 134,54 satuan panjang
![Page 21: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/21.jpg)
51
PARA_ARC_LENGTH(v, t, a, b) adalah menghitung panjang kurva bentuk
parametrik bentuk vektor v = [x(t), y(t)] dengan a ≤ t ≤ b.
Cara 1 (menggunakan PARA_ARC_LENGTH(v, t, a, b):
1. Tulislah: PARA_ARC_LENGTH([3t2 + 2 , 2 t
3-1/2], t, 1, 4) enter.
2. Klik sama dengan, lalu aproksimasi
Cara 2 (menggunakan rumus):
1. Deklarasikan: f(t):= dif(3t2 + 2, t) dan g(t):= dif(2 t
3 – 1/2, t)
2. Deklarasikan: L:=int(√(f(t)2 + g(t)
2), t, 1, 4). Klik sama dengan, lalu
aproksimasi
![Page 22: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/22.jpg)
52
Rumus panjang kurva:
∫ +=b
a
dxxfL2)('1 ; bentuk y = f(x), dan a ≤ x ≤ b.
Contoh 9:
Carilah panjang kurva 2/3xy = dari titik (1,1) ke titik (4,8).
Jawab:
dy/dx = 2/1
2
3x
∫ +=b
a
dxxfL2)('1 = ∫ +
4
1
22/1 )2
3(1 dxx = ∫ +
4
14
91 dxx
Misal u = 1 + 9/4 x maka du = 9/4 dx
![Page 23: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/23.jpg)
53
Untuk x = 1 diperoleh u =13/4 dan x = 4 diperoleh u =10
∫ +4
14
91 dxx = ∫
10
4/139
4duu = 10
4/13
2/3 ]3
2[
9
4u = ]
4
1310[
27
82/3
2/3 − = 7,63
Penyelesaian dengan Derive:
ARC_LENGTH(f(x), x, a, b) adalah menghitung panjang kurva bentuk y = f(x)
dengan a ≤ x ≤ b.
Cara 1 (menggunakan ARC_LENGTH(f(x), x, a, b):
1. Tulislah: ARC_LENGTH( 2/3x , x, 1, 4) enter.
2. Klik sama dengan, lalu aproksimasi
Jadi panjang kurvanya adalah 7,63
Cara 2 (menggunakan rumus):
1. Deklarasikan: f(x):=dif(x3/2
, x)
![Page 24: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/24.jpg)
54
2. Deklarasikan: L:=int(√(1 + (f(x))2), x, 1, 4)
3. Klik sama dengan, lalu aproksimasi
Tugas Kelompok::
Selesaikan contoh 9 dengan menggunakan:
a. Rumus: ∫ +=b
a
dyyfL2)('1 ; bentuk x = f(y), dan a ≤ y ≤ b.
b. Konstruksi dengan Derive
![Page 25: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/25.jpg)
55
Luas Permukaan Benda Putar
Rumus luas permukaan benda putar:
∫ +=b
a
dttgtftgA22 )(')(')(2π ; bentuk parametrik x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b
diputar mengelilingi sumbu-x.
∫ +=b
a
dxxfxfA2)('1)(2π ; bentuk y = f(x), dan a ≤ x ≤ b diputar mengelilingi
sumbu-x.
Area_Of_Revolution(f(x), x, a, b) adalah menghitung luas permukaan bila
y = f(x) antara x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu-x.
Areay_Of_Revolution(f(x), x, a, b) adalah menghitung luas permukaan bila
y = f(x) antara x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu-y.
Contoh 10:
Carilah luas permukaan benda putar bila kurva xy = , 0 ≤ x ≤ 4 diputar
mengelilingi sumbu-x.
Jawab:
dy/dx = 1/2√x
∫ +=b
a
dxxfxfA2)('1)(2π = ∫ +
4
0
2)2
1(12 dx
xxπ = ∫ +
4
0
14 dxxπ
= 18,36])14(3
2.
4
1.[ 4
0
2/3 =+xπ
Penyelesaian dengan Derive:
Cara 1 (menggunakan Area_Of_Revolution(f(x), x, a, b) ):
1. Tulislah: Area_Of_Revolution(√, x, 0, 4) enter.
![Page 26: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/26.jpg)
56
2. Klik sama dengan, lalu aproksimasi
Jadi luas permukaan benda putar adalah 36,18
Cara 2 (menggunakan rumus):
1. Deklarasikan: f(x):=√x enter
2. Deklarasikan: g(x):=dif(f(x), x) enter
3. Deklarasikan: A(R):= 2π.int(√(1 + (g(x))2), x, 0, 4)
4. Klik sama dengan, lalu aproksimasi
![Page 27: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/27.jpg)
57
Tugas Kelompok:
1. Konstruksilah langkah-langkah mencari panjang kurva x = y2; 0 ≤ y ≤ 2 dalam
dua cara.
2. Konstruksilah langkah-langkah mencari luas permukaan benda putar bila
kurva 2/3xy = , 1 ≤ x ≤ 4 diputar mengelilingi sumbu-y dalam dua cara.
3. Konstruksilah langkah-langkah mencari luas permukaan benda putar bila
kurva )cos(2 tx = )sin(4 ty = , -2 ≤ t ≤ 2 diputar mengelilingi sumbu-x.
![Page 28: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/28.jpg)
58
Soal-soal Latihan
Carilah panjang kurva-kuva yang diberikan
1. 31,2 =−== xdanxdiantaraxy
2. π20),sin( === xdanxdiantaraxy
3. 31,32 ==+= xdanxdiantaraxy
4. 53/1,4 2/3 === xdanxdiantaraxy
5. 81,)4( 2/33/2 ==−= xdanxdiantaraxy
6. 32,2
1
16 2
4
−=−=+= ydanydiantaray
yx
7. π20),sin( === ydanydiantarayx
8. 10;2
,2
3 ≤≤== tt
ytx
9. π≤≤−== ttytx 0;5)cos(4),sin(4
10. π20);(cos),(sin 33 ≤≤== ttaytax
Carilah luas permukaan benda putar yang terbentuk bila kurva-kurva:
11. xsumbugimengelilinxxy −≤≤= 10,6
12. ysumbugimengelilinxxy −≤≤= 10,6
13. xsumbugimengelilinxxy −≤≤= 71,3/3
14. ysumbugimengelilinxxy −≤≤= 71,3/3
15. xsumbugimengelilinxtytx −≤≤== 10,, 3
![Page 29: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/29.jpg)
59
6.4. Momen dan Pusat Massa
Momen
Hasil kali massa m suatu partikel dengan jarak berarahnya dari suatu titik
(lengan tuas) dinamakan momen partikel terhadap titik tersebut. Dengan kata lain
Momen = panjang lengan tuas kali massa atau ∑= mxM
m
∆ x
Gambar 1.
Jadi,
∑
∑
=
===n
i
i
n
i
ii
m
mx
m
Mx
1
1
Titik x dinamakan pusat massa (titik kesetimbangan)
Contoh 11:
Massa sebesar 4, 2, 6, dan 7 kilogram masing-masing diletakkan pada titik-titik
0, 1, 2, dan 4 sepanjang sumbu-x. Carilah pusat massanya.
Jawab:
21,219
42
7624
)7)(4()6)(2()2)(1()4)(0(==
+++
+++=x
Distribusi massa yang kontinu sepanjang kawat dengan kepadatan di x adalah δ(x)
adalah
![Page 30: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/30.jpg)
60
∫
∫==
b
a
b
a
dxx
dxxx
m
Mx
)(
)(
δ
δ
Contoh 12:
Kepadatan δ(x) sepotong kawat di titik yang terletak x sentimeter dari salah satu
ujungnya adalah δ(x) = 3x2 gram/sentimeter. Tentukan pusat massa kawat antara
x = 0 dan x = 10.
Jawab:
cm
dxx
dxxx
xb
a
b
a 5,71000
7500
3
3.
2
2
===
∫
∫
Tugas: Hitung contoh 12 di atas menggunakan derive
Pusat Massa (centroid)
Area_Centroid(x, a, b, y, f(x), g(x)) adalah untuk menghitung pusat massa
daerah R yang dibatasi oleh a ≤ x ≤ b dengan y = f(x) dan y = g(x).
Contoh 13: Tentukanlah pusat massa daerah R yang dibatasi oleh 0 ≤ x ≤ 1,
y = √x, dan y = x3.
Penyelesaian dengan Derive:
1. Gambar daerah R: AreaBetweenCurves(√x, x3, x, 0, 1, y)
2. Gambar pusat massa: Area_Centroid(x, 0, 1, y, (√x, x3)
3. Klik sama dengan, lalu aproksimasi
![Page 31: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/31.jpg)
61
Jadi pusat massa daerah R adalah (0,48; 0,43)
Tugas:
Hitunglah contoh 13 di atas dengan menggunakan rumus:
∫
∫
−
−
=b
a
b
a
dxxgxf
dxxgxfx
x
)()([
)]()([
∫
∫
−
−
=b
a
b
a
dxxgxf
dxxgxfx
y
)()([
])()([ 22
![Page 32: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/32.jpg)
62
Soal-Saol Latihan
1. Partikel-partikel bermassa m1 = 5, m2 = 7, dan m3 = 9 terletak di x1 = 2,
x2 = -2, dan m3 = 1 sepanjang suatu garis. Carilah pusat massanya.
2. Feni dan Wati beratnya masing-masing 25 dan 15 kilogram duduk pada ujung-
ujung papan yang panjangnya 3 meter dengan titik tumpu di tengah-tengah
papan. Dimanakah Ari dengan berat 10 kilogram harus duduk agar papan
tersebut dalam keadaan setimbang?
3. Sepotong kawat lurus panjangnya 7 satuan mempunyai kepadatan δ(x) = √x
pada sebuah titik yang jauhnya x-satuan dari salah satu ujungnya. Tentukan
jarak dari ujung ini ke pusat massa kawat.
Dalam soal-soal 4-5, Massa-massa dan koordinat-koordinat suatu sistem partikel
dalam bidang koordinat diberikan. Tentukanlah momen dan pusat massanya.
4. 2, (1,1); 3, (7,1); 4, (-2,-5); 6, (-1,0); 2, (4,6)
5. 5, (-3,2); 6, (-2,-2); 2, (3,5); 7, (4,3); 1, (7,-1)
Dalam soal-soal 6-8, Carilah centroid daerah yang dilingkupi oleh kurva yang
diberikan dan buatlah grafiknya.
6. 0,2 2 =−= yxy
7. 1,0,3 === xyxy
8. 1,2,42 ==−= xxyxy
9. Untuk setiap lamina homogen R1 dan R2 yang ditunjukkan dalam gambar,
carilah m, Mx, My, ydanx, .
![Page 33: BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Luas Daerah Bidang · PDF fileSoal-Soal Latihan ... Konstruksilah langkah-langkah mencari volume pada contoh 6, untuk R diputar mengelilingi sumbu-y](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022012308/5a7952ee7f8b9a260e8b7a82/html5/thumbnails/33.jpg)
63
10. Untuk lamina homogen R yang ditunjukkan dalam gambar, carilah m, Mx, My,
ydanx, .