bab2. integral tak wajar
TRANSCRIPT
Mat2-unpad
INTEGRAL TAK WAJAR1
Mat2-unpad
Integral Tak Wajar
Dalam mendefinisikan integral tentu sebagai limit jumlahreiman ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu :
b
a
dxxf )(
a. Batas pengintegralan berhingga
b. Integran(f (x)) kontinu pada selang pengintegralan
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi makaintegral itu disebut integral tak wajar
Jenis-jenis integral tak wajar
a. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga
b. Integral tak wajar dengan integran tak kontinu
2
Mat2-unpad
a. Integral Tak Wajar , Batas Pengintegralan Tak HinggaDefinisi :
b
a
b
adxxfdxxf )(lim)(
b
aab
dxxfdxxf )(lim)(
Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak wajar disebut konvergen, sebaliknya disebut divergen
(i)
(ii)
(iii)
c
cdx)x(fdx)x(fdx)x(f
b
cb
c
aadx)x(flimdx)x(flim
cdx)x(f
c
dx)x(f
dx)x(fJika dan konvergen,maka konvergen
3
42
1lim
2 be x
b
Mat2-unpad
Contoh: Periksa kekonvergenan ITW
0
2
dxxe xdxxxe
4
2
)xx(
dx
522a. b. c.
Jawab :
dxxedxxxeb
x
b
4
2
lim4
2a.
2
1
2
1
2
1lim
2
a
ae
Jadi integral tak wajar konvergen ke
b.
ae x
a
0
2
1lim
2
dxxedxxxea
x
a
0
2
lim0 2
1616
2
1
2
1 2
eeelim b
b
Jadi integral tak wajar konvergen ke -1/2
16
2
1 e
4
Mat2-unpad
12
1
2 5252522 xx
dx
xx
dx
)xx(
dx
1
122 52
lim52
lima
b
ba xx
dx
xx
dx
b
x
ba
x
a1
211
1
211 tan
2
1limtan
2
1lim
1tantan2
1limtan1tan
2
1lim 1
211
2111
b
b
a
a
422
1
242
1
c.
2
2
Jadi integral tak wajar konvergen ke
5
Mat2-unpad
b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Kontinu
(i) Integran Tak Kontinu di Ujung Selang
Jika f kontinu pada [a,b) dan maka
)x(flimbx
s
abs
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
Jika f kontinu pada (a,b] dan maka
)x(flimax
b
tat
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
Jika limit ruas kanan ada, maka Integral tak wajar dikatakan konvergen, sebaliknya dikatakan divergen
6
Mat2-unpad
(ii) Integran Tak Kontinu di Titik Dalam Selang Pengintegralan
Jika f(x) kontinu pada [a,b], kecuali di c dengan a < c < b dan
)(lim xf
cxmaka
b
cdxxf
c
adxxf
b
adxxf )()()(
b
tdxxf
s
a ctdxxf
cs)(lim)(lim
I II
Jika I dan II ada dan berhingga maka integral tak wajarb
a
dxxf )(
konvergen.
7
Mat2-unpad
Contoh Periksa kekonvergenan Integral Tak Wajar
1
0
dxx
xln
Jawab :
x
xln)x(f Karena fungsi tidak kontinu di x=0 dan
x
xlnlim
x 0maka
1
0
1
0
lnlim
ln
tt
dxx
xdx
x
x
tx
t
1)(ln
2
1lim 2
0
2
0)(ln0
2
1lim tt
Integral tak wajar divergen
8
dxx
x
2
0 1
Mat2-unpad
dxx
x
2
0 1
Contoh: Periksa kekonvergenan integral tak wajar
Jawab :
Fungsi diskontinu di x=1 ,x
xxf
1)(
2
1
1
0
2
0 111dx
x
xdx
x
xdx
x
x
s
tts
dxx
xdx
x
x
0
2
11 1lim
1lim
0|1|lnlim1
sss
ss
ssxxdx
x
x
0011
|1|lnlim1
lim
Karena
maka integral tak wajar divergen
x
x
x
xxx 1limdan
1lim
11
9
Mat2-unpad
Integral takwajar bisa juga muncul dalam bentuk gabungan dari dua jenis diatas, yaitu batas pengintegralan takhingga dan integran diskontinu pada batas pengintegralan, seperti contoh Berikut.
Contoh: Periksa kekonvergenan integral tak wajar
0 1dx
x
x
Jawab :Integral diatas merupakan integral tak wajar karena - batas atas integral tak hingga
sehingga
0 1dx
x
x
1
0
2
1 2 111dx
x
xdx
x
xdx
x
x
x
xxf
1)( diskontinu di x = 1,
x
x
x
xxx 1limdan
1lim
11
10
Mat2-unpad
b
btt
s
s
dxx
xdx
x
xdx
x
x
2
2
101 111 limlimlim
Karena
0111 10
011
|s|lnslim|x|lnxlimdxx
xlim
s
ss
ss
Maka integral tak wajar divergen .
0 1dx
x
x
Soal-soal latihan
Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut
024 x
dx
0 4 dxxe
1
1 x
dx
1
0 21 x
dxa. b. c. d.
222 )1( x
dxxe.
11