Bab 6GAYA GESER DAN MOMEN TEKUK

Tinjauan Instruksional Khusus:

Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep dasar momen tekuk dalam

kaitanya dengan bentuk konstruksi dan bentuk pembebanan; memahami konsep gaya

internal, tahanan momen serta hubungan antara intensitas beban, gaya geser dan

momen tekuk.

Definisi balok (beam)

Suatu batang yang dikenai gaya-gaya atau pasangan gaya-gaya

serta momen (couple) yang terletak pada suatu bidang yang mempunyai sumbu

longitudinal disebut balok (beam). Gaya-gaya disini bekerja tegaklurus terhadap sumbu

horisontal.

Balok konsole (cantilever)

Jika suatu balok disangga atau dijepit hanya pada salah satu

ujungnya sedemikian sehingga sumbu balok tidak dapat berputar pada titik tersebut,

maka balok tersebut disebut balok gantung, balok kantilever (cantilever beam). Tipe balok

ini antara lain ditunjukkan pada Gb. 6-1. Ujung kiri balok adalah bebas terhadap tekukan

dan pada ujung kanan dijepit. Reaksi dinding penyangga pada ujung kanan balok terdiri

atas gaya vertikal sebesar gaya dan pasangan gaya-gaya yang bekerja pada bidang

balok.

Gb. 6-1Balok sederhana

Suatu balok yang disangga secara bebas pada kedua ujungnya

disebut balok sederhana. Istilah “disangga secara bebas” menyatakan secara tidak

langsung bahwa ujung penyangga hanya mampu menahan gaya-gaya pada batang dan

tidak mampu menghasilkan momen. Dengan demikian tidak ada tahanan terhadap rotasi

pada ujung batang jika batang mengalami tekukan karena pembebanan. Batang

sederhana diilustrasikan pada Gb. 6-2.

31

P W N/m

P W N/m

(a) (b)

M

Gb. 6-2

Perlu diperhatikan bahwa sedikitnya satu dari penyangga harus

mampu menahan pergerakan horisontal sedemikian sehingga tidak ada gaya yang

muncul pada arah sumbu balok.

Balok pada Gb. 6-2(a) dikatakan dikenai gaya terkonsentrasi atau

gaya tunggal; sedang batang pada Gb. 6-2(b) dibebani pasangan beban terdistribusi

seragam.

Balok menggantung

Suatu balok disangga secara bebas pada dua titik dan

menggantung di salah satu ujungnya disebut balok menggantung (overhanging beam).

Dua contoh ditunjukan pada Gb. 6-3.

Gb. 6-3

Balok statis tertentu

Semua balok-balok yang kita diskusikan diatas, kantilever, balok

sederhana, balok menggantung, adalah balok dimana reaksi-reaksi gayanya dapat

ditentukan dengan menggunakan persamaan kesetimbangan statis. Nilai reaksi-reaksi ini

tidak tergantung pada perubahan bentuk atau deformasi yang terjadi pada balok. Balok-

balok demikian disebut balok statis tertentu.

Balok statis tak-tertentu

Jika jumlah reaksi yang terjadi pada balok melebihi jumlah

persamaan kesetimbangan statis, maka persamaan statis harus ditambah dengan suatu

persamaan sebagai fungsi deformasi balok. Pada kasus demikian balok dikatakan statis

tak-tertentu. Contoh-contohnya ditunjukkan pada Gb. 6-4.

Gb. 6-4

32

P2 WP1 P3 P

P W P2P1

(a) (b) (c)

Tipe pembebanan

Beban biasanya dikenakan pada balok dalam bentuk gaya

terkonsentrasi (bekerja pada satu titik), dan beban terdistribusi seragam dimana besarnya

dinyatakan sebagai gaya per satuan panjang, atau beban bervariasi seragam. Tipe beban

yang terakhir ini diilustrasikan pada Gb. 6-5.

Balok dapat juga dibebani dengan couple atau momen; besarnya

biasanya dinyatakan sebagai Newton-meter (N.m).

Gb. 6-5

Gaya internal dan momen pada balok

Ketika balok dibebani dengan gaya atau momen, tegangan

internal terjadi pada batang. Secara umum, terjadi tegangan normal dan tegangan geser.

Untuk menentukan besarnya tegangan-tegangan ini pada suatu bagian atau titik pada

balok, perlu diketahui resultan gaya dan momen yang bekerja pada bagian atau titik

tersebut. Ini dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan-persamaan

kesetimbangan.

Contoh 1.Misalkan beberapa gaya bekerja pada balok seperti ditunjukkan pada Gb. 6-6(a).

Gb. 6-6

Pertama kita amati tegangan internal sepanjang bidang D, yang lerletak pada jarak x dari ujung kiri balok. Untuk itu balok dipotong pada D dan porsi balok disebelah kanan D dipindahkan. Porsi yang dipindahkan kemudian digantikan dengan suatu efek untuk bagian sebelah kiri D yaitu berupa gaya geser vertikal V bersama-sama dengan suatu momen M seperti ditunjukkan pada Gb. 6-6(b).

Gaya V dan momen M menahan balok sebelah kiri yang mempunyai gaya-gaya R1, P1, dan P2 tetap dalam kesetimbangannya. Nilai-nilai V dan M adalah positip jika posisinya seperti pada Gb. diatas.

Tahanan momen

Momen M yang ditunjukkan pada Gb. 6-6(b) disebut tahanan

33

W0

P1

(a) (b)

MP2 P3 P4

R1 R2

A CB D

x

x

R1

xV

A Da

b

P1 P2

momen (resisting moment) pada bagian D. Besarnya M dapat diperoleh dengan

menggunakan persamaan statis yang menyatakan bahwa jumlah seluruh gaya terhadap

poros yang melalui D dan tegak lurus bidang adalah nol. Jadi,

atau

Dengan demikian tahanan momen M adalah momen pada titik D yang dibuat dengan

momen-momen reaksi pada A dan gaya-gaya P1 dan P2. Momen tahanan M merupakan

resultan momen karena tekanan yang didistribusikan pada bagian vertikal pada D.

Tegangan-tegangan ini bekerja pada arah horisontal dan merupakan suatu tarikan pada

bagian-bagian tertentu pada penampang melintang dan suatu tekanan pada bagian-

bagian lainnya. Sifat-sifat ini akan didiskusikan di bab 8.

Tahanan geser

Gaya vertikal V yang ditunjukkan pada Gb. 6-6(b) disebut tahanan

geser (resisting shear) untuk D. Untuk kesetimbangan gaya pada arah vertikal,

atau

Gaya V ini sebenarnya merupakan resultan tegangan geser yang didistribusikan pada

bagian verikal D. Sifat-sifat tegangan ini lebih lanjut akan didiskusikan di bab 8.

Momen tekuk

Jumlah aljabar momen-momen gaya luar pada satu sisi bagian D

terhadap suatu sumbu yang melalui D disebut momen tekuk (bending moment) pada D.

Untuk pembebanan seperti ditunjukkan pada Gb. 6-6, momen tekuk dinyatakan dengan:

Jadi momen tekuk merupakan kebalikan (arah) dari tahanan momen dengan besaran

yang sama. Momen tekuk juga dinotasikan dengan M. Momen tekuk lebih lazim

digunakan daripada tahanan momen dalam perhitungan karena momen ini dapat

dinyatakan secara langsung dari beban atau gaya-gaya eksternalnya.

Gaya geser

Jumlah aljabar seluruh gaya vertikal disebelah kiri titik D disebut

gaya geser (shearing force) pada titik tersebut. Untuk pembebanan diatas dinyatakan

dengan . Gaya geser adalah berlawanan arah dengan tahanan geser tetapi

besarnya sama. Biasanya dinyatakan dengan V. Dalam perhitungan gaya geser lebih

sering digunakan daripada tahanan geser.

34

Konvensi tanda

Konvensi atau kesepakatan pemberian tanda untuk gaya geser

dan momen tekuk ditunjukkan pada Gb. 6-7. Suatu gaya yang menyebabkan balok

tertekuk dalam posisi cekung disebut menghasilkan momen tekuk positip. Suatu gaya

yang menyebabkan pergeseran porsi batang sebelah kiri naik terhadap porsi batang

sebelah kanan dikatakan menghasilkan gaya geser positip.

Gb. 6-7

Metode yang lebih mudah untuk menentukan tanda aljabar dari

momen tekuk pada sembarang titik adalah: gaya luar menuju keatas menghasilkan

momen tekuk positip, gaya kebawah menghasulkan momen tekuk negatip.

Persamaan pergeseran dan momen

Untuk mempermudah analisa biasanya digunakan sistem

koordinat disepanjang balok dengan origin di salah satu ujung balok. Dengan sistem

koordinat ini maka akan dapat diketahui gaya geser dan momen tekuk pada seluruh

bagian disepanjang balok, dan untuk tujuan ini maka biasanya dibuat dua buah

persamaan, satu menyatakan gaya geser V sebagai fungsi jarak, misal x, dari salah satu

ujung balok, dan satu lagi menyatakan momen tekuk M sebagai fungsi x.

Diagram gaya geser dan momen tekuk

Plot untuk persamaan gaya geser V dan momen tekuk M masing-

masing disebut diagram gaya geser dan diagram momen tekuk. Pada diagram ini absis

(horisontal) menyatakan posisi bagian disepanjang balok dan ordinat (vertikal)

menyatakan nilai dari gaya geser dan momen tekuk. Dengan demikian, diagram ini

menyatakan secara grafis variasi gaya geser dan momen tekuk pada sembarang titik dari

batang. Dari plot-plot ini maka akan sangat mudah untuk menentukan nilai maksimum

setiap kuantitasnya.

Hubungan antara intensitas beban, gaya geser, dan momen tekuk

Suatu balok sederhana dengan beban bervariasi yang dinyatakan

dengan w(x) diilustrasikan seperti pada Gb. 6-8. Sistem koordinat dengan origin diujung

35

Momen tekuk negatipMomen tekuk positip

Gaya geser positip Gaya geser negatip

kiri (A) dan variasi jaraknya dinyatakan dengan variabel x.

Gb. 6-8

Untuk suatu nilai x, hubungan antara beban w(x) dan gaya geser V adalah

dan hubungan antara gaya geser dengan momen tekuk M adalah

Hubungan-hubungan ini akan dijabarkan dalam contoh 2.

Fungsi singularitas

Untuk mempermudah penanganan problem yang melibatkan beban dan momen

terkonsentrasi secara bersamaan, maka diperkenalkan fungsi sebagai berikut:

dimana untuk n > 0. Kuantitas didalam kurung akan bernilai nol jika x < a dan bernilai (x-

a)n jika x > a. Ini merupakan fungsi singularitas atau fungsi separoh selang. Dengan

demikian jiga argumennya positip maka nilai didalam kurung berlaku sebagaimana

pernyataan biasa. Contoh aplikasinya akan kita diskusikan dalam contoh 3.

Contoh 2.Jabarkan hubungan antara intensitas beban, gaya geser dan momen tekuk untuk suatu titik pada balok.

Kita misalkan suatu balok dikenai pembebanan seperti pada gambar (a). Kita isolasikan suatu elemen balok sepanjang dx dan menggambarkan diagram gaya-gaya yang bekerja pada elemen tersebut. Gaya geser V bekerja pada sisi kiri elemen dan untuk elemen sepanjang dx tersebut besarnya berubah menjadi V + dV. Demikian juga momen tekuk M yang bekerja pada sisi kiri elemen berubah secara bertahap menjadi M + dM di sisi kanan. Karena dx adalah sangat kecil, beban diatas elemen tersebut dapat dianggap seragam yaitu sama dengan w N/m. Diagram gaya-gaya ini diilustrasikan pada gambar (b). Untuk kesetimbangan momennya, kita peroleh

(a) (b)

36

x dx

x

w(x)

x dx

x

w(x)

dx

V V+dV

w N/m

M M+dMO .

atau

Karena term terakhir berisi produk dua diferensial, maka term tersebut diabaikan untuk diperbandingkan dengan bentuk lain yang hanya melibatkan satu diferensial. Dengan demikian,

atau

Jadi gaya geser adalah sama dengan laju perubahan momen tekuk terhadap x.

Persamaan ini sangat bermanfaat dalam penggambaran diagram gaya geser dan momen tekuk khususnya untuk pembebanan yang sangat rumit. Misalnya, dari persamaan ini diperoleh bukti bahwa bila gaya geser adalah positip pada suatu bagian balok maka slope atau kemiringan momen tekuknya pada bagian atau titik itu juga positip. Juga, dapat dibuktikan bahwa perubahan yang tiba-tiba pada gaya geser juga diikuti oleh perubahan yang tiba-tiba pada kemiringan diagram momen tekuknya.

Selanjutnya, pada titik-titik dimana gaya gesernya nol, maka kemiringan diagram momennya juga nol. Pada titik-titik ini, dimana diagram momennya adalah horisontal, besarnya momen bisa merupakan nilai maksimum atau minimum. Ini mengikuti teknik kalkulus dalam penentuan titik maksimum atau minimum suatu kurva dengan memberikan nilai nol pada turunan pertama fungsi kurva. .

Untuk menentukan arah kecekungan kurva pada suatu titik, kita dapat membuat turunan kedua dari M terhadap x, yaitu d2M/dx2. Apabila nilai turunan kedua ini positip maka diagram momennya cekung keatas dan momennya menunjukkan nilai minimum. Bila turunan kedua adalah negatip, maka diagram momen adalah cekung kebawah (cembung), dan momennya memiliki nilai maksimum.

Untuk persamaan kesetimbangan vertikal pada elemen, kita peroleh

atau

Formula ini bermanfaat untuk pembuatan diagram gaya.

Contoh 3.Suatu balok kantilever dikenai pembebanan beban terkonsentrasi pada ujungnya dan beban terdistribusi pada separoh kanan panjang balok, seperti terlihat pada gambar (a). Dengan menggunakan fungsi singularitas, tulislah persamaan-persamaan gaya geser dan momen tekuk pada sembarang titik pada balok dan gambarkan diagram gaya dan momennya.

Diagram gaya-gaya ditunjukkan pada gambar (b). Dari gambar ini kita peroleh persamaan kesetimbangan statis:

meskipun untuk kasus kantilever ini sebenarnya kita tidak perlu menuliskan persamaan-persamaan gaya geser dan momen tekuknya.

Berdasarkan sistem koordinatnya, dengan origin O, beban

37

(a)

P

B

w / unit panjang

L/2 L/2

(b)

P

B

w / unit panjang

O

V1

M1

x

terkonsentrasi P dan beban terdistribusi menghasilkan gaya geser negatip berdasarkan konvensi tandanya. Dengan demikian kita dapatkan:

yang mengindikasikan gaya geser pada setiap posisi x .Secara sama, momen tekuk pada setiap posisi x adalah

Dengan demikian, diagram gaya geser dan momen tekuknya adalah seperti ditunjukkan pada gambar (c) dan (d) dibawah ini.

38

(a)

P

B

w / unit panjang

L/2 L/2

Gaya geser

(c)

P

woL/2

Momen tekuk

(d)

PL+woL2/8PL/2