bab7 kinematika rigid body pada bidang datar

5/17/2018 Bab7 Kinematika Rigid Body Pada Bidang Datar

1/15

7KINEMATIKA RIGID BODY PADA BIDANGDATAR7.1. DEFINISI7.1.1. Benda Kaku (Rigid Body)

Yaitu sebuah benda yang jarak antara titik-titik massa pada benda tersebut tidakberubah.Tentunya bila sebuah benda dikenai beban (misal ditekan a/au ditarik), maka

benda ini akan mengalami deformasi (perubahan bentuk), oleh karenanya tidakmungkin jarak antara titik-titik massa pada suatu benda tidak berubah bila bendatersebut dikenai beban.

Namun karena deformasi yang terjadi sangat kecil, maka deformasi ini dapatdiabaikan, sehingga dalam konsep kinematika, untuk benda kaku jarak antara titik-titikmassanya dianggap tidak berubah. Demi kemudahan, untuk selanjutnya benda kakudisebut benda.7.1.2. Gerak Pada Bidang Datar (plane Motion)

Yaitu gerak yang dilakukan oleh benda, dimana semua titik-titik massa benda inibergerak pada bidang-bidang datar yang paralel.

Gerakan benda kaku (rigid body) pada bidang datar dibedakan menjadi tiga macam,antara lain :

131


2/15

1. Translasi (Translation)2. Rotasi terhadap sumbu tetap (Rotation about a fixed axis)3. Gerak umum (General plane motion)

7.1.2.1. TranslationGerakan rigid body dikatakan translation, bila semua partikel yang rnenurnbuk rigid

body tersebut melalui lintasan paralel. Bila gerakan partikel- partikel tersebut lurus, rnakagerakan rigid body dinarnakan rectilinear translation (seperti terlihat pada Garnbar 7.l.a,di bawah)Bila gerakan partikel- partikel tersebut mernbentuk suatu kurva, maka gerakan rigid bodytersebut dinarnakan curvilinear translation. (seperti terlihat pada Gambar 7.l.b, di bawah)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a) (b)Gambar 7.1. Translation

7.1.2.2. Rotation About A Fixed AxisDalam gerak rotasi, partikel yang membentuk body bergerak pada bidang - bidang

yang sejajar melalui lingkaran -lingkaran dengan pusat yang sarna. (seperti terlihat padaGambar 7.2, di bawah)

Gambar 7.2. Rotation About A Fixed Axis

132


3/15

Apabila sumbu putamya memotong body, maka partikel- partikel yang terletak pada sumbuputar mempunyai kecepatan dan percepatan.

Pada Gambar 7.3 di bawah, ditunjukkan perbedaan curvilinear translation dan rotationabout a fixed axis.

I , , / / " " / /", I

l' ,. i~'~'-----'-",,,-.,.-,,.~i:---,-,/~".,.""..Jr-"""'--t------''''=-1

. . . . . . . -

Gambar 7.3. Perbedaan Curvilinear Translation dan Rotation About A Fixed Axis

7.1.2.2. General Plane MotionDalam general plane motion, partikel yang membentuk body bergerak pada

bidang - bidang yang sejajar. Bidang - bidang tersebut tidak bergerak translasi dan jugatidak rotasi.

General plane motion bukan tennasuk gerak translasi maupun gerak rotasi.Kecepatan pada gerak ini boleh dianggap bahwa terjadi gerak rotasi terhadap sebuahsumbu tetapi hanya untuk waktu sesaat saja. Dan untuk selanjutnya sumbu tersebut disebutsebagai sumbu putar sesaat. Sedangkan untuk percepatan pada gerak ini, adalah gerakgabungan antara gerak translasi dan gerak rotasi.

7.2. GERAK TRANSLASI (TRANSLATION MOTION)Dengan memperhatikan suatu rigid body yang bergerak translasi (gerak lurus

ataupun gerak yang membentuk kurva), seperti terlihat pada Gambar 7.4, di bawah.

133


4/15

ay

xx

z zGambar 7.4. Gerak Translasi

Dimisalkan rA dan rB , adalah vektor posisi titik A dan titik B, yang terletak padarigid body, sedangkan r B A adalah vektor posisi B relative terhadap A. Maka persamaanrelative untuk titik A dan titik B , adalah :r B = A + r B ABila persamaan terse but dideferensialkan terhadap waktu, maka persamaan tersebut

akan berubah menjadi :d r dr, d r H A-=-+--d t d t d tKarena rigid body di atas bergerak translasi, maka vektor rB A arahnya adalah

tetap, besarnya juga tetap, sehingga untuk keadaan ini berlaku :d r H A . .Tt=O .jadi :d r s dr,d t d t

VB =VA ........................ . (7.1)Bila persamaan terse but dideferensialkan terhadap waktu, maka persamaan tersebut

akan berubah menjadi :aB = aA (7.2)

7.3. GERAK ROTASI (ROTATION MOTION)Bila vektor kecepatan sudut OJ = e . k ,maka kecepatan sudut partikel P, dapat

ditulis sebagai hasil perkalian vektor, sebagai berikut :d rv=-=OJxrd t (7.3)

134


5/15

Sedang percepatan partikel P, dapat diperoleh dengan mendefferensialkan vterhadap waktu, sebagai berikut :

-dv d t: -)a =-=-\OJxrdt dt-dOJ - - dra=-Xr+OJX-dt dt

a = ax;+OJx~x;)Dimana:a =percepatan sudut body.

(7.4)

Gerak rotasi di sekitar sumbu tetap dapat juga digambarkan sebagai gerak bidangtipis yang dipotong dari body tersebut, dan tegak lurus sumbu putar. Misalnya bidang tipisyang dipotong dari body tersebut, berimpit dengan bidang x - y, sedangkan sumbu putarbody adalah sumbu z yang tegak lurus bidang x - y. (lihat Gambar 7.5 di bawah).

Bila kecepatan sudut body ditulis secara vektor k,maka kecepatan partikeI P yangberjarak r dari sumbu putar, adalah:

-v = OJ.kXr , '" (7.5)Percepatan partikeI P, adalah :

~= a .k X ~- OJ2r = a t + alla t =a.k:all = -OJ2.r (7.6)

a t =akxr

v = tak x r

OJ=OJka+ak

Gamba r 7.5. Ger a k Rot a si

135


6/15

Gerakan rigid body yang berotasi terhadap surnbu tetap diketahui apabila koordinatsudut edapat dinyatakan sebagai fungsi e . Lebih jauh lagi gerakan dari rigid body yangberotasi terhadap surnbu tetap, ditentukan oleh percepatan sudutnya. Misalnya percepatansudut sebagai fungsi e , atau sebagai fungsi waktu t, atau sebagai fungsi kecepatan sudut.Dengan rnengetahui, bahwa :

de0)=- dandt '

dai d2ea=-=--dt dt2 (7.7)Dengan menggunakan :

dedt = - ,dapat diperoleh :0) ,doi doi doia=-=-=O-dt de dt (7.8)

0)

Selain tersebut di atas terdapat gerak khusus dari rigid body yang berotasi terhadapsurnbu tetap, yaitu :

1. Gerak konstanPada gerakan ini percepatan sudut rigid body sarna dengan nol. Dalam hal

ini kecepatan sudut rigid body O J =konstan, maka :e = e o + O J , (7.9)Dirnana:e o = posisi sudut awaI dari rigid body.

2. Gerakan dengan percepatan sudut konstanDari persarnaan :dOa=-dtdca = a . dt0) = at + 0)0............................................... (7.10)Dimana:0)0 = kecepatan sudut awal dari rigid body.Sedangkan perpindahan sudut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut

de0)=- dt

136


7/15

de = O J. dt = (at + O J o ) dte =i s a.t' + O Jo .t + e o ' " ' " ' " .Dimana:e o =perpindahan sudut awal dari rigid body.(7.11)

7.4. GERAK UMUM (GENERAL PLANE MOTION)General plane motion bukan gerak translasi, dan juga bukan gerak rotasi, tetapi

kombinasi dari keduanya.General plane motion dapat dijelaskan sebagai jumlah gerak translasi dan gerak

rotasi.Sebagai contoh adalah roda yang rolling di atas bidang datar, seperti terlihat pada

Gambar 7.6 sebagai berikut.

+

Gambar 7.6. Gerak Umum

Titik A dan B berpindah dari A J ke A 2 dan B J ke B2 . Keadaan ini adalah gerakantranslasi dari roda menu rut arah gerak A ditambah gerakan rotasi di sekitar A . Contoh laindari gerak umum (general plane motion), adalah seperti terlihat pada Gambar 7.7, sebagaiberikut:

B~, ,: ,:I,2

- - - ~ - - - - - - - - - - + - - : ~ ~ ~ 1 - - - -- -

137


8/15

""

"Al---------'r----II

: \---;----------"::------------III

",'

Gambar 7.7. Contoh Gerak Umum7.5. KECEPATAN ABSOLVT DAN KECEPATAN RELATIVE

PADA GENERAL PLANE MOTIONApabila A dan B adalah titik - titik pada suatu rigid body yang bergerak general

pada bidang datar, maka gerakan body terse but dapat digambarkan sebagai gerak translasimenu rut arah gerak A ditarnbah gerak rotasi body di sekitar surnbu, lewat A. Kecepatantitik B dalarn hal ini dapat dihitung dengan rnenggunakan persarnaan gerak relative, sebagiberikut:

Vii =vA +VRA ....................................................... (7.12)Dimana:VA dan Vii = kecepatan absolut titik A dan B.

= kecepatan relative titik B terhadap titik A.= kecepatan titik B yang berotasi dengan titik A , sebagaipusatnya, dan kecepatan sudut yang sarna dengankecepatan sudut body.

Gerak General

'8

+ Rotasi er iadap A

Vn = l',j + VB4

Gambar 7.8. Kecepatan Absolut dan Kecepatan Relative Pada Gerak Umum

138


9/15

dengan menentukan persamaan Newton II untuk tiap - tiap partikel P " dimana batasan iBila diketahui :

ill =vektor kecepatan sudut bodyrBA =vektor posisi B relative terhadap A

Maka berlaku persamaan :

VB =VA + ( m x rBA) ......................................... (7.13)7.6. PUSAT PUTARAN SESAAT (KUTUB KECEPATAN)

Putaran sesaat adalah keadaan sesaat, partikel - partikel pada bidang yangmempunyai gerakan general berputar di sekitar sumbu yang tegak lurus bidang tersebut.Dimana sumbu tersebut dikenal sebagai instantaneous axis of rotation (sumbu putarsesaat).

Perpotongan sumbu dengan bidang dinamakan instantaneous center of rotation(pusat perputaran sesaat).

Untuk menentukan lokasi pusat perputaran sesaat, dapat kita lakukan denganmemperhatikan suatu bidang yang bergerak general. Apabila salah satu titik pada bidangtersebut diketahui kecepatannya, maka kecepatan semua titik pada bidang tersebut dapatditentukan, yaitu sama dengan kecepatan titik A ditambah kecepatan titik tersebut yangberotasi di sekitar A.

Pusat perputaran sesaat titik C dapat dicari dengan dua cara, yaitu :1. Bila kecepatan titik A diketahui dengan kecepatan sudut bidang diketahui, maka

Vpusat putaran C berada padajarak r = _,i_ tegak lurus VA' lihat Gambar 7.9 di bawah.O Jc

Gambar 7.9. Menentukan Pusat Putaran Sesaat

139


10/15

,2. Bila dua buah titik A dan B, diketahui kecepatannya, yaitu VA dan VB' rnaka pusatputaran C diperoleh dari perpotongan garis tegak lurus VA dan garis tegak lurus VB Lihat Garnbar 7.10 di bawah.

~// \\ \

Gambar 7.10. Menentukan Pusat Putaran SesaatBila VA sejajar VB dan tidak sarna besar, rnaka lokasi pusat putaran sesaat C seperti

ditunjukkan pad a Garnbar 7.10, di atas.Bila VA sejajar VB dan sarna besamya, rnaka lokasi pusat putaran sesaat C berada

padajarak tak terhingga, dalarn hal ini bergerak lurus.Dalarn keadaan sesaat pusat putaran sesaat C rnernpunyai kecepatan nol, tetapi

percepatannya tidak sarna dengan nol. Oleh karena itu kita tidak dapat rnenghitung percepatantitik - titik pada bidang, berdasarkan pusat putaran sesaat C tersebut.

7.7. KECEPATAN DAN PERCEPATAN RELATIVE PADAGENERAL PLANE MOTIONPersarnaan kecepatan relative 2 titik pada bidang yang bergerak general adalah

sebagai berikut :VB = VA + VBA

Bila persarnaan tersebut didefferensialkan terhadap waktu, rnaka persarnaan tersebutakan berubah rnenjadi :

Dirnana aBA adalah percepatan B yang berputar di sekitar A, dengan kecepatansudut illdan percepatan sudut a, serta aBArnernpunyai kornponen normal dan tangensial.( a BAt = l U X ( C o X rBA) = -a/rBA

( a B J t = axrBA = a.rBA (7.14)

140


11/15

Dimana:r BA =vektor posisi B relative terhadap AArah (aB) n adalah dari B ke AArah (a B ), adalah tegak lurus rBA sesuai dengan arah VBA .

Gerak General + Rotasi terhadap A

Gambar 7.11.Kecepatan dan Percepatan Relative Pada Gerak Umum

7.8. SOAL - SOAL LATIHAN1. Tentukan kecepatan 1 'B untuk Gambar 7.12 di bawah, bila diketahui :

a. ! ! 2 2 = 3 rad/ see eew.b. ! ! 2 2 =3 rad/ see ew.

Keterangan :AB=4cm. l (A = 15 em/ see saatsudut 15.

x

Gambar 7.12. Soal Latihan No.1

2. Diketahui sebuah mekanisme benda kaku, seperti terlihat pada Gambar 7.13, di bawah.Bila diketahui kecepatan titik A, VA =125 em/ see konstan, tentukan :1 'B ' 1 'c fJ .B ' fJ .c!l22 dan Q2

141


12/15

A13S() """ '\

\ " \ P a t n of AOA~ i _

1'A/


Path ofBKeterangan :GAGB =4emGAA = 1,25 emGBB =2,5 emAB = 5 emAC =2 emBC =4 em

3. Tentukan kecepatan dan percepatan titik A, B, C dan D, yang terletak pada rigidbody, seperti Gambar 7.14 di bawah.


Keterangan :} ' _ M = 100 em/sec saatsudut = 00QM = 800 em/sec! saatsudut = 1800

4. Tentukan kecepatan }: B untuk Gambar 7.15, di bawah, bila diketahui :a. [Q 2 = 5 rad/ sec ccw .b. [Q 2 = 5 rad/ sec cwo


142

x


13/15

5. Diketahui sebuah roda dengan jari-jari 10 em, kecepatan Y .A = 25 em/detik,konstan, seperti terlihat pada Gambar 7.16, di bawah, tentukan kecepatan danpercepatan titik B, C dan D.

Gambar 7.16. Soal Latihan No.56. Diketahui sebuah mekanisme, seperti terlihat pada Gambar 7.17, di bawah, dengan

data sebagai berikut :oAA = 5 in 0 A0 C = 15 in 0 cC = 6 inAB = 1 in BC = 12 inBila diketahui kecepatan titik A, VA = 10 in/ see konstan, tentukan Y .B' Y . C ' gB' gc'{ Q . J dan f J . J

ciBiii-- ------------i--------- -- ---iii

1


7_ Tentukan kecepatan dan percepatan titik A, B, C dan D, yang terletak pada rigidbody, seperti Gambar 7.18, di bawah.

143


14/15

c!

Keterangan :1'.M = 100 in! sec, konstan,saat sudut = (J I


8. Diketahui kecepatan sudut benda 2 = 10 radlsec ccw konstan., dengan kondisi sepertipada Gambar 7.19, di bawah. Tentukan 1'.A dan QA'

Diketahui :AM=2em

7.5 em

Gombar 7.19. Soal Latihan No.8

9. Diketahui sebuah mekanisme rigid body, seperti terlihat pada Gambar 7.20, di bawah.Bila diketahui kecepatan VA = 100 inl sec dan percepatan aA = 5 in/ sec', tentukan .!:B'1'.(' QB' Q(, fIl2 dan fJ2

144


15/15

Path olB

Gambar 7.20.Soal Latihan No.910. Diketahui sebuah roda denganjari-jari 20 in, J : :A = 10 in/sec dan QA = 2 in/sec',dengan kondisi seperti terlihat pada Gambar 7.21, di bawah. Tentukan kecepatan

dan percepatan titik B dan C.

Gambar 7.21. Soal Latihan No. 10

145

bab7 kinematika rigid body pada bidang datar

Documents