9. Polinom Legendre, Basis Haar, dan Basis Walsh

Beberapa basis ortogonal untuk L2(a; b) merupakan himpunan polinom. Selain itu,

terdapat pula basis ortogonal lainnya yang menarik.

9.1 Himpunan Polinom Ortogonal

Misalkan (a; b) suatu selang terbuka di R dan w(x) fungsi bernilai positif pada (a; b)

sehinggaR baxnw(x) dx konvergen mutlak untuk n = 0; 1; 2; : : :. Maka, terdapat tepat satu

barisan polinom fpng10 yang berbentukp0(x) = 1

p1(x) = x+ a0

p2(x) = x2 + b1x+ b0

p3(x) = x3 + c2x

2 + c1x+ c0

...

yang saling ortogonal terhadap bobot w pada (a; b), yakni

hpi; pjiw =Z ba

pi(x)pj(x)w(x) dx = 0; i 6= j:

Dalam hal ini, konstanta dapat diperoleh dari hp1; p0iw = 0, yaitu

a0 = R baxw(x) dxR b

aw(x) dx

:

Selanjutnya, konstanta b0 dan b1 dapat diperoleh dari hp2; p0iw = 0 dan hp2; p1iw = 0.Bila diteruskan, maka pada langkah ke-n, terdapat n persamaan dan n konstanta yang

hendak dicari nilainya.

Lemma. Misalkan fpng10 barisan polinom dengan pn berderajat n untuk tiap n =0; 1; 2; : : :. Maka, setiap polinom berderejat k (k = 0; 1; 2; : : :) merupakan kombinasi linear

dari p0; p1; : : : ; pk.

39

Sebagai akibat lemma ini, himpunan polinom di atas merentang ruang polinom pada

(a; b).

9.2 Polinom Legendre

Himpunan polinom yang akan dipelajari berikut ini merupakan himpunan fungsi eigen

dari suatu Masalah Sturm-Liouville Singular, namun kita tidak akan membahasnya melalui

masalah nilai batas seperti pada bab sebelumnya, melainkan melalui rumus Rodrigues

pn(x) =Cnw(x)

dn

dxn[w(x)Q(x)n]

ddengan Cn konstanta normalisasi, w(x) fungsi bobot (sehingga pi ? pj terhadap w), danQ(x) adalah suatu polinom tertentu. Dari rumus ini, kita dapat membuktikan keortogonal

di antara pi dan pj untuk i 6= j, menurunkan persamaan diferensial yang dipenuhi olehpn, dan menentukan konstanta normalisasinya.

Untuk n = 0; 1; 2; : : : ; polinom Legendre didenisikan sebagai

Pn(x) =1

2nn!

dn

dxn(x2 1)n:

Catat bahwa (x2 1)n adalah polinom berderajat 2n, sehingga Pn merupakan polinomberderajat n. Di sini, w(x) 1. Untuk beberapa nilai n pertama, kita dapatkan rumusuntuk Pn:

P0(x) = 1

P1(x) = x

P2(x) 12(3x2 1)

P3(x) =1

2(5x3 3x)

...

Secara umum,

Pn(x) =(2n)!

2n(n!)2xn + :

Teorema. Himpunan polinom Legendre fPng10 ortogonal di L2(0; 1) dengan kPnk2 =2

2n+1 untuk tiap n 2 N.

40

Bukti. Jika f adalah fungsi C(n) pada [1; 1], maka (dengan pengintegralan parsial se-banyak n kali)

2nn!hf; Pni =Z 11

f(x)dn

dxn(x2 1)n dx = (1)n

Z 11

f (n)(x)(x2 1)ndx:

Akibatnya, untuk m < n, kita peroleh hPm; Pni = 0. Dengan menukar peran m dan n,jika juga peroleh hPm; Pni = 0 untuk m > n.

Selanjutnya, dengan mengambil f = Pn, kita dapatkan

kPnk2 = 2n)!22n(n!)2

Z 11

(1 x2)n = 2n+ 1

:

(QED)

Teorema. Polinom Pn memenuhi persamaan diferensial

[(1 x2)P 0n(x)]0 + n(n+ 1)Pn(x) = 0:

Teorema. Himpunan fPng10 merupakan basis ortogonal untuk L2(1; 1).

9.3 Basis Haar dan Basis Walsh

Selain himpunan polinom, terdapat basis ortonormal lainnya untuk L2(0; 1) yang

menarik, khususnya basis Haar dan basis Walsh.

Basis Haar adalah himpunan fungsi H := fh0g [ fhjn : j 0; 0 n < 2jg, dengan

h0(x) =

1; jika 0 < x < 1,0; jika x lainnya;

dan

hjn(x) =

8

Catat bahwa fungsi h00 berbeda dari fungsi h0.

Teorema. Himpunan fungsi H ortonormal dan lengkap di L2(0; 1).

Selanjutnya, denisikan fungsi Rademacher ri sebagai `fungsi tangga sinusoidal' ber-

periode 2i+1, i = 0; 1; 2; : : :; yakni ri(x) = (1)dn(x) dengan dn(x) adalah dijit ke-n darirepresentasi biner x = [0:d1d2 : : :]2.

[Gambar 9.2: Beberapa Fungsi Rademacher]

Untuk n = 0; 1; 2; : : :, fungsi Walsh wn didenisikan sebagai berikut:

w0(x) := r0(x)

dan untuk n = 1; 2; 3; : : :

wn(x) := r1(x)b1 rk(x)bk

dengan n = [bk b1]2 menyatakan representasi biner dari n. Jadi, sebagai contoh, w1(x) =r1(x); w2(x) = r2(x); w3(x) = r1(x)r2(x), dan seterusnya.

[Gambar 9.3: Beberapa Fungsi Walsh]

Teorema. Himpunan fungsi Walsh fwng10 merupakan basis ortonormal untuk L2(0; 1).

9.4 Soal Latihan

1. Buktikan bahwa himpunan polinom Legendre fP2ng10 dan fP2n+1g10 merupakan basisortogonal untuk L2(0; 1).

2. Buktikan bahwa himpunan fungsi Haar ortonormal.

3. Buktikan bahwa himpunan fungsi Walsh ortonormal.

42