babylonische wiskunde. kleitabletten ontcijferen
TRANSCRIPT
Babylonische wiskunde.Babylonische wiskunde.
Kleitabletten ontcijferen.Kleitabletten ontcijferen.
Wat gaan we doen:Wat gaan we doen: Nog even de Stelling van Pythagoras Nog even de Stelling van Pythagoras
(550 v. Chr.) bekijken en bewijzen.(550 v. Chr.) bekijken en bewijzen. Kennismaken met de notatie van Kennismaken met de notatie van
getallen in een 60-tallig talstelsel.getallen in een 60-tallig talstelsel. Even oefenen met het 60-tallig stelsel.Even oefenen met het 60-tallig stelsel. Babylonische getaltekens in Babylonische getaltekens in
spijkerschrift leren (2000 v. Chr).spijkerschrift leren (2000 v. Chr). Als echte veldarcheologen kleitabletten Als echte veldarcheologen kleitabletten
ontcijferen en ons verbazen.ontcijferen en ons verbazen. Pythagoras “ontmaskeren”.Pythagoras “ontmaskeren”.
De Stelling van Pythagoras.De Stelling van Pythagoras.
Bewijs de Stelling van Pythagoras:Bewijs de Stelling van Pythagoras:(stencil).(stencil).
De oppervlakte van het volledige vierkant is:
(a + b)∙(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
De oppervlakte van de afzonderlijke delen is:4∙1/2∙ab + c2 = 2ab + c2
Deze uitkomsten zijn gelijk, dus:a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
-2ab
a2 + b2 = c2
Dat levert bijvoorbeeld het Dat levert bijvoorbeeld het drietal:drietal:
15
17 8
A B
C 8 – 15 - 17
Pythagoreïsche drietallen.Pythagoreïsche drietallen.
3 – 4 – 5 3 – 4 – 5 want 3want 322 + 4 + 422 = 5 = 522
9 + 16 = 25 9 + 16 = 25 5 – 12 – 135 – 12 – 13 wantwant 5 522 + 12 + 1222 = =
131322
25 + 144 = 16925 + 144 = 169 8 – 15 – 178 – 15 – 17 want 8want 822 + 15 + 1522 = 17 = 1722
64 + 225 = 28964 + 225 = 289
Zijn er nog meer….. ??Zijn er nog meer….. ??
Meso (tussen) potamie Meso (tussen) potamie (wateren)(wateren)
Hunebedbouwers
(3000 v. Chr.)
Germanen
(1000 v. Chr.)
West-Europa:
Het oude Babylonië = het Het oude Babylonië = het huidige Iran & Irakhuidige Iran & Irak
Sumerisch pictografisch kleitabletSumerisch pictografisch kleitablet
Spijkerschrift Mesopotamië.Spijkerschrift Mesopotamië.
Een vierduizend jaar oud kleitablet met een Een vierduizend jaar oud kleitablet met een wiskundige opgave. Van de twee cirkels moet de wiskundige opgave. Van de twee cirkels moet de omtrek berekend worden. Irak, 2500-1800 v Chr.omtrek berekend worden. Irak, 2500-1800 v Chr.
Een indrukwekkende berekeningover(alweer)cirkels.
Soemerische kleitablet. Telling Soemerische kleitablet. Telling van geiten en schapen. Zuid van geiten en schapen. Zuid
Irak.Irak.
Deze gaan we straks ontcijferen.
En deze ook !
Het 10-tallig positiestelselHet 10-tallig positiestelsel..103
1000102
100101
10100
110-1
0,110-2
0,01
3 0 8 5 , 0 9
Staat voor het getal 3085,09
9 3 0 3 , 7 0
Staat voor het getal 9303,7
Het 60-tallig positiestelselHet 60-tallig positiestelsel..
603
216000602
3600601
60600
160-1
1/60
60-2
1/3600
0 2 12 43 , 45 0
Staat voor: 2 x 3600 + 12 x 60 + 43 x 1 + 45 x 1/60 = 7963,75
1 0 51 14 , 20 50
Staat voor: 1 x 216000 + 51 x 60 + 14 x 1 + 20 x 1/60+ 50 x 1/3600 = 219 074,3472
Ontcijfer het volgende 60-tallige getal:
8 23 , 45
23 x 1 = 23
8 x 60 = 480
45 x 1/60 = ¾ = 0,75
Dat is dus samen 480 + 23 + 0,75 = 503,75
Babylonische cijfertekens.Babylonische cijfertekens.
YBC 7344 YBC 7344 (Yale Babylonian Collection nr 7344)(Yale Babylonian Collection nr 7344)
Welk getal staat hier ?Welk getal staat hier ?
,
12 x 1/60 = 1/5 = 0,2
28 x 1 = 28
55 x 60 = 3300
13 x 3600 = 46800
Samen dus: 46800 + 3300 + 28 + 0,2 = 50128,2
Zelf aan de slag:Zelf aan de slag:
Ontcijfer nu de tabel in je Ontcijfer nu de tabel in je stencilpakket.stencilpakket.
YBC 7289YBC 7289
Plimpton 322 Plimpton 322 (plm 2000 v. Chr.)(plm 2000 v. Chr.)
456789101112
De laatste twee kolommen:
Een vaste uitdrukking,
en rangnummers.
De tweede kolom:
Ontcijfer de regels 5 - 8 en11 - 12.
Vul de resultaten in, in de tabel op het stencil.
De derde kolom:
Ontcijfer de regels 5 – 8 en 11 - 12.
Vul de resultaten in, in de tabel op het stencil.
nr ??????(1eK)
Breedte AB (2eK)
Diagonaal BC (3eK)
Hoogte AC (niet opgenomen)
1 119 169
2 3367 11521 (4825)
3 4601 6649
4 12709 18541
5
6
7
8
9 541 (481) 769
10 4961 8161
11
12
13 25921 (161) 289
14 1771 3229
15 56 53 (106)
65
319
2291
799
45
1679
97
481
3541
1249
75
2929
breedte
diagonaal
hoogte
A B
C
nr ??????? (1eK)
Breedte AB (2eK)
Diagonaal BC (3eK)
Hoogte AC (niet opgenomen)
1 119 169
2 3367 11521 (4825)
3 4601 6649
4 12709 18541
5
6
7
8
9 541 (481) 769
10 4961 8161
11
12
13 25921 (161) 289
14 1771 3229
15 56 53 (106)
72
360
2700
960
60
2400
65
319
2291
799
45
1679
97
481
3541
1249
75
2929
nr Ahá !! (1eK)
Breedte AB (2eK)
Diagonaal BC (3eK)
Hoogte AC (niet opgenomen)
1 119 169
2 3367 11521 (4825)
3 4601 6649
4 12709 18541
5
6
7
8
9 541 (481) 769
10 4961 8161
11
12
13 25921 (161) 289
14 1771 3229
15 56 53 (106)
72
360
2700
960
60
2400
1,81501..
1,78519..
1,71998..
1,6928..
1,5625,,
1,48942..
BC2 / AC2
65
319
2291
799
45
1679
97
481
3541
1249
75
2929
Slot.Slot. Het is zo goed als zeker dat de Stelling van Het is zo goed als zeker dat de Stelling van
Pythagoras al ruim 1000 jaar eerder bij de Pythagoras al ruim 1000 jaar eerder bij de Babyloniërs bekend was.Babyloniërs bekend was.
Het 60-tallig stelsel heeft duidelijke sporen Het 60-tallig stelsel heeft duidelijke sporen nagelaten in onze cultuur (klok, graden).nagelaten in onze cultuur (klok, graden).
Het is opmerkelijk dat het cijfer “nul” nog Het is opmerkelijk dat het cijfer “nul” nog niet bekend was (is later “uitgevonden”).niet bekend was (is later “uitgevonden”).
Deze presentatie is terug te zien op Deze presentatie is terug te zien op www.wiskan.nl
Ik ga nu lekker slapen ………………Ik ga nu lekker slapen ………………