bacalaureat 2015
DESCRIPTION
Subiecte de bacalaureat date in anul 2015 la matematicaTRANSCRIPT
-
BACALAUREAT 2015
SESIUNEA SPECIAL
Proba E c)
mate-info
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic
Filiera vocat,ional, profilul militar, specializarea matematic-informatic
SUBIECTUL I
1. Se consider numerele complexe z1 = 2+ 3i s,i z2 = 1 3i. Artat,i c numrul z1 + z2 este real.2. Calculat,i ( f f )(1), unde f : R R, f(x) = x 1 s, i g : R R, g(x) = 3x.3. Rezolvat,i n mult,imea numerelor reale ecuat,ia 4x 64 = 0.4. Calculat,i probabilitatea ca, alegnd un numr din mult,imea numerelor naturale de dou cifre,
acesta s fie divizibil cu 7.
5. n reperul cartezian xOy se consider dreapta d de ecuat,ie y = 4x + 1 s, i punctul A(2, 0).
Determinat,i ecuat,ia paralelei duse prin punctul A la dreapta d.
6. Artat,i c sin( x) sinx cos( x) cos x = 1, pentru orice numr real x.
SUBIECTUL II
1. Se consider matricele A =
1 0 1
0 1 0
1 0 1
s,i B(x) =
0 x 0
x 0 x
0 x 0
, unde x este numr real.
a) Artat,i c det(A) = 0.
b) Artat,i c A B(x) +B(x) A = 3B(x), pentru orice numr real x.c) Determinat,i numerele reale x pentru care B(x) B(x) B(x) = B(x2 + x 2).
2. Se consider polinomul f = X3 2X2 + 2X +m, unde m este numr real.a) Artat,i c f(0) = m.
b) Pentru m = 1, demonstrat,i c (x1 +x2+x3)(
1
x1+
1
x2+
1
x3
)
= 4, unde x1, x2 s, i x3 sunt
rdcinile polinomului f .
c) Artat,i c polinomul f nu are toate rdcinile reale.
SUBIECTUL III
1. Se consider funct, ia f : R R, f(x) =x2 x+ 1x2 + x+ 1
.
a) Artat,i c f (x) =2(x 1)(x+ 1)(x2 + x+ 1)2
, x R.b) Determinat,i ecuat,ia tangentei la graficul funct,iei f n punctul de abscis x = 0, situat pe
graficul funct, iei f .
c) Calculat,i limx
( f(x) )x.
2. Se consider funct, ia f : R R, f(x) = ex 2x.
a) Artat,i c
1
0
( f(x) + 2x) dx = e 1.b) Determinat,i primitiva F a funct, iei f pentru care F (1) = e 3.c) Artat,i c volumul corpului obt,inut prin rotirea n jurul axei Ox a graficului funct, iei
g : [0, 1] R, g(x) = f(x), este egal cu 6(3e2 19).
1
-
2
s,t-nat
Filiera teoretic, profilul real, specializarea s,tiint,e ale naturii
SUBIECTUL I
1. Calculat,i rat,ia progresiei aritmetice (an)n1, s,tiind c a3 = 6 s, i a4 = 8.
2. Determinat,i valoarea minim a funct, iei f : R R, f(x) = x2 9.3. Rezolvat,i n mult, imea numerelor reale ecuat,ia
x2 + 3 = x+ 1.
4. Determinat,i numrul submult,imilor cu dou elemente ale mult,imii {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.5. n reperul cartezian xOy se consider punctele A(2, 1) s, i B(0, 3). Determinat,i ecuat,ia dreptei
AB.
6. Calculat,i lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC n care AB = 8 s, i C =
6.
SUBIECTUL II
1. Se consider matricele A =
(
1 2
3 4
)
s, i B(x) =
(
x 2
3 6
)
, unde x este numr real.
a) Artat,i c det(A) = 2.
b) Rezolvat,i n mult,imea numerelor reale ecuat,ia det(B(x) + I2) = 8, unde I2 =
(
1 0
0 1
)
.
c) Determinat,i numrul real x pentru care A B(x) = B(x) A.2. Pe mult, imea numerelor reale se defines,te legea de compozit,ie asociativ xy = xy7x7y+56.
a) Artat,i c (7) 7 = 7.b) Artat,i c x y = (x 7)(y 7) + 7, pentru orice numere reale x s,i y.c) Calculat,i 1 2 3 . . . 2015.
SUBIECTUL III
1. Se consider funct, ia f : (0, +) R, f(x) = ex ln x + x.a) Artat,i c lim
x1
f(x) f(1)x 1 = e.
b) Determinat,i ecuat,ia tangentei la graficul funct, iei f n punctul de abscis x = 1, situat pe
graficul funct, iei f .
c) Artat,i c funct,ia f este convex pe intervalul (0, +).2. Se consider funct, ia f : (1, +) R, f(x) =
1
x+ 1.
a) Artat,i c 1
0
1
f(x)dx =
3
2.
b) Artat,i c 1
0
x2f(x) dx = 12+ ln 2.
c) Determinat,i volumul corpului obt,inut prin rotat,ia n jurul axei Ox a graficului funct, iei
g : [0, 1] R, g(x) = f(x).
-
3
tehnologic
Filiera tehnologic: profilul servicii, toate calificrile profesionale; profilul resurse, toate calificrile
profesionale; profilul tehnic, toate calificrile profesionale
SUBIECTUL I
1. Artat,i c(
2 12
)
:3
10= 5.
2. Calculat,i f(2) + f(2), unde f : R R, f(x) = x2 4.3. Rezolvat,i n mult,imea numerelor reale ecuat,ia
2x 1 = 3.
4. Calculat,i probabilitatea ca, alegnd un numr din mult,imea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},acesta s fie multiplu de 5.
5. n reperul cartezian xOy se consider punctele O(0, 0), M(0, 4) s,i N(4, 0). Artat,i c triunghiul
MON este isoscel.
6. Calculat,i aria triunghiului ABC dreptunghic n A, s,tiind c AB = 10 s, i AC = 12.
SUBIECTUL II
1. Se consider matricele A =
(
3 25 3
)
s, i I2 =
(
1 0
0 1
)
.
a) Artat,i c det(A) = 1.
b) Artat,i c A A+ I2 = O2, unde O2 =(
0 0
0 0
)
.
c) Demonstrat,i c det(A aI2) 1, pentru orice numr real a.2. Se consider polinomul f = X3 + 5X2 +X + 5.
a) Artat,i c f(5) = 0.b) Determinat,i ctul s, i restul mprt,irii polinomului f la polinomul X2 + 6X + 5.
c) Demonstrat,i cx3
x1x2+
x2
x1x3+
x1
x2x3= 23
5, unde x1, x2 s, i x3 sunt rdcinile polinomului
f .
SUBIECTUL III
1. Se consider funct, ia f : R R, f(x) = x4 2x2 + 1.a) Artat,i c f (x) = 4x(x 1)(x+ 1), x R.b) Determinat,i ecuat,ia tangentei la graficul funct,iei f n punctul de abscis x = 1, situat pe
graficul funct, iei f .
c) Demonstrat,i c 0 f(x) 1, pentru orice x [1, 1].2. Se consider funct, ia f : (0, +) R, f(x) = x2 +
x.
a) Artat,i c
3
1
(
f(x)x)
dx =26
3.
b) Demonstrat,i c funct, ia F : (0, +) R, F (x) =x2
3+
2xx
3+ 2015 este o primitiv a
funct, iei f .
c) Artat,i c suprafat,a delimitat de graficul funct, iei g : (0, +) R, g(x) = ( f(x)x ) ex,
axa Ox s, i dreptele de ecuat,ii x = 1 s, i x = 2, are aria egal cu e(2e 1).
-
4
SESIUNEA IUNIE-IULIE
Proba E c)
mate-info
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic
Filiera vocat,ional, profilul militar, specializarea matematic-informatic
SUBIECTUL I
1. Artat,i c (5 + 1)2 + (
5 1)2 = 12.
2. Calculat,i produsul f(1)f(2)f(3)f(4), unde f : R R, f(x) = x 3.3. Rezolvat,i n mult, imea numerelor reale ecuat,ia log2(x
2 4x+ 4) = 0.4. Determinat,i cte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifrele 2, 3 s, i 4.
5. n reprerul cartezian xOy se consider punctele A(1, 2) s, i B(2, 3). Determinat,i ecuat,ia dreptei
d care trece prin punctul A s,i este perpendicular pe dreapta AB.
6. Artat,i c sin( x) + sin( + x) = 0, pentru orice numr real x.
SUBIECTUL II
1. Se consider matricea A =
1 0 x
0 1 0
3x 0 1
, unde x este numr real.
a) Artat,i c det(B(0)) = 1.
b) Artat,i c B(x) +B(y) = 2B(
x+ y
2
)
, pentru orice numere reale x s, i y.
c) Determinat,i numerele reale x pentru care B(x2 + 1) B(x) = B(x2 + x+ 1).2. Pe mult, imea numerelor reale se defines,te legea de compozit,ie asociativ x y =
1
2(x 3)(y 3).
a) Artat,i c (3) 3 = 3.b) Determinat,i numerele naturale n pentru care n n = 11.c) Calculat,i 1 2 3 . . . 2015.
SUBIECTUL III
1. Se consider funct, ia f : (1, +) R, f(x) =x+ 2
x 1 .
a) Artat,i c f (x) = 3
(x 1)2 , x (1, +).b) Artat,i c funct,ia f este convex pe intervalul (1, +).c) Determinat,i coordonatele punctului situat pe graficul funct, iei f , n care tangenta la graficul
funct,iei f este paralel cu dreapta de ecuat,ie y = 3x.2. Se consider funct, ia f : R R, f(x) = xex.
a) Artat,i c 1
0
1
xf(x) dx = e(e 1).
b) Determinat,i primitiva F a funct,iei f pentru care F (1) = 0.
c) Pentru fiecare numr natural nenul n se consider numrul In =
1
0
xnf(x) dx. Artat,i c:
In + (n+ 1)In1 = e, pentru orice numr natural n, n 2.
-
5
s,t-nat
Filiera teoretic, profilul real, specializarea s,tiint,e ale naturii
SUBIECTUL I
1. Se consider numrul complex z = 1 + i. Artat,i c z2 2i = 0.2. Calculat,i (g f)(3), unde f : R R, f(x) = x 3 s, i g : R R, f(x) = x+ 2015.3. Rezolvat,i n mult,imea numerelor reale ecuat,ia 5x
25x = 533x.
4. Determinat,i numrul submult, imilor cu patru elemente ale mult,imii {1, 2, 3, 4, 5}.5. n reperul cartezian xOy se consider punctul A(0, 4). Determinat,i ecuat,ia dreptei d care trece
prin punctul A s, i este paralel cu dreapta de ecuat,ie y = 2x+ 7.
6. Determinat,i aria triunghiului MNP , s,tiind c MN = 12, MP = 3 s, i m(M) = 30.
SUBIECTUL II
1. Se consider matricele A =
(
1 aa 1
)
, unde a este numr real.
a) Artat,i c det(A(0)) = 1.
b) Determinat,i numerele reale a, pentru care det(A(a)) = 0.
c) Artat,i c A(a)A(b) = A(a+ b)+ abI2, pentru orice numere reale a s,i b, unde I2 =
(
1 0
0 1
)
.
2. Se consider polinomul f = X3 mX + 2, unde m este numr real.a) Artat,i c f(0) = 2.
b) Determinat,i numrul real m, s,tiind c restul mprt,irii lui f la polinomul g = X2 +X 2este egal cu 0.
c) Demonstrat,i c x31 + x3
2+ x3
3= 6, pentru orice numr real m, unde x1, x2 s,i x3 sunt
rdcinile polinomului f .
SUBIECTUL III
1. Se consider funct, ia f : R R, f(x) = ex x 1.a) Artat,i c lim
x0
f(x) f(0)x
= 0.
b) Artat,i c funct, ia f este descresctoare pe intervalul (, 0].c) Demonstrat,i c ex x + 1, pentru orice numr real x.
2. Se consider funct, ia f : R R, f(x) = x2 2x+ 5.
a) Artat,i c 1
0
(f(x) + 2x 5) dx = 13.
b) Calculat,i 2
0
f (x)
f(x)dx.
c) Artat,i c 2015
2014
1
f(x)dx 1
4.
-
6
tehnologic
Filiera tehnologic: profilul servicii, toate calificrile profesionale; profilul resurse, toate calificrile
profesionale; profilul tehnic, toate calificrile profesionale
SUBIECTUL I
1. Artat,i c(
1
2+
1
5
)
207
= 2.
2. Determinat,i numrul real a, s,tiind c punctul A(a, 0) apart,ine graficului funct,iei unde f : R R,f(x) = x 2.
3. Rezolvat,i n mult, imea numerelor reale ecuat,iax+ 3 = 4.
4. Calculat,i probabilitatea ca, alegnd un numr din mult,imea M = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90},acesta s fie multiplu de 15.
5. n reperul cartezian xOy se consider punctele A(4, 2) s,i B(4, 6). Determinat,i coordonatele
mijlocului segmentului AB.
6. Artat,i c sinx =12
13, s,tiind c x
(
0,
2
)
s, i cosx =5
13.
SUBIECTUL II
1. Se consider matricele A =
(
1 2
3 4
)
, B =
(
4 3
2 1
)
s, i C =
(
1 1
1 1
)
.
a) Artat,i c det(A) = 2.b) Artat,i c A+B = 5C.
c) Demonstrat,i c AB +BA+ 4I2 = 25C, unde I2 =
(
1 0
0 1
)
.
2. Pe mult,imea numerelor reale se defines,te legea de compozit,ie x y = xy + 4x+ 4y + 12.a) Artat,i c 5 (4) = 4.b) Artat,i c x y = (x+ 4)(y + 4) 4, pentru orice numere reale x s,i y.c) Rezolvat,i n mult,imea numerelor reale ecuat,ia x x = x.
SUBIECTUL III
1. Se consider funct, ia f : R R, f(x) = 2x3 + 3x2 + 5.a) Artat,i c f (x) = 6x(x+ 1), x R.b) Calculat,i lim
x
f (x)
f(x) 2x3 .c) Determinat,i intervalele de monotonie ale funct,iei f .
2. Se consider funct, ia f : R R, f(x) = 4x3 + 3x2.
a) Artat,i c 2
1
(
f(x) 3x2)
dx = 15.
b) Determinat,i primitiva F : R R a funct, iei f pentru care F (1) = 2015.c) Determinat,i numrul natural n, n > 1, s,tiind c
n
1
f(x)
x2dx = 9.
-
7
pedagogic
Filiera vocat,ional: profilul pedagogic, specializarea nvt,tor - educatoare
SUBIECTUL I
1. Artat,i c32
18
2 = 0.
2. Determinat,i coordonatele punctului de intersect,ie a graficelor funct, iilor f : R R, f(x) = x+1s,i g : R R, g(x) = 4 2x.
3. Rezolvat,i n mult,imea numerelor reale ecuat,ia 553x = 25.
4. Determinat,i cte numere pare de dou cifre se pot forma cu cifrele 1, 2, 3, 4 s, i 5.
5. n reperul cartezian xOy se consider punctele A(2, 3), B(5, 3) s, i C(5, 6). Artat,i c AB = BC.
6. Artat,i c sin 30 + sin 45 cos 45 = 1.
SUBIECTUL II
Pe mult,imea numerelor reale se defines,te legea de compozit,ie x y = xy + x+ y.1. Artat,i c 2015 (1) = 1.2. Demonstrat,i c legea de compozit,ie este asociativ.3. Verificat,i dac e = 0 este element neutru al legii de compozit,ie .4. Artat,i c x x = (x+ 1)2 1, pentru orice numr real x.5. Rezolvat,i n mult,imea numerelor reale ecuat,ia x x x x = 0.6. Artat,i c x (x+ 1) x, pentru orice numr real x.
SUBIECTUL III
Se consider matricele I2 =
(
1 0
0 1
)
s, i A(a) =
(
a 2
1 a+ 1
)
, unde a este numr real.
1. Artat,i c det(A(0)) = 2.2. Determinat,i numerele reale a pentru care det(A(a)) = 0.
3. Rezolvat,i n mult,imea numerelor reale inecuat,ia det(A(a) I2) < 0.4. Artat,i c (2a+ 1)A(a)A(a) A(a) = (a2 + a 2)I2, pentru orice numr real a.5. Determinat,i inversa matricei A(2).
6. Determinat,i numerele naturale m pentru care det(A(m)) 1.
-
8
SUBIECTE DE REZERV
s,t-nat
Filiera teoretic, profilul real, specializarea s,tiint,e ale naturii
SUBIECTUL I
1. Calculat,i (2 3i)(2 + 3i), unde i2 = 1.2. Calculat,i f( f(3) ), unde f : R R, f(x) = 2x 1.3. Rezolvat,i n mult, imea numerelor reale ecuat,ia log3(x
2 + 17) = log3 81.
4. Calculat,i probabilitatea ca, alegnd un numr din mult, imea numerelor naturale de dou cifre,
acesta s fie divizibil cu 5.
5. n reperul cartezian xOy se consider punctele A(1, a), B(3, 2) s, i C(2, 1). Determinat,i numrul
real a pentru care punctele A, B s, i C sunt coliniare.
6. Se consider E(x) = sinx
3+ cos
x
2, unde x este numr real. Artat,i c E
(
2
)
=1 +
2
2.
SUBIECTUL II
1. Se consider matricea A(a) =
(
1 2a
2a 4
)
, unde a este numr real.
a) Artat,i c A(1) +A(1) = 2A(0).b) Determinat,i numerele reale a pentru care det(A(a) ) = 0.
c) Rezolvat,i n mult,imea M2(R) ecuat,ia A(2) X = A(8).2. Pe mult,imea numerelor reale se defines,te legea de compozit,ie asociativ xy = 2xy6x6y+21.
a) Artat,i c (3) 3 = 3.b) Artat,i c x y = 2(x 3)(y 3) + 3, pentru orice numere reale x s, i y.c) Calculat,i 1
2
3 . . .
2015.
SUBIECTUL III
1. Se consider funct, ia f : R R, f(x) = 3ex + x2.a) Artat,i c lim
x0
f(x) f(0)x
= 3.
b) Determinat,i ecuat,ia tangentei la graficul funct, iei f n punctul de abscis x = 0, situat pe
graficul funct, iei f .
c) Artat,i c funct,ia f este convex pe R.
2. Se consider funct, ia f : (0, +) R, f(x) = x+1
x.
a) Artat,i c
3
1
(
f(x) 1x
)
dx = 4.
b) Artat,i c
2
1
(
f(x) 1x
)
ex dx = e2.
c) Determinat,i numrul real a, a > 1, s,tiind c suprafat,a plan delimitat de graficul funct, iei
f , axa Ox s, i dreptele de ecuat,ii x = 1 s, i x = a, are aria egal cu 4 + ln a.
-
9
tehnologic
Filiera tehnologic: profilul servicii, toate calificrile profesionale; profilul resurse, toate calificrile
profesionale; profilul tehnic, toate calificrile profesionale
SUBIECTUL I
1. Artat,i c23 1
3 = 1.
2. Determinat,i coordonatele punctului de intersect,ie a graficului funct, iei f cu axa Oy, unde
f : R R, f(x) = 2x2 + x+ 2015.3. Rezolvat,i n mult,imea numerelor reale ecuat,ia
x+ 2 = 2.
4. Dup o reducere cu 10% un obiect cost 99 de lei. Calculat,i pret,ul obiectului nainte de reducere.
5. n reperul cartezian xOy se consider punctele M(2, 1) s, i N(4, 1). Determinat,i lungimea seg-
mentului MN .
6. Artat,i c sinx =4
5, s,tiind c x
(
0,
2
)
s, i cosx =3
5.
SUBIECTUL II
1. Se consider matricea A =
(
2 1
2 1
)
.
a) Artat,i c det(A) = 0.
b) Determinat,i numrul real x pentru care A A = xA.
c) Artat,i c det(A+ I2) + det(A I2) = 2, unde I2 =(
1 0
0 1
)
.
2. Se consider polinomul f = X3 2X2 2X + 1.a) Artat,i c f(1) = 2.b) Artat,i c polinomul f este divizibil cu polinomul X + 1.
c) Determinat,i numrul real a pentru care
1
x1x2+
1
x2x3+
1
x3x1= a(x1x2 + x2x3 + x3x1),
unde x1, x2 s, i x3 sunt rdcinile polinomului f .
SUBIECTUL III
1. Se consider funct, ia f : (0, +) R, f(x) = x1
x.
a) Artat,i c f (x) = 1 +1
x2, x (0, +).
b) Determinat,i ecuat,ia asimptotei oblice spre + la graficul funct,iei f .c) Demonstrat,i c funct, ia f este concav pe intervalul (0, +).
2. Se consider funct, ia f : R R, f(x) = x2 + 2.
a) Artat,i c
1
0
( f(x) 2) dx = 13.
b) Determinat,i primitiva F a funct, iei f pentru care F (3) = 5.
c) Artat,i c suprafat,a delimitat de graficul funct,iei g : R R, g(x) = exf(x), axa Ox s, idreptele de ecuat,ii x = 0 s,i x = 1, are aria egal cu 3e 4.
-
10
SESIUNEA AUGUST
Proba E c)
mate-info
Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic
Filiera vocat,ional, profilul militar, specializarea matematic-informatic
SUBIECTUL I
1.
2.
3.
4.
5.
6.
SUBIECTUL II
1. a)
b)
c)
2. a)
b)
c)
SUBIECTUL III
1. a)
b)
c)
2. a)
b)
c)
-
11
s,t-nat
Filiera teoretic, profilul real, specializarea s,tiint,e ale naturii
SUBIECTUL I
1.
2.
3.
4.
5.
6.
SUBIECTUL II
1. a)
b)
c)
2. a)
b)
c)
SUBIECTUL III
1. a)
b)
c)
2. a)
b)
c)
-
12
tehnologic
Filiera tehnologic: profilul servicii, toate calificrile profesionale; profilul resurse, toate calificrile
profesionale; profilul tehnic, toate calificrile profesionale
SUBIECTUL I
1.
2.
3.
4.
5.
6.
SUBIECTUL II
1. a)
b)
c)
2. a)
b)
c)
SUBIECTUL III
1. a)
b)
c)
2. a)
b)
c)
-
13
pedagogic
Filiera vocat,ional: profilul pedagogic, specializarea nvt,tor - educatoare
SUBIECTUL I
1.
2.
3.
4.
5.
6.
SUBIECTUL II
Pe
1.
2.
3.
4.
5.
6.
SUBIECTUL III
Se
1.
2.
3.
4.
5.
6.