bacen2010 econometria barbosa cunha aula 01

CURSO ON-LINE – ECONOMETRIA PARA ANALISTA DO BACEN PROFESSORES: ALEXANDRE DE LIMA E ANDRÉ CUNHA

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www.pontodosconcursos.com.br

PONTO DOS CONCURSOS

Econometria BACEN Aula 1

Alexandre Barbosa de Lima e André Cunha

14/12/2009

Este documento aborda os seguintes tópicos: teoria de probabilidade, variáveis aleatórias, esperanças matemáticas e distribuições de probabilidade.


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Alexandre/André www.pontodosconcursos.com.br BACEN 2k9

Conteúdo 1. Probabilidade ....................................................................................................... 3

1.1. Os Diferentes Tipos de Probabilidade .............................................. 3 1.2. Conjuntos e Eventos .............................................................................. 5 1.3. Definição Axiomática de Probabilidade ........................................... 5 1.4. Probabilidades Conjunta e Condicional ........................................... 6 1.5. Independência .......................................................................................... 7

2. Variáveis Aleatórias ........................................................................................... 8 2.1. Definição de Variável Aleatória .......................................................... 8 2.2. Função Discreta de Probabilidade ..................................................... 9 2.3. Função de Distribuição de Probabilidade ....................................... 9

2.4. Funções de Distribuição e de Densidade de Probabilidade para Variáveis Contínuas .................................................................................. 10 2.5. Funções de Probabilidade Conjunta .................................................... 13

2.5.1. Funções de Probabilidade Marginal ................................................ 16

2.5.2. Funções de Probabilidade Condicional ............................................ 16

2.5.3. Variáveis Aleatórias Independentes ............................................... 17

3. Valores Esperados Envolvendo Uma Única Variável Aleatória ....... 18 3.1. Média .......................................................................................................... 18 3.2. Valor Esperado de Uma Função de Variável Aleatória ............ 19 3.3. Variância ................................................................................................... 20

4. Distribuições Importantes em Econometria .......................................... 20 4.1. Distribuição Normal .............................................................................. 20 4.2. Distribuição Qui-quadrado ................................................................. 21 4.3. Distribuição t-Student .......................................................................... 23

4.4. Distribuição F de Snedecor ................................................................ 25 5. Exercícios de Fixação ...................................................................................... 27 6. GABARITO ........................................................................................................... 31 7. Resolução dos Exercícios de Fixação ....................................................... 32


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1. Probabilidade A probabilidade é a teoria matemática que dá a base teórica

para as técnicas estatísticas que são aplicadas à Econometria. Utilizando a probabilidade, podemos estudar sistemas econômicos num sentido médio (esta idéia será formalizada mais adiante).

Um fenômeno é aleatório quando o seu comportamento

futuro não pode ser previsto com absoluta certeza. Por exemplo, as condições climáticas no dia da prova do BACEN não podem ser previstas com 100% de acerto. Por outro lado, é possível que a previsão do tempo seja realizada em termos probabilísticos. Se você tiver a curiosidade de consultar o site da empresa Climatempo1, constatará que a previsão é dada em termos de “tendências” e que, inclusive, a seguinte observação é feita: “Esta tendência é resultado de modelos matemáticos e não tem interferência direta dos meteorologistas. Estes valores podem variar muito de um dia para o outro.”. Ou seja, a Climatempo está dizendo para os seus clientes, que são leigos em Meteorologia, que a previsão do tempo possui uma margem de erro e que isto se deve à utilização de modelos matemáticos probabilísticos de previsão.

As variáveis econômicas são aleatórias por natureza. Não

sabemos quais serão os seus valores futuros senão depois de observá-los. Por exemplo, não sabemos dizer, com 100% de precisão, qual será a cotação do Dólar em 21/12/2009 (hoje é o dia 11/12/2009). Contudo, podemos afirmar que há uma tendência da cotação se manter estável, por volta de R$ 1,75.

Faremos uma breve revisão dos conceitos fundamentais da

teoria da probabilidade nesta aula.

1.1. Os Diferentes Tipos de Probabilidade

A) Probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o número total de resultados possíveis (teoria clássica)

Nesta abordagem a probabilidade de um dado evento2 E é

calculada a priori3 pela fórmula

1 http://www.climatempo.com.br 2 O conceito de evento será formalizado mais adiante nesta aula. 3 Aqui, a priori significa aquilo que está relacionado com o raciocínio lógico a partir

de proposições auto-evidentes ou o que é pressuposto por experiência. Neste contexto, a posteriori denotaria o que está relacionado com o raciocínio lógico a partir dos fatos que são observados.


4


(1) NNP E=

em que P é a probabilidade de E, NE representa o número de ocorrências de E e N é o número de todos os resultados possíveis. Uma noção importante que está subentendida em (1) é que os resultados devem ser equiprováveis.

Exemplo 1. Lance uma moeda não viciada (ou justa) duas vezes. Os resultados possíveis são cara-cara (CC), cara-coroa (CK), coroa-cara (KC) e coroa-coroa (KK). Qual é a probabilidade de se obter pelo menos uma coroa? Seja E o evento que denota a obtenção de pelo menos uma coroa; então E é o conjunto dos resultados

KKKC,CK,E = . O número de elementos em E é 3. Como N = 4, temos que

43

NNEP E ==][ .

A definição clássica de probabilidade possui alguns defeitos,

como, por exemplo, a sua não capacidade de abordar situações em que os resultados são não equiprováveis.

B) Probabilidade como freqüência relativa

Considere n realizações de um experimento aleatório (vide

definição mais adiante). Então, define-se a probabilidade de um dado evento E como

(2) n

nEP En→∞= lim][

em que nE denota o número de ocorrências de E. Como na prática não podemos obter infinitas realizações, temos que (2) estima P[E] dado um valor finito de n. Observe que 1][0 ≤≤ EP , pois nnE ≤ . Um dos problemas desta abordagem é justamente o fato de nunca podermos realizar o experimento por um número infinito de vezes. Outra dificuldade é que assume-se que a razão nE/n possui um limite para n tendendo a infinito.


5


Apesar dos problemas mencionados acima, a definição de probabilidade como freqüência relativa é essencial para a aplicação da teoria da probabilidade ao mundo real.

C) Probabilidade baseada na teoria axiomática

Esta é a abordagem moderna da probabilidade. Para

desenvolvê-la, é preciso introduzir os conceitos de experimento aleatório, espaço amostral e evento.

Um experimento aleatório é simplesmente um

experimento em que os resultados são não determinísticos, isto é, probabilísticos. O espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Um evento é um subconjunto do espaço amostral que satisfaz a certas restrições (não vem ao caso, neste curso, detalhar quais são estas restrições). De forma geral, quase todo subconjunto do espaço amostral é um evento4.

O moderno tratamento axiomático da teoria da probabilidade é

em grande parte devido à pesquisa do brilhante matemático russo Andrei N. Kolmogorov (1903-1987)5.

1.2. Conjuntos e Eventos

Um conjunto é uma coleção de objetos abstratos ou

concretos. Um exemplo de conjunto concreto é o conjunto de todos os residentes na cidade de São Paulo cuja altura exceda 1,60 m. O conjunto de todos os habitantes de São Paulo com altura entre 1,60m e 1,70m é um subconjunto do conjunto anterior. No estudo da probabilidade, nós estamos interessados no conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento (espaço amostral) e nos subconjuntos daquele conjunto. É comum representar o espaço amostral de um experimento aleatório usando a letra grega Ω (ômega). Eventos são subconjuntos de Ω. O próprio conjunto Ω é um evento, o qual é denominado evento certo.

1.3. Definição Axiomática de Probabilidade

4 Nem todo subconjunto do espaço amostral é um evento. Eventos são

subconjuntos do espaço amostral que têm medidas de probabilidade consistentes com os axiomas da probabilidade do item 1.3. De fato, o conjunto dos eventos forma uma σ-álgebra denominada conjunto de Borel [STA02, pág. 11].

5 Apesar deste tipo de informação não ser importante para a prova, não nos custa nada conhecer um pouco da história da matemática e “pagar o tributo” a um dos maiores matemáticos de todos os tempos!


6


Seja um experimento aleatório com espaço amostral Ω. Considere um evento qualquer E. Define-se probabilidade como a função P[.] que atribui um número P[E] para o evento E do espaço amostral Ω denominado probabilidade de E tal que

a) P[E] ≥ 0.

b) P[Ω] = 1.

c) P[E ∪ F] = P[E] + P[F] se E ∩ F = ∅.

As expressões (a), (b) e (c) são os axiomas da probabilidade.

1.4. Probabilidades Conjunta e Condicional

Assuma que se queira realizar o seguinte experimento: estamos

numa certa cidade do Brasil e desejamos coletar dados sobre o tempo local. Em particular estamos interessados em três eventos, os quais serão denominados A, B e C, onde

A é o evento que representa uma temperatura igual ou maior a

20º C em qualquer dia; B é o evento que denota um índice de precipitação maior ou

igual a 10mm em qualquer dia; C é o evento que representa a ocorrência simultânea de A e B,

isto é, C = AB (ou C = A ∩ B); Como C é um evento, P[C] é uma probabilidade que satisfaz os

axiomas. Mas P[C] = P[AB]; neste caso, diz-se que P[AB] é a probabilidade conjunta dos eventos A e B.

Em muitas situações práticas, o fenômeno aleatório de

interesse pode ser desmembrado em duas etapas. A informação do que ocorreu numa dada etapa pode influenciar as probabilidades de ocorrências das etapas seguintes.

Nestes casos, diz-se que ganhamos informação e que podemos

“recalcular” as probabilidades de interesse. Essas probabilidades “recalculadas” são conhecidas como probabilidades condicionais. A definição de probabilidade condicional será motivada pelo exemplo a seguir.

Exemplo 2. Considere os eventos A, B e C definidos acima. Seja ni o número de dias em que o evento i ocorreu. Ao longo de 1000 dias (n = 100), foram feitas as seguintes observações: nA = 711, nB = 406,


7


nAB = 200. Pela interpretação da probabilidade em termos da noção de freqüência relativa, podemos estimar que:

P[A] ≈ nA/n = 711/1.000 = 0,711

P[B] ≈ nB/n = 406/1.000 = 0,406

P[AB] ≈ nAB/n = 200/1.000 = 0,200

Agora considere a razão nAB/nA . Esta é a freqüência relativa de ocorrência do evento AB quando o evento A ocorre. Dito de outra forma, nAB/nA corresponde à fração do tempo em que o índice de precipitação é maior ou igual a 10mm naqueles dias em que a temperatura é igual ou maior a 20º C. Portanto, estamos lidando com a freqüência de um evento, dado que (ou condicionado ao fato de que) outro evento ocorreu. Note que

][][

//

APABP

nnnn

nn

A

AB

A

AB ≈=

Este conceito empírico sugere que seja introduzido o conceito

de uma medida de probabilidade condicional definida por

(3) ,][][]/[

APABPABP = 0][ >AP

em que ]/[ ABP denota a probabilidade de que B ocorra dado que A ocorreu.

Similarmente,

(4) ,][][]/[

BPABPBAP = 0][ >BP

1.5. Independência

Os eventos A e B, pertencentes ao espaço amostral Ω, com

P[A] > 0 e P[B] > 0, são independentes se e somente se (5) ][][][ BPAPABP = . Como ][]/[][]/[][ BPBAPAPABPABP == , segue-se que (6) ][]/[ APBAP = (7) ][]/[ BPABP =


8


são válidas quando A e B são eventos independentes. A definição de independência diz que, se A e B são

independentes, então o resultado B não terá efeito sobre a probabilidade de A e vice-versa.

2. Variáveis Aleatórias

2.1. Definição de Variável Aleatória Uma quantidade X, associada a cada possível resultado do

espaço amostral, é denominada variável aleatória discreta se assume valores num conjunto contável ou enumerável6 (como o conjunto dos números inteiros Ζ ou o conjunto dos números naturais Ν), com certa probabilidade. Logo, uma variável aleatória é uma função, e não uma “variável” propriamente dita. São exemplos de variáveis aleatórias discretas:

• Número de coroas obtido no lançamento de duas moedas;

• Número de itens defeituosos em uma amostra retirada, aleatoriamente, de um lote;

• Número de defeitos em um carro que sai de uma linha de produção.

Considere o lançamento de duas moedas mencionado acima. O

espaço amostral é Ω = (cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa),

e os valores que a variável aleatória X (número de coroas) pode assumir são

X = 0, 1, 2. Observe que o valor x = 0 está associado ao resultado (cara, cara), o valor x = 1 está associado aos resultados (cara, coroa) e (coroa, cara) e o valor x = 2 está associado ao resultado (coroa, coroa).

Uma variável aleatória contínua é uma função que associa

elementos do espaço amostral ao conjunto dos números reais (conjunto não enumerável). Exemplos de variáveis aleatórias contínuas: 6 Um conjunto é enumerável quando é possível estabelecer uma correspondência

do tipo “um para um” com o conjunto dos números naturais. Isto quer dizer que é possível contar um conjunto enumerável.


9


• Tempo de resposta de um sistema computacional;

• Volume de água perdido por dia, num sistema de abastecimento;

• Resistência ao desgaste de um tipo de aço, num teste padrão.

2.2. Função Discreta de Probabilidade

A função que atribui a cada valor de uma variável aleatória

discreta sua probabilidade é chamada de função discreta de probabilidade ou, simplesmente, função de probabilidade

(8) )(][ ii xfxXP == ,...2,1=i

Uma função de probabilidade satisfaz 0 ≤ f(xi) ≤ 1 e ∑i f(xi) = 1.

As variáveis aleatórias discretas são completamente caracterizadas pela sua função de probabilidade.

Exemplo 3. Considere o lançamento de um dado não viciado. A probabilidade de se obter um resultado de 1 a 6 é igual a 1/6. O espaço amostral é Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. A Fig. 1 ilustra a função de probabilidade f(xi) =1/6, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, da variável aleatória X.

x1 2 3 4 5 60 7

f(x)

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

2.3. Função de Distribuição de Probabilidade

Figura 1: função de probabilidade.


10


A função de distribuição ou função acumulada de probabilidade de uma variável aleatória discreta X é definida pela expressão

(9) ][)( xXPxF ≤= . A Fig. 2 mostra a função de distribuição F(x) da variável

aleatória do exemplo 3.

1 2 3 4 5 6 x

1/6

1/3

1/2

2/3

5/6

1

F(x)

2.4. Funções de Distribuição e de Densidade de Probabilidade para Variáveis Contínuas Diz-se que f(x) é uma função contínua de probabilidade ou

função densidade de probabilidade para uma variável aleatória contínua X, se satisfaz duas condições:

1. f(x) > 0 para todo x ∈ (-∞,∞);

2. a área definida por f(x) é igual a 1.

Figura 2: função de distribuição de probabilidade.


11


A condição 2 é dada pela integral7

(10) ∫∞

∞−

=1)( dxxf .

Para calcular probabilidades, temos que, para a ≤ b

(11) ∫=≤≤b

a

dxxfbXaP )(][ .

Observe que a probabilidade de ocorrência de um dado valor

isolado “k” é sempre nula, ou seja, P[x = k] = 0. A função de distribuição de uma variável aleatória contínua X

também é definida pela expressão (9), que pode ser posta na forma

(12) ∫∞−

=x

dfxF λλ)()( .

As Figuras 3 e 4 ilustram as funções densidade de probabilidade

e de distribuição de uma variável aleatória Normal (vide definição no item 4.1).

7 Não se preocupe com o cálculo integral, pois não será cobrado em prova. Ainda

assim, é interessante conhecer as definições relativas à distribuição de variáveis contínuas.


12


Figura 3: função densidade de probabilidade Normal.


13


2.5. Funções de Probabilidade Conjunta É possível definir mais de uma variável aleatória num mesmo

espaço de probabilidade8. Por exemplo, considere o lançamento simultâneo de duas moedas não viciadas. Aqui a ordem do resultado não é importante de modo que os resultados elementares do

8 Um espaço amostral Ω e uma medida de probabilidade P formam um espaço de

probabilidade Ψ. Na verdade, esta definição é incompleta; não obstante, está coerente com os conceitos ensinados nesta aula. Para maiores detalhes sobre as sutilezas da teoria de probabilidade, recomendamos que você consulte as referências (não agora que você está na reta final para o BACEN, mas somente depois de passar!): “A Course in Probability Theory” de Kai Lai Chung ou “An Introduction to Probability Theory and Its Applications” de William Feller. Um dos autores deste curso (prof. Alexandre) considera que estes dois livros são as “bíblias” da teoria de probabilidade.

Figura 4: função de distribuição Normal.


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experimento aleatório são CC=1ζ (cara-cara), CK=2ζ (cara-coroa) e KK=3ζ (coroa-coroa). Logo, o espaço amostral é Ω = CC, CK, KK.

Agora vamos definir as variáveis aleatórias: 0)(1 =ςX se pelo menos uma das moedas der cara (C) ( 1)(1 =ςX para os demais casos) e

1)(2 −=ςX se der uma cara e uma coroa (CK) ( 1)(2 +=ςX para os demais casos). Então P[X1=0] = ¾ (porque P[CC] = ¼ e P[CK]= ½), P[X1=1] = ¼, P[X2=-1] = ½ e P[X2=+1] = ½. Além disso, note que a probabilidade do evento conjunto P[X1=0, X2=+1] = P[CC] = ¼.

O evento conjunto X ≤ x, Y ≤ y = X ≤ x ∩ Y ≤ y consiste

em todos os resultados Ω∈ς tais que xX ≤)(ς e yY ≤)(ς (veja a Fig. 5).

(x, y)

x´

y´

Figura 5: a região hachurada representa o evento conjunto.


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A função de distribuição conjunta de X e Y é definida como (13) ],[),( yYxXPyxFXY ≤≤= . Se ),( yxFXY for contínua e diferenciável (logo X e Y só podem

ser variáveis aleatórias contínuas!), a função densidade de probabilidade conjunta de X e Y pode ser a partir da expressão

(14) )],([),(2

yxFyx

yxf XYXY ∂∂∂

= .

A Fig. 6 mostra a função densidade de probabilidade conjunta

Normal. O volume total sob a superfície da Fig. 6 é igual a um, haja vista que

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

= 1),( dxdyyxf XY (evento certo).

A probabilidade do evento X ≤ x, Y ≤ y é dada por

Figura 6: gráfico da densidade conjunta Normal.


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(15) ∫ ∫∞− ∞−

=x

XY

y

XY fddyxF ),(),( ηεηε .

Sejam X e Y variáveis aleatórias discretas. Então a função

discreta de probabilidade conjunta é definida por (16) ],[),( kikiXY yYxXPyxf === .

2.5.1. Funções de Probabilidade Marginal

Dada uma função densidade de probabilidade conjunta, pode-se

obter a função densidade de probabilidade de cada uma das variáveis aleatórias individuais.

Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com densidade

conjunta fXY(x,y). Então fX(x) e fY(y) são denominadas densidades marginais de X e Y, respectivamente, se são obtidas de fXY(x,y) por meio das expressões

(17) ∫∞

∞−

= dyyxfxf XYX ),()(

(18) ∫∞

∞−

= dxyxfyf XYY ),()(

Note que as funções de densidade de probabilidade marginal

fX(x) e fY(y) correspondem às funções de densidade de probabilidade individuais de X e Y, respectivamente.

Podemos obter resultados similares para variáveis aleatórias

discretas. Dada a função discreta de probabilidade conjunta fXY(xi,yk), as funções discretas de probabilidade marginal são dadas por

(19) ∑=

kkiXYiX yxfxf ),()(

(20) ∑=i

kiXYkY yxfyf ),()(

2.5.2. Funções de Probabilidade Condicional

Sejam X e Y variáveis aleatórias discretas com função de

probabilidade conjunta fXY(xi,yk). Então as funções discretas de probabilidade condicional P[X=xi/Y=yk] = fX/Y(xi/yk) e P[Y=yk/ X=xi] = fY/X(yk/xi) são definidas como


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(21) )(

),()/(/kY

kiXYkiYX yf

yxfyxf = , 0)( ≠kY yf

(22) )(

),()/(/iX

kiXYikXY xf

yxfxyf = , 0)( ≠iX xf

De (21) e (22) resulta que (23) )()/()()/(),( // iXikXYkYkiYXkiXY xfxyfyfyxfyxf ==

Podemos definir as densidades condicionais associadas a

duas variáveis aleatórias contínuas X e Y (com densidade conjunta fXY(x,y) e densidades marginais fX(x) e fY(y)) de forma análoga9. A densidade condicional de Y dado o resultado X = x é definida por

(24) )(

),()/(/ xfyxfxyf

X

XYXY = , 0)( ≠xfX

e a densidade condicional de X dado o resultado Y = y como

(25) )(

),()/(/ yfyxfyxf

Y

XYYX = , 0)( ≠yfY .

2.5.3. Variáveis Aleatórias Independentes

Quando X e Y são variáveis aleatórias independentes a

função de probabilidade conjunta é igual ao produto das funções marginais de probabilidade, ou seja

(26) )()(),( yfxfyxf YXXY = .

Podemos generalizar a fórmula (26). Sejam X1, X2, ..., Xn

variáveis aleatórias independentes com função de probabilidade conjunta f(x1, x2, ..., xn) e funções marginais de probabilidade f(x1), f(x2), ..., f(xn). Então é válida a expressão

9 Apesar de termos afirmado que é possível obter as densidades condicionais (24) e

(25) “de forma análoga” ao caso anterior (que envolvia variáveis aleatórias discretas), observe-se que (24) e (25) são obtidas a partir da definição de probabilidade condicional (vide alguma das referências bibliográficas deste curso indicadas na Aula 0 ou um bom livro de teoria da probabilidade como o de Kai Lai Chung!).


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(27) )()...()(),...,,( 2121 nn xfxfxfxxxf = .

Se X e Y são independentes, então a densidade condicional de

X, dado que Y = y é,

(28) )()(

)()()(

),()/(/ xfyfyfxf

yfyxfyxf X

Y

YX

Y

XYYX === .

e a densidade condicional de Y, dado que X = x é,

(29) )()(

)()()(

),()/(/ yfxfyfxf

xfyxfxyf Y

X

YX

X

XYXY === .

3. Valores Esperados Envolvendo Uma Única

Variável Aleatória Já dissemos que uma variável aleatória é completamente

caracterizada (ou especificada) pela sua função de probabilidade. Isto quer dizer que temos toda a informação acerca de X quando sabemos quem é fX(x) (isto é, quando conhecemos a fórmula de fX(x)). Na prática, é bastante comum não conhecermos fX(x). Neste caso, como faríamos para caracterizar X?

O fato é que normalmente temos acesso a diversas

observações de uma variável aleatória e podemos nos aproveitar deste fato para tentar obter uma descrição, ainda que parcial, da mesma. Uma maneira alternativa de caracterizar uma variável aleatória envolveria a obtenção de estimativas de alguns de seus momentos ou “médias” estatísticas. Na prática, os momentos mais importantes são a média (momento de 1ª ordem) e a variância (momento de 2ª ordem). A média é uma medida de posição de fX(x) (veremos o que isso quer dizer logo seguir), ao passo que a variância é uma medida de dispersão (ou do grau de variabilidade) de fX(x). A Estatística também define momentos de ordem mais alta como a assimetria (3ª ordem) e a curtose (4ª ordem), mas eles não serão vistos neste curso porque não são relevantes para a prova.

Vejamos a seguir os conceitos de média e variância, estes sim

importantes para a prova.

3.1. Média A média (também conhecida como valor esperado ou

esperança) é uma medida de posição de uma função de


19


probabilidade, servindo para localizar a função sobre o eixo de variação da variável em questão. Em particular, a média caracteriza o centro de uma função de probabilidade10. A média é uma característica numérica de uma função de probabilidade.

Se X for uma variável aleatória discreta que pode tomar os

valores x1, x2, ..., xn com probabilidades f(x1), f(x2), ..., f(xn), então a média de X é definida por

(30) ∑=

=+++=n

iiinn xfxxfxxfxxfxXE

1211 )()(...)2()(][ .

em que E denota o operador esperança matemática. Se a variável aleatória discreta X puder tomar um número

infinito de valores, então (30) pode ser generalizada na forma

(31) ∑=++++=i

iinn xfxxfxxfxxfxXE )(...)(...)2()(][ 211 .

O valor esperado de uma variável aleatória contínua X com

densidade de probabilidade fX(x) é dada pela integral

(32) ∫∞

∞−= dxxxfXE )(][ .

3.2. Valor Esperado de Uma Função de Variável Aleatória

Seja X uma variável aleatória discreta com função de

probabilidade fX(xi) e g(X) uma função de X. Então o valor esperado de g(X) é

(33) ∑=

iiXi xfxgXgE )()()]([ .

Caso X seja uma variável aleatória contínua com densidade de

probabilidade fX(x), o valor esperado de g(X) é dado por

(34) ∫∞

∞−

= dxxfxgXgE X )()()]([ .

10 A mediana e a moda também são medidas de posição. A mediana também

procura caracterizar o centro de uma função de probabilidade, só que usando um critério diferente. A mediana é calculada com base na ordem dos valores de uma variável aleatória. A moda (ou modas) corresponde ao valor (ou valores) de máxima probabilidade.


20


Se )()()( 21 XgXgXg += , em que g1(X) e g2(X) também são funções de X, então vale

(35) )]([)]([)]([ 21 XgEXgEXgE += .

Relacionamos abaixo algumas propriedades importantes da

esperança matemática E(.). Sejam “a” e “c” valores constantes e X uma variável aleatória (tanto faz se contínua ou discreta), então valem:

1. ccE =][ ; 2. ][][ XcEcXE = ; 3. ][][ XcEacXaE +=+ .

Note-se que também é usual denotar a média de X usando o

símbolo X ou a letra grega μ.

3.3. Variância Sejam X uma variável aleatória (discreta ou contínua) e

2][)( XXXg −= uma função de X. Define-se a variância de X (denotada por var(X) ou σ2) como o valor esperado E[g(X)] dado por

(36) 222222 ][][]2[][)]([)var( XXEXXXXEXXEXgEσX X −=+−=−===

Sejam “a” e “c” constantes e Z = a + cX. Não é difícil demonstrar que vale a propriedade

(37) )var()var( 2 XccXa =+ .

A raiz quadrada da variância é chamada de desvio-padrão

ou erro-padrão, sendo denotada pelo símbolo σ.

4. Distribuições Importantes em Econometria Daqui para frente, usaremos o termo distribuição como sendo

sinônimo de função de probabilidade, o que é usual na literatura da área.

4.1. Distribuição Normal

Uma variável aleatória tem distribuição Normal11 com

parâmetros μ e σ2 se sua função densidade é dada por 11 Também denominada Gaussiana pelos engenheiros.


21


(38) 2

2

2)(

21)( σ

μx

eπσ

xf−

−= , ∞<<∞− x .

Neste curso, usaremos a notação X ∼ N(μ, σ2) para indicar que

X tem distribuição Normal com parâmetros μ e σ2. A Fig. 3 ilustra algumas propriedades da distribuição Normal (a

da Fig. 3 tem μ = 0 e σ2=1, sendo neste caso denominada Normal Padrão ou Padronizada):

1. f(x) é simétrica em relação a μ;

2. f(x) tende a zero quando x → ± ∞;

3. o valor máximo de f(x) se dá em x = μ.

Demonstra-se que os parâmetros μ e σ2 denotam a média e

a variância da distribuição Normal, respectivamente. Considere X ∼ N(μ, σ2) e seja a nova variável Z = (X - μ)/σ.

Pode-se verificar facilmente (vide [MAG08] ou [NET02]) que Z tem distribuição Normal do tipo Z ∼ N(0, 1), sendo por isso denominada Normal Padrão ou Normal Reduzida (esta distribuição será muito usada neste curso).

Disponibilizamos ao final desta aula a Tabela I – distribuição

normal padrão. Dê uma olhada!

4.2. Distribuição Qui-quadrado A distribuição qui-quadrado com parâmetro n (inteiro

maior que zero) de uma variável aleatória X é definida pelo modelo contínuo

(39) 222

)( x/n

χX exKxfn

−−

= para x ≥ 0 ( )(xfnX

= 0 para x < 0)

em que )2(2

12 n/Γ

K n/χ = e Γ(.) é a função gama, dada por

(40) ∫∞

−−=0

1)( dtetnΓ tn

e que consiste numa generalização da noção de fatorial, pois, se n é inteiro, )!1( −=Γ nn)( .


22


Calma! Não se assuste com a fórmula (39)! Você não precisa decorar essa expressão porque ela não cairá na prova (ela não será cobrada nem mesmo na prova de estatística!). Nós a colocamos na aula para que você saiba que a distribuição qui-quadrado possui uma expressão analítica. Na prova, será dada a Tabela de valores da qui-quadrado, caso haja alguma questão que envolva o uso dessa distribuição.

A Eq. (39) define a família das distribuições qui-quadrado com

n graus de liberdade , usualmente representada por 2nχ . Você

lembra o significado desses n graus de liberdade? Este é um conceito oriundo da Estatística básica. A variância de uma amostra de n valores de uma variável aleatória X pode ser calculada através da expressão

(41) 1

)()( 1

2

2

−

−=

∑=

n

xxxs

n

ii

em que x é a média amostral de X definida por

(42) n

x...xxx n+++= 21

A média e a variância amostrais são variáveis aleatórias.

As expressões (41) e (42) são estatísticas ou estimadores12 dos parâmetros X e 2

Xσ . A estatística x possui n graus de liberdade porque o seu cálculo envolve n valores xi livres. Já a estatística )(2 xs definida por (41) tem um grau de liberdade a menos, pois usa x (estimativa) ao invés da média X (parâmetro da variável aleatória). Isso acontece porque o cálculo de )(2 xs pressupõe que anteriormente já se tenha calculado x , para o que usamos já uma vez todos os valores da amostra, os quais estariam sendo usados pela segunda vez para o cálculo de )(2 xs . No momento de usarmos novamente os valores da amostra para o cálculo de )(2 xs , esses valores têm apenas

1−n graus de liberdade, pois, dados quaisquer 1−n deles, o valor restante estará perfeitamente determinado, pelo fato de já conhecermos sua média amostral x [NET02].

12 À Combinação dos elementos da amostra, construída com a finalidade de

representar ou estimar um parâmetro de interesse na população, denominamos estimador ou estatística. Aos valores numéricos assumidos pelos estimadores denominamos estimativas pontuais ou simplesmente estimativas. Grosso modo, estimadores seriam as fórmulas e estimativas seriam os resultados das fórmulas para valores específicos.


23


A Fig. 7 ilustra gráficos da distribuição qui-quadrado com n = 1, 3, 6 e 10 graus de liberdade.

Também disponibilizamos ao final desta aula a Tabela II da distribuição Qui-quadrado. Confira!

4.3. Distribuição t-Student

A distribuição t-Student com n graus de liberdade é dada por

(43) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

21

2

1)(

n

stX nxKxf

Figura 7: gráficos da distribuição qui-quadrado.


24


em que [ ]

πnn/Γ/nΓKst )2(2)1( +

= .

Na prova, também deverá ser dada a Tabela de valores da

distribuição t-Student caso haja alguma questão que envolva o uso dessa distribuição. A Fig. 8 mostra os gráficos da distribuição t-Student para n=3, n=6, n=10 e n=20. Note que o formato dessa distribuição se aproxima da Normal conforme aumenta o número de graus de liberdade.

Figura 8: gráficos da distribuição t-Student.


25


4.4. Distribuição F de Snedecor Define-se a variável F com n1 graus de liberdade no numerador

e n2 graus de liberdade no denominador, ou simplesmente, 21 ,nnF , por

(44) 2

21

2

2

1

21 /nχ/nχ

Fn

n

,nn =

onde 2

inχ designa uma variável aleatória com distribuição qui-

quadrado com ni graus de liberdade.


26


Bibliografia [BAR04] BARBETTA, Pedro Alberto; REIS, Marcelo Menezes; BORNIA, Antonio Cezar. Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. São Paulo: Editora Atlas, 2004. [GUB06] GUBNER, John A. Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers. Cambridge University Press, 2006. [GUJ00] GUJARATI, Damodar N. Econometria Básica, 3ª Edição. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000. [HIL06] HILL, R. Carter; GRIFFITHS, William E.; JUDGE, George G. Econometria, 2ª Edição. São Paulo: Saraiva, 2006. [MAG08] MAGALHÃES, Marcos N.; LIMA, Antonio Carlos P. de. Noções de Probabilidade e Estatística. São Paulo: Edusp, 6ª Ed. Revista, 2008. [NET02] NETO, Pedro Luiz de Oliveira Costa. Estatística. São Paulo: Ed. Edgard Blücher Ltda., 2ª Ed., 2002. [PAP91] PAPOULIS, Athanasios. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. 3rd ed. McGraw-Hill, 1991. [STA02] STARK, Henry; WOODS, John W. Probability, Random Processes with Applications to Signal Processing. 3rd ed. Prentice Hall, 2002. [WOO08] WOOLDRIDGE, Jeffrey M. Introdução à Econometria: Uma Abordagem Moderna. São Paulo: Cengage Learning, 2008.


27


5. Exercícios de Fixação

O enunciado abaixo refere-se às questões de números 1 a 4. Após vários anos de magistério no ensino superior, um professor de Econometria constatou que, em sua aula na graduação, a função de probabilidade de X, variável aleatória que representa o número de alunos ausentes às sextas-feiras, é a seguinte

X 0 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 0,010 0,020 0,310 0,320 0,240 0,080 0,019 0,001

1. Então a probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 alunos estarão ausentes é (A) 0,63

(B) 0,13

(C) 0,87

(D) 0,56

(E) 1

2. O valor esperado da variável aleatória X é (A) 3,08

(B) 3,26

(C) 2,12

(D) 0,32

(E) 0,96

3. O valor esperado de Y = 5X + 4 é (A) 4

(B) 3,1

(C) 15,4

(D) 19,4

(E) 81

4. A variância de X é (A) 9,49


28


(B) 1,22

(C) 10,71

(D) 19,4

(E) 81

O enunciado a seguir refere-se às questões de números 5 e 6. Seja X uma variável aleatória com densidade de probabilidade

xxfX 22)( −= para 10 ≤≤ x e 0)( =xfX para os demais valores. 5. A probabilidade de se obter X maior do que 0 é (A) 0

(B) 0,75

(C) 0,25

(D) 0,5

(E) 1

6. A probabilidade de se obter X maior do que 0,5 é (A) 0

(B) 0,75

(C) 0,25

(D) 0,5

(E) 1

O enunciado a seguir refere-se às questões de números 7 a 10 (Exercício 2.6 de [HIL06], adaptado). Um total de 15.064.859 alunos estão matriculados no ensino superior, divididos entre cursos com duração de 4 anos, de 2 anos e de menos de 2 anos. A matrícula, separada por sexo, é mostrada na tabela a seguir.

4 anos 2 anos Menos de 2 anos Homens 4.076.416 2.437.905 172.874 Mulheres 4.755.790 3.310.086 311.788 Fonte: Digest of Educational Statistics 1997, Tabela 170.

Nessa população, as probabilidades aproximadas de matrícula em um dos tipos de instituição de ensino superior, por sexo, são

4 anos 2 anos Menos de 2 anos


29


Homens 0,27 0,16 0,01 Mulheres 0,32 0,22 0,02

Considere o experimento de extrair aleatoriamente um estudante matriculado de sua população. Defina a variável aleatória X = 0, se um homem é selecionado, e X = 1, se uma mulher é selecionada. Defina a variável aleatória Y = 1, se o estudante escolhido é de um curso de 4 anos, Y = 2, se o estudante escolhido é de um curso de 2 anos e Y = 3, se é de um curso de menos de 2 anos. 7. Qual é a probabilidade do estudante escolhido aleatoriamente ser homem (X = 0)? (A) 0,44

(B) 0,56

(C) 0,59

(D) 0,38

(E) 0,03

8. Qual é a probabilidade de um estudante, escolhido aleatoriamente, ser de um curso de 2 anos (Y = 2)? (A) 0,44

(B) 0,56

(C) 0,59

(D) 0,38

(E) 0,03

9. Assinale a alternativa com a função discreta de probabilidade marginal )(xf .

(A) ⎩⎨⎧

==

=1,10,0

)(xx

xf

(B) ⎩⎨⎧

==

=1,44,00,56,0

)(xx

xf

(C) ⎩⎨⎧

==

=1,56,00,44,0

)(xx

xf

(D) ⎩⎨⎧

==

=1,38,00,59,0

)(xx

xf

(E) ⎩⎨⎧

==

=1,59,00,38,0

)(xx

xf


30


10. A função de probabilidade condicional para Y, dado que X =1 é

(A) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

==3,02,02,40,01,57,0

)1/(/

yyy

xyf XY

(B) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

==3,48,02,29,01,02,0

)1/(/

yyy

xyf XY

(C) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

==3,02,02,29,01,48,0

)1/(/

yyy

xyf XY

(D) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

==3,57,02,40,01,04,0

)1/(/

yyy

xyf XY

(E) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

==3,04,02,40,01,57,0

)1/(/

yyy

xyf XY


31


6. GABARITO

1 – C

2 – A

3 – D

4 – B

5 – E

6 – C

7 – A

8 – D

9 – C

10 - E


32


7. Resolução dos Exercícios de Fixação

O enunciado abaixo refere-se às questões de números 1 a 4. Após vários anos de magistério no ensino superior, um professor de Econometria constatou que, em sua aula na graduação, a função de probabilidade de X, variável aleatória que representa o número de alunos ausentes às sextas-feiras, é a seguinte

X 0 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 0,010 0,020 0,310 0,320 0,240 0,080 0,019 0,001

1. Então a probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 alunos estarão ausentes é (A) 0,63

(B) 0,13

(C) 0,87

(D) 0,56

(E) 1

Resolução A probabilidade de que, em dada sexta-feira, 2 ou 3 ou 4 estarão ausentes é dada por

87,0240,0320,0310,0)(4

2=++=∑

=xxf

GABARITO: C 2. O valor esperado da variável aleatória X é (A) 3,08

(B) 3,26

(C) 2,12

(D) 0,32

(E) 0,96

Resolução


33


∑=

=7

0)(][

xxxfXE

Logo, E[X]

08,3081,3001,07019,0608,0524,0432,0331,0202,0101,00 ≈=×+×+×+×+×+×+×+×= GABARITO: A 3. O valor esperado de Y = 5X + 4 é (A) 4

(B) 3,1

(C) 15,4

(D) 19,4

(E) 81

Resolução

4,19405,194405,154081,354][5]45[][ ≈=+=+×=+=+= XEXEYE . GABARITO: D 4. A variância de X é (A) 9,49

(B) 1,22

(C) 10,71

(D) 20,305

(E) 85,525

Resolução

27

0

222 )(][)var( XxfxXXEXx∑

=

−=−= .

+×+×+×+×+×+×=∑=

08,0524,0432,0331,0202,0101,00)( 2222227

0

2

xxfx

713,10001,07019,06 22 =×+×+ Então,

22,1493,9713,10081,3713,10][)var( 222 =−=−=−= XXEX .


34


GABARITO: B O enunciado a seguir refere-se às questões de números 5 e 6. Seja X uma variável aleatória com densidade de probabilidade

xxfX 22)( −= para 10 ≤≤ x e 0)( =xf X para os demais valores. 5. A probabilidade de se obter X maior do que 0 é (A) 0

(B) 0,75

(C) 0,25

(D) 0,5

(E) 1

Resolução O gráfico da função densidade de probabilidade xxfX 22)( −= está representado abaixo. A probabilidade de se obter X maior do que 0 é, por definição, igual à área sob f(x), a qual é unitária, pois representa a probabilidade do evento certo. Conferindo:

12

212

]0[ =×

=×

=>alturabaseXP .

x10

2

f(x)

1

0,5

GABARITO: E


35


6. A probabilidade de se obter X maior do que 0,5 é (A) 0

(B) 0,75

(C) 0,25

(D) 0,5

(E) 1

Resolução A probabilidade de se obter X maior do que 0,5 é igual à área sob f(x) no intervalo 15,0 ≤< x . Ou seja

25,02

15,0]5,0[ =×

=>XP .

GABARITO: C O enunciado a seguir refere-se às questões de números 7 a 10 (Exercício 2.6 de [HIL06], adaptado). Um total de 15.064.859 alunos estão matriculados no ensino superior, divididos entre cursos com duração de 4 anos, de 2 anos e de menos de 2 anos. A matrícula, separada por sexo, é mostrada na tabela a seguir.

4 anos 2 anos Menos de 2 anos Homens 4.076.416 2.437.905 172.874 Mulheres 4.755.790 3.310.086 311.788 Fonte: Digest of Educational Statistics 1997, Tabela 170.

Nessa população, as probabilidades aproximadas de matrícula em um dos tipos de instituição de ensino superior, por sexo, são

4 anos 2 anos Menos de 2 anos Homens 0,27 0,16 0,01 Mulheres 0,32 0,22 0,02

Considere o experimento de extrair aleatoriamente um estudante matriculado de sua população. Defina a variável aleatória X = 0, se um homem é selecionado, e X = 1, se uma mulher é selecionada. Defina a variável aleatória Y = 1, se o estudante escolhido é de um curso de 4 anos, Y = 2, se o estudante escolhido é de um curso de 2 anos e Y = 3, se é de um curso de menos de 2 anos.


36


7. Qual é a probabilidade do estudante escolhido aleatoriamente ser homem (X = 0)? (A) 0,44

(B) 0,56

(C) 0,59

(D) 0,38

(E) 0,03

Resolução Seja ),( kiXY yxf , 2,1=i e 3,2,1=k , a função discreta de probabilidade conjunta da população de homens e mulheres da questão. Sendo assim, temos as seguintes probabilidades conjuntas:

27,0)1,0( === yxf XY (i=1, k=1), 16,0)2,0( === yxf XY (i=1, k=2), 01,0)3,0( === yxf XY (i=1, k=3), 32,0)1,1( === yxf XY (i=2, k=1), 22,0)2,1( === yxf XY (i=2, k=2) e 02,0)3,1( === yxf XY (i=2, k=3).

Note que ∑∑= =

=+++++=2

1

3

1102,022,032,001,016,027,0),(

i kkiXY yxf

(probabilidade do evento certo). O enunciado determina que a probabilidade ]0[ =XP seja calculada. Observe que )0(]0[ === xfXP X , isto é, a probabilidade de o estudante escolhido aleatoriamente ser homem é igual à probabilidade marginal )(xfX no ponto x =0. Vimos que ∑=

kkiXYiX yxfxf ),()( . Logo,

)]3,0()2,0()1,0()0(]0[ ==+==+====== yxfyxfyxfxfXP XYXYXYX 44,001,016,027,0]0[ =++==XP

GABARITO: A 8. Qual é a probabilidade de um estudante, escolhido aleatoriamente, ser de um curso de 2 anos (Y = 2)? (A) 0,44

(B) 0,56

(C) 0,59

(D) 0,38

(E) 0,03


37


Resolução Seja ∑=

ikiXYY yxfyg ),()( a função de probabilidade marginal de Y.

)2(]2[ === ygYP Y

)2,1()2,0()2( ==+==== yxfyxfyg XYXYY 38,022,016,0]2,1[]2,0[]2[ =+===+==== YXPYXPYP .

GABARITO: D 9. Assinale a alternativa com a função discreta de probabilidade marginal )(xf .

(A) ⎩⎨⎧

==

=1,10,0

)(xx

xf

(B) ⎩⎨⎧

==

=1,44,00,56,0

)(xx

xf

(C) ⎩⎨⎧

==

=1,56,00,44,0

)(xx

xf

(D) ⎩⎨⎧

==

=1,38,00,59,0

)(xx

xf

(E) ⎩⎨⎧

==

=1,59,00,38,0

)(xx

xf

Resolução Sabemos que ∑=

kkiXYiX yxfxf ),()( . Portanto,

44,0)3,0()2,0()1,0()0( ===+==+==== yxfyxfyxfxf XYXYXYX (calculado

na questão 7).

===+==+==== )3,1()2,1()1,1()1( yxfyxfyxfxf XYXYXYX 56,002,022,032,0 =++= .

Assim a função de probabilidade marginal ( )f x é dada por

⎩⎨⎧

==

=1,56,00,44,0

)(xx

xf

GABARITO: C


38


10. A função de probabilidade condicional para Y, dado que X =1 é

(A) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

==3,02,02,40,01,57,0

)1/(/

yyy

xyf XY

(B) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

==3,48,02,29,01,02,0

)1/(/

yyy

xyf XY

(C) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

==3,02,02,29,01,48,0

)1/(/

yyy

xyf XY

(D) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

==3,57,02,40,01,04,0

)1/(/

yyy

xyf XY

(E) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

==3,04,02,40,01,57,0

)1/(/

yyy

xyf XY

Resolução Pela definição de probabilidade condicional temos que

57,0664.377.8790.755.4)1/1(/ ≈=== xyf XY

40,0664.377.8086.310.3)1/2(/ ≈=== xyf XY

04,0664.377.8

788.311)1/3(/ ≈=== xyf XY

Observe que

1)1/3()1/2()1/1( /// ≈==+==+== xyfxyfxyf XYXYXY (evento certo)

Assim a função de probabilidade marginal )1/(/ =xyf XY é dada por

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

==3,037,02,395,01,568,0

)1/(/

yyy

xyf XY e 0)1/(/ ==xyf XY p/ os demais valores de y.

Também podemos resolver a questão usando a fórmula


39


)1(),()1/(/ =

==xfyxfxyf XY

XY .

Assim sendo,

57,056,032,0

)1()1,1()1/1(/ ≈=

===

===xfyxfxyf XY

XY

40,056,022,0

)1()2,1()1/2(/ ≈=

===

===xfyxfxyf XY

XY

04,056,002,0

)1()3,1()1/2(/ ≈=

===

===xfyxfxyf XY

XY

GABARITO: E


40


TABELA I Distribuição normal padrão. Valores tabelados:

pzxP =≥ ][ .

Exemplo: .4960,0]01,0[ =≥xP

0 z

áreatabulada

segunda casa decimal de z

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641 0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247 0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859 0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483 0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121

0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2842 0,2810 0,2776 0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451 0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148 0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867 0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611

1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379 1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170 1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985 1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823 1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0722 0,0708 0,0694 0,0681

1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559 1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367 1,8 0,0359 0,0352 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294 1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

2,0 0 ,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183 2,1 0 ,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143 2,2 0 ,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 2,3 0 ,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084 2,4 0 ,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064

2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048 2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019 2,9 0,0019 0,0018 0,0017 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014

3,0 0,00135 3,5 0,000233 4,0 0,000317 4,5 0,00000340 5,0 0,000000287


41


Tabela II – Distribuição de Qui-quadrado: valores críticos xc tais que αχ =≥ ][ 2

cxP . Exemplo: considere n = 5 graus de liberdade e probabilidade

da cauda da distribuição α = 0,975 ⇒ o valor crítico é 831,0=cx .

0,995 0,99 0,975 0,95 0,9 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005

1 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879

2 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597

3 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838

4 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860

5 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 9,236 11,070 12,832 15,086 16,750

6 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548

7 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278

8 1,344 1,647 2,180 2,733 3,490 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955

9 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589

10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188

11 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757

12 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300

13 3,565 4,107 5,009 5,892 7,041 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819

14 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319

15 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801

16 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267

17 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718

18 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156

19 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582

20 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997

21 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401

22 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796

23 9,260 10,196 11,689 13,091 14,848 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181

24 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 33,196 36,415 39,364 42,980 45,558

25 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928

26 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290

27 11,808 12,878 14,573 16,151 18,114 36,741 40,113 43,195 46,963 49,645

28 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 37,916 41,337 44,461 48,278 50,994

29 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 39,087 42,557 45,722 49,588 52,335

30 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672

31 14,458 15,655 17,539 19,281 21,434 41,422 44,985 48,232 52,191 55,002


42


32 15,134 16,362 18,291 20,072 22,271 42,585 46,194 49,480 53,486 56,328

33 15,815 17,073 19,047 20,867 23,110 43,745 47,400 50,725 54,775 57,648

34 16,501 17,789 19,806 21,664 23,952 44,903 48,602 51,966 56,061 58,964

35 17,192 18,509 20,569 22,465 24,797 46,059 49,802 53,203 57,342 60,275

36 17,887 19,233 21,336 23,269 25,643 47,212 50,998 54,437 58,619 61,581

37 18,586 19,960 22,106 24,075 26,492 48,363 52,192 55,668 59,893 62,883

38 19,289 20,691 22,878 24,884 27,343 49,513 53,384 56,895 61,162 64,181

39 19,996 21,426 23,654 25,695 28,196 50,660 54,572 58,120 62,428 65,475

40 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 51,805 55,758 59,342 63,691 66,766

41 21,421 22,906 25,215 27,326 29,907 52,949 56,942 60,561 64,950 68,053

42 22,138 23,650 25,999 28,144 30,765 54,090 58,124 61,777 66,206 69,336

43 22,860 24,398 26,785 28,965 31,625 55,230 59,304 62,990 67,459 70,616

44 23,584 25,148 27,575 29,787 32,487 56,369 60,481 64,201 68,710 71,892

45 24,311 25,901 28,366 30,612 33,350 57,505 61,656 65,410 69,957 73,166

46 25,041 26,657 29,160 31,439 34,215 58,641 62,830 66,616 71,201 74,437

47 25,775 27,416 29,956 32,268 35,081 59,774 64,001 67,821 72,443 75,704

48 26,511 28,177 30,754 33,098 35,949 60,907 65,171 69,023 73,683 76,969

49 27,249 28,941 31,555 33,930 36,818 62,038 66,339 70,222 74,919 78,231

50 27,991 29,707 32,357 34,764 37,689 63,167 67,505 71,420 76,154 79,490

bacen2010 econometria barbosa cunha aula 01

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