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Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12° 1
Tel.: 958-5804
República de Panamá Ministerio de Educación
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Nombre del Alumno(a): __________________________________________ Grupo: 12º _________
Sección: Bachiller S. C. Industrial Especialidad: _______________________________
11.0 OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Que el alumno o la alumna sea capaz de:
Comprender el concepto de límite de una función en un punto.
Calcular, en caso de que exista, el límite de una función mediante la aplicación de reglas y
procedimientos algebraicos.
Determinar el límite de una función de ciertos puntos a partir de su gráfica.
11.1 INTRODUCCIÓN
El concepto de límite es sin duda uno de los conceptos matemáticos que trae consigo mayor
cantidad de dificultades de aprendizaje, dificultades inherentes al propio concepto. El nuevo
sistema educativo español ha modificado los contenidos relativos a funciones y límites,
proponiendo una metodología más activa. Este artículo presenta una muestra de la investigación
que los autores están desarrollando alrededor de las dificultades de aprendizaje asociadas al
concepto de límite, tratando de proponer una secuencia metodológica adaptada al nuevo
currículo, que tenga en cuenta dichas dificultades. En primer lugar se presentan algunas
investigaciones anteriores, que sitúan el trabajo en un marco teórico; a continuación se hace un
pequeño estudio de la situación del concepto de límite en el currículo del nuevo sistema educativo
español, junto con la propuesta de una definición alternativa y la secuencia didáctica que la
desarrolla; finalmente, se describe un sistema de categorías que se ha construido para
desentrañar las dificultades de aprendizaje que surgen de la puesta en práctica de dicha
secuencia.
La importancia del estudio de las dificultades del concepto de límite se justifica por varias razones.
Por una parte, este es uno de los conceptos más importantes del Análisis, ya que es necesario
para introducir otros conceptos (continuidad, derivada, integral) y, por lo tanto, su estudio se hace
necesario. Por otra parte, para los alumnos es un concepto árido, poco atractivo, demasiado
abstracto, que olvidan totalmente con demasiada facilidad y, en suma, es uno de los más difíciles
de enseñar y aprender.
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 11
Límites de Funciones
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11.2 LA DEFINICIÓN DE LÍMITE
El vocablo límite es una palabra que procede etimológicamente del latín, y que en concreto deriva
del sustantivo “limes” que al traducirse es “frontera o borde o extremo”.
La noción de límite tiene múltiples acepciones. Puede tratarse de una línea que separa dos
territorios, de un extremo a que llega un determinado tiempo o de una restricción o limitación, es
decir, la palabra límite tiene un carácter estático.
Pero para la Matemática, el concepto de límite es un concepto dinámico, un límite es una
magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de
magnitudes.
11.3 INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE LÍMITE
El límite tiene que ver con la idea de acercarse lo más posible
a un valor finito o un valor infinito. Consideremos el siguiente
ejemplo: para hallar el área de una figura poligonal
simplemente se divide en triángulos y se suman sus áreas
321 AAAA .
Es mucho más difícil hallar el área de una región con lados curvos como el círculo. Una manera
de realizar este procedimiento fue el que empleo Arquímedes, que consistía en aproximar el área
inscribiendo polígonos en la región (Método Exhaustivo 1) si:
Si nA es el área del polígono regular inscrito con n lados, entonces se puede observar que
cuando n aumenta, nA se aproxima cada vez más al área del círculo.
nn
Alímcírculodelárea
En caso de hallar un patrón para las áreas nA , entonces se podría
determinar el límite A de manera exacta.
Arquímedes tuvo esta idea hace más de dos mil años y es la base del
concepto de límite de una función desarrollado en el siglo XVII por
Newton.
1 Es un procedimiento geométrico de aproximación a un resultado, con el cual el grado de precisión aumenta en
la medida en que avanza el Cálculo. También se le conoce como método por agotamiento, de exhaución o
exhausción.
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11.3.1 CONCEPTO Y DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
El límite de una función es el valor al cual se aproxima la función cuando x tiene un valor
determinado, así: LxfLímax
11.3.2 CONCEPTO DE LÍMITE DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE
Decimos que f es una función real de una variable, cuando el dominio y codominio (rango o
imagen) de la función son subconjuntos de números reales, y además la función posee una
variable independiente, que con mucha frecuencia se considera como la variable x . Si y es la
variable dependiente que se relaciona, por medio de la función f , con la variable x , entonces la
función se denotará: xfy en cuyo caso decimos que “ y es la imagen de x ” por medio de la
función f . Consideremos que ax es un punto sobre el eje X , que puede o no pertenecer al
dominio de la función. Si ax pertenece al dominio de la función, entonces la función puede ser
evaluada en dicho punto, es decir, af existe.
El hecho de que la función pueda o no ser evaluada en el punto ax no es un aspecto relevante
para el concepto que hoy nos ocupa, lo verdaderamente esencial para el concepto de límite, es
que la función se pueda evaluar en cualquiera vecindad del punto ax . Identifiquemos que
sobre la recta real R una vecindad del punto ax puede ser considerada como un intervalo
abierto del tipo aa , para R y ,0 donde es un número real positivo
suficientemente pequeño como se quiera. En el Cálculo cuando trabajamos con , éste se
considera un número que se aproxima o tiende a cero “0”, de manera que a es un número
real que se encuentra por la derecha de “ a ”, y si se aproxima da cero, entonces a se
aproxima a “ a ” por la derecha; por lo contrario, a es un número real que se encuentra por la
izquierda de “ a ”, y si se aproxima a cero, entonces a se aproxima a “ a ” por la izquierda.
Supongamos que aax , , entonces tenemos que:
axa , si en cada miembro de esta desigualdad, restamos a nos resultará:
aaaxaa , luego aplicando la eliminación de términos, obtenemos:
ax , luego aplicando una propiedad de valor absoluto, obtenemos que:
ax , esto significa que la vecindad o entorno del punto ax se constituye por todos los
valores de x muy cercanos a dicho punto, y éstos valores de x se van a encontrar por la
izquierda y por la derecha del punto “ a ”.
Si una función se puede evaluar en un punto, entonces se dice que ella está
definida en dicho punto.
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Para indicar que x se aproxima a “ a ” por la derecha, lo escribimos así: ax Mientras que
para indicar que x se aproxima a “ a ” por la izquierda, lo escribimos así: ax
Supongamos que al asignarle valores a “ x ” muy cercanos a “ a ” por la derecha, entonces las
imágenes de estos valores por medio de la función f se encuentran muy cercanos a cierto valor
finito L por arriba; y además, al asignarle valores a “ x ” muy cercanos a “ a ” por la izquierda,
entonces las imágenes de estos valores por medio de la función f se encuentran muy cercanos
al mismo valor L por abajo.
En consecuencia bajo estas condiciones, se dice que el límite de la función f cuando x tiende a
“ a ” es igual a L y se escribe, así: Lxflímax
, existe.
Pero está existencia está obligando al cumplimiento de tres (3) condiciones necesarias para la
existencia del límite de una función f en el punto ax , las cuales son las siguientes:
1) Lxflímiax
, existe
2) Lxflímiiax
, existe
21) LLiii
11.4 IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
El límite de una función xfy en un punto “ a ” es el valor que tiende la función en puntos muy
próximos a “ a ”.
La presentación de los ejemplos siguientes pretende dar una idea del significado del límite de una
función en un punto.
Ejemplo 1: Consideremos la función lineal 12 xxf . ¿A qué valor se aproxima la función,
cuando x se aproxima o tiende al valor 3 ?
Solución: Si se quiere estudiar el límite de esta función cuando 3x , hay que ver los valores
que toma la función en puntos muy próximos a 3 . Para ello se puede hacer la siguiente tabla de
valores:
x 8,2 9,2 99,2 999,2 1,3 01,3 001,3 0001,3
xf 6,6 8,6 98,6 998,6 2,7 02,7 002,7 0002,7
Se observa que al tomar valores de x muy próximos a 3 , ya sean mayores o menores que él, sus
imágenes se aproximan al valor 7 . Cuanto mayor es la proximidad de x a 3 , mayor es la
proximidad de xf a 7 . Esto se expresa diciendo que, cuando x tiende a 3 , el límite de la
función 12 xy es 7 , y se escribe, así: 7123
xlímx
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Ejemplo 2: Consideramos la función definida por 12 xxf con
dominio en R.
La representación gráfica es como se muestra a la derecha:
Nos interesa observar el comportamiento de la función f para
valores de x cercanos a 2 pero no iguales a 2 .
Veamos las tablas siguientes:
Tabla a
x 25,1 5,1 75,1 9,1 99,1 999,1 9999,1 99999,1
12 xxf 5625,0 25,1 0625,2 61,2 9601,2 996,2 9996,2 99996,2
Tabla b
x 75,2 5,2 25,2 1,2 01,2 001,2 0001,2 00001,2
12 xxf 5625,6 25,5 0625,4 41,3 0401,3 004,3 0004,3 00004,3
Puede observarse de ambas tablas que conforme x se aproxima más a 2 , xf toma, cada vez,
valores más próximos a 3 .
En otras palabras, al restringir el dominio de la función a valores cada vez "más cercanos a 2 ", el
conjunto de imágenes o sea, los valores que toma la función, se "acercan cada vez más a tres".
En este caso se dice que cuando x tiende a 2 , que se simboliza 2x , entonces 3xf , o
sea xf tiende a 3. Esto puede escribirse como: 3xf y 2x
y utilizando la notación de
límites escribimos 32
xflímx
que se lee: el límite de xf cuando x
tiende a 2 , es igual a 3 .
Ejemplo 3: Nos interesa calcular el área de región limitada
por la parábola con ecuación 2xy , el eje x y la recta de
ecuación 1x .
La representación gráfica de esta región es como se muestra
a la derecha:
Dividimos el intervalo 1,0 en partes iguales señaladas por
los valores: 1,1
,,3
,2
,1
,0n
n
nnn
formando sobre cada una
de las partes, un rectángulo cuyo lado vertical izquierdo toca a
la parábola en un punto, y cuya base mide n
1 en cada caso.
Luego, el área de cada uno de estos rectángulos podemos
expresarlas como sigue:
22
4
2
3
2
21
11,,
31,
21,
11,
10
n
n
nA
nnA
nnA
nnA
nA n
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Así, la suma nS de todas las áreas de los rectángulos está dada por la siguiente igualdad:
222112111
01
n
n
nnnnnnSn de donde
3
222 1321
n
nSn
Como 1216
11321
2222 nnnn , cuya prueba está al final del capítulo,
entonces:
36
121
n
nnnSn
de donde
nnSn
2
1
6
1
3
12
Tomando nn
rn2
1
6
12 entonces nn rS
3
1
Observemos que si a " n " se le asignan valores positivos cada vez más grandes, entonces nr se
aproxima a cero.
Si en la figura anterior se aumenta el número n de divisiones del intervalo, entonces crece el
número de rectángulos y la suma nS de las áreas de ellos se aproxima al área de la figura
curvilínea. Como nr se aproxima a cero cuando n crece indefinidamente, puede decirse que
nn rS 3
1 se aproxima al número
3
1, y así el área de la región tiende a
3
1. La expresión " n "
toma valores positivos cada vez mayores puede sustituirse por n , ( n tiende a más infinito)
y como 3
1nS , ( nS tiende a
3
1 cuando n ), volviendo a utilizar la notación de límites
escribimos:
n
nn
nrlímSlím
3
1 que se lee: el límite de nS , cuando n es
3
1.
Es importante señalar que al estudiar el límite de una función, no se menciona el valor que toma
la función exactamente en el punto. Así como en el ejemplo 2 , no importa cuál es el valor de
2f , sino el valor de xf cuando x tiende a 2 .
Esto se debe a que el concepto de límite de una función en un punto es independiente del valor
que toma la función en ese punto.
Puede suceder que en dicho punto la función no esté definida y aun así
exista el límite. El siguiente ejemplo presenta esta situación:
Ejemplo 4: Sea f la función definida por la ecuación
2
232 2
x
xxxf para toda x R, 2x
La representación gráfica de f es como se muestra a la derecha: De la
gráfica puede observarse que aunque la función f no está definida para
2x , cuando x toma valores muy cercanos a 2 la función se aproxima
a 5 , lo que escribimos como: 52
xflímx
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11.4.1 FORMALIZACIÓN DE LA IDEA INTUITIVA DE LÍMITE
En el ejemplo 2 se analizó el comportamiento de la función f con ecuación 12 xxf en las
proximidades de 2 .
Expresamos como 32
xflímx
, el hecho de que para acercar los valores de la función tanto
como se quisiera a 3 , era suficiente acercar adecuadamente x al valor 2 , 2x .
De otra forma, puede decirse que 3xf es tan pequeño como se quiera, siempre que 2x
sea suficientemente pequeño, aunque no igual a cero.
Utilizaremos las letras griegas (épsilon) y (delta) para escribir en forma más precisa lo
anterior. y Son números reales positivos que indican qué tan pequeño queremos hacer el
valor absoluto de la diferencia entre xf y 3, y el valor absoluto de la diferencia entre x y 2
respectivamente. Se dice entonces que 3xf será menor que , siempre que 2x sea
menor que y 02 x . Luego, si para cada 0 puede encontrarse un 0 tal que
3xf si 20 x , entonces se dice que 32
xflímx
Observe que se establece la condición 20 x , ya que
únicamente nos interesa saber cómo es xf para valores de x
cercanos a 2 , no en 2 mismo, en cuyo caso 2x sería igual a
cero.
Gráficamente tenemos la figura a la derecha:
Se tiene que, en el eje Y , los valores xf están entre 3 y
3 , siempre que los valores de x , en el eje de X , se localicen entre 2 y 2 , o sea
3xf sí 20 x .
En general, el valor de es escogido arbitrariamente, pero la elección de depende de la
elección previa de .
No se requiere que exista un número "apropiado" para todo , si no que, para cada existe
un específico.
Entre, más pequeño sea el valor que se escoja de , más pequeño será el valor del
correspondiente .
Luego, para el ejemplo 2, decimos que 32
xflímx
, pues para cada 0 , existe 0 , tal que
3xf , siempre que 20 x . En general, para una función f cualquiera, el
Lxflímbx
significa que "la diferencia entre xf y L puede hacerse tan pequeña como se
desee, haciendo simplemente que x esté suficientemente próximo a b , bx ".
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11.5 DEFINICIÓN DE LÍMITE
Sea f una función definida en una vecindad del punto 0,b .
Definición: Se dice que Lxflímbx
, si para cada número positivo , por pequeño que este sea,
es posible determinar un número positivo , tal que para todos los valores de x , diferentes de b ,
que satisfacen la desigualdad bx , se verificará la desigualdad Lxf .
Luego, Lxflímbx
si y solo si para cada 0 , existe 0 tal que si bx0 , entonces
Lxf . En forma gráfica se tiene:
También el Lxflímbx
puede interpretarse de la forma siguiente: como la desigualdad
bx se deduce que Lxf , entonces todos los puntos en la gráfica de la función
con ecuación b xfy , que corresponden a los puntos x que se localizan a una distancia no
mayor que del punto b , se encontrarán dentro de una franja de ancho 2 , limitada por las
rectas LyLy , , como se muestra en la siguiente figura a la derecha:
Puede decirse entonces que la definición de límite dada
anteriormente, establece que los valores de la función xf se
aproximan a un límite L , conforme x se aproxima a un
número b , sí el valor absoluto de la diferencia entre xf y L
se puede hacer tan pequeña como se quiera tomando
suficientemente cercana a "b ", pero no igual a "b ".
Daremos ahora algunos ejemplos en los que se utiliza la
definición de límite:
Ejemplo 5: Probar que 3122
xLímx
Solución: Debe probarse que dado 0 , existe 0 tal que 312x siempre que
20 x . Vamos a establecer una relación entre 312 x y 2x .
Como 222242312312 xxxxx o sea 22312 xx .
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Entonces, para hacer 312 x menor que , es suficiente que 2
2
x , por lo que puede
tomarse 2
. Luego, dado 0 , existe
2,0
tal que si 20 x entonces
312x .
Ejemplo 6: Probar que 11143
xLímx
Solución: Dada 0 , debe encontrarse 0 tal que 1114x siempre que
30 x .
Como 343412411141114 xxxxx entonces para que
1114 x sea menor que es suficiente que 4
3
x por lo que podemos tomar 4
.
Luego, dado 0 , existe
4,0
tal que 1114x siempre que 30 x .
Ejemplo 7: Probar que 322
1
xxLím
x
Solución: Debe encontrarse en términos de , ( 0 dada), tal que 322 xx sea menor
que cuando 10 x . Se tiene que 3131322 xxxxxx
Como lo que nos interesa es el límite cuando x tiende a 1, vamos a considerar los valores de x
que estén cerca de 1, pero que sean diferentes de 1.
Así, tomamos 11 x de donde 111 x y por tanto 20 x .
Vamos a determinar un número r para el que rx 3 cuando 11 x .
De la desigualdad 20 x se obtiene que 533 x por lo que 53 x y puede tomarse
5r .
Luego 1531 xxx cuando 11 x
Además 15 x es menor que si
51
x
Por tanto, si se toma como el menor de los números 1 y
5
entonces
322 xx cuando 10 x
Por ejemplo, si se toma 1 entonces 5
1 y 11531322 xxxxx
cuando 5
110 x
En general, el determinar el xflímbx
mediante el uso directo de la definición es difícil, por lo que
para hacerlo se contará con la ayuda de una serie de teoremas, que estudiaremos más adelante.
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Hemos dado un vistazo intuitivo y otro más formal sobre la noción de límite en un punto. En
síntesis, lo que nos interesa saber es el comportamiento de una función cuando la variable
independiente tiende a un determinado valor en el eje X .
11.6 EVALUACIÓN DE LÍMITES EN FORMA ANALÍTICA
Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a , el límite de xf cuando
x tiende a a es L , y se escribe así: LxfLímax
Apliquemos esta definición para encontrar los
límites siguientes, por simple inspección (de manera intuitiva):
LxLímx
143
13
112
134
L
L
L
LxxxLímx
123
3
20
1030
13927
133323
L
L
L
L
Lx
xLímx
16
34
4
23
13
124
316
146
344
L
L
L
LxLímx
72
3
4
1679
732
L
L
L
LxxLímx
1072
10
180
1070100
10107102
L
L
L
LxLímx
151
4
15
115
L
L
L
11.7 TEOREMAS O PROPIEDADES ACERCA DE LÍMITES DE UNA FUNCIÓN
Teorema 0: Propiedades de los límites
Antes de aplicar las propiedades básicas de los límites, debemos recordar dos propiedades
importantes de los límites, las cuales son:
El límite de la función constante es igual a la constante
El límite de la función identidad es igual al valor hacia donde tiende la variable x .
Dadas dos funciones xf y xg que tienen límite en un punto a , así: LxfLímax
y
MxgLímax
se cumplen las siguientes propiedades o leyes:
El límite de la suma de ambas funciones es igual a la suma de los límites.
El límite de la diferencia (resta) se calcula como la diferencia de los límites.
El límite del producto de las funciones es igual al producto de sus límites.
El límite del cociente entre ambas funciones es igual al cociente entre los límites,
siempre y cuando el límite del denominador sea distinto de cero.
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El límite del producto de una constante por una función viene determinado por la
multiplicación de la constante por el límite de la función.
El límite de la potencia, se da si los exponentes sean números reales.
Estas propiedades o leyes las mostramos en el siguiente esquema:
Ahora desglosaremos estas propiedades, es decir, entraremos más a detalle
Teorema 1 (sobre la unicidad del límite): Sea f una función definida en un intervalo I R tal
que Ia . Si Lxflímax
y Mxflímax
entonces ML . (Esto significa que el valor del
límite de una función en un punto es único).
Teorema 2: Si m y b son números reales entonces bambmxlímax
Ejemplos 8: 1156523532
xLímx
10212234243
xlímx
Teorema 3: Si k es una constante, entonces para cualquier número “ a ”, kklímax
Ejemplos 9: 772
x
Lím 553
x
lím 221000
xlím
Teorema 4: axlímax
Ejemplos 10: 22
xLímx
11
xlímx
5,05,0
xlímx
Teorema 5: Si Lxflímax
y k R, entonces se cumple que Lkxflímkxfklímaxax
.
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Ejemplos 11: 2793543522352352322
xlímxLímxx
53
53
153
53
151
113
xlímxlímxlím
xxx
Teorema 6: Si xxf con 0x entonces axlímax
, con 0a
Ejemplos 12: 55
xLímx
2
23
2
2
2
3
2
13333
21
2
1
2
1
ylímylím
yy
Teorema 7: Si f y g son dos funciones para las que Lxflímax
y Mxglímax
entonces se
cumple que: MLxglímxflímxgxflímaxaxax
(Este teorema lo que nos dice es que
el límite de la suma de dos funciones, es igual a la suma de los límites de cada una de las
funciones.
Ejemplos 13: 3633222333
xlímxlímxxLímxxx
1331032535353522222
xxxxx
límxlímlímxlímxlím
El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones.
Teorema 8: Si f y g son dos funciones para las que Lxflímax
y Mxglímax
y entonces se
cumple que MLxglímxflímxgxflímaxaxax
Es decir, el límite del producto de dos
funciones es igual al producto de los límites de cada una de las funciones.
Ejemplos 14: 164422222 2
2
2
2
2
2
xlímxlímxxLím
xxx
84712181212243123123444
xlímxlímxxlímxxx
El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones
Teorema 9: Si nxxf entonces nn
axaxlím
, con n N. Observe que xxxxxn ( n
factores) por lo que aplicando el teorema anterior se tiene que:
xxxxlímxlímxxxxlímxlímaxaxax
n
ax
xxxxlímxlímxlímaxaxax
factoresn
axaxaxxlímxlímxlím
aaaa ( n Factores) na
Ejemplos 15: 243
32
3
2
3
25
55
5
3
2
xLím
x 2121222
88
1
8
1
xlímxlím
xx
Corolario: En particular, el límite de la enésima potencia de xf es igual a la enésima potencia
del límite de xf . Es decir n
ax
n
axxflímxflím
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Ejemplos 16: 561771111565235353 6666
2
6
2
xlímxLím
xx
32231131335552
52
1
52
1
xxlímxxlím
xx
Teorema 10: Si f y g son dos funciones para las cuales Lxflímax
y Mxglímax
entonces
se tiene que:
M
L
xglím
xflím
xg
xflím
ax
ax
ax
siempre que 0M
Ejemplos 17:
4
3
28
21
127
392
13
332
1
32
1
32
1
323
2
3
3
3
3
2
3
3
3
2
3
3
2
3
xx
xx
x
x
x límxlím
límxlím
xlím
xlím
x
xLím
2
5
2
14
2
12212
12
2
2
2
xlím
xlím
x
xlím
x
x
x
Teorema 11: ax
límax
11
siempre que 0a
Ejemplos 18: 5
11
5
xLímx
3
4
3
14
14
14
4
333
xlím
xlím
xlím
xxx
Teorema 12: Si n N entonces nn
axaxlím
Si:
i) a es cualquier número positivo.
ii) 0a y n es impar.
Ejemplos 19: 33
55
xLím
x 2264 6 666
64
xlím
x
Teorema 13: Si Lxflímax
, entonces nn
ax
n
axLxflímxflím
si se cumple alguna de las
condiciones siguientes: i) 0L y n es cualquier entero positivo ( n R).
ii) 0L y n es un entero impar positivo
Ejemplos 20: 18335353533
xlímxLímxx
323 23
2
1
3 2
15323123232
xlímxlím
xx
Teorema 14: Si f , g y h , son funciones tales que xhxgxf para todo x de cierto
entorno reducido 1 de b y además xhlímLxflímbxbx
entonces se cumple que Lxglímbx
.
El teorema anterior nos dice que si para x próximo a b , la función g está comprendida entre dos
funciones que tienden a un mismo límite L , entonces xg también tiende a L .
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12° 14
Gráficamente podemos tener lo siguiente:
Por ejemplo, si g es una función tal que
22 xxgx para 0x y como 02
0
xlím
x y
02
0
xlím
x entonces se tiene que 0
0
xglím
x.
Sea ahora g una función tal que
3095 2 xxxgx para 5x
Se tiene que 1055
xlímx
y 103092
5
xxlím
x
Luego 105
xglímx
PRÁCTICA
Resuelve los siguientes problemas, aplicando los teoremas sobre límites.
1. 23x
Lím 2. 733
xLímx
3. xLímx 10
4. 1251
xLímx
5. xLímx 9
6. 273
3
xLím
x 7. 73
1
xLím
x 8. 423 2
1
xxxLím
x
9. 5
2xLím
x L 10. 2
573
xLím
x 11.
4
221
x
xLímx
12. x
Límx
1
2
13. yyyLímy
32 23
1
14. 3 2
31035
xxLím
x
15. 55
82
4
x
xLímx
16. 13
223
xx
xxLímx
11.8 LÍMITES UNILATERALES
Haciendo un análisis del primer teorema sobre la unicidad del límite, tenemos que: Sea “ a ” un
punto contenido en un intervalo abierto ( I R) y f una función definida en todo el intervalo,
excepto posiblemente en “ a ”, entonces: Lxflímax
si y sólo si Lxflímax
y Lxflímax
Este teorema implica que el límite de xf cuando x tiende a “ a ” existe si y sólo si los límites por
la derecha y por la izquierda existen y son iguales, a estos límites se les conocen como límites
unilaterales.
11.8.1 LÍMITES LATERALES
1. El límite por la izquierda de una función xfy , cuando x tiende a “ a ”, es el valor al tiende
la función para puntos muy próximos a “ a ” y menores que “ a ”. Para expresar el límite por la
izquierda, se escribe así: xflímax
2. El límite por la derecha de una función xfy , cuando x tiende a “ a ”, es el valor al tiende la
función para puntos muy próximos a “ a ” y mayores que “ a ”. Para expresar el límite por la
derecha, se escribe así: xflímax
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12° 15
Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo
es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen
algunas funciones que presentan algunas discontinuidades,
llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el
tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a
estudiar los límites en este tipo de funciones.
Consideremos la siguiente representación gráfica de una función
f , en la que existe una discontinuidad cuando, como se muestra
en la figura.
Notemos que cuando x tiende hacia " a " por la derecha de " a " la función tiende a 2 , pero cuando
x tiende hacia " a " por la izquierda de " a ", la función tiende hacia 1.
Escribimos ax para indicar que x tiende hacia " a " por la
derecha, es decir, tomando valores mayores que " a ".
Similarmente ax indica que x tiende hacia " a " por la
izquierda, o sea, tomando valores menores que " a ". Utilizando
ahora la notación de límites, escribimos 2
xflímax
y
1
xflímax
. Estos límites reciben el nombre de límites
laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda
es 1.
Ejemplo 21: Determinaremos los límites en los puntos de discontinuidad de la función h cuya
representación gráfica es la siguiente: Se tiene que: 32
xhlímx
y 12
xhlímx
32
xhlímx
y 12
xhlímx
11.8.2 DEFINICIÓN DE LÍMITES LATERALES O UNILATERALES
Definición de límite por la derecha: Se dice que Lxflímax
si y solo si
para cada 0 existe 0 tal que si ax0 entonces
LLxf es el límite por la derecha de xf en " a ".
Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de ax , pues
ax es mayor que cero ya que ax .
Definición de límite por la izquierda: Se dice que Rxflímax
si y solo
si para cada 0 existe 0 tal que si xa0 entonces
RRxf es el límite por la izquierda de xf en " a ".
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12° 16
Note que la expresión xa es mayor que cero, pues ax por lo que ax .
En adelante determinaremos los límites laterales a partir de la representación gráfica de una
función cuya ecuación se da.
Ejemplo 22: Determinar los límites, en los puntos de
discontinuidad, de la función f definida por:
11
122 xsix
xsixxf
Primero hagamos la gráfica de la función:
El punto de discontinuidad se presenta cuando 1x
Luego: 31
xflímx
y 21
xflímx
Observe que el límite por la derecha es 3 , es diferente al límite por la izquierda es 2|.
11.8.3 RELACIÓN ENTRE EL LÍMITE Y LOS LÍMITES LATERALES DE UNA FUNCIÓN
El límite de una función xfy en un punto “ a ”, existe si y sólo si existen los límites laterales y
coinciden: LxflímxflímLxflímaxaxax
Si se verifica esto, y L es un número finito, se dice que la función es convergente. En el ejemplo
anterior los límites por la derecha y por la izquierda coinciden: 7121233
xlímxlímxx
PRÁCTICA
Resuelve los siguientes problemas, aplicando los límites laterales:
1) Dada la gráfica de la función xf , halle en caso que exista los
siguientes límites:
xflímxflímxflímx
xx
2
112
xflímxflímxflímx
xx
2
112
2) Dada la gráfica de la función xg , halle en caso que exista los
siguientes límites:
xglímxglímxglímxxx 2,228,1
xglímxglímxglímxxx 2,228,1
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12° 17
3) Dada la gráfica de la función xf , analiza los siguientes límites en 2
igualessonno
lateraleslímiteslosporqueexisteNoxflímxflím
xflím
xx
x
22
2
3
1
únicoesyexistexflímxflímxflímxxx
222000
________________222
xflímxflímxflímxxx
4) Sea xf una función, cuyos límites laterales en 2 y 3 en son:
existeNoxflímxflímxflímxxx
222
3131
9633
xflímxflímxx
Conteste ¿cuál es el xflímx 3
? y justifique.
5) Dada la gráfica de la función xf , halle en caso que exista los siguientes límites:
xflím
xflím
xflím
xflím
xflím
x
x
x
x
x
0
0
2
2
xflím
xflím
xflím
xflím
xflím
x
x
x
x
x
3
2
3
3
11.9 LÍMITES INFINITOS
Límite más infinito: una función xf tiene por límite “ ”, cuando ax , si fijado un
número real positivo 0k se verifica kxf para todos los valores próximos a “ a ” Es
decir:
xfLímax
si para cada k real 0 tal que kxfax 0
Límite menos infinito: una función xf tiene por límite “ ”, cuando ax , si fijado un
número real negativo 0k se verifica kxf para todos los valores próximos a “ a ” Es
decir:
xfLímax
si para cada k real 0 tal que kxfax 0
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12° 18
Se dice que xflímax
es un límite infinito si xf aumenta o
disminuye ilimitadamente cuando ax . Técnicamente, este
límite no existe, pero se puede dar más información acerca del
comportamiento de la función escribiendo:
xfLímax
si xf crece sin límite cuando ax
xfLímax
si xf decrece sin límite cuando ax
Una función es divergente cuando su límite es ó , es
decir son límites que tienen esta forma:
xfLímax
En la gráfica de la derecha, se tiene que:
xfLímx 4
xfLímx 4
Veamos algunas propiedades o teoremas sobre límites infinitos:
1. Si Zn entonces:
a)
nx xLím
1
0, b)
n
x xLím
1
0, para n par c)
n
x xLím
1
0, para n impar
Ejemplos 23: 1) x
Límx
1
0 2)
xLím
x
1
0 3)
3
0
1
xLím
x
4)
50
1
xLím
x 5)
6
0
1
xLím
x 6)
4
0
1
xLím
x
2. Si RM y 0M ,MxfLímax
y ,0
xgLímax
entonces:
a)
, xg
xfLím
ax Si 0m y 0xg c)
, xg
xfLím
ax Si 0m y 0xg
b)
, xg
xfLím
ax Si 0m y 0xg d)
, xg
xfLím
ax Si 0m y 0xg
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12° 19
Veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 24: Calcular: 2
2
2 x
xLímx
0
4
22
22
2
2
2
x
xLímx
Analicemos los límites laterales:
0
4
22
22
2
2
2 x
xLímx
Como 2x entonces 2x por lo
que 02 x y se dice que 02x , lo que indica que el numerador x2 tiende a una constante
positiva y el denominador 2x tiende a 0 entonces: 2
2
2 x
xLímx
0
4
22
22
2
2
2 x
xLímx
Como 2x entonces 2x por lo que 02 x y se dice que
02x , lo que indica que el numerador tiende a una constante positiva y el denominador
tiende a 0 entonces: 2
2
2 x
xLímx
Como los límites laterales son diferentes, entonces decimos que 2
2
2 x
xLímx
no existe.
Ejemplo 25: Calcular: 2
122
2
2
xx
xxLím
x
12
12
2
12 2
22
2
2
xx
xxlím
xx
xxLím
xx
Como 07122212 22
2
xxLím
x y
0122212
2xxLím
x
Entonces:
0
7
12
122
2 xx
xxLím
x
Ejemplo 26: Calcular: 2
122
2
2
xx
xxLím
x
12
12
2
12 2
22
2
2
xx
xxlím
xx
xxLím
xx
Como 07122212 22
2
xxLím
x y
0122212
2xxLím
x
Entonces:
0
7
12
122
2 xx
xxLím
x
Como los límites laterales son diferentes, entonces decimos que 2
122
2
2
xx
xxLímx
no existe.
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12° 20
11.10 LÍMITES AL INFINITOS
Si los valores de la función xf tienden al número L cuando equis aumenta indefinidamente
x , se expresa así: LxfLímx
. De manera similar, los valores de la función xf
tienden al número M cuando equis disminuye indefinidamente ( x ), se expresa así:
MxfLímx
. Esto se muestra en la siguiente gráfica:
Límite de una función polinómica: cuando x (equis tiende a más o menos
infinito). Si xf es un polinomio de grado n (una función)
01
2
2
1
1 axaxaxaxaxf n
n
n
n
, entonces: su límite es n
nxx
xalímxfLím
. Si
xg es un polinomio de grado m (una función) 01
2
2
1
1 bxbxbxbxbxg m
m
m
m
,
entonces: su límite es m
m
n
n
xx xb
xalím
xg
xfLím
.
Veamos algunos ejemplos de estos límites, y más adelante veremos cómo se resuelven:
Ejemplo 27:
22 232 xlímxxLímxx
Ejemplo 28:
xlím
x
xlím
xx
xxLím
xxx2
2
4
123
4
23
4
Ejemplo 29:
323 3323 xlímxxxLímxx
Al aplicar los métodos para el cálculo de Límites, debemos recordar lo siguiente:
Existen siete casos de indeterminación, los cuales son:
1,,0,,,0,
0
0 00
La Aritmética y el Álgebra del infinito, si Ra y Rb , entonces:
0
a,
a, b
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12° 21
Para resolver los límites indeterminados, debemos levantar la indeterminación, haciendo
uso de los siguientes procedimientos matemáticos (factorización, racionalización, leyes de
los exponentes y cambio de variables):
Factorizar o simplificar, entre los casos tenemos: Factorizar del trinomio cbxx 2 ,
factorizar del trinomio cbxax 2 , factorizar el cuadrado de la suma o la diferencia de
dos cantidades 2222 bababa , factorizar la diferencia de cuadrados perfectos
bababa 22 , factorizar la suma o la diferencia de cubos perfectos
2233 babababa , factorizar el cubo de la suma o la diferencia de dos
cantidades 2222333 babbaaba .
Aplicar las leyes o reglas de los exponentes, y se pueden dar dos maneras de resolver
si el límite, si es del tipo 0
0, debemos factorizar por los polinomios de la expresión, pero
si la función contiene raíces, debemos multiplicar por su conjugado; pero si el límite es
del tipo
, existen tres posibilidades, como lo veremos más adelante.
Aplicar el cambio de variables.
11.11 LÍMITES INDETERMINADOS
Indeterminación del tipo : para el cálculo de estos límites, basta con efectuar las
operaciones indicadas, por ejemplo:
Ejemplo 30:
11
12
2
1 x
x
x
xLímx
Solución:
0
1
0
2
11
1
11
11
11
12
2
2
2
1 x
x
x
xlímx
Hay veces que aparecen radicales, en estos casos basta con multiplicar y dividir por la expresión
radical conjugada, por ejemplo:
12xxlímx
Indeterminación del tipo 0 : para el cálculo de estos límites, se resuelve efectuando las
operaciones indicadas, por ejemplo:
Ejemplo 31:
0
0
1
1
01
1 2
2
0 x
x
x
xLímx
Indeterminación del tipo 0
0: para el cálculo de estos límites, se hace necesario realizar
primero algunos procesos algebraicos o mecanismos matemáticos para levantar la
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12° 22
indeterminación, tales como los casos de factorización, la racionalización, las reglas o leyes
de los exponentes, el cambio de variables, etc. Por ejemplo:
Ejemplo 32: 0
0
11
11
11
11
1
12
3
2
3
1
x
xLímx
Solución: 2
3
11
111
1
1
11
11
1
1 22
1
2
12
3
1
x
xxlím
xx
xxxlím
x
xlím
xxx
Indeterminación del tipo
: para el cálculo de estos límites, basta con dividir el
numerador y el denominador por la mayor potencia de x del denominador, por ejemplo:
Ejemplo 33: 1
142
2
x
xxlím
x
Solución: 41
4
01
004
11
114
1
14
1
14
2
22
22
2
222
2
2
2
x
xxlím
xx
x
xx
x
x
x
límx
xxlím
xxx
Indeterminaciones del tipo 1,0, 00 : para el cálculo de estos límites, debemos aplicar
la definición de logaritmo natural y otros mecanismos matemáticos.
11.11.1 CÁLCULOS DE LÍMITES INDETERMINADOS
En algunos límites no es posible aplicar directamente los teoremas sobre límites, especialmente el
del límite de un cociente de funciones, ya que se presenta la forma indeterminada 0
0.
En estos casos se hace necesario realizar primero algún proceso algebraico, para luego levantar
la indeterminación y así determinar el valor del límite.
Es indispensable que para poder resolver estos límites, tenemos que tener muy en claro cómo se
resuelven los casos de factorización, como se aplica correctamente la racionalización, como se
aplica el cambio de variables y conocer el concepto de valor absoluto.
Por medio de ejemplos estudiaremos los siguientes límites:
a) Límites que involucran factorizaciones: veamos
Ejemplo 34: 253
12222
2
2
xx
xxLímx
. Si evaluamos el numerador se obtiene: 01222222
y si
evaluamos el denominador: 0225232
Luego se tiene la expresión 0
0 que no tiene
sentido, es una indeterminación.
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12° 23
Como 2 hace cero ambos polinomios podemos hacer una factorización como sigue:
6221222 2 xxxx y 132253 2 xxxx
Luego el límite dado puede escribirse como 132
622
2
xx
xxlímx
, y simplificando se obtiene:
13
62
2
x
xlímx
que sí puede determinarse, pues 132
xlímx
es diferente de cero.
Luego: 7
10
16
64
123
622
13
62
253
1222
22
2
2
x
xlím
xx
xxlím
xx
De manera resumida, en este caso se aplica la factorización del trinomio de la forma: cbxax 2
tanto en el numerador como en el denominador, y se resuelve así:
.0
0
1212
1212
21012
1248
21043
12442
22523
122222
253
12222
2
2
2
2Ind
xx
xxLímx
7
10
16
64
123
622
13
62
132
262
253
1222
222
2
2
x
xlím
xx
xxlím
xx
xxLím
xxx
Ejemplo 35: 4
22
2
2
x
xxLímx
. En este caso se aplica la factorización del trinomio de la forma:
cbxx 2 en el numerador y en el denominador se aplica la factorización de la diferencia de
cuadrados, y se resuelve así:
.
0
0
44
44
44
224
42
222
4
22
2
2
2
2Ind
x
xxLímx
4
3
4
3
22
12
2
1
22
12
4
2
222
2
2
x
xlím
xx
xxlím
x
xxLím
xxx
Ejemplo 36: 145
492
2
7
xx
xLímx
. En este caso se aplica la factorización de la diferencia de
cuadrados en el numerador y en el denominador se aplica la factorización del trinomio de la
forma: cbxx 2 , y se resuelve así:
.
0
0
4949
4949
143549
4949
14757
497
145
492
2
2
2
7Ind
xx
xLímx
9
14
27
77
2
7
27
77
145
49
772
2
7
x
xlím
xx
xxlím
xx
xLím
xxx
Ejemplo 37: xx
xLímx 3
272
3
3
. En este caso se aplica la factorización de la diferencia de cubos
perfectos en el numerador y en el denominador se aplica la factorización de monomio común, y se
resuelve así:
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12° 24
.
0
0
99
2727
333
273
3
272
3
2
3
3Ind
xx
xLímx
9
3
27
3
999
3
933393
3
933
3
27
22
3
2
32
3
3
x
xxlím
xx
xxxlím
xx
xLím
x
xx
Ejemplo 38: xx
xLímx 3
272
3
3
. En este caso se aplica la factorización de la diferencia de cubos
perfectos en el numerador y en el denominador se aplica la factorización de monomio común pero
teniendo en cuenta que de salir el factor 3x , y se resuelve así:
.
0
0
99
2727
333
273
3
272
3
2
3
3Ind
xx
xLímx
9
3
27
3
999
3
933393
3
933
3
27
22
3
2
32
3
3
x
xxlím
xx
xxxlím
xx
xLím
x
xx
Ejemplo 39: 2
83
2
x
xLímx
. En este caso se aplica la factorización de la suma de cubos perfectos
en el numerador y se resuelve así:
.0
0
22
88
22
82
2
833
2Ind
x
xLímx
124444222422
422
2
8 22
2
2
2
3
2
xxlím
x
xxxlím
x
xLím
xxx
Ejemplo 40: 8
163
4
2
x
xLímx
. En este caso se aplica la factorización de la resta de potencias de igual
grados, a través de una división de polinomios, en el numerador es la resta de potencias pares y
en el denominador es la resta de potencias impares se resuelve así:
.
0
0
88
1616
82
162
8
163
4
3
4
2Ind
x
xLímx
3
8
12
32
444
8888
444
88428
4222
824222
42
842
422
8422
8
16
2
23
2
23
22
23
23
4
2
xx
xxxlím
xxx
xxxxlím
x
xLím
xxx
Ejemplo 41:
x
xLímx
422
0
. En este caso se aplica la factorización del cuadrado de la suma de
dos cantidades en el numerador y se resuelve así:
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12° 25
.
0
0
0
44
0
4024222
0Ind
x
xLímx
4044
44
44444442
00
2
0
2
0
2
0
2
0
xlímx
xxlím
x
xxlím
x
xxlím
x
xxlím
x
xLím
xxx
xxx
Ejemplo 42:
h
xhxLímh
33
0
. En este caso se aplica la factorización del cubo de la suma de dos
cantidades en el numerador y se resuelve así:
.
0
0
00
0 333333
0Ind
xxxx
h
xhxLímh
22222
0
22
0
322
0
33223
0
33223
0
33
0
3003333
3333
3333
xxxhxhxlím
h
hxhxhlím
h
hxhhxlím
h
xhxhhxxlím
h
xhxhhxxlím
h
xhxLím
h
hh
hhh
Ejemplo 43:
2
12
23
1
xx
axxaxLímx
. En este caso se aplica la factorización común monomio y
polinomio. Evaluando nuevamente numerador y denominador se obtiene:
011111123
aaaa y 02112112
Como 1 hace cero ambos polinomios podemos hacer una factorización como sigue:
axxxaxaxxaxxax 111 223 y 1222 xxxx
Puede escribirse el límite anterior ya factorizados los polinomios como: 12
1
1
xx
axxxlím
x, y
simplificando se obtiene:
21
x
axxlím
x y como puede determinarse pues 2
1
xlím
x es diferente de
cero.
Luego:
3
1
3
1
21
11
22
1
12
23
1
aaa
x
axxlím
xx
axxaxlím
xx
b) Límites que involucran racionalizaciones
Ejemplo 44: x
xLímx
2
42
2
.0
0
22
44
22
42
2
4 22
2Ind
x
xLímx
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12° 26
Como al evaluar el numerador y el denominador se obtiene cero en ambos, procedemos a
racionalizar el denominador de la forma siguiente:
xxlím
x
xxxlím
x
xxlím
x
x
x
xlím
x
x
xx
22
2
222
2
24
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
En este último límite no hay ningún problema y aplicando los teoremas respectivos se obtiene
como resultado:
282242222222
xxlímx
Ejemplo 45: 3
363 2
3
x
xxLímx
Recuerde que 3322 babababa
Como vuelve a presentarse la forma 0
0, procedemos a racionalizar como sigue:
96363
39
96363
276
96363
36
3636
3636
3
36
3 23223
3 2322
2
3
3 2322
33
3 2
323 2322
23 23223 2
3
xxxxx
xxlím
xxxxx
xxlím
xxxxx
xxlím
xxxx
xxxx
x
xxlím
x
x
xx
En este último límite no hay ningún problema y aplicando los teoremas respectivos se obtiene
como resultado:
9
4
27
12
9339
12
9273729
12
927327
12
91893189
12
93633363
93
9636
9
3333 2
33 23 23
223 23223
xxxx
xlímx
Ejemplo 46: 4
42
4
x
xLímx
.0
0
44
44
44
442
4
42
4Ind
x
xLímx
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12° 27
Como al evaluar el numerador y el denominador se obtiene cero en ambos, procedemos a
racionalizar el denominador de la forma siguiente:
2
1
8
4
44
4
422
4
442
4
42
4
424
44
424
164
2
42
42
42
4
42
4
42
22
2
22
244
xlím
xx
xlím
xx
xlím
x
xlím
x
x
x
xlím
x
xLím
xx
xxxx
Ejemplo 47: x
xLímx
42
0
.0
0
0
22
0
42
0
40242
0Ind
x
xLímx
4
1
4
1
22
1
42
1
402
1
42
1
4242
44
42
44
42
42
42
424242
0
000
22
000
xlím
xx
xlím
xx
xlím
xx
xlím
xx
xlím
x
x
x
xlím
x
xLím
x
xxx
xxx
Ejemplo 48: 1
1
1
x
xLímx
.0
0
11
11
11
11
1
1
1Ind
x
xLímx
2
1
11
1
11
1
1
1
11
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
22
111
xlím
xx
xlím
xx
xlím
x
x
x
xlím
x
xLím
x
xxxx
c) Límites que involucran la aplicación de la regla de los exponentes: veamos que existen
dos tipos:
1) Si es del tipo 0
0:
Cuando el límite es de este tipo
0
0, debemos analizar hacia donde tiende la variable equis,
así:
Si ax , el factor es: ax
Si ax , el factor es: ax
Si 0x , el factor es: x
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12° 28
Primero tenemos que localizar el factor en el límite, luego se analiza, generalmente se dan
dos posibilidades, las cuales son:
1. Factorizar por los polinomios de la expresión.
Ejemplo 49: xx
xLímx 3
92
2
3
. En este caso se aplica la factorización de la diferencia de cuadrados
en el numerador y el denominador por factor común monomio, así:
.
0
0
99
99
333
93
3
92
2
2
2
3Ind
xx
xLímx
23
6
3
333
3
33
3
9
332
2
3
x
xlím
xx
xxlím
xx
xLím
xxx
Si la función contiene raíces, multiplicar por el conjugado.
Ejemplo 50: x
xLímx
2
0
11
.0
0
0
11
0
11
0
01111 22
0Ind
x
xLímx
0
2
0
11
0
11
0
011
0
11
1111
11
11
11
11
11
11
111111
220
2
2
02
2
02
2
0
2
222
02
22
0
2
0
x
xlím
xx
xlím
xx
xlím
xx
xlím
xx
xlím
x
x
x
xlím
x
xLím
x
xxx
xxx
2) Si es del tipo
:
Estos límites se resuelve al dividir el numerador y el denominador por la mayor potencia de x del
denominador, y existen las tres posibilidades:
El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, es decir:
DdegradoNdegrado
Ejemplo 51:
1
12
3
x
xLím
x
Solución:
0
1
00
01
11
11
1
1
1
1
3
3
33
2
33
3
2
3
xx
xlím
xx
x
xx
x
límx
xlím
xxx
El grado del numerador es menor que el grado del denominador, es decir:
0 DdegradoNdegrado
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12° 29
Ejemplo 52:
34
13
2
xx
xxLím
x
Solución: 01
0
001
000
341
111
34
1
34
1
32
32
333
3
333
2
3
2
xx
xxxlím
xx
x
x
x
xx
x
x
x
límxx
xxlím
xxx
El grado del numerador es igual al grado del denominador, es decir:
DdelprincipaleCoeficient
NdelprincipaleCoeficientDdegradoNdegrado
Ejemplo 53:
44
5232
2
x
xxLím
x
Solución: 4
3
4
3
04
003
44
523
44
523
44
523
2
2
22
2
222
2
2
2
x
xxlím
xx
x
xx
x
x
x
límx
xxlím
xxx
Ejemplo 54:
54
2323
23
xx
xxLímx
Solución: 2
1
4
2
004
002
514
232
54
232
54
232
32
3
333
3
33
2
3
3
3
23
xx
xxlím
xx
x
x
x
xx
x
x
x
límxx
xxlím
xxx
Ejemplo 55:
100
100
502
1
x
xLímx
Solución:
100
100
100
100
100
100
100
100
502
1
502
1
502
1
x
x
x
x
lím
x
x
x
x
límx
xlím
xxx
100100
100
100
100
100
100
2
1
2
1
502
11
502
1
x
xlím
xx
x
xx
x
límxx
d) Límites que involucran un cambio de variable
Ejemplo 56: y
yLímy
11
113
0 Al evaluar numerador y denominador en 0y se obtiene
0
0.
Aunque en este caso podría efectuarse una racionalización, el procedimiento sería muy largo
pues hay que racionalizar tanto el numerador como el denominador. Por tanto, vamos a hacer un
cambio de variable en la forma siguiente.
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12° 30
Se desea sustituir la expresión y1 por otra que tenga tanto raíz cúbica como raíz cuadrada.
Luego, sea 61 uy (observe que 36 uu y 23 6 uu ).
Además cuando 0y se tiene que 16 u y por tanto 6 1u , es decir, 1u en el límite
original se sustituye 0y por 1u
Sustituyendo se tiene que: 3
2
16
3 6
1
3
0 1
1
1
1
11
11
u
ulím
u
ulím
y
ylím
uuy
Aunque vuelve a presentarse la forma 0
0, la expresión ahora es fácilmente factorizable. Así:
3
2
111
11
1
1
11
11
11
11
1
1
221
21
21
3
2
1
uu
ulím
uuu
uulím
uuu
uulím
u
ulím
u
uuu
Ejemplo 57: x
xLímx
1
1235
1
Nuevamente, evaluando el numerador y el denominador en 1 se obtiene 0
0
En este caso vamos a sustituir x23 por una expresión que posea raíz quinta. Tomamos
entonces 523 ux pues uu 5 5 .
Cuando x tiende a 1 se tiene que x23 también tiende a 1 y por tanto 15 u y 5 1u de donde
1u Sustituyendo se obtiene que:
5
2
11111
2
11111
2
1
2
11
12
1
12111
1
1
1
123
234
2341
2341
51
2
112
112
3212
3
5 5
1
5
15555
uuuulím
uuuuu
ulím
u
ulím
ulím
ulím
ulím
ulím
x
xlím
uu
uuuuuuuuux
Ejemplo 58: 1
13
1
x
xLímx
.0
0
11
11
11
11
1
1 33
1Ind
x
xLímx
Hacemos un cambio de variable, para levantar la indeterminación, si xt 6 entonces 66 6 xt
6 xt es decir 6
1
xt y si lo elevamos al cuadrado, tendremos: 2
6
12
xt y
3
6
13
xt
Luego, 3
1
2 xt 2
1
3 xt
Material de Cálculo Diferencial. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los grupos de 12° 31
32 xt xt 3
Como 1x 16 t es decir: 1t
Luego:
3
2
111
11
1
1
11
11
1
1
1
1221213
2
1
3
1
tt
tlím
ttt
ttlím
t
tlím
x
xLím
tttx
PRÁCTICA
I. Resuelve los siguientes problemas sobre límites indeterminados, aplicando la factorización:
1. 4
162
4
x
xLímx
2. 3
62
3
x
xxLímx
3. 2
42
2
x
xLímx
4. 153
252
5
x
xLímx
5. 9
323
x
xLímx
6. 1252
424
xx
xLímx
7. 3
322
3
x
xxLímx
8. 187
929
xx
xLím
x
9. 22
18126 2
1
x
xxLímx
10. 20
151322
2
5
xx
xxLímx
11. xx
xxLímx 82
862
2
4
12.
127
1582
2
3
xx
xxLímx
13. 124
362
2
6
xx
xLímx
14. 2
322
2
1
xx
xxLímx
15. 49
8272
3
3
2
x
xLímx
16. 14
182
3
2
1
x
xLímx
II. Resuelve los siguientes problemas sobre límites indeterminados, aplicando racionalización:
17. 1
12
1
x
xLímx
18. 21
3
3
x
xLímx
19. 81
9
81
x
xLímx
20. 4
42
4
x
xLímx
21. 22
2
2
x
xLímx
22. x
xLímx
55
0
23.
5
5
5
x
xLímx
24. 1
1
1
x
xLímx
25. 3
9
9
x
xLímx
26. 2
4
4
x
xLímx
27. 5
34
5
x
xLímx
28. x
xLímx
42
0
III. Resuelve los siguientes problemas sobre límites al infinito:
29. 253
322
2
xx
xxLímx 30. 14
152
23
xx
xxxLímx 31.
3
23
82
524
xx
xxLímx
32. xxx
xxxLímx 42
2223
245
33. 63
3252
24
xx
xxxLímx 34. xxx
xxLímx 33
1231624
2
35. 526
4672
35
xx
xxLímx 36. 23
9624
23
xx
xxxLímx
37. xxx
xxxLímx 243
13223
46
38. xxx
xxxLímx
52
23 325
39. 47
3
54
82
xx
xxLímx
40. 3
23
21
23
xx
xxxLímx
Respuesta:
I. 1) 8 2) 5
3) 4
4) 3
10
5) 61
6) 111
7) 4
8) 111
9) 12
10) 97
11) 41
12) 2 13) 23
14) 34
15) 3
16)
23
II. 17) 4 18) 4
19)
181
20) 21
21) 4 22) 0 23) 52
24)
21
25) 6
26) 4 27) 61
28) 41
III. 29) 31
30)
31)
21
32)
33)
34) 0 35)
36)
0
37)
38) 0 39) 0
40) 3