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Exercice 1 : Pendule de torsion

Le but de l’exercice est de déterminer le moment d’inertie d’une tige homogène

par rapport à un axe qui lui est perpendiculaire en son milieu et la constante

de torsion d’un fil de masse négligeable. La tige a une masse et une

longueur

Un pendule de torsion est obtenu en fixant le point milieu de à l’extrémité

du fil tandis que l’autre extrémité est fixée à un support. La tige est écartée

de sa position d’équilibre d’un angle faible dans le plan horizontal ; elle est

lâchée sans vitesse à l’instant . Ainsi, la tige peut tourner dans un plan

horizontal autour d’un axe passant par .

Á un instant au cours du mouvement, l’abscisse angulaire de la tige est et sa

vitesse angulaire est

.

Le plan horizontal contenant la tige est pris comme niveau de référence de

l’énergie potentielle de pesanteur. On néglige toute force de frottement et on

prend

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BACCALAURÉAT LIBANAIS - SG

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Session 2009

A- Étude théorique

1) Donner, à l’instant , l’expression de l’énergie mécanique du système

en fonction de , et .

Considérons le système

En choisissant le niveau de référence pour l’énergie potentielle de pesanteur

le niveau horizontal passant par le point , nous aurons .

L’énergie potentielle élastique emmagasinée dans le fil de torsion est une

fonction de et a pour expression :

L’énergie cinétique du pendule de torsion, en rotation autour de l’axe a pour expression :

L’énergie mécanique du système est alors :

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2)

a) Écrire l’expression de quand .

Lorsque la pendule s’écarte à sa position maximale , sa vitesse angulaire

est nulle. Ainsi l’énergie mécanique aura pour expression

b) Déterminer, en fonction de et , l’expression de la vitesse angulaire

de [P] lors du passage par la position d’équilibre.

Lors du passage du pendule par la position d’équilibre , l’énergie

mécanique a pour expression

est la vitesse angulaire à la position d’équilibre. À cette position

l’énergie potentielle élastique est nulle

Comme il n’y a pas de frottement, il y a donc conservation de l’énergie

mécanique du système entre l’instant où il est à et l’instant

où il passe par :

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3) Établir l’équation différentielle du second ordre en qui régit le

mouvement de .

Comme on il y a conservation de l’énergie mécanique, ceci nous permet

d’écrire:

En dérivant par rapport au temps cette expression nous aurons :

D’où :

La solution ne convient pas.

La solution nous donne :

C’est l’équation différentielle du pendule de torsion.

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4) Déduire que le mouvement de est sinusoïdal.

L’équation obtenue à la question précédente est celle d’un oscillateur

harmonique dont le mouvement est sinusoïdal. La solution de cette équation

s’écrit sous la forme :

Avec l’amplitude des oscillations, la pulsation propre du pendule et la

phase à l’instant .

5) Déterminer l’expression de la période propre du pendule en fonction

de et .

La pulsation propre du pendule a pour expression :

D’où la période :

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B- Étude expérimentale

1) A l’aide d’un chronomètre, on mesure la durée de 20 oscillations et on

obtient Déterminer la relation entre et .

Soit la durée de oscillations.

La période correspond à une oscillation

D’après la relation déterminée dans on a :

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2) À chaque extrémité de la tige est fixée une particule de masse .

On obtient ainsi un nouveau pendule de torsion qui peut effectuer

également un mouvement sinusoïdal de rotation de période propre .

a) Déterminer le moment d’inertie du système (tige + particules) par

rapport à l’axe en fonction de et .

Le moment d’inertie du système (tige + particules) par rapport à l’axe

s’écrit:

Avec le moment d’une particule par rapport à

D’où finalement :

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b) Écrire l’expression de en fonction de , , et .

En ajoutant à chaque extrémité de la tige une particule de masse , nous

modifions la période d’oscillation de notre pendule. Soit cette période.

Comme le système est soumis à la même loi de mouvement, nous pouvons

écrire l’expression de la période sous la forme.

c) À l’aide d’un chronomètre, on mesure la durée de oscillations et on

obtient Trouver une nouvelle relation entre et .

Or :

Or

vaut numériquement . D’où finalement la relation entre et

:

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3) Calculer les valeurs de et .

En utilisant les relations obtenues précédemment :

Et

Remplaçons dans la 2ème équation, on obtient :

Et

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Exercice 2 : Phénomène d’auto-induction

Le montage représenté par la figure ci-dessous est constitué d’un générateur

idéal de tension de é , d’une bobine de résistance et

d’inductance , d’un conducteur ohmique de résistance et de

deux interrupteurs et .

A- À l’instant , on ferme l’interrupteur et on laisse ouvert. À une date

, le circuit est parcouru, en régime transitoire, par un courant d’intensité .

1) Établir l’équation différentielle qui décrit l’évolution de en fonction du

temps.

Dans le cas proposé, le circuit devient :

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Soit le courant qui traverse le circuit.

La tension aux bornes de la résistance est :

La tension aux bornes de la résistance interne de la bobine est :

La tension aux bornes de l’inductance est :

Afin d’établir l’équation différentielle, nous allons appliqué la loi d’additivité des

tensions :

Remplaçons , , et par leurs expressions :

Soit finalement :

C’est l’équation différentielle qui décrit l’évolution de , en fonction du temps.

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2) est l’intensité du courant en régime permanent. Déterminer l’expression

de en fonction de et et calculer sa valeur.

Après un temps suffisamment long, le régime permanent est établi. Le courant

traversant le circuit devient constant

et a pour valeur . En

remplaçant par dans l’équation différentielle établi précédemment on

obtient :

Application Numérique :

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3) La solution de l’équation différentielle est de la forme:

).

a) Déterminer l’expression de en fonction de , et et calculer sa

valeur.

La solution de l’équation différentielle a pour expression

Pour trouver l’expression de la constante de temps , nous allons remplacer

par son expression dans l’équation différentielle établie précédemment.

Or, on avait trouvé aussi que s’écrit sous la forme

d’où :

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Après simplification, nous obtenons :

Donc :


b) Donner la signification physique de .

La constante du temps d’un circuit caractérise la rapidité de l’établissement

du courant. D’autant que cette constante est grande d’autant que le régime

permanent est atteint rapidement.

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4)

a) Déterminer l’expression de la é d’auto-induction en fonction du

temps.

L’auto-induction est la propriété électromagnétique qu’à un conducteur

parcouru par un courant électrique, de s’opposer aux variations de celui-ci.

L’expression d’auto-induction est :

Or

et

, d’où :

b) Calculer la mesure algébrique de à l’instant

À l’instant

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B- Après quelques secondes, le régime permanent étant établi, on ouvre et on

ferme au même instant . On considère la date de la fermeture de comme

une nouvelle origine des temps À une date , le circuit est alors

parcouru par un courant induit d’intensité .

Dans ce cas le circuit devient :

1) Déterminer le sens de

Dans un circuit inductif, l’intensité ne varie jamais de façon discontinue. La

bobine est donc parcourue par un courant d’intensité de même sens que celui

de .

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2) Établir l’équation différentielle qui décrit l’évolution de en fonction du

temps.

Soit la tension aux bornes de

la tension aux bornes de :

la tension aux bornes de

Appliquons la loi d’additivité des tensions :

Ceci est l’équation différentielle qui décrit l’évolution de en fonction du temps.

3) Vérifier que

est la solution de cette équation.

Remplaçons l’expression de dans l’équation différentielle établie dans la

question .

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Avec :

Et :

Soit :

Donc est la solution de l’équation différentielle établie à la question .

4) Calculer la mesure algébrique de la é d’auto-induction à la date

La f.é.m d’auto-induction :

À

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C- Comparer et et déduire le rôle de la bobine dans chacun des deux

circuits précédents.

Nous remarquons que Interprétation : La f.é.m d’auto-induction s’oppose à la variation du courant dans le circuit. Ainsi lors de l’établissement du courant ( augmente) . La bobine se

comporte comme un générateur en opposition.

Lors de l’annulation du courant ( diminue), . La bobine se comporte

comme un générateur.

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Exercice 3 : Caractéristiques d’un circuit

Dans le but de déterminer les caractéristiques d’un circuit on réalise le

montage schématisé par la figure 1. Ce circuit comprend : un générateur

délivrant à ses bornes une tension alternative sinusoïdale de la forme :

, un conducteur ohmique de résistance , une

bobine d’inductance et de résistance négligeable et un condensateur de

capacité .

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A- La fréquence de la tension est réglée à la valeur .

On visualise, à l’aide d’un oscilloscope, les variations, en fonction du temps,

de la tension aux bornes de sur la voie ( et de la tension aux

bornes du conducteur ohmique sur la voie ( . L’oscillogramme obtenu est

représenté par la figure 2. Sensibilité verticale pour les deux voies : .

Sensibilité horizontale :

1) Reproduire la figure (1) en indiquant les branchements de l’oscilloscope.

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On branche la masse de l’oscilloscope sur le point .

La voie de l’oscilloscope au point pour visualiser la tension aux bornes du

générateur.

La voie de l’oscilloscope au point du circuit pour visualiser la tension aux

bornes de la résistance.

2) En se référant à l’oscillogramme, déterminer :

a) La valeur de la fréquence ;

Pour mesurer la fréquence du signal, nous déterminerons en premier temps

la période. La période s’inscrit sur divisions. L’axe des temps étant l’axe

horizontal.

sensibilité horizontale

La fréquence :

Remarque :

Pour que la fréquence soit en la période doit être exprimée en seconde.

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b) La valeur absolue du déphasage entre et .

La tension atteint sa valeur maximale un huitième de période avant ,

ce qui correspond à un déphasage

3) L’intensité qui traverse le circuit s’écrit sous la forme:

(

a) Écrire, en fonction du temps, les expressions des tensions , et

.

L’intensité qui traverse le circuit a pour expression :

La tension étant la tension aux bornes de la bobine.

La relation tension-courant aux bornes d’une bobine s’exprime sous la forme:

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La tension étant la tension aux bornes de la capacité. La relation tension-courant aux bornes d’une capacité s’exprime :

La tension étant la tension aux bornes de la résistance.

La relation tension-courant aux bornes d’une résistance s’écrit :

b) La relation : est vérifiée quel que soit . Montrer,

en donnant à une valeur partiulière, que l’on a : =

.

On a:

Or

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Pour

on a

Nous obtenons dans ce cas :

Or, D’après les formules trigonométriques :

Et

Nous arrivons à l’expression après simplification par :

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B- À partir de la valeur , on diminue continuellement la fréquence . On

constate, que pour une valeur de , le circuit est le siège du

phénomène de résonance d’intensité.

Déduire, de ce qui précède, la relation entre , et .

À la résonance, le courant et la tension dans un circuit sont en phase

C- On continue à diminuer la fréquence . Pour la valeur de , on trouve que le

déphasage entre et est tel que .

1) Déterminer la relation entre et .

Pour une fréquence le déphasage est égale à .tels que

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En utilisant la relation obtenue dans la partie , nous obtenons :

2) En déduire la valeur de .

Déterminons la valeur numérique de

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D- Déduire de ce qui précède les valeurs de et .

Pour une fréquence , le déphasage est égale à

(déjà calculer dans la

partie ), on a alors d’après la question :

D’après la partie on a :

Soit :

En remplaçons dans la relation nous obtenons :

Pour déterminer la valeur de , on remplace la valeur de dans l’équation .

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Exercice 4 : Niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène

Les énergies des différents niveaux de l’atome d’hydrogène sont données par la

relation :

où est une constante positive et un entier positif.

Données :

Constante de Planck :

Célérité de la lumière dans le vide :

; ; .

1)

a) L’énergie de l’atome d’hydrogène est quantifiée. Qu’est-ce qu’on entend

par « énergie quantifiée » ?

Les énergies des différents niveaux de l’atome d’hydrogène sont données par la

relation :

où est une constante positive et un entier positive. Comme les valeurs de ne peuvent être que des valeurs bien précises (exemple

), les énergies des différents niveaux de l’atome d’hydrogène, ne

peuvent pas prendre que des valeurs bien déterminées.

Ainsi on dit que ces niveaux sont quantifiés.

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b) Expliquer pourquoi le spectre d’absorption ou d’émission de l’atome

d’hydrogène est constitué de raies.

Pour une transition électronique d’un niveau à un niveau , le photon absorbé

ou bien émis a une énergie :

Comme et ne peuvent avoir que des valeurs bien précises (quantifiées)

leur différence l’est aussi.

La relation qui relie la longueur d’onde d’émission ou d’absorption à la différence

d’énergie des niveaux électroniques est :

Comme sont quantifiés, l’est aussi est correspondant donc à la

longueur d’onde d’une raie.

2) Un atome d’hydrogène, préalablement excité, se désexcite en passant du

niveau d’énergie au niveau d’énergie . Il émet alors la radiation de

longueur d’onde dans le vide : . Déterminer, en , la

valeur :

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a) de la constante ;

L’émission d’un photon de longueur d’onde dans le vide correspond à une

désexcitation du niveau au niveau .

Le niveau d’énergie possède une énergie

et le niveau d’énergie

possède une énergie .

La relation qui relie la longueur d’onde à la différence d’énergie est :


b) De l’énergie d’ionisation de l’atome d’hydrogène pris dans son état

fondamental.

L’énergie d’ionisation correspond à l’énergie nécessaire pour séparer l’électron

de son atome

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3) Pour l’hydrogène, on définit plusieurs séries de raies spectrales auxquelles

sont attribués les noms de chercheurs qui ont participé à leur étude. Parmi

ces séries, on considère celle de Balmer, caractérisée par les transitions des

niveaux d’énergie au niveau d’énergie . Á chaque

transition correspond une raie de longueur d’onde dans le vide.

a) Montrer que , exprimée en , est donnée par la relation :

= 1,096

.

La différence d’énergie s’exprime sous la forme :

Soit :

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b) L’analyse du spectre d’émission de l’atome d’hydrogène révèle la présence

des quatre raies visibles. On considère les trois raies , et de

longueurs d’onde respectives dans le vide ,

et .

À quelle transition correspond chacune de ces radiations ?

Pour déterminer la transition de chaque radiation il faut déterminer l’entier .

Pour le raie et en utilisant la relation obtenue

à la question nous aurons :

De la même manière on détermine que le raie correspond à la

transition du niveau vers le niveau . La raie correspond à

la transition du niveau vers le niveau .

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c) Montrer que les longueurs d’onde des radiations correspondant tendent,

lorsque , vers une limite que l’on calculera.

Lorsque , la longueur d’onde d’émission tend vers une valeur :

4) Balmer, en 1885, ne connaissait que les raies de l’atome d’hydrogène

appartenant au spectre visible. Il a pu écrire la formule :

où est

une constante positive et un entier positif.

Déterminer la valeur de en tenant compte des données numériques et

comparer sa valeur à celle de .

Pour déterminer la valeur de prenons l’émission de la raie qui

correspond à l’émission du niveau au niveau .

D’après la relation de Balmer nous déduisons que :


On remarque que la valeur de est proche de celle de .

Fin du Corrigé

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