badania eksperymentalne i modelowanie …rozszerzeniem kryterium płynięcia von misesa poprzez...
TRANSCRIPT
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X
42, s. 97-112, Gliwice 2012
BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE
PIANY ALUMINIOWEJ ALPORAS
MARIAN KLASZTORNY, JERZY MAŁACHOWSKI,
PAWEŁ DZIEWULSKI, DANIEL NYCZ, PAWEŁ GOTOWICKI Katedra Mechaniki i Informatyki Stosowanej, Wojskowa Akademia Techniczna
e-mail:[email protected]
Streszczenie. Przedmiotem badań eksperymentalnych i modelowania
numerycznego jest piana ze stopu aluminium, o porach zamkniętych (nazwa
handlowa Alporas), o gęstości 0.22 g/cm3 i kompozycji Al + 1,5% Ca + 1,5% Ti.
Na podstawie danych literaturowych przyjęto, że piana jest izotropowa po
homogenizacji. Przeprowadzono próby wytrzymałościowe ściskania
jednokierunkowego, rozciągania jednokierunkowego oraz ścinania w płaszczyźnie
prostopadłej do arkusza piany. Pianę po homogenizacji opisano modelem
materiałowym MAT_026 w systemie LS-Dyna. Do walidacji eksperymentalnej
modelowania numerycznego procesów quasi-statycznych w elementach z piany
Alporas zaproponowano próbę ściskania jednokierunkowego statycznego pod
kątem 20° do osi próbki sześciennej (jednoczesne ściskanie, ścinanie i zginanie).
Wyznaczono wartość współczynnika proporcjonalności (wymaganego
w przypadku modelu MAT_026) krzywej ścinania w funkcji odkształcenia
objętościowego do krzywej ściskania również w funkcji odkształcenia
objętościowego, przy której uzyskano zgodność symulacji z eksperymentem.
1. WSTĘP
Piana aluminiowa o porach zamkniętych należy do materiałów znajdujących coraz szersze
zastosowania militarne i cywilne ze względu na specyficzne właściwości materiałowe, m.in.
mała gęstość, wysoka wytrzymałość względna, wysoka sztywność względna, wysoka
względna absorpcja energii, stabilność wymiarów, dobra obrabialność mechaniczna,
absorpcja dźwięku, odporność ogniowa, nietoksyczność, łatwy recykling.
Piana aluminiowa o porach zamkniętych jest materiałem z mikrostrukturą o losowych
parametrach. W modelowaniu numerycznym najczęściej stosuje się homogenizację, tj.
zastąpienie materiału niejednorodnego w skali mikro materiałem jednorodnym w skali makro.
Podstawową próbą eksperymentalną pian metalowych jest jednoosiowe ściskanie. Typowa
krzywa odkształcenie – naprężenie zawiera strefę nieliniową sprężystą (z małymi
deformacjami plastycznymi), strefę quasi-liniową plateau oraz nieliniową strefę zagęszczania
materiału. Obserwuje się bardzo mały efekt Poissona w dwóch pierwszych strefach oraz efekt
prawie całkowitej nieściśliwości piany całkowicie zagęszczonej. W przypadku próby
rozciągania jednokierunkowego obserwuje się strefę nieliniową sprężystą (z małymi
deformacjami plastycznymi), lokalną strefę nieliniową plastyczną oraz pękanie piany
aluminiowej (zerwanie próbki).
98 M. KLASZTORNY, J. MAŁACHOWSKI, P. DZIEWULSKI, D. NYCZ, P. GOTOWICKI
Zagadnienie modelowania konstytutywnego metali spienionych, w tym pian o porach
zamkniętych ze stopów aluminium, jest rozwijane od ponad 20 lat. W większości prac piana
metalowa modelowana jest jako jednorodne continuum materialne, m.in. [1-13]. Równolegle
rozwijane są metody modelowania mikrostrukturalnego, m.in. [14,15].
Gibson i in. [1] zastosowali teorię plastyczności przyrostowej, niezależną od prędkości
odkształceń, ze stowarzyszonym prawem płynięcia i wzmocnieniem izotropowym do
sformułowania równania powierzchni płynięcia piany metalowej jako continuum
izotropowego. Autorzy przyjęli teorię dużych deformacji i tensor odkształceń
logarytmicznych. Zaproponowany trójparametrowy model fenomenologiczny został
zaimplementowany w systemie ABAQUS.
Gibson i Ashby [2] opracowali formuły analityczne do predykcji naprężeń plateau
i modułu Younga piany metalowej, w których rozdzielono wpływ ścianek (zależność liniowa
od względnej gęstości) i naroży porów zamkniętych (zależność w potędze 1,5 dla lub 2
dla modułu Younga od względnej gęstości).
Andrews i in. [3] porównali wyniki eksperymentalnych testów ściskania i rozciągania pian
aluminiowych, wytwarzanych w różnych technologiach, z modelami ośrodków komórkowych
o porach otwartych i zamkniętych. Przeprowadzono eksperymentalny test zginania 4-
punktowego belki z piany Alporas i wykorzystano go do walidacji modelu MES
z mikrostrukturą. Opracowano formuły analityczne określające moduł Younga i naprężenia
plateau pian o gęstościach względnych poniżej 20%.
Sheni in. [4] wykazali, że piana Alporas (kompozycja Al+1,5%Ca+1,5%Ti) o porach
zamkniętych i gęstości 0,23 g/cm3 jest wrażliwa na prędkości odkształceń przy ściskaniu, co
uzasadniają mikroinercją ścianek porów. Badania przeprowadzili dla prędkości odkształceń
w przedziale [10-3
; 2,2×102] s
-1. Autorzy wyznaczyli formułę potęgową określającą względne
naprężenie plateau w funkcji prędkości odkształceń i względnej gęstości. W rozpatrywanym
przedziale prędkości odkształceń naprężenia plateau wzrastają do 45%.
Miller [5] zaproponował opis powierzchni płynięcia homogenizowanej piany aluminiowej
izotropowej, wykazującej różne granice plastyczności przy jednoosiowym rozciąganiu
i ściskaniu. Autor uwzględnił umocnienie przy zagęszczaniu piany oraz efekt Poissona.
Model nie obejmuje rozciągania piany. Testy walidacyjne dotyczyły ściskania próbki naciętej
obustronnie oraz wciskania indentera sferycznego.
Olurin i in. [6] przedstawili wyniki badań eksperymentalnych dwóch pian ze stopu
aluminium o porach zamkniętych (Alporas i Alcan), a także wyniki badań wiązkości pękania
próbek z ostrymi nacięciami. Badano piany o gęstościach =0,20; 0,30; 0,40 g/cm3. Badania
obejmowały testy rozciągania i ściskania jednokierunkowego w trzech kierunkach.
Wykazano, że piana Alporas jest materiałem quasi-izotropowym.
Onck [7] przedstawił badania numeryczne jednoosiowego ściskania próbki
prostopadłościennej z piany aluminiowej Alporas, naciętej obustronnie. Zastosowano model
fenomenologiczny piany opracowany przez Deshpande’a i Flecka w pracy [8]. Model ten jest
rozszerzeniem kryterium płynięcia von Misesa poprzez wprowadzenie naprężeń
hydrostatycznych do naprężeń ekwiwalentnych.
Motz i Pippan[9] opisali próbę rozciągania piany Alporas o gęstościach =0,25; 0,40
g/cm3, przeprowadzoną na próbkach wiosełkowych o przekroju części środkowej 25×25 mm
2.
Analizowali lokalne deformacje i rozwój pęknięć.
Hanssen i in. [10] opracowali bazę danych eksperymentalnych obejmującą testy
kalibracyjne piany aluminiowej, testy walidacyjne piany aluminiowej oraz testy strukturalne
na prętach i belkach z rdzeniem z piany aluminiowej. Powyższą bazę wykorzystano do
walidacji modeli konstytutywnych o numerach 26, 63, 75, 126 w systemie LS-Dyna oraz 5
innych modeli piany. Badania eksperymentalne ograniczono do testów quasi-statycznych oraz
BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE PIANY ALUMINIOWEJ ALPORAS 99
testów dynamicznych przy niskiej prędkości odkształceń rzędu 101 s
-1. Badania dotyczą piany
aluminiowej produkcji Hydro Aluminium AS (materiał bazowy AlSi8Mg, nazwa handlowa
1997 foam), o gęstościach =0,10 – 0,50 g/cm3. Próbki prostopadłościenne wycinano
z uwzględnieniem układu xyz, gdzie x – kierunek odlewania ciągłego, y – kierunek
prostopadły do odlewania ciągłego, z – kierunek grubości arkusza piany. Wykazano, że piana
1997 foam wykazuje znaczną ortotropię. Testy kalibracyjne obejmowały ściskanie
i rozciąganie jednokierunkowe, ściskanie dynamiczne na młocie udarowym, ściskanie
hydrostatyczne, rozciąganie materiału litego. Testy walidacyjne obejmowały wciskanie
indentera, obciążenie diagonalne, ściskanie dwustopniowe. Testy strukturalne obejmowały
ściskanie pręta i zginanie 3-punktowe belki, wypełnionych pianą aluminiową. Opracowano
formuły analityczne do opisu krzywych naprężenie – odkształcenie objętościowe
w jednoosiowym ściskaniu i hydrostatycznym ściskaniu i wyznaczono stałe materiałowe
w zależności od gęstości piany.
Kontynuacją pracy [10] jest praca [11], w której rozszerzono model konstytutywny
Deshpande’a i Flecka poprzez dodanie dwóch kryteriów pękania. Pierwsze kryterium dotyczy
odkształceń plastycznych objętościowych przy rozciąganiu hydrostatycznym, a drugie
sformułowano na dla energii odkształceń plastycznych. Rozszerzony model autorzy
zaimplementowali w systemie LS-Dyna jako procedurę własną. Uwzględnili również
niejednorodność właściwości piany po homogenizacji, przez wprowadzenie statystycznego
rozkładu gęstości elementów skończonych piany. Badania numeryczne i eksperymentalne
weryfikacyjne dotyczą piany Hydro Aluminium
Wyniki testów eksperymentalnych piany Hydro Aluminium (stop Al, Si, FE, Cu, Ni)
w złożonych stanach obciążenia, a także w prostych przypadkach wytrzymałościowych,
zaprezentowano w pracy [12]. Gęstość piany wynosiła =0,26 g/cm3 . Wariacje stałych
materiałowych piany poddano analizie statystycznej Weibulla. Aly [13] przedstawił wyniki
badań eksperymentalnych testu ściskania piany Alporas, w zakresie temperatur 25-620 ˚C.
Badano piany o gęstościach 0,25; 0,29, 0,36 g/cm3. Zgodnie z oczekiwaniami, wpływ
temperatury i gęstości piany na stałe materiałowe jest znaczny.
Georgi i in. [14] rozwinęli modelowanie mikrostrukturalne piany aluminiowej AlSi10Mg
o gęstości średniej =0,43 g/cm3, z porami zamkniętymi, przy zastosowaniu MES.
W modelowaniu deterministycznym zastosowali wielościany Kelvina, a w modelowaniu
losowym – klatki elipsoidalne o losowych rozmiarach, lokalizacji i orientacji. Badania
ukierunkowano na wpływ gęstości i efekt skali.
Inne podejście do modelowania mikrostrukturalnego piany aluminiowej (o porach
otwartych) prezentują autorzy pracy [15]. Zastosowano technikę skanowania CT do
identyfikacji losowej geometrii próbek piany przed i w czasie próby ściskania
jednokierunkowego. Przeprowadzono modelowanie numeryczne tej próby z wykorzystaniem
przestrzennie zeskanowanej próbki przed przyłożeniem obciążenia. Chmura punktów została
przetransformowana na model rastrowy z użyciem 8-węzłowych elementów 3D. Celem pracy
było określenie podstawowego mechanizmu niszczenia piany w strefie naprężeń plateau.
W niniejszej pracy przedmiotem badań eksperymentalnych i modelowania numerycznego
jest piana ze stopu aluminium o porach zamkniętych, o nazwie handlowej Alporas, o gęstości
0,22 g/cm3 i kompozycji Al + 1,5% Ca + 1,5% Ti. Na podstawie literatury przyjęto, że piana
po homogenizacji jest izotropowa. Przeprowadzono próby wytrzymałościowe ściskania
jednokierunkowego, rozciągania jednokierunkowego oraz ścinania w płaszczyźnie
prostopadłej do arkusza piany. Wyniki poddano obróbce statystycznej. Pianę po
homogenizacji opisano modelem materiałowym MAT_026 w systemie LS-Dyna. Do
walidacji eksperymentalnej modelowania numerycznego procesów quasi-statycznych
w elementach z piany Alporas zaproponowano próbę ściskania jednokierunkowego
statycznego pod kątem 20° do osi próbki sześciennej (jednoczesne ściskanie, ścinanie
100 M. KLASZTORNY, J. MAŁACHOWSKI, P. DZIEWULSKI, D. NYCZ, P. GOTOWICKI
i zginanie). Wyznaczono wartość współczynnika proporcjonalności krzywej ścinania
w funkcji odkształcenia objętościowego i krzywej ściskania w funkcji odkształcenia
objętościowego, przy której uzyskano zgodność symulacji z eksperymentem.
2. BADANIA EKSPERYMENTALNE IDENTYFIKACYJNE
Badania dotyczą piany aluminiowej Alporas, produkowanej przez firmę Gleich GmbH
w Kaltenkirchen, Niemcy. Stop aluminium Al + 1,5% Ca + 1,5% Ti ma gęstość =0,22 g/cm3
i pory zamknięte o średnim rozmiarze 4,0 mm (średnica zastępcza). Dodatek Ca wzmacnia
wiskotyczność piany, a dodatek Ti w postaci pudru wodorkowego jest czynnikiem
spieniającym. W tabeli 1 zestawiono stałe materiałowe piany Alporas podane w karcie
materiałowej producenta [16]. Indeks dolny u dotyczy materiału spienionego w postaci
wyjściowej.
Tabela 1. Stałe materiałowe piany Alporas w karcie materiałowej producenta [16] wartość jednostka
gęstość 0.25 g/cm3
moduł Younga Eu 0.7 GPa
moduł ścinania Gu 0.3 GPa
wytrzymałość na ścinanie Rsh 1.2 MPa
wytrzymałość na rozciąganie Rt 1.6 MPa
naprężenie plateau przy ściskaniu 1.5 MPa
stała Poissona materiału litego s 0.33 -
Badania identyfikacyjne statyczne przeprowadzono na maszynie INSTRON 8802
z prędkością 20 mm/min (prędkość odkształcenia normalnego 6,7×10-3
s-1
). Wymiary
przekrojów próbek prostopadłościennych piany aluminiowej są przyjmowane przez innych
badaczy od 20×20 mm2 do 70×70 mm
2[1-15]. Powszechnie uważa się, że efekt skali jest
wyeliminowany, jeśli wymiar próbki jest większy od 7d, gdzie d – średni rozmiar porów.
Próba ściskania jednokierunkowego statycznego została przeprowadzona dla dwóch
wariantów wymiarów próbek: 50 × 50 × 50 mm3, 100 × 100 × 50 mm
3 (ściskanie w kierunku
trzeciego wymiaru, odpowiadającego kierunkowi grubości arkusza piany). Na rys. 1
przedstawiono przebiegi - (naprężenie inżynierskie normalne ściskające – odkształcenie
inżynierskie normalne ściskające) dla próbek poddanych testom ściskania do wartości 80%
odkształcenia próbki prostopadłościennej. W rozpatrywanym zakresie odkształceń efekt
Poissona jest bardzo mały, stąd nie ma konieczności eliminacji sił tarcia na styku próbki
z płytami ściskającymi.
Rozrzut wykresów pokazanych na rys. 1 jest mały. Na podstawie tych wykresów można
wyznaczyć początkowy moduł Younga materiału spienionego (z pominięciem próbek nr 2
i 4), naprężenia plateau, odkształcenie zagęszczenia oraz odkształcenie odpowiadające
pełnemu sprasowaniu piany. Uplastycznienie piany nie przebiega równomiernie w całej
objętości próbki; zamykają się kolejne warstwy porów, rozmieszczone losowo.
Naprężenia plateau, reprezentujące dyssypację (absorpcję) energii przy ściskaniu
jednoosiowym, zostały zdefiniowane w pracy [17], zgodnie z poniższymi wzorami:
- efektywność dyssypacji energii:
(1)
BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE PIANY ALUMINIOWEJ ALPORAS 101
- warunek określający odkształcenie zagęszczenia:
(2)
- naprężenie plateau:
(3)
gdzie: – naprężenie normalne odpowiadające bieżącemu odkształceniu
normalnemu materiału homogenizowanego, – odkształcenie zagęszczenia.
Wartość naprężenia plateau można oszacować jako średnie naprężenie w przedziale 5-30%
odkształcenia normalnego , a odkształcenie zagęszczenia odpowiada w przybliżeniu
podwójnej wartości naprężenia plateau [6, 18].
Odkształcenie objętościowe inżynierskie odpowiadające pełnemu sprasowaniu piany może
być oszacowane ze wzoru [10]
(4)
gdzie: – gęstość początkowa piany, – gęstość materiału litego.
Rys. 1. Przebiegi - próby ściskania jednokierunkowego próbek 100 × 100 × 50 mm
2 piany
Alporas (=0.22 g/cm3)
Próbę rozciągania jednokierunkowego statycznego przeprowadzono na 6 próbkach
przedstawionych na rys. 2. Są to próbki wiosełkowe o przekroju poprzecznym 50×50 mm2
w części pomiarowej. Powierzchnie wiosełek mocowanych w uchwytach maszyny
wytrzymałościowej wzmocniono żywicą epoksydową. Na rys. 3 przedstawiono przebiegi -
odpowiadające 4 próbkom (dwie próby uznano za nieudane).
Rozrzut wykresów pokazanych na rys. 3 jest większy niż w próbie ściskania
jednokierunkowego. Materiał po homogenizacji (w skali makro) zachowuje się w sposób
nieliniowo – sprężysto – kruchy. Na podstawie wykresu średniego można wyznaczyć
początkowy moduł Younga przy rozciąganiu jednokierunkowym oraz oszacować
wytrzymałość na rozciąganie. Oszacowanie odkształceń normalnych rozciągających
niszczących nie jest możliwe w ramach modelu continuum jednorodnego. Uplastycznieniu
ulega najsłabsza warstwa porów, quasi-prostopadła do osi próbki, której odkształcenia
0
2
4
6
8
10
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
e [-]
s [M
Pa]
s_01
s_02
s_03
s_04
s_05
s_06
102 M. KLASZTORNY, J. MAŁACHOWSKI, P. DZIEWULSKI, D. NYCZ, P. GOTOWICKI
normalne w kierunku osi próbki narastają gwałtownie aż do zerwania próbki. Odkształcenie
inżynierskie normalne rozciągające jest obliczane na podstawie przesunięcia trawersy
w odniesieniu do długości pomiarowej 150 mm, a więc jest wielokrotnie mniejsze od
rzeczywistego odkształcenia normalnego rozciągającego niszczącego.
Rys. 2. Kształt i wymiary geometryczne próbek o przekroju 50 × 50 mm2 piany Alporas
(=0.22 g/cm3), poddanych rozciąganiu jednokierunkowemu (w kierunku odlewania)
Rys. 3. Przebiegi - próby rozciągania jednokierunkowego czterech próbek wiosełkowych o
przekroju poprzecznym 50 × 50 mm2 piany Alporas (=0,22 g/cm
3)
Celowe są dalsze badania udokładniające wyniki próby rozciągania, np. poprzez
przeprowadzenie ich na próbkach sześciennych 50 × 50× 50 mm3 przyklejonych do płyt
oprzyrządowania próby, podobnie jak w pracach [10,11].
Próbę ścinania statycznego piany Alporas (=0.22 g/cm3) przeprowadzono według normy
[19] na 5 próbkach. Podczas próby materiał próbki nie jest w stanie czystego ścinania, jednak
zastosowana długość próbki powoduje minimalizację wpływu naprężeń normalnych. Próbki
mają wymiary 150 × 50 × 12 mm i są przyklejone cienką warstwą żywicy epoksydowej do
stalowych płyt obciążających (rys. 4). Podczas próby rejestrowano przemieszczenie oraz siłę
obciążającą. Naprężenie styczne, odkształcenie styczne i moduł ścinania obliczono ze
wzorów klasycznej wytrzymałości materiałów [19]:
0
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
1,8
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
e [-]
s [M
Pa]
s_01
s_02
s_03
s_06
BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE PIANY ALUMINIOWEJ ALPORAS 103
(5)
gdzie: τ – naprężenie styczne [MPa], P – obciążenie [N], L – długość próbki [mm], b –
szerokość próbki [mm], odkształcenie postaciowe, przemieszczenie płyty ruchomej
[mm], – grubość próbki [mm], – moduł ścinania [MPa], przyrost siły
odpowiadający początkowej quasi-liniowej części wykresu [N], – przyrost
przemieszczenia płyty ruchomej odpowiadający początkowej quasi-liniowej części wykresu
[mm]. Wytrzymałość na ścinanie Rshobliczono jako średnią z maksymalnych naprężeń
stycznych. Moduł ścinania wyznaczono metodą regresji liniowej.
Rys. 4. Próbka piany Alporas (=0.22 g/cm3) do testu ścinania według normy [19]
Rys. 5. Przebiegi dla trzech prób ścinania piany Alporas (=0,22 g/cm
3 ) według [19]
Na rys. 5 pokazano przebiegi dla trzech próbek (dwie próby uznano za nieudane).
W przypadku próbek Nr 3 i 4 widoczny jest początkowy luz oprzyrządowania. Na
krawędziach poprzecznych próbek Nr 3 i 5 (wymiar b) wystąpił efekt karbu. W chwili
osiągnięcia maksymalnego naprężenia stycznego inżynierskiego próbki te zaczęły odrywać
się od płyt stalowych. Piana Alporas w próbie ścinania zachowuje się jak materiał nieliniowo
sprężysto – plastyczny. Celowe są dalsze badania udokładniające wyniki próby ścinania, np.
poprzez zastosowanie mocniejszego kleju i dodatkowe wzmocnienie linii karbu.
Stałe materiałowe wyznaczone z opisanych prób wytrzymałościowych zestawiono w tabeli
2. W nawiasach podano odchylenia standardowe. Symbolem t oznaczono odkształcenie
normalne inżynierskie niszczące przy rozciąganiu (zerwanie próbki).
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14
g [-]
t [M
Pa]
spacimen_3
spacimen_4
spacimen_5
104 M. KLASZTORNY, J. MAŁACHOWSKI, P. DZIEWULSKI, D. NYCZ, P. GOTOWICKI
Tabela 2. Stale materiałowe piany Alporas (=0.22 g/cm3) wyznaczone z badań własnych
Wymiarypróbki
[mm]
[GPa]
[GPa]
[MPa]
[MPa]
[MPa]
[-]
50 × 50 × 50 0.207
(0.024)
- - - 1.14
(0.05)
-
100 × 100 × 50 0.179
(0.017)
- - - 1.33
(0.03)
-
150 × 50 × 50 - - - 1.62
(0.03)
- 0.027
(0.006)
150 × 50 × 12 - 0.041
(0.003)
1.28
(0.33)
- - -
Na podstawie przeprowadzonych badań eksperymentalnych identyfikacyjnych oraz
wyników zestawionych w tabeli 2 sformułowano następujące wnioski dotyczące piany
aluminiowej Alporas o gęstości =0.22 g/cm3 (gęstość względna 0.08):
1) Zgodnie z literaturą, stałe materiałowe silnie zależą od gęstości piany. Wartości
dwóch pierwszych stałych okazały się jednak znacznie niższe od wartości katalogowych
zawartych w tabeli 1.
2) W przypadku próby ściskania, efekt skali jest również mierzalny w przedziale b=50-
100 mm, gdzie b jest wymiarem poprzecznym przekroju próbki. Świadczy to o pewnym
niewielkim efekcie Poissona również w strefie quasi-liniowej sprężystej.
3) Moduł Younga do symulacji można przyjąć jako wartość średnią dla próbek
o wymiarach 50 × 50 × 50 mm3 i 100 × 100 × 50 mm
3, tzn. 0.193 GPa. Aby
uwzględnić w przybliżeniu nieliniowość (mikrouplastycznienia) również w strefie
pierwszej, należy przyjąć sieczny, a nie styczny moduł Younga na poziomie
GPa.
4) Wyniki w zakresie stałych mogą być wyznaczone dokładniej poprzez odpowiednie
modyfikacje prób rozciągania jednokierunkowego i ścinania, opisane przy omawianiu
wyników tych prób.
5) Stałem materiałowe piany Alporas o gęstości =0.22 g/cm3 charakteryzują się pewnym
rozrzutem wartości, który powinien być uwzględniony w symulacjach elementów
złożonych (próbki z ostrymi nacięciami, wciskanie indentera). Można to uzyskać,
symulując metodą Monte Carlo losowe fluktuacje gęstości piany wokół wartości średniej.
3. BADANIA EKSPERYMENTALNE WALIDACYJNE
Próba walidacyjna ściskania jednokierunkowego statycznego pod kątem 20° do osi próbki
z piany Alporas (=0.22 g/cm3) została przeprowadzona na próbkach sześciennych
50 × 50 × 50 mm3, z wykorzystaniem specjalnych głowic kątowych. Próbki zabezpieczono
przed przesuwem poprzecznym (poślizgiem) za pomocą występów w stalowych płytach
głowic. Na rys. 6 pokazano zdjęcia, w wybranych położeniach trawersy, z testu
odpowiadającego próbce nr 1. Można wykazać, że inżynierskie odkształcenie kątowe w
płaszczyźnie pionowej, obliczone na podstawie ilorazu przemieszczenia poprzecznego próbki
do aktualnej długości próbki, wynosi
(6)
gdzie: , przemieszczenie pionowe trawersy, długość próbki (mierzona
prostopadle do powierzchni głowic) w czasie eksperymentu.
BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE PIANY ALUMINIOWEJ ALPORAS 105
Na rys. 7 przedstawiono wykresy F-s (pionowa siła ściskająca – pionowe przemieszczenie
trawersy) dla 5 próbek. Widoczna jest dobra zgodność jakościowa i ilościowa wykresów dla
poszczególnych próbek.
próbka nieodkształcona początek strefy plateau = 0.2 rad
= 0.4 rad = 0.6 rad = 0.8 rad
Rys. 6. Kolejne etapy próby ściskania jednokierunkowego pod kątem 20° do osi próbki
50 × 50 × 50 mm3, wykonanej z piany Alporas (=0.22 g/cm
3)
4. OPIS MODELU MATERIAŁOWEGO
Do modelowania numerycznego testu walidacyjnego wybrano model materiałowy
MAT_026 (MAT_HONEYCOMB), zaimplementowany w systemie LS-Dyna, dostosowany
m.in. modelowania do materiałów spienionych [20,21]. Powierzchnia płynięcia, umocnienie
odkształceniowe (ewolucja przy powierzchni płynięcia) oraz płynięcie odkształceń
plastycznych opisują następujące równania [10,20,21]:
(7)
gdzie:
składowe naprężeń Cauchy’ego,
krzywe naprężenie-odkształcenie w stanach jednoosiowych/ jednopłaszczyznowych,
naprężenia plateau w stanach jednoosiowych / jednopłaszczyznowych,
funkcje umocnienia w stanach jednoosiowych / jednopłaszczyznowych,
odkształcenie objętościowe inżynierskie,
106 M. KLASZTORNY, J. MAŁACHOWSKI, P. DZIEWULSKI, D. NYCZ, P. GOTOWICKI
funkcje płynięcia,
potencjał płynięcia.
Rys. 7. Wykresy F-s (siła czynna pionowa – przemieszczenie pionowe trawersy) dotyczące
próby ściskania jednokierunkowego pod kątem 20° do osi próbki sześciennej
50 × 50 × 50 mm3, wykonanej z piany Alporas (=0.22 g/cm
3)
Piana, ogólnie ortotropowa, jest opisana w układzie xyz przez 6 niezależnych kryteriów
plastyczności (7)1. Umocnienie (7)2 jest tylko funkcją odkształcenia objętościowego
inżynierskiego. Zgodnie ze wzorami (7)3 rozwój odkształceń plastycznych następuje tylko
w kierunku / płaszczyźnie przyłożonego naprężenia.
Model MAT_026 wymaga deklaracji krzywych ściskania w kierunkach x,y,z oraz
krzywych ścinania w płaszczyznach xy, xz, yz, w funkcji odkształcenia objętościowego
inżynierskiego . W deklaracji krzywych dokonuje się ekstrapolacji w tył wykresu plateau aż
do . Krzywe ścinania w funkcji odkształcenia objętościowego nie zostały
zinterpretowane w podręcznikach [20,21]. Domyślnie krzywa ścinania materiału
izotropowego w skali makro jest równa krzywej ściskania jednokierunkowego.
W przypadku piany izotropowej model MAT_026 wymaga deklaracji m.in. następujących
krzywych i parametrów:
krzywa ściskania jednokierunkowego w funkcji ,
krzywa ścinania jednopłaszczyznowego w funkcji ,
moduł Younga i moduł ścinania materiału spienionego (wartości początkowe),
moduł Younga, stała Poissona, granica plastyczności materiału litego.
W strefie plateau oraz w strefie zagęszczenia moduły E, G zmieniają się liniowo w funkcji .
5. MODELOWANIE NUMERYCZNE PRÓBY WALIDACYJNEJ
Modelowanie numeryczne próby ściskania jednokierunkowego pod kątem 20° do osi
próbki wykonanej z piany Alporas o gęstości względnej 0.08 przeprowadzono, używając
solveraexplicit LS-Dyna v971 i modelu materiałowego MAT_026. W modelowaniu
wykorzystano średni przebieg krzywej ściskania jednokierunkowego F-s wzdłuż osi próbki,
pokazany na rys. 8. Krzywą deklaruje się za pomocą zbioru punktów wykresu , przy
0
4
8
12
16
20
0 10 20 30 40 50s [mm]
F [kN
]
s_01
s_02
s_03
s_04
s_05
BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE PIANY ALUMINIOWEJ ALPORAS 107
czym – zgodnie z opisem krzywej w [21] – odcinek krzywoliniowy w przedziale s=0 – 2.5
mm zastępuje się ekstrapolacją wstecz krzywoliniowego wykresu w strefie plateau. W
wyniku otrzymuje się krzywą o rzędnych zestawionych w tabeli 3. Wartości parametrów
modelu MAT_026, przyjęte w symulacji, zestawiono w tabeli 4. Indeksy u,s oznaczają
odpowiednio konfigurację początkową i skompresowaną.
Rys. 8. Średni przebieg F-s próby ściskania jednokierunkowego próbek 100 × 100 × 50 mm
3,
wykonanych z piany Alporas (=0.22 g/cm3)
Tabela 3. Współrzędne punktów deklarujących wykresy
Nr punktu s [mm] F [kN] [-] [MPa]
1 0 12.19 0 1.22
2 5 12.64 0.10 1.26
3 10 13.33 0.20 1.33
4 15 14.18 0.30 1.42
5 20 15.47 0.40 1.55
6 22.5 16.52 0.45 1.65
7 25 18.21 0.50 1.82
8 27.5 20.62 0.55 2.06
9 30 24.36 0.60 2.44
10 31.7 27.90 0.634 2.79
11 33.4 32.91 0.668 3.29
12 35 39.72 0.70 3.97
13 36.7 49.76 0.734 4.98
14 38.4 65.52 0.768 6.55
15 40 83.36 0.80 8.34
0
20
40
60
80
100
0 5 10 15 20 25 30 35 40
s [mm]
F [kN
]
108 M. KLASZTORNY, J. MAŁACHOWSKI, P. DZIEWULSKI, D. NYCZ, P. GOTOWICKI
Tabela 4. Wartości parametrów modelu MAT_026 [21]
LS-
Dyna
Stałamateriałowa Wartośćdomyślna Wartość
zadeklarowana
Jednostka
RO - 0.22 g/cm3
E Es - 61.7 GPa
PR s - 0.33 -
SIGY - 136 MPa
VF Vs - 0.08 -
MU 0.05 0.05 -
EAAU
EBBU
ECCU
Eu - 0.100 GPa
GAAU
GBBU
GCCU
Gu - 0.041 GPa
TSEF 0 -
SSEF gsh 0 -
Stałe materiału litego (moduł Younga Es, stała Poissona s i granica plastyczności )
przyjęto na podstawie pracy [7], przy czym wartość jest wartością średnią. Objętość
względną przy pełnym skompresowaniu Vs przyjęto równą gęstości względnej na podstawie
wzoru (4). Stała jest współczynnikiem lepkości piany (wartość defaultowa). Stałe gsh są
odkształceniami normalnym i stycznym, którym odpowiada zniszczenie i erozja piany.
Parametry te przyjęto o wartości defaultowej 0, eliminującej zniszczenie i erozję, które w
przeprowadzonej eksperymentalnej próbie walidacyjnej nie występują. Erozję zbyt silnie
zdeformowanych elementów skończonych można zadeklarować przy pomocy opcji
MAT_ADD_EROSION [21]. W rozpatrywanym teście walidacyjnym tak duże deformacje
również nie występują.
Symulację próby walidacyjnej przeprowadzono na modelu numerycznym pokazanym na
rys. 9. Model ten ma 8000 elementów sześciościennych typu solid, o 24 stopniach swobody
(ELFORM 1), z jednym punktem całkowania. Zastosowano kontrolę Hurglass typu 2.
Zastosowano podpory sztywne typu RIGIDWALL_PLANAR oraz wymuszenie
kinematyczne quasi-statyczne (RIGIDWALL_ GEOMETRIC_FLAT_MOTION). Dolna
powierzchnia sztywna (kolor czerwony) jest nieruchoma w czasie trwania procesu. Górna
powierzchnia sztywna (kolor zielony) przemieszcza się w kierunku z globalnego układu
współrzędnych z prędkością narastającą w czasie według wzoru [11]
(8)
gdzie:
T – czas trwania procesu wymuszenia kinematycznego (40 ms),
– maksymalne przemieszczenie pionowe trawersy (40 mm).
Wymuszenie kinematyczne prędkością według wzoru (8) gwarantuje eliminację impulsu
początkowego i zachowanie quasi-statyczne próbki w czasie ruchu trawersy mm.
Współczynnik tarcia Coulomba między spienionym aluminium a płytami sztywnymi
oszacowano na poziomie 0.8. Siła nacisku pionowego płyty sztywnej jest obliczana jako suma
odpowiednich sił węzłowych. Czas CPU jednego testu wynosił w przybliżeniu 1 godzinę.
Kalibracja modelu numerycznego polegała na testowaniu wartości współczynnika
proporcjonalności wykresu do . Wyniki kalibracji pokazano na rys. 10.
BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE PIANY ALUMINIOWEJ ALPORAS 109
Wykalibrowana wartość wynosi . Porównanie pod względem ilościowym i
jakościowym wybranych stanów deformacji próbki, uzyskanych z symulacji i eksperymentu,
pokazano na rys. 11, 12. Widoczna jest dobra zgodność wyników symulacji z
eksperymentem. Dodatkowo testowano wartość defaultową , dla której otrzymano
znaczne odchylenie (do góry) wykresu F-s od wykresów eksperymentalnych oraz stany
deformacji próbki znacznie odbiegające od wyników eksperymentalnych pokazanych na rys.
6.
Rys 9. Model numeryczny próbki sześciennej piany Alporas 50×50×50 mm
3
Rys 10. Wykresy numeryczne F-s dla wybranych wartości współczynnika , na tle
wyników eksperymentalnych (próbki nr 1,2,3,5)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39
s [mm]
F [kN
]
experiment
Rs=0,2Rs=0,35
Rs=0,5
110 M. KLASZTORNY, J. MAŁACHOWSKI, P. DZIEWULSKI, D. NYCZ, P. GOTOWICKI
s=28,8 mm
Rys. 11. Symulacja próby ściskania jednoosiowego pod kątem 20° do osi próbki z piany
Alporas (=0.22 g/cm3). Położenie odpowiadające odkształceniu postaciowemu
inżynierskiemu 0.6 rad. Porównanie stanu deformacji próbki z symulacji i eksperymentu
s=38,8 mm
Rys. 12. Symulacja próby ściskania jednoosiowego pod kątem 20° do osi próbki z piany
Alporas (=0.22 g/cm3). Położenie odpowiadające odkształceniu postaciowemu
inżynierskiemu 0.8 rad. Porównanie stanu deformacji próbki z symulacji i eksperymentu
Na podstawie przeprowadzonych symulacji sformułowano następujące wnioski:
1) Model MAT_026, zaimplementowany w systemie LS-Dyna, jest adekwatny do
modelowania piany aluminiowe Alporas w przypadku struktur pianowych
z dominującym ściskaniem i ścinaniem. Model tej jest przydatny np. w symulacjach
struktur energochłonnych z warstwą piany Alporas.
2) Wykalibrowano wartość współczynnika proporcjonalności wykresu do
wykresu , dla której wykres numeryczny F-s jest zgodny jakościowo i ilościowo
ze średnim wykresem eksperymentalnym.
3) Uzyskano dobrą zgodność stanów deformacji próbki z symulacji i eksperymentu w całym
przedziale zmienności przemieszczenia pionowego trawersy.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39
s [mm]
F [kN
]
experiment
FEM
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39
s [mm]
F [kN
]
experiment
FEM
BADANIA EKSPERYMENTALNE I MODELOWANIE PIANY ALUMINIOWEJ ALPORAS 111
6. PODSUMOWANIE
W pracy rozwinięto modelowanie numeryczne pian aluminiowych o porach zamkniętych
jako izotropowego continuum jednorodnego. Badania eksperymentalne i numeryczne odnoszą
się do piany aluminiowej Alporas o gęstości =0.22 g/cm3 (gęstość względna 0.08).
Przeprowadzono badania eksperymentalne identyfikacyjne w zakresie próby ściskania
jednokierunkowego, rozciągania jednokierunkowego i ścinania jednopłaszczyznowego.
Utworzono bazę danych potrzebnych do zadeklarowania parametrów i wykresów dla modelu
materiałowego piany MAT_026 zaimplementowanego w systemie LS-Dyna. Stałe
materiałowe materiału litego odpowiadającego badanej pianie aluminiowej zaczerpnięto
z literatury. Wskazano na potencjalne możliwości modyfikacji prób identyfikacyjnych
w kierunku uściślenia wyników badań.
Zaproponowano próbę eksperymentalną walidacyjną w formie ściskania
jednokierunkowego pod kątem 20° do osi pionowej próbki pianowej sześciennej 50×50×50
mm3. W trakcie próby występuje ściskanie, ścinanie i zginanie próbki. W procesie walidacji
bada się zgodność ilościową i jakościową wykresów F-s (siła ściskające pionowa –
przemieszczenie pionowe trawersy) oraz stanów deformacji próbki, z symulacji
i eksperymentu.
Przeprowadzono modelowanie numeryczne i symulację próby walidacyjnej w systemie
LS-Dyna z zastosowaniem modelu materiałowego MAT_26. Wyznaczono wartość
współczynnika proporcjonalności wykresu do wykresu , dla której
zgodność jakościowa i ilościowa wyników symulacji z eksperymentem jest najlepsza.
Interpretacja fizyczna wykresu pozostaje nadal otwarta.
LITERATURA
1. Gibson L.J. et al.: Failure surfaces for cellular materials under multiaxial loads I:
Modeling. “International Journal of Mechanical Sciences” 1989, 31(9), p. 635-663.
2. Gibson L.J., Ashby M.F.: Cellular solids, structures and properties. Cambridge:
University Press, 1997.
3. Andrews E. et al.: Compressive and tensile behaviour of aluminum foams. “Materials
Science and Engineering” 1999, A270, p. 113–124.
4. Shen J. et al.: Compressive behaviour of closed-cell aluminum foams at high strain rates.
Composites: Part B, 2010, 41, p. 678–685.
5. Miller R.E.: A continuum plasticity model for the constitutive and indentation behaviour
of foamed metals. “Int. J. Mechanical Sciences” 2000, 42, p. 729-754.
6. Olurin O.B. et al.: Deformation and fracture of aluminum foams. “Materials Science and
Engineering” 2000, A291, p. 136–146.
7. Onck P.R.: Application of a continuum constitutive model to metallic foam DEN-
specimens in compression. “Int. J. Mechanical Sciences” 2001, 43, p. 2947–2959.
8. Deshpande V.S., Fleck N.A.: Isotropic constitutive models for metallic foams. “J.
Mechanics and Physics of Solids” 2000, 48, p. 1253-1283.
9. Motz C., Pippan R.: Deformation behavior of closed-cell aluminium foams in tension.
“Acta Mater.” 2001, 49, p. 2463–2470.
10. Hanssen A.G. et al.: Validation of constitutive models applicableto aluminium foams,
“Int. J. Mechanical Sciences” 2002, 44, p. 359–406.
11. A. Reyes et al.: Constitutive modeling of aluminum foam including fracture and
statistical variation of density. “ European Journal of Mechanics A/Solids” 2003, 22, p.
815–835.
112 M. KLASZTORNY, J. MAŁACHOWSKI, P. DZIEWULSKI, D. NYCZ, P. GOTOWICKI
12. Blazy J.S. et al.: Deformation and fracture of aluminium foams under proportional and
non proportional multi-axial loading: statistical analysis and size effect. “Int. J.
Mechanical Sciences” 2004, 46, p. 217–244.
13. Aly M.S.: Behavior of closed cell aluminium foams upon compressive testing at elevated
temperatures: Experimental results. Materials Letters,2007, 61, p. 3138–3141.
14. De Giorgi M. et al.: Aluminum foams structural modelling.” Computers and Structures”
2010, 88, p. 25–35.
15. Miedzinska D. et al.: Numerical and experimental aluminum foam microstructure testing
with the use of computer tomography. “Comput. Mater. Sci.”2012, doi: 10.1016/
j.commatsci.2012.02.021.
16. Li Q.M. et al.: Compressive strain at the onset of the densification of cellular solids. “J
Cell. Plast.” 2006, 42(5), p. 371-392.
17. Raj R.E., Daniel B.S.S.: Customization of closed-cell aluminum foam properties using
design of experiments. “Materials Science and Engineering” 2011, A528, p. 2067–2075.
18. LS-Dyna.Theoretical manual, compiled by J.O. Hallquist, LSTC, Livermore, CA, USA,
2006.
19. LS_DYNA v971/R4 Beta. Keyword User's Manual. LSTC, Livermore, CA, USA, 2009.
20. http://www.gleich.de/files/data_sheet__alporas.pdf ALPORAS (karta materiałowa).
21. ASTM C273-00. Standard Test Method for Shear Properties of Sandwich Core Materials,
2000.
EXPERIMENTAL INVESTIGATIONS AND MODELLING
OF ALPORAS ALUMINIUM FOAM
Summary.The study presents the experimental investigations and numerical
modelling of closed-cell aluminium alloy foam (trade name Alporas), with 0.22
g/cm3 density and structural composition Al + 1,5% Ca + 1,5% Ti. The
considerations are under assumption of homogenization and isotropy of the foam
material. Three basic strength tests have been conducted, i.e. the unidirectional
compressive test, the unidirectional tensile test, the shear test in the plane
perpendicular to the foam sheet. The homogenized foam has been described with
MAT_26 material model implemented in FE code LS-Dyna. In order to validate
experimentally numerical modelling of quasi-static processes in elements made of
Alporas foam the unidirectional compressive static test at 20° angle with respect
to the specimen axis (simultaneous compression, shear and bending) is proposed.
The coefficient expressing proportionality of the shear curve vs. volumetric strain
to the compression curve vs. volumetric strain has been determined, at which the
simulation and the experiment are in good conformity.
Praca wykonana w ramach projektu rozwojowego na rzecz bezpieczeństwa i obronności Nr
O R00 0097 12, finansowanego w latach 2010-2012 przez NCBiR.