bagian ii - · pdf fileseptember 2005 pengantar dasar matematika 3 apakah logika itu? •...
TRANSCRIPT
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 1
LOGIKA SIMBOLIKLOGIKA SIMBOLIKLOGIKA SIMBOLIKBagianBagian IIII
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 2
LOGIKARealitas Kalimat/
Pernyataan
Logis
LOGIKA
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 3
Apakah logika itu?
• Logika: Ilmu untuk berpikir dan bernalardengan benar
• Penalaran: Kemampuan untuk berpikirmenurut suatu alur kerangka tertentu
• Kemampuan Menalar: Kemampuan untukmenarik konklusi yang tepat dari bukti-bukti yang ada dan menurut aturantertentu
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 4
Aliran-aliran dalamLogika
• Logika TradisionalTokoh: AristotelesLogika merupakan kumpulan aturan praktis yang menjadi petunjuk pemikiran. Logika saat itu disebut dengan istilah ANALITIKA dan DIALEKTIKA.
ANALITIKA: untuk menyebutkan cara penalaran yang didasarkan padapernyataan-pernyataan yang benar.
DIALEKTIKA: untuk cara penalaran yang didasarkan pada dugaan.
• Logika MetafisisTokoh: Friderich Hegel (1770-1831)METAFISIKA: sebagai upaya untuk menyajikan kenyataan (realitas), yaitualam semesta dan isinya sebagai suatu keseluruhan yang komprehensif, koheren dan konsisten. Susunan pikiran dianggap suatu kenyataan, sehiggalogika disebut metafisika.
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 5
• Logika EpistemologisTokoh: Francis Herbert Bradley (1846-1924) dan Bernard Bosanquet(1848-1923).
Logika ini dihubungkan dengan pengetahuan lainnya. Untuk dapatmencapai pengetahuan yang memadai, pikiran logis dan perasaan harusdigabungkan.
• Logika Instrumentalis (Pragmatis)Tokoh: John Dewey (1859-1952)Logika dianggap sebagai alat untuk memecahkan masalah.
• Logika Simbolis (Logika Matematis)Tokoh: G.W. Leibniz (1646-1716), George Boole (1815-1864), De Morgan, Leonhard Euler (1707-1783), Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell (1872-1970)
Menekankan penggunaan bahasa simbol untuk mempelajari secara rinci, bagaimana akal harus berkerja. Logika ini merupakan logika formal yang hanya menelaah bentuk dan bukan isi apa yang dibicarakan.
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 6
Pernyataan
Kalimat
K. Berarti
K. Tak Berarti
K. Deklaratif(Pernyataan)
Bukan Kal. Deklaratif
Benar
Salah
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 7
• Kalimat deklaratif = Indicative Sentence• Pernyataan = Statement• Bila proposisi ≠ pernyataan, maka
pernyataan lebih umum daripada proposisi• Proposisi merupakan kalimat deklaratif• Paradoks: Kalimat yang menegasikan
dirinya sendiri.Misal: Semua peraturan mempunyaiperkecualian.
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 8
Pernyataan• Perny. Sederhana (Primer/Atom):
Tunggal tidak terdapat kata hubung.• Perny. Majemuk
(Composite/Compound Statement): Satu atau lebih pernyataan sederhana
• Simbol pernyataan dengan hurufkecil: p, q, r, dsb
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 9
Kalimat Matematika
KalimatMatematika
K. Terbuka
K. Tertutup
Persamaan
Pertidaksamaan
Kesamaan
Ketidaksamaan
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 10
Variabel, Konstanta, parameter
• Variabel: Simbol untuk menunjukkan suatuanggota yang belum spesifik dalam semestapembicaraan.
• Konstanta: Simbol untuk menunjukkansuatu anggota tertentu (sudah spesifik) dalam semesta pembicaraan.
• Parameter: Variabel penghubung
Persamaan : x2 + x – 6 = 0
y = mx + c
y = r sin t, x = r cos t
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 11
Kata Hubung Kalimat• Negasi (Ingkaran)• Konjungsi• Disjungsi• Implikasi• Biimplikasi
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 12
Negasi (Ingkaran)• Kata sehari-hari: bukan, tidak benar
• Definisi:Ingkaran suatu pernyataan (misalkan p) adalah pernyataan lain yang bernilai benar, jika pernyataan semula salah, dansebaliknya.
• Notasi: ~p, ¬ p
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 13
BS
SB
~pp
Tabel Kebenaran
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 14
Konjungsi• Kata sehari-hari: dan, juga, padahal, tetapi,
walaupun, sedangkan, dsb
• Definisi: Konjungsi dari dua pernyataan(misalkan p dan q) bernilai benar, jika duapernyataan bernilai benar.
• Notasi: p ∧ q
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 15
SSS
SBS
SSB
BBB
p ∧ qqp
Tabel Kebenaran
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 16
Disjungsi• Kata sehari-hari: atau
• Disjungsi dibagi dua: 1. Disjungsi Inklusif (∨)2. Disjungsi Eksklusif ( ∨ )
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 17
SSSBBSBSBBBB
p ∨ qqp
Disjungsi Inklusif• Definisi:
Disjungsi Inklusif dari dua pernyataan (p dan q) bernilaibenar, jika salah satu dari dua pernyataan itu bernilai benar
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 18
SSSBBSBSBSBB
p ∨ qqp
Disjungsi Eksklusif• Definisi:
Disjungsi Eksklusif dari dua pernyataan (p dan q) bernilai benar, jika hanya salah satu dari dua pernyataan itu bernilai benar
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 19
Implikasi• Notasi: p → q dibaca
“jika p, maka q”“p berimplikasi q”“p hanya jika q”“p syarat cukup untuk q”“q syarat perlu untuk p”“q asal saja p”“q jika p”
• P = anteseden (hipotesis)• q = konskuen (konklusi)
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 20
BSSBBSSSBBBB
p → qqp
Tabel Kebenaran• Definisi: Implikasi dua pernyataan (p → q) bernilai
benar jika anteseden salah atau konskuennya benar.
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 21
Hubungan Implikasi, Konvers, Invers dan Kontraposisi
p → q q → p
~p → ~q ~q → ~p
Invers
Konvers
Konvers
InversKontraposisi
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 22
Biimplikasi• Biimplikasi dari dua pernyataan p dan q dinotasikan
p ↔ q, dibaca:“p jika dan hanya jika q”“p syarat perlu dan cukup untuk q”“q syarat perlu dan cukup untuk p”“jika p maka q dan jika q maka p”
• Definisi:Biimplikasi dari dua pernyataan bernilai benar, jikadua pernyataan itu bernilai sama
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 23
BSS
SBS
SSB
BBB
p ↔ qqp
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 24
Urutan PengerjaanNegasiKonjungsi/DisjungsiImplikasiBiimpilkasiContoh:¬ p ∨ q berarti (¬ p) ¬ p ∨ q
p → q ∧ r berarti (q ∧ r)p → (q ∧ r)
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 25
• Sebagai contoh, kita ingin melihat tabelkebenaran pernyataan:
p → ~q ∨ p ∧ r
Bagaimana tabel kebenran pernyataan itu?
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 26
BBSBSSSBBSBBSSBSSSSBSBSSSBBSBBSBSSBBBBBBSBSSSSSBBBBBSBBB
p → (~q ∨ (p ∧ r))~q ∨ (p ∧ r)p ∧ r~qrqp
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 27
Tautologi• Setiap pernyataan yang selalu bernilai
benar untuk setiap nilai kebenarankomponen-komponennya.
• Contoh: p ∨ ~p
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 28
BBS
BSB
p ∨ ~p~pp
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 29
Ekuivalen• Dua pernyataan dikatakan ekuivalen (ekuivalen logis) jika
kedua pernyataan mempunyai nilai kebenaran yang tepatsama.
• Notasi: ≡• Sifat pernyataan yang ekuivalen:
1. p ≡ p (refleksif)2. p ≡ q → q ≡ p (simetris)3. p ≡ q, q ≡ r → p ≡ r (transitif)
p ≡ q dapat sebagai p ↔ q atau “sama dengan”
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 30
Buatlah tabel kebenarandari pernyataan berikut
1. p → q2. ~p ∨ q3. ~p → ~q4. ~q → ~p5. q → p
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 31
B
B
S
B
~p ∨ q
BSS
BBS
SSB
BBB
p → qqp
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 32
Kontradiksi• Pernyataan yang selalu bernilai salah,
untuk setiap nilai kebenarankomponen-komponennya.
• Contoh: p ∧ ~p
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 33
SBS
SSB
p ∧ ~p~pp
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 34
Kuantor• Fungsi Pernyataan: Suatu kalimat terbuka dalam
semesta pembicaraannya (semesta diberikansecara eksplisit atau implisit)
• Notasi: p(x) yang bersifat p(a) bernilai benar atausalah (tidak keduanya) untuk setiap nilai a.
a adalah anggota semesta pembicaraanp(a) suatu pernyataan
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 35
Contoh:
p(x) ≡ 1 + x > 5, fungsi pernyataan untuk A = himpunanbilangan asli, bukan untuk fungsi pernyataan K = himpunan bilangan kompleks.
Bila himpunan semestanya bilangan asli, maka:
1. p(x) ≡ 1 + x > 5; bernilai benar untuk x = 5,6,7,... Dengan kata lain untuk beberapa anggota semesta.
2. q(x) ≡ x + 3 < 1; tidak ada anggota semesta yang memenuhi.
3. r(x) ≡ 1 + x = 5; bernilai benar untuk x = 4, dengan kata lain hanya ada satu anggota semesta yang memenuhi.
4. s(x) ≡ x2 > 0; bernilai benar untuk semua x anggota semesta.
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 36
Kata-kata “beberapa”, “tidakada”,”hanya satu”, “untuk semua” dapatdiganti menggunakan simbol KUANTOR
• Kuantor Umum (Universal)
“∀” dibaca “untuk semua”, “ untuk setiap”(∀x∈A)(p(x)) atau ∀x, p(x) atau ∀x p(x)dibaca “untuk setiap x anggota A, p(x) merupakan pernyataan yang benar” atau“untuk semua x berlakulah p(x)”
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 37
• Kuantor Khusus (Eksistensial)“∃” dibaca “untuk beberapa” atau “untuk paling sedikit satu”
“∃!” dibaca “ ada hanya satu”(∃ x∈ A) ∋ (p(x)) atau ∃x, p(x) atau ∃x p(x)dibaca “ada x anggota A sedemikian hinggap(x) merupakan pernyataan yang benar” atau“untuk beberapa x, p(x)”
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 38
Negasi Pernyataan
¬ (∀ x∈A) (p(x)) ≡ (∃ x∈A) ¬(p(x))
¬ (∃ x∈A) (p(x)) ≡ (∀ x∈A) ¬(p(x))
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 39
Fungsi Pernyataan lebih dari satu Variabel
Diketahui himpunan A1, A2, ... An.Suatu fungsi pernyataan yang mngandung variabel pada himpunanA1 x A2 x ... x An merupakan kalimat terbuka p(x1, x2, ..., xn) yang memiliki sifatp(a1, a2, ..., an) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk (a1, a2, ..., an) anggota semesta pembicaraan A1 x A2 x ... x An .
Contoh:1. P = {pria}, W = {wanita}
M (x, y) ≡ “x menikah dengan y” merupakan fungsi pernyataan pada P x W.
2. A = himpunan bilangan asli.K (x, y, z) ≡ 2x – y -5z < 10 merupakan fungsi pernyataan pada A x A x A
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 40
Fungsi pernyataan dengan beberapa variabelbila diberi tanda kuantor merupakanpernyataan dan mempunyai nilai kebenaran.∀x ∀y p(x,y) atau ∀x,y p(x,y) atau(x)(y) p(x,y) atau (∀x )(∀y) p(x,y) dibaca “untuk semua x dan y berlakulah p(x)”
∃x ∃y p(x,y) atau ∃x,y p(x,y) atau (∃x)(∃y) p(x,y) dibaca “ada x dan y sedemikian hingga p(x,y)”
∀x ∃y p(x,y) atau (∀x)( ∃y) p(x,y) atau (x)(∃y) p(x,y) dibaca “untuk semua x ada y sedemikian hingga p(x,y)”
∃x ∀y p(x,y) atau ( ∃x) (∀y) p(x,y) atau (∃x) (y)p(x,y) dibaca “ada x sedemikian hingga untuk semua y berlakulah p(x,y)”
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 41
ContohP = {Rama, Ammar, Nico} danW = {Tira, Iffa}p(x,y) = “x adalah kakak y”
(∀x∈P)( ∃y∈W)( p(x,y)) = “untuk setiap x di P ada y di W sedemikian hingga x adalah kakak dari y” berarti setiapanggota P adalah kakak dari Tira atau Iffa
( ∃y ∈W) (∀x ∈P) p(x,y) = “ada y di W sedemikian hingga untuksetiap x di P berlaku x adalah kakak y” berarti ada paling sedikit satu anak di W yang mempunyai kakak semua anggotaP.
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 42
Negasi Pernyataan• (∀x∈P)( ∃y∈W)( p(x,y)) = setiap anggota P
adalah kakak paling sedikit satu anggota W
• ~(∀x∈P)( ∃y∈W)( p(x,y)) = tidak benarbahwa setiap anggota P adalah kakak paling sedikit satu anggota W atau(∃x∈P)(∀y∈W) ~(p(x,y)) = ada anggota P yang bukan kakak dari semua anggota W
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 43
LatihanTentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut
1. ∀x ∀y (x+2y = 10) 10. ∃x ∀y (x2-y >3)2. ∀x ∃y (x+2y = 10) 11. ∀y ∃x (x2-y ≤ 3)3. ∃x ∀y (x+2y = 10) 12. ∀y ∃x (x2-y ≥ 3)4. ∃x ∃y (x+2y = 10) 13. ∃y ∀x (y/x = 8)5. ∀y ∀x (x+2y = 10) 14. ∀y ∃x (y/x ≠ 8)6. ∀y ∃x (x+2y = 10) 15. ∃y ∃x (y/x = 8)7. ∃y ∀x (x+2y = 10) 16. ∀y ∃x (y/x = 8)8. ∃y ∃x (x+2y = 10) 17. ∃y ∃x (x + 2y < 10 ∧ x + 3y ≥ 9)9. ∃y ∀x (x2-y >3) 18. ∃x ∀y (x +2y < 10 → x + 3y ≥ 9)
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 44
Tulislah dalam bentuk simbolik
Semua bilangan bulat adalah rasional, dapat ditulis:(∀x)(Bx → Rx) atau (∀ x ∈B)(x ∈ R)
1. Semua mahasiswa lulus ujian. 2. Semua mahasiswa tidak lulus ujian.3. Tidak semua pedagang merasa beruntung.4. Tidak semua pedagang tidak merasa beruntung.5. Ada wanita yang cantik.6. Beberapa wanita tidak cantik.7. Tidak ada mahasiswa yang curang.8. Tidak ada mahasiswa yang tidak curang.
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 45
Penarikan Kesimpulan• Premis: Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik
kesimpulan dan yang dianggap benar atau yang diketahui nilaikebenarannya.
• Argumen: Pernyataan yang berupa himpunan/kumpulan beberapapremis dan konklusinya yang ditarik menggunakan aturan yang benar atau valid.
• Argumen dikatakan VALID, jika setiap premis yang digunakanbernilai benar dan konklusinya benar. Jadi bergantung pada bentukargumen dan tabel kebenaran.
• Jika membuktikan validitas argumen dilakukan dengan mengujiapakah argumen itu merupakan TAUTOLOGI.
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 46
Beberapa Argumen1. Modus Ponens
Premis 1 : p → q Premis 2 : p
Konklusi : q
2. Modus Tolens
Premis 1 : p → q Premis 2 : ~q
Konklusi : ~p
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 47
3. Silogisme
Premis 1 : p → q Premis 2 : q → r
Konklusi : p → r
4. Penyederhanaan
Premis 1 : p ∧ q
Konklusi : p
5. Konjungsi
Premis 1 : pPremis 2 : q
Konklusi : p ∧ q
6. Penambahan
Premis 1 : p
Konklusi : p ∨ q
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 48
7. Silogisme Disjungtif
Premis 1 : p ∨ q Premis 2 : ~ p
Konklusi : q
8. Dilema Konstruktif
Premis 1 : (p→q) ∧ (r→s)Premis 2 : p ∨ r
Konklusi : q ∨ s
9. Dilema Destruktif
Premis 1 : (p→q) ∧ (r→s)Premis 2 : ~q ∨ ~s
Konklusi : ~p ∨ ~r
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 49
Tulislah konklusinya (jika ada) dansebutkan argumen yang dipakai.
1. p → ~q ~q
--------∴ .....
2. ~a → b ~b
--------∴ .....
3. k → l ~k
--------∴ .....
4. d → ~a ~d
--------∴ .....
5. ~a ∨ ba
--------∴ .....
6. ~l ∨ ~m~m
--------∴ .....
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 50
Lanjutan7. k ∨ ~l
~k--------∴ .....
8. ~a → ba → c
--------∴ .....
9. p → q~r → q
--------∴ .....
10. a → bc ∨ b
--------∴ .....
11. m → nk → n
--------∴ .....
12. c ∨ d~d ∨ a
--------∴ .....
13. d ∨ ~ad ∨ b
--------∴ .....
14. a ↔ bc ∧ b
--------∴ .....
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 51
Selidikilah apakah argumen berikut valid atau tidak
1. p ∧ qp → r
--------∴ r
2. p → q~(q ∧ r)
--------∴ p → ~r
3. p ∧ qp ∨ r → s
--------∴ p ∧ s
4. p → ~q~q → ~rs ∧ r
--------∴ ~p
5. p → ~(q∧r)~(q ∧r) → ~st ∨ s
--------∴ ~p ∨ t
6. h ∧ b → bb → ra ∧ ~r
--------∴ ~h
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 52
7. c ∨ (a ∧p)c → kk → p
--------∴ p
8. h ∧ a → bb → ra ∧ ~r
--------∴ ~h
9. c → qs ∧ q → ed ∧ s~e
--------∴ d → ~c
10. Buktikan jika r ∨ t → (~r → t), r ∨ t, ~r, maka t.
11. Diketahui ~(R ∧ T) → ~R ∨ ~T, ~(R ∧T), ~R, ~R ∨ ~T → (~R → T) mengakibatkan T.
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 53
Aplikasi Logika• •p
• •~p
• •p
• •q
Hubungan Seri: pq ≡ p∧q
• •p• •q
Hubungan Paralel:
p + q ≡ p ∨ q
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 54
p.~p = 0 • •p
• •~p
• •p• •~p
p + (~p) = 1
p (q + r) = pq + pr
p + q r = (p + q) (p +r)
p + p = p
pp = p
September 2005 Pengantar Dasar Matematika 55
Latihan