PRO SIDING SEMINARPENELITIAN DAN PENGELOLAAN PERANGKAT NUKLIR

Pusat Teknologi Akselerator don Proses BahanYogyakarta, 28 Agustus 2008

ANALISIS DISTRIBUSI TEMPERA TUR PADA BATANG PANASBAGIAN un "HEATING-Ol"

Ainur Rosidi, M. JuarsaPusat Teknologi Reaktor dan Keselamatan Nuk/ir. BATAN

Mohamad RiyadiProgram Studi Matematika Faku/tas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta

ABSTRAK

ANALISIS DISTRIBUSI TEMPERATUR UNTUK BATANG PANAS BAGIAN UJI"HEA TiNG-01". Analisis distribusi temperatur untuk batang panas berbentuk silinderpada bagian uji Heating-01 telah dilakukan. Analisis dilakukan untuk mengetahuidistribusi temperatur serta membandingkan hasil eksperimen dan hasil perhitungannumerik. Eksperimen dilakukan dengan memanaskan batang panas hingga mencapaitemperatur awal 85(fC, kemudian didinginkan secara radiasi hingga mencapaitemperatur 9(fC. Sedangkan tiga metode numerik digunakan untuk memperkirakanpenurunan temperatur pada batang panas selama pendinginan radiasi. Hasil simulasidiperoleh distribusi temperatur (berupa tabel dan grafik) menggunakan metode FTCS,BTCS, dan Dufort Frankel dengan waktu proses pendinginan mencapai temperaturIingkungan secara radiasi yang sangat cepat, yaitu kurang dari 22 detik (maksimal21,6 detik). Dari grafik menunjukkan bahwa pola penurunan temperatur terjadi secaf'3eksponensial, baik untuk hasil eksperimen dan perhitungan numerik.Kata kunci : distribusi temperatur, anulus, Metode Finite Difference

ABSTRACT

TEMPERA TURE DISTRIBUTION ANAL YSIS FOR HEA TED ROD IN "HEA TlNG-01"TEST SECTION. The analysis of temperature distribution for heated rod in cylindricalfrom in heating-01 test section has been done. Analyzing done to know distribution oftemperature and compares result of experiment and result of calculation numerik.Eksperiment was conducted with heat-up the heated rod until initial temperature85(fC and cooling down by radiation until temperature 9(fC. While, three methods ofnumeric was used to predicted a temperature decrease in heated rod during coolingradiation. Result of simulation is obtained by distribution of temperature (in the form oftables and graph) applies method FTCS, BTCS, and Dufort Frankel with timeprocessed cooling to reach environmental temperature in a real radiation quickly, thatis less than 22 seconds (maximum 21,6 seconds). From graph of comparison showsthat the pattern of temperature decreasing was occurred in exponential/ly, both forexperiment result and numerical result.Keyword: heat distribution, annulus, Finite Difference Method

PENDAHULUAN

Panas didefinisikan sebagai bentuk perpindahanenergi antara dua sistem (atau sistem danlingkungannya) berdasarkan perbedaantemperaturnya. Panas merupakan energi dalamkeadaan transisi, yang dikenal hanya ketika panasmelintasi batas sebuah sistem. Dalam

termodinamika, keadaan ini dikenal sebagaiperpindahan panas.

Perpindahan panas dapat dibagi menjaditiga cara perpindahannya, yaitu konduksi, konveksi,dan radiasi. Semua cara perpindahan panasmembutuhkan keberadaan panas yang berbeda danterjadinya perbedaan dari temperatur tinggi ketemperatur rendah (pendinginan), atau sebaliknya

Ainur Rosidi, dkk. ISSN 1410 - 8178 119

PRO SIDING SEMINARPENELITIAN DAN PENGELOLAAN PERANGKAT NUKLIR

Pusa' Teknologi Akselera'or don Proses Bahan

Yogyakarta, 28 Agustus 2008

orq =-kA­

Ox

Dengan q adalah angka perpindahan panasdengan satuan kJ per satuan dan DT/ox adalahgradien temperatur dalam arah aliran panas.Konstanta k positif disebut konduktivitas termalbenda, dengan satuan W/moK. Tanda kurangdisisipkan agar prinsip termodinamika keduaterpenuhi, yaitu panas harus mengalir turun padaskala temperatur [3]. Pada kasus umum yangtemperatumya bergantung pada waktu dan terdapatsumber panas pada benda. Untuk elemen ketebalandx dapat dibuat keseimbangan energi sebagaiberikut :

a2T q I or--+-=--dx k am

Dengan :p = kerapatan (kg/m3)c = panas spesifik (kJ / kgK)a = klpc = difusivitas termal bahan (m2/s)

Bahan berbentuk hal/ow cylinder. makasistem koordinat tabung lebih sesuai digunakan.Berdasarkan[4], asumsi dan idealisasi yangditerapkan adalahI. Bahan uji HeaTing-OI bersifat homogen

sehingga konstanta difusivitas termal a tidakbergantung terhadap kedudukan r.

2. Perambatan panas hanya pada tebal pipa,sehingga temperatur T hanya bergantung pada

Karena

q = _ kA aTax

(1)

(4)

(2)

(5)

(3)

Perubahan da1am energi

internal

+

Energi terkonduksi ke luar

Permukaan kanan

Energi terkonduksi kedalam

Permukaan kiri

+ I =

Panas yang dibangkitkan

Dalam elemen

Dan

qx+dx=-kA :t+dX

maka persamaan (2.2) dapat ditulis sebagai

n ( or)" ordx k dx +q=pc~u

Secara matematis ditulis sebagai :" or

qx + qAdx = pcA-dx + dX+dxm

maka:

TEORI

Saat konstanta k yang sebanding disisipkan,

Proses pendinginan pada peristiwakonduksi diindikasikan dengan terjadinyaperpindahan panas dari daerah temperatur tinggi kedaerah temperatur rendah, dengan gradientemperatur tertentu dalam kurva perubahanbergantung terhadap waktu. Dalam peristiwatersebut, enegi yang dipindahkan secara konduksidengan angka perpindahan panas persatuan luasberbanding lurus terhadap gradien temperaturnormal, yaitu

~_ aTa Ox

yaitu terjadinya perubahan dari temperatur rendahke temperatur tinggi (pemanasan).(I]

Berdasarkan analisisnya, perpindahanpanas dapat dibedakan menjadi perpindahan panassatu dimensi, dua dimensi dan tiga dimensi. Prosesperpindahan panas jika dikaitkan dengan waktu [I] .dapat dikategorikan sebagai perpindahan sebagaiperpindahan panas transient (perubahan besaranberdasarkan perubahan waktu). Sedangkanperpindahan panas tunak (steady) adalah prosesperpindahan yang tidak tergantung kepada waktu.

Salah satu perpindahan panas transientterjadi pada peristiwa yang timbul dalamkecelakaan Pembangkit Listrik Tenaga Nuklir(PLTN) tipe reaktor air bertekanan ringan atauPressurerized Water Reactor (PWR). Kecelakaanyang dimaksud adalah kecelakaan kehilanganpendingin atau Lost of Coolant Accident (LOCA).Salah satu hasil kepatutan analisis evaluasi desainkeselamatan PWR selama pasca LOCA (post­LOCA) yang disebabkan oleh kejadian pecahnyapipa utama adalah temperatur kelongsong bahanbakar (berbentuk silinder berongga) mencapai hargamaksimum sekitar 930°C dan berada di bawahtemperatur kritisnya 1200 °C [2J •

Berdasarkan latar belakang tersebut di atasmaka permasalahan yang akan dibahas dalampenelitian ini adalah bagaimana distribusitemperatur pada batang dipanaskan berbentuksilinder berongga menggunakan metode finitedifference.

Pada penelitian ini, perhitungan distribusitemperatur dilakukan berdasarkan prosespendinginan pada bagian uji Heating-OJ.Perhitungan solusi numerik dalam kasus ini dibatasihanya pada persamaan panas 1 dimensi untukkoordinat tabung. Tiga solusi numerik akandigunakan dengan metode aproksimasi beda hingga(finite difference method), yaitu metode FTCS,BTCS, dan Dufort Frankel.

120 ISSN 1410 - 8178 Ainur Rosidi, dkk

PROSIDING SEMINARPENELITIAN DAN PENGELOLAAN PERANGKAT NUKLIR

Pusot Teknologi Akselerotor don Proses BahanYogyakarta, 28 Agustus 2008

posisi dan waktu, yaitu r dan I, yang secaramatematis dapat ditulis sebagai T = T(r,t).

3. Tebal pipa tetap sekalipun terjadi perubahantemperatur.

4. Kedua sisi r = a dan r = b hanya dihadapkanpada masalah radiasi.

5. Tidak ada heal generalion.Oleh karena itu, persamaan diferensial

konduksi panas 1 dimensi adalaha2T 1 aT 1 aT--+--=--ar2 r ar a iTt

dalama<r<b (6)Dengan :

T(O,t) = T(r,t) = T", pada t > 0T(r,t) = To. pada t = 0

TATA KERJA

Tata ketja yang dilakukan adalahmengamati fenomena fisika distribusi panas padabatang pemanas yang dipanaskan secara radiasihingga temperatur tertinggi mencapai 850°Cmelalui DAS yang terukur dari 14 tennokopel yangterpasang di batang pemanas. Sertamenyederhanakan pennasalahan yang kemudianmembuat persamaan matematika dari fenomenatersebut, yaitu membuat persamaan diferensialkonduksi panas satu dimensi dan syarat batasnya.Kemudian menampilkan hasilnya dalam bentuktabel dan grafik menggunakan Matlab 6.5 dansoftware grafik.

Peralatan Eksperimen

Gambar Iengkap desain alat eksperimenyang diberi nama: bagian uji HeaTiNG-OI dapatdilihat pada Gambar 2. Komponen Utama (BagianUji HeaTiNG-I) :I. Plenum atas (tempat menampung air)

2. Tabung gelas kuarsa (p=IOOOmm, OD=45mm,10=41 rom)

3. Batang pemanas yang merupakan simulasidebris untuk geometri anulus, material yangdigunakan adalah SS3I6 dengan panjang 1100mm (healed lenglh = 800 mm).

Kemudian 14 buah termokopel tipe Kdipasang pada pennukaan bagian luar batangpemanas yang digunakan untuk mengukurperubahan temperatur pennukaan batang pemanasselama pendidihan berlangsung. Gambar 4menyajikan posisi tennokopel yang telah telahdipasang.

Kompenen lainnya adalah flange-flangedan material pengikat antara tabung gelas kuarsadengan batang pemanas.

Komponen Pendukung

I. Komponen ListrikBagian uji Heating-I dipanaskan secara

radiasi oleh 2 pasang semi-silinder keramik heaterdengan daya total 20.000 watt. Selain itu heaterpemanas untuk air dipasang pada plenum atas untukair pendingin yang akan dimasukkan ke dalam celahsempit. Slide regulator voitage dengan dayamaksimal 25.000 watt digunakan untuk mengaturmasukan tegangan selama pemanasan berlangsung.Gradual kenaikan daya diperlukan agar distribusipanas dapat merata bagian uji dan dapatmenghindari thermal shock pada tabung gelaskuarsa.2. Komponen Instrumentasi

Dalam eksperimen ini yang digunakanadalah DAS yang dimiliki LaboratoriumTennohidrolika (Dataq Instruments, USA), denganlaju perekaman data 5 dataldetik untuk setiap kanaldari 24 kanal yang diterpasang.

.- --+ 1 termokDpef (p...-.C8Ic)

,- •••- 3te.mokDpet (•• dill/)""

-t'J4i_ ---+ 1 termokopel,

no --. ----.. 1 termohDpei

0-1111"""- -- UermokDpei

~.f"A 1 termolmpel

...o,.M_ ---... 1 termolcDpd

3 posisi radial

f"'''- -- Ue.mokDpei /1""- 3te.mokDpel (••diall ./i•

.•....• 1 termokopel (punc.k)

Gambar I. Foto bagian uji HeaTiNG-OI

Ainur Rosidi, dkk.

I

l<abtlttrmoloJptl(14 bill ;~

Gambar 2. Posisi 14 tennokopelpemanas

ISSN 1410 - 8178

pada batang

\2\

PROSIDING SEMINARPENELITIAN DAN PENGELOLAAN PERANGKA T NUKLIR

Pusat Teknologi Akselerator dan Proses BahanYogyakalta, 28 Agu~us 2008

1000

HASIL DAN PEMBAHASAN

Perhitungan Numerik

Berdasarkan asumsi pada persamaan (6)menjadi

a2T 1 aT 1 aT-+-- =--ar2 r ar a at

< 2(2xlO-3mY

- 4'295XIO-6m2/{4+C'05Xl~~2m +5r)2xI0 m

:<>0,4615

maka kriteria stabilitas untuk L1t harus

memenuhi L1t:S 0,461 detik Untuk L1t= 0,45 detikdan increment waktu nt = 60, distribusi

perpindahan panas ditunjukkan oleh gambar 3.

1000

900

".~

-a-Node x - 0 mm-0- Node x. 1 Ibm.U700 -6-Nodt x· 4_0 -V-Node x· 6 mmi:; ••0

B

-¢--Nodt x. 8 mm

e

5<>0-~-Nodt: x-IO_

u ••0~f-o

>00

::00100

1000

90.

"1-a-Node X = 0 mm-O-Nodl!: x=2mmU

"'09 -A-Nodtx-4mm0 i:; ,"0-v-Nodlt x-6mmi -Q-Nodit x =8 mm.

500

--t- Node X = 10 nm

~

'00

f-o

JO.

20~100

Waktu t[ detik]

Waktu t [detik]

Metode Dufort Frankel

Untuk metode Dufort FrankEl, skemaakan konsisten jika L1t < 8. Jika 8 = 0,002 mm,maka L1t< 0,002 detik. Untuk .M = 0,0018 dan nt

15000, distribusi perpindahan panasditunjukkan oleh gambar 5.

Gambar 4. Grafik distribusi temperatur 20dengan metode BTCS

• <!> 6 10 1:: I ~ 16 1e ::0 :: :t ::0:.

Oari gambar 3 diperoleh bahwa saat t =19,8 detik temperatur bahan mendekati

temperatur lingkungan. Hasil perhitunganmenunjukkan bahwa pada waktu tersebuttemperatur pada node x = 2 mm, x = 4 mm, x = 6mm, dan x = 8 mm sebesar 28,0909 DC, 28,155DC,28,1641 °c dan 28,1083 DC.

Metode BTCS

Untuk metode BTCS, L1t tidakbergantung pada kriteria stabilitas. Maka dengan8 = 0,002 mm, L1t= 0,45 detik dan nt = 60 sepertipada metode FTCS, distribusi perpindahan panastransien ditunjukkan oleh gambar 4.

111111111111111111111

-a-Node x· 0 mm-o-Nod! x= ~n:m-.6.-No& X· 4 mm-v-Node x= 6mm-<>-No1h x= 8 mm

--4--Nod. x= lOmm

"""

u ,..,05:; 000

!'! 000~~ '00

~:J\_~

dalam 0,0105 < r < 0,0205 (7)

Oengan :T(O,t) = T(O,O1,t) = 28° C pada t > 0

T(r,t) = 850° C pada t = 0Untuk kesamaan antara metode yang

digunakan, bahan dibagi menjadi 5 bagian dengan8 = 0,002 m, maka akan terbentuk 6 node denganbesar temperatur T), T2, T3, T4, Ts dan T6 padawaktu ke-n. Pembagian ini dimaksudkan agartebal bahan antara node tidak menjadi semakintipis. Juga ingin melihat selisih temperatur padanode yang simetris. Sedangkan untuk pembagianwaktu disesuaikan dengan metode yangdigunakan.

Metode FTCS

Untuk metode FTCS, L1tditentukan olehkriteria stabilitas

..,+{r]

W.ktu t [detik]

Gambar 3. Grafik distribusi temperatur 20dengan metode FTCS

Gambar 5. Grafik distribusi temperatur 20dengan metode Dufort FrankEl

Oari gambar 5 diperoleh bahwa saat I =21 ,15 detik temperatur bahan mendekati

122 ISSN 1410 - 8178 Ainur Rosidi, dkk

PROSIDING SEMINARPENELITIAN DAN PENGELOLAAN PERANGKAT NUKLIR

Pusat Teknologi Akselerator don Proses BahanYogyakarta, 28 Agustus 2008

Waktu, t [detik]

Gambar 6. Kurva penurunan temperatur batangdipanaskan terhadap waktu

Gambar 6 menunjukkan kurva penurunantemperatur batang yang dipanaskan terhadapwaktu kemudian didinginkan secara radiasi (tanpapendinginan air). Pada proses pendinginan radiasiini, pemahaman terhadap karakteristikpendinginan radiasi sangat diperlukan untukmengetahui berapa lama pendinginan radiasiberlangsung dan bagaiamana bentuk kurvapenutunan temperatur transiennya. BerdasarkanGambar 6, meskipun temperatur awal titiktermokopel yang terpasang sepanjang batangdipanaskan memilki temperatur yang berbeda,namun pada detik ke 9000 (2 jam, 30 menit)temperatur pada setiap titik termokopel hampirsarna (sekitar 50°C). Korelasi yang bisamendekati kurva penurunan temperatumya

temperatur lingkungan. Hasil perhitunganmenunjukkan bahwa pada waktu terse buttemperatur pada node x = 2 mm, x = 4 mm, x = 6mm, dan x = 8 mm sebesar 28,0997 DC, 28,1698DC, 28,1799 DC dan 28,1183 Dc.

Pada kasus ini, terlihat dari gambar 3,gambar 4 dan gambar 5 evaluasi temperatur padanode x = 0,0 mm dan x = 10,0 mm tidakmengalami pola penurunan secara eksponensial,hal tersebut menunjukkan bahwa dalam simulasiini bagian luar dianggap adiabatik (tidak adaperpindahan panas). Namun, pada node x = 2,0mm, x = 4,0 mm, x = 6,0 mm dan x = 8,0 mmevaluasi temperatur terjadi sebagaimanamestinya. Trend penurunan temperatur secaratransien mewakili bent uk eksponensial negatif.

Hasil Eksperimen

Pengujian pemanasan dilakukan untukmenentukan kemampuan pemanasan semi­silinder keramik dan kemampuan struktur bagianuji HeaTiNG-OJ. Uji pemanasan dilakukandengan memanaskan batang pemanas secararadiasi hingga temperatur tertinggi pada batangpemanas mencapai 850°C

1000 2000 3000 4000 5000 0000 7000 8000 gOOD

900

Data Ekspt:rimtn

Im_ -9000 dt:lik

T.,.,._OODC

11 15 18 21 21 27

Metode FTCS, node x ~ 6 mm

800

iJ

700

'L h600

E500

" IIE"

100

~300

21101000

0

Waltut[detik]

Gambar 7. Grafik perbandingan distribusitemperatur 20 antara hasil eksperimen danmetode numerik bagian uji HeaTing-01

Perbandingan antara hasil perhitungannumerik dengan eksperimen tidak dimaksudkanuntuk membandingkan waktu realistik atauperbandingan time-to-time. Perlu membagi hasildengan bilangan tertentu agar rentang wakturealistik sarna dengan rentang waktu dalamperhitungan di dalam kurva. Perbandingan yangdimaksudkan untuk melihat trend perubahantemperatur terhadap waktu.

Pada bagian uji HeaTing-OI, trend hasilnumerik mengikuti trend hasil eksperimen. ketigametode memperlihatkan perbedaan yang kecil.Metode BTCS dan Dufort Frankel dianggappaling mendekati trend hasil eksperimen.

diperoleh dengan memfitting kurva pada Gambar6, sehingga diperoleh korelasi sebagai berikut:TC-1 T(l) = 41,4 + 42l2e-oI"'u + 385.7e-"'·~·

. T(l) = 41,2 + 425,2,,-<'19Jl2 + 385.1,,-<I77L2

TC-3 T(l) = 41.0 + 435.1e""'"'' + 365.1e-,m.~

TC-5 : T(l) = 41,9 + 448,?.-""·~' + 355.8,,-'114'.,

TC-6 : T(l) = 38,4 + 463,2,,-"29<2.82 + 327.3<:>-<113:11

TC-7 : T(l) = 8,3'" 339,6e-<Il·:I9.' + 119,2e-<I8491.6

TC-8 : T(l) = 36,8 + 380,3e-""'5L4 + 281.s..-<"O•.1

KESIMPULAN

Perbandingan Trend Hasil Numerikdengan Hasil Eksperimen

Perbandingan trend antara ketiga metodenumerik dengan eksperimen pada bagian ujiHeaTing-OI diperlihatkan pada gambar 7.

1000

Eksperimen perpindahan panas padacelah sempit anulus yang dilakukan dalammempelajari dan memahami karakteristikdistribusi panas pada batang bagian uji HeaTing-

T(f) = 414. 42:1.~-(';Jto)u + 3t~.74~'~

1'(1)= 41.2+ 4Z~.R·fI'w.a.;I-+ :5&,,1<t"'~u

T(t} '" 41.0 ,. 43~.w~$"'l.:. M5.!lo·lrnt,)

T(l)-" 41.9~ 442 ..'V~.-.ecu .•.3~:$.~·"AU

T(t) •••)8,4 + 463.a·v•u.lJ -t. ),n.3t"';ru;T(I) ••3.3+3J!).~""~ +119.2•.••Ao<+' ••

TH) = 36.3 .•. J&'U.Jc:o-flWH4 • 28t.5t ..•.'*.1

T(';.1

l(·-3T(,$T(>6

ODD

UL 800E-.

Iij" 700~

CCI GOO

Iij

.g 500coc:: 400.:9'"t:Q 300

!=!

1'! 200V

It '00vE-<

Ainur Rosidi, dkk. ISSN 1410 - 8178 123

PRO SIDING SEl\1INARPENELITIAN DAN PENGELOLAAN PERANGKAT NUKLIR

Pusat Teknologi Akselerator don Proses BahanYogyakarta, 28 Agustus 2009

01 telah dilakukan melalui analisis kurva

perubahan kenaikan temperatur batangdipanaskan terhadap waktu. Hasil simulasidiperoleh distribusi temperatur (berupa tabel dangrafik) menggunakan metode FTCS, BTCS, danDufort Frankel dengan waktu proses pendinginanmencapai temperatur lingkungan secara radiasiyang sangat cepat, yaitu kurang dari 22 detik(maksimal 21,6 detik).

Sebagai evaluasi perbandingan, waktuproses pendinginan hasil eksperimen mencapai9000 detik. Trend distribusi temperatur prosespendinginan secara radiasi dari hasil numerikmengikuti trend hasil eksperimen. Dari ketigametode yang digunakan, trend metode DufortFrankel dan BTCS yang dianggap lebihmendekati trend hasil eksperimen. Trendpenurunan temperatur secara transien mewakilibentuk eksponensial negatif.

UCAPAN TERIMAKASIH

Ucapan terima kasih kami sampaikankepada ternan-ternan di sub bidang termohidrolikaBOFa PTRKN atas bantuannya selamaeksperimen. Kepada Ka. BOFa atasbimbingannya. Penulis mengucapakanterimakasih atas dukungan dana melalui DIPAKNRT tahun anggaran 2007 (SK. Menristek No.126/M/Kp/XI/2006 tanggal 17 Nopember 2006,perihal Program InsetifRiset Dasar KNRT 2007).

DAFTAR PUSTAKA

1. CENGEL,YUNUS A., and R. H. TURNER,Fundamendals of Thermal-Fluid Sciences,McGraw-Hili Companies,lnc.,1997

2. JUARSA,MULYA and ANHAR R.ANT ARIKSA WAN, Studi PerpindahanPanas Selama Rewetting pada simulasiPendinginan Pasca Loca, YogyakartaSeminar Pertemuan dan Presentasi I1miah

Penelitian I1miah Penelitian Dasar fPTEKNuklir, 2006.

3. HOLMAN, J.P,. Heat Transfer SeventhEdition in Sf Units, McGraw-Hili Companies,Inc., 1992

4. PONIDI, dkk, Pendahuluan PersamaanDiferensial Parsial dan Syarat Batas, DiktatKuliah PDP & SB Dept. Matematika FMIPAUI,2001

TANYA JAWAB

Agus Dwiatmaja~ Dari ketiga metode analisis FTGS, BTCS dan

Dufort Frankel, menurut anda metode apa yangmudah digunakan tetapi mempunyai hasil yangakurat?

Ainur Rosidi~ Metode yang mempunyai hasi/ yang akurat

adalah metode Dufort Frankel karena trendperubahan temperatur mendekati trend daripenurunan temperature eksperimen.

Kussigit S.~ Apakah ada perbedaan dari ketiga metode

tersebut?~ Pendekatan dengan Deret Taylor, sampai

berapajauh orde deret yang dipakai?Ainur Rosidi~ Perbedaan dari ketiga metode Finite

Difference adalah dengan melihat daristruktur penyebaran panas dan bentuk grafiktrend penurunan distribusi panaseksponensial negatif.

~ Pendekatan solusi numerik untuk differensialparsial diselesaikan dengan FiniteDifference deret Taylor orde 2.

124 ISSN 1410 - 8178 Ainur Rosidi, dkk