Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 07. Số phức

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -

Bài 1.

a) Giải phương trình sau trên tập phức: z2 + 3(1+i)z – 6 - 13i = 0

Giải:

= 24 + 70i,

7 5i hoặc 7 5i

2

5 4

z i

z i

b) Giải phương trình: 2 (5 ) 18 0z i z i

Giải:

Ta có: (5 ) 4(18 ) 48 14i i i

Gọi x iy là căn bậc hai của , với ;x y R

2 2

2 48( ) 48 14 (1 7 )

2 14

x yx yi i i

xy

Vậy phương trình có hai nghiệm phức 1,2

3 45 (1 7 )

2 32

ii iz

i

Bài 2.

a) Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2i)z = 8 + i +(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z.

b) Giải phương trình sau trên tập số phức: 4 3 7

2z i

z iz i

.

Giải:

a. Hệ thức đã cho tương đương với: (1 2 ) 8i z i

8 (8 )(1 2 )2 3

1 2 (1 2 )(1 2 )

i i iz i

i i i

Do đó z có phần thực là 2 và phần ảo là -3.

b. Điều kiện: z i

Phương trình đã cho tương đương với: 2 (4 3 ) 1 7 0z i z i

23 4 (2 )i i

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 1 2z i và z = 3+i.

Bài 3.

a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2(2 3 ) (4 ) (1 3 )i z i z i . Tìm phần thực và phần ảo của z.

b) Giải phương trình: 2 (1 ) 6 3 0z i z i trên tập hợp các số phức.

Giải:

SỐ PHỨC (PHẦN 02)

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: LÊ ANH TUẤN

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Số phức (Phần 02) thuộc khóa học LTĐH KIT-3: Môn

Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên

truyền đạt trong bài giảng Số phức (Phần 02). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các

bài tập trong tài liệu này.

Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 07. Số phức

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -

a. Gọi z = a + bi ;a b R . Đẳng thức đã cho trở thành: 6 4 2( ) 8 6a b a b i i

6 4 8 2

2 2 6 5

a b a

a b b

Vậy z có phần thực bằng -2; phần ảo bằng 5.

b. Phương trình có biệt thức 2 2(1 ) 4(6 3 ) 24 10 (1 5 )i i i i

Phương trình có hai nghiệm là: 1 2z i và 3z i .

Bài 4.

a) Cho số phức z thỏa mãn: 2(1 2 ) 4 20i z z i . Tính môđun của z.

b) Cho số phức z thỏa mãn: 2 2(1 ) 2 0z i z i . Tìm phần thực và phần ảo của 1

z.

Giải:

a. Đặt z = a + bi ;a b R .Đẳng thức đã cho trở thành ( 3 4 )( ) ( ) 4 20i a bi a bi i

2 10

1

4

3

a b

a b

a

b

Do đó: 2 24 3 5z .

b. Phương trình bậc hai theo z có: 24(1 ) 8 0i i

Bài 5. Cho 1z , 2z là các nghiệm phức của phương trình 22 4 11 0z z .

Tính giá trị của biểu thức A =

2 2

1 2

2

1 2( )

z z

z z

.

Giải:

Giải phương trình đã cho ta được các nghiệm: 1 2

3 2 3 21 , 1

2 2z i z i

Suy ra

2

2

1 2 1 2

3 2 22| | | | 1 ; 2

2 2z z z z

. Do đó

2 2

1 2

2

1 2

11...

( ) 4

z z

z z

Bài 6. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện 3

z 2 3i2

. Hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất.

Giải:

Đặt: z a bi

Ta có : 2 23 3 3 9z 2 3i a bi 2 3i (a 2) (b 3)i (a 2) (b 3) (*)

2 2 2 4

Từ (*) suy ra điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức đã cho nằm trên đường tròn tâm I(2; 3) và

bán kính 3

R2

.

Ta có: min

z M nằm trên đường tròn và gần gốc tọa độ O nhất. Đó là điểm 1M trên hình vẽ (là một

trong hai giao điểm của OI với đường tròn)

Kẻ 1M H Ox ta có: 2 2

1OI OH OM 4 9 13

2

y

x

O H

1M

Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 07. Số phức

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -

Theo Talet ta có:

1

1 1

6 13 9 78 9 133 M H b326OH M H M O 2 132

2 3 OI 13 2 3 3 26 3 13OH a

1313

Vậy số phức cần tìm là: 26 3 13 78 9 13

z i13 26

Bài 7. Tính 243(1 )

2

i

Giải:

Trước hết ta đưa số: 3 2 3 1

12 2 2

ii

về dạng lượng giác

Ta có:

2 22 3 1 4 4 3 3 1

2 32 2 4

r

Vì acgumen xác định bởi:

2 3 1

2 2os ;sin2 3 2 3

c

Từ đó ta có:

1

2

sin 12 3tan

os 2 3 2 3

2

2 3

c

2

2

2 2

2 tan 2 1tan 2 : 1

1 tan 2 3 2 3

2 3 2 32 2 1. .

2 3 6 4 3 2 3 32 3 3 2

2 ,6

k k Z

hay 12 2

k

Chọn k = 0 ta được 12

.

Vậy: 3

1 2 3 os isin2 12 12

ic

Do đó:

24

12

12

12

3 24 241 2 3 os isin

2 12 12

(2 3) .( os( 2 ) isin( 2 ))

(2 3)

ic

c

Bài 8. Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: 4z i z i .

Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 07. Số phức

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 -

Giải:

Giả sử: ( ; )z x yi x y R suy ra ( ; )M x y biểu diễn số phức z.

Khi đó: 4z i z i

( 1) ( 1) 4x y i x y i

2 2 2 2( 1) ( 1) 4 (*)x y x y

Đặt F1(0; -1); F2(0; 1) thì (*) 2 1 1 24 2MF MF F F

Suy ra tập hợp điểm M là elip (E) có hai tiêu điểm là F1 F2.

Ta viết phương trình elip (E):

Lưu ý ở đây tiêu điểm nằm trên trục tung. Do đó phương trình chính tắc của (E) có dạng:

2 2

2 2 2

2 21 ( 0; )

x yb a a b c

a b

Ta có: 1 2 2 2 2

1 2

2 4 23

2 2 1

MF MF b ba b c

F F c c

Vậy tập hợp điểm M là elip (E) có phương trình chính tắc: 2 2

13 4

x y .

Bài 9. Tìm phần thực của số phức z = (1 + 3 i)n ,biết n N thoả mãn: 2 2log 9 log 6 4n n

Giải:

Giải phương trình: 2 2log 9 log 6 4n n ta được n = 10

Đưa z về dạng: z =

10

10 10 910 102 cos sin 2 cos sin 2

3 3 3 3i i

Bài 10. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho: 3

( )1

ni

i

là một số thực.

Giải:

Ta có: 3 2( os isin ) ; 1 2 os(- ) isin(- )6 6 4 4

i c i c

Do đó

2(cos isin )3 5 56 6 2( os isin )

1 12 122 os(- ) isin(- )

4 4

ic

ic

Vậy 23 5n 5n

( ) 2 ( os isin )1 12 12

n

nic

i

Số đó là số thực khi 5n 5n

sin 012 12

k Z

Số nguyên dương bé nhất cần tìm là n = 12

Bài 11. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức 2 3z i biết rằng 2

3 9z i zz

Giải:

Đặt: ' 2 3 ; ,z x yi z i x y R và ( ; )z a bi a b R và M(x; y) biểu diễn cho z’, ta có:

2( ) 3 2 3 (2 1)x yi a bi i a b i

Khóa học LTĐH KIT-3: Môn Toán (Thầy Lê Anh Tuấn) Chuyên đề 07. Số phức

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 -

1( 3)

2 3 2(*)

2 1 1( 1)

2

a xx a

y bb y

2 2 2 2 2

2 2

3 . 9 9 (3 1) 9

8 8 6 8 0 (**)

z i z z a b a b

a b b

Thế (*) vào (**) ta được:

2 2

2 2

1 1 18. ( 3) 8. ( 1) 6. ( 1) 8 0

4 4 2

7 73( 3) ( ) (***)

4 16

x y y

x y

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức ' 2 3z z i là hình tròn có phương trình (***).

Giáo viên : Lê Anh Tuấn

Nguồn : Hocmai.vn