bÀi 2: mẶt cẦu

Năm học 2010-2011

Câu hỏi 2: Vị trí tương đối của một điểm với đường tròn trong mặt phẳng?

Câu hỏi 1: Khái niệm đường tròn trong mặt phẳng?

Trả lời: Tập hợp những điểm M trong mặt phẳng cách đều một điểm O cố định cho trước một khoảng không đổi bằng r (r > 0) gọi là đường tròn tâm O bán kính R.

GIỚI THIỆU

I. MẶT CẦU VÀ KN

1. Mặt cầu


1. Mặt cầu

CH1: Nêu khái niệm mặt cầu ?


1. Mặt cầu

I. MẶT CẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN

1. Mặt cầu

* Kí hiệu mặt cầu tâm O bán kính r là : S(O; r) hoặc (S)

Định nghĩa: S(O, r) = {M | OM=r, r>0}

* Cách biểu diễn mặt cầu trên mặt phẳng:

- Dùng phép chiếu vuông góc lên mp đường tròn.

- Vẽ hình biểu biễn của 1 số đường tròn nằm trên mặt cầu.

- Vẽ một số điểm nằm trên mặt cầu, bán kính của mặt cầu ...

OrM


1. Mặt cầu

* Dây cung:

là đoạn thẳng nối 2 điểm nằm trên mặt cầu.

OM

C

D

* Đường kính:

là dây cung đi qua tâm mặt cầu.

VD: dây cung CD, CM, MD

VD: đường kính CD

* Chú ý: Một mặt cầu được xác định khi ta biết: - Tâm và bán kính. - Đường kính.


1. Mặt cầu

2. Điểm nằm trong...

2. Điểm nằm trong và điểm nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu.

Cho mặt cầu S(O; r) và điểm A bất kì trong không gian.

- Nếu OA > r điểm A nằm ngoài mặt cầu.

- Nếu OA = r điểm A nằm trên mặt cầu.

- Nếu OA > r điểm A nằm trong mặt cầu.

O

BA

D

3. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu.

Xem mặt cầu là mặt tròn xoay được tạo nên bởi một nửa đường tròn quay quanh trục chứa đường kính của đtròn đó.Khi đó:

- Giao tuyến của mc với nửa mp bờ là trục của mc: kinh tuyến

- Giao tuyến của mc với các mp vuông góc với trục: vĩ tuyến

- Giao điểm của mc với trục: cực của mặt cầu.


1. Mặt cầu


3. Kinh tuyến, vĩ tuyến


1. Mặt cầu


3. Kinh tuyến, vĩ tuyến

Ví dụ 1

Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước.

A

B

OGiải

Gọi O là tâm mặt cầu OA = OB

Trong không gian, tập hợp các điểm Ocách đều hai điểm cho trước là mặt phẳngtrung trực của đoạn AB.

Vậy tập hợp tâm mặt cầu là mp trung trực của AB.

II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VÀ MỘT MẶT PHẲNG O

H

R

MP

Cho một mặt cầu S(O;R) và mp(P) bất kỳ.

Gọi H = hc O/mp(P)

Khi đó OH = dO,mp(P)


Ta xét các trường hợp sau :

II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VÀ MỘT MẶT PHẲNG


I. MẶT CẦU VÀ KNKhi đó mọi điểm M (P) thì OM>OH. Vậy mọi điểm của (P) đều nằm ngoài mặt cầu (S)

Vậy (S) (P) =

Nếu OH > R:

O

H

R

MP


I. MẶT CẦU VÀ KN Khi đó điểm H (S). M (P), M khác H. thì OM > OH = R.

Vậy (S) (P) = H

Điểm H gọi là tiếp điểm của (S) và (P)

Mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)

Nếu OH = R:

O

H

R

MP



O

H

R

MP

Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó

Khi đó mp(P) sẽ cắt mặt cầu

(S) theo một đường tròn

C(H, r) với r = R2 – d2

Khi d = 0 thì

C(O;R) gọi là đường tròn lớn của mặt cầu S(O;R).

Vậy (S)(P) = C(H,r)

Nếu OH < R:

O

H

R

MP



Mp(P) gọi là mặt phẳng kính của mặt cầu đó



III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VÀ MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Cho một mặt cầu S(O;R) và đường thẳng (d) bất kỳ.

Gọi H = hc O/(d)

Khi đó OH = d O, (d)

Ta xét các trường hợp sau :

Nếu d không đi qua O thì: (O, d) (S) = C(O; R)

O R

P(C)

H

d


Vậy d (S) =

Nếu d > R:

Khi đó: d (C) =

O R

P(C)

H

(d)




Nếu d = R:

O R

P(C)H

(d)




Khi đó điểm H (S). M (d), M khác H. thì OM > OH = R.

Vậy (S) (d) = H

Khi đó đường thẳng (d) được gọi là tiếp tuyến của mặt cầu.

O R

P(C)H

(d)




Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại điểm H là (d) vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó




Vậy d cắt (S) tại 2 điểm

Nếu d < R:

Khi đó: d cắt (C) tại 2 điểm

O

P(C)

H

(d)

Nếu d đi qua O thì d cắt mặt cầu tại 2

điểm A, B với AB là đường kính của mặt

cầu.




Nhận xét:

O

Pa A

Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R) có vô số tiếp tuyến

của mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên

tiếp diện của (S) tại điểm A.




b) Qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đó. Tất cả các tiếp tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh A. Độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A đến các tiếp điểm đều bằng nhau.

O

A

M

M’

(C)

p




IV. DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU.

Mặt cầu có bán kính r có diện tích là: 24 rS

Mặt cầu có bán kính r có thể tích là: 34

3V r

bÀi 2: mẶt cẦu

Documents