bài giảng

BAI GIANG

LY THIÊT

ĐIÊU KHIÊN TƯ ĐÔNG

Thac si VO VĂN ĐINH

NĂM 2009

CHƯƠNG 4: KHAO SAT TINH ÔN ĐINH CUA HÊ THÔNG

4.1 Khai niêm vê ôn đinh

4.2 Tiêu chuân ôn đinh đai sô

4.3 Phương phap quy đao nghiêm sô

4.4 Tiêu chuân ôn đinh tân sô

4.1.1 Đinh nghia

4.1 KHAI NIÊM VÊ ÔN ĐINH

Hê thông đươc goi la ơ trang thai ôn đinh, nêu vơi tin hiêu vao bi chăn thi đap ưng cua hê thông cung bi chăn (Bounded Input Bounded Output = BIBO)

Yêu câu đâu tiên cua hê thông ĐKTĐ la hê thông phai giư đươc trang thai ôn đinh khi chiu tac đông cua tin hiêu vao va chiu anh hương cua nhiêu lên hê thông.

Hê phi tuyên co thê ôn đinh trng pham vi hep khi đô lêch ban đâu nho va không ôn đinh trong pham vi rông nêu đô lêch ban đâu la lơn.

4.1.1 Đinh nghia


Đôi vơi hê tuyên tinh đăc tinh cua qua trinh qua đô không phu thuôc vao gia tri tac đông kich thich. Tinh ôn đinh cua hê tuyên tinh không phu thuôc vao thê loai va gia tri cua tin hiêu vao va trong hê tuyên tinh chi tôn tai môt trang thai cân băng.

Phân biêt ba trang thai cân băng:

- Biên giơi ôn đinh

- ôn đinh

- va không ôn đinh

4.1.1 Đinh nghia


Trên hinh ve ta thây nêu thay đôi nho trang thai cân băng cua qua câu, chăn han cho no môt vân tôc nho ban đâu đu be thi qua câu se tiên tơi môt trang thai cân băng mơi vi tri a, hoăc se dao đông quanh vi tri cân băng vi tri b va vi tri d, hoăc se không vê trang thai ban đâu vi tri c. Trong trương hơp đâu, ta co vi tri cân băng ơ biên giơi ôn đinh, trương hơp sau la ôn đinh trương hơp thư ba la không ôn đinh.

c

a

b d

4.1.1 Đinh nghia


Cung ơ vi tri b va vi tri d, nêu qua câu vơi đô lêch ban đâu lơn thi cung se không trơ vê trang thai ban đâu đươc - hai trang thai b va d chi ôn đinh trong pham vi hep ma không ôn đinh trong pham vi rông.

c

a

b d

Trong trương hơp nay viêc khao sat tinh ôn đinh đươc giơi han cho cac hê tuyên tinh bât biên theo thơi gian. Đo la nhưng hê thông mô ta băng phương trinh vi phân tuyên tinh hê sô hăng va co thê ap dung đươc nguyên ly xêp chông.

4.1.2 Ôn đinh cua hê thông tuyên tinh


Môt hê thông ĐKTĐ đươc biêu diên băng phương trinh vi phân dang tông quat:

(4.1) )()(

...)()(

)()(

...)()(

11

1

10

11

1

10

trbdt

tdrb

dt

trdb

dt

trdb

tcadt

tdca

dt

tcda

dt

tcda

mmm

m

m

m

nnn

n

n

n

(4.2) )(

)(

...

...

)(

)()(

11

10

11

10

sA

sB

asasasa

bsbsbsb

sR

sCsG

nnnn

mmmm

Phương trinh (4.1) ưng vơi tin hiêu vao hê thông la r(t) va tinh hiêu ra c(t). Ham truyên đat cua hê thông đươc mô ta băng (4.1) co dang:



Nghiêm cua (4.1) gôm hai thanh phân:

(4.3) )()()( 0 tctctc qđ

Trong đo:

- c0(t) : la nghiêm riêng cua (4.1) co vê phai, đăc trưng cho qua trinh xac lâp

- cqđ (t) : la nghiêm tông quat cua (4.1) không co vê phai, đăc trưng cho qua trinh qua đô.



Dang nghiêm đăc trưng cho qua trinh qua đô trong hê thông:

(4.4) )(1

n

i

tpiqđ

ietc

Trong đo pi la nghiêm cua phương trinh đăc tinh:

(4.5) 0...)( 11

10

nnnn asasasasA

pi co thê la nghiêm thưc cung co thê la nghiêm phưc liên hơp va đươc goi la nghiêm cưc cua hê thông. Đa thưc mâu sô ham truyên đat la A(s) bâc n do đo hê thông co n nghiêm cưc pi (Pole), i = 1, 2, …, n



Zero la nghiêm cua phương trinh B(s) = 0. Tư sô ham truyên đat G(s) la đa thưc bâc m (m < n) nên hê thông co m nghiêm zero - zj vơi j = 1, 2, …, m.

Hê thông ôn đinh nêu:

(4.6) 0)(lim

tcqđt

Hê thông không ôn đinh nêu:

(4.7) )(lim

tcqđt



Trong phương trinh (4.4) hê sô i la hăng sô phu thuôc vao thông sô cua hê va trang thai ban đâu.

Nghiêm cưc pi đươc viêt dươi dang:

(4.8) iii jp

i

iit

tpi

t

tMee

i

i

)cos(2

0

lim

Nêu i < 0 Hê ôn đinh

Nêu i = 0Nêu i > 0 Hê không ôn đinh

nêu pi la nghiêm phưc

nêu pi la nghiêm thưc

(Hê ơ biên giơi ôn đinh)



Phân biêt ba trương hơp phân bô cưc trên măt phăng phưc sô:

1. Phân thưc cua nghiêm cưc dương i > 0

2. Phân thưc cua nghiêm cưc dương băng 0

3. Phân thưc cua nghiêm cưc âm i < 0

Măt phăng S

Re

Im

0

Phân bô cưc trên măt phăng S



Ôn đinh cua hê thông chi phu thuôc vao nghiêm cưc ma không phu thuôc vao nhiêm zero, do đo mâu sô ham truyên đat la A(s) = 0 đươc goi la phương trinh đăc tinh hay phương trinh đăc trưng cua hê thông.

1 – Hê thông ôn đinh nêu tât ca cac nghiêm cua phương trinh đăc tinh đêu co phân thưc âm: Re[pi] < 0, i < 0 cac nghiêm năm bê trai măt phăng phưc:

2 – Hê thông không ôn đinh nêu co du chi la môt nghiêm phương trinh đăc tinh (4.9) co phân thưc dương (môt nghiêm phai) con lai la cac nghiêm đêu co phân thưc âm (nghiêm trai)

Kêt luân:

(4.9) 0...)( 11

10

nnnn asasasasA



3 – Hê thông ơ biên giơi ôn đinh nêu co du chi la môt nghiêm co phân thưc băng không con lai la cac nghiêm co phân thưc âm (môt nghiêm hoăc môt căp nghiêm phưc liên hơp năm trên truc ao).

Vung ôn đinh cua hê thông la nưa trai măt phăng phưc sô S. Đap ưng qua đô co thê do đông hoăc không dao đông tương ưng vơi nghiêm cua phương trinh đăc tinh la nghiêm phưc hay nghiêm thưc.



Tât ca cac phương phap khao sat ôn đinh đêu xet đên phương trinh đăc tinh (4.9) theo môt cac nao đo. Tông quat, ba cach đanh gia sau đây thương đươc dung đê xet ôn đinh:

1- Tiêu chuân ôn đinh đai sô Routh - Hurwitz.

2- Tiêu chuân ôn đinh tân sô Mikailov - Nyquist - Bode.

3- Phương phap chia miên ôn đinh va phương phap quy đao nghiêm sô.

4.2.1 Điêu kiên cân

4.2 TIÊU CHUÂN ÔN ĐINH ĐAI SÔ

Điêu kiên cân đê hê thông ôn đinh la tât ca cac hê sô cua phương trinh đăc trưng phai khac 0 va cung dâu.

Vi du: hê thông co phương trinh đăc trưng:

0123 23 sss không ôn đinh

0352 24 sss không ôn đinh

01254 234 ssss chưa kêt luân đươc

4.2.2 Tiêu chuân ôn đinh Routh


Cho hê thông co phương trinh đăc trưng:

0...)( 11

10

nnnn asasasasA

Muôn xet tinh ôn đinh tinh ôn đinh cua hê thông thei tiêu chuân Routh, trươc tiên ta thanh lâp bang Routh theo quy tăc:

- Bang Routh co (n + 1) hang.

- Hang 1 cua bang Routh gôm cac hê sô co chi sô chăn.

- Hang 2 cua bang Routh gôm cac hê sô co chi sô le.

- Phân ơ hang i côt j cua bang Routh (i > 3) đươc tinh theo công thưc:

1,11,2 . jiijiij ccc 1,1

1,2

i

ii c

cVơi



Bang Routh:

sn c11= a0 c12=a2 c13=a4 c14=a6 -

sn-1 c21=a1 c22=a3 c23=a5 c24=a7 -

sn-2 c31=c12-3c22 c32=c13-3c23 c33=c14-3c24 c34=c15-3c25 -

sn-3 c41=c22-4c32 c42=c23-4c33 c43=c24-4c34 c44=c25-4c35 -

- - - - - - -

s0 cn1=cn-2,2-ncn-1,2

113

21

c

c

214

31

c

c

2,1

1,1

nn

n

c

c



Phat biêu tiêu chuân Routh

Điêu kiên cân va đu đê tât ca cac nghiêm cua phương trinh đăc trưng năm bên trai măt phăng phưc la tât ca cac phân tư năm ơ côt 1 cua bang Routh đêu dương. Sô lân đôi dâu cua cac phân tư ơ côt 1 cua bang Routh băng sô nghiêm năm bên phai măc phăng phưc.



Vi du 1: Hay xet tinh ôn đinh cua hê thông co phương trinh đăc trưng la:

01254 234 ssss

s4 1 5 1

S3 4 2 0

S2 1

S1 0

S0 1

Giai: Bang Routh

3

1

4

4

8

9

5

81

20

1 95 2

4 2

8 102 1

9 9



Vi tât ca cac phân tư côt 1 bang Routh đêu dương nên tât ca cac nghiêm cua phương trinh đăc trưng đêu năm bên trai măt phăng phưc, do đo hê thông ôn đinh.



Vi du 2: Hay xet tinh ôn đinh cua hê thông co sơ đô khôi như sau:

G(s)R(s)

H(s)

C(s)

)5)(3(

50)(

2

sssssG

2

1)(

ssH



Giai : Phương trinh đăc trưng cua hê thông la:

0)()(1 sHsG

0)2(

1.

)5)(3(

501

2

sssss

050)2)(5)(3( 2 sssss

0503031166 2345 sssss



Bang Routh:s5 1 16 30

s4 6 31 50

S3 0

S2 50

S1 0

S0 50

3

1

6

4

6

10,83

5

10,83

18,99

116 31 10,83

6

Vi cac phân tư ơ côt 1 bang Routh đôi dâu hai lân nên phương trinh đăc tinh đêu co 2 nghiêm năm bên phai măt phăng phưc, do đo hê thông không ôn đinh.

130 50 21,67

6

631 21,67 18,99

10,83

10,8321,67 50 6,84

18,99

0503031166 2345 sssss



Vi du 3: Cho hê thông co sơ đô khôi như hinh ve. Hay xac đinh điêu kiên cua K đê hê thông ôn đinh.

G(s)R(s) C(s)

)2)(1()(

2

ssss

KsG



Giai : Phương trinh đăc trưng cua hê thông la:

0)(1 sG

0)2)(1(

12

ssss

K

0)2)(1( 2 Kssss

0233 234 Kssss



Bang Routh:

s4 1 3 K

S3 3 2 0

S2 K

S1 0

S0 K

3

1

3

4

9

7

1 73 2

3 3

92

7K

0233 234 Kssss



Điêu kiên đê hê thông ôn đinh:

92 0 14

079

0

KK

K

Cac trương hơp đăc biêt:

Trương hơp 1: nêu co hê sô ơ côt 1 cua hang nao đo băng 0 thi ta thay hê sô băng 0 ơ côt 1 bơi sô dương, nho tuy y, sau đo qua trinh tinh toan đươc tiêp tuc.



Vi du 4: Hay xet tinh ôn đinh cua hê thông co phương trinh đăc trưng la: 03842 234 ssss

s4 1 4 3

s3 2 8 0

s2 3

s2 >0 3

s1 0

s0 3

Giai: Bang Routh

3

1

2

4

2

14 8 0

2

28 3 0



Vi cac hê sô ơ côt 1 bang Routh đôi dâu hai lân nên phương trinh đăc tinh cua hê thông co hai nghiêm năm bên phai măt phăng phưc, do đo hê thông không ôn đinh.

Trương hơp 2: nêu tât ca cac hê sô cua hang nao đo băng 0:

- Thanh lâp đa thưc phu tư cac hê sô cua ham trươc hang co tât ca cac hê sô băng 0, goi đa thưc đo la Ap(s).

-Thay hang co tât ca cac hê sô băng 0 bơi môt hang khac co cac hê sô chinh la cac hê sô cua . Sau đo qua trinh tinh toan tiêp tuc.

Chu y: nghiêm cua đa thưc Ap(s) cung chinh la nghiêm cua phương trinh đăc trưng.

( )pdA s

ds



Vi du 5: Hay xet tinh ôn đinh cua hê thông co phương trinh đăc trưng la:

047884 2345 sssss

Xac đinh sô nghiêm cua phương trinh đăc trưng năm bên trai, phai hay trên truc ao cua cua măt phăng phưc?



s5 1 8 7

s4 4 8 4

s3

s2 4

s1 0

s1 8 0

S0

Giai: Bang Routh

3

1

4

4

4

6

18 8 6

4

66 4 0

4 5

6

4

5

4

8

48 6 4

6

17 4 6

4

43 0 3

8

047884 2345 sssss



Đa thưc phu: 08)(

44)( 2 sds

sdAssA p

p

Nghiêm cua đa thưc phu cung chinh la nghiêm cua phương trinh đăc trưng:

jsssAp 044)( 2

Kêt luân:- Cac hê sô côt 1 bang Routh không đôi dâu nên phương trinh đăc trưng không co nghiêm năm bên phai măt phăng phưc.

- Phương trinh đăc trưng co hai nghiêm năm trên truc ao.

- Sô nghiêm năm bên trai măt phăng phưc la 5 - 2 = 3.

Hê thông ơ biên giơi ôn đinh.

4.2.3 Tiêu chuân ôn đinh Hurwitz


Cho hê thông co phương trinh đăc trưng:

0...)( 11

10

nnnn asasasasA

Muôn xet tinh ôn đinh cua hê thông theo tiêu chuân Hurwitz, trươc tiên ta thanh lâp ma trân Hurwitz theo quy tăc:

- Ma trân Hurwitz la ma trân vuông câp n n

- Đương cheo ma trân Hurwitz la cac hê sô tư a1 đên an.

- Hang le cua ma trân Hurwitz gôm cac hê sô chi sô le theo thư tư tăng dân nêu ơ bên phai đương cheo va giam dân nêu ơ bên trai đương cheo.



na

aaa

aaa

aaaa

aaaa

0

00

00

0

0

420

531

6420

7531

- Hang chăn cua ma trân Hurwitz gôm cac hê sô chi sô chăn theo thư tư tăng dân nêu ơ bên phai đương cheo va giam dân nêu ơ bên trai đương cheo.



Phat biêu tiêu chuân Hurwitz

Điêu kiên cân va đu đê hê thông ôn đinh la tât ca cac đinh thưc con chưa đương cheo cua ma trân Hurwitz đêu dương.

Vi du 6: Cho hê thông tư đông co phương trinh đăc trưng la

0234 23 sss

Hoi hê thông co ôn đinh không?

Giai:

Ma trân Hurwitz:

240

031

024

0

0

0

31

20

31

aa

aa

aa



Cac đinh thưc:

111 a 10213431

24

20

312

aa

aa

2010231

242

0

0

0

20

313

31

20

31

3

aa

aaa

aa

aa

aa

Vi tât ca cac đinh thưc con chưa đương cheo cua ma trân Hurwitz đêu dương nên hê thông ôn đinh.

4.3.1 Khai niêm

4.3 PHƯƠNG PHAP QUY ĐAO NGHIÊM SÔ

Xet hê thông co phương trinh đăc tinh

(4.10) 042 Kss

Nghiêm cua phương trinh đăc tinh ưng vơi cac gia tri khac nhau cua K:

K = 0: s1 = 0 s2 = - 4

K = 1: s1 = - 0,268 s2 = - 3,732

K = 2: s1 = - 0,586 s2 = - 3,414

K = 3: s1 = - 1 s2 = - 3

K = 4: s1 = - 2 s2 = - 2

4.3.1 Khai niêm


K = 5: s1 = - 2 + j s2 = - 2 - j

K = 6: s1 = - 2 + j1,414 s2 = - 2 - j1,414

K = 7: s1 = - 2 + j1,732 s2 = - 2 - j1,732

K = 8: s1 = - 2 + j2 s2 = - 2 - j2

Ve cac nhiêm cua phương trinh (4.10) tương ưng vơi cac gia tri cua K lên măt phăng phưc. Nêu cho K thay đôi liên tuc tư 0 đên +, tâp hơp tât ca cac nghiêm cua phương trinh (4.10) tao thanh đương đâm net như trên hinh ve. Đương đâm net trên hinh ve đươc goi la quy đao nghiêm sô.

4.3.1 Khai niêm


Đinh nghia:

Quy đao nghiêm sô la tâp hơp tât ca cac nghiêm cua phương trinh đăc tinh cua hê thông khi khi co môt thông sô nao đo trong hê thông thay đôi tư 0 đên .

0- 1- 2- 3- 4

+ 2j

+ 1j

- 1j

- 2j

Re

Im s

4.3.2 Quy tăc ve quy đao nghiêm sô


Xet hê thông co sơ đô khôi sau:

G(s)R(s)

H(s)

C(s)

Phương trinh đăc tinh cua hê:

(4.11) 0)().(1 sHsGMuôn ap dung cac quy tăc ve quy đao nghiêm sô, trươc tiên ta phai biên đôi tương đương phương trinh đăc tinh vê dang:

(4.12) 0)(

)(1

sD

sNK

trong đo K la thông sô thay đôi.



Đăt:

Goi n la sô cưc cua G0(s), m la sô zero cua G0(s), phương trinh (4.12) trơ thanh:

)(

)(0 sD

sNKG

0)(1 0 sG

)12()(

1)(

0

0

lsG

sG Điêu kiên biên đô

Điêu kiên pha



Sau đây la 11 quy tăc ve quy đao nghiêm sô cua hê thông co phương trinh đăc tinh co dang (4.12);

Quy tăc 1: Sô nhanh cua quy đao nghiêm sô = bâc cua phương trinh đăc tinh = sô cưc cua G0(s) = n.

Quy tăc 2: Khi K = 0: cac nhanh cua quy đao nghiêm sô xuât phat tư cac cưc cua G0(s).

Quy tăc 3: Quy đao nghiêm sô đôi xưng qua truc thưc.

Quy tăc 4: Môt điêm trên truc thưc thuôc vê quy đao nghiêm sô nêu tông sô cưc va zero cua G0(s) bên phai no la môt sô le.



Quy tăc 5: Goc tao bơi đương tiêm cân cua quy đao nghiêm sô vơi truc thưc xac đinh bơi:

Quy tăc 6: Giao điêm giưa cac tiêm cân vơi truc thưc la điêm A xac đinh bơi:

(4.13) ...)2 ,1 ,0( )12(

lmn

l

(4.14) zero

OA 11

mn

zp

mn

m

ii

n

ii

cùc

Quy tăc 7: Điêm tach nhâp (nêu co) cua quy đao nghiêm sô năm trên truc thưc va la nghiêm cua phương trinh:

0ds

dK



Quy tăc 8: Giao điêm cua quy đao nghiêm sô vơi truc ao co thê xac đinh băng môt trong hai cah sau đây:

- Ap dung tiêu chuân Routh - Hurwitz.

- Thay s = j vao phương trinh đăc tinh (4.12), cân băng phân thưc va phân ao se tim đươc giao điêm vơi truc ao va gia tri K.

Quy tăc 9: Goc xuât phat cua quy đao nghiêm sô tai cưc phưc pj đươc xac đinh bơi:

(4.15) )arg()arg(18011

0

n

jii

ij

m

iijj zpzp

Dang hinh hoc cua công thưc trên la: j = 1800 + ( goc tư cac zero đên cưc pj) - ( goc tư cac cưc con lai đên cưc pj).



Quy tăc 10: Tông cac nghiêm la hăng sô khi K thay đôi tư 0 đên +

Quy tăc 11: Hê sô khuêch đai doc theo quy đao nghiêm sô co thê xac đinh tư điêu kiên biên đô

(4.16) 1)(

)(.

sD

sNK



Vi du 7: Cho hê thông tư đông co sơ đô khôi như sau:

Hay ve QĐNS cua hê thông khi



Vi du 7: Cho hê thông tư đông co sơ đô khôi như sau:

Hay ve QĐNS cua hê thông khi K = 0 +

(1) 0)3)(2(

10)(1

sss

KsG

G(s)R(s) C(s)

)3)(2()(

sss

KsG

Giai: Phương trinh đăc trưng cua hê thông:



Cac cưc: ba cưc: p1 = 0 , p2 = - 2 ; p3 = -3

QĐNS gôm co ba nhanh xuât phat tư cac cưc khi K = 0.

Cac zero: không co.

Khi K +, ba nhanh cua quy đao nghiêm sô se tiên đên vô cung theo cac tiêm cân xac đinh bơi:

- Goc giưa cac tiêm cân va truc thưc:

)1(

)1(3

)0(3

03

)12()12(

3

2

1

l

l

l

l

mn

l



- Giao điêm giưa cac tiêm cân va truc thưc:

3

5

0-3

0)3()2(0[zeroOA

mn

cùc

- Điêm tach nhâp la nghiêm cua phương trinh 0ds

dK

Ta co (1) )65()3)(2( 23 ssssssk

)6103( 2 ssds

dK

Do đo


dK

0ds

dK )(

785,0

549,20)6103( 12 lo¹i

s2

s

ss



- Giao điêm cua QĐNS vơi truc ao co thê xac đinh băng môt trong hai cach sau đây:

Ta co (1) (2) 065 23 Ksss

Cach 1:

Ap dung tiêu chuân Routh

s3 1 6

s2 5 K

s1 0

s0 K

3

1

5

16

5K



Điêu kiên đê hê thông ôn đinh:

3000

05

16

KK

K

Vây, hê sô khuêch đai giơi han la Kgh = 30.

Thay gia tri Kgh = 30 vao phương trinh (2), giai phương trinh ta đươc giao điêm cua QĐNS vơi truc ao.

6

6

5

03065

3

2

123

js

js

s

sss



0)(6)(5)( 23 Kjjj

Cach 2:

Giao điêm (nêu co) cua QĐNS va truc ao phai co dang s = j. Thay s = j vao phương trinh (1) ta đươc:

065 23 Kjj

05

062

3

K



30

6

0

0

K

K

0- 3

Re

Im s

- 2

6j

6j



Vi du 8: Cho hê thông hôi tiêp âm đơn vi, trong đo ham truyên hơ la:


(1) 0)208(

10)(12

sss

KsG

)208()(

2

sss

KsG




Cac cưc: p1 = 0 , p2 = - 4 + j2 ; p3 = - 4 – j2

QĐNS gôm co ba nhanh xuât phat tư cac cưc khi K = 0.

Cac zero: không co.

Khi K +, ba nhanh cua quy đao nghiêm sô se tiên đên vô cung theo cac tiêm cân xac đinh bơi:


)1(

)1(3

)0(3

03

)12()12(

3

2

1

l

l

l

l

mn

l




3

8

0-3

0)2_4()24(0[zeroOA

jj

mn

cùc


dK

Ta co (1) 0208 23 Ksss

)20163( 2 ssds

dK

Do đo 0ds

dK

00,2

33,30)20163( 12

2s

sss

)208( 23 sssK

Do đo 0ds

dK



Vây, quy đao nghiêm co hai nghiêm tach nhâp.

0208)1( 23 Ksss

- Giao điêm cua QĐNS vơi truc ao đươc xac đinh băng cach thay s = j vao phương trinh đăc tinh.

Thay s = j ta đươc:

0)(20)(8)( 23 Kjjj

0208 23 Kjj



160

20

0

0

020

083

2

K

KK

Vây, giao điêm cua QĐNS va truc ao la: 20js

- Goc xuât phat cua QĐNS tai cưc phưc p2 la:

)arg()arg(180 32120

2 pppp

)]24()24arg[(]0)24arg[(1800 jjj

otg 5,63904

2180 10



Ve QĐNS cua hê thông:

0Re

Im s

20j

20j

-63,50

-1-2-3-4

+j2

- j2



Vi du 9: Cho hê thông hôi tiêp âm đơn vi, trong đo ham truyên hơ la:


(1) 0)208)(3(

)1(10)(1

2

ssss

sKsG

)208)(3(

)1()(

2

ssss

sKsG




Cac cưc: p1 = 0 , p2 = - 3 ; p3,4 = - 4 j2

QĐNS gôm co bôn nhanh xuât phat tư cac cưc khi K = 0.

Cac zero: z1 =1

Khi K +, môt nhanh tiên đên zero, ba nhanh con lai tiên đên vô cung theo cac tiêm cân xac đinh bơi:


)1(

)1(3

)0(3

14

)12()12(

3

2

1

l

l

l

l

mn

l




3

10

1-4

)1()]24()24()3(0[

zeroOA

jjmn

cùc


dK

Ta co (1) 0)1()208)(3( 2 sKssss

)1(

)208)(3( 2

s

ssssK



2

234

)1(

608877263

s

ssss

ds

dK

Do đo 0ds

dK0608877263 234 ssss

97,066,0

05,167,32,1

j

js

3,4s

Vây, quy đao nghiêm sô không co điêm tach nhâp



0)1()208)(3()1( 2 sKssss

- Giao điêm cua QĐNS vơi truc ao đươc xac đinh băng cach thay s = j vao phương trinh đăc tinh.

Thay s = j ta đươc:

0)60(4411 234 KsKsss

0))(60()(44)(110( 234 KjKjjj

0)60(4411 234 KjKj



7,61

314,1322

893,50

0

K

jK

K

Vây, giao điêm cân tim la:

Hê sô khuêch đai giơi han la: Kgh = 322

893,5js



- Goc xuât phat cua QĐNS tai cưc phưc p3

)(180 43210

3 )906,1164,153(3,146180

o7,333

0Re

Im s

893,5j

-1-4

+j2

- j2

-2-3

893,5j

o7,33

1 23

4

4.4.1 Nguyên ly goc quay

4.4 TIÊU CHUÂN ÔN ĐINH TÂN SÔ

Xet hê thông bâc n co phương trinh đăc tinh hê sô hăng:

Đa thưc A(s) đươc viêt dươi dang:

(4.17) 0...)( 11

10

nnnn asasasasA

))...()(()( 210 npspspsasA

Vơi p1, p2, …,pn la cưc cua hê thông, la nghiêm cua phương trinh đăc tinh.Thay s = j vao phương trinh (4.17) ta co:

))...()(()( 210 npjpjpjajA



Gia sư phương trinh (4.17) co m nghiêm phai (co phân thưc dương), con (n – m) nghiêm trai co phân thưc âm.

Goc quay cua vectơ đa thưc đăc tinh tân sô G(j)

n

iipjjA

1

)arg()(arg

j

+

(j -Pm)(j -Pn - m)

0

j

+ - PmPn - m



Khi tân sô thay đôi tư - đên + thi sư thay đôi goc quay cua vectơ đa thưc đăc tinh tân sô A(j) se la:

n

iipjjA

1

)arg()(arg

Ky hiêu chi sư thay đôi goc quay.

Nêu quy đinh chiêu quay dương la chiêu ngươc chiêu kim đông hô thi ta co biêu thưc sau đôi vơi nghiêm trai va phai:

)arg( mnpj

)arg( mpj

Hê co m nghiêm phai va (n – m) nghiêm trai:

)2()()(arg mnmmnjA



Vectơ đa thưc đăc tinh tân sô A(j) se quay môt goc băng hiêu sô nghiêm trai (n – m) va nghiêm phai (m) nhân vơi khi biên thiên tư - đên +.

Nguyên ly goc quay:

Hê thông bâc n co m nghiêm phai va (n – m) nghiêm trai co vectơ đa thưc đăc tinh tân sô A(j) se quay môt goc la (n – 2m)/2 vong kin theo chiêu ngươc chiêu kim đông hô khi tân sô biên thiên tư - đên +

2.2

2)(arg

mnjA

4.4.2 Tiêu chuân ôn đinh tân sô


Tiêu chuân ôn đinh dưa vao nguyên ly goc quay đươc A. V. Mikhailov phat biêu vao năm 1938:

Điêu kiên cân va đu đê hê tuyên tinh ôn đinh la biêu đô vectơ đa thưc đăc tinh A(j) xuât phat tư nưa truc thưc dương tai băng không, phai quay n goc phân tư theo chiêu ngươc chiêu kim đông hô khi tân sô biên thiên tư 0 đên +

2.2

2)(arg

mnjA



Tiêu chuân ôn đinh dưa vao nguyên ly goc quay đươc A. V. Mikhailov phat biêu vao năm 1938:

Điêu kiên cân va đu đê hê tuyên tinh ôn đinh la biêu đô vectơ đa thưc đăc tinh A(j) xuât phat tư nưa truc thưc dương tai băng không, phai quay n goc phân tư theo chiêu ngươc chiêu kim đông hô khi tân sô biên thiên tư 0 đên +, vơi n la bâc cua phương trinh đăc tinh cua hê thông. Chưng minh:

Xet hê thông bâc n co phương trinh đâc tinh:

(4.18) 0...)( 11

10

nnnn asasasasA

Hê thông ôn đinh nêu n cưc năm bên trai măt phăng phưc.



Theo nguyên ly goc quay:

Vi A(j) va A(-j) la phưc liên hơp nên:

(4.19) )(arg

njA

(4.20) )(arg)(arg00

jAjA

Do đo phương trinh (4.20) co thê đươc viêt dươi dang:

2)(arg

0

njA



Hê ôn đinh

n = 1n = 2

n = 3n = 4

n = 5Re

Im

0 = 0

Hê không ôn đinh

n = 1

Re

Im

0 = 0

n = 4

n = 2n = 3



Xây dưng biêu đô Mikhailov Thay s = j vao phương trinh đăc tinh sau đo tach phân thưc va phân ao:

)()()( jQPjA Trong đo: P() la ham chăn vơi : P(-) = P()

Q() la ham le vơi : Q(-) = - Q()

Tư biêu thưc A(j) nhân đươc băng cach thay s = j vao mâu sô ham truyên:

nnnn ajajajajA )(...)()()( 11

10 Ta nhân thây A(j) chinh la đương cheo cua đa giac co canh tương ưng băng akn-k va cac canh vuông goc vơi nhau.



Vi du: Xet hê bâc ba n = 3

Cho biên thiên tư 0 đên băng phương phap xây dưng toan bô biêu đô đa thưc đăc tinh A(j).

322

13

0 )()()()( ajajajajA

Re

Im

0

3a

12a

211a

310a

)( jA

Vi du: Xet hê bâc ba n = 3

322

13

0 )()()()( ajajajajA



Đa thưc đăc tinh (mâu sô ham truyên đat cua hê cân xet ôn đinh ơ trang thai hơ hoăc trang thai kin) đươc phân tich thanh hai thanh phân:

)()()( sKsDsA

Vi du: 0)()1)(1)(1()( 321 KsDKsTsTsTsA

T1 = 0,5; T2 = 2; T3 = 0,1. Tinh Kgh

00)()(arg KjDjA



Xây dưng biêu đô: )()()( jQPjA

Tư đo suy ra: 225,11)( P

)1,06,2.()( 2 Q

0)(

)(?

0

0

Q

KPK gh

gh

1,0

6,20

5,311,0

6,225,11

ghK

= 0

Im

Re

10Kgh

Cho hê thông tư đông co sơ đô khôi như sau:

G(s)R(s) C(s)

Cho biêt đăc tinh tân sô cua hê hơ G(s), bai toan đăc ra la xet tinh ôn đinh cua hê thông kin Gk(s).

4.4.3 Tiêu chuân ôn đinh Nyquist


Tiêu chuân Nyquist

Hê thông kin Gk(s) ôn đinh nêu đương cong Nyquist cua hê hơ G(s) bao điêm (-1, j0)l/2 vong theo chiêu dương (ngươc chiêu kim đông hô) khi thay đôi tư 0 đên +, trong đo l la sô cưc cua hê hơ G(s) năm bên phai măt phăng phưc.



Vi du: Cho hê thông hôi tiêp âm đơn vi, trong đo hê hơ G(s) co đương cong Nyquist như hinh ve. Biêt G(s) ôn đinh. Xet tinh ôn đinh cua hê thông.



Im

Re0

(-1, j0)

(1)

(2)

(3)

= 0

Vi G(s) ôn đinh trên trên G(s) không co cưc năm bên phai măt phăng phưc. Do đo theo tiêu chuân Nyquyst hê kin ôn đinh nêu đương cong Nyquyst G(j) cua hê hơ không bao điêm (-1,j0), vi vây:



Trương hơp 1: G(j) không bao điêm (-1,j0) suy ra hê ôn đinh.

Trương hơp 2: G(j) qua điêm (-1,j0) suy ra hê kin ơ biên ôn đinh.

Trương hơp 3: G(j) bao điêm (-1,j0) suy ra hê kin không ôn đinh.

Chu y: đôi vơi hê thông co khâu tich phân ly tương. Đê xac đinh đương cong Nyquyst co bao điêm (-1,j0) hay không ta ve thêm cung -/2 ban kinh vô cung lơn ( la sô khâu tich phân ly tương trong ham truyên hê hơ)



Vi du: Xet tinh ôn đinh cua hê thông hôi tiêp âm đơn vi biêt ham truyên cua hê hơ la:

)1)(1)(1()(

321

sTsTsTs

KsG

Giai: tuy theo gia tri cua K, T1, T2, T3 ma biêu đô Nyquyst cua hê hơ co thê co môt trong ba dang sau:



jQ()

0

(-1, j0)

(1)

(2)

(3)

= 0

G(j)

P()



Vi hê kin không co cưc năm phia bên phai măt phăng phưc nên:

Trương hơp 1: G(j) không bao điêm (-1,j0) suy ra hê ôn đinh.

Trương hơp 2: G(j) qua điêm (-1,j0) suy ra hê kin ơ biên ôn đinh.

Trương hơp 3: G(j) bao điêm (-1,j0) suy ra hê kin không ôn đinh.

Vi du: cho hê thông co biêu đô Bode như hinh ve. Hoi hê kin co ôn đinh không?

4.4.4 Tiêu chuân ôn ôn đinh Bode


G(s)R(s) C(s)

Hê thông kin Gk(s) ôn đinh nêu hê thông hơ G(s) co đô dư trư biên va đô dư trư pha dương.

0

0

M

GMHê thông ôn đinh

bài giảng

Documents