bÀi giẢng dao ĐỘng kỸ thuẬt - nguyỄn vĂn khang

1NG VN HIU - B MN C HC

2TI LIU THAM KHO

1. Dao ng k thut, Nguyn Vn Khang, NXB Khoa hc vk thut.

2. Bi tp dao ng k thut, Nguyn Vn Khang v nhiunk, NXB Khoa hc v k thut.

3. L thuyt dao ng, L Xun Cn (dch), NXB Khoa hcv k thut.

4. Dao ng tuyn tnh, Nguyn ng Anh (dch), NXB Khoahc v k thut.

3NI DUNG

Chng m u: Cc khi nim c bn ca l

thuyt dao ng.

Chng 1: Dao ng tuyn tnh ca h mt bc

t do.

Chng 2: Dao ng tuyn tnh ca h nhiu bc

t do.

4Chng m uCC KHI NIM C BN CA L THUYT DAO NG

1. nh ngha dao ng.

2. M t ng hc cc qu trnh dao ng.

3. Phn loi h dao ng.

51. nh ngha dao ng

Dao ng l mt hin tng ph bin trong t nhin v trongk thut.

Cc my, cc phng tin giao thng vn ti, cc to nh caotng, nhng cy cu, l cc h dao ng.

Dao ng l g?

Dao ng l mt qu trnh trong mt i lng vt l (hohc, sinh hc,) thay i theo thi gian m c mt c imno lp li t nht mt ln.

6Dao ng c li hay c hi?

Dao ng va c li, va c hi.

Li : Dao ng c s dng ti u ho mt s k thutnh: m, k thut rung

Hi: Gim bn ca my, gy ra hin tng mi ca vtliu dn ti ph hu, nh hng n tui th ca cc cngtrnh,....

72. M t ng hc cc qu trnh dao ng

a. Dao ng iu ho.

V d hm iu ho?

V d: sin( ), os( )t c t + +Dao ng c m t v mt ton hc bi cc hm iu hoc gi l dao ng iu ho.

8Xt dao ng c m t bi:

( ) sin( )x t A t = +

t

x(t)

A

-AT

Trong :

: tn s vng (rad/s).

T=2/: Chu k dao ng (s).

A : bin dao ng (m).

t + : pha dao ng (rad).

: pha ban u (rad).

f = 1/T : tn s (HZ).

(1)

9b. Dao ng tun hon.

Hm tun hon?

Hm s x(t) c gi l hm tun hon, nu tn ti mt hngs T > 0 sao cho vi mi t ta c h thc:

( ) ( ),x t T x t t+ =

Mt qu trnh dao ng c m t v mt ton hc bi mthm tun hon x(t) c gi l dao ng tun hon.

(2)

10

Min(x)

Max(x)x(t)

t

T

Hng s T nh nht cho biu thc (2) c tho mn gil chu k dao ng.Bin A ca dao ng tun hon x(t) c nh ngha bicng thc sau:

[ ]1 max ( ) min ( )2

A x t x t=

11

c. Dao ng h hnh sin.+ Mt qu trnh dao ng c m t v mt ton hc bihm: [ ]( ) ( )sin ( ) ( )x t A t t t t = + (3)c gi l dao ng h hnh sin.

+ Dao ng tt dn:

[ ]0( ) sin ( ) ( ) , 0tx t A e t t t = + >+ Dao ng tng dn:

[ ]0( ) sin ( ) ( ) , 0tx t A e t t t = + >Dao ng m bin A(t) thay i lun phin c gi ldao ng bin iu bin .

Dao ng m tn s (t) thay i lun phin c gi l daong bin iu tn s.

12

3. Phn loi h dao ng

a. Cn c vo c cu gy nn dao ng:

+ Dao ng t do.

+ Dao ng cng bc.

+ Dao ng tham s.

+ T dao ng.

+ Dao ng hn n.

+ Dao ng ngu nhin.

13

b. Cn c vo s bc t do:+ Dao ng ca h mt bc t do.

+ Dao ng ca h nhiu bc t do.

+ Dao ng ca h v hn bc t do.

c. Cn c vo phng trnh chuyn ng:+ Dao ng tuyn tnh.

+ Dao ng phi tuyn.

d. Cn c vo dng chuyn ng:+ Dao ng dc.

+ Dao ng xon.

+ Dao ng un.

14

Chng 1DAO NG TUYN TNH CA H MT BC T DO

1.1. Dao ng t do khng cn.

1.2. Dao ng t do c cn.

1.3. Dao ng cng bc ca h chu kch ng iuha.

1.4. Dao ng cng bc ca h chu kch ng atn v chu kch ng tun hon.

1.5. Dao ng cng bc ca h chu kch ng btk.

15

1. Dao ng t do khng cn

1.1. Mt s v d.

Th d 1: Dao ng ca mt vt nng treo vo l xo.

m

c

x

V tr cb tnh0mx cx+ =&& Phng trnh dao ng:

(1)

16

Th d 2: Dao ng ca con lc ton hc. O

L

m

Phng trnh dao ng:

sin 0gl

+ =&&Xt dao ng nh:

0gl

+ =&& (2) Th d 3: Dao ng ca con lc vt l.

O

m, Jo

C

a Phng trnh dao ng:

sin 0o

mgaJ

+ =&&Xt dao ng nh:

(3)0o

mgaJ

+ =&&

17

Th d 4: Dao ng xon ca trc mang a trn.

C

J

Phng trnh dao ng:

0cJ

+ =&& (4)

Kt lun: Dng ca phng trnh dao ng t do ca hmt bc t do c dng chung l:

0mq cq+ =&& (5)

Trong q l ta suy rng.

18

1.2. Tnh ton dao ng t do khng cn.

Phng trnh vi phn chuyn ng ca c h mt bct do khng cn c dng:

2 0oq q+ =&& (6)Trong o l tn s dao ng ring.

iu kin u: to= 0 : 0( ) oq t q=0( ) oq t q=& &

(7)

0m q cq+ =&&Hay:

19

Nghim ca phng trnh vi phn (6) c dng:

1 2 sino oq C cos t C t = + (8)Trong C1 v C2 l cc hng s tu , c xc nht iu kin u (7).Cho nghim (8) tho mn iu kin u (7), ta xc nhc:

1 2, ooo

qC q C = =&

Vy :

sinoo o oo

qq q cos t t = +&

(9)

20

Nghim (9) cn c th vit di dng:

s in ( )oq A t = +Trong :

22 2 2

1 2o

oo

qA C C q = + = + &

1

2

oo

o

qCtgC q

= = &(11)

(10)

21

T biu thc (10) ta thy: dao ng t do khng cn cah mt bc t do c m t bi hm iu ho.

V vy, dao ng t do khng cn cn c gi l daong iu ho.

c trng:A :c gi l bin dao ng.

o :c gi l tn s ring.

ot + :c gi l pha dao ng.

:c gi l pha ban u.

T = 2/o :c gi l chu k dao ng.

22

Tnh cht chuyn ng:

9 Tn s ring v chu k dao ng khng ph thucvo cc iu kin u m ch ph thuc vo cc thams ca h.

9 Bin dao ng l hng s. Bin dao ng vpha ban u ca dao ng t do khng cn ph thucvo cc iu kin u v cc tham s ca h.

Ch : Vic xc nh tn s dao ng ring l nhim vquan trng nht ca bi ton dao ng t do.

23

2. Dao ng t do c cn

Trong phn ny chng ta kho st dao ng t do ca hc xt n nh hng ca lc cn.

Lc cn c xt y l lc cn nht t l bc nht vivn tc.

24

bc

q

M

Xt dao ng ca h m t trn hnh v.

Phng trnh vi phn chuyn ng ca c h cdng:

0m q b q c q+ + =&& & (1)Nu a vo cc k hiu:

2 , 2oc bm m

= = (2)Th phng trnh (1) c dng:

22 0oq q q + + =&& & (3)y l phng trnh vi phn cp 2 h s hng s.

25

Phng trnh vi phn (3) c phng trnh c trng:2 22 0o + + = (4)

Tu theo quan h gia v o, c th xy ra cctrng hp sau:

o < (lc cn nh) : 2 21,2 oi = o (lc cn ln) : 2 21,2 o =

Sau y ta s kho st tng trng hp trn.

26

trng hp th nht : o < (lc cn nh) :Nghim tng qut ca phng trnh vi phn dao ng(3) c dng:

1 2( ) ( sin )tq t e C cos t C t = + (5)

Trong :2 2o = (6)

Cc hng s C1 v C2 c xc nh t iu kin u:

0 : (0) , (0)o ot q q q q= = =& &

27

T cc iu kin u cho, ta xc nh c:

1 2, o ooq qC q C += = &

Nu a vo cc hng s:

2 2 11 2

2

, CA C C tgC

= + =Th biu thc nghim (5) c th vit di dng:

( ) s in ( )tq t A e t = + (7)

28

Tnh cht nghim:

9 Khi lc cn nh, h thc hin dao ng tt dn.9 lch gim theo lut s m, tim cn tikhng.

9 Dao ng c m t bi phng trnh (7) l daong h hnh sin.(hnh v)

tAe

29

c trng:

Chuyn ng ca c h c m t bi quy lutkhng tun hon, nhng to q li i du mt cchtun hon.

Quy c:2 2o = l tn s ring ca dao ng tt dn.

2 /T = l chu k ca dao ng tt dn.tAe l bin ca dao ng tt dn.

30

Ch :

c trng cho tt dn ca dao ng t do c cnnht, ta a vo khi nim tt Lga.

( )ln( )q t T

q t T = =+

tt Lga c trng cho gim bin ca daong tt dn.Ta cn xc nh tt Lga nh sau:

( )

( )( )

tkT

t kT

q t e eq t kT e

+= =+T : 1 ( )ln

( )q tT

k q t kT = = +

31

trng hp th hai : o > (lc cn ln) :Nghim tng qut ca phng trnh (3) c dng:

2 2( ) ( )t oq t Ae sh t = + (8)

ng biu din nghim q(t) ct trc t khng qu mtln ( th).

Do , chuyn ng ca h l chuyn ng tt dn, khng dao ng.

( )q t

t

0oq >&0oq =&

2o oq q

32

trng hp th ba : o = (lc cn ti hn) :Trong trng hp ny nghim ca phng trnh ctrng l cc s thc m v bng nhau. Nghim tngqut ca phng trnh (3) c dng:

1 2( ) ( )tq t e C t C= + (9)

Chuyn ng ca h l tt dn, khng dao ng.

33

Ch :

Trong mt s ti liu vit v Dao ng k thut, ngi tacn s dng khi nim cn Lehr. cn Lehr cxc nh bi:

2 2o o

b bDm mc

= = = (10)

Phng trnh vi phn dao ng t do c cn nht (3) cth vit li:

22 0o oq D q q + + =&& & (11)

34

Do:2 2 21o o D =

Nn chuyn ng ca h c phn thnh ba trnghp sau:

1 ( )oD < < : cn nh.1 ( )oD = = : cn ti hn.1 ( )oD > > : cn ln.

Mt khc, ta c quan h gia tt Lga v cnLehr:

22

1DTD

= =

35

O

b

c

a

a

m

V d: Gn mt khi lng m vo u thanh. Gn vo thanhcc phn t cn v n hi (hv). B qua khi lng cathanh.

- Phi chn ln ca h s cn b nh th no h cdao ng nh.

- Xc nh cn Lerh D cn thit sau mi dao ngbin gim cn 1/10 bin ca chu k u, sau xcnh chu k dao ng.

36

3. Dao ng cng bc ca hchu kch ng iu ha.

3.1. Mt s kch ng thng gp.

3.2. Dao ng cng bc khng cn.

3.3. Dao ng cng bc c cn.

37

Kch ng lc:

c b

my

F(t)

Phng trnh vi phn dao ng:

( ) sinmy b y c y F t F t+ + = = && &

3.1. Mt s kch ng thng gp.

38

Kch ng bi khi lng lch tm:

Phng trnh vi phn dao ng:

21 sinmy b y c y me t+ + = && &

Trong : 1om m m= +

c b

y mo

m1t

e

39

Kch ng bng lc n hi:

m

b

c1

xu(t)

co

Phng trnh vi phn chuyn ng:

( )o om x b x c x c u t c u sin t+ + = = && &1 oc c c= +Vi:

40

Kch ng ng hc:

c b

my

u(t)


( sin )m y b y c y u c t b cos t+ + = + && &Vi: ( ) sinu t u t=

41

Kch ng bng lc cn nht:

mb1

c

xu(t)

bo


om x b x c x b u cos t+ + = && &Vi: ( ) sinu t u t=

42

Kt lun:Qua cc v d trn ta thy: Phng trnh dao ngtuyn tnh ca h mt bc t do chu kch ng iuho c dng:

1 2sinmq bq cq H t H cos t+ + = + && &9 Phng trnh trn cn c th vit li di dng:

21 22 sinoq q q h t h cos t + + = + && &

Vi: 2 / , 2 / .o c m b m = =9 Hoc phng trnh VPC cn vit c di dng:

21 22 sino oq D q q h t h cos t + + = + && &

Trong :

2o

bDcm

= =

43

3.2. Dao ng cng bc khng cn

Phng trnh vi phn dao ng cng bc ca h mtbc t do c dng:

sinm q c q H t+ = && (1)Phng trnh trn cn c th vit li:

2 sinoq q h t+ = && (2)Trong :

2 ;oc Hhm m

= =

44

Nghim tng qut ca phng trnh (2) c dng:

1 2 2 2( ) sin sino oo

hq t C cos t C t t = + + (3)Cc hng s C1 v C2 c xc nh t iu kin u. Gi s iu kin u:

0 : (0) , (0)o ot q q q q= = =& &Cho nghim (3) tho mn iu kin u, ta c:

1 2 2 2; ( )o

oo o o

q hC q C = =

&

45

Nh vy, nghim (3) c dng:

2 2

2 2

( ) sin sin( )

sin

oo o o o

o o o

o

q hq t q cos t t t

h t

= + ++

&(4)

Nghim (4) gm hai thnh phn:

9 Ba s hng u tin biu th dao ng t do vi tns l tn s ring ca h.

9 S hng th t biu th dao ng cng bc vi tns l tn s ca lc kch ng.

46

Ch rng khi: 0o oq q= =& th nghim (4) c dng:2 2 2 2( ) sin sin( ) oo o o

h hq t t t = + (5)

S hng th nht ca (5) c gi l thnh phn daong t do ko theo.

Sau mt khong thi gian no , do nh hng ca lccn nn cc thnh phn m t dao ng t do ca h smt i h ch cn thc hin dao ng cng bc vitn s l tn s ca lc cng bc.

Giai on u cn tn ti c dao ng t do v dao ngcng bc c gi l giai on chuyn tip.

Giai on ch cn tn ti dao ng cng ca h cgi l giai on bnh n.

47

i vi giai on bnh n, quy lut dao ng ca h s l:

2 2 2*( ) sin sin(1 )o

h Hq t t tc = = (6)

Trong : / o = Ch : Tha s H/c chnh l dch chuyn gy ra bi lctnh H t vo vt dao ng.

i lng:

2

1( )1

V = biu th tc dng ng lc ca lc kch ng, v cgi l hm khuych i (h s ng lc)

48

Dng th ca V cho bi hnh sau:

1

1

V

0

Ta thy: khi t s /o dn n 1 th V v do daong cng bc tng ln nhanh chng v tin ti vcng khi = 0. Hin tng gi l hin tng cnghng.

Nh vy, hin tng cng hng l hin tng bin dao ng cng bc tng ln rt ln do tn s ca lckch ng trng vi tn s dao ng ring ca h.

49

Xt nghim (5) vi gi thit: o 2 2 2 2( ) sin sin( ) oo o o

h hq t t t = +

t :

(5)

2o = +trong l i lng v cng b.

Sau mt s php bin i, nghim (5) a v dng:sin( ) cos2h tq t t (7)

Do l mt v cng b nn hm sint bin thin chm, cn chu k ca n 2/ rt ln. Hin tng dao ngc cho bi (7) gi l hin tng phch.

50

th ca hm (7) cho bi hnh v sau:

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

t(s)

q

(

m

)

51

Xt trng hp ( 0)o Khi c th thay sint bng t trong nghim (7), v tac:

2 oo

htq cos t= (8)

Bin ht/2o tng ln v hn khi thi gian t tng.

Nh th, ngay trong phm vi l thuyt dao ng tuyn tnh khng cn, s tng bin ln v hn vng cnghng cng i hi phi c thi gian.

i vi cc my c thit k lm vic vng cnghng, khi tng vn tc ca my qua vng cng hngcn phi khn trng cho vt qua nhanh.

52

th ca nghim (8) cho bi hnh sau y:

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

t(s)

q

(

m

)

53

Kt lun: Khi tnh ton dao ng cng bc khng cnta cn phn ra 2 trng hp:

Trng hp xa cng hng ( ).

Trng hp gn cng hng ( ). Trong trnghp ny khi ta c hin tng phch, khi

ta c hin tng cng hng.

oo

2o = +o =

54

3.3. Dao ng cng bc c cn nht

Phng trnh vi phn dao ng trong trng hp ny:2

1 22 sinoq q q h t h cos t + + = + && & (1)Nghim ring ca phng trnh (1) c tm di dng:

* ( ) s inq t M t N co s t= + (2)Thay (2) vo (1) ta xc nh c:

2 21 2

2 2 2 2 2

( ) 2( ) 4

o

o

h hM + = +

2 21 2

2 2 2 2 2

2 ( )( ) 4

o

o

h hN + = +

(3)

55

Nghim tng qut ca phng trnh (1):

( ) sin( ) sintq t Ae t M t Ncos t = + + + (4)S hng th nht ca (4) biu din thnh phn dao ngt do tt dn. Hai s hng sau c tn s ca ngoi lcbiu din thnh phn dao ng cng bc ca h.Thnh phn dao ng cng bc (2) c th biu dindi dng:

* ( ) sin( )q t q t = + (5)Trong : 2 2

1 22 2

2 2 2 2 2

(1 ) 4o

h hq M N

D += + = +

/tg N M =vi: / , /o oD = =

56

Cc trng hp c th:

Trng hp kch ng lc hoc kch ng qua l xo:1/ 22 2 2 2

1 1 ( , ) ; (1 ) 4q V D y V D = = + (6) Trng hp kch ng ng hc:

2 22 2 1 ( , ) ; 1 4q V D y V D V = = + (7)

Trng hp kch ng bi khi lng lch tm:2

3 2 1 ( , ) ;q V D y V V = = (8)Cc hm V1, V2, V3 l cc hm khuych i (hay h sng lc).

57

Khi ta c nh cn D, cc hm V1, V2, V3 t cc iti cc gi tr sau ca n:

V1 t cc i khi:21 2D =

V2 t cc i khi:

2 211 8 1 22

D DD

= + V3 t cc i khi:

Nu: 1D

2

11 2D

=

58

th ca V1 vi cc gi tr D cho trc:

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

1

2

3

4

5

6

7

1V

0D =

0.1D =

0.2D =

0.4D =

2 / 2D =

59


0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

1

2

3

4

5

6

7

2V

0D =

0.1D =

0.2D =

0.4D =

2 / 2D =

60


0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

1

2

3

4

5

6

7

3V

0D =

0.1D =

0.2D =

0.4D =

2 / 2D =

61

4. Dao ng ca h chu kch ng tun hon

Gi s lc kch ng biu din bi mt hm tun honca t vi chu k T:

1( ) ( cos sin )o j j

jf t a a j t b j t

== + + (1)

Cc h s Fourier ao, aj, bj c xc nh nh sau:

0

1 ( )T

oa f t dtT=

0

2 ( ) cosT

ja f t j t dtT=

0

2 ( )sinT

jb f t j t dtT= 1j =

2T =

62

Phng trnh vi phn dao ng cng bc ca h mt bct do chu tc dng ca lc tun hon c dng:

2

1

12 ( cos sin )o o j jj

q q q a a j t b j tm

=

+ + = + + && & (2)Ta tm nghim ring ca phng trnh (2) di dng:

1*( ) ( cos sin )o j j

jq t A A j t B j t

== + + (3)

Th (3) vo (2), ta nhn c:

2o

oo

aAm=

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

( ) 2( ) 4o j j

jo

j b j aB

m j j + = +

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

( ) 2( ) 4o j j

jo

j a j bA

m j j = +

63

Nghim (3) cn c th vit di dng sau:

1*( ) sin( )o j j

jq t A C j t

== + + (4)

Nghim tng qut ca phng trnh (2) trong trng hplc cn nh c dng:

1( ) sin( ) sin( )t o j j

jq t Ae t A C j t

== + + + + (5)

Tnh cht nghim:

S hng th nht ca (5) biu din thnh phn dao ngt do tt dn.

Cc s hng cn li biu din thnh phn dao ngcng bc.

64

Trng hp: hai kch ng c tn s gn nhau:

Phng trnh vi phn ca h dao ng mt bc t do khng cn chu tc dng ca hai lc iu ho vi cc tns 1 v 2 c dng:

1 1 2 2 sin sinmq cq F t F t+ = + &&

p dng nguyn l cng tc dng, dao ng cng bcca h c dng:

1 1 2 2sin sinq A t A t= +

(1)

(2)Trong :

11 2

1

1A1

Fc = 22 2

2

1A1

Fc = (3)

65

Xt trng hp 1 v 2 kh gn nhau.

Do c im ny ta s biu din nghim (2) di dng:1 1 2 2( ) sin sinq t A t A t= + 1 2 1 2

1 2 1 2(sin sin ) (sin sin )2 2A A A At t t t+ = + +

1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2( ) os sin ( )sin os2 2 2 2A A c t t A A tc t + += + +

Ta a vo k hiu:1 2

1 1 2( ) ( ) os 2B t A A c t = +

1 22 1 2( ) ( )sin 2B t A A t =

1 2

2 =

66

Do 1 gn 2 nn B1(t), B2(t) l cc hm thay i chmtheo t.Nghim ca phng trnh (1) c vit di dng:

1 2( ) sin( ) sinq t A t B t B cos t= + = + Trong :

2 21 2A B B= + : Bin thay i chm theo thi gian.1 2

2 + = : Gi tr trung bnh ca hai tn s.

1

2

BarctgB

= : Pha thay i chm theo thi gian.

67

Nh th chuyn ng ca h c tnh cht iu ho vibin dao ng A l hm thay i theo thi gian. Chu kthay i theo thi gian l:

1 2

4aT

= V hiu s 1 2 nh nn chu k Ta c gi tr ln hn nhiu so vi chu k ca h:

1 2

4T = +

68

th dao ng biu th trn hnh v di y.

Hin tng dao ng nh hnh v ny gi l hin tngphch.

Nh vy, hin tng phch l hin tng bin daong thay i tun hon chm theo thi gian.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

t(s)

q

(

m

)

69

Hin tng phch y xut hin khi tn s kch ng 1kh gn tn s kch ng 2.

V phn trc ta cng thy: hin tng phch xut hinkhi tn s ca lc kch ng kh gn tn s ring oca h.

Tuy nhin, nu quan tm n lc cn th dao ng t do s tt dn, v do theo thi gian hin tng phch cng s mt i.(hnh v di):

0 50 100 150 200 250 300 350 400-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t(s)

q

(

m

)

70

5. Dao ng cng bc ca h chu kchng bt k

Gi s hm kch ng c biu din bi hm kh vi no , th phng trnh dao ng ca h c dng:

( )m q b q c q f t+ + =&& & (1)Bin i (1) v dng:

2 ( )2 ( )of tq q q g tm

+ + = =&& & (2)Nghim ca (2) gm : nghim ca phng trnh vi phn thun nht tng ng v mt nghim ring can.

71

Nghim thun nht: trong trng hp cn nh, nghimca phng trnh vi phn thun nht c dng:

1 2( ) sin( ) ( sin )t tq t Ae t e C cos t C t = + = + (3)

Nghim (3) cn c th vit di dng:

1 1 2 2( ) ( ) ( )q t C q t C q t= + (4)Trong :

1 ( ) os ttq t e c =

2 ( ) sin ttq t e =

72

Phng php bin thin hng s Lagrange:

Tm nghim ca (2) di dng tng t(4) nhng C1 vC2 l hm ca thi gian:

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )q t C t q t C t q t= + (5)o hm (5) theo thi gian ta c:

1 1 2 2 1 1 2 2( )q t C q C q C q C q= + + +& && & & (6)Nu ta a vo iu kin:

1 1 2 2 0C q C q+ =& & (7)Th biu thc (6) c dng:

1 1 2 2( )q t C q C q= +& & & (8)

73

o hm biu thc (8) theo thi gian, ta c:

1 1 2 2 1 1 2 2( )q t C q C q C q C q= + + +& &&& & & && && (9)Th (5), (8) v (9) vo (2) ta nhn c phng trnh:

1 1 2 2 ( )C q C q g t+ =& && & (10)T (7) v (10) ta c h:

1 1 2 2 ( )C q C q g t+ =& && &1 1 2 2 0C q C q+ =& &

Gii h ny: 21

1 2 1 2

( )qC g tq q q q

= &

& &1

21 2 1 2

( )qC g tq q q q

= &

& &

(11)

74

Th cc biu thc

1 ( ) os ttq t e c = 2 ( ) sin ttq t e =

vo (11) ta c:

v

11 sin ( )tC e t g t = &

21 os t ( )tC e c g t =&

(12)

Tch phn (12) ta c:

10

1( ) sin ( )t

C t A e g d = 2

0

1( ) ( )t

C t B e cos g d = + (13)

75

Th biu thc (12) ny vo (5) ta c nghim tng qutca (2):

( )

0

( ) ( sin )

1 sin ( ) ( )

t

tt

q t e Acos t B t

e t g d

= + ++

(14)

Biu thc nghim (14) c hai thnh phn:

Thnh phn:( ) ( sin )thq t e Acos t B t

= + (15)l nghim ca phng trnh thun nht tng ng.

76

Thnh phn:( )

0

1( ) sin ( ) ( )t

trq t e t g d

= (16)

l nghim ring ca phng trnh (2).

Cc hng s A v B trong nghim (14) c xc nh tiu kin ban u.Gi s iu kin u:

(0) ; (0)o oq q q q= =& & Ta xc nh c:

1; ( )o o oA q B q q= = +&

77

Cui cng ta c biu thc nghim tng qut ca phng trnh vi phn (2):

( )

0

1( ) ( ( ) sin )

1 sin ( ) ( )

to o o

tt

q t e q cos t q q t

e t g d

= + + +

+ &

(17)

78

1. Thnh lp phng trnh vi phn dao ng


3. Dao ng t do c cn

4. Dao ng cng bc

Chng 2

DAO NG TUYN TNH CA H

NHIU BC T DO

79

Gii hn: trong chng ny, ch xt h c hc chulin kt hlnm, l tng; h n bc t do cn n to suy rng c lp H dao ng l h n phng trnhvi phn cp 2 h s hng s.

80

1. Thnh lp phng trnh VPC

A. S dng phng trnh Lagrange II

i vi h Hlnm, c n bc t do, xc nh bi cc to suy rng c lp q1, q2,..., qn, phng trnh Lagrange II c dng:

; 1ii i

d T T Q i ndt q q = = &

81

Nu cc lc tc dng ln h ch l lc c th:

0 ; 1i i

d L L i nd t q q

= = &

L l hm Lagrange : L T=

82

Nu cc lc tc dng ln h bao gm c lc c th vlc cn nht:

; 1i ii i i i

d T T Q Q i ndt q q q q

= + = = & &

Trong : - L th nng; - L hm hao tnPhng trnh trn cn c dng:

0; 1i i i

d L L i ndt q q q + = = & &

83

Nu cc lc tc dng ln h ngoi cc lc c th vlc cn nht cn c cc ngoi lc khc (lc kch

ng) ph thuc vo thi gian t:

; 1Pii i i i

d T T Q i ndt q q q q = + = & &

PiQ : L lc suy rng ng vi cc lc hot ng.

84

B. S dng phng php lc (S)

Phng php ny thng s dng lp phng trnh vi phn chuyn ng cho h c hc c dng dm, khung,

85


a. Cc tn s ring v cc dng dao ng ring.

b. Tnh cht trc giao ca cc vct ring.

c. Cc to chnh.

d. Cc to chun.

86

a. Cc tn s ring v cc dng daong ring

Phng trnh vi phn m t dao ng t do khng cnca h n bc t do c dng:

0M q C q+ =&& (1)Trong M v C l cc ma trn vung cp n c cc phnt l hng s.

M l ma trn khi lng; C l ma trn cng.

87

Ta tm nghim ca phng trnh (1) di dng:

sin( )q a t = +

(3)

Th (2) vo (1), bin i ta nhn c phng trnh:

( )2 0C M a = cho phng trnh STT (3) c nghim khng tmthng, iu kin cn l:

2 0C M =

(2)

(4)

88

Phng trnh (4) l phng trnh i s bc n i vi 2v c gi l phng trnh tn s hoc phng trnhc trng.

Cc nghim k (k = 1, 2,n) ca phng trnh ctrng c gi l cc tn s ring.

Thay ln lt cc gi tr ca k (k = 1, 2,n) vophng trnh (3) ta nhn c cc h phng trnh is tuyn tnh thun nht xc nh cc thnh phn cavect ak

( )2 0k kC M a =Cc vect ak ny c gi l cc vect ring.

(5)

89

Ch : Cc thnh phn ca vect ak c xc nh saikhc nhau mt hng s nhn. Chng hn ta c thchn a1k mt cch tu .

Ta a vo k hiu:

1

ikik

k

ava

= hoc( )

( )( )1

kk i

i k

ava

= vi , 1i k n=

90

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...... ... ... ...

...

n

n

n n nn

v v vv v v

V

v v v

=

Ln lt thay cc 1, 2,...., n vo phng trnh (5), ta xc nh c ma trn:

Mi vect ct ca ma trn V:

[ ] ( ) ( ) ( )1 2 1 2... ... TT k k kk k k nk nv v v v v v v = = Cho ta bit mt dng dao ng ring ca h dao ng. Ma trn V c gi l ma trn dng ring (Modalmatrix)

91

Xt trng hp h hai bc t do. Khi PTVP dao ngt do khng cn c dng:

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

00

m m q c c qm m q c c q + =

&&&&

Phng trnh c trng:

2 211 11 12 12

2 221 21 22 22

0c m c mc m c m

=

(6)

(7)

92

Khai trin nh thc cp hai (7) ta c:2 2

11 11 22 222 2

12 12 21 21

( )( )

( )( ) 0

c m c mc m c m

=

a vo k hiu : ( ) ( )2 1/i i

iv a a= Th ta c:2 2

11 11 12 12( ) ( ) 0; 1,2ic m v c m i + = =2 2

21 21 22 22( ) ( ) 0; 1,2ic m v c m i + = =Hoc

Ta c:

1 2

1 1V

v v =

93

b. Tnh cht trc giao ca ccvect ring

Xt phng trnh dao ng t do khng cn ca h n bct do:

0M q C q+ =&&Nu cc ma trn khi lng M v ma trn cng C lcc ma trn thc, i xng th cc vect ring vk tngng vi cc tn s ring k s trc giao vi ma trn khilng M v ma trn cng C. Ta c:

0;Tj iv M v = 0;Tj iv C v = i jkh i

94

c. Cc to chnhMc ch: S dng to chnh thu c phng trnhdao ng ca h c dng n gin hn.Phng trnh vi phn dao ng ca h n bc t do c dng:

0M q C q+ =&&y l h n phng trnh vi phn cp 2 m cc to suyrng c lin kt vi nhau (cc phng trnh hon ton khngc lp vi nhau).

c mt h dao ng n gin hn, ngi ta thngthay to suy rng q bng to suy rng p, chng hnsao cho h phng trnh vi phn chuyn ng i vi to mi p s gm n phng trnh vi phn c lp nhau honton. Trng hp ny, p c gi l to chnh ca c h.

(1)

95

Thc hin php i bin:

q Vp= (2)Th (2) vo (1) ta c:

0M V p C V p+ =&&Nhn c hai v ca phng trnh trn vi VT ta c:

0T TV M V p V CV p+ =&& (3)

96

Do tnh cht trc giao, nn:1

2

0 ... 00 ... 00 0 ... 00 0 0

T

n

V M V

=

1

2

0 ... 00 ... 00 0 ... 00 0 0

T

n

V CV

= Do vy phng trnh (3) c dng:

0 ; 1i i i ip p i n + = = && (4)Trong :

; ; 1T Ti i i i i iv M v v Cv i n = = = Nu t: 2 i

ii

=Th cc phng trnh (4) a v dng:

2 0; 1i i ip p i n+ = = && (5)

97

V d 1: Cho c h nh hnh v, bit m1= m2=m; c1= c2= c3= c

m1 m2c1 c2 c3

q1 q2

1. Thnh lp phng trnh vi phn chuyn ng.

2. Tm tn s dao ng ring v ma trn dng ring V.

3. Tm quy lut chuyn ng ca c h.

98

V d 1: Mt h hai con lc c chiu di mi thanh l l, khi lngmi vt im l m. Hai thanh c ni vi nhau bng l xo c hs cng l c, v tr cch trc quay mt on l d. di ca l xo trng thi khng bin dng bng khong gia hai trc con lc. Bqua khi lng ca thanh, l xo v b qua lc cn.

a. Xc nh cc to chnh ca h. b. Xc nh dao ng t do ca h vi iu kin u:

1 0 2

1 2

(0) , (0) 0(0) 0, (0) 0

= == =& &

ld 21

99

V d 2: M hnh dao ng ngang ca to nh 3 tng. Xem rngkhi lng ca cc tng bng nhau m1 = m2 = m3 = m = 262,69.103 kg. cng un ca cc bc tng cc tng l c1 = 3c, c2 = 2c, c3 = c = 88,56.106N/m. Xc nh cc tn s ring v cc dng dao ng ring ca c h.

x1

x2

x3

C1/2 C1/2

C2/2

C3/2 C3/2

C2/2

100

d. Cc to chunNh bit, bng php th q = V p ( V l ma trn dngring, p l vect cc to chnh) ta c th a phng trnh vi phn dao ng :

0M q C q+ =&&v dng v tch ri nhau:

0 ; 1i i i ip p i n + = = &&Trong :

;T Ti i i i i iv M v v C v = =

101

Do cc phn t ca vect vi ca ma trn V c xcnh sai khc nhau mt hng s nhn, cho nn ta cth chn cc vect vi mt cch thch hp sao cho:

1 0 ... 00 1 ... 00 0 ... 00 0 ... 1

TV MV E

= = Ma trn dng ring c chn nh vy c gi l ma trn dng ring chun. Ta k hiu ma trn dng ringchun bng Vn. Ta c:

21

22

2

0 ... 00 ... 00 0 ... 00 0 ...

Tn n

n

V C V D

= =

Tn nV M V E=

102

Bng php th q = Vn p ta c th a phng trnh daong ban u v:

0E p D p+ =&&Cc to chnh p = [p1, p2,......, pn]T trong php th:

q = Vn p c gi l cc to chun.

To chun l cc to chnh c bit.Nu ta bit c ma trn dng ring:

T1 2 n[v , v , . . . . . , v ]V =

Th ma trn dng ring chun c xc nh bi:T

1 2 n1 2

1 1 1[ v , v , . . . . . , v ]nn

V =Trong :

Ti i i iv M v = =

103

3. Dao ng t do c cn

a. Phng php trc tip

b. Phng php ma trn dng ring

104

a. Phng php trc tip

Phng trnh vi phn dao ng t do c lc cn t l vivn tc ca h n bc t do c dng:

0Mq Bq Cq+ + =&& & (1)Ta tm nghim ca phng trnh (1) di dng:

( ) tq t q e=q L vect hng.

(2)

105

Th biu thc (2) vo (1), ri n gin ta c:( )2 0M B C q + + = (3) cho cc phn t ca vect q khng ng thi trit tiu th:

( )2( ) det 0P M B C = + + = (4)Phng trnh (4) c gi l phng trnh c trng.

Khi M l ma trn chnh qui: ( )det 0M = , th P() l a thcbc 2n ca .

Gii phng trnh (4) ta c 2n nghim thc hoc phclin hp.

106

Ta xt trng hp, phng trnh c trng (4) cnghim dng:

, , 1k k k k n k ki i k n += + = = Th trng hp ny c gi l trng hp cn yu.

Ta t: , ,k k k k n k kq u i v q u i v+= + =

Nghim tng ng vi cp tr ring k v k+n c dng:

( ) ( ) ( ) k k nt tk k k k k k kq t C e u i v D e u i v += + + Vi ,k kC D l cc hng s phc.

(5)

107

Nu ta a vo cc hng s tch phn mi:( ),k k k k k kC C D D i C D= + = Th biu thc (5) c dng:

[ ] ( ) ( ) ( )sinktk k k k k k k k k k kq t e C u D v cos t D u C v t = + + Nghim tng qut ca phng trnh (1) c dng:

1( ) ( )

n

kk

q t q t=

= Ch : ,k ku v ni chung khng t l vi nhau nn ccto ca vct qk c pha khc nhau.

108


Trong mt vi bi ton k thut, ma trn B c th biudin di dng:

B M C = +Trong v l cc hng s. Ma trn B c dng (1) c gi l ma trn cn Rayleigh.

Biu thc (1) c khi c vit di dng:

(1)

B M C = +Trong l mt tn s qui chiu tu c a vo v l cc i lng khng th nguyn.

109

Bng php bin i q = V p, vi V l ma trn dng ring, ta a phng trnh (1) v dng:

0; 1i i i i i ip p p i n + + = = && & (2)Trong :

; ;T T Ti i i i i i i i iv Mv v Bv v Cv = = =Nghim ca phng trnh (2) c kho st trongchng 2

110

4. Dao ng cng bc

a. Phng php gii trc tip


111

a. Phng php gii trc tip

Dao ng cng bc khng cn chukch ng iu ho.

Dao ng cng bc c cn chu kchng tun hon.

112

Dao ng cng bc khng cnchu kch ng iu ho

Dao ng tuyn tnh cng bc khng cn ca h n bct do chu kch ng iu ho c dng:

sinMq Cq f t+ = && (1) ch chuyn ng bnh n, ta tm nghim ca phng trnh (1) di dng:

( ) sinq t u t= (2)

113

Th (2) vo (1) ta c:

( )2 ( )M C u f u H f + = = (3)Trong :

( ) 12( )H M C = +v c gi l ma trn truyn.

114

c c bng cch thay vo ct th k ca .

Ta thy khi

Gii h phng trnh (3), ta c:

( )( )( )k

ku = (4)

Trong :2( ) det( )M C = + (5)

( )k f( ) 0 = , 1j j n = =

115

Cc trng hp c th xy ra:

Trng hp 1: ( ) 0, ( ) 0k = Khi tn s lc kch ng trng vi mt trong cc tns dao ng ring. Bin dao ng tng ln v cng. Trng hp ny c gi l trng hp cng hng.

116

Trng hp 2: ( ) 0, j = =

Trng hp ny mc d tn s lc kch ng trng vitn s ring, nhng bin dao ng vn b gii ni. Trng hp ny c gi l trng hp gi cng hng.

( )( ) 0 , lim( )jk

k k = <

117

Trng hp 3: ( ) 0, ( ) 0k =

Trong trng hp ny uk = 0. Dao ng ng vi to th k b dp tt.

vi k xc nh.

118

Dao ng cng bc c cn chukch ng tun hon

Dao ng cng bc c cn nht ca h tuyn tnh nbc t do c dng:

( )M q Bq C q f t+ + =&& & (1)Gi s f(t) tun hon theo thi gian v c th khai trinthnh chui Fourier mt cch gn ng:

( )1

( ) cos sinm

o k kk

f t a a k t b k t=

= + + (2)

119

S dng nguyn l cng tc dng tm nghim.

Trc ht ta tm nghim ca phng trnh:

o o o oM q Bq Cq a+ + =&& &di dng: o oq v=t hai phng trnh trn ta suy ra: o oCv a= (3)

120

Sau ta tm nghim ca phng trnh:

cos sink k k k kM q Bq Cq a k t b k t+ + = + && & (4)Nghim ca phng trnh (4) c tm di dng:

sin cosk k kq u k t v k t= + T nghim trn ta c:

( )( )2 2

sin

sin cosk k k

k k k

q k u cosk t v k t

q k u k t v k t

= = +

&&&

121

Th cc biu thc tm c vo phng trnh (4), ri so snh h s, ta nhn c h phng trnh i s tuyntnh xc nh cc vect uk v vk:

2 2

2 2k k

k k

u aC k M k Bv bk B C k M

= (5)

Khi nh thc ca ma trn h s ca h phng trnhtrn khc khng, th cc vect uk v vk c xc nhduy nht.

Nh th nghim ca phng trnh dao ng cng bc(1) l:

( )1

( ) sinm

o k kk

q t v u k t v cosk t=

= + + (6)

122


Dao ng cng bc khng cn.

Dao ng cng bc c cn.

123

Dao ng cng bc khng cnPhng php ma trn dng ring (Modalmatrix) c pdng rt thun tin i vi h khng cn:

( )Mq Cq f t+ =&& (1)Trong M v C l cc ma trn thc, i xng.

p dng php bin i to :

q V p= (2)vi V l ma trn dng ring, p l vect cc to chnh.

124

Thay (2) vo (1) ta c:

( )MV p CV p f t+ =&&Suy ra:

( )T T TV M V p V CV p V f t+ =&& (3)Cc ma trn TV M V v TV CV c dng ng cho

Nu a vo k hiu: ( ) , 1Ti ih v f t i n= = Th phng trnh (3) c th vit di dng:

1i i ip p h i n + = = && (4)

125

Nghim ca mi phng trnh (4) ng vi iu kinu:

0 0(0) ; (0)i i i ip p p p= =& &c dng:

00

0

( ) sin

1 ( ) sin ( )

ii i i i

it

i ii i

pp t p cos t t

h t d

= + +

+

&

(5)

Vi:2 ii

i

=

126

i vi trng hp kch ng iu ho

( ) sini if t f t= Th:

1

( ) sin sinn

i ki k ik

h t v f t h t=

= = Phng trnh dao ng trong trng hp ny:

sin 1i i i i ip p h t i n + = = && (6)

127

Nghim ca cc phng trnh (6) trong giai on bnhn l:

2

2

( ) s in

(1 )

ii

ii

hp t t

= Tr li to qk:

21 1

2

( ) sin

(1 )

n nki i

k ki ii i

ii

v hq t v p t

= == =

Ta thy khi bng tn s ring i th xy ra hin tngcng hng.

128

Trong k thut ta hay gp trng hp:

( )M q B q C q f t+ + =&& & (1)Phng trnh vi phn dao ng cng bc ca h l:

B M C = +Bng cc php bin i tng t nh trn ta a (1) vdng:

( ) 1i i i i i i ip p p h t i n + + = = && & (2)Phng trnh ny c nghin cu k trong cc phntrn.

Dao ng cng bc c cn

129

3.2. Dao ng cng bc khng cn3.3. Dao ng cng bc c cn nht4. Dao ng ca h chu kch ng tun hon Trng hp: hai kch ng c tn s gn nhau:5. Dao ng cng bc ca h chu kch ng bt k1. Thnh lp phng trnh VPC2. Dao ng t do khng cna. Cc tn s ring v cc dng dao ng ring b. Tnh cht trc giao ca cc vect ringc. Cc to chnhd. Cc to chun3. Dao ng t do c cna. Phng php trc tipb. Phng php ma trn dng ring4. Dao ng cng bca. Phng php gii trc tipDao ng cng bc khng cn chu kch ng iu hoDao ng cng bc c cn chu kch ng tun honb. Phng php ma trn dng ringDao ng cng bc khng cn

bÀi giẢng dao ĐỘng kỸ thuẬt - nguyỄn vĂn khang

Documents