Bi tp n i tuyn IMO nm 2014

Nguyn Vn Linh

S 2

Bi 1. Cho hai ng trn (O1) v (O2) cng tip xc trong vi ng trn (O) ln lt ti A,B. TA k hai tip tuyn t1, t2 ti (O2), t B k hai tip tuyn l1, l2 ti (O1) sao cho t1 v l1 nm cng mtpha vi ng thng AB. Gi X,Y ln lt l giao im ca t1 v l1, t2 v l2. Chng minh rng tgic AXBY ngoi tip.

L

I

Y

X

O

A

O1

B

O2

Chng minh. Trc tin ta pht biu v khng chng minh mt b quen thuc.

B 1. (nh l Monge-DAlembert). Cho ba ng trn C1(O1, R1), C2(O2, R2), C3(O3, R3) phnbit trn mt phng. Khi tm v t ngoi ca cc cp ng trn (C1, C2), (C2, C3), (C3, C1) cngthuc mt ng thng. Hai tm v t trong ca hai trong ba cp ng trn trn v tm v t ngoica cp ng trn cn li cng thuc mt ng thng.

Tr li bi ton.Gi O1, O2, O ln lt l tm ca , , . AO2 giao BO1 ti I. Gi 1 l ng trn tm I v tip

xc vi AX,AY ; 2 l ng trn tm I v tip xc vi BX,BY . OI giao AB ti L.p dng b trn cho 3 ng trn , , 1 ta c A l tm v t ngoi ca 1 v , B l tm v

t ngoi ca v , suy ra tm v t ngoi ca 1 v nm trn AB hay L l tm v t ngoi ca1 v .

Chng minh tng t L cng l tm v t ngoi ca 2 v . T 1 2 hay t gic AXBYngoi tip.

Bi 2. Vi k hiu nh bi 1, gi M,N ln lt l giao ca AX,AY vi (O1), P,Q ln lt l giaoca BX,BY vi (O2). Gi (I1), (I2) ln lt l ng trn mixtilinear incircle ng vi nh A v Bca cc tam gic AMN v BPQ. Chng minh rng (I1) v (I2) c cng bn knh.

1

TY

X

I

K HI2

I1

N

M

Q

P

O

AB

O1

O2

Chng minh. Gi K,H ln lt l tip im ca (I1) vi (O1), (I2) vi (O2); T l giao ca O1O2 viAB . p dng nh l Monge-DAlembert cho 3 ng trn (O1), (I1), (I) suy ra A,K,B thng hng.Tng t suy ra A,K,H,B thng hng.

Theo bi 1 th t gic AXBY ngoi tip ng trn (I). Do R(I1) = R(I2) khi v ch khiI1I2 AB.

iu ny tng ngII2I2B

=II1I1A

. (1)

Theo nh l Menelaus,II2I2B

HBHA

O2AO2I

= 1 suy raII2I2B

=HA

HB O2IO2A

=OO2O2B

O2IO2A

.

Tng t,II2I1A

=OO1O1A

O1IO1B

.

Nh vy (1) tng ngOO2O2B

O2IO2A

=OO1O1A

O1IO1B

.

HayOO2O2B

O1AOO1

=O1I

O1B O2AO2I

, ng v cng bngTA

TB.

Bi ton c chng minh.

Bi 3. Cho t gic ABCD ni tip ng trn (O). AC giao BD ti E. Gi (I) l ng trn tipxc vi tia EA,ED v tip xc trong vi (O) ti L. M l im bt k trn cung AD khng cha B,C.Gi I1, I2 l tm ng trn ni tip ca cc tam gic MAC,MBD. Chng minh rng I1, I2,M,Lcng thuc mt ng trn.

2

HK

N

P

I1

I2

L

I

E

O

C

A

B

D

M

Chng minh. Gi K,H ln lt l tip im ca (I) vi AC,BD. KL,HL giao (O) ln th hai tiP,N th P,N l im chnh gia cc cung AC,BD. Do M, I1, P v M, I2, N.

Bng php cng gc n gin suy ra PN vung gc vi phn gic AED hay PN KH.T

PK

PL=NH

NLhay

PK.PL

PL2=NH.NL

NL2

Suy raPA2

PL2=ND2

NL2hay

PI1PL

=NI2NL

.

Ta thu c 4LPI1 4LNI2 (c.g.c), do LI1P = LI2N hay L, I1, I2,M cng thuc mtng trn.

Bi 4. Cho tam gic ABC ni tip ng trn (O). L l im bt k trn cung BC khng cha A.Chng minh rng ng trn A-mixtilinear ni tip ca tam gic ABC, cc ng trn L-mixtilinearni tip ca cc tam gic LAB,LAC c chung mt tip tuyn.

Q

I2

I

K

NF

EM

R

J2

J1

I1J

O

A

B C

L

Chng minh. Gi (J), (J1), (J2) ln lt l cc ng trnA-mixtilinear ni tip ca tam gicABC, ccng trn L-mixtilinear ni tip ca cc tam gic LAB,LAC; l l tip tuyn chung ca (J1) v (J2),

3

ct (O) ti E v F. Gi I, I1, I2 ln lt l tm ng trn ni tip ca cc tam gic LEF,LAB,LAC.Gi M,N l tip im ca (J1), (J2) vi l, R l tip im ca (J1) vi AL.

Theo nh l Sawayama-Thebault, I nm trn J1J2 v MR, I1R J1L. D thy MIN = 90.Gi Q l giao im th hai ca ng trn ng knh MN vi J1J2.Do J1M l tip tuyn ca (MN) nn J1I1.J1L = J1R2 = J1M2 = J1Q.J1I.Suy ra I1 nm trn (QIL).Tng t I2 cng nm trn (QIL). Tc l I, I1, I2, L cng thuc mt ng trn.Gi K l tip im ca (J) vi (O). p dng bi ton 3 cho t gic AABC suy ra I1, I2, L,K cng

thuc mt ng trn.Do li p dng bi ton 3 cho t gic AFCE ta c (LII2) i qua tip im K ca ng trn

tip xc vi EF,AC v (O). M qua im K ch c duy nht mt ng trn tip xc vi AC v tipxc trong vi (O), suy ra (J) tip xc vi EF . Ta c pcm.

Bi 5. Cho hai ng trn (O1) v (O2) giao nhau ti hai im A,B. Gi M l im chnh gia cungAB ca (O1) sao cho M nm trong (O2). Dy cung MP ca (O1) ct (O2) ti Q sao cho Q nm trong(O1). Gi l1, l2 ln lt l tip tuyn ca (O1) ti P v (O2) ti Q. Chng minh rng tam gic to bigiao im ca cc ng thng l1, l2, AB tip xc vi (O2). (APMO 2014)

Chng minh. Cch 1.

N

I

YZ

X

S

TQ

M

B

O1 O2

A

P

Gi T l giao ca PM v AB, S l giao im th hai ca PM vi (O2). X,Y, Z ln lt l giaoca cc cp ng thng (AB, l2), (l1, l2), (AB, l1). ZS ct (O2) ti N.

Ta c PY l tip tuyn ca (O1) nn Y PM = PAM = PTZ. Suy ra ZP = ZT.Do Z thuc trc ng phng ca (O1) v (O2) nn ZT 2 = ZP 2 = ZN.ZS hay ZT l tip tuyn

ca (TNS).Ta thu c XTN = QSN = XQN hay N (XQT ).Li c TNS = ATS = TPZ nn N (TPZ). Suy ra N l im Miquel ca t gic ton phn

PTZQXY hay N (XY Z).Gi I l tm ca (XY Z). Ta c ZNI = 90NY Z = 90NTS = O2NS, suy ra O2, N, I

thng hng. T c pcm.Cch 2.

4

ZX

Y

NQ

M

B

O2O1

A

P

Gi N l giao ca PM v AB, X,Y, Z c xc nh nh hnh v.p dng nh l Casey cho 4 ng trn (O2), (X, 0), (Y, 0), (Z, 0) ta c (XY Z) tip xc vi (O2)

khi v ch khiXP.Y Z = XY.QZ +QY.XZ. (1)Ch rng XP = XN . p dng nh l Menelaus cho tam gic XY Z vi ng thng (P,Q,N)

suy raPX

PZ QZQY NYNX

= 1.

HayQZ

QY NX XYPX +XZ

= 1, tng ng vi (1). Ta c pcm.

Bi 6. Cho ng trn (O) ngoi tip tam gic ABC. Mt ng trn tip xc vi cc cnh AB,ACln lt ti L,K v tip xc ngoi vi (BOC). Chng minh rng LK chia i AI vi I l tm ngtrn ni tip tam gic ABC.

K

L

N

M

IE

O

A

B C

Chng minh. Gi E l giao im th hai ca AC vi (BOC). Ta c BEA = 180 BEC =180 BOC = 180 2BAC.

Do tam gic AEB cn ti E. Suy ra OE l trung trc ca on thng AB v OE giao CI tiim chnh gia M ca cung AB.

5

Do l ng trn Thebault ca tam gic BEC ng vi ng thng BA v M l tm ngtrn bng tip gc C ca tam gic BEC nn M,L,K thng hng.

Tng t gi N l im chnh gia cung AC th N,L,K thng hng. M MN l trung trc caon thng AI nn LK chia i AI.

Bi 7. (All-Russian MO 2013). Cho tam gic ABC ni tip ng trn (O), ngoi tip ng trn(I). Gi X,Y l giao im ca (BIC) v (I), Z l tm v t ngoi ca (I) v (BIC). Chng minh rng(XY Z) tip xc vi (O).

Chng minh. Cch 1.

M

L

N

H

T

K

Y

X

Z

F

I

O

A

B C

Gi F l giao ca AI vi (O), T l tm v t trong ca (O) v (I), K l tm ca (XY Z).

Ta cZI

ZF=

TI

TF=

r

R=

Y I

Y F=

XI

XFnn X,Y, Z, T cng nm trn ng trn Apollonius ca

on thng EF ng vi t sr

R, ni cch khc l ng trn Apollonius ca tam gic IY F.

Tm K ca (XY ZT ) l giao ca tip tuyn ti Y ca (IY F ) vi IF . Suy ra KY I = IFY.Ta thu c KY F + IY F = IFY + 2IY F = 180, suy ra Y F l phn gic ngoi KY I.Ngha l

FI

FK=IY

KIhay F l tm v t ngoi ca (I) v (XY Z).

K tip tuyn FN,FH ti (XY Z), FN,FH ln lt ct (O) ti L,M.Do (ZTIF ) = 1 nn theo h thc Newton ta c KN2 = KT 2 = KI.KF , suy ra I l hnh chiu

ca N trn KF , ngha l I l trung im NH.Theo nh l Poncelet, (I) l ng trn ni tip tam gic LFM nn p dng b Sawayama

suy ra (XY Z) l ng trn mixtilinear ni tip ca tam gic FLM , hay (XY Z) tip xc vi (O).Cch 2.

6

JT

X

Y

Z

F

I

O

A

B C

Gi T l giao ca on thng IF vi (I), J l im i xng vi I qua F.

Ta cZT

ZJ=

r

R=ZI

ZF.

Suy ra ZT.ZF = ZJ.ZI. Theo h thc Maclaurin ta thu c (ZTIJ) = 1.T theo h thc Newton, FI2 = FT.FZ.Xt php nghch o IR2F : (ABC) 7 BC,X 7 X,Y 7 Y,Z 7 T.Do (XY Z) 7 (I) v do (I) tip xc vi BC nn (XY Z) tip xc vi (O).

Bi 8. Cho tam gic ABC ni tip ng trn (O), ngoi tip ng trn (I). Mt ng trn iqua I v tip xc vi (O) ct cc on thng IB, IC ln lt ti J1, J2. Gi (J1), (J2) l cc ngtrn tm J1, J2 v tip xc vi cc cp cnh BA,BC v CA,CB. Chng minh rng , (J1), (J2) cchung mt tip tuyn.

J3

Z

Y

J1

J2

I

A

B C

Chng minh. Bi ton l h qu ca Mathley 3-P4.Gi giao im ca tip tuyn chung ngoi khc BC ca (J1) v (J2) vi AC,AB ln lt l Y, Z.

7

ZJ1 giao Y J2 ti J3, ta c J3 l tm ng trn bng tip gc A ca tam gic AY Z, suy ra

J2J3J1 = 90 12BAC = 180 J2IJ1.

Do J3 (J1J2I).T p dng bi ton Mathley 3-P4 cho tam gic J1J2J3 ta c J3A, J1B, J2C giao nhau ti I

nm trn (J1J2J3), (ABC) tip xc vi (J1J2J3), ng thng i xng vi AB qua J3J1, vi AC quaJ3J2 u l Y Z nn Y Z l tip tuyn ca (J1J2J3). Ta c pcm.

8