TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

KHOA TOÁN – TIN

SÁCH GIAO BÀI TẬP

Tên học phần: GIẢI TÍCH A2 (MATHEMATICAL ANALYSIS A2)

Chương 1: Tôpô và hàm liên tục trên Rn

Bài 1: 1) Giả sử d(x, y) là một mêtric trên X, nếu đặt

, , .

Chứng minh d1, d2, d3 cũng là mêtric trên X.2) Cho các hàm xác định trên R. Chứng minh là khoảng cách trên R và không là khoảng cách trên R.

Bài 2: 1) Cho tập A = . Xác định

ĐS. , , ,

2) Cho tập hợp . Xác định

ĐS. , , ,

3) Trong không gian R cho tập hợp A ={ : n = 1,2,..} [2,3]. Xác định

ĐS. , , ,

4) Cho tập A= trong R. Xác định ĐS. , , , 5) Cho tập A = trong . Xác định

ĐS. , ĐS. ,

.6) Cho tập A= trong R. Xác định ĐS. , , ,

7) Trong không gian R cho tập hợp A ={ : n = 1,2,..} [2,4]. Xác định

ĐS. , , ,

Bài 3: Tính giới hạn:

1) ĐS.e

2) ĐS.1

3) ĐS.e1/2

4) ĐS.0

5)

6)

Bài 4: Xét tính liên tục của các hàm số sau

1) .

ĐS.miền liên tục của f là bỏ đi hai tục tọa độ và miền liên tục của g là

2) ĐS.

3) .

4) .

ĐS.miền liên tục của f và g là .

5)

6)

7) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm (0, 0):

8) Cho hàm số . Chứng minh hàm liên tục

theo từng biến riêng biệt tại (0,0).Bài 5: 1) Xét tính liên tục đều của các hàm số trên R2.ĐS.f liên tục đều trên và g không liên tục đều trên

2) Cho các hàm số xác định trên miền

. Chứng minh f liên tục đều trên G và g không liên tục đều trên G.3) Xét tính liên tục đều của các hàm số trên R2.ĐS.f liên tục đều trên và g liên tục đều trên 4) Xét tính liên tục đều của các hàm số sau trên R2:

Bài 6: Cho là một tập mở, là một hàm số liên tục. Đặt với là những số thực cho trước. Chứng minh B là tập

mở.

Chương 2: Phép tính vi phân hàm nhiều biếnBài 1: 1) Cho hàm số . Chứng minh f liên tục tại (0,0), tồn tại các đạo hàm riêng tại (0,0) nhưng không khả vi tại (0,0).

2) Cho hàm số . Chứng minh f có các đạo hàm riêng

liên tục trên và .

3) Cho hàm số . Chứng minh tồn tại các đạo hàm riêng

và f khả vi trên \{(0,0)}.

4) Cho hàm số Chứng minh khả vi

trên .

5) Cho hàm số .

Chứng minh và khả vi trên .

6) Cho hàm số . Chứng tỏ không tồn tại

các đạo hàm riêng của hàm f tại (0,0).

7) Cho hàm số . Chứng tỏ và

khả vi trên .8) Cho hàm số . Chứng tỏ f liên tục tại (0,0), tồn tại các đạo hàm riêng tại (0,0) nhưng không khả vi tại (0,0).

9) Cho hàm số . Chứng tỏ khả vi trên

Bài 2: 1) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm M(1,1) theo hướng lập với hướng dương của trục ox một góc . ĐS.

2) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm M( ) theo hướng pháp

tuyến trong tại M của Elip . ĐS.

3) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm M(1,1) theo lập với chiều dương trục ox một góc . ĐS.4) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm M(1,1) theo lập với chiều

dương trục oy một góc . ĐS.

5) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm M(1,1) theo lập với chiều dương trục oy một góc . ĐS.6) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm M(1,1) theo lập với chiều dương trục ox một góc . ĐS.

Bài 3: 1) Cho hàm số , trong đó f là hàm số có các

đạo hàm riêng cấp hai theo các biến của nó. Tính .

ĐS.

2) Cho hàm số . Tính . ĐS.0

3) Cho hàm số . Tính .

ĐS. nếu n chẵn và bằng nếu n lẻ

4) Tính vi phân cấp hai của hàm , trong đó .ĐS.

5) Cho hàm số . Tính

ĐS.

6) Cho . Tính ĐS.

7) Cho . Tính .ĐS.8) Tính vi phân cấp n của . ĐS.Bài 4: 1) Cho phương trình . Chứng minh nếu đổi biến thì

phương trình trên trở thành .

2) Chứng minh nếu đổi biến , ở đây u = u(t) thì phương trình

trở thành hoặc u’’=0.

3) Cho phương trình . Chứng minh nếu đổi biến t = ln|x| thì phương trình

trên trở thành .

4) Chứng minh nếu đổi biến x = cost thì phương trình trở

thành .

Bài 5: 1) Hệ phương trình xác định các hàm ẩn

. Tính .

ĐS.

2) Hệ phương trình xác định các hàm ẩn . Khi đó

tính . ĐS.

3) Giả sử (1) và là hàm ẩn xác

định bởi (1). Tính . ĐS.

4) Phương trình xác định một hàm ẩn trong một lân cận của (0,0). Khi đó tính các đạo hàm riêng tại điểm (0,0). ĐS.2; 2

5) Cho . Khi đó tính . ĐS.-1/2

6) Cho là hàm ẩn xác định từ phương trình . Khi đó tính các giá trị khi x = 0 và y = 1. ĐS.0, -2/3, -2/3

7) Hệ phương trình xác định các hàm khả vi

sao cho u(1,2) = 0, v(1,2) = 0. Khi đó tính các biểu thức

du(1,2) và dv(1,2). ĐS.

8) Cho . Khi đó tính tại . ĐS.3/2

9) Giả sử (1); , là hàm ẩn xác định

bởi (1). Tính . ĐS.

Bài 6: 1) Cho hàm số với ràng buộc . Tính fmax. ĐS. tại (1,1,1)2) Tìm cực trị hàm . ĐS. đạt cực đại tại (1,1) và cực tiểu tại (0,0)

3) Tìm cực trị hàm số

ĐS.Hàm số đạt cực tiểu tại (5,2)4) Tìm cực trị hàm số . ĐS. đạt cực tiểu tại (0,0) và đạt cực đại tại các điểm

5) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm trên miền . ĐS.

6) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm u trên miền D, ở đây .

ĐS.

7) Tìm cực trị hàm với điều kiện . ĐS. tại (-1,2,-2) và tại (1,-2,2)8) Tìm cực trị hàm .ĐS. đạt cực đại tại (3,3) và cực tiểu tại (0,0)9) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm f trên miền D, ở đây

. ĐS.10) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm f trên miền D, ở đây

. ĐS.11) Tìm cực trị của với ràng buộc .ĐS. tại (1,1)12) Tìm cực trị hàm số . ĐS. không có cực trị13) Tìm cực trị của hàm với ràng buộc

ĐS. tại và tại

Chương 3: Chuỗi số, dãy hàm và chuỗi hàmBài 1: Tính tổng của chuỗi số

1) . ĐS.

2) . ĐS.

3) ĐS.e-1

4) ĐS.

5) . ĐS.

6) ĐS.

7) ĐS.

8) . ĐS.

9) ĐS.1

10) ĐS.

11) . ĐS.

12) . ĐS.

13) ĐS. nếu ; 0 nếu ; 1 nếu x=1

14) . ĐS.1

15) Chuỗi số với số hạng tổng quát . ĐS. .

16) ĐS.

17) . ĐS.

18) . ĐS.

19) . ĐS. -1

20) . ĐS.

21) Chuỗi số với số hạng tổng quát . ĐS.Chuỗi hội tụ khi a = -2, b = 1 và có tổng S = -ln2

22) ĐS.

23) ĐS.1

24) ĐS.

25) ĐS.e-2

Bài 2: Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số:

1) ĐS.hội tụ khi p>2

2) ĐS.hội tụ khi và chỉ khi a+b>1

3) ĐS.hội tụ khi và chỉ khi a<e

4) ĐS.hội tụ khi và chỉ khi p+q>1

5) ĐS.hội tụ khi và chỉ khi

6) ĐS.hội tụ khi và chỉ khi p>0

7) ĐS.chuỗi hội tụ

8) ĐS.hội tụ

9) ĐS. phân kỳ

10) ĐS.hội tụ khi và chỉ khi p>1

11) ĐS.hội tụ

12) ĐS.hội tụ

13) ĐS.hội tụ khi và chỉ khi p>1/2

14) ĐS.hội tụ khi và chỉ khi a=1/2

15) ĐS.phân kỳ

16) ĐS. hội tụ

17) ĐS.hội tụ

18) ĐS.hội tụ

19) ĐS.hội tụ khi và chỉ khi 3a=2b

20) ĐS.hội tụ khi và chỉ khi p>1

21) . ĐS.Chuỗi phân kì do số hạng tổng quát không hội tụ về không

22)

ĐS.đặt . , suy ra chuỗi hội tụ nếu .

23) .(xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ)

ĐS.Chuỗi httđ khi p>1/2 và bán hội tụ khi 0<p 1/2

24) . (xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ)

ĐS.Chuỗi httđ khi p>2/3 và bán ht khi 0<p 2/3

25)

ĐS.đặt . Khi đó , suy ra chuỗi hội tụ nếu

26) ĐS.hội tụ

27) ĐS.hội tụ khi và chỉ khi p>0

Bài 3: Xét sự hội tụ đều của dãy hàm:1) trên [0,1]. ĐS.Cả hai dãy cùng không hội tụ đều

2) và .

ĐS. không hội tụ đều, hội tụ đều

3) và .

ĐS. hội tụ đều, không hội tụ đều

4) . Chứng minh dãy hàm trên hội tụ đều trên

5) và

ĐS.Cả hai chuỗi cùng hội tụ đều6) và . ĐS. hội tụ đều, không hội tụ đều

7) và .

ĐS. hội tụ đều, không hội tụ đều

8) và .

ĐS. không hội tụ đều, hội tụ đều9) trên đoạn . ĐS. không hội tụ đều, hội tụ đềuBài 4: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:

1) ĐS.

2) ĐS.|x|<4

3) ĐS.

4) ĐS.

5) ĐS.

6) ĐS.

7) ĐS.

8) ĐS.

9) ĐS. (2-e,2+e)

10) ĐS.

11) ĐS.R

12) ĐS.

13) ĐS.

14) ĐS.

15) ĐS.

16) ĐS.

17) ĐS. [0,2)

18) ĐS.x >0

19) ĐS.

20) ĐS. (-2-e,-2+e)

21) ĐS.

22) ĐS.

23) ĐS.

Bài 5 : Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm :

1) và trên R. ĐS.Cả hai chuỗi cùng hội tụ đều trên R

2) trên [ ], .

ĐS.Chuỗi không hội tụ đều trên [ ], nhưng hội tụ đều trên

3) và .

ĐS.Chuỗi (2) hội tụ đều, chuỗi (1) không hội tụ đều

4) và .

ĐS.Cả hai chuỗi cùng hội tụ đều

5) và .

ĐS.Cả hai chuỗi cùng hội tụ đều

6) và .

ĐS.Chuỗi (2) hội tụ đều, chuỗi (1) không hội tụ đều

7) và .

ĐS.Chuỗi (1) hội tụ đều, chuỗi (2) không hội tụ đều

8) và .

ĐS.Chuỗi (2) hội tụ đều, chuỗi (1) không hội tụ đều

9) và .

ĐS.Cả hai chuỗi cùng hội tụ đều

10) và .

ĐS.Cả hai chuỗi cùng hội tụ đều

11) và .

ĐS.Cả hai chuỗi cùng hội tụ đều

12) và .

ĐS.Cả hai chuỗi cùng hội tụ đềuBài 6: Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa1) thành chuỗi lũy thừa tại và tìm bán kính hội tụ của chuỗi.

ĐS.

2) thành chuỗi lũy thừa tại và tìm bán kính hội tụ của

chuỗi. ĐS.

3) theo lũy thừa nguyên dương của .

ĐS.

4) theo lũy thừa nguyên dương của .

ĐS.

5) theo lũy thừa nguyên dương của .

ĐS.

6) theo lũy thừa nguyên dương của .

ĐS.

7) thành chuỗi lũy thừa tại và tìm bán kính hội tụ của chuỗi.

ĐS.

8) thành chuỗi lũy thừa tại và tìm bán kính hội tụ của chuỗi.

ĐS.

9) theo lũy thừa nguyên dương của .

ĐS.

10) theo lũy thừa nguyên dương của .

ĐS.

11) thành chuỗi lũy thừa tại và tìm bán kính hội tụ của chuỗi.

ĐS.

12) theo lũy thừa nguyên dương của .

ĐS.

13) theo lũy thừa nguyên dương của .

ĐS.

14) thành chuỗi lũy thừa tại và bán kính hội tụ của chuỗi.

ĐS.

15) theo lũy thừa nguyên dương của .

ĐS.

16) theo lũy thừa nguyên dương của .

ĐS.

Bài 7 : Tìm khai triển Fourier của hàm :

1) trong khoảng . ĐS.

2) trong khoảng . ĐS.

3) thành chuỗi Fourier theo cosin. ĐS.

4) thành chuỗi Fourier theo sin.

ĐS.

5) trong khoảng .

ĐS.

6) trong khoảng ĐS.

7) trong khoảng . ĐS.

8) trong khoảng chỉ chứa các sinnx. ĐS.

9) trong . ĐS.

10) trong theo cosin.

ĐS.

11) trong theo sin. ĐS.

12) trong theo sin. ĐS.

13) trong theo cosin. ĐS.

14) trong khoảng . ĐS.

15) trong khoảng . ĐS.

16) trong khoảng . ĐS.

17) theo lũy thừa nguyên dương của .

ĐS.

18) thành chuỗi Fourier theo cosin. ĐS.

19) trong khoảng chỉ chứa các cosinnx.

ĐS.

20) trong khoảng chỉ chứa các sinnx. ĐS.

21) trong . ĐS.

22) trong khoảng . ĐS.